Разработка методов решения краевых задач для сплавов с памятью формы при неравномерном распределении напряжений и температур тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Институт прикладной механики Российской академии наук

^ на правах рукописи

< V УДК 539.4

^ Со

КУЗНЕЦОВ Алексей Валерьевич

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СПЛАВОВ С ПАМЯТЬЮ ФОРМЫ ПРИ НЕРАВНОМЕРНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ НАПРЯЖЕНИЙ И ТЕМПЕРАТУР.

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 1998

Работа выполнена в Институте Прикладной Механики Российской Академии Наук.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Мовчан А. А

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, ' • профессор Березин А.В.

доктор технических наук, профессор Крахин О.И.

Ведущая организация: Национальный Институт Авиационных

Технологий

Зашита состоится " /У " 1998 г. в /У/Учасов

на заседании Специализированного совета Д 200.47.01 в Институте Прикладной Механики по адресу: 117334, Москва, Ленинский проспект 32А, комната 727

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной механики РАН

Автореферат разослан " */Зп ЛС&Л777& 1998 г.

Ученый секретарь совета кандидат технических наук

Е.И. Кочемасова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

ктуальность темы. Сплавы с памятью формы (СПФ) обладают шкальными физико-механическими свойствами, наличие которых эъясняется термоупругими фазовыми превращениями, происходя-ими в них при изменении температуры и(или) напряжений. В отлита от обычных материалов они способны при различных термоме-1нических воздействиях возвращать деформацию соизмеримую по ;личине с необратимой пластической деформацией. Спектр юйств, проявляемых СПФ достаточно широк. Это явления прямо) и обратного превращения, ориентированное превращение, свер-шругость, мартенситная неупругость, обратимая память формы и

д.

Необычные свойства СПФ потребовали создания новых подхо-зв к решению краевых задач механики деформируемого твердого :ла. В настоящее время для практических расчетов в основном при-еняются методы, использующие соотношения типа уравнений тео-ли течения или деформационной теории пластичности. Однако, ме-шические свойства СПФ значительно сложнее и многообразнее, ;м эффекты, описываемые этими теориями. Физические подходы эзволяют описывать поведение данных материалов достаточно эдробно и достоверно. Здесь следует отметить созданную В.А. Лицевым и В.Г. Малининым структурно-аналитическую теорию ункционально-механических свойств кристаллических материалов, том числе и СПФ. Но способы решения краевых задач механики гформируемого твердого тела для СПФ с неравномерным распреде-гнием напряжений и температур, основанные на этих подходах, ;сьма сложны и трудоемки.

Поэтому актуальной задачей является поиск в создании мето-ов, которые, с одной стороны, достаточно просты для их использо-ания при решении практически важных задач, а с другой стороны, равильно в качественном и количественном плане описывали бы войства СПФ. Недостаточная развитость методов анализа напря-:енно-деформированного состояния и смещений в элементах конст-укций из этих сплавов сдерживает более широкое внедрение СПФ. Данная проблема является особенно актуальной вследствие того, что

экспериментальная отработка соответствующих деталей и узлов требует больших затрат.

Неравномерное распределение напряжений встречается в большом числе элементов конструкций из СПФ, например, таких как соединительные муфты, работающие на изгиб балки, пластины и оболочки, детали с концентраторами напряжений и т.д. Во многих процессах нагревания и охлаждения распределение температур также является неравномерным. Все это говорит об актуальности рассмотрения задач для СПФ с неоднородным напряженным состоянием и неоднородным температурным полем.

Актуальность темы подтверждается тем, что соответствующая работа велась в рамках гранта РФФИ №96-01-01406 "Сплавы с памятью формы: формулировка краевых задач механики деформируемого твердого тела и разработка методов их решения", а также грантов в области фундаментального естествознания:

- №94-4.5-115 конкурсного центра при Санкт-Петербургском государственном университете "Применение микромеханического подхода к описанию термоупругих мартенситных превращений";

- №95-0-4.3-59 конкурсного центра при Санкт-Петербургском государственном университете "Исследование сложных неодномерных эффектов в неоднородно напряженных твердых телах, испытывающих термоупругие мартенситные превращения";

- конкурсного центра при Московском государственном техническом университете "Разработка методов расчета кинематики и напряженно-деформированного состояния деталей и узлов из сплавов с памятью формы";

- №527 программы "Интеграция" Высшей школы и РАН "Разработка методов расчета кинематики и напряженно-деформированного состояния деталей и узлов из сплавов с памятью формы".

Целью работы является создание методов и алгоритмов решения краевых задач механики деформируемого твердого тела для СПФ, которые, с одной стороны учитывают уникальные свойства СПФ, а с другой не слишком сложны для решения практически важных задач с неоднородным распределением напряжений и температур.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Решения краевых задач для СПФ и соответствующие методы снованы на новых определяющих уравнениях для СПФ.

2. Предложен численно-аналитический метод решения несвяз-ых задач о прямом превращении в случае переменных по объему ела температур.

3. Разработан численный метод решения связных задач о пря-юм превращении для СПФ, учитывающий влияние действующих апряжений на величину доли мартенситной фазы и влияние фазо-ого состава СПФ на упругие модули и коэффициент температурного асширения.

4. Получены решения осесимметричной задачи о прямом пре-ращении в толстостенном цилиндре из СПФ в различных постановах, учитывающих или пренебрегающих такими факторами, как лияние действующих напряжений на величину доли мартенситной >азы, влияние фазового состава СПФ на термоупругие параметры, еравномерность поля температур.

5. Получено решение осесимметричной задачи о контактном заимодействии толстостенного цилиндра из СПФ и упругого ци-индра для прямого превращения (задача об упругом носителе). Выедены и проанализированы аналитические зависимости, опреде-яющие величину деформации ориентированного превращения.

6. Предложены новые выражения упругих параметров и коэф-шциента температурного расширения через значение объемной дои мартенситной фазы.

Достоверность полученных результатов доказывается адекват-юстью используемой модели поведения СПФ, подтвержденной равнением с экспериментальными данными, корректной постанов-:ой задач, применением обоснованных математических методов, фоведением численных экспериментов по контролю сходимости юшений.

Практическая ценность работы. Расчетные методы, пред-тавленные в данной работе, а также аналитические и численные ре-иения задач о прямом и ориентированном превращении в толсто-тенных цилиндрах из СПФ могут быть использованы при расчете

соединительных муфт из этих сплавов, которые имеют достаточно широкое распространении в технике.

Численно-аналитический и численный методы, проиллюстрированные здесь на примере осесимметричных задач могут применяться при решении других задач механики деформируемого твердого тела и использоваться при расчете деталей из СПФ. Развитие методов позволит сократить дорогостоящую экспериментальную отработку элементов конструкций из СПФ.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались:

- на международном симпозиуме "Advances in Structured and Heterogeneous Continua II", Москва, 14-16 августа, 1995 г;

- на Российско-Американском XXXI семинаре "Актуальные проблемы прочности", Санкт-Петербург, 13-17 ноября 1995 г;

- на III международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред", Яро-полец, 1997 г;

- на XXXIII международном семинаре "Актуальные проблемы прочности", Новгород, 15-18 октября 1997 г;

- на IV международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред", 16-20 февраля 1998, Ярополец.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературных источников из 122 наименований. Работа изложена на 144 страницах, включающих 37 рисунков, 2 таблицы, 16 страниц списка литературных источников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы и новизна, кратко описано ее содержание.

Первая глава носит, в основном, обзорный характер и посвя-1ена описанию поведения СПФ и методам решения соответствую-щх краевых задач механики деформируемого твердого тела.

СПФ являются яркими представителями группы материалов, азываемых адаптивными (интеллектуальными, механически актовыми). Исследованиям в области адаптивных материалов посвящены аботы И.Ф. Образцова, В.Е. Панина, В.З. Партона, Б.А. Кудрявцева, >.И. Шклярчука, А.И. Зобнина и др.

В п. 1.1 кратко описаны уникальные механические свойства !ПФ, обнаруженные и исследованные в работах Г.В. Курдюмова, [.Г. Хандроса, Е.З. Витайкина, В.А. Лихачева, В Н. Хачина, В.Г. Ма-инина и др.

П. 1.2 посвящен обзору моделей поведения СПФ и методов ре-яения краевых задач МДТТ для СПФ. Системы определяющих соот-ошений для СПФ предлагались в работах В.А. Лихачева, В.Г. Ма-инина, H.A. Махутова, О.Г. Киквидзе, С.А. Лурье, К. Tanaka, С.А. Lodgers, V. Kafka и др. Методы решения задач для СПФ самым тес-ым образом связаны с той системой уравнений, которая использу-тся исследователем для описания поведения этих сплавов. Разра-отке и применению методов решения рассматриваемых задач, в том исле и в случае неоднородного напряженного состояния и неравно-1ерного распределения температур, посвящены работы В.А. Лихаче-а, А.Е. Волкова, С.А. Абдрахманова, О.И. Крахина, D.C. Lagoudas и Р-

В диссертационной работе использовались микромеханические шределяющие уравнения для СПФ, предложенные A.A. Мовчаном п. 1.3). Для случая прямого превращения из полностью мартенсит-юго состояния они имеют вид:

(1)

(2)

q=0 при T>Mi, q=l при Т<М2, dT<0;

(3)

MJ = М° + ko¡, j=l,2;

(4)

где - компоненты полной, упругой, фазовой и темпера-

турной деформаций; упругая и температурная деформации подчиняются обычным соотношениям термоупругости; о^ - компоненты де-

виатора напряжений; с^ - интенсивность напряжений; ао ,Со, к и Р -параметры материала; ц - объемная доля мартенситной фазы; М1 и М2 - температуры начала и конца реакции прямого мартенситного превращения; М°- характеристические температуры реакции прямого мартенситного превращения в свободном от напряжений материале. Параметр р связан с объемным эффектом реакции прямого превращения. В соответствии с (1)-(4) задача считается несвязной, если влияние напряжений на фазовый состав отсутствует, то есть

Зависимость термоупругих параметров от фазового состава СПФ предлагается учитывать с помощью соотношений, полученных из гипотезы об аддитивности свободной энергии аустенитной и мартенситной фаз и осреднения по Фойгхту:

Здесь G - модуль сдвига, К = Е / (1 - v) - утроенный объемный модуль, ос - коэффициент температурного расширения, индексы 1 и 2 относятся к значениям параметров соответственно в аустенитном и мартенситном состоянии.

В п. 1.4 рассматривается разработанный A.A. Мовчаном аналитический метод для решения несвязных краевых задач МДТТ для СПФ о прямом превращении. Метод заключается в применении преобразования Лапласа к решению эквивалентной термоупругой задачи

и замене при этом G на G(s), а(т- Т0) на e0(s) , где

к=0.

e0(s)----+ F(s); G(s) = G——-j-; d = 2c0G-a0;

s + d

(э) - изображение функции а(т - Т0). Возвращаясь к оригиналам, южно получить решение задачи о прямом превращении.

Отмечается, что данный метод непосредственно применим ишь для задач с равномерным распределением температуры.

Вторая глава посвящена разработке численно-аналитического [етода решения несвязных краевых задач МДТТ для СПФ в случае, огда распределение температур может быть неравномерным. Метод снован на разбиении рассматриваемой области на достаточно ма-ые фрагменты, в пределах каждого из которых температуру можно читать независящей от координат. Он рассматривается на примере лоской осесимметричной задачи для толстостенного цилиндра из !ПФ при действии внутреннего и внешнего давления.

В п. 2.1 с помощью аналитического метода (п. 1.4) получено ешение вспомогательной плоской осесимметричной задачи о пря-юм превращении в цилиндрическом кольце с внутренним радиусом и внешним Ь, находящемся под действием внутреннего Р1 и внеш-:его Рг давлений, когда температура не меняется по его объему.

Напряжения в плоскости кольца в такой задаче совпадают с наряжениями в упругом состоянии и не зависят от доли мартенситной >азы. Для радиального перемещения XV в предположении о том, что севое напряжение стг равно нулю, можно получить:

В(Я)

(?)

А(Ч) = р

Цт^ + ^(ехр(а0я)-1) ^ 3 ап

+рр(я)+га(ч); (8)

(9)

1,ля плоской деформации (е2 = 0 ) изменится только параметр А(я):

7 Л 1

А(Ч) = Р

(1 - 2у)(1 + V)

(1

1 + — V со

ехр(ш,я)- — со.

+ р,Чч) + р,а(ч) (Ю)

Р а2 - Р

Здесь а = а / Ь ; со, = а0 - 2с0Е/3; р = ——■ Функции , Б/3, Ра

1 - а

и Б," определяют вклад температурной деформации и объемного эффекта реакции в раздачу кольца и не приводятся из-за громоздкости соответствующих выражений.

В п. 2.2 приведено описание предлагаемого метода применительно к плоской осесимметричной задаче о прямом превращении в толстостенном цилиндре при неравномерном распределении температур и результаты ее решения.

Процесс изменения температуры считается квазистатическим (весьма медленным). В случае плоского распределения температур (дТ/дг = 0 ), с учетом независимости температуры от полярного угла, отсутствия внутренних источников тепла и граничных условий первого рода решение уравнения теплопроводности дает логарифмическое распределение температуры по радиусу цилиндра:

т = ^(к,-,)+1. (П)

где Т = Т/Т2 - относительная температура; к, = Т,/Т2; Т1 и Т2 - температуры на внутренней и внешней поверхностях цилиндра; г = г/Ь -относительный радиус. Коэффициент к, считался постоянным во время прямого превращения.

Тело делится на достаточно малые фрагменты, имеющие форму цилиндрических колец, внутри которых значение температуры Т; постоянно и определяется по формуле (11) через значение радиуса г, в какой либо выбранной точке фрагмента. В данном случае считается, что температура во фрагменте равна температуре на его внутренней поверхности. Для каждого кольца используется решение несвязной задачи, полученное в пункте 2.1 (7)-(10). Для двух соседних колец должно выполнятся условие неразрывности по перемещениям:

\¥(Ь,) = \У(аы), где Н 1..П-1 . (12)

Здесь 1 - номер кольца.

В данном случае заданы силовые граничные условия на по-:рхности тела, что позволяет решить для каждого кольца первую ;новную задачу; перемещения линейно выражаются через заданные I границах усилия. Из условий (12) получится система уравнений, шейная относительно нагрузок между фрагментами.

¡+2 3 1+1 з

[е х; = а;/Ь; - отношение радиусов ¡-го кольца; = - относи-

шьное давление в ьм узле; Т), qi - температура и доля мартенситной азы в в ¡-м кольце; п - число фрагментов.

Найти величину доли мартенситной фазы в кольце можно вос-эльзовавшись формулами (3) и (11):

Я, =Б1П

'ям,-^

\2 АМ

1еМ1=М,/Т2; АМ = (М, - М2)/Т2.

На рис.1 и рис.2 приведены графики распределения окружного е и радиального аг напряжений по радиусу цилиндра для различ-

ых температур Ть Данные соответствуют СПФ типа никелида тита-1 при М,=52°С, М2 = 17 °С, Р, = 50МПа, Р2=0, к,=2/3, = 0,7. Охлаждение цилиндра происходит изнутри (Т, <Т2). Мож-э сделать вывод о чрезвычайно сильном перераспределении напря-ений в цилиндре при фазовом переходе. Точки излома на графиках 9 (г) представляют собой зоны соприкосновения аустенита ^ = 0) с

вухфазной средой (я>0). Хорошо видно, что в аустенитной среде аспределение напряжений совпадает по характеру с упругим со-гоянием, отмеченным пунктирными линиями. В двухфазной среде апряжения резко падают. По мере приближения к зоне раздела фаз кружные напряжения нарастают. Напряжения на границе тем боль-[е, чем меньше слой аустенитной фазы. Они достигают максимума в омент начала фазового превращения в последнем цилиндрическом ное с аустенитной фазой.

500 оЦИТа

п=з/

Т1-Ю

П=45

НИЬа)

0,6 0j8 1

0,2 0,4 0,6 0,6 1

(г-ау(Ьа)

Рис.1 Рис.2

Было выяснено, что максимальное окружное напряжение превосходит начальное максимальное напряжение в упругом состоянии в 2,8 раза при внутреннем охлаждении и в 4,2 при внешнем охлаждении. То есть режим внутреннего охлаждения с точки зрения прочности предпочтительнее.

Показано, что характер изменения напряжений аг и ст0 сохраняется и для СПФ на основе меди, а максимальные напряжения незначительно различаются в случае отсутствия осевого напряжения и при плоской деформации.

Следует отметить, что при решении задач в связной постановке распределение напряжений становится более равномерным

В третьей главе предлагается численный метод решения связных задач о прямом превращении для СПФ, учитывающий влияние действующих напряжений на долю мартенситной фазы и зависимость термоупругих параметров от фазового состава материала.

Основная идея метода заключается в представлении системы разрешающих уравнений в дифференциальной форме и решении связных задач о прямом превращении в приращениях. Такой подход, позволяет учесть при расчетах историю нагружения, изменение свойств СПФ в процессе фазового перехода и другие эффекты.

В п. 3.1 из (1)-(6) получена дифференциальная форма системы определяющих уравнений для СПФ в случае прямого превращения: 12

^ = ЕЙ) ^ + ЧЧ)1С10« " у(с^5Ц) +

тслД-а2 Г За' ]

с|а=—^-¿Т-к—к (14)

4 2(М2-М,)[ 2а, тп1 ^ }

1е Ф^^+^5^/3; ^

ч2С(Ч)2 %

К.~К2 , о , „ 2 , Т-Тс

кк- акк+Р + а0е^+-^-г(к2а2-К1а1-[к2-К1]а).

К(я)2 Кк " и кк К(я)

Соотношение (15) справедливо при

М° +кС; <Т<М° +ка15 к^хГГ. (15)

Задача может решаться в перемещениях, напряжениях или в мешанной форме, в зависимости от граничных условий. Таким об-!зом, за неизвестные принимаются соответственно приращения пе-гмещений с!и;, приращения напряжений скТу, приращения полных гформаций с1Еу и напряжений. Через них выражаются приращения стальных переменных: доли мартенситной фазы ск}, компонент фа-звой с1бу2, упругой ёву1 и температурной с1ву3 деформаций. В итоге ожно получить систему уравнений в приращениях относительно казанных величин, где в качестве параметров будут присутствовать качения напряжений, фазовых деформаций, доли мартенситной фа-ы, температуры и координат. Система разрешающих уравнений для ешения связных задач в приращениях кроме соотношений (13)-(15) удет включать уравнения равновесия, уравнения совместности деформаций или уравнения Коши, уравнения термоупругости для оп-еделения упругих и температурных деформаций, уравнение тепло-роводности, кинематические и силовые граничные условия.

Считается, что в начальный момент тело находится в аустенит-ом состоянии, а фазовые деформации равны нулю. Это соответст-ует выполнению в каждой точке тела условия q=0. Температура на-ала фазовых превращений определяется по формуле:

Т0=М?+ка1тах.

Здесь aim3X- максимальное значение интенсивности напряжений.

При уменьшении температуры ниже Т0 материал постепенно переходит в мартенситное состояние. Величина доли мартенситной фазы в

каждой точке тела будет находится в диапазоне [0,1].

Алгоритм решения связных краевых задач для СПФ сводится к

следующему:

1) Задаются начальные условия: Т=Т0, q=0, = 0, = e-j, с^ = а?, п-1. 8?, а-J - значения напряжений и деформаций, найденные из решения соответствующей упругой задачи.

2) Задается приращение внешних факторов: Tn=Tn"'+dT, Fn.i = pn-i,i +(jpi> Sn.i = Sn-u +ds, pi^ Si _ объемные и поверхностные нагрузки.

3) Решается система уравнений для определения do^, dsj], du" .

4) Определяются новые значения искомых параметров:

_ п —.П-1 , .П . „П „П-1 . J„n . „П „П-1 . J.n

Оц = CTjj + day, £ц = Бу + dsy, u, = ui + du, .

5) Если данная точка тела не претерпевала фазового превращения на n-ом шаге (dq11 =0), то из выражения (3) определяется температура Т00 =F(qn4,a"). Если Тп >Т00, то точка продолжает считаться "упругой"; полагается dqn+1 = 0 . Если условие не выполняется, то поведение точки было учтено неверно на данном шаге; производится пересчет, то есть возврат к предыдущим значениям переменных и пункту 3), но уже при dqn * 0 (приращение доли мартенситной фазы находится из выражения (14)).

6) Если данная точка претерпевала превращение на n-ом шаге (dqn Ф 0), то проверяется условие kdo" > dT. Если оно выполняется, то поведение точки описано верно и она продолжает считаться "претерпевающей превращение" (dqn+1 * 0) и из (3) находится qn = f(Tn,ajj), фазовая деформация может быть определена

либо как разница между полной и упругой, либо через приращение, найденное из уравнения (2). Если условие не выполняется осуществляется пересчет: искомым величинам возвращаются зна-

чения на п-1 шаге, полагается dqn =0 и происходит возврат к пункту 3).

Если в каждой точке тела выполняется условие qn = 1, то процесс заканчивается, иначе - п=п+1 и происходит возвращение к пункту 2).

Алгоритм 1)-7) предусматривает проведение неоднократных [утренних итераций на каждом шаге, вплоть до того момента, когда щичество элементов, поведение которых было учтено неправильно ! станет равно нулю или не будет меньше некоторого заданного гсла.

Возможен упрощенный вариант алгоритма без проведения [утренних итераций. Он заключается в том, что в пункте 5) точка, )ведение которой учтено неправильно, считается "претерпевающей )евращение" и ей приписывается доля мартенситной фазы 11 = f(Tn,Gy) и соответствующая фазовая деформация, а найденные

¡ачения остальных переменных считаются истинными. Аналогично пункте 6) такая точка считается "упругой" и ей приписывается ста->е значение доли мартенситной фазы и фазовой деформации. " = qn 1, ejjn Дополнительная погрешность такого вариан-

i будет связана с занижением или завышением жесткости СПФ в осматриваемых точках по сравнению с истинным значением.

В п. 3.2 с помощью описанного выше алгоритма решается шзной плоская осесимметричная задача о прямом превращении ци-1ндре из СПФ под действием внутреннего и внешнего давления, роцесс изменения температуры считается, как и в п. 2.2, квазиста-1ческим, а распределение температур - равномерным.

Решения несвязных задач в п. 2.1 в случае равенства нулю осе-эго напряжения и в случае плоской деформации различались незна-лтельно, что дало основание предполагать такую же ситуацию для зязных задач. Поэтому во избежание громоздких выкладок связные щачи в данной работе решались при условии gz = 0.

После преобразований задача сводится к системе двух диффе-гнциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами относительно неизвестных приращений dar и dse-.

дт Ше„

= ^ {&<1аг + ё2йгв + взат};

^ (16)

Входящие в уравнения коэффициенты зависят от Т,е^,8д,аг,а0

и параметров СПФ.

Условия на границах для приращений:

ёог(а) = <1Р1; ёаг(Ь) = аР2.

Поскольку одной из неизвестных является величина е6 = W / г, то нет необходимости использовать условие однозначности смещений. Решение производилось в смешанной форме, за счет применения метода конечных разностей к системе (16).

Исследовано влияние связности на напряженно-деформированное состояние в данной задаче.

Рис. 3-6 иллюстрируют решение задачи для цилиндра из нике-лида титана с отношении радиусов 0,7 и постоянным внутренним давлением 50 МПа. На рис.3 показаны зависимости окружного напряжения от относительного радиуса для различных температур (Я = (г - а) / (Ь - а)). Температура Т=360 К соответствует начальному аустенитному состоянию. Таким образом, эта кривая представляет решение термоупругой и несвязной задач. Кривая для Т = 290 К дает значения окружного напряжения по окончании фазового перехода, в мартенситном состоянии. Легко заметить, что напряжение на внут-, реннй поверхности цилиндра найденное из решения связной задачи более, чем в два раза превосходит начальные напряжения (эффект "перегрузки"). Достаточно большую разницу в значении радиальных напряжений для различных температур можно проследить и на рис.4. На рис. 5 показано распределение доли мартенситной фазы по радиусу.

Рис.6 позволяет сравнить величину окружной деформации на внутренней поверхности цилиндра Бе для связной (2, 3) и несвязной

(1) задач. Кривая 2 относится к решению несвязной задачи с мартен-ситными упругими модулями, кривая 3 - аустенитными.

О 0,2 0,4 0,6 0,8 1

0.2 0,4 0,6 0.8

Рис.3

Рис. 4

2

Э \ \

\

\

.....4

0 0,2 0,4

0,8 1 Г?

290 ЗОО 310 320 330 340 350 360

Рис.5

Рис. 6

В четвертой главе решается осесимметричная задача о кон-1ктном взаимодействии толстостенного цилиндра из СПФ и упруго) цилиндра.

Эта задача может быть использована для моделирования провеса раздачи соединительной муфты из СПФ (внешний цилиндр) 1ругим носителем (внутренний цилиндр). Технология, предусмат-1вающая применение упругого носителя, используется при транс-эртировке муфт из СПФ к месту создания термомеханического со-щнения.

В дальнейшем предполагается, что в цилиндрах отсутствует дислокационная пластичность, напряжения в них до начала охлаждения соответствуют термоупругой задаче, а СПФ находится в аусте-нитном состоянии.

В п. 4.1 данная задача решается в несвязной постановке.

Пусть аь 1>1 - внутренний и внешний радиусы внутреннего цилиндра (I) в исходном состоянии, а2 , Ьг - соответствующие размеры внешнего цилиндра (II) из СПФ в свободном аустенитном состоянии, аг<Ьь 5, = а, / Ь,; 62=а2/Ь2; Г1 = (Ь,-а2)/а2 - относительный начальный натяг (в дальнейшем - натяг).

При охлаждении системы вложенных цилиндров за счет давления со стороны внутреннего цилиндра в цилиндре из СПФ при Т < М, будет иметь место деформация прямого превращения. С помощью метода, описанного в п. 1.4 получена зависимость усилия между цилиндрами Р от доли мартенситной фазы ц. В предположении о том, что осевое напряжение равно нулю, она имеет вид:

Л

Р(Я) = - а0]ехр(ЧН) + а0 - ^[ехр(яН)-+ (Т);

Н = а0--?°о(3 + 5')-; М = к,(г| + 1) + к2.

0 3(1-82)(к2 +(г| + 1)к,) ,и 2

где Рр(Т) - температурная составляющая; к1; кг - коэффициенты податливости носителя и муфты соответственно. В условиях плоской деформации:

Р(я) = Р0(А ехр^я) + В ехр(Б2я) + с). Коэффициенты А,В,С,81,82 зависят от размеров цилиндров, натяга, параметров материала; Р0 - давление между цилиндрами при Т>Мь

В п. 4.2 решается связная задача о совместном деформировании муфты и упругого носителя.

Система разрешающих уравнений в приращениях здесь аналогична той, которая была получена для плоской осесимметричной задачи в пункте 3.2. Однако, граничное условие на внутренней поверхности цилиндра из СПФ в данном случае будет иным:

<Ма2)-(г| + 1)Мог(а2) = 0.

оцесс пошагового определения напряженно-деформированного стояния в дискретной области решения задачи продолжается до с пор, пока радиальное напряжение в точке г=а2 не обратится в ль. Этот момент соответствует разрыву контакта между внутрен-м и внешним цилиндрами и обнулению напряжений во всем ешнем цилиндре из СПФ, что является началом ориентированного евращения. При этом доля мартенситной фазы в цилиндре равна , а температура Т*.

П. 4.3 посвящен определению дополнительной раздачи, связан-й с явлением ориентированного превращения.

Как известно, явление ориентированного превращения имеет сто при охлаждении в интервале температур прямого мартенсит-го превращения (Мь М2). Оно заключается в нарастании фазовых формаций после снятия действующих напряжений в некоторой чке этого интервала. При этом, доля мартенситной фазы в образце цет зависеть только от температуры. Пусть началу ориентирован-го превращения соответствует доля мартенситной фазы q* и тем-ратура Т*. Тогда с помощью используемых в данной работе опре-ляющих уравнений можно получить достаточно простую формулу я зависимости полной деформации Бу от q при ориентированном

евращении:

(Я) = Еу (Я*) ехр(а0 (я - я*)) + §(ч)5у,

Р

8(4) =

«(Т*-Т0)-

а

[1 - ехр(а0 (я - я*))] + а(Т - Т*),

е функция §(я) определяет вклад объемного эффекта реакции и мпературного расширения.

В данной задаче доля мартенситной фазы, при которой начнет-ориентированное превращение, находилась из условия: Р(я*)=0. эи а2 = О получено аналитическое выражение для определения я* гмпературная составляющая не учитывалась):

1 Р + Зг|а0

Я =—1п

Н Р-Зт1(Н-а0)

пя плоской деформации доля мартенситной фазы, при которой на-шается ориентированное превращение, находится численно.

В данном случае под раздачей 8 понимается величина окружной деформации в точке г=а2 .В случае пренебрежения температурной деформацией и объемным эффектом реакции максимальная раздача 5 определяется по формуле:

5 = г|ехр[а0(1-я*)] и зависит от жесткостных характеристик носителя и муфты только через величину ц*.

В п. 4.4 анализируются условия выбора рациональных геометрических параметров носителя. Получены значения геометрических параметров, соответствующих требованию достижения предела текучести одновременно в обоих элементах и определена величина раздачи цилиндра (муфты) из СПФ для этих значений.

П. 4.5 посвящен анализу результатов решения. На рис. 7-10 приведены результаты решения задачи при а2 = 0 (52 =0,7) . На рис.7 показана зависимость раздачи цилиндра из СПФ на основе меди (1) и никелида титана (2) от доли мартенситной фазы (г| = 1%, 6, =0.9) для носителя из ВТ22. Излом на графиках соответствует началу ориентированного превращения. На рис. 8 представлена зависимость точки начала ориентированного превращения от отношения радиусов внутреннего упругого цилиндра. Кривые 1, 2 соответствует медному СПФ и упругим вложенным цилиндрам из стали (1) и сплава Д16 (2). Кривая 3 относится к СПФ на основе никелида титана и вложенному цилиндру из стали. Как видно, изменение модуля упругости материала цилиндра I почти в три раза мало меняет величину q*, в то же время, переход к другому СПФ для цилиндра II приводит к существенному изменению q*. На рис.9 даны графики зависимости раздачи от натяга между цилиндрами для СПФ на основе никелида титана и носителя из ВТ22. График 1 относятся к несвязной задаче, 2 - к связной; их линейный характер говорит о крайне слабом влиянии натяга на значение доли мартенситной фазы в точке начала ориентированного превращения q*. На рис.10 представлена зависимость отношения давления между цилиндрами к давлению в начальном упругом состоянии со = Р/Р0 от доли мартенситной фазы. Кривая 1 соответствует медному сплаву, 2 - титановому; носитель из сплава ВТ22.

Установлено, что объемный эффект реакции прямого превра-;ния и переменность упругих модулей не оказывают существенно-влияния на раздачу цилиндра из СПФ.

О 0,2 0,4 0,6 0,6 1 Ч

Рис.7

1 /

2 /

У

0 0,2 0,4 0,6 0.8 1

51

Рис. 8

Обнаружено гораздо более существенное влияния параметра ао процесс ориентированного превращении в СПФ по сравнению с иянием геометрических параметров и характеристик материала ноте ля.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

т),%

Рис.9

2

0,2 0,4 0,6 0,8 1 Ч

Рис. 10

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Построен численно-аналитический метод, который предназначен для решения несвязных задач о прямом превращении в СПФ с существенно неоднородным распределением температур по объему тела.

2. Построен численный метод решения связных краевых задач о прямом превращении в СПФ, учитывающий влияние действующих напряжений на долю мартенситной фазы и зависимость упругих модулей и коэффициента линейного расширения от фазового состава материала.

3. Предложены новые зависимости термоупругих параметров от объемной доли мартенситной фазы, полученные из гипотезы об аддитивности свободной энергии и осреднения по Фойгту.

4. Решена несвязная задача о прямом превращении в толстостенном цилиндре из СПФ при действии внутреннего и внешнего давления и неоднородного поля температур. Обнаружено значительное перераспределение напряжений в неравномерном поле температур по сравнению с упругим случаем.

6. Решена связная задача о прямом превращении в толстостенном цилиндре из СПФ при действии внутреннего давления с учетом переменности термоупругих параметров. Сделан анализ влияния связности на напряженно-деформированное состояние. Выявлена существенная зависимость максимальных значений напряжений и распределения напряжений по толщине стенки цилиндра от данного фактора. Обнаружено слабое влияние связности на величину раздачи цилиндра.

7. Обнаружен эффект перегрузки в связных задачах о прямом превращении при неравномерном распределении напряжений, который заключается в значительном (в несколько раз) превышении напряжениями в конце фазового перехода начальных значений в упругом состоянии.

8. В связной и несвязной постановках получено решение задачи о контактном взаимодействии упругого цилиндра и цилиндра из СПФ при прямом превращении. Проанализирован процесс раздачи соединительной муфты из СПФ с помощью упругого носителя и оп-

эеделены условия выбора рациональных геометрических параметров носителя.

9. Решена задача об ориентированном превращении в толсто-л-енном цилиндре из СПФ. Получены аналитические зависимости для определения деформации ориентированного превращения и исследовано влияние геометрических и физических параметров на ее значение.

Основные результаты диссертации опубликованы'в работах:

1. Mowchan A.A., Kuznesov A.B. The Numerical - analytical method of solution connected problems on stress deformation state for shape memory alloys// Advances in Structured and Heterogeneous Continua. 2-th Symposium.-1995.-P. 43.

2. Мовчан A.A., Кузнецов A.B. Методы аналитического и численно-аналитического решения краевых задач о прямом превращении для сплавов с памятью формы// Материалы XXXI семинара "Актуальные проблемы прочности" - 13-17 ноября 1995 г. Санкт-Петербург. Часть I. С. 97-101

3. Кузнецов A.B. Численное решение связной осесимметричной задачи о прямом превращении для сплавов с памятью формы// Механика композиционных материалов и конструкций. 1996. том 2. №34. С. 71-77.

4. Кузнецов А.В, Мовчан A.A. Постановка и решение связных краевых задач механики деформируемого твердого тела для сплавов с памятью формы. Тезисы докладов Ш Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред"/ М.: Изд. "ЛАТМЭС" МГАТУ, 1997. С. 70-71.

5. Кузнецов A.B. Связная задача об упругом носителе для соединительной муфты из сплава с памятью формы// Механика композиционных материалов и конструкций. 1997.том 3, №3. С. 47-54.

6. Мовчан A.A., Кузнецов A.B. Эффект перегрузки в связных краевых задачах о прямом превращении в сплавах с памятью формы.// Научные труды I Международного семинара "Актуальные проблемы прочности" имени В.А Лихачева и ХХХШ семинара "Актуальные проблемы прочности". 15-18 октября 1997 г. Новгород. Т. 1.4. 1.С. 67-71.