Развитие эффективных численных алгоритмов в задачах высокочастотной дифракции тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Pío uu . \ 5 ^ъЗ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО-ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Специализированный совет К 063.52.03 по физико - математическим наукам

На правах рукописи УДК 539. 3

ДРУЖИНИНА ИННА ДМИТРИЕВНА

РАЗВИТИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ ЧИСЛЕННЫХ АЛГОРИТМОВ В ЗАДАЧАХ ВЫСОКОЧАСТОТНОЙ ДИФРАКЦИИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

РОСТОВ-НА-ДОНУ

1993 г.

Работа выполнена в Ростовском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете.

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация

доктор физико - математических наук, Селезнев М. Г. кандидат физико - математических наук, Сумбатян М. А. доктор физико-математических наук, профессор Александров & М. кандидат физико-математических наук, доцент Ватульян А. О. Московский Институт Электронного Машиностроения

Защита состоится " в "

1993 г. в «я

часов

на заседании специализированного совета К 063. 52.03 по физико-математическим наукам в РГУ по адресу : 344090, г. Ростов - на - Дону, ул. Зорге, 5, мехмат, аудитория

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ ( ул. Пушкинская, 148 ).

Реферат разослан " £ " у^СЬ/СТСи_1993 г.

Ученый секретарь специализированного- совета, доцент

Гетман И. П.

- з -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию задач высокочастотной дифракции в акустических и упругих средах.

Актуальность темы. Необходимость в решении задач коротковолновой дифракции возникает в самых разнообразных областях практики: подводной акустике, радиолокации, медицинской томографии и т.д. Особенную актуальность они приобрели в связи с бурным развитием ультразвукового неразрушающего контроля, целью которого является выявление дефектов в металлоизделиях на основе анализа прохождения через них ультразвуковых волн. Проблема состоит еще и в том, чтобы решать подобные задачи быстро и эффективно на персональных компьютерах. Последнее обстоятельство объясняется тем, что процесс обнаружения дефектен должен проходить в режиме реального времени.

Цель работы. Обобщить известные для выпуклых тел асимптотические методы на тела сложной формы. Предложить эффективный численный алгоритм для решения задач высокочастотной дифракции на телах произвольной формы, в значительной мере преодолевающий трудности, связанные с наличием критических частот. Настроить достаточно универсальный метод расчета акустического тракта ультразвуковых преобразователей различных типов, сочетающий упругую постановку задачи с естественными упрощениями, отвечающими физической сути исследуемых явлений.

Научная новизна. В настоящей диссертационной работе геометрическая и физическая теории дифракции, широко применяемые для выпуклых объектов, перенесены на случай произвольного гладкого препятствия. Предложен некоторый численно - аналитический метод рете-

ния задач дифракции эффективный на высоких частотах. Разработан подход, позволяющий быстро рассчитывать характеристики падающего и рассеянного на дефекте полей ультразвуковых датчиков.

Достоверность полученных результатов обусловлена корректностью обпей постановки задачи, согласованностью предложенных в работе обобщенных формул с известными решениями некоторых частных задач. Кроме того, расчеты поля излучения - приема ультразвуковых преобразователей по разработанной методике дают хорошее совпадение с экспериментальными данными.

Практическая ценность. Предложенный подход численного анализа акустического тракта ультразвуковых преобразователей может быть использован для расчета теоретических диаграмм направленности и АРД-диаграмм при создании новых искателей различных типов ( нормальных, наклонных, раздельно-совмещенных и т. д. ). Это позволит избежать проведения трудоемких, длительных экспериментальных измерений.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на школе-семинаре Акустического института "Математические методы в акустике" в г. Москве в 1988году, на XII Всесоюзной научно-технической конференции "Неразрушающие физические методы контроля" в 1990 году в г. Свердловске, на семинаре им. Галина в Институте Проблем Механики Российской Академии наук, на семинарах кафедры теории упругости Ростовского государственного университета

Публикации. Основные результаты проведенных исследований опубликованы в работах И - 73.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, занимающих 131 страницу машинописного текста, включая 23 рисунка и список литературы из 94 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дана характеристика диссертационной работы, обоснована актуальность исследуемых задач, поставлена цель, приведен обзор литературы, связанный с темой диссертации, изложено краткое содержание.

В первой главе дается постановка задач дифракции в виде интегральных уравнений для акустической и упругой сред. Например, в акустике для задачи дифракции волны на абсолютно мягком препятствии имеем уравнение I рода

^ кг ) 41 = Я °(х) , г = | * - у | (1)

I

Здесь Р - давление полного поля на поверхности J (для определенности будем считать поверхность замкнутой, достаточно гладкой, нормаль п направлена во внешность I) , Р давление, определяемое падающей волной, к = СО / с - волновое число, с - скорость звука. В^ - функция Ханкеля первого рода нулевого порядка, которая является функцией Грина двумерной задачи.

В упругости для дифракции волны на свободной от усилий полости имеем систему относительно поля перемещений й

и (х) - 2^1 С и (у.х) ]Цу) &1 (х) (2)

1

где £ [ Ц (у.х) 3 - тензор усилий, который определяется тензором перемещений Грина Ц, соответствующего данной задаче. и° - поле перемещений, порождаемое падающей волной.

В работе рассмотрены асимптотические методы решения уравнений (1) и (2).

Прежде всего обсуладаются вопросы построения физической теории дифракции ( теории Кирхгофа ) для выпуклых препятствий. При этом предполагается, что от каждого малого элемента граничного контура 1 волна отражается так же, как от касательной плоскости в данной точке. Задача же дифракции волны на плоскости решается применением преобразования Фурье. Приближенное решение уравнения (1) в акустике имеет очень простой вид :

Причем (3) выполняется для произвольного угла падения волны.

В упругой среде решение Кирхгофа уравнения (2) строится аналогично акустическому случаю, т. е. отражение от каждой точки контура 1 рассматривается как отражение от касательной плоскости в этой точке. Но при этом дифрагированное и падающее поля перемещений связаны более сложной зависимостью, чем это имеет место в акустике й = £ (оС ) ¡Р. В эту зависимость существенным образом входит значение угла падения волны еС . В работе выведен конкретный вид матрицы £ для случая падения продольной волны, в нее входят коэффициент отражения продольной ьолны и коэффициент трансформации продольной волны в поперечную Теория Кирхгофа достаточно эффективно работает на высоких частотах.

Далее в работе показывается, как можно обобщить приближение Кирхгофа на объекты произвольной формы. Анализируя случай обратного рассеяния , нужно проследить за ходом каждого луча, вышедшего из точки излучения х и вернувшегося обратно. При этом для однократного отражения от границы функция рассеяния будет иметь вид однократного интеграла по освещенной части контура:

ар°

2 ;г— - в области света ;

(3)

О

в тени :

р{х) = Цр(у)

ОН

причем граничное значение давления по теории Кирхгофа полагается равным удвоенному падающему, т.е. Р| = 2Р°. Далее необходимо учесть тот факт, что на вогнутых участках границы происходит многократное переотражение лучей. Следовательно, граничное значение Р(у) после переотражения само будет представляться интегралом типа (4), порождая, например, для двукратного отражения двукратный интеграл по вогнутой части границы, и т. д. Каждое переотражение будет порождать свой интеграл типа (4) по вогнутой части контура. В результате физическая теория дифракции для невыпуклых тел сводится к вычислению повторных интегралов по невыпуклым частям границы.

Оценка же полученных повторных интегралов методом многомерной стационарной фазы дает формулы, соответствующие геометрической теории дифракции для случая произвольного невыпуклого контура. В работе представлен численный алгоритм построения решения задачи дифракции в случае многократных переотражений по геометрической теории.

Приведены результаты численных исследований. По обобщенной теории Кирхгофа рассчитана задача дифракции плоской волны на "четы-рехлелестковой розе" с абсолютно мягкой границей, по лучевому методу вычислена диаграмма рассеяния на "трехлепестковой розе".

Анализ путей многократного переотражения лучей позволяет выделить довольно широкий класс невыпуклых областей, для которых можно успешно применять решение Кирхгофа в обычном смысле.

Во второй главе строится численно-аналитический метод решения задач дифракции, эффективный для высоких частот.

Известно, что интегральный оператор (1) не является корректным по Тихонову, поскольку обратный оператор не является непрерывным. В связи с этим для решения уравнений дифракции предлагается использо-

вать метод наискорейшего спуска ( м. н. с. ), учитывая его свойства регуляризатора. Т. е. решение исходного операторного уравнения вида А х = Г ищется как минимум квадратичного функционала Ж х )=( Лх ~ Г, Ах - Г ) Численная реализация м. н. с. для задач дифракции требует аамены исходного интегрального оператора (2) конечномерным. При большом числе узлов конечномерный оператор становится близок к исходному вполне непрерывному. Следовательно, матрица системы является плохо обусловленной. Сходимость процесса при таких условиях становится очень медленной. Необходимо ускорение процесса. Для ускорения в работе предлагается использовать следующие асимптотические ( при л оо )

свойства метода наискорейшего спуска:

1) хп) / гг ; = сй

2) хп - х* = са ( хп„л - х* ), где через х* обозначено точное решение системы.

Идея ускорения состоит в том, чтобы время от времени вместо обычного шага м. н. с. применять линейную комбинацию решений, полученных на п-м и (Пг2)-и шагах, естественным образом следующую из свойства 2) : 0Сп - С2Хп-2

Хп,-Ц - у_с2 (5)

Причем с может быть вычислено на кавдом шаге по свойству 1). Применение подобного подхода в конкретных численных расчетах показывает эффективность предложенного ускорения. Каждый такой шаг понижает невязку на 1-2 порядка. Существенным моментом при использовании метода наискорейшего спуска, также позволяющим увеличить скорость сходимости итерационного процесса, является удачный выбор начального приближения. В качестве нулевого шага предлагается использовать приближение Кирхгофа.

Известно, что для замкнутой поверхности 1 существуют значения к = ку ( 3=1,2,... ), при которых интегральные операторы внешней задачи дифракции не являются обратимыми. Это имеет место на частотах, соответствующих резонансам внутренней задачи. Однако, уравнение (1) остается разрешимым ( неоднозначно ) для любой правой части. При этом поле рассеяния, вычисленное на основе найденного решения уравнения (1), определяется однозначно. Поскольку для сходимости м.н. с. достаточно лишь существования решения, 'а уравнение (1) разрешимо, то метод наискорейшего спуска обеспечивает сходимость к некоторому решению, причем алгоритм (5) значительно ускоряет этот процесс. Это означает, что предлагаемый метод позволяет получить устойчивое решение задачи Дирихле и в случае критической частоты.

В работе приведены многочисленные результаты численных расчетов задач дифракции на различных препятствиях и на различных частотах, дано сравнение численного подхода и асимптотических теорий.

В третьей главе рассматриваются разнообразные вопросы, возникающие в практике ультразвукового неразрушающего контроля (УЗНК). Основной целью УЗНК является выявление дефектов в изделиях из металла. Для этого применяются ультразвуковые преобразователи различных типов ( нормальные, наклонные и т. д. ) и используются акустические методы, основанные на применении упругих колебаний и волн в контролируемом объекте.

Сначала исследуется крут проблем характерных для УЗНК Можно выделить два наиболее общих направления теоретического исследования. Во-первых, моделирование и изучение поля излучения ультразвуковых преобразователей различных типов. Одной из частных задач этого направления является расчет диаграммы направленности преобразователя. Во-вторых, анализ поля приема, куда составной частью входит

решение задач дифракции на произвольных препятствиях, а также построение диаграмм амплитуда - расстояние - диаметр ( АРД-диаграмм ).

Традиционно действие ультразвукового преобразователя на изделие представляется как действие равномерно распределенной по плода-ди преобразователя 5 нормальной нагрузки на свободную границу упругого полупространства. Тогда для напряжений, возникающих в упругой среде, можно выписать известные интегральные представления, непосредственный расчет которых требует больших затрат машинного времени, что неприемлемо для ультразвукового контроля.

Поэтому в работе предлагается использовать высокочастотную асимптотику полученных интегралов. В результате удается получить достаточно простые выражения для расчета диаграмм направленности нормального и наклонного преобразователей. При этом наибольший интерес представляет наклонный преобразователь, который в отличие от нормального обеспечивает наклонное падение ультразвуковой волны на поверхность изделия. Это определяет преобладание касательных напряжений в среде. В общем виде можно записать (опуская конкретный вид функции Л ( & ))

а (6)

с2 - скорость поперечных волн, к =со / с^- соответствующее поперечной волне волновое число, О - угол наблюдения , - угол, определяющий направление максимального излучения в среду. При этом оказывается, что вклад в (6) вносит лишь поперечная составляющая поля, что в точности соответствует физическим представлениям.

Для нормального преобразователя ситуация обратная : преобладают нормальные напряжения и в них определяющую роль играет продольная гоставляюшая поля, что также подтверждает известные представления о поле излучения нормального ультразвукового преобразователя.

Следующий шаг на пути исследования взаимодействия ультразвуковой волны с дефектом состоит в использовании приближенного решения Кирхгофа (по процедуре, предложенной в первой главе) для препятствий, размеры которых больше длины волны. Для дефектов малых волновых размеров задача дифракции решается численно.

Дня изучения обратного пути рассеянной волны также используется высокочастотная асимптотика. Таким образом, удается свести все характеристики поля излучения - приема к интегралам по конечным областям : по плопрди преобразователя и по площади дефекта. В результате предложенный метод анализа акустического тракта ультразвукового преобразователя позволяет быстро и эффективно рассчитывать амплитуду эхо-сигнала, отраженного от дефекта. Соответствующий методу алгоритм разработан и реализован на ЭВМ ЕС 1055-М и на персональных компьютерах типа IBM PC/AT. Например, расчет амплитуды эхо-сигнала для дефекта заданного размера в зависимости от расстояния до этого дефекта ( для наклонного преобразователя ) требует 3,5 мин на ЕС 1055-М. А расчет семейства таких кривых ( АРД-диаграммы ) - порядка 20 мин машинного времени.

В работе отмечается, что применявшиеся до сих пор подходы к расчету наклонных преобразователей позволяли получать лишь грубые приближенные диаграммы направленности для наклонных искателей, работающих на критическом и околокритическом углах. Подходы же к вычислению АРД-диаграмм для подобных датчиков просто отсутствуют. Для предложенного в данной работе метода вычисление акустического тракта наклонных преобразователей, работающих на критических и околокритических углах, принципиальных трудностей не вызывают.

Представлены многочисленные расчеты диаграмм направленности и АРД-диаграмм различных датчиков : нормальных, наклонных и наклонных с критическим и околокритическим углами.

В заключении дана сводка основных результатов и выводов, полученных в диссертации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты и выводы, полученные в диссертации, сводятся к следующему:

1. Предложена нетрадиционная трактовка приближенного решения Кирхгофа в.упругости для случая выпуклых полостей. Физическая теория дифракции Кирхгофа перенесена на объекты сложной формы. Выделен широкий класс областей с "не очень вогнутыми" границами, допускающими не более одного отражения.

2. Лучевая теория, применяемая до сих пор лишь в задачах дифракции на выпуклых телах, обобщена на случай препятствия с произвольной гладкой границей. Точность лучевого подхода для числа N переотражений от границы проверена на примере дифракции плоской волны на "трехлепестковой розе".

3. Разработан численно - аналитический метод, достаточно эффективно работающий на высоких частотах. Для решения задач коротковолновой дифракции использован метод наискорейшего спуска (м. н.с.) с ускорением. Идея ускорения базируется на асимптотических свойствах м. н. с. В качестве начального шага итерационного процесса берется решение по теории Кирхгофа, которое далее лишь улучшается. Метод является регуляризатором, т. <?. иаодно решает проблему решения задачи рассеяния в случае критических частот.

4. Предложен новый подход к вычислению акустического тракта ультразвукового преобразователя. Он сочетает постановку задачи в упругой среде и быстрое вычисление характеристик падающего и рассеянного на дефекте полей. Метод позволяет с единых позиций под-

ходить к расчет/ поля излучения - приема искателей различных типов: нормальных, наклонных и др.

Основные результаты изложены в следующих публикациях:

1. Сумбатян М. А., Дружинина И. Д. К расчету диаграммы направленности призматического искателя //Дефектоскопия. - 1989. - N 3, С. 3-?.

2. Дружинина И. Д., Сумбатян М. А. Численно - аналитический метод в задачах коротковолновой дифракции //Акуст. Ж. - 1990. - 36, вып. 2, С. 269-275.

3. Дружинина И. Д., Сумбатян М. А. Расчет АРД-диаграмм ультразвуковых преобразователей //Тезисы XII Всес. н. -т. конф.: "Неразруша-ющие методы контроля", Свердловск. - 1990. - С. 29-30.

4. Дружинина И. Д., Ллавельский К И., Сумбатян М. А. Улучшение точности теоретических АРД-диаграмм, полученных путем численного расчета //Деп. в ВИНИТИ 22.03.1990, N 1533-В90.

5. Сумбатян Ы. А., Дружинина И. Д. Расчет АРД-диаграммы наклонного преобразователя //Дефектоскопия. - 1990. - N 7, С. 90-91.

6. Дружинина И. Д., Сумбатян М. А. Коротковолновая дифракция на телах с .произвольной гладкой границей в двумерном случае// Акуст. Ж. - 1992. - 38, вып. 3, С. 470-476.

7. Сумбатян М. А., Дружинина И. Д. Расчет акустического тракта наклонного преобразователя с критическим углом призмы //Дефектоскопия. - 1992. - N 1, С. 59-60.