Разрешимость некоторых задач динамики неоднородных жидкостей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. аль-ФАРАБИ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Р Г Б О Д На правах рукописи

УДК 517.958.

"I 9 ДЬН 1597

ЕСЕКЕЕВ КУАНЫШБЕК БАХЫТБЕКОВИЧ

РАЗРЕШИМОСТЬ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ НЕОДНОРОДНЫХ ЖИДКОСТЕЙ

01.01.02. - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

АЛМАТЫ -1997

Работа выполнена в Казахском Государственном Национальном Университете им. аль-Фараби

Научный руководитель: академик ИА РК,

доктор физико-математических наук,

профессор

Ш. С. Смагулов

Ведущая организация - Алматинский Государственный Университет им. Абая

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Д. С. Жумабаев, доцент, кандидат физико-математических наук М. Б. Габбасов

Защита диссертации состоится "¿5" "ЗаеС^Ь" 1997г. в /З^часов на заседании диссертационного совета К14/А.01.05. при КазГУ им. аль-Фараби по адресу: 480012, Алматы, ул. Масанчи, 39/47.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке КазГУ им. аль-Фараби.

Автореферат разослан " ¿у " //СЖ&Я^997г. Ученый секретарь

Диссертационного совета К14/А.01.05. , /У

кандидат физико-математических наук о!Биядилов Н. Б.

Актуальность темы. В настоящее время, несмотря на большое число исследований, посвященных изучению корректности краевых задач и началыю-краеиых задач термогидродинамики атмосферы и океана, целый ряд вопросов остается открытым. Это, в первую очередь, относится к пространственным нелинейным моделям.

Как известно, многие уравнения, встречающиеся в математической физике, относятся к так называемым неклассическим уравнениям, поэтому их изучение представляет значителыгую трудность ввиду отсутствия обших методов исследования.

Разнообразные подходы к исследованию разрешимости нелинейных задач отражены в работах таких авторов как Аитоновцев С.Н., Белов Ю.Я., Бубнов Б.А., Вайгант A.B., Вольтер А.И., Дж.Нэш, Дж.Серрин, Итая Н., Кажихов А.В.Дортадзе A.A., Ладыженская O.A., Лионе Ж.-Л., Марчук Г.И., Монахов В.Н., Петров А.Н., Сухоносов В И, Смагулов Ш.С'.,Тани А.,Темам Р., Яненко H.H. и др.

Математические исследования уравнений вязкого газа и уравнения Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости, составляют один из разделов теорий дифференциальных уравнений в частных производных. Кроме того, задачи связанные с этими уравнениями представляют самостоятельный интерес, который стимулируется развитием численных методов решения краевых задач.

Работа посвящена исследованию разрешимости некоторых задач динамики неоднородных жидкостей.

Актуальность исследования этих задач обусловлена с одной стороны отсутствием каких-либо значительных результатов по их строгому математическому исследованию, а с другой стороны они представляют

большой интерес для практики.

Цель работы. Исследование вопросов корректности решении некоторых задач динамики неоднородных жидкостей, встречающиеся в океанологии , фильтрации природных газов и т.д., имеющие большое практическое значение.

Научная новизна. В работе объектом нашего исследования являются вопросы разрешимости уравнений океанологии с нелокальными граничными условиями, вопрос стабилизации для уравнения реагирующей смеси газов, исследование корректности задачи фильтрации газа, а. также рассмотрена задача Бюр^ ерса с разрывным** ло.зффидиентами вязкости.

Доказаны теоремы существования и единственности решения в классе соболевских функции.

Практическая значимость. Исследование задачи океанологии с нелокальными граничными условиями позволяет получить качественную картину о течениях океанических вод. Также исследуются задача стабилизации решения нестационарного течения реагирующейся смеси газов, задача фильтрации газов, задачи Бюргерса с разрывным коэффициентом вязкости , которые имеют большое значение для проектирования и разработки газовых месторождении.

Апробация работы. Результаты работы апробированы на юбилейной научной конференции посвященной 50-летию развития математики в Академии Наук Казахстана / г. Алматы, 1995 / , на 1-ом Республиканском съезде по теоретической и прикладной механике / г. Алматы, 1996 /, на международном научно-технической конференции "Проблемы и перспективы развития науки и техники в области механики, геофизики, нефти, газа, энергетики и химии Казахстана"/ г. Актау, 1996 /, на

международной конференции " Математическое моделирование в естественных науках ", посвященной 75-летию академика АН РК, профессора А.Т.Лукьянова / г. Алматы, 1997 /, на Казахстанско-Российской научно-практической конференции "Математическое моделирование научно-технологических и экологических проблем в нефтегазодобывающей промышленности"/г.Алматы, 1997 /, на семинаре кафедры прикладного анализа АГУ им. Абая под руководством чл.-корр. АН РК, д.ф.-м.н., проф. Отелбаева М.О., на семинаре механики сплошной среды под руководством академика ИА РК, лауреата Госпремии РК, д.ф.-м.н., проф. Смагулова Ш.С.

Работы являются победителями Республиканского конкурса научных работ среди молодых ученых за 1996-1997годы, учрежденного Министерством Образования.

Структура н объемы работы. Диссертационная работа изложена на 86 страниц машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, списка литературы, содержащего 77 наименований. По теме диссертации опубликовано 11 работ. Каждая глава делится на разделы (параграфы).

Во введении дается обзор литературы и краткое содержание работы.

В первой главе рассматривается уравнение океанологий с нелокальными граничными условиями. Здесь предполагается, что на области течения океанических вод, трение прямо пропорционааьно вязкости. Общая система уравнений имеет следующий вид

+ = + -4- (1)

сх с.с. « сх1 дх..

+ +5 — + = + (2)

¿х сх, ° сх, сх.

]\иж +«91 = А, (3)

Здесь г/,3 - компоненты вектора скорости течения, !;=);(*] ,г2>') ~

гидростатическое давление, ц,у - коэффициенты турбулентной вязкости, /положительная постоянная, отвечающая силе Кориолиса. Дополним систему (1)-(3) граничными:

я „ н „

г то г си с»

= Л (Л, , =Л ЭА-з, „ = =0

от-; «■> ^ гг- йхг^

3

-' 0 ' ■> х3=0 О л хъ~Н * х3=Я

" сйхфЛ) ~ 9 сСх(ОМ) = 0 ' №

и начальными условиями:

В § 1 рассматриваемой главы проводится постановка задачи. В §2 вводятся вспомогательные пространства, которые понадобятся в дальнейшем и дается определение слабого обобщенного решения. Пусть:

^ ^ п

N = \<р = (<р,,<р^) еС"[П], ~ = к\<рЛг., —

Н

= 0

х^Ч

Обозначим через К0-замыкание N в 12[й],К1 - замыкание А; в а У\

- замыкание N в V/1 .

Определение. Слабым обобщенным решением задачи (!)-(4) будем называть функции и, Э, такие, что

//, 9 е (0,Т;12 (П))П12 {0,ТЛ\), которые удовлетворяют интегральному тождеству

(iи,,<p) + ((UV, )U.<p) + /и(V;uy.<p) + v(c/ii,<pxi ) + + l{W,(p) + =11, J Udx^dG = 0,

" ' о

где i/=(a, 3 ), W={- 9 ,u).

Доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть начальные данные щ, ¿>0 из класса Гп и удовлетворяют краевым условиям (4) в смысле распределений. Тогда задача (1)-{4) имеет слабое обобщенное решение.

Доказательство теоремы существования проводится на основе построения галеркинских приближений и обоснования предельного перехода для них.

В § 3 доказывается существование и единственность сильного решения.

Определение. Сильным решением задачи (1 )-(4) в области О. = О х (О, Т) назовем набор ».3.V2ç таких функций, что

и,9 е ¿,(0,Т^\)ПЬ:(0,Т-,К)

и,,9,У:с s L,[Or]

Теорема. Пусть начальные функций тогда задача (1)-(4) в

области Ог для любого конечного Т имеет единственное сильное решение.

Схема доказательства основывается на выводе, глобальных априорных оценок и обоснования принципа сжатых отображений для нахождения решения.

Во второй главе рассматривается стабилизация решений начально-краевой задачи реагирующей смеси газов в лагранжевых переменных.

В первом параграфе второй главы проводится постановка задачи и формулировка основного результата. Уравнение реагирующей смеси газов в лагранжевых переменных имеет следующий вид:

Ф , й9 —+ р- —= 0 Л ¿5Г

¿1' д ( яЛ

(5)

При этом р,Э,н - плотность, скорость и температура, смеси, с -массовая концентрация компонент, удовлетворяющие заданным начальным данным:

р\,__,,=р(х), с1и=с"(х1 (6)

и следующим граничным условиям: ¿с £и

9 = — — = 0, г = 0,1 (7)

сх сх

и решение, ищется в области О = (0,1) х (о,х).

Относительно р°{х), с°(х), к°(х) пусть выполнены следующие предположения

о < т, < (р"(х)У(х)) <М0<х>

. . (о)

0<с"Ы<1, V* е [0,1]

Также относительно функций ^§(р,с,и) предположим, что она является неотрицательной и непрерывной в любой компактной области изменения своих аргументов, а если ввести переменную 0 = -, то функция

gi (р.С. в) - g[ р, — ,с! удовлетворяет условию Липшица по в. V 0 )

Теорема. Решение нестационарной задачи (5)-(8) при упомянутых условиях на функцию <?(р.с.и) существует при всех />0 и сходится к стационарному при неограниченном возрастании времени в нормах пространств IV¡2(О.]). В данном случае под стационарным решением понимается 3 = 0. и з 1, с з о, р а 1.

Схема доказательства. При рассмотрений вопросов стабилизации основную трудность представляет доказательство априорных оценок, не зависящих от величины Т промежутка времени, на котором строится решение. Чтобы сократить запись громоздких выражений, примем, что все постоянные в системе уравнений равны единице. Кроме того, поскольку на начальные данные никаких условий малости не накладывается, положим равной единице полную энергию.

Во втором параграфе проводятся априорные оценки на решение, которые доказывают факт стабилизации решения к стационарному.

Основным моментом доказательства является получение оценки на плотность сверху и снизу равномерных по времени, а также вывод оценок на старшие производные решения.

В третьей главе рассматривается корректность задачи фильтрации установившегося течения идеального газа при заданных распределениях температуры и давления на границе области.

В первом параграфе третьей главы произведена полная физическая постановка задачи и также описана практическая ценность полученных результатов.

Для природных газов, с которыми приходиться встречаться в большинстве задач добычи и транспорта газа, термическое уравнение состояния принято писать в виде

где Р, Т, V- давление, температура и удельный объем, а К - газовая постоянная, г - так называемый коэффициент сжимаемости, определяемый обычно экспериментально в зависимости от отношения давления и температуры к критическим значениям (р0 и То), характерным для данного газа.

Выпишем систему уравнений, определяющих гидродинамическое состояние теплоизолированного недеформируемого пласта:

где т| - адиабатический коэффициент и е коэффициент

дросселирования с учетом уравнения состояния рассчитываются по формулам:

1ьт( г&Л ят2 а

а к,[1,ср,сц " проницаемость, вязкость и коэффициенты теплоемкости.

В качестве пористости пласта принимается т, а Хр - коэффициент

температуропроводности газонасыщенной пористой среды. В уравнение для температуры первый член описывает изменение температуры за счет адиабатического расширения, второй - изменение температуры за счет

Р^Ч^Т

теплопроводных потоков, третий - конвективный перенос тепла, четвертый -дросселирование газа. Уравнение определяет поле температур в теплоизолированном пласте при фильтрации сжимаемой жидкости.

Рассмотрим наиболее важные для практических приложений частные случаи, следующие из общей системы при различных упрощающих предположе ниях.

Большое значение для проектирования и анализа разработки газовых месторождении представляет изучение установившейся фильтрации газа. Испытание скзажин при стационарных режимах фильтрации дает связь между пластовыми и забойными давлениями и дебитом скзажины, которая отражает почти все особенности фильтрации газа в пласте. Учет неизотермичнссти фильтрационного течения позволяет приблизится к реальному объекту, уменьшив степень абстрактности физической и соответственно математической модели.

Из этого, для стационарной неизотермической фильтрации идеального газа получим:

сИ^рсо) = О

л?ЛгГ-СграК1Т = о (9)

К

«=- —У.Р, Р = КГр М

Здесь Р, Т, р - давление и температура, плотность. Коэффициенты к,\1.ср,ср - проницаемости, вязкости, теплопроводности соответственно будем предполагать положительными.

Предположим, что процесс описываемый системой уравнений (9) происходит в области ПаЯ', относительно границы области О будем предполагать Ш еС2.

Пусть известно распределение температуры и давления на границе области П:

71д = Г„(*,*г), Р|,П = Ра{х,у,г) (10)

относительно Ту, Рц - будем предполагать следующие условия:

0<те<(г0,Р„)<Л-/<х (11)

Условие (11) естественно в связи с физикой процесса. Во втором параграфе вводится определение обобщенного решения. Определение. Слабым обобщенным решением задачи (9)-(11) назовем функции Р, Т е (К'(П), которые удовлетворяют интегральному тождеству:

(яу,р,уДо=о

о 1

для любых с IV: (О) и таких, что

г-т; р -Р^ ейК(П)

Здесь Т0,Р„ - гладкие продолжения граничных функций Г0, Ро в область П.

Доказывается теорема о существовании обобщенного решения. Теорема. Пусть Г0,Р0 е^05(Д2). Тогда задача (9)-(11) имеет слабое обобщенное решение.

Доказательство проводится методом построения галеркинских приближений и производится обоснование предельного перехода.

В третьем параграфе изучаются дифференциальные свойства системы. Доказана следующая теорема.

Теорема. Если (7^,Р„,Р0:) , то для решения системы (9) имеет место

оценка:

Доказательство основывается на выводе априорных оценок па температуру и. давление в пространствах Соболева И^Цо). Существенным моментом при выводе априорных оценок является использование теорем вложения.

В четвертой главе рассматривается уравнение Бюргерса с разрывным коэффициентом вязкости.

В области О - П х (о,7"), П = П] ип2 ищется решение системы

Не уменьшая общности, можно считать П] = [о,]), а П2 = (1,2]. Поставим условия сопряжения на границе раздела сред, т. е. при х=1, следующим образом:

(13)

где |Д.г) разрывная функция, имеющая следующий вид

(14)

(15)

Что будет означать непрерывный переход скорости и напряжения

Добавим сюда начальные

P,=0=P°W |«,=0=Л*) (16)

и граничные условия

".г =0,2 =0

Относительно р будем предполагать

О < т < р° (х) < М <оо (17)

В данной главе опять затрагиваются вопросы гладкости решений (и, р) в области О, т. е. будет доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть начальные данные (р°,"°)etvj[Q]. Тогда существует

единственное решение задачи (13)-(17) обладающее следующими свойствами гладкости:

p{t) € L. (О, 7; w:[Я, ])n L. (О, 7; W:[п,]), Ф е L[Q]

ot

u{t) б L. (0,7; W; [Q, ]) П L (О, 7; W; [Q, ]) П L. (О, 7; W\ [a ]) П L (0,7; W; [n, |) Q = Qx(0,T)

Удовлетворяющие уравнениям (13) почти всюду в Q и принимающие заданные, граничные и начальные значения.

Во втором параграфе рассматривается задача Бюргерса с разрывным коэффициентом вязкости, где в одной из областей влияют силы сопротивления.

В области От =йх(о,г), П = Q, 1Ю: ищется решение системы

ф + с(ри) = 0

С1 а,

(си сиЛ д ( , . йЛ К(х)ии

Здесь и,р - скорость и плотность газа, а ц(г) -разрывная функция, имеющая следующий вид

, , fi.ii, Л: еП,

функция К(х) принимает следующий вид:

К(Х =1,

[1, х еП2

Последний член в правой части второго уравнения означает влияние сил сопротивления на движение газа в области П2.

Как и предыдущем параграфе можно считать О] = [0,1), а & — (1,2] Условия сопряжения на границе раздела сред, т. е. при х=1, ставится следующим образом:

К=1=о

, . С21 рг/2 ох 2

= 0 (20)

Х = 1

Что будет означать непрерывный переход скорости и напряжения на границе раздела сред, (т, е при х=1).

Добавим сюда начальные:

Р(=0=Р°М, *г=0=«°и) (21)

и граничные условия: 11 х »0,2 =°

Относительно р будем предполагать

0<т<р°и)<Л-/<=с (22)

В данном параграфе мы затрагиваем вопросы гладкости решений (и,р) в области П, т. е. нами будет доказана следующая теорема. Теорема. Пусть начальные данные (р°."°) Тогда существует

единственное, решение задачи (18)-(22) обладающее следующими свойствами гладкости:

р{г) € I. (о, Т- Г [а ])П I, (О, Т- IV! [п, ]), §

а(0 = I. (О, Т; Г [П, ])П (О, Т; ¡V; [о, ]) ПI. (О, Т, Щ' [0: ])П I, (о; Т, IV; "

§ еЦОт], От=Пх(0,Т) а 1

удовлетворяющие уравнениям (18) почти всюду в О и принимающие заданные граничные и начальные значения.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ОСНОВНЫМ РЕЗУЛЬТАТАМ ДИССЕРТАЦИИ

1. Есекеев К.Б. Глобальная разрешимость уравнений океанологии с нелокальными граничными условиями. Материмы научной студенческой конференций вузов. г.Алматы.1995г, с.21-24.

2. Есекеев К.Б. Уравнение Бюргерса с разрывным коэффициентом вязкости. Поиск №2. 1996г, с. 135-137.

3. Есекеев К.Б., Мукимбеков М.Ж. Корректность уравнений Бюргерса в областях с различной вязкостью с учетом сил сопротивления. Вестник КазГУ №7. 1997г, с.55-62.

4. Есекеев К.Б. О корректности задачи фильтрации газа. Поиск №2. 199бг,с.137-139.

5. Есекеев К.Б. Об одной модели неизотермической фильтраций газа. Тезисы международной научно-технической конференций "Проблемы и перспективы развития науки и техники в области механики, геофизики, нефти, газа .энергетики и химии Казахстана" .Акггау, 1996г. с .273-274.

6. Есекеев К.Б., Жумагулов Б.Т., Тажибекова Е.С. Об одной задаче движения газированной нефти. Препринт ИА РК № 17,Алматы, 1996г,с. 17.

7. Есекеев К.Б. О стабилизации решений начально-краевой задачи для уравнения нестационарной течения реагирующей смеси газов. Тезисы докладов на юбилейной научной конференций, посвященной 50-летию развития математики в Академии наук Казахстана. Алматы ,1995г, с. 94.

9. Есекеев К.Б.,Есекеева М.Ж., Искендирова Д. О стабилизации решений начально-краевой задачи для уравнений нестационарного течения реагирующей смеси газов Вестник КазГУ Вып. 4, Алматы, 1995г.

9. Esekeev К.В. The investigation of oceanology equation. Доклады HAH PK, №4, 1996r.

:o. Есекеев.К.Б. Разностная схема для уравнений фильтрации газа. Тезисы докладов школы-семинара по механике и ее приложения, посвященной 70-летию чл.-корр. Ершина.Ш.А. Алматы, 1996г, с.42.

11. Есекеев К.Б., Мукимбеков М.Ж. Дифференциальная гладкость для задачи Бюргерса в различных областях течения газа. Материалы Казахстанско-Российской научно-практической конференции "Математическое моделирование научно-технологических и экологических проблем в нефтегазодобывающей

промышленности".Алматы,1997г, с.56.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, академику ИА РК, лауреату Гос.премии РК, доктору физ.-мат. наук, профессору Смагулову III.С. за руководство и постоянное внимание к работе.

Есекеев К,уанышбек Бахытбекович

Бфтекс13 суйыктыктар динамикасындагы кейб1р есептерд1ч шеинмдГтп

Бершген жумыста б1ртекс1з суйыктыктардын; артурл1 модельдер1 карастырылады. Б1ртутас орта механикасыныд океанологияда, облыстьщ шекарасында ■ кдсымнын, жэне температураньщ таралуы бершген жагдайдагы газдардьщ орнык,ты агынын фильтрациялауда жоне т. б. кездесетш кейб1р есептсрдщ шсгшмдершщ корректинп туралы сурак,тар зерттелшген. Бул жумыста жергшказ шекаралык, шартгармен бершген океанология тендеущщ шешшу меселеа бойынша нэтижелер алынган. Крепа газдарда байкалатьш айкын емес агын тендеулер1 ушшбастапкы-шекаралык ееептщ шецпмшщ асимптоталык, касиетше зерттеулер журпзшген. Газдар фильтрациясы айк,ын тендеулершщ дифференциальдык; кдсиетгер1 к;арастырылган жоне олардыц шешшетшдт дэлелденгсн. Ей эр турл1 облыста ор турл1 туткырлык, турактылармен бершген Бюргере ессб! зерттелшген. Кедерп куштерд1 есепке ала отырып Бюргере тендеущщ дифференциальдык, касиеттер! карастырылган.

Esekeev Kuanyshbek Bakyibekovich

The solving of some problems of mechanic's uncompressibfe fluids.

In this work various mechanical models of heterogeneous liquid are investigated. A correctness question of certain continuum mechanics problems, that encountered in the oceanology, the filtration of steady gas flow under lemperature and pressure distribution on the area boundaries, etc.

The results we've come to in this work concern with oceanology equations solvability under non-local boundary conditions. The investigations on non-stationar flow of reacting gas mixture equations solution were held.

The differential properties of stationar gas filtration equations are considered, and their solvability are proved.

Burgers problem with different viscosity coefficients for two different areas are investigated. Differential properties of Burgers equations with resistance forces taken into account are considered.