Разработка и исследование класса явнорешаемых моделей, основанных на теории расширений операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ

ОБРАЗОВАНИЮ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ТОЧНОЙ МЕХАНИКИ И ОПТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИМ УНИВЕРСИТЕТ)

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ КЛАССА ЯВНОРЕШАЕМЫХ МОДЕЛЕЙ, ОСНОВАННЫХ НА ТЕОРИИ РАСШИРЕНИИ ОПЕРАТОРОВ

Специальность 01.01.03- математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

РГБ ОД

- г ОКТ 1995

На правах рукописи УДК 517.9

ПОПОЧ Игорь Юрьевич

Санкт-Петербург 1995

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном институте точной механики и оптики (техническом университете).

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор В.М.Адамян, доктор физико-математических наук, профессор Г.М. Жислин, доктор физико-математических наук М. И. Белишев. Ведущая организация- Санкт-Петербургский государственный

университет.

Защита состоится " t? "_/¿2___199^5г.

в ' час. на заседании Специализированного Совета Д 002. 38. 04 в Санкт-Петербургском отделении математического института имени В.А.Стеклова РАН по адресу: "190000, Санкт-Петербург, Фонтанка, 27.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения математического института.

Автореферат разослан " /7 "_J2_199.?г.

Ученый секретарь Специализированного Совета

А. П. Осколков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуалькость темь'. Анализ многих физических систем наталкивается на значительные трудности. В связи с этим актуальннм представляется построение приближенных моделей, особенно явнорешаемкх, которые позволяют воспроизводить характеристики сложных систем, пряное исследование которых затруднено. Б работе предложен и изучен класс явнорешаемых моделей, основанных на теории самосопряженных расширений симметрических операторов.

Начало разработке моделей данного типа положил Э. Ферми, который квел потенциалы нулевого радиуса, позволившие решить ряд физических задач. Интенсивное применение метода потенциалов нулевого радиуса началось в шестидесятых годах. • В 1975 г. вышла монография Ю. К. Демкова и В. Н. Островского, » которой сведены воедино рззличные приложения указанного метода к задачам атомной физики, известные к середине семидесятых годон.

В 1961 г. Ф. А. Берекин и Л. Д,Фаддеев показала, что с математической точки зрения введение потенциала нулевого • радиуса есть задание самосопряженного расширения некоторого симметрического оператора. Это открыло новые возможности для развития метода. В работах А.С. Благовещенского, К.К.Лаврентьева, Я.В.Курылева в рамках данного подхода рассмотрена задача рассеяния на- кривой в трехмерном •фостранстве, В. С. Павлов и М. Д. Фаддеев предложили построить модель указанного типа для резонатора с малым отверстием. Различные приложения метода описаны в обзоре Б. С.Павлова (УМН//1987, Т. .\г. N б. Эй-131) и монографии С. Альбеверио, Ф. Гестези, Р. Хёзг-Крона, X. Холдена "Явнорешаемые модели в квантовой механике". В силу изложенного построение подобных моделей в различны:* областях представляются актуальными.

Цель работы состоят в разработке и исследовании класса моделей, основанных на теории расширений операторов, для различных физических систем, а именно,- для акустических резона торов с паль:;.:;: отверстиями и узкими щелями, стоксовых и сгратифйШфояамрих потоков в сложных областях, чднсэдектронкых систем квантовых резонаторов и квантовых ьслноводов. периодических систем квантовых точек

(антиточек).

Общая методика исследования основана на применении методов теории операторовтеории линейных уравнении в частных производных, .теории рассеяния, финики твердого тела, теории представлений групп.

Научная новизна. В работе предложен класс явкореыаемых моделей, основанных на теории самосопряженных расширений симметрических операторов. Указанный подход применяется к задачам рассеяния на резонаторах с малыми отверстиями и узкими щелями, описанию стоксовых и стратифицированных течений в сложных областях и к задачам наноэлектроникн. Реалистичность моделей различных систем оценивается разными способами (в зависимости, от их сложности). Производится сравнение модельного решения с реальным либо в общем виде Скак для резонатора Гельмгольца и модели квантовой точки как резонатора с полупрозрачной границей), либо на примере конкретных задач, либо на основании сравнительного анализа количественных и качественных результатов и эффектов, которые дает модель- и исследование соответствующей - физической системы. Описан ряд предсказанных!-моделями физических эффектов..

Практическая и теоретическая ценность. Построенные модели могут быть применены для качественного и ■количественного исследования перечисленных выше систем. Результаты работы могут быть использованы в теоретических исследованиях, и практических, расчетах, проводимых в Петербургском, Московском, Одесском, Мордовском , университетах, Петербургском отделении математического института РАН, .НИРФИ, ШФ РАН.

^Положения, выносимые на защиту. 1". Построение и анализ модели теории расширений операторов в гильбертовом пространстве и пространстве с индефинитной метрикой для резонатора Гельмгольца, а также для резонатора с узкой целью. Обоснование выбора параметров модели, .обеспечивавшего соответствие модельной и реальной задач. Получение,.асимптотики резонансов.

2. Приложения.модели к описание бегущих волн в кольцевых 'резонаторах, поверхностных волк, описанию резонансных

нффек.тов р. системе квантовых резонаторов и волноводов.

3. Подход к. линеаризованной задаче гидродинамической устойчивости с: точки зрения возмущения оператора Шредингера.

4. Построение и анализ операторной версии метода стокслетов, описание ползущих течений в сложных системах.полостей и каналов, связанных черев малые отверстия. Корректное описание взаимодействия нулевого радиуса для линеаризованного уравнения фронта пламени.

5. Вывод модифицированного уравнения Дюбрейль-Жакотен для описания течения экспоненциально-стратифицированной среды в гравитационном и электрическом полях. Разработка модели теории расширении для данного течения.

В. Подход теории расширений операторов для резонатора с полупрозрачной границей. Доказательство того, что резольвента модельного оператора есть предел резольвент соответствующих операторов с короткодействующими потенциалами. Приложение модели к описанию транспортных свойств мезос.чоппческих структур.

7. Построение п исследование модели туннелирования через нульмерную структуру при наличии магнитного поля. В. Построение и исследование модели периодической сис'* ..-«ы квантовых антиточек в магнитном поле, основанной на теории расширений операторов в пространстве Крейна. Спектральный анализ модельного оператора.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 52 работы.

Об'ем и структура работы. Диссертация состоит из введения и трех глав с автономной нумерацией формул. Содержит Й 56 страниц, 2 5 рис. и с исок литературы, содержащий 205 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении (первая глава) описана ист дрия вопроса, структура работы и основные результаты.

Вторая глава посвящена модели теории расширений операторов в задаче рассеяния на препятствии с малым отверстием пли узкой щелью и задаче о собственных колебаниях

в системе резонаторов, связанных черен малые отверстия. Данные задачи обычно сложны и не допускают •¡•очного решеш:г.. ' Однако с физической точки срения ясно, что волновая дгшяммка в такой составной области при слабой связи между резонаторами С малых радиусах отверстий) является и некотором смысле суперпоаицкей волновых динамик состав;: я ил;;; у. ее частой. В основе описываемой модели лежат две идеи. Одна из них, в сущности, восходит к Кирхгофу, предлагавшему в дифракционных задачах заменять отверстие ь экране эквивалентным точечным источником, сила которого должна быть согласована с потоком через отверстие. Возрос состой'? н умении правильно построить зтот источник, чго и позволяет сделать данная модель. Вторая из идей, лежащих в основе модели, это идея метода потенциалов нулевого радиус« из квантовой механики. Как известно, этот метод позволил создать простые модели и, благодаря атому, провести достаточно продвинутое исследование для многих сложных атомных систем. С математической точки зрения задание потенциала нулевого радиуса сводится к построению самосопряженного расширения некоторого симметрического оператора. Эту математическую схему теории расширений и предлагается использовать в задачах дифракции на резонаторах .ловушечного типа для построения эталонной задачи (модель щелей нулевой ширины). Критерий правильности пострсенпя-самосопряженность полученного оператора (корректность модели! и совпадение модельного решения или важных его характеристик с необходимой точностью с асимптотикой по радиусу отверстия (ширине щели) решения или соответствующих характеристик реальной задачи.

В общих чертах схема метода состоит ь следующем. Пусть о1'1 - область в к3 с гладкой границей «>, оех = к3\о1П, х0 е о. Рассмотрим оператор -д = -(д1П дЙХ). Здесь д1П, дех -операторы Лапласа с граничными условиями Неймана в о1П, оех. Сузим этот оператор на множество гладких функций, обращающихся в нуль в окрестности точки х0- Замыкание д0 этого сужения есть симметрический оператор с индексами дефекта (2,2). Он имеет самосопряженные расширения. Покапано, что можно выбрать параметры расширения так, что

его функция Грина совпадет с главным членом асимптотики "реальней" функции Грина для препятствия с отверстием малого диаметра, когда диаметр стремится к нулю (точность приближения есть о(б"), здесь 6- радиус отверстия).. Попытка повысить точность приводит к необходимости учитывать uyjih'i нпольнме моменты, однако соответствующие производные функции Грина не входят в пространство l2. в котором ведется построение. Требуется расширить исходное пространство, что ведет к ойо&чекию списанной модели. Попытка построения аналогичной модели для граничного условия Дирихле натэлкивнется на проблему высших моментов на первом же шаге, поскольку сужение оператора Лапласа задачи Дирихле на множество функций, аннулирующихся в окрестности точки xQ границы есть в существенном самосопряженный оператор. Поэтому здесь необходимо сразу же добавлять к исходному пространству соответствующие решения уравнения Гельмгольца (например, дипольные решения). Это сделано в разделе 2.4.,

Важным преимуществом построенной модели является то, что мы конструируем не приближение для конкретного решения, а самосопряженный оператор, в определенном смысле близкий к оператору реальной задачи, что позволяет, в частности, использовать для приближения схему Лакса-Филлипса, позволяющую дать операторную трактовку задачи о резонансах, то есть тех значений, спектрального параметра к, при которых существуют нетривиальные решения е, е е l2(£j), Ej = {и, . = 1}, уравнения sU) е= о, где s (s, ,,)- s-матрица модельной

р V

задачи. В случае, если матрица рассеяния s (к,f.',к) для задачи без отверстия известна, матрица рг зсеяния модельной задачи находится явно. В частности, в ¡одели без высших моментов уравнение для отыскания резслансов принимает вид:

J Sex(y,t>' ,k) e(f' ) dp' +

>:1

i fc ■ +--c\*B ?>ex{x0,M.io f v>ex(x0,p',k) e(f') du" = 0,

2 " .. Zi где решение кевозмущенной (без. отверстия) задачи

рассеяния. с* модельный параметр. Использование свойств

матрицы рассеяния позволяет .получить формулу для ре:-;окансок

Важный вопрос о близости резонансом модельной и •реальной задач, как и вообще модельного и реального решений, рассмотрен в разделе 2. 5. Указан способ выбора расширений , обеспечивающий совпадение модельного и реального решений с высокой точностью.

В первом параграфе главы строится модель теории расширений операторов в пространстве I,. Проведено сравнение модели с соответствующей реальной задачей. Во втором параграфе строится и исследуется модель резонатора с узкой ¡целью. В третьем параграфе рассмотрен вопрос о резонансах. В четвертом параграфе строится модель с выходом в пространство Понтрягина. Пятый раздел посвящен сравнению модельного и реального решений. Шестой и седьмой параграфы содержат различные приложения указанного метода. А именно, рассмотрена задача о собственных частотах кольцевой системы резонаторов, связанных через малые отверстия, о периодической системе резонаторов с малыми отверстиями. В качестве приложения на основании полученного результата предлагается об'яснение возможного механизма детектирования звука латеральной системой рыбы. Рассмотрено еще одно приложение указанного результата к задаче гидродинамической устойчивости пограничного слоя вязкой жидкости на плоской пластине. Проведен расчет критического числа Рейнольдса, который показывает, что при определенном выборе параметров возможно уменьшение критического числа Рейнольдса за счет отвода анергии волны Толлмина- Шлихтинга в звуковой канал. С этой задачей связан и предложенный в восьмом разделе главы новый подход, основанный на сведении задачи Орра-Зонмерфельда к задаче возмущения оператора Иредннгера. С . помощью данного подхода доказана полнота системы собственных и присоединенных функций задачи Орра- Зоммерфельда в различных постановках.

В третьей главе работы описываются модели теории расширений в механике жидкости. Первая из них- это операторная версия метода стскслетов в теории ползущих течений. Данные течения описываются уравнениями Стокса:

7 V ' О -V' р + )! Д V ■- - Л б (х - Хд) .

Здесь \ (■..), р, и - сжорость, давление и вязкость соответственно. Решение р , V :

я я рч = <й-*)«>д,

ч V = 2 7 (Х-Л </>,.} - л «>8 - з (Х-Х0) V ,

где ■

( -(4/|1х - х«!)"*1 в трехмерном случае,

| -ип)"1 1п1х - ХфI в двумерном случае, уравнении Стокоа принято называть стокслетом. В последнее время их активно используют для изучения стоксовых течений за малыми телами, перемещения микроорганизмов в жидкости, тока•соков в стеблях растений, исследования процессов перемешивания в емкостях, ползущих течений в трубах, полостях, каналах и др.

В работе? предлагается операторная версия метода стокслетов. основанная на теории расширений операторов в пространстве I,, и пространстве с индефинитной метрикой. Мы рассматриваем двумерные течения, для которых уравнения Стокса сводятся к ¿»гармоническому уравнению (Д2ч< = 0) для-функции тока х>, связанной со скоростью у = (''¡'^ соотношением:

* 1 г ЯЦ' У2 = ~ 5x7* Здесь х , л,- декартовы координаты на плоскости. Данный подход позволяет выявить общие (мате' ггическиэ) черты стокслета и, как результат, распростра ить метод на более широкую область применения, в частюсти, .на описание ползущих течений в областях, связанных через малые отверстия Раздел 3.1.1 поовяцен построению модели в пространстве I.,. 31.2- в пространстве, с . индефинитной' метрикой, 3.1. 3- моделированию течения в'Параллельных каналах, связанных черёк излые отверстия,• 3. Г. 4- осзв\ему случаю полостей, связанных через малые отверстия. Проанали»про-.»чиа скязь модельного и реального решений.

В :.•;>;•>;•; сл.- 3. ' . о строится взаимодействие нулевого

- то i.

радиуса для линеаризованного уравнения фронта пламени о v + Д F + 4 Д' ? = 0. • ■ с точки зрения теории расширении операторов. Здесь поверхность г = F(x,y) есть фронт илашни, а- физический параметр. Для этого линейного уравнения и вводится взаимодействие нулевого радиуса , которое может быть полезно для описания влияния малых источников или малых препятствий на распространение фронта пламени.

Операторная версия метода стокслетоь напла приложение в . задаче о фазовых переходах, точйее > в описании трансформационно-транспортных механизмов ь дяу.-лернын неавтономных фазах. Этому приложению посвящен раздел 3.1.6.

. Параграф3. 2 посвящен приложению операторного подхода к задаче о стратифицированных течениях, которые характеризуются неоднородностью плотности среды и важной ролью гравитации. Известно, что двумерное стратифицированное течение невязкой несжимаемой жидкости в гравитационно.'.! поле описывается уравнением Дюбрейль-Жакотен. Это нелинейное, вообще говоря, уравнение при определенных распределениях плотности р. и скорости основного течения может быть сведено к линейному с помощью замены переменных. Например, в случае, когда невозмущенное основное течение в дальней зоне вверх по потоку таково, что

V"(z0) P(z0) = const, ~ = const,

где vQ- горизонтальная скорость в дальней зоне, a zQ~ высота линии тока р = const , в дальней зоне. Тогда уравнение ■сводится к виду:

Д 5 + а2 5 = О, О2 = р"1 v~2 g ji—^ = const, 6 = z - zQ.

' Где % - ускорение свободного падения. Другой путь сведения уравнения Дпбрейль- Жакотен к уравнению Гельмгольца описан к. В.Бицадзе, Габовым и Тверским.

В работе рассматривается течение диэлектрической - стратифицированной среды при наличии внешнего электрического поля.Сначала выводится модифицированное уравнение Дюбрейль-Жакотек для данной ситуации, а затем в случае экспоненциальной стратификации плотности при больших числах Фруда око заменой переменных сводится к уравнений.

аналогичному стационарному уравнении Шредингера. В качестве физического следствия получается, в частности, доказательство существования в стратифицированном течении вихрей, порожденных электрическим полям. Далее для данного уравнения строится модель потенциалов нулевого радиуса и модель щелей нулевой ширины (в границе), основанная на теории расширений операторов.

Четвертая глава посвящена описанию некоторых моделей теория расширений для задач наноэлектрокики. Часть их есть непосредственное развитие моделей для уравнения Гельмгольца С глава 23 , другие опираются на разработанный В. А. Гейлером подход а описании низкоразмерных квантовых систем.

Развитие микроэлектроники в последнее время привело к необходимости изучения наноэлектронных мезоскопичаских структур. Кх описание часто сводится к анализу распространения нлектронной волны в квантовом волноводе (т. е. с математической точки зрения к рассмотрении оператора Гельмгольца для волновода) или к исследовании транспортных свойств так называемой двухбарьерной структуры (т.е. к анализу оператора Шредингера с короткодействующими потенциалами ). Следует подчеркнуть, что исследование сложных волноводных и двухбарьерных структур наталкивается на значительные трудное ,-и. Поэтому представляется чрезвычайно полезным конструирование моделей С особенно явнореиаемых), которые позволяли бы эффективно описывать данные системы'. Соответствующая модель может быть построена в рамках теории самосопряженных расширений симметрических операторов. В частности, для систем типа волноводов и резонаторов,. связанных через малые отверстия, подходит построеннная в главе 2 модель щелей нулевой ширины. Это приложение результатов главы 2 описано в первом параграфе. Найдены коэффициенты прохождения электронной волны, изучены резонансные эффекты.

Модель теории расширений для двухбарьерной структуры как резонатора с полупрозрачной границей предложена во втором параграфе. В качестве приложения описаны транспортные свойства электрона в системе "волновод- резонатор с полупрозрачной границей- волновод". Рассмотрен важный волрос

о выборе параметров модели (т.е. о степени ее реалистичности). А именно, указан способ выбора расширении, при котором модельный оператор является пределом (в резольвентном смысле) короткодействующих гамильтонианов.

В третьем параграфе строится явнорешаемая модель нульмерной системы (квантовой.точки) в магнитном поле. Квантовой точкой принято называть искусственную полупроводниковую структуру, имеющую размер (около ю А), который больше размера молекул, но меньше размера обычных микроструктур. Теоретический анализ таких систем далеко не тривиален, большинство моделей базируется на непосредственных вычислениях. В предлагаемом же подходе строится явнорешаемая модель, позволяющая описать основные черты поведения системы. Коэффициент прохождения нлектрона в модели.находится в явном виде.

Следующий параграф посвящен анализу двумерной задачи о поведении злектрона во внешности периодического набора одинаковых кругов радиусов к, образующих "почти плотную упаковку" на плоскости. Предлагаемая модель является предельным случаем квантового биллиарда для области между кругами с теми же центрами м радиусами к - с, с > о. Хотя в случае граничного условия Дирихле вторая задача и сводится к интегральному уравнению со сжимающим оператором, но получить явные формулы здесь не удается. В первой же (модельной) задаче это можно сделать. Однако построение модели теории расширений здесь наталкивается на дополнительные трудности. Дело в том, что отправным моментом зтоЛ конструкция яьляется функция Грина для квазитреугольной области с особенностью в вершине нулевого угла. Однако в случае условия Дирихле решение в окрестности точки касания гладких компонент границы области либо гладкое, либо имеет существенную особенность. Это означает, что мы не можем здесь реализовать схему построения модели в пространстве Понтрягнна из главы 2, ибо данную сингулярную функцию нельзя 'вернуть" в пространство ь, за счет конечного числа применений резольвенты. Однако данная модель мсжс-т быть ноотроен-» в пространстве Крейна,.чти и сделано к даннсл; параграфе.

Следующая трудность г.-.! онисанкп д:,нн.,Г; <->:о гёым скязг.к;«

с; необходимостью описывать периодическую систему данных резонаторов. Использование явнорешаемой модели теории расширений позволяет здесь существенно продвинуться в анализе спектра оператора. При этом мы рассматриваем систему как массив потенциалов нулевого радиуса с внутренней структурой (оператор дли квазитреугольной области и дает "внутреннюю структуру"). Спектральная задача для оператора массива оказывается не сложнее аналогичных задач для оператора сильной связи на решетке, но приводит к более реалистичной картине спектра. В спектре имеется бесконечное число нетривиальных зон, в ультраквантовом пределе стягивающихся к уровням Ландау. При расилывании уровня изолированной квантовой точки последняя сдвигается вниз по оси энергии , что соответствует экспериментально наблюдаемому направлении сдвига плато квантового аффекта Холла в периодических массивах квантовых точек. При рассмотрении туннелпровакия лишь между квантовыми точками, лежащими в близка¡'¡uuiк узлах решетки , задача отыскания спектра в случае рационального магнитного потока п = N / м сводится к чисто алгебраической проблеме поиска спектра матрицы порядка мх М. Обнаружен эффект локализации при определенном соотношении размеров ячейки и величины поля.

Основные результаты изложены в следующих работах. 1 . Гу гель Ю. В. , Попов И. Ю. Модель отсоса пограничного слоя через малое отверстие и сдвиг нейтральных кривых // Проблемы математической физики. Вып. 13. JI. : Изд-во ЛГУ. 1991. С. 117- IPS.

2. Гусаров 3. В. , Попов И. ¡0. , Гугель Ю. В. Трансформационное транспортные процессы и формирование динамических структур в 2-мерных неавтономных фазах при термомеханической обработке оксидных поликристаллических систем // ЖПХ. 1994. Т. 67. N

7. с. 1П6- иго.

3. Дроздов М. Ю. , Попов И. ¡0. Щель нулевой ширины и третье краевое условие //Вестн. ЛГУ. Сер. 4. 1937. Вып. 3. С. 9395.

д. Зимнев М. М. , Попов И. Ю. Выбор параметров модели щелей нулевой ширины // Ж. вычисл. иатем. и матем. физики: 1987.

Т. 27. м 3. С. 466-470.

5. Киселев А. А. , Попов И. Ю. Высшие моменты в модели ¡целей нулевой ширины // ТМФ. 1991. Т. 89. N 1. С. 11- 17.

6. Павлов Б. С. , Попов И. ¡0. Модель дифракции на бесконечно узкой щели и теория расширений // Вестн. ЛГУ. 1983. N19. С. 36- 44.

7. Павлов Б. С. , Попов И. Ю. Рассеяние на резонаторах с малым и с точечным отверстиями // Вестн. ЛГУ. 1984. к 13. С. 116118.

8. Павлов Б. С.', Попов И. Ю. Бегущая волна в кольцевом резонаторе // Вестн. ЛГУ. 1985. N 4. С. '99- 102.

9. Павлов Б. С, , Попов И. ¡0. Поверхностные волны й тьорля расширений у/ Вестн. ЛГУ. Сер. 1. 1986. Вып. 4. С. 105- 3 07.

10. Павлов Б. С. , Попов И. Ю. Акустическая модель щелей нулевой ширины и гидродинамическая устойчивость пограничного слоя //ТМФ. 1991. Т. 86. к 3. С. 391- 401.

11. Попов И. Ю. Теория расширений и локализация резояаксов для областей ловушечного типа // Матем. • сборник. 1990. Т. 181. к 10. С. 1366- 1390.

12. Попов И. Ю. "Излучающие" ребра и рассеяние на областях с бесконечно узкими щелями // Проблемы матем. физики, вып. 11, изд-во ЛГУ, 1986. С. 222- 232.

.13 . Попов И. !0. Интегральные уравнения в модели щелей кулевой ширины // Алгебра и анализ. 1950. Т. 2. Вып. 5. С. 189- 196. 14. Попов И. Ю. Щель нулевой ширины и условие Дирихле // Докл. АН СССР. 1987. Т. 294. к 2. С. 330-334. 15 . Попов И. Ю. Обоснование модели щелей нулевой ширины для задачи Дирихле // Сиб. матем. ж. 1989. Т. 30. к з. С. 103108.

16. Поьов И. КЗ. Применение теории расширений к исследованию дифракции на цилиндрических и сферических щелевых резонаторах // Вестн. ЛГУ. 1984. N 16. С. 79- 83.

17. Попов И. ¡0. Обоснование модели щелей кулевой ширины для задачи Неймана // Докл. АН СССР. 1990. Т. 313. ?; 4. С. 806-811.

18. Попов И. Ю. Расчет собственных частот резонаторов, связанных через малые отверстия, с испольэ^чпниек теории расширений операторов //Акуст. ж. 1991. Т. 37. Выя. 2. С.

.380- 385.

i о. Попов И. Ю. Теория расширений операторов и рассеяние на резонаторах с малыми отверстиями // 16 Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы дс)клл;;;й / Нижний Новгород: ННГУ. 1991. С. 170. 20. ГТоио» К. Ю. Резонатор Гельмгольца и теория расширений олнраторок в пространстве с индефинитной метрикой // Матем. ой. 199с. Т. 183. к 3. С. з- л?.

21 . Пойся II. К). Модель целей нулевой ширины для отверстия в полупрозрачной границе П Cutí, матем. журн. 1992. Т. 33. n5 (1SH;. С. 121- 126.

22. Попов И. Ю. Резонатор с узкой щелыо и эталонная задача, основанная на теории расширений операторов // 16 Всесоюзная школа по теории линейных операторов в функциональных пространствах. Материалы к лекциям / Нижний Новгород: ННГУ.

1992. С. 3- 22.

23. Полой И.О., Попова С. Л. Резонансные эффекты В мезоскопических структурах и модель теории расширений операторов // 1 Российская конференция по физике полупроводников. Тезисы докладов,, Т. 1. Нижний Новгород.

Í 523. С. 153.

24. Попов И. Ю. , Попова С. JI. Модель щелей нулевой ширины и резонансные эффекты квантовом волноводе//ЖТФ. 1994. Т.

64. м 1. 23- 31.

25. Попов И. Ю. Модель квантовой точки как резонатора с полупрозрачной границей//ФТТ. 1994. Т. 36, и 7. С. 19181923.

26. Попов 11 Ю. Об операторной трактовке стокслета // СМЖ. 1S94. Т. 35. N5. С. ' 1148- 1153..

27. Попов И. Ю. 0 модели теории расширений в задачах дифракции // Межд. конф. "Дифференциальные уравнения и математическая физика". Саранск-. МГУ. 1994. С. 89- 98.

28. Geyler V.A., Popov J,Yu. The spectrum of a nagneto-Bloch electron in a periodic array of quantum dots: explicitly solvable model// Z.Phys.B. 1994 V.93. N 4, P. 437-439.

29. Geyler V.A., Popov I.Yu. Resonant tunneling in zero-dimensional systems: Explicitly solvable model// Phys. Lett,

A. 1994. V.187, N 55, p. 410- 412.

30. Popov I.Yu. The Extension Theory and Diffraction Problems // Lect. Notes in .Physics. V. .324. , i;i39. p. 218229.

31. Popov I.Yu. The Stability of Boundary Layer and the Model of Suction. through a_ Small Opening // In book: Schrodinger Operators, Standard and Non-standard. Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific. 1989. ?. 403- 404.

32. Popov I.Yu. A Model of Zero-Width Slits and the Kcal Diffraction Problem // Operator Theory: Advances and Applications. .1990. V. 46. Birkhauser Vet tag Basel; P. 195196.33. Popov I.Yu. Construction- of Inelastic Scattcrcr in Nanoe1ectronics by the Extension-Theory Methods // Operator Theory: Advances and Applications. 1990. V. 46. Dirkhairier Verlag Basel. P. 197- jgs;

34. Popov I.Yu. The extensions theory and the resonances for the Heimholtz resonator // in book: Mathematical Aspects of the Scattering Theory and Applications. St.-Petersburg Univ., UNESCO (Invi te.d ■ talks of the Internat iona i Workshop, Leningrad, May, 20- 24, 1991). 1991. P. 125-134.

35. Popov I.Yu. The resonator with narrow slit and the siodel based on the operator extensions theory // J. Math. Phys. 1992. V. 33. No 11. P. .3794- 3801.

36. Popov I.Yu. The extension theory and the opening in semi transparent surface II J. Math. Phys. 1992. V. 33. N 5. P. 16S5- 1689.

37. Popov I.Yu., Popova S.L. The extension theory and resonances for a quantum waveguide // Phys. Lett. A. 1993. V. 173. P. 484- 4S8.

38. Popov I.Yu. Operator extensions theory and eddies in creeping flow II Physica Scripta. 1993. V. 47. P. 682- 6S6.

39. Popov I.Yu., Popova S.L. Zero-width slit model ant! resonances in mescscopic systems // Europhy.?.' Let i . 1953. v. 24. N 5. p/' 373- 377 .

40. Popov I.Yu. Zero,-range potentials and the flame front equation // COrobution, Detonation. Shock Vol. ?. /V;i .

S.M.Frolov. Proc. of the Zel'dovich Memorial. Int. Conf. on Comhut ion. Moscow, 12- 17 Sept. 1994. P. 305 - 307.

41. Popov i.Yu. Operator, extensions theo.ry and solvable motk-ls in scattering theory, fluid dynamics, nanoe1ectronics, and biophysics // 1. Mathrood. Vienna. February 2-4, 1914. Technical University Vienna, Austria. Abstract of papers.

42. Popov I. Yu. Schrodinger operator, stratified flows and hydrodynamic stability// И th Int. Congress of Mathematical Physics, Paris, Yuly 18-23 1994. P.68.

43. Popova S.L., Popov I.Yu. Operator extension theory model for mesoscopic systems // 11 th Int. Congress of Mathematical Physics, Paris, Yuly 18-23 1994. P.68.

44. Popov I.Yu. Stokes flows in coupled domains and solvable models based on the operator extensions theory// 2nd European Fluid Mechanics Conference September 20-24,

1994, Warsaw, Poland, Euromech. Abstracts of papers.

45. Popov I.Yu. The operator extension theory, .lemi t ransparen t surface and short- range potential // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1995. V. 117. N 2. P. 101- 110.

46. Попов И. K>. Вихреобразование у края щели и прохождение звуковой волны // Математическое моделирование и краевые задачи: Тезисы докл. 5-й научной межвузовской конф. / ИАРФ, СаыГТУ, Самара, 1993, С. 55-56.

47. Попов И. Ю. , Попова С. Л. О резонансном механизме детектирования звука латеральной системой рыбы // Биофизика 1

1995. Т. 40. Вып. 2. С. 443- 447.

48. Popov I.Yu. Stratified flow in electric field, Schrodinger equation and operator extension theory model // ТМФ. 1995. T. 103. N 2. C. 246- 255.

49. Попов И. Ю. Модель ползущего течения в областях, связанных через малое отверстие // Матем. моделирование, 1995. Т. 7. n 5. С. 81.

50. Geyler V.A., Popov' I.Yu. Group-theoretical analysis of lattice Haniltonians with a magnetic field // Phys. Lett. A. ¡995. V. 201 . P. 359- .364 .

51. Popov I . Yu. Hydrody'namic stability and perturbation of Schrcdinger operator // Lett. Math. Phys. 1995 . V. I? . N

P. U3-JI9.

52. Popov I .Yu. Extension theory and simulation о Г

nanoelectronic dcvices Ц SAMS. 1995. v. 13- 19. г. 650- i.'z.

Подписано к печати 06.09,95 г. Объем 1,1 п.л.

Заказ 177 Тирак 10 j экз. .Бесплатно.

Ротапринт. «ШЛО. 190000, С.-Петербург. -'пзр.Грикдова, 14