Разработка методов анализа чувствительности геометрически нелинейных упругих механических систем при статических нагрузках

Распопина, Вера Борисовна

Разработка методов анализа чувствительности геометрически нелинейных упругих механических систем при статических нагрузках тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

Распопина, Вера Борисовна АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Иркутск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2000 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Разработка методов анализа чувствительности геометрически нелинейных упругих механических систем при статических нагрузках»

Автореферат диссертации на тему "Разработка методов анализа чувствительности геометрически нелинейных упругих механических систем при статических нагрузках"

РГ6 од

- 3 ЯНВ №

На правах рукописи

РЛСПОПИНА Вера Борисовна

РАЗРАБОТКА ¡МЕТОДОВ АНАЛИЗА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ УПРУ ГИХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ СТАТИЧЕСКИХ НАГРУЗКАХ

01.02.06 - динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Иркутск - 2000

Работа выполнена н Иркутском государственном техническом университете

Научный руководитель: кандидат технических наук,

доцент В.15. Безделен

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор 0.1$. Репеикпй

кандидат физико-математических наук, доцент Л.Б. Цинк-

Ведущая организация: ОАО Иркутское авиационное

производственное объединение (ОАО ИАПО

Защита диссертации состоится « 1 » декабря 2000 года в 10 часов в за; заседаний з^чёного совета на заседании диссертационного совета К-114.14.01 Иркутском институте инженеров железнодорожного транспорта по адресу: 664074, г. Иркутск-74, ул. Чернышевского, 15

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Иркутского институ инженеров железнодорожного транспорта

Автореферат разослан «31» октября 2000 года

Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, доцент

и ¿14€'), Ш а

А.Н. Панасеш

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При создании объектов современного машиностроения необходимо удовлетворять противоречивым требованиям. С одной стороны, проектируемая конструкция должна обладать прочностью, устойчивостью, надежностью и заданными механическими свойствами, связанными с ее функциональным назначением. С другой стороны, конкурентоспособность изделия существенно зависит от материалоемкости, технологичности и стоимости изготовления, экономичности в эксплуатации и ряда других факторов. Эффективным инструментом решения указанных проблем является численное моделирование проектируемого объекта в сочетании с процедурами поиска оптимальных или рациональных решений. Ключевую роль при определении направления поиска играют методы анализа чувствительности, которые позволяют оценить характер изменения параметров напряженно-деформированного состояния при изменении варьируемых параметров проекта, определяющих его форму, материал или управляющее воздействие.

В последние два десятилетия в мире уделяется значительное внимание развитию эффективных методов анализа чувствительности, их теоретическому обоснованию и практическому использованию. В первую очередь, это обусловлено возросшими возможностями вычислительной техники и созданием средств автоматизации прочностных расчетов нового поколения. Следует отметить, что многие современные промышленные комплексы программ прочностных расчетов включают средства решения стандартных оптимизационных задач на основе методов анализа '(увствитслыюсти. Поля чувствительности позволяют получить информацию об эффективности работы материала в конструкции и поэтому имеют самостоятельное значение при проектировании. За последние годы теория анализа чувствительности сформировалась в самостоятельное научное направление, которое тесно связано с теорией оптимального проектирования конструкций.

К настоящему времени достаточно хорошо изучены методы анализа чувствительности линейных систем. Однако, характеристики ряда современных конструкций таковы, что без учета геометрической нелинейности невозможны коррекгная постановка и решение, как проблем анализа конструкций, так и задач поиска проекта с заданными механическими свойствами. Такие конструкции, как правило, относятся к классу тонкостенных, а также к системам, элементы которых выполнены из материалов, позволяющих испытывать большие упругие деформации. Учёт геометрической нелинейности представляет большой интерес при проектировании объектов машиностроения, кораблестроения, автомобильного транспорта, авиационной и космической техники. В работе многих приборов, датчиков, устройств автоматического регулирования используются эффекты, обусловленные геометрической нелинейностью.

Для геометрически нелинейных систем проблема анализа чувствительности исследована менее полно. Это обусловлено сложностью формулировки и решения геометрически нелинейных задач, которые могут иметь несколько решений. Как правило, геометрически нелинейные задачи не имеют замкнутого аналитического решения, а при численном анализе практических задач требуют-

ся значительные вычислительные ресурсы, решение может быть неустойчивым вследствие неустойчивости поведения самой конструкции.

При проектировании большинства тонкостенных конструкций необходим учёт ограничений по устойчивости. В основном, исследователи решают проблему учёта ограничений по устойчивости на основе линеаризованных соотношений. Однако, такой подход может иметь силу только в ограниченном числе случаев. Для получения достоверных результатов, как правило, необходимо решать задачу устойчивости в большом. В связи с этим возникает необходимость разработки эффективных методов анализа чувствительности параметра критической нагрузки геометрически нелинейных конструкций.

К настоящему времени не получено исчерпывающего решения проблемы анализа чувствительности геометрически нелинейных систем, поэтому необходимы дальнейшие исследования в этом направлении. Особенно актуальной является разработка эффективных и одновременно универсальных методов анализа чувствительности, ориентированных на их использование в системах автоматизации прочностных расчетов на основе метода конечных элементов (МКЭ) для создания и развития современных технологий проектирования механических систем.

Целью диссертационной работы является разработка методики анализа чувствительности параметров напряженно-деформированного состояния геометрически нелинейных механических систем на основе метода конечных элементов; разработка и исследование методов анализа чувствительности параметра критической нагрузки; проверка достоверности и эффективности полученных соотношений на тестовых примерах; разработка программного обеспечения прикладной задачи.

Задачами теоретических и прикладных исследований, решение которых позволяет достигнуть поставленную цель, являются:

-разработка конечно-элементной методики анализа чувствительности перемещений, обобщённых и истинных напряжений геометрически нелинейных систем, позволяющей с общих позиций рассматривать конструкции произвольно]" геометрии, независимо от величины перемещений и поворотов; -разработка алгоритмов анализа чувствительности на основе использования следующих типов конечных элементов: объёмного изопараметрического с переменным числом узлов, треугольного для плоского напряжённого состояния, стержневого, работающего на растяжение - сжатие;

-исследование метода анализа чувствительности параметра критической нагрузки, базирующегося на решении точных нелинейных уравнений состояния; -разработка метода анализа чувствительности параметра критической нагрузи на основе приближённой оценки уровня критической нагрузки; -проведение сравнительного анализа методов анализа чувствительности пара метра критической нагрузки на основе точного и приближенных подходов; -разработка методики проектирования гибких упругих элементов на основе ме тодов анализа чувствительности на примере однослойных сильфонов.

Методика исследований, В основе исследований лежат линейные и не линейные соотношения теории упругости. Численное решение задач теории уп ругости базируется на МКЭ. Для решения нелинейных уравнений состояния ис

пользуется синтез метода приращения нагрузки и метода Ньютона - Рафсона. Используется аппарат дифференциального исчисления. Тестирование разработанной методики осуществляется на геометрически нелинейной модели с известными аналитическими решениями. Результаты анализа чувствительности, полученные с помощью предложенной методики, сравниваются с расчётами на основе метода конечных разностей. Для решения тестовых задач написаны программы на алгоритмическом языке Fortran 90. Некоторые вычисления выполнены с помощью системы символьной математики Mathematica 3.0. Результаты расчёта сильфонов сравниваются с данными других исследователей и результатами эксперимента, для проведения которого использовалась специально изготовленная оснастка.

Научная новизна работы: -разработана методика анализа чувствительности параметров напряжённо-деформированного состояния геометрически нелинейных систем, подверженных статическому воздействию. Методика основана на дифференцировании уравнений состояния, записанных в дискретной форме метода конечных элементов в сочетании с численным дифференцированием матриц отдельных конечных элементов. В качестве параметров состояния рассмотрены узловые перемещения, обобщённые и истинные напряжения, параметр критической нагрузки потери устойчивости;

-впервые получены соотношения для определения чувствительности истинных напряжений;

-с единых позиций получены соотношения для численной реализации разработанной методики применительно к конечно-элементным системам, напряжённое состояние которых описывается изопараметрическим объёмным конечным элементом (КЭ) с переменным числом узлов, треугольным элементом для плоского напряжённого состояния, стержневым конечным элементом, работающим на растяжение - сжатие. Для стержневых КЭ получены соотношения в замкнутой форме с учётом больших деформаций;

-для получения эффективных алгоритмов реализации разработанной методики осуществлён переход от тензорной к матричной формулировке всех необходимых соотношений;

-впервые исследованы особенности анализа чувствительности параметра критической нагрузки при бифуркации форм потери устойчивости в большом; -для повышения эффективности численных процедур построения аппроксимации параметра критической нагрузки разработаны приближенные методы анализа чувствительности;

-разработана методика проектирования однослойных сильфонов на основе анализа чувствительности;

-установлены геометрические параметры сильфонов, по отношению к которым irx жёсткостные характеристики наиболее чувствительны. Впервые построены эпюры чувствительности продольной жёсткости к коэффициентам утонения;

Практическая ценность полученных результатов:

Разработанная методика позволяет сформировать эффективный алгоритм проектирования геометрически нелинейных систем с учётом больших перемещений и деформаций.

Разработанный метод аппроксимации параметра критической нагрузки геометрически нелинейных систем позволяет получить проекты, параметры которых наиболее точно соответствуют техническим требованиям.

Разработанная методика расчёта сильфонов позволяет выполнять анализ параметров состояния и проектировочный расчёт однослойных сильфонов различных типоразмеров на базе единого подхода. Для реализации методики разработана программа генерации конечно - элементной сетки сильфонов на базе изопараметрического конечного элемента с переменным числом узлов, разработана программа построения полей напряжений и полей чувствительности напряжений, вычислены чувствительности продольной, изгибной и сдвиговой жё-сткостей сильфонов;

В диссертационной работе автор защищает: -конечно-элементную методику анализа чувствительности перемещений, обобщённых и истинных напряжений для различных видов КЭ; -алгоритм анализа чувствительности параметров напряжённо-деформированного состояния трёхмерного, двухмерного и одномерного конечных элементов на основе единой методики анализа чувствительности;

-метод построения линейных аппроксимаций параметра критической нагрузки на основе методов анализа чувствительности;

-результаты расчёта и анализ чувствительности параметров состояния однослойных сильфонов на основе изопараметрического КЭ с переменным числом узлов;

- модули генерации расчётных схем однослойных сильфонов, включённые в систему программ COMPASS;

-методику проектирования однослойных сильфонов с использованием анализа чувствительности.

Достоверность результатов обеспечивается корректным использованием методов теории упругости; методов анализа чувствительности; сравнением результатов расчётов с аналитическими решениями, результатами численнок дифференцировния, результатами расчётов других исследователей, результатам! экспериментальных исследований. Для проверки полученных соотношений раз работала программа на алгоритмическом языке Fortran 90, которая позволил; применить разработанную методику к анализу чувствительности ферменно! конструкции

Внедрение работы. Результаты исследований, полученные в диссертаци онной работе, методика расчёта гибких элементов оборудования нефтехимиче ских производств, базирующаяся на применении вычислительного комплекс COMPASS, внедрены в ОАО ИркутскНИИхиммаш, ОАО Ангарская нефтехими ческая компания, что подтверждается актами внедрения.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационно: работы докладывались и обсуждались на Межрегиональном семинаре «Пробле мы оптимального проектирования сооружений» (Новосибирск, 1996г.); I - II Всероссийских семинарах «Проблемы оптимального проектирования сооруже ний» (Новосибирск, 1997, 1998, 2000 г.г.); 1X-XI - ой научно - технических koi ференциях ИВВАИУ (Иркутск, 1995, 1998, 1999 г.г.); VI - ом российско - гош ском семинаре «Теоретические основы строительства» (Иркутск, 1997г.); научн

- технических конференциях ИрГТУ (Иркутск, 1995-1999 г.г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 научных работ.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и приложений. Основная часть диссертации содержит 203 страницы, включающих: 142 страницы машинописного текста, 7 таблиц, 72 рисунка и список литературы из 288 наименований на 24 страницах. Приложения содержат 64 страницы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается необходимость разработки методов анализа чувствительности геометрически нелинейных механических систем при проектировочных расчётах с учётом ограничений по прочности, жёсткости и устойчивости; ставится цель исследований, описываются основные положения работы, приводятся сведения об апробации результатов работы.

В первой главе отражаются основные этапы развития и современное состояние геометрически нелинейной теории упругости.

Значительный вклад в становление и развитие геометрически нелинейной теории упругости внесли отечественные и зарубежные учёные Н.П. Аоовекий. Э.Л. Аксельрод, A.C. Вольыир, К.З. Галимов, И.И. Гольденблат, Э.И. Григолюк, JI.B. Енджиевский, A.A. Ильюшин, Д.И. Кутилин, А. Ляв, А.И. Лурье, В.В. Новожилов, Ю.В. Немировский, В.А. Постнов, Л.И. Седов, В.И. Феодосьев, А.П. Филин, К.Ф. Черных, Дж. Адкинс (J.E.Adkins), Альманси (Almansi), Ариано (Ariano), П. Бриджмен (P.W.Bridgmen), Бургатти (Burgatti), А. Грин (A.E.Green), В. Зерн, (W.Zern), А. Клебгл, М. Крисфилд (М.А. Crisfield), Ф. Мурнаган (F.Murnaghan), Дж. Оден (J.T. Oden), Синьорини (Signorini), P.C. Ривлин (R.S.Rivlin) и др.

В работе в качестве меры деформаций используются компоненты тензора деформаций Грина S;j и соответствующие им компоненты второго тензора напряжений Пиола - Кирхгоффа o',J. Достоинствами этих тензоров является то, что они и их инварианты могут быть записаны без полярного разложения.

Для численного решения задач геометрически нелинейной теории упругости, как правило, используется МКЭ. В связи с этим все соотношения представлены в матричной форме.

Рассматриваются идеально упругие материалы, у которых связь между мерами напряжений и деформаций имеет линейный характер

к-ЫШ W

где [ö]- матрица, содержащая упругие постоянные материала.

Компоненты второго тензора напряжений Пиола - Кирхгоффа не являются напряжениями в общепринятом смысле этого термина, что обуславливает необходимость при решении ряда проектировочных задач геометрически нелинейных систем установить связь между ними и компонентами истинных напряжений cr'J. Существует следующая зависимость

er'i =G*'i Tjj (не суммировать), (2)

где Тц ,__, (3)

Уравнения равновесия имеют вид

{[B]Hdv0-{R}=0,

(4)

где {R} - вектор узловых сил, v0 - объём тела до деформации, [В]- матрица, обуславливающая связь между приращениями перемещений и деформаций

{dsHBM. (5)

Для решения уравнений, используется итерационный метод Ньютона-Рафсона в приращениях. На каждом шаге для определения прирашения перемещений используется касательная матрица жёсткости [Кт]

[ктНк5]+[к0], (6)

[K6bJ[B]T[D][B]dv0, (7)

[Kg ]= j [G]T [a* ] [G ]dvu, (8)

где [K8] и [К о ] - матрицы жёсткости больших перемещений н геометрической жесткости, [G] - матрица производных функций формы по материальным координатам

Далее в главе 1 описывается назначение анализа чувствительности, который позволяет и качественно и количественно оценить влияние изменения параметра проектирования исследуемой системы на параметры её состояния. В этой связи его можно использовать как инструмент, позволяющий направленно изменять параметры проектирования, чтобы получить системы с требуемыми механическими характеристиками. Наряду с этой функцией, анализ чувствительности эффективно используется для получения аппроксимаций параметров состояния, входящих в систему ограничений приближённой задачи нелинейного математического программирования при решении проблемы оптимизации механических систем. Затем рассматриваются существующие методы анализа чувствительности, осуществляется их сравнение. Анализ чувствительности линейных систем представляет собой достаточно хорошо изученное направление теории анализа чувствительности, для которого создана прочная теоретическая основа и накоплен богатый опыт практических решений. Исследованиям в этом направлении и построению качественных аппроксимаций посвятили работы: Н.В. Ба-ничук, В.В. Безделев, Г.И. Гребенюк, В.А. Зарубин, В.Г. Киселёв, И.Б. Лазарев, A.A. Мещик, A.A. Полынкин, В.В. Торопов, R.A. Adey, J.S. Агога. K.J. Bathe, М.Е. Botkin, К.К. Choi, E.J. Haug, V. Komkov, B.M. Kwak, O.C. Zienkiewicz, Z. Zhao и др. Анализ чувствительности геометрически нелинейных систем является относительно новым направлением в теории анализа чувствительности. Начало исследований приходится на середину 80-х годов. Значительный вклад в данные исследования внесли Н.М. Adelman, J.S. Arora, J.S. Campbell, J.E.B. Cardoso, K.K. Choi, J.H. Choi, C.-J. Chen, L. Demkowicz, L.F. Greimann, H.S. Gopalakrislina, W. Gutkowsski, R.T. Haftka, M. Haririan, T D. Hien, Y. Hyun, M.P. Kamat, M. Kleiber,

Т.Н. Lee, Z. Mroz, Y.S. Ryu, J.L.T. Santos, J.S. Sobieszczanski-Sobieski, G. Szefer, V.B. Venkayya, C.C. Wu, R.J. Yang, и др. Обзор методов анализа чувствительности геометрически нелинейных систем показывает, что к настоящему моменту получены общие соотношения как в континуальной, так и в дискретной форме. Вторая форма представления соотношений основана на МКЭ и предназначена для развития применительно к численной реализации. Необходимы исследования особенности реализации этих соотношений для конкретных типов КЭ.

В завершении главы ставится цель исследований, описываются основные задачи теоретических и прикладных исследований, решение которых позволяет добиться поставленной цели..

Во второй главе показан анализ чувствительности как средство решения задач оптимизации геометрически нелинейных механических систем. На основе анализа чувствительности получаются линейные относительно параметров проектирования аппроксимации параметров состоять, входящих в систему ограничений приближённой задачи оптимизации на t - ой итерации.

найти min f1 (X), ХеЕ\ (9)

при ограничениях gj(P'(X,5(X)),X)<0, j=l,2,...mt, (10)

Х^п<Х<Х1ш,х, (11)

где f(x)- скалярная функция векторного аргумента X. отражающая заданный критерий оптимальности проекта, именуемая функцией пели; Х = {Х,,Х2....,ХП} - вектор параметров проектирования размерности п, причём

XJjlin>Xm!n, XnaxáXmax, 8 = {8, ,52,-. .,5,} - вектор узловых перемещений, размерность которого соответствует числу степеней свободы системы; m1 -число ограничений неравенств, учитываемых на t — ой итерации; Р(Х,5 ) = {Р, ,Р2,.. .,Рк}- вектор параметров состояния размерности к, который для геометрически нелинейной постановки, является неявной функцией варьируемых параметров и перемещений (10). Для случая, когда деформации малы по сравнению с единицей, как например, при деформировании тонкостенных конструкций, у которых при значительных поворотах и перемещениях деформации незначительны, значения компонентов вектора обобщенных напряжений мало отличаются от значений компонентов вектора истинных напряжений, то есть {ст* }~{d). Тогда ограничения (10) имеет смысл записать через вектор обобщённых напряжений {ст*}. Под «обобщёнными напряжениями» понимаются компоненты второго тензора напряжений Пиола - Кирхгоффа. Однако, если характер деформирования таков, что в процессе деформирования размеры элементов претерпевают значительные изменения, то в систему ограничений имеет смысл ввести истинные напряжения {сг}. В систему ограничений (10) так же входят перемещения. Необходимость введения системы ограничений (11) вызвана ограниченностью области применимости аппроксимащш параметров состояния на t -ой итерации. Связь между параметрами проектирования и параметрами состояния обусловлена уравнениями равновесия (4).

В данной работе при решении проблемы оптимизации геометрически нелинейных систем предлагается получать аппроксимации не самих функциона-

лов, образующих систему ограничений, а параметров состояния, обуславливающих эти функционалы. Это позволяет наиболее точно отражать поведение функционалов при решении приближённой задачи на I - ой итерации оптимизационного процесса. Аппроксимации компонентов вектора параметров состояния, входящих в ограничения на I - ой итерации, строятся с помощью усечённого ряда Тейлора, содержащего слагаемые первого порядка

р, (X* + л X') * Р, (Х')+у; Р/,, • д х;, (12)

где к - размерность вектора параметров проектирования на I - ой итерации; Р| -1-ый параметр состояния, входящий в систем}' ограничений на I - ой итерации процесса оптимизации; X1 - вектор параметров проектирования, соответствующий точке, в окрестности которой строится аппроксимация на I - ой итерации.

Так как Р, - это 1-ый параметр состояния, представляющий собой неявную функцию перемещений и переменных проектирования Р1 = ^ (Х.о(Х)), то его производная равна

<1Р; ЭР, ЭР, 55

—— +----------('13)

¿К дХ 58 ЭХ '

Из выражения (13) следует, что получение производной любого параметра состоян;«. входящего ц систему огршячений, включает в себя вычисление век-

тора чусствит/льиоапеь перемещений —V. Для построения соответствующего алгоритма продифференцируем уравнение (4) по 1 - ому варьируемому параметру X;. После некоторых преобразований получим

ЭХ;

(К)

[ЭХ^ [5Х;. С учётом (7) оно имеет вид

[Кт]{3,;М^}, (15)

{Р(} -вектор псевдонагрузки. Для определения чувствительности перемещений используется матрица [Кт], полученная на последней итерации решения уравнения (4).

В соответствии с (13), полная производная обобщенных напря^юении равна

ёстМ \дс']

ах,/ [0X11 ^нэз^эх;

где т - число степеней свободы элемента. Размерность векторов производных с!о* 1

соответствует размерности вектора оооощённых напряжении.

После ряда преобразований, выполненных с учётом выражений (1) и (5), в работе получено соотношение вида

Соотношения чувствительности истинных напряжений другими исследователями не получались. Согласно (13) вектор полных производных компонентов истинных напряжений {а} можно вычислить следующим образом der 1 { der ] 1 95j

С учётом (2) первое и второе слагаемые в соответствии с выражениями, определяющими компоненты соотношения (2), можно представить как

(18)

5 X, aSj Fx]

сТ 9Xi 9Т~ 96]

(cr-

9§j

9X7 "

д X,

-[T][D][B]

95 9Х,

(19)

(20)

При использовании данной методики для построения аппроксимаций параметров состояния отпадает необходимость выполнения дополнительных вычислений, поскольку при определении чувствительности параметров напряженно - деформированного состояния используется касательная матрица, найденная на этапе прямого расчёта. Поскольку функции являются гладкими, частные производные по i - ому параметру проектирования в (14), (17)-(20) удобно вычислять на основе метода конечных разностей, особенно, если форма тела зависит от варьируемых параметров.

В третьей главе соотношения общей методики, полученной во второй главе, разрабатываются применительно к конкретным конечным элементам: изопарамегрическому объёмному с переменным числом узлов, треугольному плоского напряжённого состояния, стержневому, работающему на растяжение -сжатие. Рассмотренные в главе 1 общие соотношения МКЭ, записываются в контексте данных конечных элементов, затем на базе алгоритмов, полученных в главе 2. строятся соотношения анализа чувствительности параметров напряженно - деформированного состояния. В качестве тестирующего примера была рассмотрена шарнирно - стержневая система, именуемая фермой Мизеса (рис. 1). Рассматриваюсь несколько модификаций фермы. Результаты расчетов представлены в виде таблиц и графиков. Численные значения параметров напряженно - деформированного состояния системы и их чувствительности были получены с помощью разработанной на языке Fortran 90 программы, все вспомогательные вычисления и графические построения выполнялись с использованием системы символьных вычислений Mathematica 3.0. С целью проверки полученных соотношений для анализа чувствительности были построены графики зависимости перемещений и напряжений от параметров проектирования и найдены производные в конечных разно-

Рис.1. Ферма Мизеса

стях. Параметрами являются длины

проектирования стержней 1L, 2L и

высота фермы С. Все результаты вычислений чувствительности систематизированы в форме таблиц.

Приведём случай, когда фиксированные параметры фермы следующие: С = 0.7м, 'Ь = 1.0 м. '<1 = М = 0.02 м, Е = 0.2 МПа, горизонтальная нагрузка равна нулю, вертикальная - 20 Н, параметром проектирования является длина второго стержня. На рис. 2 показаны графики зависимости перемещений и напряжений от Ь, которые демонстрируют характер изменения параметров состояния, в частности, с их помощью легко отследить смену знака производных.

В различных точках графиков на основе разработанной методики и метода

Рис.2. Параметры напряженно - деформированного состояния элементов фермы в зависимости от 2Ь: а - горизонтальное перемещение узла 2; б — вертикальное перемещение узла 2;

в - продольная составляющая обобщенных напряжений элемента 1; г - продольная составляющая обобщенных напряжений элемента 2.

конечных разностей была вычислена чувствительность рассматриваемых параметров состояния. Результаты приведены в таблицах 1-2. Совместный анализ графиков и таблиц показывает, что разница результатов по двум методикам достаточно мала, исключение составляют точки в окрестности экстремума. В этом случае чувствительность и её абсолютная погрешность при уменьшении шага дифференцирования стремятся к ну лю, а относительная погрешность неопределима, так как воидакает неопределённость типа 0/0.

Рассматриваемый пример позволяет сделать вывод, что с помощью предлагаемой методики анализа чувствительности параметров напряженно - деформированного состояния геометрически нелинейных систем можно получить достаточно точные производные, отражающие поведение исследуемой функции в окрестности поисковой точки. А это, в свою очередь, позволяет построить качественные аппроксимации параметров состояния при решении оптимизационной задачи или правильно определить направление изменения параметров проектирования при решении проектировочной задачи.

Таблица 1

ги М по (20) r>L ÖU2 - к.р. d2L Л,% dV2 — по (20) о-L dV2 - к.р. д2 l Л,%

0.90 -3 6180x10"' -3.6316Х104 0.38 1.1399x10' 1.1492Х10"1 0 80

1.00 -1.4329х 10"' -1.4380x10"' 0.36 -1.1327x10"' -1 1319x10' 0.07

1.14 | 4.3256хЮ"4 3.1932Х I0"4 - -2.5855x10"' -2.5882x10"' 0.11

1.25 | 6.3739x10-'2 6.3760ХЮ"2 0.03 -3.3599x10"' -3.3638x10"' 0.12

Таблица 2

2U м --^-по(22) d2L д 'о'», к.р d*L 4 , % по(22) д-а'а --к.р d2L А, %

0.90 -61665.7897 -61836.7101 0.28 5905.6463 5910.3408 0.79

1.00 -43600.9559 -43698.4335 0.22 | -851.1426 -873.9177 2.61

1.14 -30909.S077 -30966.0559 0.18 ■ -4115.0388 -4144.2675 0.71

1.25 -25057.554? -25097.7935 0.15 i -4932.3353 -5011.С673 0.56

В четвёртой главе исследуется вопрос учёта ограничений по устойчивости, в частности, построение аппроксимации параметра критической naqiy'KH на основе методов анализа 1 ¡уветтительгоети геометрически нелинейных систем. В первой 1асш главы рассматриваются основные подходы к решешпо проблем анализа устойчивости и учета ограничений по устойчивости. В частности, исследования в этой области ведутся томскими учёными под руководством профессора JI.C. Ляховича. Обзор современного состояния проблемы анализа чувствительности параметра критической нагрузки геометрически нелинейных систем показал, что геометрическая нелинейность в большом посвятили свои работы J.S. Атога, L. Berke, B.J. Butinar, K.K. Choi, M.P. Kamat, М. Kegl, N.S. Khot, MM. Oblak, J.S. Park, P. RuangsiLasingha. V.B. Venkayya, C.C. Wu и др. Проведённый обзор показал, что эта проблема требует детального анализа.

Во второй части рассмотрено три метода определения параметра критической нагрузки и соответствующие им метода анализа чувствительности. Численное сравнение выполнено на примере фермы Мизеса с симметричными расчетной схемой и условиями нагру кення, то есть 'L = 2L, 'd = 2d, 'E = 2E, Rx = 0, Ry Ф 0.

Для оценки эффекта учёта геометрической нелинейности рассмотрен случай начальной устойчивости, когда анализ устойчивости осуществляется с помощью линеаризованных уравнений. Оценка устойчивости выполняется на основе решения обобщённой проблемы собственных значений

([KL ]+т]сг [К gl ]) {ф} =0, (21)

где [Kl]- линейная матрица жесткости, [Кgl] - матрица геометрической жесткости, соответствующая [<Jl ]> которые определяются после решения уравнений

[KL]{5MR}. ' (22)

Собственный вектор {ф} характеризует форму потери устойчивости системы и представляет собой обобщенные перемещения узлов системы по направлению нулевой жесткости. Он нормирован следующим образом {ф} [Kol

Производная параметра критической нагрузки определяется по формуле

ах,

■=Ы7

'ЭКь' ЭХ;

{ф}+Лсг{ф}7

с1К

оь

ах;

Ы-

(23)

На рис.3 показан график зависимости параметра критической нагрузки от высоты фермы. Данный график имеет точку излома, то есть точку, где производная не определена. Эта точка соответствует моменту бифуркации форм потери устойчивости системы, что в рамках рассматриваемой методики означает появление кратных собственных значений при решении обобщенной проблемы собственных значений (21). Данный график является совокупностью двух графиков «цсг1 - С» и «т)сг2 - С», точкой излома которых является точка пересечения (рис.4). Из чего следует возможность получения производных qcг^,J и Г]сг2,1 в точке излома Таким образом, надлежащая нумерация собственных значений позволяет получить производную по Фреше для параметра критической нагрузки.

, Ч.п-Лсг:

Рис.3. График зависимости параметра критической нагрузки от высоты фермы

Рис.4. Графики зависимости собственных значений обобщенной проблемы собственных значений от высоты фермы

Устойчивость в большом. Чтобы получить достаточно точную оценку уровня критической нагрузки конструкций, перемещения и деформации которых значительны, необходимо выполнить нелинейный анализ их поведения при пошаговом увеличении нагрузки. Уравнение (4) удобно представить в виде * т

М5)}=ДВ] {ст"}(1уо-Т1{Ь}=0, Л-ПЫ1:»---»Лсг. (24)

При увеличении параметра Г] до уровня нагружения, соответствующего критическому Г|сг, матрица касательной жесткости [К ; ], вычисленная на последнем шаге итерационного процесса решения уравнения (24), становится вырожденной. Её наименьшее собственное значение К становится равным нулю, а собственный вектор {ф} характеризует форму потери устойчивости

[Кт(Псг)]{ф}=Мф}=0. (25)

Тогда производная параметра критической нагрузки при {ф }Т {Я } равна

¿ту с!Х;

(ф№

Ы1

|[В]т{а*МУо ,,-лЛМ

(26)

Для исследования рассматриваемой методики был выполнен расчет фермы Мизеса на устойчивость на основе системы уравнений (24). На рис.5 построен

график зависимости нагрузки от вертикального перемещения узла 2 при С = 0.5м, 'L = 2L = 1м. В таблице 3 приведены результаты вычислений по формуле (26) и в конечных разностях на основе решения уравнений (24-25). Однако, соотношение (26) имеет силу до того момента, пока не произошла смена формы потери устойчивости. На графике, показанном на рис б, этот момент соответствует точке 1. При этом касательная матрица жесткости имеет два нулевых кратных собственных значения и ь, связанных с двумя разными формами потери устойчивости: {(pi}T= [0 1}, {<Рл}Т = {1 О). Так как при дифференцировании важно, что имеет место: точка перегиба или излома, то для выявления природы точки I построены графики, представляющие собой поверхности, описанные функциями X] = f (С, V:) и 7-2 = f(C, V2) (рис.7). Точка, находящаяся ira линии их пересечения, для которой =Л-2=0. эквивалентна точке I на рис.6. Точки, представляющие собой след комбинированной поверхности на горизонтальной плоскости, проходящей через нулевые значениям и /.;, соотсетс гвуюг точкам, образующим график на рис.6.

о г г л. п \т Рис.б. График зависимости «п..г - С»

Рис.5. График зависимости «К1- -V?» , ^ , I

с п _1 п-) 1 ли \т точка 1 - точка перегиба (смены

формы потери устойчивости)

Таким образом, анализ совокупности двух графиков на рис. 7 позволяет сделать вывод, что ниспадающая ветвь графика имеет тот же физический смысл, что и аналогичный участок графика 7 на рис.3.

Определение чувствительности параметра критической нагрузки при значении С, лежащем правее : точки излома фис.7), привело к появлению нуля в знаменателе выражения (31). записанного для рассматриваемого случая. Это обусловлено тем, что перемещение узла 2 становится ортогональным к направлению нагрузки.

Рис.7. Поля собственных значений касательной матрицы жесткости [Кт]в единой системе координат.

Таблица 3

С, м Rct, Н (лин.) Rcr, Н (нелин.) 0г)сг / дС по (31) 5цдг 1 дС к.р по (29-30) Д,%

0.1 0.1256 0.02417 103.66 103.59 0.07

0.5 15.7000 3.02146 18.142 18.129 0.07

0.7 43.0800 8.29088 17.778 17.766 0.07

Из таблицы 3 видно, что расчёты на основе линеаризованных соотношений завышают значения критической силы в среднем в 5 раз, что недопустимо.

Анализ формулы (26) показал, что рассматриваемая методика анализа чувствительности носит ограниченный характер. Она может быть использована, пока не достигнута точка бифуркации форм потери устойчивости. В случае ортогональности векторов перемещения и нагрузки следует использовать метод, основанный на аппроксимации соответствующего собственного значения касательной матрицы жёсткости.

Приближённые методы аппроксимации параметра критической нагрузки. Точное определение параметра критической нагрузки требуется в тех случаях, когда необходимо найти параметры, при которых конструкция обладает заданными механическими свойствами (например, усилием прощелкивания). В ряде случаев методику точного определения параметра критической нагрузки можно заменить приближенными. Данные методы были получены для повышения эффективности оптимизационного процесса. Введем параметр нагружения rjcr, значение которого близко к значению параметра критической нагрузки Г| г, причем rjcr < t|cr - Связь между точным и приближенным параметрами следующая

Tier ~1с-Г)сг, (27)

где к - параметр догружения до уровня критической нагрузки Т]сг. Малость отличия от 1 величины к позволяет по аналогии с линейным случаем (21) и с учетом (25) записать условие вырожденности матрицы касательной жесткости в следующем виде

[к т (ПсгЖсрЙМле, )]+k-[KG )] .КфИ , (28)

где [К5 (?{„)] и [Кс(Лсг)] соответствуют матрице больших перемещений и матрице геометрической жесткости, полученным на последней итерации процедуры решения уравнения (24) при = т\сг. Если предположить, что уровень преокритической нагрузки не зависит от параметров проектирования, то производная параметра критической нагрузки равна

dria dk

dXi dXi dK

•Tier, (29)

dXi

{cp}+k {(p}T

dKc

dXi

Ы- (30)

Однако, данный подход к определению приближённого значения т^ имеет силу только для случая с малой нелинейностью. Для случая с большой нелиней-

J[BJT {ст- }d V0\i - л« {R,i >

Lvvo )

(31)

ностыо имеет смысл воспользоваться выражением (26) применительно к приближённому параметру rjcr. Близость приближённого значения к точному можно оценить по величине наименьшего собственного значения [Кт].

1 |_>iff ГГг^Т

¿Х-, "{cpflR}1

Приближенный характер эта формула приобретает за счет приближённого вы-полне1Шя условия (25).

а)

Рис.8. Расчётные схемы сильфона: а - все элементы в окружном направлении; б - половина элементов в окружном направлении; в - четверть элементов в окружном направлении

Рис.9. Деформированная схема сильфона, работающего на сдвиг

всех (кручение, сдвиг), половины (изгиб) или четверти (растяжение-сжатие) элементов в окружном направлении, возможен учёт коэффициентов утонения. С помощью программной системы COMPASS было исследовано напряжённо -деформированное состояние при варьировании геометрическими параметрами. Результаты расчета сопоставлялись с результатами расчетов на основе известных методик. Наряду с этим в диссертации были выполнены экспериментальные исследования работы сильфонов. На рис. 10 показана экспериментальная установка для определения продольной жёсткости тонкостенного сильфона, входящего в состав уплотнительного соединения оборудования нефтехимических

производств. Сравнение конечно - элементных расчётов и расчётов по традиционным методикам с результатами экспериментов показало, что наименьшие погрешности даёт конечно - элементный подход (порядка 6%). Погрешности традиционных методик могут достигать порядка 30%.

В силу своих конструктивных особенностей и назначения сильфоны должны обладать заданной жёсткостью и определённой геометрией. Значительное взаимное влияние геометрических параметров не позволяет заранее предположить, как воздействует изменение конкретного геометрического параметра на характер изменения параметров напряжённо - деформированного состояния. В Рис.10. Установка для таком случае эффективным инструментом при экспериментального опре- проектировании является анализ чувствительности, деления продольной жёст- Для примера рассмотрим влияние на про-

дольную жёсткость по силе коэффициентов утонения. На рис. 11 показана эпюра чувствительности продольной жёсткости от коэффициентов утонения толстостенного сильфона. Из графика видно, что величина изменения жёсткости сильфона принимает наибольшие значения, когда меняется толщина стенки в точках 2 и 8; мало чувствительна жёсткость к изменениям толщины стенки в точке 5. Достоверная информация о влиянии распределения толщины по образующей сильфона позволяет выбрать соответствующую технологию изготовления. Для получения сильфонов с жёсткостью заданной степени точности следует при разработке технологического процесса заложить определённые допуски на толщину стенки в кон-

кости сильфона

Рис.

Изменение чувст-

вительности продольной кретных точках образующей. Информация о чув-жёсткости сильфона по си- ствительности жёсткости на рис. 11 делает это ле в зависимости от коэф- возможным.

фициентов утонения При получении ограничений на прочность

сильфонов используют функционал, именуемый эквивалентным напряжением (Тэкв. На рис. 12 показаны поля С7ЭКВ для сильфона, работающего на растяжение. При этом приняты обозначения: "ЫЬ - номера расчётных точек в меридиональном направлении, N0 - номера расчётных точек окружном направлении. Эти поля построены для одной волны и соответствуют единичному относительному смещению торцовых сечений, единицы измерения МПа. Полученные графики показывают, что наиболее напряжёнными являются точки, принадлежащие внутренней поверхности впадины гофра. Для осуществления направленного поиска решения проектировочной задачи следует определить чувствительность <хжв к параметрам проектирования. На рис. 13 представлены поля чувствитель-

ности сжв для внутренней поверхности при увеличении толщины стенки силь-фона. В частности, они показывают, что напряжённое состояние при фиксиро-а)

/.о ;

.......I й

Ч 5

Рис.12. Эквивалентные напряжения: а - для наружной поверхности; б - для внутренней поверхности

а) ш/ К

-еж -1 ж

5 {

У1

; Г е

4.1

^ Г £ Л' ^ .

^ / I 4- * Т } ^ у " 1

".я- ■)■>■ "д.»4»! • А'—4«* "¿/¡'¿б—1Щ-У.Г/1

4 ' и I Ч -* '75 0

I 1 \ :'

* • V. у, / : 50 О

______У у':-«

Рис.13. Поля чувствительности эквивалентных напряжений для внутренней поверхности: а — при фиксированной нагрузке; б - при фиксированном перемещении

ванной нагрузке уменьшается, а при фиксированном перемещении возрастает, особенно, в изначально более напряжённых точках. При решети оптимизационной задачи целесообразно определять чувствительность не самого функционала, а определяющих напряжений, поскольку они представляют собой более гладкие функции. Это позволит повысить точность аппроксимации функционала (11). В случае продольного деформирования сильфонов к числу определяющих относятся меридиональные нормальные напряжения стм, то есть нормальные напряжения действующие по направлению образующей сильфона. В качестве примера на рис. 14, 15 показаны поля нормальных меридиональных напряжений и их чувствительность к приращению толщины стенки сильфона.

б)

Рис. 14. Нормальные меридиональные напряжения: а - для наружной поверхности; б - для внутвенней поверхности

а)

ь, * (,

« «А I

ЛЛ\ »

Т' I1, г''' ) «

-/-'.а ю

Т^К 1

Рис.15. Поля чувствительности нормальных меридиональных напряжений для внутренней поверхности: а — при фиксированной нагрузке; б -при фиксированном перемещении

Наиболее сложный характер имеет распределение напряжений при сдвиговой нагрузке. На рис. 9 показана деформированная схема сильфона. Поля напря жений построены для сильфона с восемью гофрами (рис 16). В данном случае наиболее напряжёнными являются точки внутренней поверхности, лежащие на

границе первой и второй, по а) следней и предпоследнеГ

гофр (рис. 16,а). В окружное направлении эти точки при надлежат областям, лежа щи N на пересечении плоскоси симметрии деформированно! схемы сильфона с его внутренней поверхностью. В качестве варьируемого параметра принят внутренний радиус гофра. Анализ поле? чувствительности эквивалентных напряжений говори! о том, что рассматриваемое изменение практически никаь не воздействует на максимальные напряжения пр! фиксированной нагрузке (рис. 17,а), зато существеннс их уменьшает при фиксированном перемещении (рис 17,6). Одним из определяющих параметров функционал; напряжений при сдвиге сильфона являются сгм (рис к 16,а). По аналогии с преды

Рис.16. Поля напряжений для внутренней по- ДУЩ™ случаем, в качеств< верхности: а - эквивалентных; б - нормаль- примера, на рис. 18 показань ных меридиональных поля их чувствительности.

Рис.17. Поля чувствительности эквивалентных напряжений для внутренней поверхности: а — при фиксированной нагрузке; б —при фиксированном перемещении

Рис.18. Поля чувствительности нормальных меридиональных напряжений для внутренней поверхности: а - при постоянной нагрузке; б - при фиксированном перемещении

Сложный закон распределения полей напряжений сильфонов, невозможность априорно установить характер их качественного изменения и характер изменения жёсткости сильфонов позволяет сделать вывод, что анализ чувствительности представляет собой эффективное средство при проектирована сильфонов. Он делает возможным, направленно изменяя определённые геометрические параметры сильфона, добиться одновременного обеспечения прочности, требуемой жёсткости и требуемой геометрии.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

Основные результаты исследований следующие:

1. Разработана методика анализа чувствительности перемещений, обобщенных и истинных напряжений геометрически нелинейных систем. Использование в ней касательной матрицы жёсткости, полученной на этапе прямого расчета, и численного дифференцирования матриц элементов делает данную методику удобной для практических расчётов.

2. Получены соотношения анализа чувствительности для численной реализации разработанной методики применительно к системам, напряжённое состояние которых описывается изопараметрическим объёмным конечным элементов с переменным числом узлов, треугольным элементом для плоского напряжённого состояния, стержневым конечным элементом, работающим на растяжение ■ сжатие. Разработан алгоритм их реализации.

3. Алгоритмы анализа чувствительности опробованы на тестовой задаче математическая модель которой отражает основные особенности работы геометрически нелинейных систем. Были выполнены и проанализированы расчёты перемещений, обобщённых и истинных напряжений ферменной конструкции и ю чувствительности.

4. Показано, что использование критерия начальной устойчивости может привести к большим погрешностям при определении критической силы.

5. Для повышения эффективности численных процедур построения ап проксимации параметра критической нагрузки разработаны приближенные методы аппроксимации параметра критической нагрузки.

6. Впервые исследованы особенности анализа чувствительности параметр; критической нагрузки при разветвлении форм потери устойчивости в большом.

7. Предложена интерактивная методика проектирования сильфонов на основе метода анализа чувствительности. Для этого созданы программы на языке Fortran 90, которые позволяют автоматически построить поля напряжений и го чувствительности для наружной и внутренней поверхностей стенки сильфон; при любом виде нагружения. Применение методики показало, что анализ чувствительности является эффективным инструментом, позволяющим выявить ха рактер изменения полей напряжений в результате варьирования геометрическими параметрами.

8. Обоснован выбор расчётной схемы однослойного сильфона на базе изо-параметрического объёмного конечного элемента с переменным числом узлов Результаты численного анализа сопоставлены с результатами расчётов друга.

исследователем и с экспериментальными данными.

9. Разработанную методику анализа чувствительности геометрически нелинейных систем целесообразно использовать в системах автоматизированных расчётом и проектирования

Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы и следующих работах.

1. Безделев В.В., Распогшиа В.Б. Итерационный метод оптимизации геометрически нелинейных механических систем // Проблемы оптимального проектирования сооружений. Доклады межрегионального семинара - Новосибирск: НГАС.

1996, с. 104-107.

2. Безделев В.В.. Распогшиа В.Б. Расчёт и оптимальное проектирование сильфо-нов с использованием объемных конечных элементов Проблемы оптимального проектирования сооружений. Доклады 1 Всероссийского семинара - Новосибирск: НГАС, 1997, с. 39-47.

3. Безделев В.В., Распогшиа В.Б. Методика оптимального проектирования геометрически нелинейных систем // Механика деформируемых сред в технологических процессах. Межвузовский сборник научных трудов - Иркутск: ИрГТУ,

1997, с. 4-10.

4. Безделев В.В., Распопина В.Б. Метод оптимального проектирования геометрически нелинейных механических систем // Повышение эффективности строительного производства. Сборник научных трудов строительного факультета ИрГТУ- Иркутск: ИрГТУ, 1997, с. 39-41.

5. Безделев В.В., Распопина В.Б. Оптимальное проектирование геометрически нелинейных оболочек с с использованием объёмных конечных элементов // Теоретические основы строительства. Материалы VI российско-польского семинара - Варшава, 2-5 июля 1997, с. 25-30.

6. Безделев В.В., Распопина В.Б. Методика оптимального проектирования геометрически нелинейных стержневых систем // Вестник ИрГТУ, № 2 - Иркутск: ИрГТУ, 1997, с. 67-73.

7. Безделев В.В., Распопина В.Б. Аппроксимация ограничений по устойчивости при проектировании оптимальных конструкций // Труды НГАСУ, т. 1, № 2 - Новосибирск: НГАСУ, 1998, с. 44-51.

8. Безделев В.В., Буклемишев A.B., Лукьянов A.A., Распопина В.Б. Компьютерная система COMPASS и её применение в расчётах объектов химического машиностроения // Вестник ИрГТУ, № 3 - Иркутск: ИрГТУ, 1998, с. 128-133.

9. Безделев В.В., Распопина В.Б. Оптимальное проектирование геометрически нелинейных систем /. Тезисы докладов науч.-техн. конференции в Иркутском высшем военном авиационном инженерном училище - Иркутск: ИВВАИУ.

1998, с. 19-21.

10. Безделев В.В., Распопина В.Б. Сравнение точного и приближённых методов анализа чувствительности критической нагрузки при оптимизации конструкций с ограничениями по устойчивости в большом // Проблемы оптимального проектирования сооружений. Доклады III Всероссийского семинара, т. 2 - Новосибирск: НГАСУ, 2000, с. 23-29.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата технических наук, Распопина, Вера Борисовна

Введение.

Глава 1.

Современное состояние теории расчета и анализа чувствительности геометрически нелинейных систем.

1.1 Постановки и методы решения задач геометрически нелинейной теории упругости.

1.1.1 Современное состояние геометрически нелинейной теории упругости. 13 1.1.2. Решение геометрически нелинейных задач методом конечных элементов

1.2. Современное состояние теории анализа чувствительности.

1.3. Цели и задачи исследований.

Глава 2.

Разработка методики анализа чувствительности геометрически нелинейных механических систем.

2.1. Анализ чувствительности геометрически нелинейных систем при решении проектировочных и оптимизационных задач.

2.2. Анализ чувствительности параметров состояния.

2.2.1. Анализ чувствительности перемещений.

2.2.2.Анализ чувствительности компонентов второго тензора напряжений Пиола-Кирхгоффа.

2.2.3. Анализ чувствительности истинных напряжений.

Глава 3.

Анализ чувствительности на основе стержневого, треугольного и гексаэдрического конечных элементов.

3.1. Изопараметрический объемный конечный элемент с переменным числом узлов.

3.1.1. Основные соотношения и матрицы.

3.1.2. Определение чувствительностей перемещений и напряжений.

3.2. Треугольный конечный элемент.

3.2.1. Основные соотношения и матрицы треугольного конечного элемента.

3.2.2. Определение чувствительностей перемещений и напряжений для треугольного конечного элемента.

3.3. Стержневой конечный элемент, работающий на растяжение - сжатие.

3.3.1.Основные соотношения и матрицы стержневого конечного элемента.

3.3.2. Определение чувствительностей перемещений и напряжений с использованием стержневого конечного элемента.

3.3.3. Определение параметров напряженно - деформированного состояния и их чувствительностей на примере фермы Мизеса.

Глава 4.

Учет требований устойчивости при проектировании геометрически нелинейных механических систем.

4.1. Основные методы решения проблем анализа устойчивости и учета ограничений по устойчивости в задачах проектирования геометрически нелинейных систем.

4.2. Аппроксимация параметра критической нагрузки.

4.2.1. Начальная устойчивость.

4.2.2. Устойчивость в большом.

4.2.3. Приближенные методы аппроксимации параметра критической нагрузки

Глава 5.

Расчёт и проектирование сильфонов на основе методов анализа чувствительности.

5.1.Анализ существующих методов расчета сильфонных элементов. элементов.

5.2.1. Генерация конечно элементов.

- элементной сетки для однослойных сильфонных

5.2.2. Статический расчёт сильфонов с помощью МКЭ. Сравнительный анализ результатов расчёта с результатами традиционных методик и экспериментальных исследований.

5.3. Анализ параметров напряженно - деформированного состояния и их чувствительности.

5.3.1. Необходимость использования анализа чувствительности при проектировании сильфонов.

5.3.2. Исследование жёсткости сильфона. Анализ чувствительности.

5.3.3. Анализ напряжённого состояния сильфонов. Анализ чувствительности напряжений.

5.3.4. Вывод.

Введение диссертация по механике, на тему "Разработка методов анализа чувствительности геометрически нелинейных упругих механических систем при статических нагрузках"

При создании объектов современного машиностроения необходимо удовлетворять противоречивым требованиям. С одной стороны, проектируемая конструкция должна обладать прочностью, устойчивостью, надежностью и заданными механическими свойствами, связанными с ее функциональным назначением. С другой стороны, конкурентоспособность изделия существенно зависит от материалоемкости, технологичности и стоимости изготовления, экономичности в эксплуатации и ряда других факторов. Эффективным инструментом решения указанных проблем является численное моделирование проектируемого объекта в сочетании с процедурами поиска оптимальных или рациональных решений. Ключевую роль при определении направления поиска играют методы анализа чувствительности, которые позволяют оценить характер изменения параметров состояния при изменении варьируемых параметров проекта. Параметры состояния отражают реакцию конструкции и определяются законами механики, в частности, к ним относятся перемещения, напряжения, критическая нагрузка Варьируемые параметры проекта (или параметры проектирования) находятся в распоряжении инженера, определяют форму проекта, материал или управляющее воздействие. Как правило, явная функциональная зависимость между параметрами состояния и параметрами проектирования отсутствует. Зависимость между ними обуславливается уравнениями состояния.

В последние два десятилетия в мире уделяется значительное внимание развитию эффективных методов анализа чувствительности, их теоретическому обоснованию и практическому использованию. В первую очередь, это обусловлено возросшими возможностями вычислительной техники и созданием средств автоматизации прочностных расчетов нового поколения. Следует отметить, что многие современные промышленные комплексы программ прочностных расчетов включают средства решения стандартных оптимизационных задач на основе методов анализа чувствительности. Поля чувствительности позволяют получить информацию об эффективности работы материала в конструкции и поэтому имеют самостоятельное значение при проектировании. За последние годы теория анализа чувствительности сформировалась в самостоятельное научное направление, которое тесно связано с теорией оптимального проектирования конструкций.

К настоящему времени достаточно хорошо изучены методы анализа чувствительности линейных систем [164, 165]. Однако, характеристики ряда современных конструкций таковы, что без учета геометрической нелинейности невозможны корректная постановка и решение, как проблем анализа конструкций, так и задач поиска проекта с заданными механическими свойствами. Геометрическая нелинейность обусловлена учётом нелинейных членов в уравнениях, описывающих связь между деформациями и перемещениями. Такая необходимость возникает, когда деформации и перемещения являются величинами конечного порядка. Геометрически нелинейные конструкции, как правило, относятся к классу тонкостенных, а также к системам, элементы которых выполнены, например, из резиноподобных и других синтетических материалов, позволяющих испытывать значительные деформации при линейной зависимости между напряжениями и деформациями. Учёт геометрической нелинейности представляет большой интерес при проектировании объектов машиностроения, кораблестроения, автомобильного транспорта, авиационной и космической техники. В работе многих приборов, датчиков, устройств автоматического регулирования используются эффекты обусловленные геометрической нелинейностью.

Как самостоятельная, логически замкнутая теория геометрически нелинейная теории упругости сформировалась в первой половине XX века [36,40,47,89,96,115-117,158,171]. При анализе параметров напряженно - деформированного состояния очень важным является этап решения нелинейных уравнений равновесия, поскольку правильно выбранный метод позволяет получить результаты с минимальными погрешностями [162]. Немало работ посвящено решению прикладных задач, соответствующих определенному виду конструкций, в некоторых случаях, - конкретным конструкциям. При этом часто решение таких задач строится на основе метода конечных элементов (МКЭ) [20, 68, 69, 144]. Достоинства МКЭ хорошо известны, в частности, возможно построение расчётных схем сложных конструкций без существенных упрощений, все этапы расчёта полностью формализованы и составляют хорошую основу для средств автоматизации поверочных и проектировочных расчётов.

В рамках геометрически нелинейной постановки задачи, не смотря на свою актуальность, проблема анализа чувствительности исследована менее полно. Это обусловлено сложностью формулировки и решения геометрически нелинейных задач, которые могут иметь несколько решений. Как правило, геометрически нелинейные задачи не имеют замкнутого аналитического решения, а при численном анализе практических задач требуются значительные вычислительные ресурсы, решение может быть неустойчивым вследствие неустойчивости поведения самой конструкции. К настоящему времени получены основные соотношения теории анализа чувствительности геометрически нелинейных систем на базе континуального и дискретного подходов [2, 75, 175-180, 192, 199, 200, 206, 209-212, 214, 216, 234, 252, 254, 259, 281, 279]. Второй подход реализован с помощью МКЭ. Для решения прикладных задач необходимо исследовать особенности реализации этих соотношений для конкретных типов конечных элементов.

Настоящая диссертационная работа посвящена разработке методов анализа чувствительности геометрически нелинейных упругих механических систем при статических воздействиях, в основе которых лежат геометрически нелинейная теория упругости, МКЭ, теория анализа чувствительности.

В первой главе отражаются основные этапы развития и современное состояние геометрически нелинейной теории упругости. Для численного решения задач геометрически нелинейной теории упругости, как правило, используется МКЭ. В связи с этим все соотношения представлены в матричной форме. В качестве меры деформаций используются компоненты тензора деформаций Грина и в качестве меры внутренних усилий - соответствующие им компоненты второго тензора напряжений Пиола - Кирхгоффа. Достоинствами этих тензоров является то, что они и их инварианты могут быть записаны без полярного разложения. Устанавливается связь между компонентами второго тензора напряжений Пиола - Кирхгоффа и компонентами истинных напряжений. Вводится система обозначений параметров напряженно - деформированного состояния, используемая в работе. Проводится анализ методов решения нелинейных уравнений состояния. Описывается назначение анализа чувствительности, обосновывается целесообразность его использования при решении проектировочных задач, проводится сравнительный анализ существующих методов анализа чувствительности, исследуется развитие этих методов в рамках геометрически нелинейной теории. В завершении ставится цель исследований данной работы, и отражаются способы её достижения.

Во второй главе показан анализ чувствительности как эффективное средство поиска проекта с заданными механическими характеристиками. На основе анализа чувствительности получаются линейные относительно параметров проектирования аппроксимации параметров состояния, входящих в систему ограничений приближённой задачи оптимизации на t - ой итерации. Приводится выражение для построения аппроксимаций, представляющее собой ряд Тейлора, включающий в себя только коэффициенты разложения первого порядка. Для получения коэффициентов разложения используется анализ чувствительности. При решении проблемы оптимизации геометрически нелинейных систем предлагается получать аппроксимации не самих функционалов, образующих систему ограничений, а параметров состояния, обуславливающих эти функционалы. Это позволяет наиболее точно отражать поведение функционалов при решении приближённой задачи на t - ой итерации оптимизационного процесса. Во второй части главы получены универсальные соотношения, лежащие в основе методов анализа чувствительности параметров состояния геометрически нелинейных систем: перемещений, компонентов второго тензора напряжений Пиола - Кирх-гоффа и истинных напряжений. Универсальность заключается в возможности их детализации для частных видов конструкций. Для этого требуется общие соотношения МКЭ конкретизировать для рассматриваемого конечного элемента. Основные соотношения анализа чувствительности реализованы в виде алгоритмов, описывающих процедуру вычисления коэффициентов чувствительности рассматриваемых параметров состояния.

В третьей главе рассматриваются конкретные конечные элементы: стержневой, работающий на растяжение - сжатие, треугольный, описывающий плоское напряженное состояние, изопараметрический объёмный с переменным числом узлов. Рассмотренные в 1.1.2 общие соотношения МКЭ записываются в контексте данных конечных элементов, затем на базе алгоритмов, полученных в 2.2, и этих выражений строятся соотношения анализа чувствительности перемещений, обобщённых и истинных напряжений. В качестве тестирующего примера была рассмотрена шарнирно - стержневая система, именуемая фермой Мизеса. Физические и геометрические параметры расчётной схемы фермы заданы таким образом, чтобы в полной мере отражать свойства геометрически нелинейных систем. Результаты расчетов представлены в виде таблиц и графиков. Получение численных значений параметров напряженно - деформированного состояния системы и коэффициентов чувствительности параметров состояния осуществлялось в рамках соответствующей программы, реализованной на языке Fortran 90, все графические построения и некоторые вспомогательные вычисления выполнялись на базе системы символьной математики Mathematica 3.0.

Четвертая глава посвящена вопросу учёта ограничений по устойчивости, в частности, построению аппроксимации параметра критической нагрузки на основе методов анализа чувствительности геометрически нелинейных систем. В первой части главы рассматриваются основные подходы к решению проблемы оценки устойчивости и анализа чувствительности параметра критической нагрузки геометрически нелинейных систем. Во второй части на базе соотношений МКЭ приведены алгоритмы анализа чувствительности параметра критической нагрузки на базе трех методов оценки устойчивости: линеаризованного, точного и синтеза точного и линеаризованного. В рамках этой процедуры произведен анализ ранее известных методов анализа чувствительности и предложен новый подход к решению данной проблемы. А именно, выявлены и обоснованы границы применимости метода анализа чувствительности параметра критической нагрузки, базирующегося на решении точных нелинейных уравнений равновесия, разработан метод анализа чувствительности параметра критической нагрузки на основе приближённой оценки уровня критической нагрузки. Для иллюстрации каждого метода была решена тестовая задача, в связи с чем были разработаны соответствующие программы на языке Fortran - 90. Результаты расчетов приведены в виде таблиц и графиков.

В пятой главе разработана методика проектирования реальных конструкций с учётом ограничений на прочность и жёсткость. В качестве примера рассмотрен однослойный сильфон, особенностью которого является взаимное влияние геометрических параметров. Был осуществлен анализ известных методов расчета сильфонов. Как правило, для каждого типа сильфонов получен свой метод. Метод конечных элементов позволяет в рамках единого подхода решить достаточно точно проблему анализа сильфонов разных типоразмеров. Для анализа параметров напряженно - деформированного состояния сильфонов, в диссертационной работе был использован изопараметрический КЭ с переменным числом узлов, описанный в 3.3.1. В связи с необходимостью параметрического описания расчётной схемы была создана программа на языке Fortran 90 для генерации расчетных схем однослойных сильфонов произвольных типоразмеров. С помощью программной системы COMPASS [23,24] было исследовано напряи жённо - деформированное состояние при варьировании геометрическими параметрами. Результаты расчета сопоставлялись с результатами расчетов на основе известных методик. Наряду с этим приведены результаты экспериментальных исследований действительной работы сильфонов. Построены эпюра чувствительности продольной жёсткости и поля чувствительности напряжений. Выявлены геометрические параметры сильфонов, по отношению к которым их жёст-костные характеристики наиболее чувствительны. Продемонстрированы возможности анализа чувствительности, как средства, позволяющего определить характер изменения жёсткости сильфона и полей напряжений по наружной и внутренней поверхностям сильфона. Для выполнения данных исследований были использованы программная система COMPASS, специально написанные программы на языке Fortran 90 совместно с системой символьной математики Mathematica 3.0, позволяющие строить поля напряжений и их чувствительности.

В связи с тем, что в геометрически нелинейной теории упругости разными авторами используется различная система обозначений, используемые в работе обозначения, приведены в приложении 1.

В приложении 2 приведены основные соотношения геометрически нелинейной теории упругости в рамках континуального подхода.

В приложении 3 даны функции формы изопараметрического объёмного конечного элемента и их проихводные по пространственным координатам.

В приложении 4 приведены таблицы, в которых систематизированы результаты вычисления чувствительностей параметров напряжённо - деформированного состояния ферменной конструкции, рассмотренной в примере главы 3.

В приложении 5 показаны поля чувствительностей компонентов тензора напряжений для трёх видов нагружения сильфона: растяжение, изгиб, сдвиг.

Основные положения диссертации доложены на:

Межрегиональном семинаре «Проблемы оптимального проектирования сооружений», Новосибирск, 1996г.;

I - III Всероссийских семинарах «Проблемы оптимального проектирования сооружений», Новосибирск, 1997, 1998, 2000 г.г.;

Заключение диссертации по теме "Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры"

Основные результаты исследований следующие:

2. Получены соотношения анализа чувствительности для численной реализации разработанной методики применительно к системам, напряжённое состояние которых описывается изопараметрическим объёмным конечным элементом с переменным числом узлов, треугольным элементом для плоского напряжённого состояния, стержневым конечным элементом, работающим на растяжение - сжатие. Разработан алгоритм их реализации.

3. Алгоритмы анализа чувствительности опробованы на тестовой задаче, математическая модель которой отражает основные особенности работы геометрически нелинейных систем. Были выполнены и проанализированы расчёты перемещений, обобщённых и истинных напряжений ферменной конструкции и их чувствительности.

5. Для повышения эффективности численных процедур построения аппроксимации параметра критической нагрузки разработаны приближенные методы аппроксимации параметра критической нагрузки.

6. Впервые исследованы особенности анализа чувствительности параметра критической нагрузки при разветвлении форм потери устойчивости в большом.

177 при любом виде иагружеиия. Применение методики показало, что анализ чувствительности является эффективным инструментом, позволяющим выявить характер изменения полей напряжений в результате варьирования геометрическими параметрами.

8. При выполнении Иркутским филиалом ИЛФ СО РАН ОФ хоздоговорной научно - исследовательской работы «Разработка методик расчета и технических средств для повышения эффективности эксплуатации и ремонта оборудования нефтехимических производств» была предложена и разработана методика расчета сильфонных элементов, входящих в состав оборудования нефтехимических производств, базирующаяся на применении вычислительного комплекса COMPASS, что подтверждается соответствующим актом внедрения. В рамках проведенных исследований осуществлён и обоснован выбор изопараметрическо-го объёмного конечного элемента с переменным числом узлов для построения расчетной схемы сильфона.

9. Проведены экспериментальные исследования действительной работы сильфонов, подтверждающие достоверность численного анализа.

10.Разработанную методику анализа чувствительности геометрически нелинейных систем целесообразно использовать в системах автоматизированных расчётов и проектирования.

Заключение

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Распопина, Вера Борисовна, Иркутск

1. Аббасов У.М., Малидов Х.Б., Юнусов ЯК. Об одной задаче к нелинейной теории упругости кольца // - Баку.-Азерб. инж. - строит, ин-т. , 1991. - с. 8

2. Адельман Г. М., Хафтка Р. Т. Анализ чувствительности при расчете дискретных моделей конструкций // Аэрокосмическая техника. №12, 1986. - рр. 77-90

3. Аксельрод Э.Л. Гибкие оболочки. М.: Наука, 1976. - с.

4. Аксельрод Э.Л. Изгиб и потеря устойчивости тонкостенных труб при гидростатическом давлении // Известия АН СССР. Механика и машиностроение. №1, 1962. - с. 98-114

5. Аксельрод Э.Л. Периодическое решение осесимметричной задачи теории оболочек. -Инженерный журнал МТТ,-1966.-N2.-C.77-83.

6. Аксельрод Э.Л., Савкин Н.М. Графо аналитический метод расчета сильфонов // - Приборы и системы управления. №3, 1970. - с. 75-81

7. Алфутов H.A. Расчет однослойного сильфона методом Ритца // -Инженерный сборник АН СССР. №15, 1953. с. 181-186

8. Алфутов H.A., Балабух Л.И. Энергетический критерий устойчивости упругих тел, не требующий определения начального напряжённого состояния // -Прикладная механика и механика. Т.32, вып.1, 1968. с. 703-770

9. Андреев Л.В., Моссаковский В.И., Ободан Н.И. Об оптимальной толщине цилиндрической оболочки, нагруженной внешним давлением // -Прикладная математика и механика. Т.36, №4, 1972. с. 717-726

10. Андреева Л.Е. и др. Сильфоны. Расчет и проектирование. М.: Машиностроение, 1975. - с. 165

11. Андреева Л.Е. Упругие элементы приборов. М.: Машиностроение, 1981.-с. 392

12. Антонов E.H. Геометрические соотношения теории деформирования оболочек с учетом поперечных сдвигов и обжатия // Л.: Ленинградский инж. -строит, ин-т., 1988. - с. 32

13. Анфилофьев A.B. Геометрическая нелинейность шарнирно -стержневых систем с узловой нагрузкой // Том. политехнический ун -т., 1994. -с. 16

14. Астрахарчик C.B., Железнов Л.П., Кабанов В.В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости оболочек и панелей ненулевой гауссовой кривизны // Изв. АН. Мех. тверд. Тела. №2, 1994. - с. 102-108

15. Аширо И.Я., Прокопенко А.Я. Об уточнении критических нагрузок для ребристой цилиндрической оболочки, полученных на основе одночленной аппроксимации перемещений // прикладная механика - Киев. Т.23, №7, 1987. -с. 20-26

16. Бакушев C.B. Вариант построения расчетных моделей геометрически нелинейных сплошных сред // Изв. ВУЗов. Строительство и архитектура. №9, 1991. - с. 24-29

17. Баничук Н. В. Введение в оптимизацию конструкций. М.: Наука, 1986. - с. 302

18. Баничук Н.В. Минимизация веса крыла при ограниченной скорости дивергенции // Учен. зап. ЦАГИ. Т.9, №5, 1978. - с.

19. Баничук Н.В., Барсук A.A. Оптимизация устойчивости упругих стержней при совместном сжатии и кручении. В кн.: Прикладные проблемы прочности и пластичности. Автоматизация и алгоритмизация решения задач теории упругопластичности. : Сб. статей // - Горький

20. Бате К., Вильсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов: Пер. с англ. Алексеева A.C. и др.; Под ред. А.Ф.Смирнова. М.: Стройиздат, 1882. - с. 448

21. Безделев В.В. Алгоритм оптимизации пластинчато- стержневых систем при статических и динамических воздействиях // Управляемые механические системы. - Иркутск. , 1986. - с. 86-96

22. Безделев В.В., Быкова С.Н. Конечный элемент с переменным числом узлов для исследования объемного напряженного состояния // Материалы V научно-технической конференции училища. - Иркутск: ИВВАИУ, 1988. -с. 12-16

23. Безделев В.В., Буклемишев A.B., Лукьянов A.A., Распопина В.Б. Компьютерная система COMPASS и ее применение в расчетах объектов химического машиностроения // Вестник ИрГТУ. - Иркутск. №3, 1998. -с. 128-134

24. Боткин М.Э. Оптимизация формы конструкции типа пластин и оболочек // Ракетная техника и космонавтика. Т.20, №3, 1982. - с. 128-135

25. Булгаков В.Н. Напряжения и перемещения сильфонов//Численные методы в прикладной теории упругости. Киев.: Наукова думка, 1968. -с. 211-248

26. Бурцев К.Н. Металлические сильфоны. М.: Машгиз, 1963. - с. 63

27. Валыпонок Л.С. Расчет тороидального сильфона с невысокими волнами//Исследования и расчет напряжений в деталях машин и конструкциях. М.: Наука, 1966. - с. 173-190

28. Валыпонок Л.С. Определение напряжений и перемещений в мелко гофрированных сильфонах при изменении температуры. В кн.: Исследование температурных напряжений. М.: Наука, 1972. - с. 209-224

29. Вандерплаац Г. Н. Оптимизация конструкций прошлое, настоящее и будущее // - Аэрокосмическая техника. Т.1, №2, 1983. - с. 129-140

30. Вандерплаац Г.Н. Замечания к статье "Методы расчета чувствительности по проектным переменным при оптимизации конструкций" // -Ракетная техника и космонавтика. Т. 18, №11, 1980. с. 157-158

31. Виноградов А.И Элементарные задачи синтеза ферм. Труды ХИИЖТ им. С.М. Кирова, 1963. - с. 5-14

32. Власов В.З. Общая теория оболочек и её приложения в технике. М.: Гостехиздат, 1949. - с. 478

33. Волков А.Н. К вопросу определения осевой жесткости сильфона // -Машиностроение. №2, 1968. с. 55-58

34. Волков А.Н. Определение продольной жесткости гофрированных оболочек применительно к расчету сильфонов II- Инженерный журнал, т.2.-М.: АН СССР. Вып.2, 1962. с. 368-372

35. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. - с. 419

36. Воронцов Г.В., Юзиков В.П. Учет геометрической нелинейности пространственных рам при расчетах на вынужденные колебания // Изв. вузов. Строительство и архитектура. №6, 1988. - с. 46-52

37. Гайдайчук В.В. Метод построения решения нелинейных уравнений теории гибких стержней // Сопротивление материалов и теория сооружений. №57, 1990. - с. 19-23

38. Гайнутдинов В.Г., Сыздыков Е.К., Трусов C.B. О расчете критических параметров устойчивости отдельных элементов составной конструкции // Изв. вузов. Авиационная техника. №1, 1996. - с. 84-86

39. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек:Учебное пособие. Издательство казанского университета, 1975. - с. 236

40. Галимов К.З. О некоторых направлениях развития механики деформированного твердого тела//Исследования по теории пластин и оболочек // Казань.: Изд-во Казан, ун-та. Вып. 12, 1976. - с. 3-26

41. Гамбаров А.Г., Бердичевский С.Б. Уравнения геометрически нелинейной плоской задачи теории упругости в декартовой системе координат // Строительная механика и расчет сооружений. №2, 1991. - с. 19-24

42. Гамбаров А.Г., Бердичевский С.Д. Уравнения геометрически нелинейной плоской теории упругости в неподвижной системе координат // -Проблемы прочности. №4, 1991.-е. 17-20

43. Гаянов Ф.Ф. О расчете гибких оболочек с помощью специальных разрывных функций// Изв. вузов. Машиностроение. №1, 1992. - с. 3-6

44. Геммерлинг A.B. Расчет стержневых систем. М.: Стойиздат, 1974.с. 206

45. Гиммерлинг A.B. Устойчивость сложных стержневых систем // -Строительная механика и расчет сооружений. №1, 1988. с. 58-63

46. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука, 1978. - с. 304

47. Гохберг В.Э., Михнюкевич A.A. Об оценке точности расчета МКЭ перемещений и напряжений в тонкостенных элементах конструкций // -прочность машин и аппаратов при переменных нагружениях /Челябинский политехнический институт. Челябинск., 1989. с. 23-28

48. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. - с. 359

49. Григолюк Э.И., Носатенко П.Я. Аналитическое решение геометрически нелинейных задач термоупругости цилиндрической оболочки // -Изв. вузов. Машиностроение. №11, 1987. с. 24-28

50. Григоренко Я.М. О некоторых подходах к численному решению линейных и нелинейных краевых задач теории слоистых анизотропных оболочек // Прикладная механика. 23, №10, 1987.-е. 29-33

51. Григоренко Я.М., Крюков H.H. Численное решение задач статики гибких слоистых оболочек с переменными параметрами. Киев.: Наук. Думка, 1988.-е. 170

52. Григоренко Я.М., Туманова О.В. Решение двумерных задач о нелинейной деформации цилиндрических панелей с переменными параметрами // Доклады АН УССР. А. №7, 1988. - с. 36-39

53. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. - с. 455

54. Гринев В.Б., Филиппов А.П. Об оптимальных очертаниях стержней в задачах устойчивости // Строит, механика и расчет сооружений. №2, 1975. -с. 21-27

55. Гусенков А.П., Лукин Б.Ю., Москвитин Г.В. Исследование малоцикловой прочности сильфонных компенсаторов при высоких температурах. Машиноведение, 1973. - с. 58-67

56. Гусенков А.П., Лукин Б.Ю., Шустов B.C. Унифицированные гибкие элементы трубопроводов: Справочное пособие. -М.: Изд-во стандартов. -1988.-296с.

57. Дарков A.B., Шапошников H.H. Строительная механика. М.: Высшая школа, 1986. - с. 607

58. Дехтярь Об учете геометрической нелинейности в расчетах несущей способности пологих оболочек // Изв. вузов. Строительство. №7,8, 1993. -с. 21-24

59. Доббс М., Нельсон Р. Применение критериев оптимальности к автоматическому проектированию конструкций // Ракетная техника и космонавтика. Т. 14, №10, 1976. - с. 113-122

60. Дьяченко А.Н. Напряженно-деформированное состояние сильфонов и анализ связи между видом напряжений и долговечностью // Механика твердого тела. №1, 1968. - с. 98-101

61. Еременко С.Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел. Харьков: Основа, 1991. - с. 272

62. Ерофеев П. Ф. Устойчивость гибких пологих оболочек, прямоугольных в плане, с учетом геометрической и физической нелинейностей и структурной неоднородности // Математическая модель, методы решения и оптимального проектирования гибких пластин и оболочек.

63. Жуков В.Б. Осевая жесткость бесшовного сильфона // Вестник машиностроения. №2, 1966. - с. 27-29

64. Жуков К.А. Матрицы касательной геометрической жесткости в расчетах геометрически нелинейных упругих систем на устойчивость по МКЭ // Расчеты на прочность и жесткость., 1990. - с. 40-45

65. Задаян П.М. Расчет тонкостенных стержней с учетом геометрической нелинейности // Исследования по расчету строительных конструкций и надежности сооружений.-М. , 1987. - с. 205-213

66. Зарифьян A.B. Оптимизация сечений сжатых колонн при пространственном деформировании // Ростовский инж.-стр. ит-т. - Ростов-на-Дону. , 1990. - с. 136-144

67. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.с. 541

68. Зенкевич. О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. :Мир, 1986.-е. 318

69. Зубов Л. М. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек. Ростов-на-Дону.: Изд-во Рост. Ун-та, 1982. - с. 143

70. Иванов А.Л., Ляхович Л.С. Об одном способе проектирования стержней наименьшего веса, подверженных потере устойчивости. Томск.: Изд-во Томск, ун-та, 1975. - с. 195

71. Ильюхин A.A. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. Киев: Наук, думка, 1979. - 216 с.

72. Ильюшин A.A. Механика сплошных сред. М.: МГУ, 1978. - с. 287

73. Исаханов Г.В., Дехтярюк Е.С., Крицкий А.Б. Численное исследование бифуркаций в задачах устойчивости тонкостенных конструкций // проблемы прочности. №2, 1991. - с. 66-72

74. Кабанов В.В., Железнов Л.П. Алгоритм МКЭ для исследования нелинейного деформирования и устойчивости конструктивно ортотропных цилиндрических оболочек // - Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций / куйбышевский авиационный ин

75. Кардосо Дж. Б., Apopa Я.С. Вариационный метод анализа чувствительности при проектировании нелинейных конструкций // -Аэрокосмическая техника. №3, 1989. с. 129-139

76. Кезерашвили М.И. Об одной краевой задаче геометрически нелинейной теории упругости // Труды Тбил. ун-та. №299, 1991.-е. 146-161

77. Кезерашвили М.И. Алгоритм решения одной краевой задачи геометрически нелинейной теории упругости // Тр. Тбил. ун-та. №298, 1990. -с. 108 -205

78. Киселев В.А. Строительная механика. Специальный курс. М.: Стройиздат, 1969. - с. 450

79. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений : Пер. с англ. М.: Стройиздат, 1979. - с. 320

80. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной в теории упругости. М.: Л., 1935.-е.

81. Колтунов М.А., Кравчук A.C., Майборода В.П. Прикладная механика деформированного твердого тела. М.: Высшая школа, 1983. - с. 349

82. Кользеев А.А Оценка влияния формы сечения на устойчивость внецентренно-сжатых стержней // Изв. вузов. Строительство. №1, 1992. - с. 3-6

83. Королев В.И. Расчет сильфонов // Вестник МГУ. №9, 1954. -с. 81-90

84. Кузнецов В.В., Сойников Ю.В. Исследование нелинейного напряженно-деформированного состояния шасси рессорного типа // Изв.вузов. №4, 1990. - с. 91-93

85. Кузнецов В.В., Сойников Ю.В. МКЭ в задачах деформирования подкрепленных оболочек произвольной формы // Изв. вузов. АН СССР Мех. тверд. Тела. №3, 1988. - с. 136-143

86. Кузнецов И.Л., Сидорович Е.М. Несущая способность геометрически, физически и конструктивно нелинейных решетчатых арок при многовариантном загркжении// Изв. вузов. Строительство. №1, 1991. - с. 15-19

87. Кусяков А.Ш. Оптимальное проектирование гладких и подкрепленных оболочек // Численные методы механики сплошных сред: тезисы докл. Всесоюзной школы молодых ученых, 27 мая-1июня, 1991,-Красноярск. , 1991. - с. 142-143

88. КутилинЛ.И. Теория конечных деформаций. М.: Гостехиздат, 1947. - с. 275

89. Лавинский В.И., Шергин С.Ю. К вопросу о решении нелинейной краевой задачи, описывающей деформирование криволинейного стержня // -Динамика и прочность машин.-Харьков. №46, 1987. с. 98-101

90. Лазарев И.Б. Об учете условий жесткости при проетировании статически определимой фермы наименьшего объема. Тр. Новосибирского института инженеров жнлнзнодорожного транспорта, 1972. - с. 157-162

91. Лазарев И.Б. Основы оптимального проектирования конструкций. Задачи и методы. Сибирская государственная академия путей сообщения, 1995. - с. 296

92. Ларичев А. Д. Нахождение минимума объема балки на упругом основании при заданной величине критической нагрузки,- В кн.: Прикладные и теоретические исследования строительных конструкций. М.: Издательство ЦНИИСК им В.А. Кучеренко, 1981. - с. 19-25

93. Лаупа А., Вейл H.A. Расчет компенсаторов с U образными гофрами // - Прикладная механика. №1, 1962. - с. 130-139

94. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики. М.: Стройиздат, 1978. - с. 204

95. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. - с. 512

96. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - с. 940

97. Ляв А. Математическая теория упругости. ОНТИ, 1935.-е. 676

98. Ляхович Л.С. Метод отделения критических сил и собственных частот упругих систем. Томск.: Изд-во Томск, ун-та, 1970. - с. 159

99. Ляхович Л.С., Малиновский А.П. Проектирование стержней минимального веса, находящихся под действием параметрической и вибрационной нагрузки // Исследования по расчету сооружений.-Томск.: Изд-во Томск, ун-та. , 1978. - с. 70-79

100. Ляхович Л.С., Шварцман Б.С. Расчет гибких стержней разностным методом повышенной точности // Изв. вузов. Строительство и архитектура. №10, 1984.-е. 28-31

101. Макжанова ЯЗ. Задача оптимального загружения упругих систем. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. Томский Государственный Технический Университет, 1999. - с. 24

102. Малиновский А.П. Численный метод расчета стержней на прочность, устойчивость и колебания // Исследования по расчету сооружений. -Томск: Изд-во Томск, ун-та. , 1977. - с. 85-96

103. Мацюлявичус Д.А. К задаче синтеза упругой шарнирно-стержневой конструкции минимального веса в случае многих занружений при более общейсистеме ограничений. Литовский механический сборник: Вильнюс, 1967. -с. 126-131

104. Мещик А.А К задаче оптимизации очертания осей ферм // -Сопротивление материалов и теория сооружений. Вып.20, 1973. с. 124-131

105. Медведев Н.Г., Тоцкий Н.П. Ократности спектра собственных значений в оптимальных задачах устойчивости цилиндрических оболочек переменной толщины// Прикладная механика. Т.20, №6, 1984. - с. 113-116

106. Мельников Ю.А., Волошко В.Л. К возможности учета геометрической нелинейности в задачах изгиба пластин сложного очертания // -Неосесимметричные задачи гидроаэромеханики и теории упругости,-Днепропетровск. , 1987. с. 120-127

107. Мельников Ю.А., Волошко В.Л. О геометрически нелинейном изгибе пластин сложного очертания // Прикладная механика.-Киев.:. 24, №7, 1988. - с. 83-89

108. Мустафин Р.Э., Черевацкий A.C. К исследованию форм гибкой цилиндрической панели переменной кривизны // Прикладная механика. 23, №8, 1987.-с. 114-119

109. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань. : Таткнигоиздат, 1957. - с. 431

110. Немировский Ю.В., Самсонов В.И. О рациональном атмировании цилиндрических оболочек, сжимаемых осевой силой // Изв. АН СССР. МТТ. №1, 1974. - с. 5-7

111. Немировский Ю.В., Самсонов В.И. Цилиндрические армированные оболочки, наиболее устойчивые при внешнем давлении // Механика полимеров. №1, 1974. - с. 75-83

112. Низамова Р.К., Безделев В.В. Анализ чувствительности кратных собственных значений в задачах оптимального проектирования конструкций // -Труды НГАСУ,- Ново-сибирск: НГАСУ. Т.1, № 3, 1998. с. 10-14

113. Николаи Е.Л. Труды по механике. М.: Гостехиздат, 1955. - с. 584

114. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948. - с. 175

115. Новожилов B.B. Теория тонких оболочек. М.: Судпромгиз, 1951.с. 341

116. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. - с. 364

117. Норенков И.П. Введение в автоматизированное проектирование технических устройств и систем. М.: Высшая школа, 1980. - с. 310

118. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред: Пер. с англ. М: Мир, 1976. - с. 464

119. Островерх P.A. Потеря устойчивости стержней в нелинейной постановке. прочность корпуса морских судов и защита от коррозии. - М., 1990. - с. 109-113

120. Палатников Е.А. Расчет осевых компенсаторов, вводимых в трубопроводы. М.: Оборонгиз, 1957. - с. 96

121. Панн И.А., Юрьев Г.Н. Приближенный расчет бесшовного сильфона // Сб. научн. тр.: Вопросы виброзащиты и вибротехники. - Новосибирск. , 1990. - с. 84-92

122. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем: Современная концепция, парадоксы и ошибки. М.: Наука, 1987. -с. 372

123. Папкович П.Ф. Труды по строительной механике корабля. В 4 т. -Л.: Судостроение, 1963. с. 552

124. Перельмутер A.B. О влиянии изменения жесткостей на перераспределение усилий в статически неопределимой системе // -Строительная механика и расчет сооружений. №5, 1974. с. 64-67

125. Полынкин A.A., Торопов В.В., Филатов A.A. Анализ чувствительности при оптимизации тонкостенных пространственных оболочек с ограничениями на характеристики напряженного состояния // Прикл. пробл. прочн. и пластичн.: Методы решения. Нижегородский гос. У

126. Пономарев С.Д., Бидерман В.Л., Лихарев К.К. и др. Расчеты на прочность в машиностроении. М.: Машгиз, 1958. - с. 974

127. Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней, М.: ОГИЗ, 1948. 170 с.

128. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит., 1986. - 296 с.

129. Постнов В.А., Хархурим И.Я Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. JL: Судостроение, 1974. - с. 344

130. Раевский А.Н. Основы расчета сооружений на устойчивость. М: Высшая школа, 1962. - с. 160

131. Раевский А.Н. Определение вектора градиента критической силы для стержневых систем и использования его для рационального усиления жесткости // Изв. вузов. Строительсьво. №11, 1997. - с. 138-141

132. Раевский А.Н. Определение градиента условия критического состояния рам и ферм и использование его для рационального усиления жесткостей// Известие вузов. Строительство. №4, 1999. - с. 139-143

133. Раевский А.Н. Примеры расчета стержневых систем на устойчивость. Саратов: Госуниверситет, 1991. - с. 92

134. Рвачев B.JI., Курпа JI.B., Насритдинов Х.Ф. И др. метод R функций в задачах нелинейного деформирования пластин // - прикладная механика. Т.23, №9, 1987. - с. 73-78

135. Ривлин P.C. Большие упругие деформации. В кн.: Реология. М.: ИЛ, 1962. - с. 38-47

136. Савкин Н.М. Расчет сильфонов на осесимметричную нагрузку // -Вестник вузов. Машиностроение. №8, 1969. с. 56-61

137. Савченко В.И., Анисимова В.Б., Воскресенская Е.В. и др. Использование машинных аналитических преобразований в механике оболочек // Пакеты прикладных программ. Аналитические преобразования. Москва. , 1988. - с. 63-74

138. Свитски Г., Уайт П. Проектирование конечно-элементных конструкций минимального веса // Ракетная техника и космонавтика. Т. 12, №2, 1974.-с. 54-61

139. Сенющенков М.А. Разработка компьютерной системы прочностных расчетов конструкций в условиях контактного взаимодействия. Отчет о НИР, per. №0193.0007028, Брянский технологический институт, Брянск, 1993. 130 с.

140. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т 1. М.: Наука, 1983.с. 528

141. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т 2. М.: Наука, 1984.с. 560

142. Секулович М. Метод конечных элементов. М.: Стойиздат, 1993.с. 665

143. Семенюк Н.П., Жукова Н.Б. Устойчивость, закритическое поведение и оптимизация оболочек из композиционных материалов // Механика композиционных материалов (Рига). №1, 1991. - с. 132-137

144. Симонов Л.Б. Рациональное проектирование каркасно-пластинчатых силовых конструкций с учетом локальной устойчивости // Авиационная промышленность. №9, 1991. - с. 9-10

145. Смирнов А.Ф. Стержни и арки наименьшего веса при продольном изгибе // Тр. Моск. ин-таж.-д. трансп. Вып.74, 1950. - с. 3-40

146. Солодовников В.Н. К методам оптимизации оболочек по устойчивости и напряженному состоянию. В кн.: Динамика сплошной среды: сб. статей // - Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР. Вып.27, 1976. -с. 135-143

147. Солодовников В.Н. Оптимизация упругих оболочек вращения // -Прикладная математика и механика. Т.42, вып.З, 1978. с. 511-520

148. Сорокин Ф.Д. Прямое тензорное представление уравнений больших перемещений гибкого стержня с использованием вектора конечного поворота // -Изв. АН. Мех. тверд, тела. №1, 1994. с. 164-168

149. Софонов Ю.Д. Расчет балок наименьшего веса с учетом устойчивости плоской формы изгиба // Тр. Казан, авиац. ин-та. Казань. Вып. 168, 1974. - с. 3-43

150. Ступак С.И. К вопросу о расчете упругих геометрически нелинейных шарнирно-стержневых систем // Литовский механический сборник. №29, 1987. - с. 58-63

151. Сухарев В.А. Расчет сильфонов. Численные методы в прикладной теории упругости. Киев.: Наукова думка, 1968. - с. 97

152. Сю С., Шмит мл. Л. Проектирование упругих статически неопределимых ферм минимального веса при действии нескольких статических нагрузок// Ракетная техника и космонавтика. Т. 10, №2, 1972. - с. 54-63

153. Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов. М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1957. - с. 536

154. Феодосьев В.И. К расчету гофрированных коробок (сильфонов) // -Инженерный сборник АН СССР. Т.4, Вып.1, 1947. с. 137-149

155. Феодосьев В.И. Упругие элементы точного приборостроения. Теория и расчет. М.: Оборонгиз, 1949. - с. 343

156. Филин А.П. Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат,-Ленинградское отделение, 1987. - с. 384

157. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина: Пер. с англ. М.: Мир, 1988. - с. 352

158. Фокс Р. Построение нормалей к ограничивающим поверхностям в математических методах синтеза конструкций // Ракетная техника и космонавтика. Т.З, №8, 1965. - с. 199-200

159. Фролов В.Н. Волнистые компенсаторы для теплообменных аппаратов и трубопроводов. Сер. ХМ-1 Химическое и нефтеперерабатывающее машиностроение // М.: Центральный институт научно-технической информации химического нефтяного машиностроения.

160. Хейслер, Стриклин, Стеббинс. Разработка и оценка методов решения геометрически нелинейных задач строительной механики // Ракетная техника и космонавтика. №3, 1972. - с. 32-44

161. Хечумов P.A., Покровский A.A. Смешанная форма МКЭ в расчетах стержневых систем с учетом физической и геометрической нелинейностей // -Строительная механика и расчет сооружений. №2, 1991. с. 5-11

162. Хог Э., Apopa Я. Прикладное оптимальное проектирование: Механические системы и конструкции. М.: Мир, 1983. - с. 478

163. Хог Э., Чой К., Комков В. Анализ чувствительности при проектировании конструкций: Пер. с англ. М.: Мир, 1988. - с. 428

164. Хот Н.С., Берке Л., Веккайя В.Б. Сравнение алгоритмов условий оптимальности, используемых при проектировании конструкций минимального веса // Ракетная техника и космонавтика. Т. 17, №2, 1979. - с. 69-80

165. Шмит Л., Фарши Б. Некоторые концепции аппроксимации для синтеза конструкций // Ракетная техника и космонавтика. Т. 12, №5, 1974. -с. 145-155

166. Шмит мл. Л., Миура Новая программа ACCESS 1 дла анализа и синтеза конструкций // Ракетная техника и космонавтика. Т. 14, №5, 1976. -с. 142-155

167. Ченцов П.Г. Стойки наименьшего веса. Тр. ЦАГИ, 1936. - с. 1-48

168. Чернов Н.Л., Артюшин И.А., Мещанинов A.A., Шебанин B.C. Расчет элементов пространственных стальных стержневых систем с учетом физической и геометрической нелинейности // Изв. вузов. Строительство и архитектура. №7, 1991.-с. 18-21

169. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчётах. Л.: Машиностроение, 1986. - с. 336

170. Черных К.Ф. Плоские задачи нелинейной теории упругости // -Вопросы механики и процессов управления. №13, 1990. с. 143-152

171. Шмит Л.А., Раманатхан Р. Многоуровневый подход к проектированию конструкций минимального веса с учетом потери устойчивости // Ракетн. техника и космонавтика. Т. 16,№2, 1978. - с. 3-13

172. Ясинский Ф.С. Избранные работы по устойчивости сжатых стержней. М.,Л.: Гостехтеоретиздат, 1952. - с. 427

173. Adelman H.M., Haftka R.T. Sensitivity Analysis for Discrete Structural Systems // AIAA Journal. Vol. 24, No. 5, 1986. - pp. 823-832

174. Arora J. S., Cardoso J. B. Variational Principle for Shape Design Sensitivity Analysis // AIAA Journal. Vol.30, No.2, 1992. - pp. 538-547

175. Arora J. S., Huang E. J. Methods of Design Sensitivity Analysis in Structural Optimization // AIAA Journal. Vol.17, No.9, 1979. - pp. 970-974

176. Arora J.S., Cardoso J.E.B. A design sensitivity analysis principle and its implementation into ADINA // Computers and Structures. Vol.32, No.3/4, 1989. -pp. 691-705

177. Arora J.S., Lee T.H., Cardoso J.B. Structural Shape Sensitivity Analysis: Relationship Between Material Derivative and Control Volume Approaches // AIAA Journal. Vol.30, No.6, 1992. - pp. 1638-1648

178. Arora Jasbir S., Cardoso J.B. Variational principle for shape design sensitivity analysis // AIAA Journal. Vol.30, No.2, 1992. - pp. 538-547

179. Axelrad E.L., Emmerling F.A. Intrinsic shell theory reveling for realizable large displacements // Int. J. Non-Linear Mech. Vol.22,№2, 1987. - pp. 139-150

180. Banan M.R., Karami G., Farshad M. Non-linear theory for elastic spatial rods // Int. J. Solids and Struct. 27,№6, 1991. - c. 713-724

181. Barthélémy Bruno, Haftko Raphael T. Accuracy analysis of the semi-analytical method for shape sensitivity calculation // Mech. Struct, and Mach. Vol.18, No.3, 1990. - pp. 407-432

182. Bathe K.J. Finite Element Procedures in Engineering Analysis. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1982. - pp. 735

183. Bathe K.J., Dvorkin E.N. On the automatic solution if nonlinear finite element equations // Comput. Struct. №17, 1983. - pp. 871-879

184. Bathe Klaus-Jurgen Finite-Elemente-Methoden. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1986. - pp. 102-106

185. Bert Charles W., Martidale J.L. An accurate, simplified method for analyzing then plates undergoing large deflections // AIAA/ ASME/ ASCE/ AHS28th Struct., Struct. And Mater. Conf., Monterey, Calif., Apr. 6-8, 1987, Collect. Techn. Pap. Pt. 1. New Yor

186. Borri C., Hufendiek H.-W. Geometrically Nonlinear Behavior of Space Beam Structures // J. of Structural Mech. Vol. 13, No. 1, 1985. - pp. 1-26

187. Borkowsky Wacliaw, Wieczorek Mieczysiaw Numeryczna analyza statecznosci poczatkwej i nieliniowego zachowania sie powiok i piyk osiowosymetryczntch // Buil. WAJ. J. Dabrowsk iego. Vol.36, №7, 1987. - pp. 73-83

188. Bout A., Van K.F. A mixed element for geometrically and physically nonlinear shell problems // Heron. Vol.36, No2, 1991. - pp. 27-35

189. Brendel B., Ramm E. Linear and nonlinear stability analysis of cylindrical shells // Comput. Struct. №12, 1980. - pp. 549-558

190. Cardoso J.B., Arora J.S. Variational method for design sensitivity analysis in nonlinear structural mechanics // AIAA Journal. Vol.26, No.5, 1988. -pp. 595-603

191. Chan Siu Lai Geometric and material nonlinear analysis if beam-columns and frames using the minimum residual displacement method // Int. J. Numer. Meth. Eng. Vol.26, No. 12, 1988. - pp. 2657-2669.

192. Chandrasckharappa G., Srirangarajan H.R. Nonlinear response of elastic plates to pulse excitations // Comput. and Struct. Vol. 27, №3, 1987. - pp. 373-378

193. Chen C-J., Choi K.K. Continuum Approach for Second Order Shape Design Sensitivity of Three-Dimensional Elastic Solids // AIAA Journal. Vol.32, No. 10, 1994. - pp. 2099-2107

194. Cheung Y.K., Dashan Zhu. Large deflection analysis of arbitrary shaped thin plates // Comput. and Struct. Vol. 26, №5, 1987. - pp. 811-814

195. Choi J.H., Choi K.K. Direct differentiation method for shape design sensitivity analysis using boundary integral formulation // Computers and Structures. Vol.34, No.3, 1990. - pp. 499-508

196. Choi Joo Ho, Kwak Byung Man A unified approach for adjoint and direct method in shape design sensitivity analysis using boundary integral tormulation // Eng. Anal. Vol.7, No.l, 1990. - pp. 39-45

197. Choi K.K., Santos Jose L.T. Design Sensitivity Analysis of Non-linear Structural Systems. Part I: Theory // International Journal for Numerical Methods in Engineering. Vol.24, 1987. - pp. 2039-2055

198. Clark M.J., Hancock G.J. A finite element nonlinear analysis of stessed arch frames // Nat. Canf. Publ. / Inst. Eng., Anstral. No. 10, 1990. - pp. 60-65

199. Crisfield M.A. Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. Volume 1: Essentials. John Wiley and Sons, 1997. - pp. 345

200. Crisfield M.A. Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. Volume 2: Advanced Topics. John Wiley and Sons, 1997. - pp. 491

201. Di Paola M., Muscolino G. Differential moment equations of FE modelled structures with geometrical non-linearities // Int. J. Non-Linear Mech. 25, No.4, 1990. - pp. 363-373

202. Gadala M.S., Dokainish M.A., Oravas AE.G. Formulation methods of geometric and material nonlinear problems // International Journal for Numerical Methods in Engineering. Vol.20, 1984. - pp. 887-914

203. Gawinecki J., Piskorek A. On the initial-value problem in geometrically nonlinear elasticity // Bull. Pol. Acad. Sci. Techn. Sci. 39, No.l, 1991. - pp. 7-15

204. Gopalakrishna H.S., Greimann L.F. Newton-Raphson Procedure for the sensitivity analysis of nonlinear structural behavior // Computers and Structures. Vol. 30, No. 6, 1988. - pp. 1263 - 1273

205. Green A.E., Zerna W. Theoretical elastocity // Oxford Univ. Press, 1954. - pp.

206. Gutkowsski W., Bauer J. Structural optimization with sensitivity constraints: statics // Computers and Structures. Vol.52, No.l, 1994. - pp. 121-125

207. Haftka R.T. Semi-Analytical Static Nonlinear Structural Sensitivity Analysis // AIAA Journal. Vol.31, No.7, 1993. - pp. 1307-1312

208. Haftka R.T., Kamat M.P. Simultaneous nonlinear structural analysis and design // Computational Mechanics. Vol.4, 1989. - pp. 409-416

209. Haftka R.T., Mroz Z. First and second order sensitivity analysis of linear and nonlinear structures // AIAA Journal. Vol.24, 1986. - c. 1187-1192

210. Haftka Raphael T. Integrated Nonlinear Structural Analysis and Design // AIAA Journal. Vol.27, No. 11, 1989.-pp. 1622-1627

211. Han Shizhoug, Pilkey W.D. Stiffness matrices for the static, dynamic, and buckling analysis of circular plates // Finite Elem. Anal, and Des. 7, No.l, 1990. - pp. 27-50

212. Haririan M., Cardoso J.B., Arora J.S. Use of ADINA for design optimization of nonlinear structures // Computers and Structures. Vol.26, No. 1/2, 1987. - pp. 123-133

213. Hien Tran Duong, Kleiber Michal Computational Aspects in Structural Design Sensitivity Analysis for Static and Dynanics // Computers and Structures. Vol.33, No.4, 1989. - pp. 935-950

214. Hien Tran Duong, Postek Eligiusz Incremental Finite Element Sensitivity Analysis for Non-linear Mechanics Applications // International Journal of Solids and Structures. Vol.37, 1994. - pp. 3291-3308

215. Hyun Yui-woong, Choi Kyung K. Shape design sensitivity analysis of nonlinear structures with incompressible and nearly incompressible materials // 4th AIAA/USAF/NASA/OA/ Symp. Multidiscip. Anal, and Optimiz., Cleveland, Ohio. Sept. 21-23.

216. Ilkow Wlodzimierz Ogolne sformulowanie warunkov rownowagi prêta w zagadnieniu geometrycznie nieliniowym // Mech. i comput. 7, 1988. - pp. 115-123

217. Kamat M.P., Khot N.S., Venkayya V.B. Optimization of shallow trusses against limit point instability // AIAA Jnl. №22, 1984. - pp. 403-408

218. Kamat M.P., Ruangsilasingha P. Design sensitivity derivatives for structures in nonlinear response // AIAA paper 84-0973,AIAA/ASME/ASCE/AHS 25th Structures, Structural Dynamics and Material Conference, May. , 1984. -pp. 383-388

219. Kane J.H., Prasad K.G. Boundary Formulations for Sensitivity Analysis Without Matrix Derivatives // AIAA Journal. Vol.31, No.9, 1993. - pp. 1731-1734

220. Karamanlides Dimitrios, Jasti Raja Nonlinear buckling of two-dimensional frames composed of curved nonprismatic members // Fosch. Ingenieurw. 53, No.4, 1987. - pp. 110-112

221. Khot N.S. Nonlinear analysis of optimazed structure with constraints of system stability // AIAA paper 82-0715, AIAA/ASME/ASCE/AHS 23rd Structures, Structural Dynamics and Material Conference, May., 1982. - c. 360-367

222. Khot N.S., Kamat M.P. Minimum weight design of structures with geometric nonlinear behavior // AIAA paper 83-0937, AIAA/ASME/ASCE/AH 24th Structures, Structurel Dynamics and Material Conference, May. , 1983. - pp. 383-391

223. Khot N.S., Venkayya V.B., Berke L. Optimal structural design with stability constraints // Int. J. Numer. Meth. Engng. №10, 1976. - pp. 1097-1114

224. Kim J.H., Lee S.W. A Finite Element Formulation with Stabilization Matrix for Geometrically Non-linear Shells // International Journal for Numerical Methods in Engineering. Vol.33, 1992. - pp. 1703-1720

225. Kirsch U., Toledano G. Approximate reanalysis for modification of structural geometry // Computers and Structures. Vol. 16, 1983. - pp. 269-279

226. Kirsch Uri Improved Stiffness-Based First-Order Approximation for Structural Optimization // AIAA Journal. Vol.33, No.l, 1995. - pp. 143-150

227. Kiusalaas J. Optimal design of structures with buckling constraints // -Int. J. Solids Struct. №9, 1973. pp. 863-878

228. Kleiber Michal, Hien Tran Duong, Postek Eligiusz. Incremental finite element sensitivity analysis for nonlinear mechanics applications // Int. J. Numer. Meth. Eng. 37, No. 19, 1994. - pp. 3291-3308

229. Komkov V. Variational principles for nonlinear buckling of elastic columns (a revival of Euler's theory) // Z. angew. Math., and Mech. 67, No.9, 1987. -pp. 419-433

230. Kounadis A.N. Static and Dynamic, Local and Global, Bifurcations in Nonlinear Autonomous Structural System // AIAA Journal. Vol.31, No.8, 1993. - pp. 1468-1477

231. Kumar V., Lee S.-J., German M.D. Finite element design sensitivity analysis and its integration with numerical optimization techniques for structural design // Computers and Structures. Vol.32, No.3/4, 1989. - pp. 883-897

232. Leu L-J., Mukherjee S. Scheme Dependence and Equivalence of Sensitivity for Nonlinear Problems // AIAA Journal. Vol.33, No.4, 1995. - pp. 758763

233. Li L.-Y. Improved nonlinear buckling analysis of structures // Comput. Mech. 6, No.5-6, 1990. - pp. 457-462

234. Liao C.L., Tsai J.S. A Mixed Finite Element Formulation for Non-linear Analysis of Plane Problems // International Journal for Numerical Methods in Engineering. Vol.33, 1992. - pp. 1721-1736

235. Mallet R.H., Marcal P.V. Finite element analysis of nonlinear structures // J. struct. Div., ASCE. №94, 1968. - pp. 2081-2105

236. Marcal P.V. Instability analysis using the incremental stiffness matrices. In Lectures on Finite Element Methods in Continuum Mechaics (Edited by J.T. Oden and E.R.A. Oliveria). The University of Alabama in Huntsville,AL, 1973. -pp. 545-561

237. Mateus H.C., Mota Soares C.M., Mota Soares C.A. Sensitivity analysis and optimal design of thin laminated composite structures // Computers and Structures. Vol.41, No.3, 1991. - pp. 501-508

238. Meek J. L., Lin W.J. Geometric and material nonlinear analysis of thin-welled beam-columns//- . 116, No.6, 1990. pp. 1473-1490

239. Meek J.L., Loganatham S. Geometrically nonlinear behave our of frame structures // Computers and Structures. 31, No.l, 1989. - pp. 35-45

240. Mota Soares C. M., Mota Soares C.A., Barbosa J. Infante. Sensitivity analysis and optimal design of thin shells of revolution // AIAA Journal. 32, No.5, 1994. - pp. 1034-1042

241. Mroz Zenon. Variational methods in sensitivity analysis and optimal design // Eur. J. Mech. A. 13, No.4, 1994. - pp. 115-117

242. Murnaghan F. Finite Deformation of Elastic Solids // N.Y.: John Wiley a. Sons. , 1951. - pp.

243. Nishimura Nobuo, Yoshida Nobuhiro Coupled buckling strength of steel H-section columns and design formula // Proc. JSCE. No.398, 1988. - pp. 311-318

244. Noor A. K., Peters J. M. Reduced Basis Technique for Calculating Sensitivity Coefficients of Nonlinear Structural Response // AIAA Journal. Vol.30, No.7, 1992. - pp. 1840-1847

245. Noor A. K., Tanner J. A., Peters J. M. Reduced-Basis Technique for Evaluating the Sensitivity Coefficients of the Nonlinear Tire Response // AIAA Journal. Vol.31, No.2, 1993. - pp. 370-376

246. Oblak M.M., Kegl M., Butinar B.J. An approach to optimal design of structures with non-linear response // International Journal for numarical methods in engineering. Vol.36, 1993. - pp. 511-521

247. Oblak M.M., Kegl M., Butinar B.J. An Approach to Optimal Design of Structures with Non-linear Response // International Journal for Numerical Methods in Engineering. Vol.36, 1993. - pp. 511-521

248. Ohsaki M., Arora J.S. A Direct Application of Higher-order Parametric Programming Techniques to Sructural Optimization // International Journal of Solids and Structures. Vol.36, 1993. - pp. 26-83

249. Orozco C. E., Grattas O. N. Sparse Approach to Simultaneous Analysis and Design of Geometrically Nonlinear Structures // AIAA Journal. Vol.30, No.7, 1992. - pp. 1877-1885

250. Park J.S., Choi K.K. Design sensitivity analysis of critical load factor for nonlinear structural systems // Computers and Structures. Vol.36, No.5, 1990. -pp. 823-838

251. Phelan David G. An Adjoint Variable Method for Sensitivity Analysis of Non-linear Elastic Systems // International Journal for Numerical Methods in Engineering. Vol.31, 1991. - pp. 1649-1667

252. Poldneff M.J., Rai I.S., Arora J.S. Implementation of Design Sensitivity Analysis for Nonlinear Elastic Structures // AIAA Journal. Vol.31, No. 11, 1993. - pp. 2137-2142

253. Prasad B. Explicit constrain approximation forms in Structural optimization. Part 1: Analyses and projections // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. Vol. 40, No.l, 1983. - pp. 1-26

254. Prasad B. Explicit constrain approximation forms in Structural optimization. Part 2: Numerical Experiences // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. Vol. 46, No.l, 1984. - pp. 15-38

255. Przemieniecki J.S. Theory of Matrix Structural Analysis. New York: McGraw - Hill Book Co., 1968. - pp.

256. Raddy J.N., Chandrashekhara K. Nonlinear finite element models of laminated plates and shells // Finite Elem. Comput. Mech.: FEICOM-85: Proc. Int. Conf, Bombay., 2-6 Dec., 1985 Vol. 1. Oxford e.a. Vol.1, 1985. - pp. 189-209

257. Ryu Y.S., Harirlan M., Wu C.C.,Arora J.S. Structural design sensitivity analysis of nonlinear respose // Computers and Structures. , 1985. - pp. 245-255

258. Saigal Sunil, Aithal R, Kane J. H. Conforming boundary elements in plate elasticity for Shape design sensitivity // Int. J. Numer. Meth. Eng. 28,1989. pp. 2795-2811

259. Saka M.P., Ulker M. Optimum design of geometrically nonlinear space trusses // Computers and Structures. Vol.41, No.6, 1991. - pp. 1387-1396

260. Santos Jose L.T., Choi K.K. Sizing Design Sensitivity Analysis of Nonlinear Structural Systems. Part II: Numerical Method // International Journal for Numerical Methods in Engineering. Vol.26, 1988. - pp. 2097-2114

261. Santos Jose L.T., Godse Monah M., Chang Kuang-Hua Chang An interactive post-processor for structural design sensitivity analysis and optimization: sensitivity display and what-if study // Computers and Structures. Vol.35, No.l,1990. pp. 1-13

262. Saran Michal, Kleiber Michal Experiences with nonlinear analysis of Trusses under static and dynamic loading // Space Struct. 2, № 4, 1987. -pp. 205-214

263. Schmit L.A., Farshi B. Some approximation concepts for structural synthesis // AAIA Journal. Vol. 12, No.5, 1974. - pp. 692-699

264. Sidorovitch E. Multiparametric stability and postcritical behaviour of non-linear space structures // Stab. Stul. Struct.:Int. Conf., Budapest, Apr. 25-27, 1990. Vol.2. - Budapest., 1991. - pp. 1387-1393

265. Sikiotis E. S., Saouma V.E. Paraller structural optimization on a network of computer workstations // Computers and Structures. Vol.29, No.l, 1988. -pp. 141-150

266. Snyman J. A., Stander N. New Successive Approximation Method for Optimum Structural Design // AIAA Journal. Vol.32, No.6, 1994. - pp. 1310-1315

267. Sobieszczanski-Sobieski Jaroslaw Higher Order Sensitivity Analysis of Complex, Coupled Systems // AIAA Journal. Vol.28, No.4, 1990. - pp. 756-758

268. Sorem Robert M., Surana Karan S. p-Version Plate and Curved Shell Element for Geometrically Non-linear Analysis // International Journal for Numerical Methods in Engineering. Vol.33, 1992. - pp. 1683-1701

269. Spivey C. O., Tortorelli D. A. Tangent operators, sensitivity expressions, and optimal design of non-linear elastica in contact with applications to beams // Int. J. Numer. Meth. Eng. 37, No.l, 1994. - pp. 49-73

270. Szefer G., Mroz Z., Demkowicz L. Variational approach to sensitivity analysis in nonlinear elasticity // Arch. Mech. 39, 3, 1987. - pp. 247-259

271. Ting-Yu Chen. Design Sensitivity Analysis for Repeated Eigeivalues in Structural Design // AIAA Journal. Vol.31, No. 12, 1993. - pp. 2347-2350

272. Tran Duong Hien, Kleiber M. Computational aspects in structural design sensitivity analysis for statics and dynamics // Computers and Structures. Vol.33, No.4, 1989. - pp. 939-950

273. Tseng C.H., Arora J.S. Numerical Verification of Design Sensitivity Analysis // AIAA Journal. Vol.27, No. 1, 1989. - pp. 117-119

274. Wang L., Grandhi R. V. Optimal Design of Frame Structures Using Multivariate Spline Approximation // AIAA Journal. Vol.32, No. 10, 1994. -pp. 2090-2098

275. Waszczyszyn Zenon, Cichon Gzesiaw Effective methods for the nonlinear FEM analysis of structures // Wiss. Z. Univ., Rostock. Naturwiss. R. 37, No. 10, 1988. - pp. 29-33

276. Wei Zujian, Li Mingrui, Huang Wenbin A consistent algorithm of Newton iteration and its application in plate bending finite element analysis // -JIhck>3 ck)36ao. = Acta Mech. Sin. 22. No.5, 1990. pp. 759-588202

277. Wu С.С., Arora J.S. Simultaneous analysis and design optimization of nonolinear response // Engng. Comput. No.2, 1987. - c. 53-63

278. Wu C.C., Arora J.S. Design sensitivity analysis of non-linear buckling load// Computational Mechanics. No.3, 1988. - pp. 129-140

279. Wu C.C., Arora J.S. Design Sensitivity Analysis and Optimization of Nonlinear Structural Response Using Incremental Procedure // AIAA Journal. Vol.25, No.8, 1987.-pp. 1118-1125

280. Wu Jike, Haung Yonggang The stability of elastic curved bars // Acta mech. sin. 29, № 5, 1987. - pp. 445-454

281. Xucaga Tocuaku Анализ чувствительности нелинейного МКЭ // -Кикай-но кэнюо. = Sci. Mach. 42,N4, 1990. pp. 463-467

282. Yang R.J. Shape design sensitivity analysis with frequency response // -Computers and Structures. Vol.33, No.4, 1989. pp. 1089-1093

283. Yang R.J. Shape sensitivity analysis and optimization using NASTRAN// Mech. Struct, and Mach. 19, No. 13, 1991. - pp. 281-300

284. Yeh K., Ji Z. Exact finite element method // Appl. Math, and Mech. Vol.11, No.ll, 1990.-pp. 1001-1011

285. Yoshiaki Goto, Satsuki Suzuki, Wai-Fah Chen Bowing effect on elastic stability of frames under primary bending moments // J. Struct. Eng. 117,№1, 1991. -c. 111-127

286. Zienkiewicz O.C., Campbell J.S. Shape optimization and sequential linear programming // Optimum Structural Design, Wiley, New York, 1973.203