Разностные методы решения задач на гидравлических сетях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

■6 о

3 МЛР 100'?

АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

ЧУЙКО МИХАИЛ МАТВЕЕВИЧ

РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ГИДРАВЛИЧЕСКИХ СЕТЯХ

(01.01.07 - вычислительная математика)

?

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МИНСК - 1994

Работа выполнена в Институте математики АН Беларуси

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник МАТУС Петр Павлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

ВАБИЩЕВИЧ Петр Николаевич,

кандидат физико-математических наук, доцент

ПОЛЕВИКОВ Виктор Кузьмич

Ведущая организация: Институт проблем безопасного развитии

атомной энергетики РАН

Заодгга состоится апреля 1994 г. в 15°° часов

на заседании специализированного совета К 006-19-01 в Институте математики АН Беларуси но адресу: 220072, г. Минск, ул. Сурганова, 11, Институт математики АН Беларуси.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Болэруси

Автореферат разослан " 3 " марта 1994 года.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат фаз.-мат. нэук

ЛДс'т.)лл5— А.И. Астровский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОМ

Актуальность темы. Проблема построения и исследования эффективных вычислительных методов для задач на гидравлических сетях является актуальной задачей современной вычислительной математики. Гидравлические системы (гзэдротрапспортные системы, системы охлаждения двигателей, подачи топлива и др.) в настоящее время используются е самых различные областях народного хозяйства. В мавшностроения, стзнкостроепуги широкоо распространена получили гидравлические приводы.

Вопросы, связанные со сниманием металлоемкости, повышением надежности, улучшением эксплуатационных характеристик проектируемых гидросистем, приводят к необходимости детального исследования протекающих в них процессов.

Нестационарные гидромеханические процессы, воэнакавщав при напорном движении жидкости в гидросистемах, в математическом плане описываются нелинейными системами уравнений гидродинамики на графах. Хотя для подобных классов уравнений и существует достаточно много эффективных вычислительных методов, однако дополнительные проблемы в данном случае объясняются особой геометрией области определения задачи. В связи с атим актуальными являются разработка и исследование эффективных вычислительных методов для уравнений гидродинамики, заданных на произвольном связном графе, а также их применение при исследовании конкретных физических процессов.

Отметим, что разработка и исследованию вычислительных методов на графах посвящены работы А.Ф.Воеводина, О.Ф.Васильева, С.М.Шугрина, И.В.фряэинова.

Цельп работы является построение эффективных вычислительных методов для нелинейных уравнений гидродинамики, заданных на графе и описывающих напорные течения жидкости в разветвленных гидросистемах; исследование сходимости соответствующих разностных схем в случае неограниченной нелинейности, а также их применение при математическом моделировании сложных физических процессов, протекающих в реальных гидравлических системах.

Научная новизна. Для уравнепий гидродинамики, определенных на коночном связном графе, построены и исследованы коневрватив-

ные разностные схемы, допускающие распараллеливанию вычислительного процесса; получены априорные оценки устойчивости и сходимости метода сеаок как в линейном, так и в нелинейном случаях. Предложены и исследованы безусловно устойчивые разностные схемы па адаптивно-временной сетке для систем гиперболических уравнений в инвариантах Римана. На основа предложенных алгоритмов проведено моделирование процесса запуска насоса в гидроприводе вентилятора охлаждения двигателя и процессов разгерметизации и закупорки системы анероидно-мембрашшх приборов летательных аппаратов. На базе нелинейных уравнений гидродинамики создан печсэт прикладных программ для моделирования нестационарны:: процессов в сложных гидравлических системах, содержащих гидроэлементы различных типов (гидроцилиндры, ппевмогидравлаческие аккумуляторы и т.п.).

Практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы при исследовании напорных течений жидкости в гидравлических системах. Предложенные в диссертации вычислительные алгоритмы легли в основу программного комплекса для моделирования процессов в сложных гидросистемах (системах транспорта жидкости, гидравлических приводах).

Апробация работы. Основное результаты диссертации докладывались на Республиканской конференции молодых ученых и специалистов "Применение информатики и вычислительной уехники при решении народнохозяйственных задач" (г. Мипск» 1989 г.), Всесоюзной шкало-семинаре "Математическое моделирование в естествознании и технологии" (г. Владивосток, 19в9г.), Межреспубликанской научно-практической конференции творческой молодежи "Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение" (г. Мипск, 1990 г.). Республиканской научной конференции "Математическое моделирование и вычислительная математика" (г. Гродно, 1990г.), Межреспубликанском семинаре "Дифференциальные уравнения и их применение" (г. Вильнюс, 1991 г.), VI Конференции математиков Беларуси (г. Гродно, 1992 г.), а также на семинарах в ИГШ им. М.В.Келдыша РАН и Велгосуншзерситото.

Публикации. По томо диссертации опубликовано 10 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из впадения, трех глав, списка литература (117 наименований). Общий объем ра-

боты 127 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается общая характеристика работ1!», приводится обзор литературы по рассматриваемым вопросам и излагается краткое содержание диссертации по главам и параграфам.

Первая глава посвящена вопросам построения вычислительных алгоритмов для решения систем уравнений гидродинамики, заданы-? на произвольном ориентированном конечном связном графе. В ican~ -стЕе математической модели, описывающей процессы на гидравлических сетях, рассматриваются системы уравнений, предложу пике и изученные в работах O.A.Ладыженской, Р.Темама, Д.А.Фокса, В.М.Ко-вени и Н.Н.Яненко. Предложены два класса консервативных и монотонных (при любом направлении скорости) разностных схем, допускающих распараллеливание вычислительного процесса. Покачивается, что соответствующая разностная задача разрешима на каждом фиксированном слое при любом значении временного аага г. Основные проблемы, которые здесь возникают, обусловлены как нелкн-эйпостьк» исходных уравнений, так и нелинейность® у.словкй сопряжения, задаваемых во внутренних вершинах графи.

В §1 приводится математическая модель, которая используется для описания течения жидкости в гвдраылэтосках системах. Пусть Г) = (1,2, — ,ri}. пг= (п+1,— ,шпг>, ?={1,2,... - ¡¿яожветва номеров внутренних верипш, граничных вериип и ребер гр«$а соответственно; У*,,>~ множество номеров ребер, примыкающих своим

прявым концом, а у~ - примыкажяцих левым концом к о-ей верятина; 4

(х,t) е U Q^x (tQ,Т] - область определения задачи. Здесь Й -

kG-jf

={х : Osx sl } - ребро графа G с номером к- Тогда точение жид-

в Ks

кости в данной области может быть описано.следующей системой одномерных уравнений гидродинамики:

ву dv . Зр >.v |v I

к хг k А 1 к i fc !t _ n

dt" V äx~ p ШГ 2сГ u>

» * (1)

f-a-r + ЗЗГ * 35Г * e-(pc-)- . k k

Здесь p - давление, vk~ скорость, p - плотность жидкости, X ~

=--Х(Не,Л) - коэффициент трения о стенки, а^- диаметр к-го трубопровода, с - скорость распространеотя упругих возмущений. Д -ше-

роховатость стенок трубопровода. В висячих вершинах, а также при задаются обычные граничные режимы и начальные условия. Во внутренних вершинах графа С задаются условия примыкания

к (2)

с;и), * о

и балансные соотношения

.0.0 - Е . л -о» (3>

кСГ(,> 1 кС'<ч> * *

Здесь р, ,(!;)- значение давления в ^-ой вершине; X - площадь нос # ■

перечного сечения участка 0к; С ¡4*)» - местные гидравличе-

ские сопротивления на входе и выходе из 0к; значения и(&±0,%) определяются казс односторонние пределы и(х,1;).

В §2 на сетке с целыми и пслуцелыми точками по пространственной переменной исходная система (1) без учета члена аппроксимируется консервативной разностной схемой

А А

А А А А А (V | __А

V > V . + Г V + 4 Р - + -Ьг— " О- еР,..+ = (4)

к1 к к* к к К Р к х 2а *кг к*

где

Первое из уравнений (4) преобразуется к дивергентной форме

А А

1 Л ? 1 ~ ^ »» ^ Н Л А

V 2 + ? рк; + -ТЯГ- " г

к

и, следовательно, разностная схема является консервативной. Для реализация схемы (4) строятся итерационный процесс, в которой коэффициенты берутся с предыдущей итерации. На каждом шаге метода итераций система приводится к трехточечным уравнениям стяоси-тельао функции скорости и выполнены достаточные условия узтойчи-

К» » Ш

зости метода прогонки 10 !МА 1 + 1В, I вне зевиоимостн от

к , I к , I к , I

знака сеточной функции (монотонная схема). При р&алйэацш

итерационного процесса предварительно (исходя из аппроксимации законов сохранения во внутренних вершинах» граничных условий в висячих вершинах графа, систем разностных уравнений) находятся граничные условия во внутренних вершинах графа. Для этого прихо-дитсл обращать матрицу с диагональным преобладанием размерности п, где п - число внутренних вершин. Таким образом, для нахоаде-

ния сеточных функций у , р на каждой итерации требуется лишь 0(пэ+ £ N.) операций и алгоритм является экономичным.

Аналогичные разностные метода (в смысле распараллеливания вычислительного алгоритма) строятся в 53 и для полной сйсте -' уравнений (1), которая может быть записана в инвариантах Рима:-а Рк4 рскУк, вк~ рк- рскУк:

дг эг

ЗГ" + с*} ЪуГ ' ~ »»>•

к '

Зз За

ЗГ- + V 35Г -к

Для реализации соответствуй^: неявных схем первого порядка аппроксимации О(Ыт) используется итерационный процесс вида

»4-1 » В«1 к м+1 ю

+ О Г„- ' - С г - з, ),

к С к к к х к к 1

»41 ш ««1 « я

8к1 + ок) акк = акК

решение которого находится по формулам бегущего счета, Приводз-г-ся пример схемы и второго порядка аппроксимации со пространственной перемешгоа С11гг+т).

Во второй главе исследуются вопросы устойчивости и сходимости предложенных в главе .1 разностных схем для уравнений гидродинамики. заданных на графе. Соответствующие оценки точности получена как в норме 1г, так и в равноыэрной метрике без каких-либо предположений о свойствах разностной задачи. Для гиперболических систем уравнений в инвариантах Римаяа построены безусловно устойчивые вычислительны© методы с использованием адаптивной сетки по временной переменной.

В 51 для уравнений слабосжимаемой жидкости ввда

заданных в прямоугольной области, н случае неограниченной нелинейности исследуется скорость сходимости двух.классов разностных схем:

Л

vhl+ + - eht* \,т (6)

И

А

vk#+ + р - = /iv - , ер + vw = О. (7)

ht с h h ж h ж h*« ht h*

Относительно решекия дифференциальной задачи предполагается, что оно существует, единственно и v(x,t), p(x,t) е Доказываются следу ювдкэ теоремы.

Теорема 1. Пусть v{x,t)stlc1>0 при (x,t)cQT- Тогда при достаточно малых h<hQ, t<tq, 'c=li*, х>1/2, существует е.^инствонное решение разностной схемы (6), которое при Ь,т -» О сходится к решению дифференциальной задачи с (1=0, и для всех te«t имеет место следующая оценка точности

(«5vEz+ с 1[0рПг)1/г* h+v), (в)

где 6v=v -v, бр=р -р, t»О - константа, не зависящая от li, т и h h

приближенного решения.

Ограничения на шаги сетки зида r=h*, ;с>1/2, в данном случав объясняется тем, что при получении априорной оцинки (6) необходимо, чтобы Bzllcsh"1/;illzll -+ О при Ь.т -»О.

В случае вязкой жидкости (p=f.onst>0) отграничений на шага сетки (условная сходимость) можно избежать. Для простоты исследований в отом случае рассмотрена безытерационная схема (7), которая, кроме того, аппроксимирует исходную задач}' со вторым но-рядком 0(hz+x).

Теорема 3. При достаточно малых h, т существует единственное решение разностной схемы (7), которое при h,г -♦ О сходится безусловно (как в норме , так и з метрике С для функция скорости) к решению дифференциальной задачи, и для всех tcu^ имеют мосто оценки

;ilÔv||2+ t/jII6v-]I2+ е I [ôpll2)1 / 2s с (ha+r), * «

i6vH„s с (h3/2+ т1/г),

U 2

в

где с1= СОШ1 > О, сг= с^с, с - тах{1,/Т/(2/Д)}.

§2 посвящен исследованию устойчивости разностных схем по начальным данным для линеаризованной модели слабосжимаемой жидкости и сходимости разностных методов для нелинейной системы уравнений с линеаризованными условиями сопряжения в случае, когда область определения задачи является графом.

В линейном приближении исходная дифференциальная задача аппроксимируется следующей разностной схемой

л

к,г р:^.^,/.»-

л

(10)

(11)

Доказывается следующее утверждение.

Теорема 4. Разностная схема (9)-(11) абсолютно устойчива по начальным данным, и для репения задачи имеет место априорная оценка

г-' - г _ . _ г

2 г (£,[?<;»*) + £ т 2 [ I „ )

к€> н п>1 _ * 'к

. «г "

кйтг

<Ч>

Основным результатом данного параграфа является следующая теорема.

Теорема 5. Пусть существует единственное решение задачи (1)~

(3) V (х .*), рЛх .1;) е С*(5 ), 0<к,5У (х .г)<к. Тогда при док к к к 31 ) К • £

статочно малых П<Ьо, г<го, т=Ь*. 0,5<х<2, существует

единственное решение разностной схемы (4).(10),(11), которое при Ь,т -» О сходится к решению дифференциальной задачи, и для всех

имеет место оценка

Г Е X (85у Иг+ е1[вр I8) + т» Е ( Е 0+ Е «V* ))"%

Не-» ч€||\„ - * .♦ к"

« 1>(ЬИт>. (12)

где и>0, ц=ц(£*,кг)>0 - константы, кэ зявисявдае от Ь, г в при-бляжэнпого решения.

Отметим, что доказательство теорема 5 базируется как на результатах, полученных в §2, ток и на ислользовагызт следующей леммы.

Лемма 3. Пусть для сеточной функции , являющейся решением задачи (4),(12),(13), имеет место неравенство

[ I ^шу* га I ( Е «V* 0+1 К , с(П+г).

Тогда

где

ке»г . кб*

а: с, (1»,/2+ гЬ",/г), (13)

к О 1

««V 5 с,(Ьг",/2+ т1/2), (14)

х I/ ( Г} } 2

Йбу Ис = юах (6у I, Ь = тах Ь ,

и!!«»^-! ' КС?

Ч^П к

Из оценок (12),(13).(14) следует сходимость решения исходной разностной схемы и в равномерной метрике при г=Ьх, 0,5<х< 2.

В €3 строятся и исследуются вычислительные алгоритмы с использованием адаптивной сетки но временной переменной для ре-пения уравнений акустика и нелинейных уравнений гидродинамики, определенных на гидролинии гидравлической сети. Необходимость использования едаптивно-времензых сеток обусловлена наличием-в области определения исходной задачи (гидравлической сети) как областей с резким изменением параметров течения, так и областей с медленно меняющимися параметрами.

Для системы уравнений акустики, записанной в инвариантах Римака г=у+р/(рс), в=у-р/(рс), соответствующая разностная схема

имеет вид

~ + <*Г'Щ ' ' ta/q ' - cs;»♦«"■ = 0. <x, W.

r. + cri"'4- 0, s - СЕ***'Ч= 0, (x,t)e»J,

t,« x I, а x 2

где у = (у1+в/ч- y1*<a"t,'4)/(r/<i), о* - область адаптации. »•»« г

С помощью данной разностной схемы строго находятся граничные условия на внутренних границах и вычисление решения в области гладких течений wJ проводится с крупным шагом т, а в области нерегулярности решения и* - с достаточно мелким шагом r/q, -целое число. Доказана безусловная устойчивость предложенной разностной схемы в сильной Еорые. W". Аналогичные методы строятся и для нелинейных уравнений гидродинамики.

Третья глава посвящена вопросам, связанным с моделированием процессов в гидравлических системах. На примере решения двух прикладных задач показывается возможность аффективного использования алгоритмов, построенных в диссертации.

В S1 рассмотрены математические модели основных элементов гидравлических систем. Конструктивный участки (трубопроводы) являются алементами с распределенными параметрами, и течение жидкости в них описывается уравнениями (1). Конструктивные узлы гидравлических систем (вершинь: гидросети) являются элементами с сосредоточенными параметрами. Процессы з них описываются системами алгебраических уравнений и (или) обыкновенными дифференциальными уравнениями. Б результате аппроксимации на и указан-

ht

ных уравнений, записанных в инвариантах Римана, получена следующая система линейных уравнений дня значений граничных инвариантов r<k>= (г в >'

к

А..Г.+Р. р = Ь, , key, < к > < к > <к>г к > *

где р = (D, ,,—,р, ) - вектор неизвестных параметров во внут-

(Î) in)

рэнних вершинах гидравлической сети, А<ы> л ^<k> ~ матрицы размерности 2x2 и 2m, b<k>- вектор свободных членов. В данном параграфе получены выражения для коэффициентов Л<к>, Ь<к> в случае различных типов гидроолементов, находящихся в вершинах сети. §2 содержит описание вычислительного эксперимента дая моде-

жирования процессов запуска и остановки насоса в гидроприводе вентилятора охлаждения двигателя. Исследуется влияние характеристик гидравлического мотора (величины момента инерции вращающихся масс) на гидромеханические параметры движения жидкости. Приведены графики, отражающие динамику развития процессов в гидроприводе .

§3 посвящен математическому моделированию процессов разгерметизация канала динамического давления и закупорки канала статического давления в системе анероидно-меыбранпых приборов (АМЛ) летательных аппаратов. Приведена постановка начальных и краевых условий. Для описания набегающего потока используется уравнепке, выражающее зэке з сохранения ползой энтальпия. Место разгерметизации описывается с помощью формул вычисления потока в среды с нротиводавлепкем. Закупорка канала статического давления моделируется местным гидравлическим сопротивлением. В данном параграфе описаны вычислительные алгоритмы для указанных постановок краевых условий, приведены результаты вычислительного ¡эксперимента (приборные показания и реальные значения скорости и высота полета) при отказе системы АШ.

В §4 содержится описание созданного на базе предложенных в диссертационной работе вычислительных алгоритмов комплекса программ для моделирования процессов в гидравлических системах. Сложность объекта исследования обусловила необходимость разработки программного коьшлокса, обеспечивающего возможность автоматизации проведения вычислительного эксперимента .• Комплекс программ состоит из диалогового монитора, подсистем ввода данных и вывода результатов, графического редактора, предоставляющего пользователю возможность кешетруировепия принципиальных сх«ж исследуемых гидросйстеы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Для уравнений гидродинамики, определенных на конечном связном графе, построены и исследованы консервативные ра-люстииэ схемы, допускающие распараллоливанио вычислительного процесса; получены априорные оценки устойчивости и сходимости метода соток как в линейном, так и в нелинейном случаях.

2. Предложены к исследованы безусловно устойчивые разностные схемы на адаптивно-временной сетке для систем гиперболических уравнений в инвариантах Римана-

3. На основе предложенных алгоритмов проведено моделирование процесса запуска насоса в гидроприводе вентилятора охлаждения двигателя ж процессов разгерметизации и закупорки системы анероидно-мембранных приборов летательных аппаратов.

. 4. На базе нелинейных уравнений гидродинамики создан пакет прикладных программ для моделирования нестационарных процессов в сложных гидравлических системах, содержащих гидроэлемевты 18-ти типов (гидроцилиндры, ггневмогидравлические аккумуляторы а т.п.).

Основные результаты диссертации опубликована в работах:

1. Матус II.П., Захарцева В.Д.г Королькевич В.Д., Чуйко М.М. Математическое моделирование течения жидкости в гядролхтиях автомобиля // Применение информатики я выч. техники при решении народнохоэ. задач. Мн., 1989- С.45.

2. Матус П.П., Королькевич В.А., Чуйко М.М. Численное моделирование течения жидкости в гидролияиях автомобилей.- Мн., 1985. - 29с. - (Прзпринт / АН БССР. Ин-т математики; N45(395)).

3. Матус П.П., Королькевич В.А., Чуйко М.М. Численное моделирование течения жидкости в гидросистемах // Матем. моделирование в естествознании и технологии. Владивосток, 1989. С.45-

4- Матус П.П., Королькевич В.А., Чуйко М.М. Моделирование неустановившегося течения згидкости в разветвленной гидросистеме // Матем. моделирование и вычисл. матем. Респ. науч. конф., 17-22 сент. 1990. Гродно, 1990. С.85-86.

5. Чуйко М.М. Разностные схемы для уравнений слабосжимаемой жидкости и их применение при моделировании течения жидкости в этадроприводах машин // Актуальные проблемы информатики: математика, программное и информационное обеспечение. Мн., 1990. С.123-124.

6. Матус П.И.,■ Чуйко М.М. Вычислительные методы для уравнений слабосжимаемой жидкости па графах // Докл.АН БССР. 1991- Т.35. N10. С.876-880.

7. Чуйко М.М. Математическое моделирование течения жидкости в системе последовательно соединенных трубопроводов // Дкффе-ронц. ур-ния и их применение - Вилыпос, 1991. Вып.46.

С.104-108.

8. Коддоба A.B., Повещенко Ю.А-, Матус П.П., Чуйко М.Ы. Математическое моделирование точения жидкости в разветвленных гидравлических системах // Maveu. модолир. 1992. Т.4. N9- С.4Э-54.

9- Чуйко М.М. Комплекс программ для модэлирования процессов в гидравлических системах // VI Копф. матем. Беларуси, 29 сент.-2 окт. 1992г., Гродно. 4.2. С-164-

10. Матус П.П., ИихаЯлкж И.А., Чуйко Ы-М. Разностные схемы на адаптшшо-времэвхшх сетках для систем гиперболических уравнений. - Ми., 1994. - 48с. - (Препринт / АН Беларуси. Ин-т математики; N1 (504)).

Подписано в печать 25-02-94- Формат 60x84/16. Усл.печ.л. 0,7- Усл.кр.-отт. 0,82. Уч.-изд.л.'0,65-Тираж 100 8кз. Заказ 8. Бесплатно.

Институт математика АН Беларуси. 220072, Шаек, ул. Сурганова, 11. Отпечатано на ротапринте ВЦ АН Беларуси. 220072. Минск, ул. Ф.Скоршш, 25.