Разработка и исследование класса явнорешаемых моделей, основанных на теории расширения операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РГБ ОД

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ В.А.СТЕКЛОВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ КЛАССА ЯВНОРЕП1АЕМЮС МОДЕЛЕЙ, ОСНОВАННЫХ НА ТЕОРИИ РАСШИРЕНИЙ ОПЕРАТОРОВ

Спг"пг,"Г!мтост1. 01.01.03- математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени . доктора физико-математических, наук

На правах рукописи

УДК 517.9

ПОПОВ Игорь Юрьевич

Санкт-Петербург 1995

Рсбота шполнека б Санкт-Петербургском государственном институте точной механики л оптики (техническом университете).

Официальные оппонента: доктор физико-математических

наук, профессор В.М.Адамян,

института имени В.А.Стеклова РАН по адресу: 191011, Санкт-Петербург, Фонтанка, 2?.

С диссертацией мокно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения математического института.

доктор ф ::

наук, профессор М.А.Салль, доктор физико-математических наук М.И.Белишев.

Автореферат разослан

/ Учений секретарь Специализированного Совета

А.П.Осколков

05ЦЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Анализ многих физических систем гллкпваетоя на значительные трудности. В связи с этим гуалььым представляется построение приближенных моделей, збенно мвнорешзеикх, которые позволяют воспроизводить рактеристики сложных систем, прямое исследование которых уруднено. В районе предложен и изучен класс явнорешаемых целей, основанных на теории самосопряженных расширений метрических онвраторор..

Качало разработке ¡.¡оделей данного типа положил Э. Ферми, горь:П ввел потенциалы нулевого радиуса, позволивший решить 1 физических яадач. Интенсивное применение метода генциалов кулевого радиуса началось в шестидесятых годах. 375 г. вышла монография Ю. К. Депкова и В. Н. Островского, в хзрой сведены воедино различные приложения указанного ■ода к задачам атомной физики, известные к середине шдеелтых годов.

В 1961 г. Ф.А.Березин и Л.Л.Фаддеев показали, что с 'ематлческоп точки зрения введение потенциала нулевого [пуса есть задан:;« самосопряженного расширения некоторого (метрического оператора. Это открыло новые возможности для ;н«тня метода. В работах А. С. Благовещенского, '..Лаврентьева, Я.В.Курылева в рамках данного подхода смотрена задача рассеяния на- кривой в трехмерном ютрансгве, 5. С. Павлов и М. Д. Фаддеев предложили построить ель указанного типа для резонатора с малым отверстием, личные приложения метода описаны в обзоре Б. С. Павлова Н//1987, Т. 42. мб. 93-131) и монографии С. Альбеверио, естезп, Р. Хезг-Крона, X. Холдена "Явнорешаемые модели в нтовой механике", о силу изложенного построение подобных елей в различных областях представляются актуальными.

Цель работы состоит в разработке и исследовании класса елей, основанных на теории расширений операторов, Для личных физических систем, а именно, для акустических онаторов с г.таль:п>; отверстиями к узкими щелями, стоксовых стратифицированных потоков в сложных областях, овлектронкых систем квантовых резонаторов и квантовых новодов. периодических- систем квантовых точек

(антиточек).

Общая методика исследования основана на применении методов теории операторов, теории линейных уравнении в частных производных, теории рассеянии, финики твердого тела, теории представлений групп.

Научная новизна. В работе предложен класс явкоренааемых моделей, основанных на теории самосопряженных расширений симметрических операторов. Укапанный подход применяется к задачам рассеяния на резонаторах с малыми отверстиями и узкими щелями, описанию стоксовых и стратифицированных течений в сложных областях и к задачам наноэлектроникп. Реалистичность моделей различных систем оценивается разными способами С в зависимости, от их сложности). Производится сравнение модельного решения с реальным либо в общем виде Скак для резонатора Гельмгольца и модели квантовой точки как резонатора с полупрозрачной границей}, либо на примере конкретных задач, либо на основании сравнительного анализа количественных и качественных результатов и эффектов, которые дает модель и исследование соответствующей физической системы. Описан ряд предсказанных моделями физических эффектов.

Практическая и теоретическая ценность. Построенные модели могут быть применены для качественного и количественного исследования перечисленных выше систем. Результаты работы могут быть использованы в теоретических исследованиях и практических расчетах, проводимых в Петербургском, Московском, Одесском, Мордовском университетах, Петербургском отделении математического института РАН, НПРФИ, НПФ РАК.

Положения, выносимые на защиту.

1. Построение и анализ модели теории расширений операторов в гильбертовом пространстве и пространстве с индефинитной метрикой для резонатора Гепьмгольца, а также для резонатора с узкой щельо. Обоснование выбора параметров модели, обеспечивающего соответствие модельной и реальной задач. Получение асимптотики резонансов.

2. Приложения модели к описанию бегущих волн в кольцевых резонаторах, поверхностных воль, описанию резонансных

эффектов р. системе квантовых резонаторов и волноводов. 3. Подход к линеаризованной задаче гидродинамической устойчивости с: точки зрения возмущения оператора Шредингера. А . построннин и анализ операторной версии метода стокспетов, описание» ползущих течений в сложных системах полостей и капало«, связанных черен »алые отверстия. Корректное описания взаимодействия нулевого радиуса для линеаризованного уравнения фронта пламен». 5. Вывод модифицированного уравнения Дюбрейль-Жакотен для описания течения акопоненциалъно-стратифицироврнной среды в гравитационном и электрическом полях. Разработка модели теории расширений для данного течения. В. Подход теории расширений операторов для резонатора с полупрозрачной границей. Доказательство того, что резольвента модельного оператора есть предел резольвент соответствующих операторов с короткодействующими потенциалами. Приложение модели к описанию транспортных свойств иезосхопических структур.

7. Построение и исследование модели туннелирования черен нульмерную структуру при наличии магнитного поля. 3. Построение и исследование модели периодической сис'1 квантовых антиточек в магнитном поле, основанной на теории расти рений операторов в пространстве Крейна. Спектральный анализ модельного оператора.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 52 работы.

Об'ем и структура работы. Диссертация состоит из введения и трех глав с автономной нумерацией формул. Содержит 2.">е> страниц, 2 Ъ рис. и с исок литературы, содержащий 205 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении (первая глава) описана ис-. ->рия вопроса, структура работы и основные результаты.

Вторая глава посвящена модели теории расширений операторов в задаче рассеяния на препятствии с малым отверстием или узкой щелью и задаче о собственных колебаниях

в системе резонаторов, связанных черев малые отиеротпя. Данные задачи обычно сложны и не допускают точного решеигп. Однако с физической точки кренил ясно, что «юлновая динамш-в такой составной области при слабой сьльи между резонаторами (малых радиусах отверстий? яммегся у нкксч oj смысле суперпозицией волновых динамик составлял!',:"-* ее частая. В основе описываемой модели лежат две идеи. Одна из них, н сущности, восходит к. Кирхгофу, предлагавши/ ь дифракционных задачах заменять отверстий » :-лр,»нв эквивалентным точечным источником, сила которого должна 6t согласов?на с потоком через отверстие. Во;.ро<: с.оа pci:v н ууккии правильно построить этот источник, чгэ и ноаьо.'л'ет сделать данная модель. Вторая из идей, лежаыих ь основе модели, это идея метода потенциалов нулевого радиуса из к ¡-.акта ко и механики. Как известно, »тот метод гськолил созд4т» простые модели и, благодаря »•ro.vy, провепта д ост. »точно продвинутое исследование для многих сложных ато:..ны... систем. С математической точки зрения аала.чне :1:>тп1ц;:ида нулевого радиуса сводится к пс-стро««!!» самосопряженного расширения некоторого сип; ютрического оператора. Эту математическуо схему теории расширении и предлагается использовать ь задачах дифракция на резонато] ло»у:.,<>чного типа длл построен::.« эталонной калачи (модель ¡цял«Г; нулевой ширины). Критерий правильности построения-самосопряженность полученного оператора ¡корректность модели: и совпадение модельного решения пли ьаз:яьх его характеристик с необходимой точностью с асимптотикой по радиусу отверстия (ширине щели.) решения или cooiстьукащ характеристик реальной задачи.

В общих чертах схема метода состоит ь следуюдем. Пуст о1" - ооласть в к3 с гладкой границей м, оех = «До111, х(1 е о. Рассмотрим оператор -д = -гл1П « дсХ). 'Здесь д'Г\ ле* -операторы Лапласа с граничными условиями Неймана в а11'", йеА Сузим »тот оператор на множество гладких функций, оСраАакуихся в нуль в окрестности точки k Зимыкзнле д0 irai'o сужения есть симметрический оператор о индексами дефькта (2,2). Он имеет самосопряженные расширения. Поковано, что можно выбрать параметр^ расс прения так, что

его функция Грина совпадет с главным членом асимптотики "реально!!" функции Грина для препятствия с отверстием малого диаметра, когда диаметр стремится к нулю (точность приближения есть о ), здесь б- радиус отверстия).. Попытка повысить точность приводит к необходимости учитывать мул м гпольные моменты, однако соответствующие производные функции Грнна не входят в пространство ь2, в котором ведется построение. Требуется расширить исходное пространство, что ведет к обобщению описанной модели. Попытка построения аналогичной модели для граничного условия Дирихле наталкивается на проблему высших моментов на первом же шаге, поскольку сужение оператора Далласа задачи Дирихле на множество функций, аннулирующихся в окрестности точки.х0 границы есть и существенном самосопряженный оператор. Поэтому здесь необходимо сразу же добавлять к исходному пространству соответствующие решения уравнения Гельмгольца (например, дипольные решения). Это сделано в разделе 2.4.

Важным преимуществом построенной модели является то, что мы конструируем не приближение для конкретного решения, а самосопряженный оператор, в определенном смысле близкий к оператору реальной задачи, что позволяет, в частности, использовать для приближения схему Лакса-Филлипса, позволяющую дать операторную трактовку задачи о резонансах, то есть тех значении спектрального параметра к, при которых существуют нетривиальные решения е, е с ь2(Е1), = {и, Н -= 1}, уравнения б (к) с= о, где б (б^ е)- б-матрица модельной задачи. В случае, если матрица рассеяния Бех(и, и',к) для задачи без отверстия известна, матрица рг ^сеяния модельной задачи находится явно. В частности, в .одели без высших моментов уравнение для отыскания резсяансов принимает вид:

+ -— ..г4 (х0.!'.!.) виХ(х0,р',к) е(у') <Д/ -г О,

" 5

гдо 4>!'к- рс : 1'ипе невоэмущеиной (без отверстия) задачи расоечнчя. : '•' '• - модальны-"! параметр. Использование свойств

матрицы рассеяния позволяет получить формулу для рег.окансов

Важный вопрос о близости резонаноов модельной я реальной задач, пак и вообще модельного п реального решении, рассмотрен в разделе 2. 5. Указан способ выбора расширении, обеспечивающий совпадение модельного и реального решении с высокой точность».

В первом параграфе главы отроится модель теории расширений операторов в пространстве I,,. Проведено сравнение модели с соответствуете» реальной ¡задачей. Во втором параграфе строится и исследуется модель резонатора о узкой щелью. В третьем параграфе рассмотрен вопрос орезонансах. В четвертом параграфе строится модель с выходом в пространство Понтрягина. Пятый раздел посвящен сравнению модельного н реального решений. Шестой н седьмой параграфы содержат различные приложения указанного метода. А именно, рассмотрена задача о собственных частотах кольцевом системы резонаторов, связанных через малые отверстия, о периодической системе резонаторов с малыми отверстиями. В качестве приложения на основании полученного результата предлагается об'ясненне возможного механизма детектирования звука латеральной системой рыбы. Рассмотрено еще одно приложение указанного результата к задаче гидродинамической устойчивости пограничного слоя вязкой жидкости на плоской пластине. Проведен расчет критического числа Рейнольдса, который показывает, что при определенном выборе параметров возможно уменьшение критического числа Рейнольдса за счет отвода анергии волны Толлмина- Шлихтннга в звуковой канал. С этой задачей связан и предложенный в восьмом разделе главы новый подход, основанный на сведении задачи Орра-Зоммерфельда К задаче возмущения оператора Шредингера. С . помощью данного подхода доказана полнота системы собственных и присоединенных функций задачи Орра- Зоммерфельда в различных постановках.

В третьей главе работы описываются модели теории расширений в механике жидкости. Первая из них- это операторная версия метода стскслетов в теории ползущих течений. Данные течения описываются уравнениями Стокса:

7 v = о

-v р + ,1 д v = - л 6 (х - х0) .

Здесь "С (..I. р. -- скорость, давление и вязкость

соответственно. Решение р , V :

ч 5 = (Л-?)^,

>' * •- i 7 (х-л я>3) - а «>3 - \ (3-х0) 7 ^ ,

где

| -(4»1 х - 501)-1 в трехмерном случае,

| -(2П)"1 1п1\ - к01 в двумерном случае, уравнений Огокоа принято называтьстокслетом. В последнее время их а ктивно используют для изучения стоксовых течений за малыми телами, перемещения микроорганизмов в жидкости, тока■соков в стеблях растений, исследования процессов перемешивания в емкостях, ползущих течений в трубах, полостях, каналах и др.

В работе предлагается операторная версия метода стсжолетов. (.¡снованная на теории расширений операторов в пространстве I., и пространстве с индефинитной метрикой. Мы рассматриваем двумерные течения, для которых уравнения Стокса сводятся к бигармоническому уравнению (Д2р = 0) для функции токя у, связанной со скоростью V = (Vг, V2) соотношением:

Здесь х . х,- декартовы координаты на плоскости. Данный подход позволяет выявить общие (мате) дтические) черты стокслета и, как результат, распрострэ ить метод на более широкую область применения, в частности, на описание ползун,их течений в областях, связанных через малые отверстия. Рйздрл 3.1.1 посвящен построению модели в чреогрянет«« i,, 3 1.71- р. пространстве, с индефинитной м»трип{»'|, 3.1.3- "оделчрованню течения в -параллельных каналах. склзаккмх ч^реа малые отверстия, 3.1.4- ойщему слуаи по.я:сг:'еГ1, связанных через малые отверстия. Прознгшпшрпр-эч» оквзь модельного и .реального решении. 3 р,ч:?„.•• : 1. 5 отроится взаимодействие нулевого

радиуса для линеаризованного уравнения фрон та ¡„¡ашнс

а г +■ Д F + + л2 i = о. • с точки зрения теории расширении операторов. Г-;.,:,есь поверхность z = F(x,y) есть фроьг пламени, о- физический параметр. Для итого линейного уравнения и вводится взаимодействие нулевого радиуса , которое может бы ть ,полезно для описания влияния малых источников или малых препятствий на распространение фронта пламен и. ■' .

Операторная версия метода стокслетов напла приложение н. задаче о фазовых переходах, точнее ■ ь описании трансформационно-транспсртных механизмов в двумерных неавтономных фазах. Этому приложению посвящен раздел 3.1.6.

Параграф 3.2. посвящен приложению операторного подхода к задаче о .стратифицированных течениях, которые характеризуются неоднородностью плотности с: еды и важной ролью гравитации. Известно, что двумерное стратифицированное течение невязкой кесхлмаемой жидкости в гравитационном поле описывается уравнением Дюбрейль-Жакотен. Это нелинейное, вообще говоря, уравнение при определенных распределениях плотностп р. и. скорости основного течения может быть сведено к линейному с помощью замены переменных, например, в случае , когда невозмущенное основное течение в дальней зоне вверх по потоку таково, что

*> .in

Vg(z0) PU0) =■ const, JJ = const,

где у0~ горизонтальная скорость в дальней зоне, а х - высота линии тока «1 = const в дальней зоне. Тогда уравнение ^сводится к виду:

А 6 + о2 S s 0, о2 = р"1 V"2 g = const, 6 = z - zn.

и I u ^ о'

' Где g - ускорение свободного падения. Другой путь сведения уравнения Дюбрейль- Жакотен к уравнению Гельмгольца описан А.В.Бицадзе, Габовым и Тверским.

В работе рассматривается течение диэлектрической - -стратифицированной среды при наличии внешнего электрического поля. Сначала выводится модифицированное уравнение Дсфейль-Жакотэн для данной ситуации, а затем в случае экспоненциальной стратификации пл^угности при больших числах Фруда оно заменой переменных сводите« к уравнению,

ьналс.-ичному стационарному уравнению Шредингера. В качестве ^п^ичес.чо'М следствия получается, в частности,

чкаиател..ство су. чествования в стратифицированном течении вихрен, порожденных алектрическим полем. Далее для данного уравнения отроится модель потенциалов нулевого радиуса и модель ¡целей нулевой ширины С в границе), основанная на теории расширений операторов.

Четвертая глава посвящена описании некоторых моделей теории расширений для задач накозлектроники. Часть их есть непосредственное развитие моделей для уравнения Гельмгольцр. С глава 2) , другие опираются на разработанный В. А. Гейлером подход в описании нкгжоразмерных квантовых систем.

Развитие микроэлектроники в последнее время привело к необходимости изучения каноэлектрокных мезоскопических структур. И:-, описание часто сгодится к анализу распространен!! я электронной волны в квантовом волноводе (т. е. с математической точки зрёния к рассмотрения оператора Т>.кь:.и,ольца для волновода) или к исследованию транспортных сии,'?;гй так называемой двухбарьерной структуры (т.е. к

г>.....пзу оператора Шредингера с короткодействующими

потенциалами ). Следует подчеркнуть, что исследование сложных волноводкых и двухбарьерных структур наталкивается на значительные трудное/и. Поэтому представляется чрезвычайно полезным конструирование моделей (особенно явнорешаемых) , которые позволяли бы эффективно описывать данные системы. Соответствующая модель может быть построена в рамках теории . самосопряженных расширений симметрических операторов. В частности, для систем типа волноводов и резонаторов, связанных через малые отверстия, подходит пострсеннная в главе 2 .модель целей кулевой ширины. Это приложение результатов главы 2 описано в первом параграфе. Найдены коэффициенты прохождения электронной волны, изучены резонансные эффекты.

Модель теории расширений для двухбарьерной структуры как раьонатоса с полупрозрачной границей предложена во втором параграфе. В качестве прилежания описаны транспортные свойства электрона в системе "волновод- резонатор с полупрозрачной границей- волновод". Рассмотрен важный вопрос

о выборе параметров модели (т. е. о степени ее реалистичности). А именно, указан способ выбора расширении, при котором модельный оператор является про,челом резольвентном смысле ) короткодействующих гамильтонианов.

В третьем параграфе строится явнорешаемая модель нульмерной системы (квантовой точки) в магнитном поле. Квантовой точкой принято называть искусственную полупроводниковую структуру, имеющую размер (около 10 А), который больше размера молекул, но меньше размера обычных микроструктур. Теоретическим анализ таких сис тем далеко не тривиален, большинство моделей базируется на непосредственных вычислениях. В предлагаемой! же подходе строится я :;норешаомая модель, позволяюсь.; описать основные черты поведения системы. Козффицпент прохождения нлектрона в модели находится в явном виде.

Следующий параграф посвящен анализу двумерной задачи о поведении нлектрона во внешности периодического набора одинаковых кругом радиусов к, образующих "почти плотную упаковку" на плоскости. Предлагаемая модель является предельным случаем квантового биллиарда для области между кругами с теми же центрами и радиусами к - с. с > о. Хотя в случае граничного условия Дирихле вторая задача и сводится к интегральному уравнению со сжимающим оператором, но получить явные формулы здесь не удается. В первой хе (модельной) чадач-? зто можно сделать. Однако построение модели теории расширений здесь наталкивается на дополнительные трудности. Дело в ' 'см. что отправным моментом этой конструкции является функция Грина для квазнтреугольнон области с особенностью в вэрмше нулевого угла. Однако в случае условия Дирихле рзшение в окрести ост и ч-очки касания гладких когл'онрчг границы с власти либо гладкое, либо имеет оу^ественнуг. особенность. Это сзнача'ет, что мы не модем здесь реализовать схкму построения модели в пространстве Понтрягииз из глав:: 2, ибо дзнп-' ■ сингулярную функн.го нельзя "ьр; к,у ' пространство ь, за счет конечного чист т ••;;ме-—••'«•.! резольвенты. Однако данная модель иг*»>.г»~ '.-лпроек? пространстве Крейна, . что и сделано ь д; •г;-

Следующая тпудь'.ссть при о.нк-ачил дан'- ■ п., 1 • .,.

с необходимостью описывать периодическую систему данных резонаторе л-.. Использование явнорешаемой модели теории распадений позволяет здесь существенно продвинуться в аналиг-.е спектра оператора. При этом мм рассматриваем систему лак массив потенциалов нулевого радиуса с внутренней структурой (оператор для квазитреуголъной области и дает "внутреннюю структуру"). Спектральная задача для оператора массива оказывается не сложнее аналогичных задач для оператора сильной связи на решетке, но приводит к более реалистичной картине спектра. В спектре имеется бесконечное число нетривиальных- зон, в ультраквантовом пределе стягивающихся к уровням Ландау. При расплывании уровня изолированной квантовой точки последняя сдвигается вниз по осп инергии, что соответствует экспериментально наблюдаемому направлении сдвига плато квантового эффекта Холла в периодических массивах квантовых точек. При рассмотрении туннелирования лишь между квантовыми точками, лежащими в ближайших уклах'решвтки, задача отыскания спектра в случае рационального магнитного потока ц= л / м сводится к чисто алгебраической проблеме поиска спектра матрицы порядка их м. Обнаружен аффект локализации при определенном соотношении размеров ячейки и величины поля.

Основные результаты изложены в следующих работах. 1 . Гугель Ю. В. , Попов И. Ю. Модель отсоса пограничного слоя через малое отверстие и сдвиг нейтральных кривых //Проблемы математической физики. Вып. 13. Л. : Изд-во ЛГУ. 1991. С. 117- 125.

2. Гусаров В. В. , Попов И. Ю. , Гугель Ю. В. Трансформационно-транспортные процессы и формирование динамических структур в 2-мерных неавтономных фэзах при термомеханической обработке оксидных поликристаллических систем // ЖПХ. 1994. Т. 67. n

7. С. 1116- 1120.

3. Лрсздов М. Ю. , Попов И. Ю. Щель нулевой ширины и третье краевое условие // Вестн. ЛГУ. Сер. 4. 1987. Вып. 3. С. 0395.

4. Зимнев М. М. , Попов И. Ю. Выбор параметров модели щелей нулевой ширины // Ж. кычисл. матем. и матем. физики. 1987.

Т. 27. n 3. С. 466-470.

5. Киселев А. А. , Попов И. Ю. Высшие моменты в модели целей нулевой ширины // ТМФ. 1991. Т. 89. n 1. С. 11- 17.

6. Павлов Б. С. , Попов И. ¡0. Модель дифракции на бесконечно узкой щели и теория расширений//Вестн. ЛГУ. 1983. \19. С. 36- 44.

7. Павлов Б. С. , Попов И. К). Рассеяние на резонаторах с малым и с точечным отверстиями // Вестн. ЛГУ. 1984. к 13 С. 116118.

8. Павлов Б.С., Попов И.Ю. Бегущая волна в кольцевом резонаторе // Вестн. ЛГУ. 1985. n 4. С. 99- 103.

9. Павлов Б. С. , Попов И.Ю. Поверхностные волны н теория расширений //Вестн. ЛГУ. Сер. 1. 1986. Вып. 4. С. 106- 107 .10. Павлов Б.С., Попов И.Ю. Акустическая модель целей нулевой ширины и гидродинамическая устойчивость пограничного слоя //ТМФ. 1991. Т. 86. кЗ. С. 391- 4 31.

11. Попов И. !0. Теория расширений и локализация резоканссв для областей ловушечного типа // Матем. сборник. 1990. Т. 181. к 10. С. 1366- 1390.

12. Попов И. Ю. "Излучающие" ребра и рассеяние на областях с бесконечно узкими щелями//Проблемы матем. физики, вып. 11, изд-во ЛГУ, ,198S. С. 222- 232.

13; Попов И. Ю. Интегральные уравнения в модели щелей нулевой ширины // Алгебра и анализ. 1990. Т. 2. Вып. S. С. 189- 196

14. Попов И.Ю. Щель нулевой ширины и условие Дирихле // Докл. АН СССР. 1987. Т. 294. N 2. С. 330-334.

15. Попов И. Ю. Обоснование модели щелей нулевой •иприкь' для задачи Дирихле //Cutí, матем. ж. 1989. Т. 30. к з. С. •:<¿-108.

16. Попив И. Ю. Применение теории pL. пглренпГт к ксследо*...чию дифракции на цилиндрических и сферически); целевых

, резонаторах // Вестн. ЛГУ. 1984. n 16. С. 79- 83.

17. Попов И.О. Обоснование модели щелей .iy..'er ч1 шгрпчь-. .г задачи Нэймака // Докл. АН СССР. 1990. '¿. / •' 806-811.

18. Попов И.Ю. Расчет собственна '>. связанных через малые отвор".тия, с пег ■ г- v ; • расширений операторов //А:-..ус: к. 19" ;г

380- 335.

. Попов I'. КЗ. Теория расширений операторов и рассеяние на резонаторах с малыми отверстиями // 16 Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы доклада.-: / Нижний Новгород: ИНГУ. 1991. С. 179.

Напоя И. Ю. Резонатор Гельмгольца и теория расширений оператора?, в пространстве с индефинитной метрикой //Матем. сб. 1Ш?;. Т. 183. к 3. С. з- 37.

2 | . Гудок 1!. 10. Модель щелей нулевой ширины для отверстия в полупрозрачной границе //Си<5. матем. журн. 199?.. Т. 33. м5 (19Г5;. С. 1 21 - 126.

. Попив П. ¡0. Резонатор с узкой целью и аталонная задача, основанная на теории расширений! операторов // 16 Всесоюзная школа по теории линейных операторов в функциональных пространствах. Материалы к лекциям / Нижний Новгород: ИНГУ. 1992. С. 3- P.P..

2 3. Пепси П. К). , Попова С, Л. Резонансные эффекты в мезоскоиаческ:... структурах и модель теории расширений операторов // 1 Российская конференция по физике полуироьоднико». Тезисы докладов.^ Т. 1. Нижний Новгород. Г~33. О. 153.

24. Попов И. К). , Попова С. Л. Модель щелей нулевой ширины и р!-зона;;снь:е аффекты квантовом волноводе //ЖТФ. 19S-1. Т. 6<1 :: 1 . 23- 31.

25. Попов II. ¡0. Модель квантовой точки как резонатора с полупрозрачной граниией//ФТТ. 1994. Т. 36, n 7. С. 1918 -

] 923.

26. Попов И. К). Об операторной трактовке стокслета // СМЖ. 1994. Т. 35. л 5. С. 1148- 1153.

27. Попов И. Ю. О модели теории расширений в задачах дифракции // Межд. конф. "Дифференциальные уравнения и математическая физика". Саранск: МГУ. 1994. С. 89- 93.

28. Geyler V.A., Popov I.Yu. The spectrum of a magneto-D!och electron in a periodic array of quantum dots: explicitly solvable model// Z.Phys.B. 1994 V.93. N 4, P. 437-439.

29. Geyler V.A., Popov I.Yu. Kesonent tunneling in г-гго-d ¡mensiona1 systems: Explicitly solvable model// Phys. Lett.

A. 1994. V.187, N 56, p. 410- 412.

30. Popov I.Yu. The Extension Theory and Diffraction Problems // Lect . Notes in Physics. V. 324. 1939. P. 218229.

31. Popov I.Yu. The Stability of Boundary Layer and the Model of Suction through a Small Opening // In book: Schrodinger Operators, Standard rind Non-standard. Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific. 1989. P. 403- 404.

32. Popov I.Yu. A Model or Zero-Width slits and i he Real Diffraction Problem // Operator Theory: Advances and Applications. 1990. V. 46. Uirkhauser Vcrlag Rasel. P. 19 5— 196.

33. Popov I.Yu. Construction of Inelastic' Scatterer in Hanoe1ectronics by the Extension-Theory Methods // Operator Theory: Advances and Applications. 1990. V. 46. Birkhauser Verlag Basel. P. 197- 198.

34. Popov I.Yu. The extensions theory and the resonances for the Helmholtz resonator // in book: Mathematical Aspects of the Scattering Theory and Applications. St.-Petersburg Univ., UNESCO (Invited talks of the International Workshop. Leningrad, May, 20- 24, 1991). 1991. P. 125-134.

35. Popov I.Yu. The resonator with narrow slit and the RiDdel based on the operator extensions theory // j. Math. Pr.j-s. 1992. V. 33. No 11. P. 3794- 3S01.

36. Popov' I.Yu. The extension theory and the opening in semi transparent surface // J. M.ith. Phys. 1992. V. 33. N 5. P. 16S5- 1689.

37. Popov i.Yu. , Popova S.L. The - extension theory and resonances for a c;uar.tuiri viaveguide // Phys. Lett. A. 1993. V. 173. P. 484- 488.

38. Popov I.Yu. Operator extensions theory and eddies in creeping flC* // Physica Scripta. 1993. v. 4^. p. 682- 686.

39. Popov I.Yu., Popova S.L.' Zero-width slit mode! and resonances in niesoscopic systems // ruruphys.' Lett. 1993. V. ¿4. N 5. P.' 373- 377.

40. Popov I.Yu. Zero.-range potentials ■ •. k- flame front equation. // Corabution, Detonation, Snotk ■■■.:>. Vol. 2 /id.

S. М. Fro lov.. I'roc. of the Zel'dovich Memorial. Int. Conf. on Coicbut ion. Moscow, 12 - 17 Sept. 1994. P, 305 - 307.

41. Popov l.Yu, Operator extensions theory and solvable models in bcattering theory, fluid dynamics, nanoe lectronics , and biophysics // 1. Mathmod. Vienna. ГеЬгиату 2-4, 1904. Technical University Vienna, Austria, Abstract of papers.

42. Popov i. Yu. Schrodinger operator, stratified flows and hydrodynawiс stability// 11 th Int. Congress of Mathematical Physics, Paris, Vuly 18-23 1994. P.68.

43. Pcipovfi S.L., Popov I.Vu, Operator extension theory node 1 for raesoscopic systems // 11 th Int. Congress of' . Mathematical Physics, Paris, Yuly 13-23 1994. P.68.

44. Popov l.Yu. Stokes flows in coupled domains and solvable models based on the operator extensions theory//' 2nd European Fluid Mechanics Conference September 20-24,

1994, Warsaw, Poland. Euromech. Abstracts of papers.

45. Popov l.Yu. The operator extension theory, ье.-ii transparent surface arid short- range potential // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1995. V. 117. N 2. P. 101- 110.

46. Попов И. К). Вихреобразованне у края щели и прохождение звуковой волны // Математическое моделирование и краевые задачи : Тезисьт докл. 5-й научной межвузовской конф. / ИДРФ, СамГТУ, Самара, 1995, С. 55- 56.

47. Попов И. Ю. , Попова С. JI. 0 резонансном механизме детектирования звука латеральной системой рыбы // Биофизика!

1995. Т. 40. Вып. 2. С. 443- 447.

48. Popov l.Yu. Stratified flow in electric field, Schrodinger equation and operator extension theory model // ГМФ. 1995. T. 103. и 2. C. 246- 255.

49. Попов И. Ю. Модель ползущего течения в областях, связанных через малое отверстие // Матем. моделирование. 1995. Т. 7. N5. С. 81.

50. Gey 1er V.A., Popov l.Yu. Group-theoretical analysis of lattice Harai1tonians with a magnetic field // Phys. Lett. A.. 1995. V. 201. P. 359- 364.

51. Popov l.Yu. Hydrodynamic stability and perturbation of Schrcdinser operator // Lett. Math. Phys. 1995. V. I? . N

Р, ИЗ-Л9.

52. Popov I.Yu. Extension theory and simulation of nanoelectronic devices // SAMS. 1995. V. 13- 19. Г. 664- cT2.

Подписано к печати 06.09.95 г. Объем I.I п.л.

Заказ 177 Тираж 100 экз. .Бесплатно.

Ротапринт. ИМ). 190000, С.-Петербург, г^р.Гргвцова,It