Разностные схемы для эллиптических уравнений второго порядка на шестиугольных сетках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Кишсъкии нацюналъний уншерситет ¡мет Тараса Шевченка

На правах рукопису

МАКАРОВ Серпй Володимирович

Р13НИЦЕВ1 СХЕМИ ДЛЯ ЕЛ1ПТИЧНИХ РШНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ НА ШЕСТИКУТНИХ С1ТКАХ

01.01.07 - обчислювальна математика

Автореферат дисертацд на здобуття паукового ступеня кандидата фйико-магемагнчннх наук

Кнгв-1995

Дисертащею е рукопис.

Роботу виконано на кафедр! обчислювальноТ математики Кшвського национального ушверситету iM. Тараса Шевченка.

Науковий KepißiiHK - ахадемш HAH Украши

Серпенко 1ван Васильевич

Офщшш опоненти: доктор ф^зико-математичних наук, професор

лЬовано! ради Д 01.01.23 КиТвського цацюналыгого ун1верситету ¡м.Тараса Шевченка, 252127, КиТв-127, пр-т акад. Глушкова, 2, корп.6, ф-т юбернетики, ауд. 40.(Тел.(044)-266-12-58; факс:266-1248; E-mailvpsh0icchq.univ.Kiev.ua).

3 дисертащею можна ознайомитись у НауковШ б1блютещ Кшвського ушверси-тету 1м. Тараса Шевченка, КиТв, Бул. Володимирська, 58.

Автореферат роыслано " " /tC-i-TTLi^Q \ 99^рпку-

Вчений секретар спешалйовано!

Белов Юр|й Анатол1йович

кандидат ф1зико-матеыатичних наук, ст.н.с. Х|шч Олександр МкколиАоаач

Провщна установа - 1нститут математики HAH УкраТни, Кшв.

Г годин! на засщанш спещ-

вченоТ ради

В.П.Шевченко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнкть теми. В ряд! задач науки та техшки при апроксимацп вдповщ,-них математичних моделей, що являють собою р1вняння у часткнних похдаих, вини-кае природня необхдасть у використанш шестикутних с1ток. 3 иатематично'1 точки зору для ршняння Пуасона перевага таких аток полягае, наприклад, в тому, що чет-вертий порядок апроксимацп досягаеться на семиточковому шаблон!, в той час як для прямокутно'1 с^тки - на дев'ятиточковому. Кр1м того, щ ¿тки бипьш ращонально внко-ристовувати для областей, що покриваються правильними трикутниками, зокрема для ромбу. До цього авд додати, що бьпьша близость до кола шестикутника у пор1внянш з прямокутником повинна забезпечувати кращ дисперсшш властивостс рпницево'1 схеми для ДЕоаиьирного хвильового р1аняння, що використовуе шестикутний шаблон дня оператора Лапласа.

Разом з тим деяка складасть апроксимаци крайових умов доя областей, що не покриваються повшстю правильними трикутниками, вдаутшсть розв'язку вдаовщноУ задач! на власш значения та ефективних алгоритьпв реал1зацц р!зницевих схем обме-жували як дослдакення, так 1 широке застосування на практищ схем з шестикутним шаблоном. Тому, дослдокення, направлен! на подолання зазначених ускладнень у зас-тосуванш шестикутних сиок е актуальними. Цими м!ркуваннями обумовлений вибф тематики дисертацй.

Метою дисертацН е теоретичне та алгоритьшне обгрунтування того, що шестикутш с^тки за своши основними властивостями подбш прямокутним ¿ткам. Шд основними властивостями тут розум1еться 1) узгоджеш оцшки швидкосп збжност! р1зницевих схем, 2) явний розв'язок р13ницево1 задач1 на власш значения, 3) можлившть реал1заци р1зницевих схем за допомогою швидкого алгоритму.

Наукова новизна. Одн1ею з голоаних вимог до ршицевих схем з сучасних теоретичних позицш е наступна: рвницева схема повинна бути такою, щоб и точшсть

була узгоддена з гладостю розв'язку виадно1 диференщально! задача Вперше на цю вимогу було звернено увагу в роботах \№.№етеК, ЕЬагагоу, В.Л.Макарова, А.А.Са-марського та шш. Ключовим моментом при побудов! раницевих схем з узгодженою швидыстю збжносп стало використання операторт точних р^зницевих схем. ГЕсля виходу з друку вищевказаних роб1т почав створюватися новий напрямок в теорп р1з-ницевих схем: схеми з узгодденою швидшстю збшносп. Стан цього нового напрямку на 1985 р1к доснть повно воображено в учбовому поабнику монограф!чного типу А.А.Самарського, Р.Д.Лазарова, В.Л.Макарова. Поя 1985 року роботн по теорп р1з-ницевих схем з узгодженою швидастю зб!Жност1 продовжували штенсивно проводи-тися для квазшншних ргвнянь античного типу, задач на власм значения, нестацю-нарних ршнянь парабаичного та ппербол1чного тигав та шш. Разом з тим, результа-пв по р^зницевим схемам з узгодженою швидюстю збшшост! на шестикутних атках навпь для найпроепших р^внянь математичноУ ф1зики (р1вняння Пуасона, неоднорщ-ного ршняння Гельмгольца) не було.

Нами вперше були побудоват та дослщдеш р1зницев[ схеми з узгодженою швидшстю збжност! для кваашшйного р1вняння елштичного типу (з головною части-ною у вигавд оператора Лапласа) у ромб! з умовами Дрихле. Одержано шкалу ощ-нок швидкост1 збжнот для розв'язшв р1внянь з класу Соболева-Сдободецького. Ана-лопчш результата одержано для пряыокутника. Тобто, з точки зору узгоджених оцг-нок швидкост1 збжност1, запропоноваш р1зницев1 схеми на шестикутних елках под1бн1 схемам з прямокутними еггками.

В роботах В.Л.Макарова вперше було введено новий клас р1зницевих схем: схеми з явними 1 точними спектрами. Вщмшною рисою зазначених схем е те, що власш значения вдаовщного ¡м р1зницевого оператора вдом1 в явному виглядд (схеми з явним спектром). Шдкласом схем з явним спектром е таи схеми, власш значения яких ствпадають з першими N власними значениями диференщального спектру, яш вони апроксимують (схеми з точним спектром). Гут N - кшшеть внутршшх вузл1в С1тки. Наявшсть точно! апр^орноУ ¡нформацц про спектр р1зницевоУ схеми дае можли-в!сть будувати для них хороци алгоритми реал1защ!, а в деяких випадках навпь еко-

HOMrai алгоритми (тобто алгоритми, шьшсть арифметичних операцш в яких пропор-щйна шькоси невщомих). В.Л.Макароаим для оператора Лапласа у Bcix найбшьш поширеких ортогональних криволшших системах координат були побудовам рознице-Bi схеми з яаним спектром. Результата по знаходженню в явному вигляда власних значень рЬницевого оператора Лапласа на шестикутних атках i взагал! на неортого-нальних, нам неа1домо, хоча i з'явилися шестихутш (трикутнО с!тки дуже давно, мабуть одночасно з прямокутними. Нами вперше була в явному вигля/ц розв'язана задача на власш значения для р1зницевого оператора Лапласа на шеетикутшй ciTui у прямокутнику з крайовими умовами першого роду. При цьому вдалось показати, що так як i у випадку прямокутноУ сетки, власш функцн сгавпадають з проещею на атку Сшестикутню) точних власних функцш диференщально! задача Тобто, в ceHci спект-ральних характеристик, показана под1бн!сть шестикутних i прямокутних citok.

Як вдомо, яюсть р13ницево1 схеми залежить не тшьки вщ й точность а й В1Д простота й еконошчносл ii реал^заци. Обмежешсть pecypciB обчислювально! техники з одного боку, а з другого боку необвдтсть розв'язування алгебра!чних систем велико! розм1рност1, що виникали з потреб створення ново! техшки та сучасних технологий, викликали в свш час потребу в розробщ шаидких (еконошчних) методов розв'язування таких систем. Дослдакення в цьому напрямку сформувалися в окремий роздш об-числювальноУ математики, що продовжуе штенсивно розвиватися. Характеристика стану розробки швидких алгоритм1в по розв'язуванню с1ткових piEHHHb, що виникають при апроксимацн задач математично! ф!зики1 на початок семидесятих роюв дана у мо-нографи Саыарськиы A.A., Школаевим S.C. При цьому слд зауважити, що вихщш ал-гебрашт системи були породжеш прямокутними аткзми (у плоскому випадку). Дос-лщжень для ¡ниш (неортогональних) citok в лиератур! до 1982 року нам не в ¡дом о. У згаданому рощ з'яаилась стаття Капорша !€., Ншолаева S.C., в якш побудовано економ1чний прямий метод (метод повши редукци) для систем трьохточкових вектор-них р1внянь спещального вигляду, Цей клас р'внянь, якзазначають автори, включае в себе багато важливих рпницевих задач, що виникають, трикутних спках. До згадано!

роботи для таких р1внянь були вдом! тмьки ¡терацшш методи: або явш, або з факто-ризованим оператором на верхньому шар1

Нами для ¡ншоУ апроксимацй крайових умов та заснований на шших ¡деях, по-будовано новий економшний метод розв'язування задач! Дрихле на шестикутшй С1ТЦ1 для рвняння Пуасона у прямокутнику. Основн1 ¡да двг перша - принципово нова, • явний вигляд власних фунщй рэницевоУ схеми, друга , в ¡дома - осшльки влаеш фун-кщ1 виражаються через тригонометричш, то щлком природньо використати швидке перетворення Фурье. Показано, що з точки зору алгоритм1зац11 запропоноваш схеми пощбш до схем з прямокутними спкяш

В!роидшсть результате випливае з Ух строгих математичних доведень.

Метод дослщжень, що використовувався пщ час роботи над дисертащею, включае в себе теорио ршнянь у чаетинних похдаих, теор;ю р1аницеанх схем, функцюнальний аналш.

Практична цшн!сть роботи. Результати роботи ыожуть бути використаш при розв'язуванш ршомажтних прикладних задач, де геомегр1я обласп узгоджена з шее-тикутньою елкою ¡, зокрема, при розрахунках дифузшних р1внянь двовим1рного ядерного реактора. Кр1м цього, оешьки, як показано в роботу бшына близость до кола шестикутника, пор!внюючи з прямокутником забезпечуе краиц дисперс!Йн[ властивост! р13ницево'1 схеми для хвильового ршняння, схеми на шестикутних атках дощльно ви-користовувати при вивченш хвильових процеав а негладкою видною шформащею.

Апробац1я результат, Основш результати допонщалися на кафедрах обчислювально'1 математики та чисельних метода математичноГ ф1зики Кшвського ушверситету ¡м. Тараса Шевченка, на кафедр! чисельних метода Московского ушверситету ¡м. М.В.Ломоносова, конференцп "Питания оптим1зацп обчислювань" (Кит, 1993).

Публ1кацГ/. Змют дисертаци воображений у трьох статтях.

Структура й обсяг роботи, Дисертащя складаеться ¡з вступу, трьох пара-граф!в, списку цитовано! лиератури, метить 61 друковану сторшку I 2 малюнки. Б1блюграф1чннй список складаеться з 36 назв.

ЗМ1СТ РОБОТИ

У Встуш до дисертацй аккладено аюуальшсть тематики, мету дослдаень, наукову новизну а сгислим ¡сторичним оглядом, практичну цшшсть, достсмршсть результата та централью результати.

§1 носить назву "Точгасть р1зницевих схем для квазшшйних елттичних р1вня-нь у ромб1 з розв'язками з 1<к<4". У цьому параграф! будуються 1 дослщ-

жуються р1зницев1 схеми для крайово! задач! вигляду

Аи(х) = /(х,и)-Ш хеО, (1)

а(*) = 0, *еГ, /(х,0) = 0, (2)

(3)

п

¡[/М-/(Х,О)]2<Ь4 ¿¡(и-иУсЬ, (4)

а а

де С2={х=(х^). 0<х2<^Г3/2, Х11^<Х1<1+Х31 Л] . р0Ыб з границею Г.

Для побудови р1зницево1 схеми, що апроксимуе задачу (1)-(4), область Я покриваегься трикутньою (шестикутньою) аткою

ю={(*11у,ху)б0; 1 = 1,М-1, де

2, Й=11М, (5)

границ» яко'1 позначимо через у.

Використовуючи ¡нтегральний наел ¡док, що випливае з слабш постановки

задач1 (1)-(4) (шукаеться розв'язок, що належнть простору Щ (О)), будуеться р1зницева схема

2 г т 4

у 3 з*5"^ + >Чы + + у'+и + + ~

«и

у(х) = 0. хеу, (7)

де ^¡^ - елементарний правильний шестикутник з центром у точщ (Л.у»-*^,.)) I стороною Ь,

= Я

о»

Ло\х)М1,,Кх) + —т— +/щ(*)—т-

дх.х скг

ЧУ/",- V Г<г\- Г /уч 0Ц>(*) <Г..(*)

е •/<>(*)- /оос*) —^---

- кусковолшшна неперервна функидя з ноаем, зосередженим в "у (Шрамща 2

3 ВИСОТОЮ ). = ^(-^ио'^,])' • кусковолшйний ¡нтерполянт, що

сшвпадав з Уц у вершинах та центр! шестикугника о

Нехай Нь - проспр сггкових функщй, визначених в области т, що перетворю еться в нуль на гранищ у, з! скаляр ним добутком

ива

I породженою ним нормою ю

Для визиачення точност! схеми (6), (7) запишемо скшченно-рЬницеву крайову задачу для похибки г = у—и

Л(г + и) = -К*)» х ею, г{х) = 0, х еу (8)

де fW = -2,1,I2(Au)+5u, Ви= ¡/и^ШМЖ (9)

Представимо 2 у виглвд 2 = 2, +2г, де 2t, S= 1,2 е розв'язками наступних крайоаих задач

А хе<у, 2j(x)=0, хер (10)

л л л л л

i4z2 + J3(2]+z¡+u)-i?«=ÜM-2!a) хеа», ^(л:) = 0, (11)

Тут

2

+Лн

4

+7тУг,г-У- -У- -У- '

п Х1Х1 ']'}

ñ (*) = -Тт (Áu)-Aus п . + ц . + щ ,

Mi h 2Л X]

де

1 Г2[

1

V>J П\31 J W+i

4 Xli,í 1

= -

2 ^ 2

*u¡

2 2

Наступна лема доводить ешвалентшсть норми оператора А твнорм1 простору

Лема 1, Уу € справедлива нермнхтъ

М1 =

3 II I3 (

г +2

ы!"*1»! ч

»14

* - +

У--

*1*3

2\

ы

Даш доводиться

о

Лема 2, Уу е Н^ справедлив1 тотожносггл «7 ->"))=

■И..

= (

7).У- )

«»»а .

.((7 - .»)) =

За допомогою лем 1,2 доводиться одна з центральних лем про шкалу апрюрних оценок для розв'язку задач! (10).

Лема 3. Для розв'язку тнченно-ршицево1 схемы (Ю) маютъ мсце наступш апрщм оцшки:

Ц.Фо!

- 1 2

(2

г. + 2 • | + г .

1.4 II

к

■ енергетична гивнорма.

Вищенаведеш леми, властивоеп функцй /(■*,«) (3), (4) та використання леми Брембла-Пльберта дають можливють переконатися у справедливое^ наступного твердження.

Теорема 1. Нехай розв'язок задача (1)-(4) - и(х) е ^(О), тод1 точтстъ р1$ницево1 схени (6)-(7) характеризуется шкалою узгоджених ощнок

ъ»

ъ,а>

«е[у,2 + у]п(1,4],

д* еяшо М не залгжить вШктаи .

Г = 0,1,2,

Зауваження 1. Якщо розв'язок задач! (1)-(4) и(х) €Щ1 (0) (для цього достатнъо, щоб /а(х)е£2(0), а=(а1,а7), |а|=а1 + а2<1); то замкть схема (6), (7) можно взят йлыи просту, що одержуетъся замшою кусшо-лшШно! Ытерполяци на кусково-постШну. Доводиться, що точтсгпь Л будв характеризу-ватися оцЫкою

де стала Ж т з алежить ей? к таи.

§2 носить назву "Спектральш властивоеп р!зницевого оператора Лапласа на шестикутмй йтц! та деяи ¡х застосування". Розглядаеться задача на власт значения Аи+ Яи = 0, хеП, (12)

и = 0, х еГ = дС1, (13)

де 0 = |0<*) <1, 0<х2<^з/2|

Для псбудови р!зницево1 схеми область П= □иГпокриваеться шестикутньою откою, що утворюе аткову область

0<г2 <М, + к = 1/М},

а границею

у- ШГ\Г, де М ■ парне число.

У внутршшх вузлах, тобто таких, що во точки семиточкового шаблону належать оператор Лапласа апроксимуеться р1зницевим

ъ1

У граничних точках ставиться крайова улова

у(*) = 0, хег ■ 05)

Для того, щоб задати умови у приграничних точках

к

2'

з&йснгоеться продовження непарниы чином через лту Х1 = 0 та праву Хх -1 вертикально сторони прямохутника Я, тобто для х- (х1,х2) еО визначаеться

"(-*) ,*2 )'= «(1+- *1 >Х1)'= -"(*! >*2 )' За допомого» цього продовження довизнача«ться фунщя у^ эХ*1,у1>*2112) У законтурних вузлах

сшввщношеннями

Введен! позначення та конструкцп приводять до наступно! постановки р1знице-во'1 задач1 на власш значения

Ау(х)+уу(х) = 0, 16 0, (16)

у(х) = 0, хеу, (17)

Н? =

о

Нехай Ни ■ простер спкових функцщ, визначених на множит вузлгв

+ - - - о

шип 1 таких, що задовольняють умовам (17), (18). Скалярний добуток у Ц,

вводиться звичайниы чином

хеш "

Мае М!сце

- . . .. о

Теорема 2. У простор} Нк оператор А самоспряжений, тобто

с

(Ау,и) = (уМ), Уу,иеНк.

Центральною у цьому параграф! е

Теорема Ь. Розв'язком зсдач1 (1б)-(18) е власш фунцП

и = (х) = яп*, + т.(Ьг1йгН), (I?)

та вьдповиЗт Ы влаш значения

) ,

кг = М! 2+1.....М-Ъ кх = 1Д....М-1

Зауважуеться, що власш функщТ (19) е проекцию на С1тку ю власяих функщй оператора Лапласа Л з уловами Дирихле у прямокутнику О, а оск1льки власш значения (20) даються у явному вигляд], то схема (1б)-(18) в вноситься до класу рвницевих схем з явним спектром.

Для шшмалького та максимального власних зкачень (20) мають м!сце ощнки

як1 можуть бути використан! для побудови ефективних ¡теращйних алгортъив реал!-защТ р1зницевих крайових задач з оператором Л.

У инщ параграфу проведено дисперсШний анал13 явно! р!ЗНицевоТ схеыи для двовим1рного хвильового ршняння з використанням шестикутноГ атки для оператора Лапласа. При пор^вняяш р!зницевих схем на шестикутшй с1тщ 1 прямокутшй показано, що головний член похибки фазовоТ швидкост1 гармошк на шестикутнш ытщ, на вщмшу вщ. схеыи на пряыокутнш а'тщ, не залеяшть В1Д напрямку хвильового вектора, а залежить ильки В1Д модуля цього вектора. Слад зауважити, що при виковашц умови

стйкоЫ £ — • головний член похибки дисперсП вщ'еыний, що означае нормаль-

ний характер дисперсй гармошк.

Остапшй параграф носить назву "Шввдкий алгоритм розв'язування р1зшшевоТ задач! /Црихле на шестикутшй спш для ршняння Пуасона у прямокутнику". Розглядаеться крайова задача

9

Ди(х) = -/(*), хеО,

и(х) = О, хеТ,

(21) (22)

[ ^

де О = = (х,,х2): 0<х,<1, 0<х2< — X Р1зницева схема будуеться у вигляд

Ау(х) = ф), хеш, (23)

>(х) = 0, хеу, (24)

де ср (х) - спкова апроксимащя право! частини ршняння (21), яка вибираеться в залежносп В1Д п гладкосп,

На основ1 теореми 3 розв'язок задач1 (23)-(25) можна представите у вигляд м/з м /гА

ка=1к,=1 6

+ 2 (26) = М/2+1 8

де АА) = (У>¿кМ)=2(х) (27)

- перетворення Фурье с1тков<я функци У^.

3 постановки задаад (23)-(25) випливае, що л

(28)

л

де у(к1гк2) - перетворення Фурье право! частини ф(х), яке виражаеться формулою

ИЛ-ан^м.' 2 2 2

+ 2 2 (29)

Для побудови еконоьшного алгоритма на основ1 формул (26) -(29) вони перели суються в бшьш зручному виглвд. Для цього в (29) в першш сум1 робиться замшг шдешв

¡-1/2 = Н + 1~, 1 = ¿2, / = Щ / =

а а другй

М

л

У нових ¡ндексних змшних процес обчислення перетворення Фурье <р(к:,к2) записуеться наступним чином

^и^ХФ^МК^-Ы), > К = Ш (30)

де

<р%Ц) = Е^.^яп&яй), j = l,т-l, к, = 1,м, (31)

¿-1

де

х^-У^К Х2=(2]-Щ

<(Л ; = 1Т » п? гтп

Л/л —ГГ- п. и=1,А/-1

2

1 нареши

л м-1

Л) = £ И5™^ (32)

де шдекси кик2 змшюються за правилом

коли кг = 1,-у, то кх-\,М,

М

а для ^ = —+1,М-1, ^ = 1,М-1 Тод! обчислення розв'язку задач1 (26)-(29) здтснюеться за формулами

л

ц(1)л\-у ^Л)

1Ч

де

М

Г*

Де ^=у+1,М-1

«ь(0 =

«г®.

м

*2 = — + 1.М-1,

1 нарешп

И-1

Ж л) ■ ЖЛ =

2 »4-1

(33)

(34)

(35)

Яйцо М= 2" , то для обчислення сум (30)-(35) застосовуеться алгоритм швидкого перетворення Фурье, що приводить до 0(М2М) арифметичних операцш, яю потр1бно здшснити для реал1заци методу.

Список опублшованих po6it по теки дисертащ!

1. Макаров В.Л., Макаров C.B. О точности разностных схем для квазилинейных эллиптических уравнений в ромбе с решениями из класса 1<£й4.// Дифф.урав-ния, 1989, т.25, N7, с. 1240-1249

2. Макаров В.Л, Макаров C.B., Москальков М.Н. Спектральные свойства разностного оператора Лапласа на шестиугольной сетке и некоторые их применения. / / Дифф.урав-ния, 1993, т.29, N7, с. 1216-1221

3. Макаров В.Л., Макаров C.B., Москальков М.М. Швидкий алгоритм розв'язування раницево! задач1 Дфихле на шестикутньому шаблон! для ршняння Пуасона у пря-мокутнику.//Зб.Обчислювальна та прикладна математика, вип.77, ТВ i МС, Ки1в,1993, с.19-26

Макаров C.B. Разностные схемы для эллиптических уравнений второго порядка на шестиугольных сетках. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.07 • вычислительная математика. Киевский национальный университет им. Тараса Шевченко. Киев, 1995,

Защищается диссертация, в которой изучаются разностные схемы для эллиптических уравнений второго порядка на шестиугольных сетках. Построены и исследованы разностные схемы с согласованными оценками скорости сходимости для ромба и прямоугольника. В явном виде решена задача о собственных функциях и собственных значениях для разностного оператора Лапласа на шестиугольной сетке.

The dissertation maintained studies difference schemes For the second order elliptic equations on hexagon grids. There were constructed and studied the schemes with consistent estimates of order of accuracy for rhombus and rectangle. In explicit form there was solved the problem about eigenfunctions and eigenvalues for Laplas difference statement on hexagon grid. There was constructed the efficient method for solving difference Dirichlet problem for Poisson equation on hexagon grid in rectangle.

Ключов1 слова: р1зницев! схеми, шестикутш ci™, узагальнеш розв'язки, влас-Hi функцп, власш значения, швидке перетворення Фурье, anpiopm ощнки.