Разработка формализованного подхода к построению определяющих соотношений для сложных сред при конечных деформациях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

1 Введение

1.1 Определяющие соотношения.

1.2 Конечные неупругие деформации

1.2.1 Упругопластические деформирование.

1.2.2 Вязкоупругое деформирование.

1.2.3 Подходы к описанию сложных сред.

1.3 Краткая характеристика работы

2 Определение объективной производной в эволюционном уравнении состояния

2.1 Деформация сплошной среды

2.2 Тензоры напряжений

2.3 Формализация определения объективной производной

2.3.1 Материалы релаксационно-дифференциального типа

2.3.2 Вязкоупругая среда Максвелла.

2.3.3 Среда дифференциального типа.

Исследованию поведения материалов при конечных (больших) деформациях и построению для них определяющих соотношений уделяется большое внимание в механике сплошных сред. Прежде всего это связано с широким распространением технологических процессов обработки материалов (например обработка металлов давлением) и различных режимов работы конструкций, элементы которых (эластомеры) испытывают конечные деформации. Как правило, нельзя чётко выделить какой-то один тип (вид) поведения - упругий, пластический или вязкий. В большинстве случаев материалы проявляют совокупность этих свойств и, в значительной мере, это определяется самим технологическим процессом или условиями, в которых работает конструкция. Для металлов прежде всего характерно упругопластическое поведение, тогда как для резиноподобных материалов определяющим является упругое или вязкоупругое поведение. Вместе с этим можно выделить класс полимерных материалов, которые проявляют сложное упруговязкопластическое поведение. Модели упругого, упругопластического и вязкоупругого поведения материала достаточно полно разработаны для малых деформаций и хорошо известны. В последующем обзоре рассмотрено текущее состояние проблем, связанных с описанием сложного поведения материалов при конечных деформациях и определены необходимые и возможные на сегодняшний день направления дальнейшего исследования.

1.1. Определяющие соотношения

Существует большое количество работ, посвящённых изложению различных разделов механики сплошных сред. Самые распространённые работы это монографии А.И.Лурье /40, 41/, К.Ф.Черных /75/, Л.И.Седова /68, 69/, А.Грина и Дж.Адкинса /9/. Изложение механики сплошных сред как единого целого осуществлено в широко известной книге К.Трусделла /72/. В ней автор, полагая механику разделом математики и используя терминологию, допускающую строгую формализацию, рассматривает базовые понятия механики сплошных сред, выводит общие требования к определяющим соотношениям и получает основные следствия для конкретных сред. На сегодня установлено и общепризнанно, что определяющие уравнения (уравнения состояния) должны удовлетворять законам термодинамики, принципам инвариантности, некоторым аксиомам и дополнительным неравенствам. Основные моменты применения термодинамических неравенств к определяющим соотношениям рассмотрены в работах /11, 13, 20, 41, 54, 55, 56, 68, 72/. Требования к уравнениям состояния, вытекающие из второго начала термодинамики, рассматривались для неньютоновских жидкостей в /3/. В этих работах устанавливается общая структура уравнений состояния, определяются ограничения на термодинамические параметры.

Приниципы инвариантности вводятся /4, 11, 13, 20, 41, 54, 55, 60, 72/ для постулирования независимости определяющих соотношений от выбора системы отсчёта и некоторых преобразований начальной конфигурации. Все векторные и тензорные величины, связанные с телом (вмороженные в тело), не меняются относительно тела ни по величине, ни по направлению при жёстком движении тела. Относительно пространства они преобразуются в соответствии с соотношениями индифферентности. В /40, 72/ показано, что для изотропных твёрдых тел принцип объективности будет выполняться, если уравнения состояния являются изотропными тензорными функциями своих аргументов. В.А.Пальмов /54, 55/ дал термодинамическую формулировку принципа материальной независимости от системы отсчёта. Он ввёл понятие "Q-движения", для которого должны выполняться и первый, и второй законы термодинамики, и показал, что независимость определяющих уравнений от системы отсчёта вытекает из объективности входящих скалярных величин (плотностей свободной и внутренней энергий, функции диссипации и производства энтропии). При формулировке определяющих соотношений в скоростях, что часто имеет место для диссипативных сред, принцип объективности может нарушаться. Этот вопрос достаточно давно обсуждается и существует огромное количество работ, посвящённых этой проблеме, например /3, 20, 26, 27, 28, 33, 41, 59/. Как правило, входящие в уравнение состояния скорости тензоров (тензор напряжений) заменяют на какую-либо объективную (коротационную) производную, тем самым восстанавливая объективность уравнения, но порождая неоднозначность в определении типа производной. Существует много объективных производных - Яуманна, Олдройда, Коттер-Ривлина, Трусделла, Хилла и др. Большинство авторов предпочитают производную Яуманна, что, как показано в /84, 85/, может привести к абсолютно нефизичным результатам.

В качестве аксиом в теории определяющих соотношений обычно используются принципы детерминизма и локального действия /59, 72/. Первый утверждает, что напряжённое состояние в актуальной конфигурации /с, соответствующей моменту времени в материальной частице с радиус-вектором Rимеющей в отсчётной конфигурации ко радиус вектор г(^), однозначно определяется предысторией движения в теле вплоть до момента времени t. В /14/ А.А.Ильюшин сформулировал принцип детерминизма в иной форме под названием общего постулата изотропии. Принцип локального действия исключает возможность влияния на напряжения в любой частице движений других частиц, расположенных как угодно далеко от данной. Он утверждает, что напряжения в данной частице в произвольный момент времени однозначно определяются историей деформирования некоторой малой окрестности рассматриваемой частицы. Материалы, история которых описывается градиентом деформации VR первого порядка, называют простыми. В данной работе рассматриваются только такие материалы. В книге Трусделла /72/ отмечается, что принципы детерминизма и локального действия, совместно с принципом объективности, впервые были сформулированы Ноллом в 1958 г.

6. Заключение

1. Разработан формализованный подход к построению корректных эволюционных определяющих соотношений сложных сред при конечных деформациях, основанный на кинематике наложения малых деформаций на конечные и использовании имитационного моделирования (при участии автора). При этом все величины, определяющие кинематику и напряжённое состояние "безконфликтно" и при минимуме дополнительных предположений нашли своё место и объяснение.

2. Используя этот подход: a) получены термодинамически допустимые определяющие соотношения для конечных упругопластических деформаций (конечные упругие и конечные пластические), которые проанализированы на тестовой задаче простого сдвига при сжатии (при участии автора). b) построена модель слабосжимаемой вязкоупругой среды с дискретным спектром времён релаксации (авторский результат) и осуществлена идентификации параметров (авторский результат). Проведён анализ качественного поведения модели.

3. Осуществлена вариационная постановка краевой задачи для среды п.2(b) (авторский результат), разработан алгоритм и получены соотношения для численной реализации МКЭ (авторский результат). Алгоритм тестирован на задаче простого сдвига при сжатии вязкоупругого слабосжимаемого материала и использован при решении краевой задачи о наддуве и закрутке внешней поверхности полого цилиндра конечной длины из вязкоупругого слабосжимаемого материала, на примере которой продемонстрировано взаимовлияние слабой упругой сжимаемости и вязкости (авторский результат).

1. Адамов А.А. Описание вязкоупругого поведения несжимаемых и слабосжимаемых материалов при конечных деформациях. Дисс. канд.-физ.-мат. наук, М.: МИЭМ, 1980, - 177 с.

2. Адамов А. А. К построению нелинейной модели вязкоупругого поведения наполненных резин при конечных деформациях // Каучук и резина, 1996, №5, стр.27-30.

3. Астарита Дж., Марруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М.: Мир, 1978, - 309 с.

4. Бровко Г.Л. Некоторые подходы к построению определяющих соотношений пластичности при больших деформациях // Упругость и неупругость. Сб. научн. тр. М.: МГУ, 1987, стр.68-81.

5. Валанис К.С. Обоснование эндохронной теории пластичности методами механики сплошных сред // Труды Американского об-ва инж.-мех. Теоретич. основы инженерных расчётов, 1984, т.106, № 4, стр.72-84.

6. Васин Р.А. Некоторые вопросы связи напряжений и деформаций при сложном нагружении // Упругость и неупругость. М.: МГУ, 1971, вып.1, стр.59-126.

7. Горлач Б.А. Математическое моделирование процессов формообразования неупругих тел. М.: Изд-во МАИ, 1999, - 216 с.

8. Гохфельд Д.А., Садаков О.С. Пластичность и ползучесть элементов конструкций при повторных нагружениях. М.: Машиностроение, 1984, - 256 с.

9. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965, - 456 с.

10. Дымников С.И., Мейерс И.Р., Эрдманис А.Г. Упругие потенциалы для слабосжимаемых эластомерных материалов // Вопросы динамики и прочности, Рига, 1982, Вып.40, стр.98-108.

11. Дэй У.А. Термодинамика простых сред с памятью. М.: Мир, 1974, -187 с.

12. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975, -544 с.

13. Ильюшин А.А. Механика сплошных сред. М.: МГУ, 1978.

14. Ильюшин А.А. Пластичность.Основы общей математической теории. -М.: Изд-во АН СССР, 1963, 272 с.

15. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970.

16. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001, - 704 с.

17. Качанов JI.M. Основы теории пластичности. М.:Наука, 1969, - 420 с.

18. Кожевникова J1.JL, Кузнецов Г.Б., Роговой А.А. Равновесие тел вращения под действием масовых сил. М.: Наука, 1983, - 102 с.

19. Карнаухов В.Г., Сенченков И.К., Гуменюк Б.П. Термомеханическое поведение вязкоупругих тел при гармоническом нагружении. Киев: Наукова думка, 1958, - 288 с.

20. Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред. М.: Мир, 1979, - 300 с.

21. Кондауров В.И. Уравнения релаксационного типа для вязко-упругой среды с конечными деформациями // Прикладная математика и механика, №49, 1985, стр.791-800.

22. Кондауров В.И. Конечные деформации упруговязкопластических сред. Автореф. дисс. докт. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1987, - 44 с.

23. Кондауров В.И., Никитин JI.B. Конечные деформации вязко-упругих тел // Прикладная математика и механика, №51, 1987, стр.443-452.

24. Кондауров В.И., Никитин JI.B. Конечные деформации вязкоупругих мышечных тканей // ПММ, 1987, т.51, вып.З, стр.443-452.

25. Коновалов А.В. Определяющие соотношения для упругопластической среды при больших пластических деформациях // МТТ, №5, 1997, стр.139-147.

26. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. -Новосибирск: Издательство СО РАН, 2000. 262 с.

27. Коробейников С.Н. Естественные тензоры напряжений // Прикладная механика и теоретическая физика, 2001, т.42, N-6, стр.152-158.

28. Коробейников С.Н. Объективные производные Ли тензоров в механике сплошной среды. Труды 3-ей Международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск: Институт вычислительного моделирования СО РАН, 2002, стр.133-139.

29. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974. -338 с.

30. Кукуджанов В.Н. Численное моделирование динамических процессов деформирования и разрушения упругопластических сред. Успехи механики, 1985, т.8, вып.4, стр.21-65.

31. Лавендел Э.Э., Хричикова В.А., Лейканд М.А. Расчёт жёсткости сжатия тонкослойных резинометаллических элементов // Вопросы динамики и прочности, Рига, 1981, Вып.38, стр.57-63.

32. Левин В.А., Зингерман К.М. Плоские задачи теории многократного наложения больших деформаций. Методы решения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 272 с.

33. Левитас В.И. Большие упруго-пластические деформации материалов при высоком давлении. Киев: Наук, думка, 1987, - 232 с.

34. Левитас В.И. Теория больших упругопластических деформаций при высоком давлении // Проблемы прочности, №8, 1986, стр.86-94.

35. Левитас В.И. Структура определяющих соотношений для упруго-пластических композитов при конечных деформациях // Докл. АН УССР, Сер. А. Физ.-мат. и техн. науки, 1989, №3, стр.43-47.

36. Левитас В.И. К теории больших упруго-пластических деформаций // Докл. АН УССР, 1983, №11, серия А, стр.48-53.

37. Лейканд М.А., Лавендел Э.Э., Львов С.В., Болотин В.З. Исследование объёмной сжимаемости резины // Механика эластомеров, Краснодар, 1983, Вып.2, стр.4-8.

38. Лейканд М.А., Лавендел Э.Э., Львов С.В., Тарновский Г.И. Исследование жёсткости сдига тонкослойных резинометаллических элемнетов при действии сжимающих нагрузок // Механика эластомеров, Краснодар, 1981, Вып.2, стр.83-86.

39. Ли Е.Х. Упруго-пластическое деформирование при конечных деформациях // Прикладная механика, 1969, №1, стр.1-8.

40. Лурье А.И.Теория упругости. М.: Наука, 1970, - 940 с.

41. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980, - 512 с.

42. Маркин А.А. Вариант уравнений состояния и формулировка краевой задачи для конечных упруго-пластических деформаций. Автореф. докт. диссер., М.:МГУ, 1988, - 38 с.

43. Маркин А.А. Определяющие соотношения конечного упругопластичес-кого деформирования. ДЕП. в ВИНИТИ, №2358-85ДЕП, 1985.

44. Мидлман С. Течение полимеров. М.: Мир, 1971, - 259 с.

45. Москвитин В.В. Циклические нагружения элементов конструкций. -М.: Наука, 1981, 344 с.

46. Москвитин В.В. Сопротивление вязко-упругих материалов. М.: Наука, 1972, - 328 с.

47. Мошев В.В., Свистков А. Л., Роговой А.А. и др. Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов. Екатеринбург: УрО РАН, 1997, - 507 с.

48. Никитин JI.B. Об анизотропии упругих сред с. начальным напряжением // Известия академии наук СССР, Физика Земли, №12, 1983, стр.23-33.

49. Никитин Л.В. Направления развития моделей упруговязкопластичес-ких тел // Механика и научно-технический прогресс, т.З. Механика деформируемого твердого тела, М.: Наука, 1998, стр.136-153.

50. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред.- М.: Мир, 1976, 464 с.

51. Огибалов П.М., Ломакин В.А., Кишкин Б.П. Механика полимеров. -М.: МГУ, 1975,- 528 с.

52. Отчёт о НИР: Развитие феноменологических уравнений нелинейной теории ползучести наполенного полимера. Т.2 № ГР 72056905, инв.№ Б464019, Институт механики сплошных сред УрО РАН, Кузнецов Г.Б.^Адамов А.А., Пермь, 1975, - 108 с.

53. Отчёт о НИР: Экспериментальное исследование механического поведения эластомеров при сложном напряжённом состоянии. -№ ГР 81103220, инв.№ 02.84.0084981, Институт механики сплошных сред УрО РАН, Мошев В.В., Кузнецов Г.Б., Пермь, 1984, 187 с.

54. Пальмов В.А. Колебания упругопластических тел. М.: Наука, 1976,- 328 с.

55. Пальмов В.А. Термодинамическое обоснование "принципа материальной независимости от системы отсчёта". Вопросы нелинейной механики сплошной среды. Таллин: Валгус, 1985, стр.27-31.

56. Пальмов В.А. Принципы термодинамики в теории определяющих уравнений // Математические методы механики деформируемого твёрдого тела. М.: Наука, 1986, стр.112-118.

57. Пальмов В.А. Сравнение методов декомпозиции деформации в нелинейной вязкоупругости и упругопластичности. Упругость и неупругость. Сб. научн. тр. М.: МГУ, 2001,'стр.81-87.

58. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации. М.: Наука, 1986, - 232 с.

59. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М.: Наука, 1963, 312 с.

60. Прагер В. Элементарный анализ определений скорости изменения напряжений. Механика, сб.перевод., 1960, 232 с.

61. Роговой А.А. Развитие теории конечных упругих и упругопластичес-ких деформаций и решение контактных задач. Диссерт. докт. физ.-мат. наук. Санкт-Петербург, 1993, - 362 с.

62. Роговой А.А. Уравнение состояния и функционал для слабосжимаемых и несжимаемых материалов при конечных деформациях // Механика эластомеров, 1988, стр.72-88.

63. Роговой А.А., Кузнецова В.Г. Эффект учёта слабой сжимаемости материала в упругих задачах с конечными деформациями // Известия РАН. Механика твёрдого тела, 1999, №4, стр.64-77.

64. Роговой А.А., Кузнецова В.Г. Эффект учёта слабой сжимаемости эластомеров. Осесимметричная задача. Аналитическое решение // Известия РАН. Механика твёрдого тела, 2000, №6, стр.27-37.

65. Роговой А.А., Новокшанов Р.С. О построении эволюционных определяющих соотношений для конечных деформаций // Известия РАН. Механика твёрдого тела, 2002, №4, стр.77-95.

66. Роговой А.А., Новокшанов Р.С. О построении эволюционных определяющих уравнений // Математическое моделирование систем и процессов. Сб. научных трудов, №9, Пермский государственный технический университет, Пермь, 2001, стр. 103-109.

67. Седов Л.И. Введение в механику сплошных сред. М.: Физматгиз, 1962.

68. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Издан, второе, исправл. и дополн. М.: Наука, 1973, т.1. - 536 е., т.2 - 584 с.

69. Сургуладзе Т.А. О некоторых применениях операторов дробного порядка в вязкоупругости. Автореф. дисс. д.ф.-м.н., М: МГУ, 2002, -11 с.

70. Толоконников Л.А., Маркин А.А. Определяющие соотношения при конечных деформациях // Проблемы механики деформируемого твердого тела. Калинин: КГУ, 1986, стр.49-57.

71. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975, - 585 с.

72. Трусов П.В. Большие упругопластические деформации: некоторые аспекты теории и приложения // Прикладные проблемы прочности й пластичности. Численная реализация решения физико-механических задач. Горький: ГГУ, 1984, стр.116-126.

73. Трусов П.В. К обобщению теории упругопластических процессов Ильюшина на случай больших пластических деформаций // Общие задачи и методы исследования пластичности и вязкоупругости материалов и конструкций. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986, стр.116-122,

74. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчётах. Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1986, - 336 с.

75. Черных К.Ф., Шубина И.М. Об учёте сжимаемости резины. Механика эластомеров, Краснодар, КГУ, 1978, т.2, стр.56-62.

76. Anand L. A constitutive model for compressible elastomeric solids j j Computational mechanics, v. 18, 1996, pp.339-355.

77. Bathe K.-J., Ozdemir H. Elastic-plastic large deformation static and dynamic analysis // Computers and Structures, 1976, v.6, pp.81-92.

78. Bonet J. Large strain viscoelastic constitutive models // Int.J.Solids Structures, 2001, v.38, pp.2953-2968.

79. Bergstrom J.S., Boyce M.C. Constitutive modeling of the large strain time-dependent behavior of elastomers // J.Mech. Phys. Solids, 1998, v.46, №5, pp.931-954.

80. Bergstrom J.S., Kurtz S.M., Rimnac C.M., Edidin A.A. Constitutive modeling of ultra-high molecular weight polyethylene under large-deformation and cyclic loading conditions // Biomaterials, 2002, v.23, №23, pp.23292343.

81. Boyce M.C., Socrate S., Liana P.G. Constitutive model for the finite deformation stress-strain behavior of poly(ethylene terephthalate) above the glass transition // Polymer, 2000, v.41, pp.2183-2201.

82. Cescotto S, Fonder C. A finite element approach for large strain of nearly incompressible rubber-like materials // Int. J. Solids Structures, 1975, v.15, pp.589-605.

83. Dafalies Y.F. Corotational rates for kinematic hardening at large plastic deformations // Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1983, 50, 561-565.

84. Dienes J.K. On the analysis of rotation and stress rate in deforming bodies // Acta Mechanics, 1979, v.32, n.2, pp.217-232.

85. Drozdov A.D. A model of cooperative relaxation in finite viscoelasticity of amorphous polymers // Int.J. Non-Linear Mech., 2000, v.35, pp.897-909.

86. Eldred L.B., Baker W.P., Palazotto A.N. Numerical application of fractional derivative model constitutive relations for viscoelastic materials // Int.J. Сотр. Struct., 1996, v.60, №6, pp.875-882.

87. Enelund M., Lennart M., Kenneth R., Lennart B.J. Formulation and integration of the standard linear viscoelastic solid with fractional order rate laws // Int.J. Solids and Structures, 1999, v.36, pp.2417-2442.

88. Haupt P., Lion A., Backhaus E. On the dynamic behaviour of polymers under finite strains: constitutive modelling and identification of parameters // Int.J. Сотр. Struct., 2000, v.37, pp.3633-3646.

89. Holzapfel G.A., Simo J.C. A new viscoelastic constitutive model for continuous media at finite thermomechanical changes // Int.J. Solids Structures, 1996, v.33, №20-22, pp.3019-3034.

90. Jung G.D., Youn S.K., Kim B.K. A three-dimensional nonlinear viscoelastic constitutive model of solid propellant // Int.J.Solids Structures, 2000, v.37, pp.4715-4732.

91. Kondaurov V.I., Kukudjanov V.N. On constitutive equations and numerical solution of the multidimensional problems of the dynamics of nonisothermic elastic-plastic media with finite deformations // Archives of Mechanics, 1979, v.31, n.5, pp.623-647.

92. Lee E.H. Elastic-plastic deformation at finite strain // Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1969, 36, 1-6.

93. Levin V.A. Theory of repeated superposition of large deformations: elastic and viscoelastic bodies // Int.J. Solids Structures, 1998, v.35, №20, pp.2585-2600.

94. Lion A. A physically based method to represent the thermomechanical behavior of elastomers // Acta Mechanica, 1997, v. 123, 1-25.

95. Lion A. On the thermodynamics of fractional damping elements // Cont. Mech. Termod., 1997, v.9, pp.83-96.

96. Lion A. Thixotropic behaviour of rubber under dynamic loading histories: experiments and theory // Accepted to Int.J. Mech. and Phys. of Solids.

97. Lion A. On the large deformation behaviour of reinforced rubber at different tempertures // Int.J. Mech.Phys.Solids, 1997, v.45, №11/12, pp.1805-1834.

98. Lion A. A physically based method to represent the thermomechanical behaviour of elastomers // Acta Mechanica, 1997, v.123, pp.1-25.

99. Lion A. A constitutive model for carbon black filled rubber. Experimental investigation and mathematical representation // Continuum Mechanics and Thermodynamics, 1996, v.8, pp.153-169.

100. Lucchesi M., Podio-Guidugli P. Materials with elastic range and the possibility of stress oscillation in pure shear // Comput. Plast., Swansea, 1987, pp. 71-80.

101. McMeeking R.M., Rice J.R. Finite element formulations for problems of large elastic-plastic deformation // Int. J. Solids and Structures, 1975, v.11, n.5, pp.601-616.

102. Miehe C., Keck J. Superimposed finite elastic-viscoelastic-plastoelastic stress response with damage in filled rubbery polymers. Experiments, modelling and algorithmic implementation // Int. J. Physics of Solids, 2000, v.48, pp.323-365.

103. Nedjar B. Frameworks for finite strain viscoelastic-plasticity based on multiplicative decomposition. Part I: Continuum formulations // Comput. Methods. Appl. Mech. Engrg., 2002, v. 191, pp. 1541-1562.

104. Nedjar В. Frameworks for finite strain viscoelastic-plasticity based on multiplicative decomposition. Part II: Computational aspects // Comput. Methods. Appl. Mech. Engrg., 2002, v.191, pp.1563-1593.

105. Nemat-Nasser S. Decomposition of strain measures and their rates in finite deformation elastoplasticity // Int. J. Solids and Structures, 1979, v.15, pp.155-166.

106. O'Dowd N.P., Knauss W.G. Time dependent large principal deformation of polymers // Int.J.Mech.Phys.Solids, 1995, v.43, №5, pp.771-792.

107. Ogden R.W. Non-linear elastic deformations. Chichester, Ellis Horwood, 1984, 532 pp.

108. Ogden R.W. Recent advances in the phenomenological theory of rubber elasticity // Rubb. Chem. Technol. 1986, V.59, p.361-383.

109. Park S.W. Analytical modeling of viscoelastic dampers for structural and vibration control // Int.J.Solids and Strutures, 2001, v.38, pp.8065-8092.

110. Reese S., Govindjee S. A theory of finite viscoelasticity and numerical aspects // Int.J.Solids and Strutures, 1998, v.35, №26-27, pp.3455-3482.

111. Rogovoy A.A. Large elastic-plastic deformations in the technological process of rotary forming of cylindrical workpieces // Metallurgy and Foundry engineering, 1994, v.20, n.3, pp.343-350.

112. Rogovoy A. Effect of elastomer slight compressibility // Eur. J. Mech.A/Solids, 2001, v.20, pp.757-775.

113. Rossikhin Y.A., Shitikova M.V. Analysis of rheological equations involving more than one fractional parameters by the use of the simplest mechanical systems based on these equations // Mech. Time-Dependent Materials, 2001, v.5, pp.131-175.

114. Penn R.W. Volume changes accompanying the extension of rubber // Tr. Soc. Reol., 1970, V.14, pp.509-517.

115. Szabo L., Balla M. Comparison of some stress rates // Int. J. Solids Structures, 1989, №25, pp.279-297.

116. Tervoort T.A., Smit R.J.M., Brekelmans W.A.M., Govaert L.E. A constitutive equation for the elasto-viscoplastic deformation of glassy polymers // Mech. Time-Dependent Materials, 1998, v.l, pp.269-291.147

117. Welch S.W.J., Rorrer R.A.L., Duren R.G. Application of time-based fractional calculus methods to viscoelastic creep and stress relaxation of materials // Mech. of Time-Dependent Matrials, 1999, V.3, pp.279-303.

118. Wu J.D., Kenneth M.L. Multiaxial and time dependent behavior of a filled rubber // Mech. of Time-Dependent Matrials, 2000, v.4, pp.293-331.

119. Yang L.M., Shim V.P.W., Lim C.T. A visco-hyperelastic approach to modelling the constitutive behaviour of rubber // Int. J. Impact Eng., 2000, v.24, pp. 545-560.