Разностные теоремы вложения и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Р(8

1 7

МИНИСТЕРСТВО ПО ДЕЛАМ НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИШРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ юл..ЛЕНИНСКОГО

КОМСОМОЛА

На правах рукописи уда 517.98

МУХАМБЕТ1АНОВ Асилбек Таяапеденович РАЗНОСТНЫЕ ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1993

'"Работа выполнена в Алма-Атинском государственном университете имени Лбая

Научные руководители - член-корреспондент ИЛ РК, доктор

фессор Ш.С.Сглагулов .

кандидат физико-математических наук, с.н.с. А.Т.Булабаев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук;

пра|)ессор В.А.Цецохо

кандидат физико-математических наук В.В.Шолухин

Ведущая организация: Институт математики Сибирского

отделения РАН /г. Новосибирск/

Защита состоится " </ " ¿¿¿^/¿Л-_ 1993г. в "/¿"часов на заседании специализированного совета К 063.98.04 по присуждению учено!! степени кандидата физико-математических наук в Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, г.Новосибирск - 20, ул.Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НГУ .

Автореферат разослан "><■/ " ¿^¿^/¿С^Л- Г„'93г.

/Ътготгтлг\«л»г»гглт*'атт1ттл/>т»т»V ит№ ТТТ\Г\

Учений секретарь спецна-лизированного совета ^

д.::1.-м.н. <уз- В.В.Капитонов

ОБЩАЯ ХЛРАКГЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Весовые пространства естественным об-разоы возникают при рассмотрении дн'Ьференциалышх уравнений /теоремн влокения/ пространств с весом изучались во многих работах. М.Отелбаеву, введя специальные усреднения весовых функции, удалось получить двусторонние оценки норм некоторых опо-раторов вложения, критерии дискретности спектра к оценки функции распределения спектра некоторых полуограничонише операторов.

Если аппарат теории вложения пространств функции с непрерывным аргументом хорошо развит, то теоремы влокения с диск-ротним аргументом развит относительно слабо. Так как на практике да ференциалыше уравнения с переменными коэффициентами часто решают методсм конечных разностей, что требует различных априорных оценок, то интерес к теоремам вложения весовых пространств функции с дискретным аргументом /разностные тооре-мы вло:кекия/ в настоящее время возрастает. Применения разностных теорем влояения для исследования разностных схем занимались Годунов С.К., Рябеньков 3.G., Марчук Г.И., Самарский A.A., Андреева В.Б.

Как показали раоотц Ыусшвшова Б. и Отелбаева i.1.0., Смак-лова E.G. дискретный вариант усреднения ¡.1. Отело'аева является эффективным инструментом при исследовании вопросов о разностных теоремах вло:;;екия, свойств разностных операторов и т.п. В данной работе используя различные вдцы дкекро'хных усреднений, нссло:;овалы вопросы теории влохенпя пространств функции с дискретным1. аргументом и оценки аппроксимативных чисел оператора вложения.

Цель работы, заключается в цсследоишши разностной теоремы вложения в двумерном случае и оценку но; мы оператора вложения в двумерном случае, приближение к конечномерному оператору.

Научная новизна. Получены „.цустороаиие оценки норм операторов вло;:;ешл совпала .шле по порядку и кратера: предкомпакт-ности ограниченного множества весового пространства Соболева в П!юстуансти& j.ooera, а так:.:е получено оце:пш аллроксюлатив-!iUX спороторов ВЛи'ХПКЯ.

¡..В основу исследования положены дискретный вариант усреднения М.Отелбаева, методы теории разностных схем, а также методы теорий фуикшй.

• Теоретическая и практическая значимость результатов. Работа имеет теоретически: характер и монет быть использована при численных решениях диаферснциальных.уравнений с переменны-ки коодащпентшл: в конечных разностных методах, устойчивость разностных решений в пространстве,-

Апробация шботц. Результаты диссертация догладывались на конференции "По теории функции и приближений" /г.Караганда 1Б91г./, на семинарах лаборатории численных мотодоз решений' обратных задач /рук. профессор С.И.Кабашшш/, на кафедре тео-рстическо:: механики ИГУ /рук. чл.-кор. РАН В.Н.Монахов/, на кафедре прикладного анализа КазГНУ /рук. профессор Ш.С.Смагу-лов/, на кайедро функционального анализа КазГ.:1У /рук. профессор Н.Т.Те!.э1ргатаеЕ и доцент К.И.Наурызбаев/, на сешнаре ка'Ьедры мат.анализа /рук. профессор А.А.Венсикбаов/.

Публикации. Но теме диссертации опубликованы 3 работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы кз 53 наименования. Общий объем диссертации! 64 страшны машинописного текста.

С0ДЕР1Ш-Л1Е РАЬОТЫ

Введение содержи' краткий обзор работ по теме исследования и основные результаты дассоргч.щ&.

Персея гл:эа состоят из вьоге:шя и трех иарагрс/г-св. Во введении определены: пространство \\[ р (и, Я?") — аналогам весового пространства Соболева и 2Х) ,

пространство С - сут.и/л.уеиых зекторов. Приведем опродоло-кия. ,

г-гХ

Пусть -С - шогхство пар с целочислешаи: ксордшата'/л.

Определение. .'^¡о.-коство всех векторов Ц = 5

(м 1и) £ 21 ] с компонента:/'п , «*е*«кх

конечную иор:лу

(Л

Vfl / »

/ st^p itfeJ, 1 m&Z* * -

^CX1). f „4?

. I,Множество всех векторов K.=^» ^ i**1'6 .J

обозначил через

Определение. I,Множество всех векторов

тлеющих конечную ношу: .,

/ t~—г Р О р\1/р

Cm.!' I .

Ч^2) Wz4 '

Обозначим через Д^^ %н »

£иг - разности первого порядка, взятые в точке (£, vn,) , вектор

с неотрицательными координатами, у которого хотя бн одна ненулевая. Первая цифра нумерации означает номер главы.

Второй параграф посвящен изучению теоремам влояешш и компактного влоиения VTp (U", S*) С*. -l^C Z*) в случае р ^ . Получены двусторонние опенки норм операторов вложения

nF1,= sap JiMMïi

" 11 o+neWÎKZ1) Mw;(«;z*)

совпадающие по порядку и критерий предкомпактностн ограниченного шохсества пространства ЛлТр (U", 2*) в пространстве • Оценки норм оператора влоиения

Е • Wр 2*) 1—^ ^(Я*) даотсв в

терминах

Аг =

ст.

где

С,

С 4-к? Л + К

*0• (АК+4)

Через С1 , С^ , С^ ,... обозначен константы зависящие только от р и с^ . Положил

со; = *г): I -«5 4 и ,

Ои.енка сверху норм оператора вложения выводится из локальных опенок, доказанных в следующей лег,еле.

Леша 1.5. Пусть ¿1<р<оо, тогда для любого вектора , ( Ч, т.) € ^ 2 |

лппятда тгтш-са пттпшгя •

справедлива оценка

ч

где

4 '

Следующей .лемме утверздают переход с невесовой нормой к весовой норме: •

Леша 1.7> Для любого вектора 2. (

выполняется неравенство:

»чрГЧ^ у

где 11^1|,.му.г „ . - определяется как

«/у^Сл^Л ^

пространство И^Н^/Ди-, 21) . только на области с^ .

Переход из области на 2т-1 получаем из теоремы

Ьезиковича ' ' , но четвертое свойство, когда область за счет

производной вектора U = | ,, (t 2 } расширяется , нам понадобилось дополнительное свойство.

Лемма 1.2- Предположим, что вес Ü" - удовлетворяет условию М = S«f

Тогда существует множество пар (4S, обладающее свойствами:

I/ Iх с. и CJ. • •

2/ не существует S, S , такие, что сд-^^с. '■>

3/ кавдая пара (Ч, j) принадлежт не бола в чем 0 -

множествам вида со,- ? , где 9 - зависит только от s о s

? " ^ '

4/ кандая пара (С, j) принадлежит не более чем 4 О множествам вида с*)1 .

Четвертое свойство наг,; помогает когда область со^ на единицу больше т.е. со^ , получаем ответ точно *"•) принадлежит сколько множествам вида 60

Оценка снизу нормы оператора вдояешя получается с помощью построения пробных векторов, в описанной в ле;т.;е I.I.

Ле.лла I.I. Для любого (£, 2 существует

вектор Ц^' с носителем SteppС ^{»i, такой, что

Щтч , ' ^А Jui, , ч

WpCir, Ем- tyw^

Необходимое н достаточное условие втонения пространства

Wp 2*) получено в теоремах I.I, и критерхй компактности теоремах 1.2.

Приведем их '¿оредшровкв:

Теорема I. Пусть р > Д, . Тогда пространство вло;кено в , тогда и только тогда, клгда

\Г*< оо.

Причем для нормы оператора влоиения

Е : Wi С«", 2г) ,--> L(Zl) имеет :.;есто

опенка С^ А '.

Теорема 1.2 Пусть > р > X . Влокения

"Wn CL компактны тогда и только тогда, когда

р =* с

-¡У? -р.

В третьем параграфа получены двусторонние оценки норм оператора влояения при р > с^ - и компактно вложения

Оценки, норм оператора вложения в случае р > % .

21) ь—дамт в терминах величину Д . ,

"" .«а™)

А = 2_ ^ ,

АЬс определено в параграфе I. Оценку сверху нормы оператора вложения выводится из локальных оценок как в предыдущем параграфе и используем неравенство Гельдера.

Оценка снизу норлы оператора вложения тоже получаем с помощью построения пробных векторов, которой их носители не пересекаошиеся.

Приведем формулировки теорем: Теорема 1.3. Пусть ^ . Тогда

. I/ Для Ело;;сення пространств \л/"р в пространство ^ необходимо н достаточно, чтобы

а =2- К^ .

2/ Д'л нормы оператора вложения [Е 1 —> справедливы оценки:

Теорема 4. Пусть р > 1чдх Ч ) . Тогда для компактности влсшлшя пространства

в пространства исоуходкио и достаточно, чтобы

. /\< ¿О-

Вторая глава состоит из предварительных сведений и двух параграфов. §1 и 2 получены двусторонние оценки аппроксимативных чисел оператора вложения £ \д|р -> , Р -1-

при следующем предположении на весовую функцию

В предварительном сведении дано определение аппроксимативных чисел / Сь - чисел см. в гл. 2/, понятие считающие функции О, - чисел оператора Е

Параграф)) I содержит верхние оценки функции распределен'ш С1 - чисел. Оно выводится из опенок функции распределений

чисел операторов сугсения, заданных локально. Это утверждение доказано в леглле 2.1. Основные результаты параграфа сформулированы в теоремах 2.1.

Теорема 2.1. Предположим, что А?г< оэ • Тогда

В паратрг^е 2 получены нпкнке оценки фунирш распределения - чисел оператора вложения Е: "\л1р —> ^ .

В этом параграфе вводится понятие особой точки

Точку (С, £ [¡с. будем называть особой, если

>4. ;> неособья точка, ссли Ц^ ^ 4' Лемма 2.6. утверждает, что если (С, - пессобая точка и Л ^ , то во ююнестве

найдется достаточно много точек, к которым выполняются неравенство

вхождением параметра 31

•Введется метрика между точками и множествами следующим образом

?((ц- ¿ЛЛ1«..Ц =1^-¡>1+и-,

Леша 2.7. утверздает, что при условии и и З^Ац^ при всех к

считающей функции Н , Е) оценивает снизу выражением

гдо

^ 1 В доказательстве лемма 2.7.

при условии Nа -{(«.$, .к),/ ^^4. , 0 |

выбранном множество, чтобы множества не пересекались и расетоя-лше 5> , 0.г) > 1 выбирается точки

так, если множество • содержит СГ*. (Ц

точек, то из стих точек выбирается 07. / г>6 .А всех

трех шоясествах (

•. У*. =0? М

4л$ -5' ^ з чтобы этим множеством вшеуказан-ных условии выполнялось, оерется половина точек и на этих точках строится пробная вектора.

Основные результаты работы сформулированы в теоремах. Теорема 2.2. Пусть £< р < ^ < оо

выполняется услов::я М = ^и^р < со , /\ ^^ < ОО.

То г да

В доказательства теоремы рассматриваются множества { ■ I ■ где

н покрывает все множества такими множествами, и в каж-

дом множестве применяет утверждение леша 2.7.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

ЬБулабаев А.Т., Мухамбетжанов А.Т. " квп- еми.ем%с

1>гао"/Изв. АН РК, сер. физ.- мат. журнал, 1992г., №3.

2.Булабаев А.Т., Мухамбетканов А.Т. "Об одном разностном операторе вложения"/?ез. докл. Респ. конф. "по теории функций и приблежения" г.Караганда, 1991г.

3.Булабаев А.Т., Мухамбетжанов А.Т. "О некоторых разностных теоремах вложения" /Сб. КазГ'НУ 1993г.

4.Мухамбетжанов А.Т. "Оценки аппроксимативных чисел оператора вложения" /Тез. докл. науч. конф. "Применение методов теорий функций и функционального анализа к задачам математической физики""/¿лматы, 1993г.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность чл.-корр. ИА РК, профессору Ш.С.Смагулову и к. ф.-м. н. А.Т.Булабаеву за руководство и ценные советы при выполнении работы.

Подписано к печати 26.04.93

Формат бумаги 60 х 84 1/16. Заказ к? 262 Тираж 100

Обьем 0.75 п.л., I уч. - изд.л. экз.

Ротапринт Новосибирского государственного университета 630090, Новосибирск - 90, Пирогова, 2.