Разработка решения методом конечных элементов задачи контакта деформируемого твердого тела с гладким штампом тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

3 31

Самарский ордена трудового Красного Знамени

политехнический институт имени В.В. Кдйбынева

ГС""' " ' Гесуар: •'■

!

г; на правах рукописи

Б93ДАЛ0В АЛЕКСАНДР ПЕТРОВИЧ

УДК 539.3

РАЗРАБОТКА РЕШЕНИЯ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ЗАДАЧИ КОНТАКТА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЁРДОГО ТЕПА С ГЛАДКИЙ 1ТАМТ10Н

[ециальность: 01.02.04 - механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание дченой степени кандидата технических наук

Самара - 1992

Работа выполнена в Самарской государственном аэрсмосмическом университете

Надчный рдководитель - доктор технических наук .

профессор Комаров В.А.

Официальные оппоненты - доктор технических наук ,

профессор Горлач В,А. доктор технических наук , профессор Сухарев И.П.

Ведущее предприятие - Надчно-производгтвенное объединение

на заседании специализированного совета Д 0fi3.16.02 Самарского политехнического института .

йдрес института : 443010, г. Самара, Галактионовская, 141.

С диссертацией мояно ознакомится в библиотеке Самарского политехнического института .

Отзыв на автореферат, заверенный печатью учреждения, в дв.цх экземплярах, просим направить по указанному адресу.

автоматических систем

Защита состоится

Автореферат разослан

/

Ученый секретарь специализированного с доктор технических ш!

профессор

(ЩЙЯ ХПРАКТЬРИСЧИКЙ РАБОТ»

Гыгчалыин.ть теми диссертации связана с отсутствием корвект ной математической постановки граничиых условий контактной задачи при переменной границе контакта. В настоящее роемя яет достаточно простой и эффективной расчетной методики . позволяющей выбирать эптиаальнуа форму проуяин яарнирних узлов (1У) и кронштейнов из условий прочности и выносливости при произвольном направлении знеаней силы и зазоре ( натяге ) между болтом и отверстием ир-оу-яшш , с учетом условий закрепления основания прсуиины и распре деления контактных давлений . й то яе время значительная засть зтказов при эксплуатации изделий связана с усталостным разру -шшем проушин .

Цель работы. 1).Разработка реяения методом конечных элементов (МКЭ) статической задачи контакта деформируемого твердого те-ч<ч с гладким абсодштна жестки« «тайном . перекещаввдиса под действием внешней нагрузки . 2). Определение коэффициентов концентра 1ИИ напрявений при различной форме проимин и разработка методики и)бора их рациональной геометрии для обеспечени'.! на этапе проектирования минимальной массы с учетом прочностных и конструктивных ограничений.

Научная новизна результатов определяется следующим:

- в ранках допущений линейной теории упругости получены ¡равнения для определения перемещений точек контакта , статичог ;ие и кинематические условия контакта ;

- получена разрейавщая система линейных уравнений для реие-¡ия ККЗ задачи контакта веегкого гладкого итампа с упругим телом;

- предложен алгоритм учета поворота нормали и сил трения в юпе контакта

- предложен метод оптимизации по массе типичных проушин касси :амолетов при конструктивных и ¡грпчностных ограничениях

Практическая ценность полученных в диссертации резуд! т-п;.в иределяется возможностью :

- применять для упругого Ослта граничные условия и исл'ии-ш ¡оптанта гладкого весткого итампа :

- вычислять козффициенти разреиающей системы уравнений ;

- учитывать с лпмощъгс итерационного мгтода малые неличиик в равнениях равновесия сил в'зоне контакта , а также силы трения и ластические деформации :

- подбирать рапиенальные геометрические мпряметрм нрпцяин

■асси с минимальными затратами материала ;

- оценивать выносливость проектируемых нроуяин при неси метричном нагрувении .

Реализация работы . На основе решения задачи контакта «ее кого втампа с упругим телом в Куйбыиевском агрегатном произвол ственном объединении выпучена в 1984 г. пояснительная записка "Методика автоматизированного расчета прочностных характеристи проуиин" . Совместно с НИИСУ внедрена на предприятиях отрасли 1985 г. Методика 39-84 "Автоматизированный расчет прочностных характеристик проушин" . Акт внедрения прилагается .

Апробация работы . Основные результаты докладывались на н учных семинарах кафедры "Конструкция и проектирование летатель аппаратов" Куйбышевского авиационного института ( май 1991 г., сентябрь 1992 г.) и кафедры "Высвая и прикладная математика" С марского политехнического института (июнь 1992 г.) .

В результате расчетов различных типов проуиин получен обш ный графический материал для анализа проектно-конструкторских проработок нроувин при различных направлениях нагрузки и зазор посадки болта в отверстие .

Публикации . По результатам диссертации имеется 6 опублик ванных статей , отражавших ее основное содержание и три принят в печать .

Структура и объем работы . Диссертация состоит из введени четырех разделов . основных результатов , списка литературы из 81 наименования и приложения . Работа изложена на 193 страница основного текста , включая 70 рисунков и 4 таблицы . Диссертац написана на русском языке .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В разделе 1 проводится обзор и условная классификация известных по публикациям последних лет дискретных методов реюени контактных задач . Все они относятся к проекционно-сеточным , подавляющее большинство из них основано на классическом методе конечных элементов в форме перемещений .

В ходе изложения выявлены особенности и недостатки этих способов реиения . указаны типы задач , на которых они были апробированы , упомянуты основные проблемы , возникающие при режении этих задач . Вместе с тем отмечено отсутствие четкой математической формулировки граничных условий в зоне переменной границы контакта с учетом поворота нормали к поверхности

гонтакта при ее изменении в процессе нагруяения . Задание гра-шчннх условий в зоне контакта часто интуитивное и не дает воз-шжности оценить погрешность, вносимую ими в напряженно-дефор-[ированное состояние контактирующих тел. Уточнение этих усло-1ИЙ в процессе решения , как правило , связано с изменением координат узлов сетки конечных элементов и глойальной матрицы гесткости , а это может привести к большим затратам машинного фемени счета . Введение специфического контактного слоя может ¡нести ппгренность в расчет или вызвать расхождение итерационно процесса решения задачи .

lia рис. 1 показана схема нагружения проуаины 19 . [писк рациональной геометрии проушин проводится чаще «сего щснериментальными методами для конкретных проуяин и направ-

Рис, Погружение проувинн В У .

Как показывает опыт эксплуатации яасси самолетов очень лето напряжения в зоне контакта определяют статическую и иклическую прочность деталей . Обоснованный выбор на этапе роектирования параметров , влияющих на распределение напря-ений , позволит повысит!, качество и надежность изделий .

В разделе 2 приводится математическая постановка трехмер--ой статической задачи контакта линейно упругого тела с глад им абсолютно вестник штампом , перемещающимся при нагружении вращением или поступательно. В зоне контакта трение отсутст ует или подчиняется закону Кулона при одностороннем контакте.

1^(0*0 и

такого . что

^гр(С) ~ положительный г.каляр , называемый коэффициентом трения в точке тела С . { - сила . с которой птамп действует на линейно упругое тело . Нри_разложении на нормальную ТГ и касательную Т составляющие ^ * Л-+ Г.

Ут - компонента перемещения точки тела в касательной плоскости . Предполагается ^я и измеримы и ограничены на границе контакта .

Пусть Нг) = 0 , уравнение поверхности штампа в декартовых осях координат ХУг , непрерывная дифференцируемая функция , имеющая непрерывные производные до второго порядка включительно . При нагружении штампа главной силой, "р* и главным моментом Н* втамп сместится на величину Ш и повернется на малый угол й> . Тогда нормальная к поверхности ятампа компонента относительных перемещений точек границы контакта определяется с точностно до малых первого порядка уравнением

-/V, У*4)'4/ГЫ, (1)

где I/ ЩТ&о1 * (ЦЩ)1* «>//Л)г, 04' & -15), г*],

Г^ - текущий радиус-вектор точки на границе контакта , левая часть (1) - скалярное произведение векторов относительных перемещений и орта нормали к поверхности контакта . Если граница контакта дискретная и содержит к точек , то Б прини мает значения номеров узлов контакта и число уравнений перемещений равно числу точек контакта .

Проекции на оси координат орта нормали к поверхности контакта с точностью до малых первого порядка относительных перемещений имеют вид , ,

где 7 - набла-оператор Гамильтона ,

Л*я <?//<9л +&)* +Оц)г * (¿¡¡¿х *Ог)'',

0у,0} получаются круговой перестановкой х-»у, г—х .

Если при вычислении проекций орта нормали пренебречь величинами не только второго , но и первого порядка ^алости и принять Ох*0ц* Ог - 0 , то уравнения нормалей к поверхности контакта совпадут с уравнениями нормалей к поверх-

ости штампа, проходящих до приложения нагрузки через точки Г^

n^AvflFt). t2)

то приемлемо при достаточном количестве узлов контакта к и граниченной величине вторых производных функции Иг) в зоне ■онтакта . Физически это означает , что мы пренебрегаем углами оворота нормалей в точках контакта при перемещении их в провесе деформирования тела штампом . Погрешность определения ил в узлах контакта в различных задачах не превышала 2,5 % .

Если учесть . что в инженерных рас»етах часто приходится ля снижения затрат оперативной памяти и времени счета исполь-■овать конечно-элементные модели , дапщие еще большую погрей-юсть , то эти допущения вполне оправданы . При необходимости ожно учесть поворот контактных сил .

Проекции нормальных компонент неизвестных контактных уси-1иГ; ( напряжений ) на оси координат

PsL^Wf/fo,

Решение задач линейной теории упругости дискретными ме-одами ( методом конечных элементов , методом граничных зле-[ентов ) сводится к решению систем линейных уравнений

де , например , для метода конечных элементов в форме пере-[ещений :

Г/С* J - матрица жесткости упругого тела , имеющего N уз-юаых точек : т

rU} s Uit .t/jf/} - нектор-с голбец неизвестных уз-ювых перемещений в декартовой системе координат ;

[Ri,Ri.t... ~ вектор-столбец внешних узловых

югрузок .

В контактной задаче к неизвестным узловым перемещениям

'h ••• (У// добавляется к неизвестных нормальных контактных

|гилий Pj Р^ ... . три компоненты плоско-параллельно1 и

юремещениы штампа U шх, ^шу> ^шг и Т1'и кп«поненты уг-

ювых вращений штампа U)• 0ТСУТСТВИИ CHJ* тре-

1ия тангенциальные усилия ( касательные напряжения ) должны

шгь равными нулю , К уравнениям (1), (3), (4) добавляется

ри уравнения равновесия сил в зоне контакта SK - — JS,

¿Л ' Р

I три уравнения равновесия моментов в зоне контакта

Системл уравнений (4) определяет равновесие узлов конечных элементов ,тд действием внешних узловых сил , а ее решение соответствует минимуму функционала Лагранжа ( потенциальной энергии упругого тела ) . При решении статической контактной задачи контактные усилия ( и зона контакта ) , компоненты перемещения нтампа - неизвестные величины . Поэтому функционал Лагранжа содержит слагаемые , представляющие работу внешних сил на перемещениях узлов контакта . Для нахождения минимума функционала необходимы дополнительные условия для компонент перемещений и внешних сил в узлах контакта и уравнения равновесия нневиих сил в зоне контакта .

Рели в уравнениях (1) пренебречь пoвopoтoi нормали к поверхности контакта . то ревение геометрически нелинейной контактной задачи теории упругости сводится к реиенив системы линейны* уравнений „л»,

1к1№'Щ , (7)

где ¿V, Р(,■■■• Ушх, УшнМшг, ^г } т

- вектор-столбец неизвестных контактной задачи ; м

м - /д... р;, г

- вектор-столбец правой части системы уравнений . в котором для узлов контакта компоненты

[КJ - симметричная матрица контактной задачи , полученная из матрицы [И] расширением при включении в нее коэффициентов левых частей уравнений (1). (3), (5). (6) .

Малые величины , входящие в выражение , можно учесть итерационным методом в векторе .

При наличии кулонова трения наибольший интерес представляет случай предельного трения, который часто реализуется в ЙУ аасси самолетов . Во всех узлах контакта будет проскальзывание на границе равновесия сил тренич

где направления сил трения определяются направлениями проекций на касательные плоскости векторов относительных перемещений втгннп в точках контакта 5=5/,... Номер итерации решения € -0, 1. ?.,... : О - решение системы уравнений (?) при коэффициент:; трения ^тр - 0 • Вычисления продолжится до заданной величины погрешности выражений

Величину предельного момента грения можно вычислить после ревения системы (7).

Для упруого изотропного тела, разбитого на конечные элементы . содержание N узлов . из которых к узлов находятся в

!Онтш:те со штампом, нагруженным силой Р и моментом М юлучены формулы для вычисления коэффициентов разреващей :истемы уравнений < 7) . Элементы матрицы контактной задачи совпадают с элементами матрицы жесткости классического метода юремещений Ц¿/в при и = 1.3М . Матрица 1к]

:иммегричная размерности 3 Н + к + 6. Члены уравнений, содер-ващие нелинейные величины первого порядка малости . учитываются итерационно в векторе правой части {М) . В начальном при-ьпизании принимается , что они равны нулю . После ревения системы уравнений с заданной точностью и нахождения контактных ¡силий можно определить проекции усилий на оси координат .

Для решения системы уравнений (7) необходимо задать началь-|ув зону контакта . Дальнийиая отработка зоны контакта ведется ю геометрическим ( кинематическим ) и силовым ( статическим ) ¡словиям контакта . Из условия непроникания точек внутрь втампа юлучены геометрические условия контакта

йгУш+СЪ,!»]*^^) >,<?. (8)

)иловие условия контакта получены из условий одностороннего гонтакта

Рг>,0. (9)

Если точка контакта не удовлетворяет силовому условию контакта (9) , то она исключается из зоны контакта . Если точка юзможного контакта не удовлетворяет геометрическому условию гонтакта (8), то она включается в зону контакта для следующей !терации ревения системы уравнений . Итерационный процесс закачивается тогда , когда неравенства (8),(9) выполняются одновре-!енно . Число таких итераций зависит от точности задания исход-юй зойы контакта . Рели задать физически невозможную зону контакта , то система уравнений (71 может не иметь ревения .

После вычисления перемещений узлов сетки конечных эле-«ентов и контактных усилий ( напряжений ) можно вычислить тпряжения и деформации внутри элементов .

В разделе рассмотрен частный случай задачи перемещения втам-и без относительного поворота 0

Вектор-столбец неизвестных т

{и} '{о,Л,-- р1,- рк> иш* > иш¥. Ушг } • Матрйца [/(] контактной задачи будет иметь порядок ] К + к + 3 . Из системы уравнений (?) исключаются уравнения 1авновесия моментов (б) в зоне контакта . Компоненты момента, ¡держивавдего штамп от поворота, определяются из уравнений (6) юсле ревения системы уравнений (7) .

В случае двухмерной задачи компоненты перемещений и сил . параллельные оси 07 , равны нулю и компоненты вектора вращения

Порядок системы уравнений (71 2Н > к + ^ и 2Н + к + 2 соответственно при перемещении втамна с иращрш! ем или поступательно .

В разделе 3 приводятся результаты решения задачи контакта круглого абсолютно жесткого болта с типичной проушиной шасси. Для исследования была выбрана плоская симметричная прпуиинй постоянной толщины Ь с углом раствора И- , Центр отверстия нроупины постоянного радиуса г = 10 мм совпадает с центром радиуса й закругления головки_( рис. 2 ) . Изменение относительного радиального зазора 6 -- 1 - / г проводилось изменением радиуса болта . Внешняя нагрузка Р прикла-

дывалась к болту под углом С к оси ОУ проушины , испытывающей плоско-напряженное состояние , Для подбора конечно-элнмент-ной модели использовались результаты решет з методами теории упругости задачи о контакте шайбы с кольцом и результаты экспериментов. Сопоставление результатов расчетов с экспериментальными

ч

Ч «г

а

г X

/¿1 оСг<0 / 4

-г

1 г 1 \

* V X* \

Г Ч / \

! « V

/ 6-ц 1

-т -90 0 90 У°№

Рис. 3. 11 ¡пряжения на контуре. Рис. 2. Геометрия типичной отверстия проушины : жесткий

проушины шасси . болт ( ■ ) . упругий болт ( х ).

данными известными в литературе показало , что расчеты выполнен-

ные разбиение» проувиин на треугольные симплекс-элементы с сопряженной аппроксимацией в узловые точки даят занижение коэффициентов концентрации максимальных тангенциальных напряжений на 0,3 или менее 12 процентов .

На рис. 3 показано сопоставление напряжений на контуре отверстия при симметричной нагрузке . полученных методом конечных элементов для жесткой пайбн и методами теории упругости для упругой иайбы , нагруженной сосредоточенной силой , вставленной без зазора в отверстие прямой проушины. Это_позволяет сделать вывод, что при малых радиальных зазорах С 0,002 1 спловной упругий болт можно заменять абсолютно яеетким .

Все узлы на контуре отверстия проушины включались в зону возможного контакта , поэтому задание начальной зоны контакта приводило итерационным методом к нахождения искомой зоны контакте) . Число итераций зависело от точности задания начальной зоны контакта, соответствующей заданной нагрузке. Обычно было достаточно не более трех итераций .

Й разделе приводятся графики коэффициентов концентрации тангенциальных ( К^ ) , контактных ( И,.^ ) и эквивалентных .' К» ) напряжений на контуре отверстия симметричных проушин.

где расстояние Н от центра отверстия до жестко закрепленного основания проушины равно Я, Я-рО - угол раствора проуиины . Для расчетов использовались конечно-элементные модели из 218 -- 360 симплекс-элементов с сопряженной аппроксимацией в узлы сетки .

Наиболее подробно исследовался случай посадки круглого болта в отверстие проувины с нулевым зазором . На рис. 4 приведены графики К™* . С и К^* в зависимости от направления внешней епт , приложенной к болту . и угла раствора ¿¿С . На рис. 5 показаны графики координат точек , в которых достигаются максимальные напряжения в прямой проужине^.

Такие графики получены для = 0 , 7.5 ,15 .30 : У = 0*. 30° . 60е . 90® , 120° , 150" . На рис. 6 приведены графики зависимости К™"* при ^ = 90е . = 0° от параметра

. Получены графики также для других отдельных параметров проувин , которые дают возможность анализировать рх влияние на напряженно-деформированное состояние проувин .

max Krd

V

Л'

. .. Ю0 ISO

нис. 4. Графики концентрации напрявений при нулевом зазоре.

* ,* ,Х ,а - R/r - 1.25; 1.5: 2; 3; 2еС*0

альфа 0, Rjr-{t25

IftLM

№ iZO

m

ВО 30 0

ж

г

но

150 Ü0

альфа 0, ß/rs3

Ю О

уо 1 г-"'

// f

—» 1

г

О ВО 90 120 150

О го ВО ЯО 120 150 ' о

Рис. 5. Графики координат точек максимальных напряжений при нулевом зазоре в соединении: У,/- X,-<Р;> - * - тангенциальных . О - контактных . В - эквивалентных -В разделе 4 предлагается давать оценку выносливости проуюинч ' произвольной формы при несимметричном ее нагружении . используя метод расчета на основе "базовых" кривых выносливости Пусть имеется кривая выносливости ($ ¿=&од(^)

проупинн при симметричном нагрувения 0, принимаемая за "ба-

зовую". Условное номинальное напряжение = Р/(2. t (Я - Г")),

Максимальные теоретические коэффициенты концентрации тангенциальных напряжений обозначим и для рас-

считываемой и "базовой" проушин соответственно. Тогда выносливость рассчитываемой проушины определяется по "базовой" кривой выносливости для приведенного напряжения 9 &од I^£ Чем ближе геонетрические и механические характеристики рассчитываемых проушин к "базовым" . тем точнее будут расчеты на выносливость . Коэффициенты концентрации максимальных тангенциальных напряжений можно определять любым расчетным или экспериментальным М2ТОДОЧ.

/¡алее в разделе предлагается метод оптимизации по массе проушин с учетом ограничений . Для этого выбирается класс типовых проуиин . в котором отыскивается проушина минимальной массы . удовлетворяющая заданный ограничениям. Так как проушины изготавливают из однородного материала , то оптимизация проводится для функции объема вместо функции массы .

Основные параметры . от которых зависит объем проуяина г , Я , Н , Ь . и <зСд (см. рис.2). Толщина проушины I . как правило . постоянная по технологическим соображениям .

Максимальные напряжения зависят не только от указанных параметров , но и от: £ . / . модуля упругости материала проу-вшны Е , коэффициента Пуассона V .

Для наиболее распространенного в изделиях типа симметричных проушин ( Н - К ) , целевая функция объема и имеет вид __ , -о , — .

где 1 = й/г . ? = и/г* . 1 = Ь/г .

Е- ¿¡Г-2оС + !*((+ ) / сснос,

В точке £ « / - // - она имеет_минимцм при

- 400 < <Л» < 90° Замена параметра 1 на (¡¡¡од позволяет использовать коэффициенты концентрации максимальных нап-рявений для учета прочностных ограничений в целевой функций . Ограничения на относительный радиус головки получаем из конструктивных ограничений на толщину проушины

Из ограничений на величину допускаемых напряжений получаек

, гпац

4 0л

доп

таи

4 ^ Ъ^Р

Так как аналитическая зависимость к± от параметров неизвестна , то для решения применим метод сканирования в области допустимых реиений . Для этого минимум V оудем искать при дискретных значениях параметров простым перебором результатов расчета в узлах детерминированной сетки. Коэффициент концентрации напряжений наиболее сильно зависит от параметра ¥ , поэтому все ограничения сведены к ограничениям на этот параметр , а для расчета необходимо использовать аппроксимации Функций Кт",'Кпа*(ё) при заданных остальных параметрах в виде констант . 1 1

Таким образом . бесконечномерная задача многопараметрической оптимизации целевой функции К сводится к одшшараиетричеигоЛ задаче с легко реализуемым алгопитмпм прирнчо и ................

2|

±

од

ч г—1" >

\

метров.Вычисления К^"* прово-^ дятся лшбым расчетным или эксгте-

проувшш _при отсутствии ограничений и <3-од - 1. Рекомендуется выбирать 17 цо формуле

£■/,35 *(Ц№(1

при ос* №Ос .

о го во 90 йо

Рис. 6. Безусловная оптимизация проушины.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана методика решения задачи контакта жесткого гладкого штампа , поверхность которого задана в аналитическом виде методом конечных элементов . Для «КЗ в форме перемещений подробно расписаны формулы вычисления коэффициентов разрешающей системы уравнений . Программа написана на языке ФОРТРЯН-4 для расчета плоской проушины при погружении ее круглым или зллипсным Г.олтом . посаженным в отверстие с зазором (натягом).

2. Предложен алгоритм решения нелинейной контактной задачн для учета малых величин в уравнениях равновесия сил в зоне контакта, учета сил кулонова трения в зоне контакта.

3. Для наиболее распространенного типа проуиин иаспи получены

рафики изменения коэффициентов концентрации каксияальннх иориаль-их тангенциальных, контактных и эквивалентных напряжений в зоне онтакта в зависимости от направления силы, приложенной к жесткому олту, при нулевом зазоре и соединении болт-проуиина и фиксирования значениях отношения радиуса закругления головки к радиусу от-ерстия. Приведены графики для определения координат точек . в ко-орых возникают эти максимальные напряжения.

4. Иредлонен способ оценки выносливости проушины при несиммет-ичном нагружении .

Разработан прием получения целевой функции для минимимиза-ии массы проувины , выбираемой из заданного класса, с учетом конс-руктивных и прочностных ограничений .

б. Выявлена зависимость напряженно-деформированного состояния роуиин от параметра

Внедрение методики автоматизированного расчета прочностных ха-актеристик проунин на Куйбыиевском агрегатном производственном бъединении дало эконоиический эффект 34342 руб (цены на 1984 г.).

Результат« исследований по теме диссертации опубликованы в ледующих статьях :

1. Буздалов А.П. Резение методом конечных элементов задачи о онтакте жесткого гладкого штампа с упругим телом конечных разые-ов// Проблемы прочн.- 1987.- Н 1.- С. 97-101.

2. Буздалов А.П. Оценка вынослизости плоских проуиин при окопом нагруяении//Вестник ыавиностроения.-1989.-М 11.-С.23-24.

3. Буздалов А.П.. Линеаризация граничных условий контакта [есткого гладкого нтампа с упругим тело*.// Изв. ВНЗов. Мавино-троение.- 1990.- N 9.- С. 19-25.

4. Буздалов А.П. Оптимизация проувины по массе при заданной в е плоскости нагрузке и величине максимальных напряжений на конту-1е отверстия// Изв. ВНЗов. Машиностроение.- 1991.- N 1.- С. 16-21.

5. Буздалов А.П. Концентрация напряжений в отверстии плос-:ой проувины при несимметричном нагружении// Вестник иавинострое-[ия.- 1992.- N 3.- С. 35-37.

6. Буздалов А.П. Численные методы решения контактных задач [ля кругового отверстия// Вопросы прочности, надежности и меха-шки мавин. процессов и изделий текстильной и легкой пр.омывлен-юсти.- М.: ВЗИТЛП.- 1992,- Вып.З. (находится в печати),