Разработка методов анализа и применения автопараметрического гашения колебаний тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

ы

На правах рукописи

Чан Ван Бинь

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ АНАЛИЗА И ПРИМЕНЕНИЯ АВТОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ

Специальность 01 02 06 Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических I

Москва - 2008

003447144

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете им н э Баумана на кафедре « Прикладная механика» (РК-5) Научный руководитель Доктор технических наук, профессор

ГУСЬКОВ Александр Михайлович Официальные оппоненты- - Доктор технических наук, профессор

АСТАШЕВ Владимир Константинович - Доктор технических наук, профессор ЧИРКОВ Виктор Петрович Ведущая организация ИМАШ РАН им. А.А Добронравова

Защита состоится «16» октября 2008г в 14 30 на заседании диссертационного совета Д 212141 03 в Московском государственном техническом университете им НЭ Баумана по адресу 105005, г Москва, ул 2-я Бауманская у, д 5

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им Н Э Баумана

Автореферат диссертации разослан «16» сентября 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета

КарпачевА Ю

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи снижения уровня вибраций различных промышленных объектов являются актуальными для современного машиностроения. Их разнообразие постоянно требует изучения и углубленного анализа условий их применения Автопараметрические гасители вибраций находят использование в многочисленных приложениях. Однако их динамические свойства и возможности до настоящего времени не изучены с исчерпывающей полнотой Проведенные исследования позволяют рассмотреть ряд новых возможностей и областей применения автопараметрических гасителей колебаний Повышение динамической точности и виброзащиты динамических объектов с применением автопараметрических систем и расширение частотной области работы гасителя, уменьшение отношения массы гасителя и основной системы, и, следовательно, массы всей технической системы Простота эксплуатации и их технического воплощения делает разработку автопараметрических гасителей колебаний актуальной для областей приложения, где существует большое поле неопределенности условий применения В частности, их применение в транспортных системах, используемых в сельском хозяйстве

Цель работы. Диссертационная работа направлена на исследование возможностей автопараметрического гашения колебаний, при обеспечении улучшенных динамических характеристик автопарамегрических систем, повышение степени их виброзащиты, расширение частотной области работы гасителя и повышение его эффективности и применения к конкретным техническим системам Научно-технические задачи:

• Разработка математических моделей автопараметрических систем при силовом или кинематическом возбуждении, учитывая физическую нелинейность упругого элемента и геометрическую нелинейность конструкции

• Исследование динамики типичной автопараметрической системы численное моделирование динамики, исследование влияния разных параметров на эффективность гашения колебаний, анализ устойчивости периодических движений Разработка способов повышения возможностей гашения

• Проведение эксперимента с целью проверки правильности построенной модели и метода теоретического расчета

• Практическое применение и проектирование автопараметрического гасителя колебаний (АГК) разработка рекомендации по выбору параметров конструкции для улучшения вибрационных характеристик системы

На защиту выносятся

- Методы виброзащиты колебательной системы с АГК

- Математические модели динамических систем с АГК

- Методика выбора параметров АГК

- Методика проведения и результаты вычислительно-экспериментальных исследований

- Результаты проектирования АГК Научная новизна работы

- Предложены различные конструктивные системы маятниковых гасителей колебаний

- Разработана обобщенная математическая модель АГК

- Исследована нелинейная динамика АГК

- Показана возможность изменения диапазона динамического гашения вибраций с помощью автопараметрического гасителя за счет управления демпфированием в шарнире крепления маятника

- Предложен интегральный критерий оценки эффективности автопараметрического гасителя колебаний

- Исследовано явление гистерезиса амплитуды вибраций основного тела на динамику и эффективность работы автопараметрического гасителя

- Предложена методика экспериментального исследования АГК и пути его совершенствования

- Разработана методика проектирования и выбора параметров автопараметрической системы с автопараметрическим гасителем применительно к снижению вибраций конструкции поливальной (оросительной) машины

- Разработан программный комплекс для моделирования динамических процессов автопараметрической системы и определения реакция автопараметрической системы для различных возможных условий эксплуатации

Прикладная значимость. Результаты работы могут быть использованы при решении следующих научно-технических задач

1) проектирование пассивного гашения вибраций в конструкциях с широким частотным диапазоном возмущений,

2) разработка автопараметрического гасителя колебаний для поливальной машины,

3) предложенные методики моделирования и созданные на их основе алгоритмы и программы позволяют формировать структуру автопараметрической системы, а также оценивать эффективность разработанной автопараметрической системы Создан программный комплекс для моделирования динамических процессов автопараметрической системы при наличии разных условий

Методы исследований. Расчет и анализ амплитудно-частотных характеристик, в том числе с учетом нелинейности упругого элемента, выполнен с использованием теоретической механики, теории колебаний, теории дифференциальных уравнений и методов установления, многомасштабных разложений -асимптотический метод и различные методы численного интегрирования Для исследования устойчивости периодических движений используется первый метод Ляпунова и критерий Рауса-Гурвица

С целью проверки результатов численного и аналитического моделирования проведено сравнение расчетных амплитудно-частотных характеристик с экспериментальными, полученными на вибростенде типа ВЭДС-200 Численные расчеты и построение графиков выполнены в системе научных и инженерных расчетов МАТЪАВ

Апробация работы. Основные результаты прошли научное обсуждение на ежегодных семинарах кафедры и окончательный вариант был доложен на научном семинаре кафедры РК5 22-го мая 2008 г Кроме того, при проведении экспериментов в лаборатории по динамике ИМАШ РАН проводилось обсуждение постановки экспериментов Также результаты экспериментов обсуждались на научном семинаре института ИМАШ РАН Основные результаты исследований опубликованы в 4 научных работах

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, выводов, списка литературы и приложения Диссертация изло-

жена на 138 страницах, содержит 50 иллюстраций и 6 таблиц. В списке литературы цитируется 75 источников.

ОСНОВНЫЕ СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении показаны актуальность работы, краткий обзор истории вопроса и основных результатов, полученных в области исследования динамических гасителей колебаний. По завершении анализа накопленных научных материалов сформулированы цель и задачи диссертационной работы. Затем показаны научная новизна, практическая ценность работы и методы исследований.

В первой главе рассмотрены характеристики автопараметрической системы и требования, предъявляемые к автопараметрическим гасителю; упомянут автопараметрический резонанс в практических ситуациях; описаны модели автопараметрических систем.

Во второй главе рассмотрено поведение типичной автопараметрической системы с маятниковым гасителем; разработана математическая модель в виде дифференциального уравнения. Получены аналитическое и численное решение для определения амплитуды колебания основного тела и маятника. Рассмотрена устойчивость периодического движения автопараметрической системы с маятником в аналитическом виде и построены области его устойчивости. Исследовано явление гистерезиса колебаний и влияние параметров динамической системы на его характеристики. Сопоставлены возможности гашения классической и маятниковой систем.

На рис.1 показана принципиальная схема наиболее распространенного вида маятникового гасителя колебаний. Объектом гашения колебаний является абсолютно твердое тело (основное тело) массой М, закрепленное на нелинейном упруго-вязком подвесе и находящееся в поле сил тяжести. Благодаря идеальным направляющим тело может совершать только поступательное перемещение в направлении вертикальной оси Оу. К телу в точке А шарнирно прикреплен маятник, состоящий из невесомого абсолютно жесткого стержня длиной 4 на свободном конце которого находится сосредоточенная масса т. Маятник может совершать угловые колебания, которые описываются углом отклонения а оси маятника от вертика- Рис-1 ■ м°Дель автопараметрического ли, проходящей через точку его подвеса. маятникового гасителя колебаний

Предполагаем, что на основное те- при силовом возбуждении

ло (в точке В) действует внешняя гармоническая возмущающая сила развиваемая дебалансным возбудителем колебаний с массой т0 и эксцентриситетом г, вращающимся с постоянной угловой скоростью со, т.е. в направлении оси у действует гармоническая сила^(О = «0га25т(со/)-

Используя уравнения Лагранжа второго рода, представим уравнения движения рассматриваемой системы в следующем виде

(М + т)у - (misin а)а = -с(у + у0) - с,(у + _У0)3 ~ dy

+ (М + m)g + mía2 cosa + тйт2 sm(cúf), (1)

-(mlsma)y + (ml2)a = -mglsma-dla,

где с — линейная жесткость, с, — нелинейная жесткость, у—положение центра масс основного тела от условного равновесного положения у0, рассчитанного в предположении, что с, = 0, d- коэффициент линейного вязкого демпфирования связи, -коэффициент сопротивления вращению маятника в шарнире маятника Уравнения (1) описывают нелинейные колебания автопараметрической системы с двумя степенями свободы Первая обобщенная координата - вертикальное перемещение у массы М, вторая - угловое перемещение маятника a Безразмерный вид уравнения (1)

-(Р2 sina)^" + a" = -p2sina-2pC,a' В уравнении (2) использованы следующие обозначения безразмерных комплексов

i с юа (M + m)g ю с, 2

М- = —--Ñ'Р= \ —Г~ ' Q = —> X = Уо >

М + т \j (М + т) \ 1с а>5 с

q = ——, £ = d , г = _,У(т) = QQ2 sin(Qx) (М + т)у0 2 yjc(M + m) 2/nl^jgl

(3)

Система (2) характеризуется семью значимыми безразмерными комплексами

{ц, с, С,} (4)

Используя метод многомасштабных разложений, получим аналитические решение Существует два вида стационарных решений Решение 1 В случае, когда маятник не работает

4 ---_, е;-агс,2-^^, ,5,

,/(20 +(2(П-1)-Зх) Ч

где А^, 9°- амплитуда и фаза колебаний основного тела, соответственно

Расчеты по зависимостям (5) позволяют найти амплитуду вибраций основного тела при заданном нагружении в условиях, когда динамический гаситель колебаний искусственно остановлен и наблюдается обычный линейный резонанс.

Решение 2 В этом случае маятник работает Амплитуда и фаза стационарных колебаний основного тела {4О>0°} и маятника {5°,6°} равны

0_2У<+Р2(0-2Р)2 а0 ц(£°)25т(е°)-2С4

А = -р2- А = «■«»-£05- (б)

в° =

U + yJv

9° = arctg

2Ç,

ß(Q-2ß)

(7)

где

U = А° {[2(Q -1) - 3x]cos(9°) + 2^sin(0°)},

V = e2Q4 + (40)2 [2ф(П -1) - 3X]sm(26°) - [(2(Q -1) - 3X)2 - 4^2]sin2(9°) - <

5°, 0°- амплитуда и фаза колебаний маятника, соответственно.

Соотношения (6) позволяют оценить амплитуды вибраций основного тела при тех же условиях, что и в случае (5), но при этом маятник имеет возможность свободно двигаться и осуществлять функции динамического гасителя колебаний. Результаты вычислений по зависимостям (5) и (6), (7) и по методу установления от уравнения (2) представлены на рис.2. Расчеты проведены при следующих значениях параметров р = 0.5, ц = 0.13, % = 0.001, £9=0.02, £=0.02, Q =0.003.

1 1,05 1.1 1.15 1.2 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2

(а) (б)

Рис.2. Амплитудно-частотные характеристики: а) - АЧХ основной системы в случае, когда маятник не работает; Ау] - АЧХ основной системы в случае, когда маятник работает (аналитическое решение); Ау2 - АЧХ основной системы в случае, когда маятник работает (численное решение); б) Ва 1 - АЧХ гасителя - маятника (аналитическое решение); Ваi - АЧХ гасителя -

маятника (численное решение) Таким образом, можно отметить, что маятниковый гаситель колебаний работает только вблизи резонансного пика и вне интервала Q е [Q_, Q+] маятник остается неподвижным (рис.2б). Интервал Q е [Q_, Q+] называют область гашения.

Результаты вычислений показали, что когда соотношение ß = 0,5 соответствует внутреннему резонансу в автопараметрической системе (ма : = 1:2). Результаты вычислений А^ для нелинейности (параметр % = 0,001) и (I = 0.13, Q = 0, Ç = 0, Ç, = 0 представлены на рис.3. Очевидно, что при выполнении соотношения ß = 0,5, основное тело получает максимальную энергию от маятниковой подсистемы. Именно этот феномен и это свойство подобных систем используется в автопараметрических гасителях колебаний.

Рис.3. Внутренний резонанс проис- л°2 ходит для параметра ¡3 = 0,5

-0.06 ■о.оа -

При применении асимптотических методов вместо исследования устойчивости периодических решений. Для исследования устойчивости периодических движений используется первый метод Ляпунова и критерий Рауса-

Гурвица. На рис.4 показаны диапазоны устойчивости и неустойчивости периодических движений автопараметрической системы. Показано, что в интервале гашения устойчивость колебаний системы обеспечивается.

° о

(а) (б)

Рис. 4. Устойчивость основной системы и гасителя: а) АЧХ основной тела ; б) АЧХ маятника

Гистерезис в колебаниях - свойство систем с неоднозначной зависимостью амплитуд вибраций от частоты возбуждения. Гистерезис - чисто нелинейное явление, при котором рассматриваемая система ведет себя как динамический объект с переменной структурой.

Наблюдается гистерезис на рис.5.б. Линия 1- при изменении П от 1 до 1.1 с малым шагом. Резкое изменение амплитуды колебаний (линия 2) происходит аналогичным образом при уменьшении частоты Q от 1 до 0,9. Явление скачка амплитуды сопровождается рассеянием энергии и передачи части энергии движения основного тела маятнику. Величина скачка амплитуды вибраций основного тела существенно зависит от уровня демпфирования в шарнире маятника. Это явление объясняется на рис.5. Показано, что область амплитудного гистерезиса увеличивается при возрастании потерь в шарнире маятника.

(а) (б)

Рис. 5. Явление гистерезиса колебаний: (а)- график гистерезиса при = 0.003; (б)- график гистерезиса при = 0.01

Сравнение АЧХ автопараметрического гасителя колебаний с эквивалентным классическим динамическим гасителем выявляет основную особенность АГК - существование конечного частотного диапазона работы АГК, сконцентрированного вблизи резонансного пика системы с «выключенным» АГК.

На рис.6 показана модель классического динамического гасителя.

Для сравнения свойств классического и автопараметрического динамических гасителей колебаний необходимо удовлетворять следующими условиями:

- массы основных тел М равны,

- присоединенные массы гасителей т равны,

- одинаковые потери в демпфере маятникового гасителя и пружинного гасителя, что выражается в виде равенства безразмерных коэффициентов потерь соответствующих парциальных систем нь -Ш

| т

4*

(8) Рис.6. Модель классического динамического гасителя

где с1\ - коэффициент сопротивления вращению маятника в шарнире (рис.1), ^ - коэффициент линейного вязкого демпфирования связи (рис. б).

Сравнение показывает (рис.7), что вблизи резонанса при прочих равных условиях классический гаситель может оказаться эффективнее. Но при этом появляются значительные боковые резонансные пики, которые, в случае большого разброса частотного воздействия могут сыграть отрицательную роль.

А

0.7

Рис.7. Сравнение АЧХ разных

0.6

моделей гасителей:

1 - АЧХ основной парциальной системы (без включенного гасителя колебаний); 2 - АЧХ системы с работающим автопараметрическим гасителем колебаний; 3 - АЧХ системы с работающим классическим динамическим гасителем колебаний

0.5

0.4-

0.3

0.2

0.1

0 -0.7

0.8

0.9

1.1

1.2

1.3 1.4

В третьей главе представлены результаты экспериментального исследования динамики автопараметрического гасителя колебаний. Целью экспериментального исследования является проверка адекватности построенной математической модели и метода теоретического расчета. Экспериментальная схема состоит из балки , один конец которой жестко закреплён на вибраторе и на другом свободном конце находится точечная масса (основное тело). Маятник закреплён на основном теле. Возбуждение, действующее на колебательную систему, является кинематическим, осуществляющимся с помощью вибрационного стола. Экспериментальное исследование состоит в измерении ускорений колебаний возбуждения и основного тела в случаях, когда гаситель - маятник, жестко закреплен (не работает) и когда он освобожден (работает) и в определении значений динамических параметров системы и их погрешности, в анализе результатов, в построении амплитудно-частотных характеристик , в сравнении экспериментальных и расчетных результатов и в оценке их расхождения. Эксперименты проводились в лаборатории Института машиноведения им A.A. Благонравова РАН. На рис.8 приведена экспериментальная установка.

Рис. 8. Экспериментальная установка, (а) схема, (б) общий вид: 1- Упругая балка; 2- Вибратор ВЭДС-200; 3- Масса; 4- Маятник; 5- Пьезоэлектрический акселерометр; 6- Генератор сигналов; 7, 8- Датчики ускорения К035

Расчетная схема колебаний балки показана на рис.9 и значения физических параметров приведены в таблице 1.

(а)

(б)

Таблица 1

Параметры | Значения

I - длина балки [м] 0,550

М0 - масса балки [кг] 0,851

/ - длина маятника [м] 0,023

т - масса маятника [кг] 0,110

Ми - суммарная масса крепежа маятника к балке, собственно массы маятника и массы датчика (28 г) [кг] 0,350

О

Рис. 9. Расчетная схема колебаний балки при кинематическом возбуждении

Полученные результаты экспериментов использовались для идентификации коэффициентов демпфирования сопротивления материала балки и в шарнире маятника, соответственно. Параметры выбирались из интер-

валов 0.02 <^<0.04, 0.01 <0.025. В установившемся движении определялась расчетная амплитуда колебаний основной массы j = 1, . Далее вычислялось среднеквадратичное отклонение по всем частотам

5(с,е,)=

I 1 N

ч/

(9)

В качестве расчетных значений принимаются значения коэффициентов демпфирования, соответствующие минимуму среднеквадратичного отклонения (9).

На рис.10 показана поверхность координаты которой отнесены к

минимальному значению 8т1Л =0.096871, достигаемому при

^=0.0303, ^„=0.0188. (10)

Вычисления проводились на сетке с шагом = = 0.0001.

Л'У„

, 0.025 ---0.028

4 0,03 0.026 °'027

Рис.10. Зависимость целевой функции Рис. 11. АЧХ основной массы: экспери-8 от параметров демпфирования ментальные характеристики: А - теоретическая характеристика, Д, - теоретическая характеристика, полученная при «выключенном» гасителе колебаний

На рис. 11 представлены результаты расчетов амплитудно-частотных характеристик, соответствующих экспериментальным данным {Д,С/)| 7 = и модельным определенным для оптимальных значений коэффициен-

тов демпфирования (10). Частоты отнесены к резонансной частоте _/о = 6.55Гц, амплитуды - к статическому прогибу у0 = 5.8мм. На рисунке также показаны амплитудно-частотные характеристики основной массы при неподвижном маятнике у' = 1,2,з|. Полученные результаты показы-

вают хорошую адекватность расчетной модели.

Произведенное сравнение расчетных данных с экспериментальными, показало, что максимальное расхождение экспериментальных и расчетных данных в установившемся режиме составляет и 10 %, что является приемлемым для инженерных расчетов динамических режимов.

Сопоставление расчетных результатов с данными эксперимента доказало правильность разработанной математической модели автопараметрической системы.

Четвертая глава посвящена способам повышения возможностей динамического гашения вибраций с помощью автопараметрического гасителя. Предложена интегральная характеристика, позволяющая рассчитывать эффективность гашения и исследовать влияние параметров на возможность гашения. Изучен вопрос оценки динамики колебаний системы при многочастотном возбуждении. Исследована динамика автопараметрической системы с несколькими маятниками, построена АЧХ основного тела и рассмотрена возможность расширения диапазона гашения вибраций.

Оценивается влияние динамических параметров на возможность гашения на основе сравнения значений амплитуды колебаний и ширины интервала гашения.

Амплитуда колебаний зависит от нескольких параметров

где р = С =

(М + m)g _ т

/ Г 1 , > ' с1 М

2 у/с(М

с!| _ г 2 т!^' у0

+ т)

Сохраняя четыре параметры неизменным, будем варьировать одним из параметром, выявляя, таким образом, его влияние возможность гашения колебаний. Результаты вычислений показали что, когда Р<к0,5 и р»0,5 колебание основного тела не зависит от маятникового гасителя колебаний и наибольшие амплитуды возникают вблизи частоты внешнего рез-

0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 О

1 е-м« 1 Ч 1 1 Р=0.49 1

------;.....1..... г--... 1 1 ; -- / ' \ //

Рис. 12. Влияние параметра настройки р на значение амплитуды основного тела зонанса 0 = 1. При значении |3 близком к 0,5 гаситель возбуждается и забирает на себя часть энергии колебаний основного тела. Можно отметить, что

наибольшее снижение вибраций основного тела наблюдается при Р = 0,5 (рис. 12).

На рис.13 представлены результаты расчета АЧХ при различных значениях параметра \1т.

1т -

Рис. 14. Влияние демпфирования связи к, (а) и сопротивления вращению маятника в шарнире (б) на значение амплитуды колебаний основного тела и маятника

0.8 о.аб О.э О.ЭБ 1 1.06 1.1 1.15 1.2 1.26 0 0.06 0.1 0.16 0.2 0.26 0.3 0.36 0.4 0.46 0.6

11 ►т

Рис.13. Влияние массы маятника на значение амплитуды основного тела

С увеличением массы маятника амплитуда колебаний основного уменьшается, т.е. возможность гашения увеличивается. Однако, при достижении некоторого значения — 0.2 дальнейшее увеличение массы маятника уменьшает амплитуду основного тела незначительно.

Влияние демпфирования связи С, и сопротивления вращению маятника в шарнире на амплитуду колебаний основного тела и маятника показано на рис.14.

При увеличении значения коэффициента демпфирования связи С, амплитуды колебаний основного тела и маятника уменьшают (рис. 14.а). Однако, при достижении некоторого значения С, - 0.2 дальнейшее увеличение коэффициента ^ уменьшает амплитуду основного тела незначительно. А также при увеличении значения коэффициента сопротивления вращению маятника в шарнире минимальная амплитуда колебаний основного тела возрастает (рис. 14.61). Наконец, при достижении некоторого предельного значения потерь в шарнире, маятник не возбуждается и амплитуда основного тела соответствует резонансному значению. На рис 14. б2 приведено изменение амплитуды колебаний маятника. Хорошо виден эффект «остановки» маятника.

Автопараметрический гаситель колебаний работает в определённом частотном диапазоне 1а =|п|пе[й,,п2]|. Эффективность гашения можно определить следующим безразмерным интегральным соотношением

(11)

=

-А.у-сЮ.

¡(А??

с!С1

здесь А?3 - амплитуда основного тела при неработающем гасителе и А^— при

работающем гасителе колебаний.

Наибольшее и самое эффективное влияние при управлении и настройке динамического гасителя на эффективность оказывает параметр р = <ва / а>?. Зависимость эффективности гашения от параметров настройки р,р показана на рис.15 и на рис.16. По графике на рис.15, влияние параметра настройки Р на эффективность существенно только 4 в области (0,4 < Р<0,68). Вне этой области значений, т.е. при ((3<0,4) и (р>0,68) маятниковый гаситель колебаний неэффективен. Тоже видим, эффективность гашения наилучшее при р=0,5, т.е. при внутренним резонансе.

Рис. 15. Зависимость эффективности гашения от параметра настройки р

Эффективность гашения зависит от параметра дебапанса р. По графике на рис.17, существует оптималь- о.? ное значение р, при котом достигает- о.е ся наибольшая эффективность работы °.б автопараметрического гасителя коле- м -баний.

Рис. 16. Зависимость эффективности гашения от параметра дебаланса р

Рассмотрим достаточно интересный практический случай наличия двух источников возбуждения {<a,,co2} с незначительно отличающимися друг от друга частотами возбуждения. Представим {со,,со2} в следующем виде

со, =со(1- Д), со2=со(1 + Д), ш = Д = (12)

2 со, + со2

В этом случае функция возбуждения примет следующий вид

F(t) = m^a] sin со/ + m02r2a22 sin а>2( j ^

= /»0,^(1 - А)2ш2 sin(l - А)со/ + m02r2( 1 + Д)2со2 sin(l + Д)Ш

На рис.17 показано сравнение АЧХ основного тела при многочастотном возбуждении.

Рис.17. Сравнение АЧХ основного тела модели пружинного и маятникового гасителя при многочастотном возбуждении: 1- АЧХ основного тела в неработающем режиме гасителя; 2- АЧХ основного тела пружинного гасителя в работающем режиме гасителя; 3 - АЧХ основного тела маятникового гасителя в работающем режиме гасителя

На основании графиков, изображенных на рис.17, можно отметить интересную особенность маятникового гасителя колебаний: чем больше различие двух частот в силовом возбуждении Д, тем шире диапазон частотной области эффективной работы гасителя. Подобное свойство может быть использовано в практических задачах.

Влияние конструкции с несколькими маятниками на возможность гашения вибраций было исследовано. На рис. 18 предложена принципиальная схема

автопараметрической системы с двумя маятниковыми гасителями. Маятники отличаются параметрами

_ 1(М + т,+т2_ [Щ + щТ^)^ -ЧЬ.-п -ИЬ,

Р] ~ л 7 'Г2 ~ Л 1 > Гт1 ,,'Г-т! , , •

^ у 12с ММ

Рис. 18. Модель автопараметрического гасителя колебаний с двумя маятниками

Рис.19. АЧХ основного тела модели с двумя маятниками при разных значений ¡5,, р2

В пятой главе рассмотрено решение практических задач динамического гашения вибраций с помощью автопараметрического гасителя. Проведено проектирование АГК для поливальной (оросительной) машины. Проводится: анализ данных активного и пассивного гасителя и выбор вида гасителя; перечисление критериев, требований, которые должны быть соблюдены. Разработаны математические модели систем. Построен график зависимости эффективности АГК от относительной массы присоединенного маятника.

На рис.19 показаны АЧХ основного тела модели с двумя маятниками при разных значений р,, р2. Расчеты проведены при следующих значениях параметров

= 0.075,цт2 = 0.075,ц0 = 0.04, р = 0.5, С = 0.02, С„ =0.003, С12 = 0.003. По графикам на рис. 19, можно оценить возможность гашения при использованием многократных маятников. Перепад коэффициентов настройки р,, р2 тем больше, чем шире диапазона гашения. Этот позволяет использовать модель гасителя с многократными маятниками как способ повышения возможностей гашения.

Рис. 20. Оросительная машина и ее модель с автопараметрическим гасителем колебаний

Параметры Значения

Ь - длина фермы [м] 12

Мо - масса фермы [кг] 460

/-длина маятника [м] 0,56

АМ- приведенная масса фермы [кг] 253

уа - скорость машины [км/ч] 8-14

до-средняя высота неровности дороги [м] 0,02-0,15

б - средняя длина волны дороги [м] 2-3,5

На рис. 20 предложена оросительная машина и ее модель с автопараметрическим гасителем колебаний.

Уравнение профиля дороги неровности длиной 5 и высотой 2д0 имеет вид

q = qй{\-c,os(2жva¡Ъ,6s)t}=qQ(l-cos,(£>t), (14)

где 00 = 27ГУй/3,б5, Уа- скорость оросительной машины в км/ч.

Физические параметры оросительной машины и геометрические параметры дороги показаны в таблице 2.

Рассматривая резо- Таблица 2

нанс оросительной машины, определим частоту внешнего возбуждении и из того определим длину маятника через (3 = 0,5. Амплитуда колебаний конца оросительной фермы будет зависеть от массы маятника.

На рис.21 показан график влияния массы маятника т на амплитуду колебаний фермы (ДМ - приведенная массы фермы, = /и/ДМ). На основании графика рис.21, выбирается масса маятника, исходя их уровня амплитуд. Видно что, для наилучшей эффективности гашения колебаний необходимо выбирать =0.08+0.15.

Рис.21. График определения массы маятника: 1- случай, когда гаситель не работает; 2- случай, когда гаситель работает

Так же определим реакцию в опорах соединения фермы и блока машины чтобы проверить прочность соединений (рис.22).

Как видно, с гасителем реакции в опорах (в местах соединения фермы с блоком поливальной машины) будут уменьшены при увеличением массы маятника. Этот уменьшает уровень воздействия сил на опорах, и так повышает надежность соединений и устойчивости движения машины.

Ч0 = 0.030 . Л &1т в 0) = 0.Б0022 . А т)п = 0.037448 . [т]

0.4 0.4« 0.5

Рис.22. Зависимость реактивных сил в опорах от массы маятника: 1- случай, когда гаситель не работает; 2- случай, когда гаситель работает; 3- статика

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО ДИССЕГТАЦИИ

1 Разработанные математические модели различных динамических систем с АГК и численные модели, позволяют рассчитывать амплитудно-частотные характеристики динамических систем с АГК, исследовать устойчивость периодических движений и прогнозировать эффективность динамического гашения в зависимости от всех физически значимых параметров

2 Численно (методом установления) и аналитически определен частотный диапазон динамического гашения с помощью АГК Показано, что эффективность гашения вибраций, главным образом, определяется параметром настройки и достигает наиболыне значение при ß = 0,5. Дано физическое толкование наблюдаемой неоднозначности АЧХ - амплитудного гистерезиса, вызванного «инерционным» запаздыванием Показано, что область амплитудного гистерезиса увеличивается при возрастании потерь в шарнире маятника

3 Показано, что использование одновременно нескольких маятниковых гасителей и/или многочастотного воздействия на систему позволяет расширить частотный диапазон эффективного гашения колебаний

4 На основе проведенных экспериментов выявлено, что использование АГК в консольных конструкциях при кинематическом возбуждении в области заделки, при настройке АГК на внутренний резонанс 2 1 позволяет реализовать режимы работы, при которых конструкция осуществляет практически плоскопараллельное движение При этом существенно снижаются динамические составляющие напряжения в области заделки

5. Разработанная методика проектирования АГК позволили рассчитать АГК для поливальной машины и указать диапазон гашения и рациональные массовые характеристики устройства На основе выполненных исследований разработана и внедрена в учебный процесс лабораторная работа по изучению динамических свойств систем с АГК

ПУБЛИКАЦИИ ПО ОСНОВНЫМ ПОЛОЖЕНИЯМ ДИССРТАЦИИ

1 Гуськов А М, Пановко Г Я, Чан Ван Бинь Динамика автопараметрического гасителя колебаний (часть 1) // Наука и образование Инженерное образование E-Journal - 2008 - №2 (http //technomag edu ru/doc/808I5 html/)

2 Гуськов А M, Пановко ГЯ, Чан Ван Бинь Динамика автопараметрического гасителя колебаний (часть 2) // Наука и образование Инженерное образование E-Journal - 2008 - №4 (http //technomag edu ru/doc/87802 htm/)

3 Гуськов А M, Пановко ГЯ, Чан Ван Бинь Гашение колебаний упругой системы с присоединенным маятником// Машиностроение и инженерное образование -2008 - №4 -С 11-17

4 Гуськов А М, Пановко Г Я, Чан Ван Бинь Анализ динамики маятникового гасителя колебаний//Проблемы машиностроения и надежности машин Наука - 2008-№ 2 -С 17-23

Подписано к печати 5 09 08 Заказ № 487 Объем 1,0 псч л Тираж 100 экз Типография МГТУ им Н Э Баумана 105005, Москва, 2-я Бауманская ул, д 5 263-62-01

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. КРАТКИЙ ОБЗОР РАБОТ ПО ИССЛЕДОВАНИЮ ДИНАМИЧЕ

СКОГО ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ.

ПРИНЦИПЫ ДИНАМИЧЕСКОГО ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА.

2. КРАТКИЙ ОБЗОР РАБОТ ПО ИССЛЕДОВАНИЮ АВТОПАРА

МЕТРИЧЕСКОГО ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ.

3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ.

Глава 1. АВТОПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА.

1.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ АВТОПРАМЕТРИТИЧЕСКИХ ГАСИТЕЛЕЙ КОЛЕБАНИЙ (АГК).

1.1.1. Автопараметрическая система.

1.1.2. Особенности автопараметрических систем.

1.1.3. Автопараметрический резонанс в практических ситуациях.

1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ АВТОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

1.3. ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 1.

Глава 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ТИПИЧНОЙ АВТОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.

2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МОДЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ.

2.2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ.

2.3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ.

2.3.1. Метод многомасштабных разложений (ММР).

2.3.2. Внутренний и внешний резонанс.

2.3.3. Различные виды периодических движений.

2.4. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ.

2.5. АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ (АЧХ) ПО МЕТОДУ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.

2.5.1. Стационарное движение.

2.5.2. Амплитудно-частотные характеристики.

2.5.3. Замечания.

2.6. ЯВЛЕНИЕ ГИСТЕРЕЗИСА.

2.7. СРАВНЕНИЕ СВОЙСТВ ДИНАМИЧЕСКИХ ГАСИТЕЛЕЙ.

2.7.1. Модель с классическим динамическим гасителем колебаний.

2.7.2. Условия сравнения свойств динамических гасителей.•.

2.7.3. Сравнение свойств динамических гасителей.

2.8. ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 2.

Глава 3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ АВТОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С МАЯТНИКОВЫМ ГАСИТЕЛЕМ.

3.1 ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ЗАМЕЧАНИЕ.

3.2. СХЕМА ЭКСПЕРИМЕНТА МОДЕЛИ АГК.

3.3. ФИЗИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ.

3.4. ЭТАПЫ ЭКСПЕРИМЕНТА.

3.4.1. Методика проведения эксперимента.

3.4.2. Результаты эксперимента.

3.5. РАСЧЕТНАЯ СХЕМА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ МОДЕЛИ.

3.6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ.

3.7. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ.

3.7.1. Идентификация значений параметров модели.

3.7.2. Сопоставление результаты эксперимента с теоретическим расчетом.

3.7.3. Оценка о погрешности.

3.8. ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 3.

Глава 4. СПОСОБЫ ПОВЫШЕНИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ГАШЕНИЯ

ВИБРАЦИЙ.

4.1. ВЛИЯНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ НА ЗНАЧЕНИЕ АМПЛИТУДЫ КОЛЕБАНИЙ.

4.1.1. Влияние параметра настройки р.

4.1.2. Влияние демпфирования связи С, и сопротивления вращению маятника в шарнире

4.1.3. Влияние отношения массы \хт.

4.2. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ГАШЕНИЯ.

4.2.1. Функция эффективности.

4.2.2. Влияние динамических параметров на эффективность гашения.

4.3. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ МНОГОЧАСТОТНОМ ВОЗБУЖДЕНИИ.

4.3.1. Модель маятникового гасителя при многочастотном возбуждении.

4.3.2. Модель пружинного гасителя (классического) при многочастотном возбуждении.

4.3.3. Сравнение АЧХ основного тела модели пружинного и маятникового гасителя.

4.4. МОДЕЛЬ АВТОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ГАСИТЕЛЯ КОЛЕБАНИЙ С НЕСКОЛЬКИМИ МАЯТНИКАМИ.

4.5. ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 4.

Глава 5. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ

АВТОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГАСИТЕЛЕЙ КОЛЕБАНИЙ.

5.1. ПРОЕКТИРОВАНИЕ АВТОПАРАМЕТРИЧЕСКИИХ ГАСИТЕЛЕЙ КОЛЕБАНИЙ ДЛЯ ВИБРОИЗОЛИРОВАННОГО СТОЛА .108 5.1.1. Постановка задачи.

5.1.2. Модель виброизолированного стола с автопараметрическим гасителем колебаний.

5.1.3. Уравнения движения.

5.2.ПРОЕКТИРОВАНИЕ АВТОПАРМЕТРИЧЕСКОГО ГАСИТЕЛЯ КОЛЕБАНИЙ ДЛЯ ПОЛИВАЛЬНОЙ МАШИНЫ.

5.2.1. Постановка задачи.

5.2.2. Модель поливальной машины с автопараметрическим гасителем колебаний.

5.2.3. Определение жёсткости ферм.

5.2.4. Профиль дороги.

5.2.5. Проектирование АГК.

5.2.6. Реакции в опорах.

5.3. ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 5.

Создание эффективных средств защиты от вибраций является одной из важных проблем современной техники. Особенно большое значение приобретают вопросы виброзащиты в современных транспортных объектах: летательных аппаратах, автомобилях, железнодорожном транспорте, морских судах и т.д. Поскольку интенсивность вибраций обычно возрастает с увеличением скорости движения, развитие транспортных средств сопровождается непрерывным повышением требований к виброзащитным устройствам.

Вибрация, возникающая при работе машин различных типов, влияет не только на технические объекты, но и на людей, находящихся вблизи источника вибрации. Длительное воздействие вибрации нарушает нормальное состояние человека и непосредственно влияет на производительность труда и качество выполняемой работы.

Вредная вибрация нарушает планируемые конструктором законы движения машин, механизмов и систем управления, порождает неустойчивость процессов и может вызвать отказы и полную расстройку всей системы. Действие вибрации может приводить к трансформированию внутренней структуры материалов поверхностных слоев, изменению условий трения и износа на контактных поверхностях деталей машин, нагреву конструкций. Из-за вибрации увеличиваются динамические нагрузки в элементах конструкций, стыках и сопряжениях, снижается несущая способность деталей, инициируются трещины, возникают усталостные разрушения. Чаще всего и довольно быстро разрушение объекта наступает при вибрационных влияниях в условиях резонанса. Вибрация вызывает также и отказы машин, приборов.

Вибрация приводит к индуцированию шума, являющегося важным экологическим показателем среды обитания человека. Вибрация оказывает и непосредственное влияние на человека, снижая его функциональные возможности и работоспособность. В условиях вибрации нарушается острота зрения и светоощущения, ухудшается координация движений, меняется реакция и пороги чувствительности, ослабевает память, повышаются энергетические затраты. Длительное действие вибраций может привести к ухудшению самочувствия и поражению отдельных систем организма: сердечно-сосудистой, нервной, кровеносной, вестибулярного аппарата и других, изменению мышечных и костных тканей. Поэтому особое значение приобретают методы и средства уменьшения вибрации. Совокупность таких методов и средств принято называть виброзащитой.

Проблема виброзащиты, в широком понимании этого слова, представляет собой проблему защиты окружающей среды и охраны природы и имеет международное значение.

Проблемы виброзащиты возникают практически во всех областях современной техники, и их решение существенно опирается на специфику системы или реализуемого ею динамического процесса. Выбор законов движения исполнительных органов машин, механизмов, реализующих эти движения, геометрических форм деталей и конструкций, вида их сопряжений и механических характеристик, материалов и способов обработки наряду с функциональными требованиями должен отвечать требованиям вибронадежности и вибробезопасности.

Актуальность проблемы непрерывно возрастает в связи с увеличением размеров конструкций, повышением быстроходности машин, ужесточением санитарных и технологических требований к допустимым уровням колебаний.

К настоящему времени известны различные методы и средства борьбы с недопустимыми колебаниями конструкций, в частности балансировка и уравновешивание машин, являющихся источниками динамических нагрузок, изменение жесткостных и инерционных параметров конструкций в целях отстройки от резонансов, повышение демпфирующих свойств путем использования материалов и конструкций с высокой поглощающей способностью, например специальных покрытий, применение виброизоляции и разнообразных гасителей колебаний. Каждый из упомянутых способов имеет, естественно, свою рациональную область применения.

Применение динамического гашения колебаний является одним из наиболее распространенных способов, позволяет решить отчасти требований проблемы виброзащиты.

Гасители в этом перечне занимают особое место благодаря тому, что их использование может быть предусмотрено не только на стадии проектирования и создания конструкций, но и в случае, когда неудовлетворительные динамические качества конструкции выявлены уже в процессе ее эксплуатации. Достоинством гасителей является также то, что при сравнительно малых затратах дополнительного материала они позволяют относительно просто получить желаемый эффект уменьшения уровня колебаний.

Динамическим гасителем колебаний (ДГК) или «антивибратор», «динамический демпфер», «виброгаситель», «поглотитель колебаний», «амортизатор» и т.п. называют устройство, в котором возникает сила инерции, уменьшающая уровень колебаний защищаемой конструкции.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ

В диссертационной работе проведено теоретическое и экспериментальное исследование динамических процессов, происходящих в автопараметрических системах, а также проектирование АГК поливальной машины и получены следующие результаты и выводы:

1. Разработанные математические модели различных динамических систем с АГК и численные модели, позволяют рассчитывать амплитудно-частотные характеристики динамических систем с АГК, исследовать устойчивость периодических движений и прогнозировать эффективность динамического гашения в зависимости от всех физически значимых параметров.

2. Численно (методом установления) и аналитически определен частотный диапазон динамического гашения с помощью АГК. Показано, что эффективность гашения вибраций, главным образом, определяется параметром настройки и достигает наиболыне значение при Р = 0,5.

Дано физическое толкование наблюдаемой неоднозначности АЧХ - амплитудного гистерезиса, вызванного «инерционным» запаздыванием. Показано, что область амплитудного гистерезиса увеличивается при возрастании потерь в шарнире маятника.

Установлено, что АКГ проявляют свойства динамической системы с переменной структурой.

3. Сравнение АЧХ автопараметрического гасителя колебаний с эквивалентным классическим динамическим гасителем выявляет основную особенность АГК - существование конечного частотного диапазона работы АГК, сконцентрированного вблизи резонансного пика системы с «выключенным» АГК.

4. Показано, что использование одновременно нескольких маятниковых гасителей и/или многочастотного воздействия на систему позволяет расширить частотный диапазон эффективного гашения колебаний.

5. На основе проведенных экспериментов выявлено, что использование АГК в консольных конструкциях при кинематическом возбуждении в области заделки, при настройке АГК на внутренний резонанс 2:1 позволяет реализовать режимы работы, при которых конструкция осуществляет практически плоскопараллельное движение. При этом существенно снижаются динамические составляющие напряжения в области заделки.

6. Разработанная методика проектирования АГК позволили рассчитать АГК для поливальной (оросительной) машины и указать диапазон гашения и рациональные массовые характеристики устройства. На основе выполненных исследований разработана и внедрена в учебный процесс лабораторная работа по изучению динамических свойств систем с АГК.

1. Алексеев A.M., Сборовский А.К. Судовые виброгасители. — Л.: Судпром-гиз, 1962.- 196 с.

2. Ананьев И.В., Конбгт Н.М., Серебрянский Н.П. Динамика конструкций летательных аппаратов. -М.: Машиностроение, 1972. 414 с.

3. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Дрофа, 2004. - 592 с.

4. Бидерман В.Я. Прикладная теория механических колебаний. — М.: Высшая школа, 1972. 416 с.

5. Бидерман В.Я. Теория механических колебаний: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1980. - 408 с.

6. Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Физматлит, 1994.-400 с.

7. Брискин Е. С., Чернышев В.М. Оптимизация параметров динамических гасителей колебаний// Известие вузов. Машиностроение.-1977.-№2. -С. 190-192.

8. Бурденко А. Ф., Флора В. Ф. Определение оптимальных параметров упруго-вязкого демпфера при наличии затухания колебаний главной массы //Акустика и ультразвуковая техника. -19727.-Вып.7. -С.58-62.

9. Вибрации в технике: Справочник; В 6-ти т./Ред. совет: В.Н. Челомей (пред.). — М.: Машиностроение, 1978 — Т. 1. Колебания линейных систем/Под ред. В.В. Болотина. -352с.

10. Вибрации в технике: Справочник; В 6-ти т./Ред. совет: В.Н. Челомей (пред.). М.: Машиностроение, 1979 - Т.2. Колебания нелинейных механических систем/Под ред. И.И. Блехмана. -351с.

11. Вибрации в технике: Справочник; В 6-ти т./Ред. совет: В.Н. Челомей (пред.). М.: Машиностроение, 1980 - Т.З. Колебания машин, конструкций и их элементов/Под ред. Ф.М. Диментберга и К.С. Колесникова. -544с.

12. Вибрации в технике: Справочник; В 6-ти т./Ред. совет: В.Н. Челомей (пред.). М.: Машиностроение, 1981 - Т.4. Вибрационные процессы и машины/Под ред. Э.Э. Лавендела. —509с.

13. Вибрации в технике: Справочник; В 6-ти т./Ред. совет: В.Н. Челомей (пред.). — М.: Машиностроение, 1981— Т.5. Измерения и испытания/Под ред. М.Д.Ленкина. 496с.

14. Вибрации в технике: Справочник; В 6-ти т./Ред. совет: В.Н. Челомей (пред.). М.: Машиностроение, 1981- Т.6. Защита от вибрации и ударов /Под ред. К.В.Фролова. -456с.

15. Гуськов A.M., Пановко Г.Я., Чан Ван Бинь. Динамика автопараметрического гасителя колебаний (часть 1) // Наука и образование. Инженерное образование. E-Journal. 2008. - №2. (http://technomag.edu.ru/doc/80815.htmlA.

16. Гуськов A.M., Пановко Г.Я., Чан Ван Бинь. Динамика автопараметрического гасителя колебаний (часть 2) // Наука и образование. Инженерное образование. E-Journal. 2008. - №4. (http://technomag.edu.ru/doc/87802.htm/).

17. П. Гуськов A.M., Пановко Г.Я., Чан Ван Бинь. Гашение колебаний упругой системы с присоединенным маятником//Машиностроение и инженерное образование. -2008. №4. -С. 11-17.

18. Гуськов A.M., Пановко Г.Я., Чан Ван Бинь. Анализ динамики маятникового гасителя колебаний/ЯТроблемы машиностроения и надежности машин. Наука. -2008. № 2. -С. 17-23.

19. Ден-Гартог Дж.П. Механические колебания-М.: Физматгиз, 1960. -580с.

20. Динамический расчет сооружений на специальные воздействия: Справочник проектировщика/Под ред. Б.Г. Коренева, И.М. Рабиновича. М.: Стройиздат, 1981. —215 с.

21. Динамический расчет специальных инженерных сооружений и конструкций: Справочник проектировщика/Под ред. Б.Г. Коренева, А.Ф. Смирнова.-М.: Сгройиздат, 1986.-462 с.

22. Елисеев С.В., Нерубенко Г.П. Динамические гасители колебаний. Новосибирск: Наука, 1982. - 144 с.

23. Закиров ИМ., Пикулев H.A. Экспериментальное исследование колебаний системы с группой динамических гасителей//Строительная механика и расчет сооружений. -1978. -№ 1.-С. 61-63.

24. Ивович В.А., Онищенко В.Я. Защита от вибрации в машиностроении. М.: Машиностроение, 1990. - 272 с.

25. Илиьн М.М., Колесников КС., Саратов Ю.С. Теория колебаний : Учеб. для вузов/ Под общ. ред. К.С. Колесникова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003.-272 с.

26. Илънский B.C. Защита аппаратов от динамических воздействий. М.: Энергия, 1970.-320 с.

27. Карамышкин В.В. Динамические гасители колебаний/Под ред. K.M. Ра-гульскиса- JL: Машиностроение Ленингр., 1988. — 105 с.

28. Коловский М.З. Нелинейная теория виброзащитных систем. М.: Физ-матлит, 1966. - 317 с.

29. Копелев Ю.Ф., Рябцев О.И Случайные колебания расточных шпинделей и их демпфирование // Изв. вузов. Машиностроение. 1972. - № 9. — С. 172-177.

30. Коренев Б.Г., Олейник А.И. Эффективность многомассовых динамических гасителей колебаний при гармонических внешних воздействи-ях//Строительная механика и расчет сооружений. 1984. -№5.-С. 39-43.

31. Коренев Б.Г., Дукарт A.B., Олейник А.И. Применение двухмассовых динамических гасителей колебаний в фундаментах под машины//Динамикаоснований, фундаментов и подземных сооружений. Тез. докл. VI Всесоюзная конференция. Л., 1985. -С. 384-386.

32. Коренев Б.Г., Резников JI.M. Динамические гасители колебаний. — М.: Наука. Гл. ред Физ.-мат.-лит., 1988. 304 е., ил. 97.

33. Манатов А.З., Пикулев H.A. К расчету колебательной системы с группой вибро-гасителей//Материалы координационного совещания по динамике строительной конструкции и борьбе с вибрациями. М.: Стройиздат, 1975.-С. 68-74.

34. Левитский Н.И. Колебания в механизмах: Учеб. пособие для втузов — М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат., 1988. 336с.

35. Найфэ А.Х. Методы возмущений: Перевод с английского- М.: Издательство «Мир», 1976. -455с.

36. Никитин H.H. Курс теоретической механики: Учеб. для машиностроительных и приборостроительных специальных вузов.-5-e изд. перераб. и доп. -М.: Высшая школа, 1990.-607 с.

37. Пановко Я.Г. Присоединенные динамические системы как гасители колебаний // Прочность, устойчивость, колебания: Справочник М.: Машиностроение, 1968. —ТЗ — С. 331-346.

38. Резников U.M. Выбор оптимальных параметров динамического гасителя при прохождении через резонанс//Динамика сооружений: Труды ЦНИИСК.-М.: Стройиздат, 1968. -С. 157-162.

39. Резников Л.М. Вероятностный анализ системы с динамическим гасителем// Машиностроение. 1969. —№5. -С.25-31.

40. Резников Л.М. Исследование работы центробежного маятникового гасителя колебаний//Машиностроение 1970. —№ 5. -С. 49-55.

41. Резников Л.М. Оптимизация параметров динамических гасителей колебаний с различными видами сопротивления//Проблемы прочности— 1970. № 9. -С. 46-51.

42. Резников Л.М. Анализ эффективности некоторых типов нелинейных динамических гасителей при гармонических воздействиях// Динамика сооружений: Труды ЦНИИСК.-М.: Стройиздат, 1971. -С. 105-115.

43. Резников Л.М., Фишман Г.М. Оптимальные параметры динамического гасителя колебаний в переходном режиме//Машиноведение. 1972. - № 2. -С. 10-15.

44. Резников Л.М. Оптимальные параметры динамического гасителя при затухающих колебаниях// Колебания и динамические качества механических систем-Киев: Наукова думка, 1983. -С.118-124.

45. Резников Л.М., Мащенко И.А. Об эффективности динамического гасителя колебаний вагона электропоезда//Вестник ВНИИЖТ. 1983. - № 5. - С. 36-39.

46. Резников Л.М, Фиишан Г.М. Выбор параметров и оценка эффективности динамического гасителя колебаний при периодически действующих случайных импульсах//Машиностроение. 1984. —№ 2. - С. 22-27.

47. Резников Л.М. Расчет многомассовых систем с непропорциональным трением// Колебания и прочность механических систем. Киев: Наукова думка, 1986.-С. 70-77.

48. Ржаницын А.Р. Строительная механика: Учеб. пособие для строительных специальных вузов. 2-е изд., перераб-М.: Высшая школа, 1991. -439 с.

49. Светлицкий В.А. Механика стержней: Учеб. для втузов; В 2-х ч. Статика-М.: Высшая школа, 1987. Ч.1.- 320 с.

50. Светлицкий В.А. Механика стержней: Учеб. для втузов; В 2-х ч. Динамика- М.: Высшая школа, 1987. Ч.2.- 304 с.

51. Справочник по динамике сооружений/Под ред. Б.Г. Коренева, И.М. Рабиновича— М.: Стройиздат, 1972.-511 с.

52. Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебания. — М.: «Наука», 1977.-256 с.

53. Фролов К.А., Фурман Ф.А. Прикладная теория виброзащитных систем — М.: Машиностроение, 1980.-276 с.

54. Фоедосъев В.И. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов 10-е изд., перераб. и доп. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. -592 с.

55. Хакстон, Барр. Автопараметрический виброгаситель//Труды Американского общества инженеров-механиков. Конструирование и технология машиностроения- 1972—№1. -С.127-135.

56. Bajaj A.K., Chang S.L., Johnson J.M. Amplitude modulated dynamics of a resonantly excited autoparametric two degree-of-freedom system//Nonlinear dynamics. -1995. -№5. -P.433^57.

57. Cartmell M.P., Roberts J.W. Simultaneous combination resonances in an auto-parametrically resonant system//Journal of Sound and Vibration. -1988. -no.l. -P. 81-101.

58. Sado D., Kot M. Nonlinear oscillations of a coupled autoparametrical system with ideal and nonideal sources of power // Mathematical Problems in Engineering/ Hindawi Publishing Corporation. -2006. -Vol. 1, article ID 82691. -P. 1-20.

59. Lee. W.K., Hsu C.S. A global analysis of an harmonically excited spring-pendulum system with internal resonance//Journal of Sound and Vibration. -1994.-no.3.-P. 335-359.

60. Nabergoj R., Tondl A., Virag Z. Autoparametric resonance in an externally excited system// Chaos, Solition Fractals. -1994. no.4. -P. 263-273.

61. Nayfeh A.H, Mook D.T. Nonlinear oscillations.- New York: Wiley, 1979. -720 p.

62. Schmidt G., Tondl A. Nonlinear vibrations-Berlin: Akademie-Verlag, 1986. — 420 p.

63. Tondl A., Nabergoj R. Model simulation of parametrically excited ship rolling //Nonlinear Dyn. -1990. -№ 1. -P. 134-141.

64. Tondl A. Quenching of selt-exited vibrations. —Amsterdam: Elsevier, 1991. -418p.

65. Tondl A., Nabergoj R. Simulation of parametric ship hull and twist oscillations //Nonlinear Dyn. -1992. № 3. -P.41-56.

66. Tondl A. A contribution to the analysis of autoparametric systems// Acta tech. Cesk. Akad. -1992. -Ved. 37. P. 735-758.

67. Autoparametric resonance mechanical systems/A Tondl, Th. Ruijgrok, F. Verludst, R. Nabergoj Cambridge: Cambridge university press, 2000.-196 p.

68. Vyas A., Bajaj A.K. Dynamics of autoparametric vibration absorbers using multiple pendulums//Journal of Sound and vibration. —2001. № 1. -P. USDS.

69. Warminski J, KecikK. Autoparametric vibration of nonlinear system with pendulum// Mathematical problem in Engineering/ Hindawi publishing Corporation. -2006. -Vol. 2, article ID 80705. -P. 1-19.