Развитие и численная реализация непрямого метода интегральных уравнений (метода компенсирующих нагрузок) в задачах теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ СССР НОВОСИБИРСКИП ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРОВ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

На правах рукописи

ЗИНОВЬЕВ Борис Михайлович

УДК 539.311:624.041:518.12(043.3)

РАЗВИТИЕ И ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ НЕПРЯМОГО МЕТОДА ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (МЕТОДА КОМПЕНСИРУЮЩИХ НАГРУЗОК) В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

01.02 04 — Механика деформируемого твердого тела 05.23.17 — Строительная механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степенн доктора технических наук

НОВОСИБИРСК 1989

Работа выполнена в Новосибирском ордена Трудового Красного Знамени институте инженеров железнодорожного транспорта.

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор Ю. Д. Копейкын

Доктор физико-математических наук, профессор Л. Е. Мальцев

Доктор технических наук, профессор В. П. Устинов

Ведущее предприятие — институт горного дела СО АН СССР, г. Новосибирск..

Защита состоится « »_ 1989 г. в_ часов

на заседании специализированного совета Д 114.02.01 при Новосибирском ордена Трудового Красного Знамени институте инженеров железнодорожного транспорта по адресу: 630023, Новосибирск, ул. Д. Ковальчук, 191.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан « »_ 1989 г.

Ученый секретарь специализированного совета д-р техн. наук

Б. П. ЧЕБАЕВСКИИ

О Б Ш.ЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современное развитие ведущих отделен промышленности и строительства характеризуется педреннем новых видов конструкций, машин и материалов, "трсмление получить надежные в эксплуатации конструк-пн и детали машин с минимальными затратами материала а их изготовление повышает роль исследований по разработке эффективных методов определения их напряженно-деформированного состояния.

Во многих случаях достаточно рассмотреть задачу п пругон линейной постановке. Получение точных аналитичс-ких решении обычно наталкивается на серьезные математи-сские трудности. Поэтому создание новых и совершенство-ание известных численных методов решения задач, разра1 ютка па их основе программ для ЭВМ и внедрение' их в ин-чснсриую и исследовательскую практику является актуаль-ой задачей.

Такие методы, как метод конечного элемента и копечпо-азиостпын в настоящее время широко известны и'используется для решения различных прикладных задач.. Однако су-1сствуст множество ситуаций, когда более эффективными казыпаются методы, использующие те или иные потепци-льные представления искомых величин.

Одни из таких методов — непрямой метод интегральных равнений, основанный на суммировании наиряженно-дефор-пфованных состояний, вызванных действием различного ро-V распределенных источников, называемых компенсирую-■ими нагрузками,— развивается в диссертации. Возмож-ость механической интерпретации сути метода, сравнитель-ая простота применяемого математического аппарата, раз-ообразне в выборе фундаментальных решении н расчетных хем делают его легко доступным для практического использования при решении прикладных задач механики деформи-уемого тела. . - .

Цель работы:

развитие непрямого метода интегральных уравнении i расширение области его применения (исследование cboí'icti дипольных потенциалов, расчет анизотропных тел, тел с раз резами и т. д.);

совершенствование приемов численной реализации мето да (исследование различных расчетных схем с привлечением» различного рода компенсирующих нагрузок, получение ана лнтичсскнх выражений для смещении и напряжении при деп стин распределенных силовых и дипольных источников, раз работка схем вычисления несобственных и сингулярных пп тегралов, учет особенностей и г. д.);

разработка алгоритмов и программ для прочностного рас чета плоских и трехмерных тел и внедрение их в инженер ную и исследовательскую практику. Научная новизна:

разработаны новые приемы и схемы вычисления песобсг венных н сингулярных интегралов, входящих в выражение смещений и напряжений при действии распределенных сил i плоскости и пространстве; для частных практически важны? случаев получены аналитические выражения смещении и на пряжений;

исследованы свойства полей смещении и напряжении npi действии непрерывно распределенных диполей внутри изо тройных и линейно-анизотропных плоскости и пространства предложены способы понижения особенностей в пнте 1ральны\ представлениях напряжении при действии диио лен; даны формулы для вычисления этих напряжений;

развит предложенный ранее автором метод расчета изо тройных и анизотропных тел с разрезами;

разработан метод учета особенностей во входящих угло еых точках и линиях, а также в местах резкого изменен»: нагрузок на Гранине тела;

разработан численный способ построения и применен»: функций влияния для решения задач теории упругости;

предложен приближенный технический способ расчет; тел с отдельными армирующими элементами;

предложен способ совместного использования прямогс метода граничных интегральных уравнений, основанного ш тождестве Бетти—Сомильяны, и непрямого метода.

Практическая ценность. Метод получил развитие в жг правлении практического использования при решении при кладных задач. Полученные теоретические результаты могут

трименяться в инженерно-конструкторской и научно-исследо-штельскон работе при решении задач прочностного расчета «лсменгов конструкции, деталей машин, горных выработок и •. д. Разработанные предложения и программы переданы в юльзовлние научно-исследовательским и научно-производст-¡енным организациям: НИИ основании и подземных соору-кений им. Н. И. Герсеванова, г. Москва, ВНИИМетМАШ, . Москва; Башкирскому государственному университету, Уфа; СибНИИЛ, г. Новосибирск. Полученные результаты были использованы в кандидат-них диссертациях Т. Ф. Кармановой «Решение задач теории гпругости для орготропных тел путем численной реализации ктегральных уравнений», 1982 г. (руководитель проф.

Я. Александров), В. В. Шушунова «Решение некоторых рсстранственных задач теории упругости путем численной 'еализацин метода интегральных уравнений», 1983 г. (руко^ одитель проф. А. Я. Александров).

Апробация работы. Основные результаты диссертации до-ладывались на: II всесоюзной конференции «Смешанные за-ачи механики деформируемого тела» (г. Днепропетровск, 981 г.); VIII Всесоюзной конференции по численным мето-ам решения задач теории упругости (г. Ужгород, 1983 г.);

Всесоюзной конференции по статике и динамике простран-твенных конструкции (г. Киев, 1985 г.); всесоюзном симпо-нуме «Метод дискретных особенностей в задачах математн-еской физики» (г. Харьков, 1985 г.); Всесоюзных семнпа-ах по аналитическим методам и применению ЭВМ » еханике горных пород (III, г. Новосибирск, 1980 г.; IV, Новосибирск, 1982 г.); рабочих совещаниях «Метод Граниных интегральных уравнении. Задачи, алгоритмы, чис-енная реализация» (г. Пущино-на-Оке, 1984, 1985, 1986 гг.); аучно-технической конференции «Вопросы повышения на-¿■жности и эффективности работы железнодорожного трансорта» (г. Новосибирск, 1982 г.); краевой научно-техннче-<ой конференции «Применение методов механики разруше-ня в расчетах строительных металлических конструкций на эупкую прочность и долговечность» (г. Красноярск, 384 г.); I всесоюзной конференции «Механика разрушения лтериалов» (г. Львов, 1987 г.); научном семинаре кафедры Строительная механика» Тюменского инженерно-стронтель-эго института под руководством проф. Л. Е. Мальцева •. Тюмень, июль, 1987 г.); межфакультетском научно-техни--ск.0м семинаре по прочности и надежности Новоснбирско-

го института инженеров железнодорожного транспорта под руководством проф. М. X. Ахметзянова (г. Новосибирск, июнь, 1987 г.); семинаре по строительной механике и механике деформируемого твердого тела Московского инженерно-строительного института под руководством проф. А. Р. Ржаницына и проф. А. С. Григорьева (г. Москва, июль, 1987 г.); семинаре по механике твердого деформируемого тела Московского автомеханического института пол руководством чл.-корр. АН СССР Э. И. Григолюка (г. Моек-га, октябрь, 1987 г.).

Объем работы. Диссертация состоит из предисловия,восьми глав, библиографии и приложения. Общий объем — 431 страница, в том числе: 309 страниц основного текста. Н7 рисунков, 28 таблиц, список использованной литературы из 22!) наименований.

ОСНОВНОЙ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1

Введение и метод.

Сведение падач к интегральным уравнениям.

Фундаментальные решена:!.

В п. 1.1 дается краткий обзор основных работ, близки? теме диссертации. Развиваемый в диссертации метод осно паи па принципе суммирования напряженно-деформирован пых состояний, вызываемых действием различного рода рас пределенных источников. Первым в нашей стране такой мс ■¡од широко стал применять Б. Г. Коренев (1936 г.) для рас чета балок, плит и пластин на упругом основании; неизвест ные плотности, имеющие смысл распределенных сил или мо ментов, стали называться компенсирующими нагрузкам! (КН), а сам метод—методом компенсирующих нагрузо! (MK1-I).

Независимо аналогичный метод к решению задач теорш упругости был предложен А. Я- Александровым в доктор скоп диссертации «О деформировании соприкасающихся упругих тел» (1946 г.). Здесь, в отличие от первых рабо Ь. Г. Коренева, неизвестные располагались на контуре обла сти, что приводило к появлению сингулярных интегралом Сингулярные интегральные уравнения автором в язном вид 1м> записывались, использовались их алгебраические анало 4

гп. Таким образом, Л. Я. Александров перпым предложил эдиу из схем численного решения сингулярных интегральных уравнении, возникающих при использовании упругих потенциалов, и первым допел решение некоторых задач «до числа».

Такой же метод н 19-19 г. был опубликован С. П. Маесо-чс, который систематически занимался его развитием и первым произвел расчеты с помощью ЭВМ.

С появлением современной вычислительной техники метод Л. Я. Александрова получил дальнейшее развитие н нашел применение при расчете армированных тел н тел с разрезами (Б. М. Зиновьев), тел из 'анизотропных материалов (Б. М. Зиновьев, Т. Ф. Карманова, В. К. Косепюк), при решении задач о горных выработках (Ю. И. Соловьев, Л. Д. Ескалиев,- В. И. Машуков, В. Ю. Изаксон), геометрически нелинейных задач (В. В. Шушунов), задач об эквивалентных и равнопрочных подкреплениях (В. К. Косешок). Существует множество работ, появившихся позднее работ

Я. Александрова, где предлагаются или используются аналогичные методы, и при этом получают различные названия: метод источников (X. А. Рахматулнн, X. Валиджа-чов, М. Ахмедов, А. Н. Роговой), метод фиктивных пагру-* к, непрямой метод ' граничных элементов (П. Бенерджи, Р. Баттсрфилд; С. Крауч, А. Старфилд, С. Ускер), метод озеширення заданной системы (О. В. Лужин), метод бсско-!счиых областей (В. 10. Изаксон), метод граничных нпте-"ральпых уравнений и г. д.

Развиваемый метод примыкает к методам упругих потенциалов, основы теории которых были заложены учеными конца прошлого и начала нашего века (и. Бетти, Ж. Бусси-1еск, Г. Вейль, А. Корн, Л. Лихтенштейн, Д. Лауричслла. Л. М. Ляпунов, Э. Фредгольм и др.). Исторический очерк развития методов потенциалов дан Т. Г. Гегелиа.

В отличие от гармонических потенциалы теории упруго-приводят к сингулярным интегральным уравнением. Поэтому развитие теории упругих потенциалов связано с развитием теории многомерных сингулярных интегралов н сингулярных интегральных уравнений. С. Г. Мнхлиным и В. Д. Купрадзе была доказана применимость альтернатив Фрсдгольма к системам сингулярных интегральных уравнений теории упругости, доказаны теоремы существования решений основных задач для областей с гладкими границами,

рассмотрены вопросы единственности решений интегральных уравнении И т. д.

Граничные интегральные уравнения (ГНУ) теории упругости строятся либо с применением потенциальных представлений смещений (потенциалы простого и двойного слоя), либо с применением теоремы Бетти о взаимности возможных работ. Существуют и другие способы. Например, Ю. Д. Ко-пейкии на основе общего решения в форме Галеркина построил бигармоничсские потенциалы и затем, изучив их предельные и дифференциальные свойства, вывел сингулярные СИУ для решения основных плоских и пространственных задач теории упругости.

Основные вопросы, решаемые при численной реализации метода ГИУ: выбор интегрального уравнения, соответствующего рассматриваемой задачи; способ аппроксимации искомых плотностей и границы области; способ решения системы интегральных уравнений; вычисление сингулярных и регулярных интегралов и др. Эти, а также многие другие вопросы рассматриваются в монографиях отечественных (Ю. В. Бе-рюжскни, В. 3. Партой и П. И. Перлин, А. Г. Угадчиков и М. Н. Хуторянскип) и зарубежных (П. Бенерджи и Р. Бат-черфилд, С. Крауч и А. Старфилд) авторов, а также в многочисленных статьях. Обзоры работ на эту тему даются Ю. В. Верюжским, Р. В. Гольдштейном, 10. Д. Копейкпным. А М. Линьковым, П. И. Перлипым, Д. К. Якимчуком и А. Л. Квиткой, Т. Крузе, Ф. Ришо.

В. Д. Купрадзе для решения задач предложил два подхода, в которых не возникает необходимость вычислять сингулярные интегралы. Один из них, основанный на использовании тождества Бетти—Сомнльяны, когда вспомогательно^ (виртуальное) состояние создастся единичной силой, прило женнон на удалении ог границы области, развивается работах Ю. В. Верюжского и его учеников — А. II. Вусапо-ка, А. Я. Петренко, В. В. Савицкого и др. Другой подход основанный на принципе суперпозиции сосредоточнных си ловых источников, расположенных также на удалении от границы области, развивается в работах М. А. Алексндзе г К. Н. Самсония (метод разложения по псортогопальны,\ функциям).

Применению сингулярных ГИУ для инженерных исследо ианий мешала трудность в вычислении сингулярных инте гралов, которые в обычном смысле не существуют. Сингулярные интегралы входят в представления граничных па

пряжений и смещений через потенциал простого и, соответственно, двойного слоя. Эта трудность была преодолена в значительной мере П. II. Перлипым, предложившим два метода регулярного представления таких интегралов.

Вычислению напряжений в точках границы области при использовании потенциала простого слоя посвящены работы Ю. Л. Бормота, М. II. Лазарева н А. В. Сковороды, Ь'. А. Рубцова и II. М. Хуторянского, Т. А. Крузе и других ученых.

Особенно сложным окалывается вычисление напряжений на граниче области при использовании потенциала двойного слоя или тождества Бетти—Сомнльяны. Дело в том, что здесь прямые значения интегралов, входящих в выражения напряжений, не существуют в смысле главного значения. В этом случае используют различные приемы. П. II. Перлин, II. Ф. Андрианов используют экстраполяцию па контур по значениям напряжении в ряде внутренних точек; В. Я. Ад-луцкпй использует дифференцирование смещении; некоторые г.1 вторы — В. П. Шишкин, М. Л. Холмянский, Н. М. Хуторяп-екий — понижением особенностей ядер переходят к сингулярным или регулярным интегралам; аналогичные способы используют С. К- Канаун и Я- В. Шляпоберскнй в связи с применением потенциала двойного слоя к решению задач для <ел с разрезами.

Приближенное решение систем ГИУ отыскивается либо из системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с помощью прямых алгоритмов гауссова типа, либо истодом тоследонатсльны.х приближений. Различные схемы метода последовательных приближении разработаны Г1. II. Перлн-1ым. Новым перспективным направлением является предложенный Л. В. Мальцевым и развиваемый В. Н. Кутруновым >;етод построения обратных интегральных операторов в виде ■¡ебышевски.х операторных полиномов и операторных нолп-юмов наилучшего приближения.

Исследование вопросов применения интегральных урав-пяти первого рода к решению задач теории упругости, раз-»аботка новых методой регуляризации или использование ¡звсстных методов А. И. Тихонова, М. М. Лаврентьева рассматриваются в работах Э. С. Венцеля, М. А. Лннькова,

Н. Рогового, М. И. Лазарева и А. В. Курбатова и других шторов.

В отдельный класс объединяются задачи для тел с разре-¡ами. Повышение интереса к этим задачам связано с ис-

пользованием результатов их решения в теории разрушения. Здесь многочисленные решения для прямолинейных и криволинейных разрезов были получены с использованием теории функций комплексного переменного Н. И. Мусхелишвилн, Д. И. Шерманом, А. В. Панасюком, Д. М. Линьковым, М. П. Савруком, Л. А. Филыптинским и другими учеными. Расчету тел с разрезами посвящены работы Р. В. Гольд-штейна; в частности, им получены, с использованием элементарных решений для дислокаций, уравнения для криволинейных разрезов в плоскости и плоских разрезов в пространство. Плоские разрезы в трехмерных телах рассматриваются в монографии А. Е. Андрейкива.

В 1972 г. Б. М. Зиновьев предложил для расчета тел с разрезами применять потенциалы двойного слоя, построенные с использованием динольных источников. Аналогичный подход с использованием потенциалов двойного слоя первой: рода теории упругости был предложен в 1974 г. П. И. Пер-линыи и В. Н. Самаровым. Этот подход развивается в работах Я. В. Шляпоберского, С. К. Канауна, Г. С. Кита и М. В. Хая.

Следует отметить, что первым предложил использован распределенные диполи для моделирования разрывов сплош-. постн упругой среды М. И. Горбунов-Посадов (в задача:^ механики грунтов).

Распространением методов потенциалов на тела с угловыми точками п линиями, исследованием особенностей напряжений в точках нерегулярности границы заннмадиа В. Я- Адлуцкип, О. К- Аксентян, М. Л. Вильяме, С. С. Зар гарян, А. II. Каландия, С. Д. Клячко, В. Г. Мазья, С. Е. Михайлов, П. И. Перлин, В. П. Тараканов и другие ученые. Раз ные способы учета особенностей в численных решения^ предлагались Э. С. Венцслем, Р. В. Гольдштейном, П. 1! Перлиным. А. Я- Александров.. Л. М. Куршин п Б. М. Зи новьев предложили для учета особенностей вводить спсцн альные слагаемые в искомые нлотностн, закон изменсни'. этих слагаемых определять с привлечением однородных ре шений для клиновидных областей.

Расчет тел с отдельными тонкими включениями и наклад ками излагается в монографиях Э. И. Грнголюка и В. М. Тол качева; Г. Я. Попова; В. С. Саркисяна; А. В. Панасюка ММ. Стаднпка и В. П. Силовашока, а также в многочне ленных статьях. Задачи решаются обычно с привлечение*

упрощающих гипотез. Одна приближенная схема решения задач для тел с отдельными тонкими арматурными элементами была также предложена в 1972 г. А. Я. Александровым и Б. М. Зиновьевым.

Построению фундаментальных решении для анизотропных упругих сред, распространению или применению методов потенциалов к решению задач анизотропной упругости посвящены работы Д. Г. Натрошвили и М. О. Башелейшви-лн, Р. В. Капанадзе, М. И. Лазарева, П. М. Хуторянского, Ш. М. Анталиеьа и М. А. Каюпова, Т. Ф. Кармановои и Б. М. Зиновьева, В. К. Косенюка, М. Д. Мартыненко, Л. П. Князевой и В. С. Романчика, П. И. Перлина и В. А. Ткачева, Р. Бенджуми, Д. Сикарси, С. Массопе, Т. Крузе и других авторов.

На основании обзора основных работ и анализа состояния вопроса на начало 70-х годов становится очевидной целесообразность проведенных автором диссертации исследований по развитию и совершенствованию численной реализации непрямого метода интегральных уравнений.

В п. 1.2 излагается схс-ма метода. Пусть заданное тело занимает некоторую одно- или многосвязную область 12, ограниченную одной или несколькими поверхностями 5, на которых заданы смещения или нагрузки или их сочетания в соответствии с корректной постановкой смешанной задачи. Заменим эту задачу другой, ей эквивалентной. Будем считать, что область 12 является частью бесконечного сплошного упругого пространства, внутри которого по некоторым поверхностям ¿¡дг (поверхностям истока), охватывающим область 12, действуют неизвестной величины распределенные силы д. Требуется найти такие интенсивности этих сил, при которых удовлетворяются заданные на поверхности 5 (поверхности наблюдения) граничные условия.

Используя фундаментальное решение Кельвина о действии сосредоточенной силы внутри упругого пространства, путем интегрирования по поверхности ¿л' или 5, если эти поверхности совпадают, можно найти напряжения и смещения з точках области 12, а в пределе — л в точках ее поверхности 5. Если полученные при этом напряжения и смещения будут соответствовать заданным на 5 условиям, то принятые ■шачения q решают поставленную задачу для области 12.

Когда поверхность истоков ¿дг и поверхность наблюдения 5 совпадают, тогда для решения первой основной задачи

(ка 5 заданы смещения и1 (;У0)) имеем систему ГИУ первого рода со слабой особенностью:

) и1к ( У0, ЩёЗ-и^К,), (Л/.,, (1)

(5)

для решения второй основной задачи (заданы нагрузки МАМ) имеем систему сингулярных ГИУ второго рода:

0,5<?г(Ад + [ дк (/V) Г1к (Д'о, ■N)dS = tl(JVv), (2)

где и¡к (Л'0, А)—смещения точки Ы0 по направлению оси Х1 общей системы координат от действия силы Рк = 1, сосредоточенной в точке N и направленной вдоль оси Хк\ о, Л')—проекция полного вектора напряжений в точке Л'г но площадкам, касательным к 5, от действия силы ^

В некоторых случаях, например при расчете осесиммет-ричных тел, удобнее пользоваться локальными системами координат; в этом случае вместо (2) будем иметь:

0,5<7, (К) + ]• дк (Л') <Э»и1 (Л/0, Л')^ = о„, (л;,), (3)

(Л)

где (¿кп1 (Л'о, N)—напряжения на площадке, касательной к 5 л точке оп. (Л'о)—заданные на 5 напряжения; индексы н, I относятся к локальной системе координат в точке наблюдения Л'о (п — нормаль к 5), индекс /г относится к локальным осям с началом в точке истока N.

Когда поверхности и 5 нигде не совпадают, тогда для решении задач имеем систему регулярных интегральных уравнений первого рода; в (2) и (3) исчезают знеинтеграль-ные слагаемые.

Для приближенного решения систем интегральных уравнений переходим к СЛАУ, используя ту или иную аппроксимацию искомых нагрузок и поверхностей.

В качестве КН можно использовать силы внутри или на границе полупространства. Для этого заданную область £2 можно «погрузить» в полупространство; причем здесь возможны два варианта: один, когда область О «окатывается-» полупространством так, что его граничная плоскость является касательной к 5; другой, когда положение тела и полупространства зафиксированы; в первом случае используется фундаментальное решение Буссинсска и Черутти; во втором — решение Миндлина. Ю

В принципе возможно использование и других фундаментальных решений и одновременное сочетание различных видов компенсирующих нагрузок.

Помимо распределенных сил в качестве КН можно использовать распределенные дипольные источники, которые рассматриваются в п. 1.3.

Сосредоточенный диполь Мк1 образуется двумя силами Рк и — Рк при условии, что

Нт Рк г, = сопэ! при Рк

■о,

при г1— расстояние между точками приложения сил (плечо диполя).

В работе используются нормальные п моментные динолн; нормальным называем диполь, у которого направление плеча и сил совпадают (/г=/), у моментного диполя плечо перпендикулярно направлению сил На рис. 1 слева изображен нормальный сосредоточенный диполь Л133, справа — моментный диполь Мхз.

Р-оэ

А

1. Нормальный п моментный сосредоточенные диполи

Рис. 2. Распределенные диполи на отрезке кривой п плоскости

Плечо распределенных диполей \>к[ всегда направляется по нормали к поверхности, поэтому второй индекс в обозначении диполей не пишется. На рис. 2 изображены распределенные нормальные \>п и моментные \>( диполи в плоскости на отрезке кривой.

Решение для сосредоточенного диполя получается дифференцированием решения для сосредоточенной силы по направлению плеча диполя (в нашем случае — по нормали к поверхности); дифференцирование в общем случае выполняется по координатам точки истока.

Дифференцирование увеличивает порядок особенности тдра, поэтому решение первой основной задачи с нспользо-

ванием диполей в качестве КН сводится к системам сингулярных ГИУ, а так как смещения изменяются скачком при действии диполей, то эти сингулярные ГИУ будут уравнениями второго рода; форма их записи аналогична (3).

Диполи и силы можно использовать одновременно; например, при решении смешанной задачи на топ части контура, где заданы смещения, разместить диполи, а там, где заданы напряжения,— силы.

Диполи требуют более гладкой аппроксимации и поверхности, и искомых плотностей; вычисление напряжений при действии диполей связано с необходимостью преобразовать интегралы, прямые значения которых не существуют (ядра смеют несуммирусмую особенность). Тем не менее диполи были введены автором для использования из-за своего свойства создавать скачки смещении. Это свойство позволяет моделировать в сплошной среде разрез с взаимно смещающимися берегами.

Кроме диполей в качестве КН можно использовать их комбинации — центры вращения и расширения; выражения смещений и напряжений при их действии записываются проще, чем при действии сил или диполей.

В п. 1.4 приведены используемые в диссертации фундаментальные решения о действии сил, диполей, центров вращения и расширения в пространстве и плоскости, а также сил на границе полупространства и полуплоскости. Здесь же раскрывается физический смысл потенциала двойного слоя первого рода теории упругости. Физический образ воздействия, соответствующего ядру потенциала, можно представить в виде комбинации сосредоточенных в точке истока диполей. Это сочетание изменяется в зависимости от наклона площадки в точке истока и обеспечивает при постоянной плотности постоянную величину скачка смещений в общей системе координат. В отличие от дипольных потенциалов этот потенциал не дает скачков напряжений, входящих в граничные условия.

Говоря о физическом смысле, можно отметить, что первая и вторая задачи, по уравнениям (1) — (3) решаются относительно скачков напряжений; эти же задачи с помощью дипольных потенциалов будут решаться относительно скачков смещений. 12

Глава П

Точные формулы напряжений и смещений для частных случаев нагрузок.

Приближенное вычисление напряжений и смещений.

Регуляризация несобственных интегралов

При численной реализации метода необходимо вычислять мещения и напряжения от КН, распределенных в пространна или плоскости по фрагментам, на которые разбивается оверхность исследуемых объектов.

В зависимости от взаимного положения точки наблюде-ия К и нагруженного распределенными силами <7 фрагмен-з 5 смещения и напряжения могут выражаться либо через ?гулярные (К 65),либо через сингулярные или слабоособсп-ые интегралы (К б 5). Существенные затруднения возникают рн вычислении сингулярных интегралов. Здесь наибольший ,!терес представляет вычисление сингулярных интегралов с остоянноп плотностью по плоским площадкам, поскольку птегралы по криволинейным площадкам сводятся к нпте-)алам по плоским площадкам; сингулярный интеграл с поименной плотностью представляется в виде суммы еннгу-ирпого интеграла с постоянной плотностью и иитеграла с ■¡отностыо, обращающейся в ноль в особой точке; этот по-1едннп интеграл имеет слабую особенность.

В и. 2.1 приведены некоторые способы преобразования ггегралов, входящих в выражения смещении и панряже-|й, к табличным.

В ни. 2.2 и 2.3 путем аналитического интегрирования фуп-шеитальных решении с постоянной и линейной нлотностя-и получены в явном виде выражения смещений и на пряже-1Й для плоских полигональных площадок в пространстве и шмолнпейных отрезков в плоскости.

В отличие от аналогичных результатов Т. Крузе здесь выделения выполнены для точки наблюдения, произвольно 1еположенной относительно нагруженного фрагмента, и все сражения даны в виде, удобном для программирования па ВМ.

В п. 2.4 проанализировано поведение напряжений при -реходе через нагруженный фрагмент вычислены скачки шряжеинй Л(т в общей и локальной системах координат.

С помощью формул скачков предельные значения напря-енип при /С^А^б 5, где 5 — гладкий криволинейный фраг-

мент, можно представить в виде суммы двух слагаемых: сингулярного интеграла по существующего в смысле главного значения но Кошн, и внеинтегрального разрывного слагаемого, равного половине скачка напряжении:

Л, ('Ч) = * ~ А А, (Л'о) + 3 V «А'о. Л') дк

2. [5)

(¿,/,¿=1,2,3). (-1)

где ядро Тцк(А!о, А") определяется соответствующим фундаментальным решением для сосредоточенной силы.

В п. 2.5 исследована возможность приближенного учег;. действия непрерывно распределенных сил путем замены и;-системой статически эквивалентных сосредоточенных сил Результаты исследований обобщены в графиках, показывающих зависимость количества сосредоточенных сил от вза пмного расположения точки наблюдения и нагруженногс фрагмента и заданной точности вычислений. С использова нием этих графиков, аналитическое описание которых можне ввести в ЭВМ (например, в виде степенной функции), мож по организовать адаптивный алгоритм разбивки области ни тегрирования рациональным образом; при этом сосредото ченные силы, заменяющие непрерывно распределенную на грузку, будут различны по величине и будут размещены не равномерно, сгущаясь к точке наблюдения. В отличие от из вестных адаптивных алгоритмов здссь не требуется псресче интегралов на промежуточных стадиях.

В п. 2.6 рассматривается схема приближенного нычнеле ння сингулярных интегралов по плоским площадкам Здесь же излагается предложенный автором способ преоб разования двумерных несобственных интегралов по плоски: площадкам в контурные. Способ основан на нсиользовани соотношении подобия.

Возьмем в пространстве плоскую площадку 5 и загрузи; ее непрерывно распределенными силами, изменяющимися и закону степенной функции /г-п степени, обращающейся голь в точке наблюдения /С С'5. Тогда смещения точки К бу дут пропорциональны линейным размерам площадки в сп пени («И), напряжения — получаем аналог формулы Гр| па: линейным размерам в /г-н степени. На основании этого

«-, (К) = —(]к о К (С) и,к {К, I) еИ,

«-М (/.) (Г)

(К) - — / <!ь (С) II К) "'У {К,

п (¿,

где —расстояние от точки К до касательной к I. и текущей точке '¿.0!.. (I. — контур площадки 5); </(£)—значение нагрузки на контуре.

Эти выражения справедливы г; при когда г/ —con.su

при этом второе выражение дает тождество

' //(;:) г (К. :;)-//. п.

Напряжения п этом случае выражаются через контурные интегралы с использованием закона Гука, и котором деформации вычисляются через смещения (5) при н — 0.

В п. 2.7 рассматривается действие объемных сил /;(/V). И том случае, когда объемные силы изменяются по степенному закону п обращаются в ноль в точке наблюдения, смещения н напряжения выражаются через интегралы но поверхности 5, ограничивающей область 12, в которой эти силы распределены:

"I (К) - —т .]' рк С) А;:) и1к (/V,

п Г I (И)

п-Г I (.Я

Здесь рк (и)—значение плотности в точках на 5; — расстояние от точки К до плоскости, касательной к 5 в точке .. Формулы справедливы и при /г = 0, когда объемные силы юетояины.

В и. 2.8 получены формулы общего вида, когда точка наблюдения расположена произвольным образом относительно югружепного плоского или криволинейного фрагмента, из •соторых формулы (5) получаются как частные случаи. При неводе использовался предельный переход, при котором двумерная область получалась как предельный случай трехмер-1011; преобразование же нагрузок в трехмерной области производилось с помощью формул п. 2.7 для объемных сил. Показано, что при вычислении смещений и напряжений распределенные силы могут быть заменены другой нагрузкой — сигами, распределенными по контуру области, а также силами и диполями, распределенными по области и обращающимися в ноль в точке наблюдения.

В и. 2.9 рассматривается вычисление напряжений и сме-ценип в плоскости при действии сил <}(М), непрерывно распределенных но криволинейному гладкому отрезку 5. Инте-ралы, входящие в представление напряжений и смещении,

были преобразовань! так, что особенности ядер интегралов понизились. При преобразованиях использовалась ■ зависимость

f 1 (К, N)q(N)dS = q(N) F(K, N) |_f dS-

(S) (s) (s) р(л') ')<?

где F(K, N)=F(n, t) = — ^ T(n, t)dt\ T(n, I)—напряжения n общей системе координат, записанные через координаты локальной системы, п, i — координаты точки наблюдения в локальной системе с началом в точке истока NQS, п — нормаль к S, i — касательная; p(N)—радиус кривизны в точке М.

При вычислении частной производной в первом интеграле правой части (6) функция F(K, М) записывается в общей системе координат; ср — угол наклона локальной системы относительно осей общей системы координат.

После преобразований напряжения выражаются интегралами с логарифмической особенностью, смещения — регулярными непрерывными интегралами.

В п. 2.10 приведена схема вычисления сингулярных интегралов по криволинейным фрагментам. По этой схеме сингулярный интеграл но 5 заменяется суммой двух интегралов—регулярного непрерывного интеграла по криволинейному фрагменту S и сингулярного интеграла по плоской площадке S\ являющейся проекцией S на плоскость, касательную к 5 в особой точке. Вычисление сингулярных интегралов но плоским площадкам подробно рассмотрено в предыдущих пунктах второй главы.

Глава III

Вычисление смещений и напряжений при действии распределенных диполей

Рассматриваются только нормальные и моментные диполи, у которых плечо всегда нормально к поверхности, а силы, образующие диполь, либо нормальны, либо касатсльны к поверхности.

Смещения и напряжения при действии диполей, распределенных по фрагменту S некоторой гладкой поверхности, можно найти, просуммировав их действие:

"',(*) = / и\к (К, АО^, и'1к = ди^/дп, (7)

^ , (^ л/) ^ " (в)

Здесь £/гА(7С, А'), М)—смещения и напряжения в

точке /С при действии диполя Мк= 1, сосредоточенного в точке ТУ С 5. Индексы I, ; относятся к локальным осям в точке наблюдения /С, индекс к — к осям с началом в точке истока 'Н, п — нормаль к 5 в точке N.

Ядро интеграла в формуле (7) имеет в пространственной задаче сингулярную особенность ядро в формуле (8) — несуммируемую особенность

В формуле (7) ядро, представляющее нормальную деформацию от сосредоточенной силы, заменяется с использованием закона Гука и соотношений Кошм на сумму ядер, каждое из которых является напряжением от сосредоточенной силы. В результате вычисление смещении при действии распределенных диполей сводится к вычислению напряжений при действии распределенных сил такой же интенсивности.

Нормальная производная напряжений от сосредоточенной силы, фигурирующая под интегралом в формуле (8), с использованием дифференциальных уравнений равновесия, соотношений Кош и и закона Гука заменяется на касательные производные; после однократного интегрирования по частям особенность ядер в (8) понижается па единицу и исходный интеграл заменяется на сумму интегралов с измененными плотностями. В результате напряжения от распределенных диполей представляются в виде комбинации напряжении и деформаций от распределенных сил.

В п. 3.1 рассмотрено действие диполей р,(Аг), распределенных в плоскости по прямолинейному отрезку 5. Установлено, что и смещения, и напряжения в общем случае изменяются скачком при переходе через 5; скачки смещений пропорциональны плотности диполей в точке перехода:

А и\ = ц„ (1 (1 -v) /Е, А и\ =» (9)

где п, I — оси декартовой системы координат, п — нормаль к !'■/1' I1/—нормальные и моментные диполи, V — коэффициент Пуассона, Е — модуль упругости, С — модуль сдвига.

Скачки напряжении зависят от производной плотности диполей. В отличие от распределенных сил, здесь нормалъ-

пые диполи вызывают скачки касательных напряжений, мо-ментныс, образованные касательными к 5 силами, вызывают скачки в нормальных напряжениях.

Здесь же приведены интегральные представления напряжении, в которых интегралы имеют сингулярную особенность

В п. 3.2 исследованы свойства смещений и напряжений при действии нормальных и моментных диполей, распределенных в изотропном пространстве по плоской площадке; приведены формулы для напряжений, ядра интегралов в ко торых имеют сингулярную особенность

В п. 3.3 исследованы некоторые свойства диполей более высоких порядков. Порядок диполя определяется порядком нормальной производной от фундаментального решения для сосредоточенной силы (рассмотренные выше диполи можно назвать поэтому диполями первого порядка). Установлено, что нормальные диполи нечетного порядка вызывают скачки в нормальных смещениях и касательных напряжениях, нормальные диполи четного порядка — в касательных смешениях и нормальных напряжениях. Моментные диполи четного порядка вызывают скачки в нормальных смещениях и касательных напряжениях, нечетного порядка — в касательных смещениях и нормальных напряжениях. При этом скачки смещений от диполей «-го порядка пропорциональны произ-ьоднон (п—1)-го порядка от плотности, скачки .напряжений — и-й производной плотности.

В диссертации в качестве К.Н используются только диполи первого порядка. Дело в том, что чем выше порядок диполей, тем выше должна быть степень аппроксимирующих эти диполи функций, а это вносит усложнения в процесс численной реализации. Кроме того, по сравнению с диполями первого порядка диполи более высоких порядков не обнаруживают каких-либо новых полезных свойств, вычисление же смещении и напряжений при их действии требует гораздо больших затрат труда и времени.

В п. 3.4 излагается один способ вычисления предельных значений напряжений в пространстве в точках плоской площадки, нагруженной диполями. Способ основан на использовании соотношения подобия. Напряжения в точке нагруженной площадки пропорциональны линейным размерам площадки в степени (/г—1), где п — показатель степени функции плотности, обращающейся в ноль в точке наблюдения. С уче-18

том этого соотношения получаем такое представление для предельных напряжений:

"'и (К) ^ —Ч § ''к (■-)А (-) (к. с б /се 5.

Л —

При «= 1 в формуле появляется неопределенность; в этoví случае используется другое представление для напряжений:

Скачки напряжений при действии диполей, распределенных в плоскости по криволинейному отрезку и в пространстве по элементу криволинейной поверхности, рассматрийаютея в пп. 3.5 и 3.7.

Общий вид формулы скачков напряжений в плоской задаче можно представить так:

1 <Ь \

Ап'= ~Ло—А (10)

где р — радиус кривизны в точке, Ао — скачок напряжений при действии сил, интенсивность которых равна интенсивности диполей; второе слагаемое есть скачок нормальной производной напряжений от действия сил. Первое слагаемое известно, второе вычисляется с привлечением дифференциальных уравнении равновесия в криволинейных координатах, закона Гука и связи между смещениями и деформациями в криволинейных координатах. Одной из координатных лини» служит нагруженный диполями отрезок. Развернутые выражения для скачков выглядят так:

Общий вид формулы скачков в трехмерном случае, аналогичной (10), записывается гак:

( 1 • -Ч

где 1 -г ~~ —удвоенная средняя кривизна в точке криволинейного фрагмента. Второе слагаемое вычисляется так же, как и в плоской задаче, с привлечением дифференциальных уравнений равновесия в криволинейных координатах, закона Гука и уравнений Кошн.

Вычисление смещений и напряжений при действии диполей, распределенных по криволинейному отрезку в плоскости и по фрагменту гладкой криволинейной поверхности в пространстве, рассматривается в пп. 3.6 и 3.8. Здесь приведены интегральные представления напряжений, в которых, в отличие от исходных формул (8), ядра имеют сингулярные особенности. Понижение особенностей интегралов в плоской задаче достигается применением формулы (6); аналогичные формулы были получены и использованы в пространственной задаче.

В п. 3.9 я а основании выполненных исследовании даются рекомендации по выбору базисных функций для аппроксимации диполей при использовании их в качестве КН. Поскольку скачки напряжений зависят от первых производных плотностей, искомые плотности нельзя брать в виде кусочно-постоянной функции (ступенчатой); криволинейный контур тела нельзя заменять полигональной поверхностью, если не принять специальных мер к тому, чтобы не потерять скачок напряжений, зависящий от кривизны поверхности.

Г л а в а IV

Решение задач упругости для тел с разрезами

Излагается метод решения задач теории упругости для тел с разрезами, . использующий свойство распределенных диполей создавать разрывы смещений. В п. 4.1 излагается схема метода и вводятся обобщенные нагрузки. Метод состоит в том, что тело с разрезом 5 заменяется сплошным телом без разреза, внутри которого по 5 распределяются неизвестной величины КН; эти нагрузки необходимо найти такими, чтобы удовлетворялись граничные условия на берегах разреза 5+ и В число КН должны входить распределенные диполи, поскольку с их помощью можно моделировать взаимную сдвижку берегов разреза. Однако одних диполей недостаточно для решения задачи. Это видно из следующих рассуждений. Пусть решается задача для разреза, на обоих берегах которого действуют одинаковой величины напряжения. Допустим, что нам удалось подобрать закон изменения диполей, при котором граничные условия удовлетворяются па одном из берегов разреза. Тогда на другом берегу граничные условия удовлетворены не будут, поскольку напряжения изменяются скачком при действии диполей. Следовательно, диполи необходимо сочетать с распределенными си-20

лйми, причем силы должны быть такими, чтобы скачки напряжении от действия этих сил гасили бы скачки напряжений, создаваемых диполями (имеются в виду напряжения, входящие в граничные условия). Такие сочетания распределенных сил и диполей называются обобщенными нагрузками (ОН); их легко найти, имея выражения скачков напряжений отдельно от сил и диполей.

С использованием ОН решение второй основной задачи, когда на берегах разреза даны напряжения, производится по следующей схеме: но скачку заданных на S+ и напряжений определяем распределенные в сплошной среде силы; затем с учетом действия этих сил находим плотности ОН, удовлетворяя граничным условиям в точках одного из берегов разреза; граничные условия на другом берегу буду г удовлетворяться автоматически. При решении первой основной задачи использование ОН необязательно. По скачку заданных на 5+ и S~ смещений находим плотности диполей (или ОН), а затем неизвестные плотности распределенных сил, удовлетворяя граничным условиям на одном из берегов разреза (с учетом действия уже найденных диполей пли ОН).

В п. '12 приводится структура 0?1 для криволинейного разреза в плоскости. Сравнивая скачки напряжений от сил Рю Pt

и диполей (11), устанавливаем, что нормальная ОН будет состоять из нормальных диполей ¡v нормальных сил рп~ vji.„ /р и касательных сил pt——'td\L„ldS\ моментная ОН — из моментных диполей ц,, касательных сил pt = у,/р и нормальных сил рп=— dy-i /dS. Суммированием действия всех компонент, входящих в ОН, вычисляем напряжения и смещения. Для вычисления напряжений от диполей используем формулы, полученные в гл. III.

В п. 4.3 приведены системы интегродифференциальных уравнений второй основной задачи о плоскости с криволинейным разрезом; в случае прямолинейного разреза система распадается на два независимых уравнения, одно из которых соответствует нормальному отрыву, другое — взаимному сдвигу берегов. Здесь же приведены формулы для вычисления коэффициентов интенсивности напряжений. По известным формулам асимптотического распределения смещений в окрестности вершины разреза находим скачки нормальных и

касательных смещений, которые приравниваем скачкам смещений от диполей (9). В результате получаем:

где Ап, А,— неизвестные коэффициенты, входящие множителями в аппроксимирующие функции = АпУ г, ич = А,Уг в окрестности вершины разреза (г — расстояние от точки истока на 5 до вершины разреза) и определяемые в результате решения всей задачи.

Далее приводится система интегральных уравнений пер-ьой основной задачи и рассматривается схема решения смешанной задачи.

В п. 4.4 путем сравнения скачков напряжений от сил и диполей получена структура ОН для случая криволинейного разреза в пространстве. Суммируя действия всех компонент, входящих в ОН, получены интегральные представления для напряжений. Предельные значения напряжении выражены через сингулярные интегралы.

В п. 4.5 приведена система интегрэдифференциальны.ч уравнении для криволинейного разреза в пространстве, когда на берегах разреза заданы силовые граничные условия (вторая основная задача).

Когда разрез является плоским, система грех интегродиф-ференциальных уравнений распадается: одно уравнение соответствует нормальному отрыву берегов, два других образуют систему, соответствующую взаимному сдвигу берегов без отрыва. Здесь же приведены формулы напряжений при действии ОН, распределенных по плоскому фрагменту. Приведены также формулы для вычисления коэффициентов интенсивности напряжении:

К,=/Ы 1-2 v) 1^/8(1-у)^ /С2=Л2 (1 —v),

Л'з=Лз1/'2л/4,

где К\ соответствует нормальному отрыву берегов, /С2 — сдвигу по нормали к контуру разреза, Кг — антиплоской до-формации (сдвигу берегов по касательной к контуру разреза); Аи Аг, Аз — неизвестные коэффициенты, входящие множителями в функции у--, — А-Уг и определяемые из решения задачи (г — расстояние от точки истока на 5 до кромки разреза). 2'1

Глава V

Некоторые специальные вопросы реализации и расширения области применения непрямого метода интегральных уравнений

Одним из приемов совершенствования метода является учет особенностей напряженного состояния в точках нерегулярности границы тела, в точках приложения сосредоточенных воздействий или резкой смены граничных условий.

В п. 5.1 излагается один способ учета особенностей напряжении в угловых точках при решении плоских задач.

Показано (В. А. Кондратьев), что решение для тела с угловыми точками (угловыми линиями) можно представить в £'иде суммы регулярной части и ряда, содержащего сингулярные решения для модельных областей с однородными 1раничными условиями. Для реализации такой схемы необходимо исследовать характер особенности и закон изменения КМ в окрестности угловой точки.

Характер особенности исследуется с помощью однородных решений Вильямса для клиновидных областей. Для основных случаев граничных условий приведены трансцендентные характеристические уравнения и найдены минимальные положительные значения корней Х<1, соответствующих решению с особенностью. Напряжения в окрестности угловой точки изменяются по закону а~г1~\ где г — расстояние до угловой точки. Показано, что закон изменения искомых 1\Н в окрестности угловой точки совпадает с законом изменения напряжений: О'—1 где С подлежит определению в процессе решения задачи.

Приведены примеры, иллюстрирующие применение изложенного способа учета особенностей.

В п. 5.2 излагается схема решения трехмерных задач для тел с угловыми линиями.

Учет особенности в точках приложения сосредоточенных сил на границе тела излагается в п. 5.3. Отдельно рассматриваются плоские и пространственные задачи для односвяз-ных и многосвязных тел. Для учета особенностей предлагается использовать фундаментальные решения для полубесконечных областей.

В решение Буссинзска—Фламана для полуплоскости входят слагаемые, дающие неоднозначность смещений (след дислокаций), если рассматривать это решение во всей расширенной плоскости. Поэтому данное фундаментальное реше-

иие можно использовать только для решения внутренних задач. Введением специальных слагаемых неоднозначность смещений уничтожается на некотором удалении от особой '.'очки, прсле чего это видоизмененное решение можно использовать для решения внешних задач и задач для многосвязных тел с сосредоточенными силами на внутренних контурах.

В решение Буссинеска—Черутти для полупространства входят слагаемые, обращающие в бесконечность смещения н

напряжения в точках внешней нормали к границе полупространства в особой точке. Здесь также вводятся слагаемые, уничтожающие дислокации на некотором удалении от особой точки, после чего видоизмененное решение можно использовать для решения задач для тел произвольной формы и связности.

Учет особенности в местах резкого изменения нагрузок па границе тела (и. 5.4) производится интегрированием соответствующих фундаментальных решений или их измененных аналогов с плотностью, равной плотности заданной нагрузки.

В п. 5.5 приведены решения плоских и пространственных задач: квадратная пластинка сжимается сосредоточенными силами, бесконечная пластина с квадратным отверстием и сосредоточенными силами на его сторонах, призма под действием сосредоточенных сил, пластинка с входящими углами (результаты решения для призмы даны на рис. 3).

В и. 5.6 излагается один численный способ построения функций влияния (функций Грина) для тел произвольной формы и использования их для решения задам. Применений функций влияния целесообразно в тех случаях, когда количество исследуемых параметров задачи меньше количества вариантов загруження тела, а также при решении некоторых контактных задач. Эффективность способа иллюстрируется примерами: решением задачи о пластине с круговым отверстием, на кромке которого действует нормальная сосредоточенная сила (учет особенности в точке приложения силы произведен с помощью изложенного выше приема) и о пластине с квадратным вырезом, в который вставлена с натягом прямоугольная пластинка большего размера. Некоторые результаты численного решения первой из этих задач приведены на рис. 4 (сплошные линии — точное решение).

Разработанный способ построения функции влияния в задачах теории упругости перенесен на стержневые статически неопределимые системы; в отличие от традиционного

эют способ позволяет строить линии влияния без использования линии влияния лишних неизвестных.

В п. 5.7 рассматриваются составные тела. Каждая область составного тела представляется частью «своего» бесконочного пространства с соответствующими механическими свойствами, внутри которого по контуру области действуют «свои» неизвестной величины КН. Условиями непрерывности напряжений и смещений на зонах контакта областей искомые плотности КМ объединяются в одну систему интегральных уравнений.

Если коэффициент Пуассона является общим для составного тела, то задача упрощается: количество искомых функции КН уменьшается в два раза; КН определяются из уело-г.ня совместимости смещении.

В п. 5.8 рассматриваются тела с отдельными армирующими элементами. Здесь упрощения возможны в том случае, когда арматурный элемент представляет собой тонкий стержень или тонкую пластинку. Во-первых, для тонких арматурных элементов можно связать нагрузки и смещения с помощью простых соотношений сопротивления материалов; во-вторых, можно использовать предельный переход, при котором толщина или диаметр арматурного элемента (и соответствующая ему полость в упругой среде) устремляется к нулю, а жесткости на изгиб, сдвиг и растяжение не изменяются. При таком предельном переходе условия совместности по напряжениям вырождаются в тождества (в плоской задаче выполняющиеся точно, в пространственной, в случае стержневого арматурного элемента — приближенно). Контактные усилия находятся из условия совместности по смешениям для точек оси арматурного элемента и соответствующих им точек в сплошной среде. При податливом соединении необходимо знать зависимость усилий от взаимного смещения арматуры и среды. Если берега полости, куда вставлена арматура, могут взаимно смещаться, то в число искомых нагрузок вводятся диполи. При решении учитываются возможные смещения арматурного элемента как жесткого целого и вводятся условия его равновесия под действием контактных сил и внешних нагрузок.

Приведено решение задачи о вытягивании прямолинейного тонкого стержня из полуплоскости и криволинейного стержня из полупространства. При решении использовались фундаментальные решения Мелана и Миндлина. Решение первой задачи сопоставляется с решением Б. А. Абрамяна. 20

В п. 5.9 излагается один способ вычисления напряжений по внутренних точках и точках поверхности тела при решении задач прямым методом граничных элементов. При решении этим методом возникают затруднения при вычислении напряжении: по-нерпых, напряжения выражаются через два потенциала—простого и двойного слоя первого рода, во-вторых, и напряжения входят интегралы с особенностью /~3, поэтому в точках границы тела напряжения выражаются через интегралы с нссуммнрусмой особенностью. Это затруднение преодолевается различными авторами по-разному: либо применением аналитического интегрирования и последующего предельного перехода, либо путем понижения особенности ядер в интегральных представлениях напряжении, либо экстраполяцией на границу по значениям напряжений в ряде внутренних точек, либо дифференцированием смещений и т. д. Здесь для вычисления напряжений предполагается использовать непрямой метод интегральных уравнений. В этом методе напряжения выражаются через один потенциал, в представление же напряжений для точек на границе входят сингулярные интеграл ы.

Предложенный способ состоит в следующем. Вначале решается поставленная задача для области £} прямым методом граничных элементов; затем решается вспомогательная первая основная задача для области дополняющей область О до полного пространства (плоскости). В качестве граничных условий берутся смещения, равные смещениям па грапнне 5 области О в основной задаче. После этого области £5 и £2' можно соединить в одно целое сплошное пространство (плоскость), внутри которого по 5 будут действо-п-тгь нагрузки, равные разности, напряжений, действующих на границах областей £2 и £2'. Суммируя действие этих нагрузок, находим напряжения в любой точке области и на се границе.

Предложенный способ был опробован на решении тестовых задач и показал более высокую точность в определении контурных напряжений, чем метод дифференцирования смещений.

Глава VI

Результаты численных экспериментов

Представлены результаты численных экспериментов по решению плоских и пространственных задач: внешних и внутренних основных для эллипса и квадрата, второй основ-

кой задачи для прямоугольной призмы, толстостенного ця линдрэ, части рельса под местным давлением; решен ряд тел с разрезами.

В п. 6.2 изложены результаты решения тестовых задач для эллипса и квадрата. Исследовано влияние па точность гешения ряда факторов: гладкости аппроксимации и способов фрагментации контура тела; гладкости аппроксимации искомых КН; типа К.Н (силы в плоскости, силы на границе полуплоскости, диполи); сдвижки КН относительно контура исследуемой области; введения статических условий на искомые КН и т. д.

Увеличение гладкости аппроксимации контура эллипса повышает точность численного решения, как и увеличение числа фрагментов. Замена кусочно-постоянной и кусочно-линейной аппроксимации на линейно-непрерывную в случае эллиптической пластинки увеличивает точность решения на порядок. Использование фундаментального решения Фламг-иа—Буссинеска не ведет к увеличению точности решения по сравнению с использованием фундаментального решения Митчела—Тимошенко о силе внутри плоскости, поэтому решение о силе на границе полуплоскости целесообразно использовать только для учета особенностей в точках приложения сосредоточенных воздействий или резкого изменения контурной нагрузки. Использование диполей в качестве КН требует более гладкой аппроксимации контура тела и искомой плотности.

Сдвижка КН на некоторую малую величину е от контура исследуемого тела при гладких граничных условиях значительно повышает точность численного решения. Увеличение г выше некоторого предела ухудшает свойства СЛАУ, и процесс численного решения становится неустойчивым. (Вопросы регуляризации задачи и выбора оптимального значения в рассмотрены в диссертации Э. С. Венцеля).

Известно, что решение второй основной задачи через потенциал простого слоя определяется неоднозначно, с точностью до компонент, соответствующих жесткому перемещению тела. Однозначность решения можно обеспечить, введя уело пня статики на искомые плотности КН. Показано, что введение условий равновесия в некоторых случаях повышает сходимость итерационного процесса Зейделя при решении СЛАУ, заменяющих ГИУ второй основной внутренней задачи, и точность численного решения первой основной задачи. 28

Отмечено, что при решении внутренней задачи требуется большее число итерации, чем при решении внешней.

Установлено, что если в краевой задаче во входящих углах нет особенности напряжений, нет особенностей и в искомых плотностях КН. В выходящих углах имеется особенность в КН, хотя особенности напряжений в краевой задаче пет; для улучшения численных результатов в этом случае применялось уменьшение шага фрагментов с приближением к угловой точке или округление (срезка) угла.

В и. 6.3 рассмотрено решение первой основной задачи. Известно, что применение потенциала простого слоя приводит к расходимости итерационных процессов. Сходимость процесса Зенделя при решении внутренней задачи можно обеспечить симметризацией задачи, если вместо одной области рассматривать симметричную композицию, составленную из таких областей. Размер матрицы СЛАУ при этом не увеличивается; сходимость итерационного процесса обеспечивается также применением в качестве КН распределенных диполей.

Диполи можно использовать для решения как внутренних, так и внешних задач; однако в последнем случае это возможно только тогда, когда известно, что главный вектор сил на внутреннем контуре равен нулю.

Приведены результаты решения задач о пластине с криволинейными разрезами по дуге окружности и эллипса. Для аппроксимации плотностей обобщенных нагрузок использовались сплайны. Сравнение с точными аналитическими решениями Н. И. Мусхелишвпли и М. П. Саврука проводилось сопоставлением напряжений на берегах разрезов и коэффициентов интенсивности напряжений (рис. 5, численное решение обозначено кружками).

Решена осесимметричная задача о цилиндрическом разрезе в пространстве, о растяжении цилиндра с круговой трещиной, растяжении пространства с плоским круговым и кольцевым разрезами. Отмечено хорошее совпадение с аналитическими решениями П. Снеддона, В. М. Гринченко и А. Ф. Улитко. Некоторые результаты численного решения задачи о цилиндре с круговой трещиной изображены на рпс. 6 (при #=Я = 2р). Рассмотрена задача о прямоугольном разрезе нормального отрыва и сдвига в пространстве. Искомые плотности аппроксимировались полиномами.

В п. 6.5 приведены результаты решения некоторых трехмерных задач: для куба, прямоугольных призм, толстостенного цилиндра и части рельса. Использовались КН в виде

Рис. 5. Сравнение численного реше- рис. в. Цилиндр г. круговой

ния с аналитическим по значениям щелью. Эпюры нормальных

коэффициентов интенсивности нанря- напряжений

жений

распределенных сил в пространстве; аппроксимировались ступенчатой (кусочно-постоянной) функцией; прикладывались КН на удалении от контура тела. В численных экспе-

Гнс. 1. Сжатие призмы равномерным давлением по круговым площадкам 30

риментах для куба исследовалось влияние степени дискретизации границы и сдвижки КН от границы куба на точность решения.

Исследовалось напряженное состояние прямоугольных призм, сжимаемых единичными нагрузками, распределенными на торцах по круговым площадкам. Влияние резкого изменения нагрузки учтено по изложенной в гл. V схеме интегрированием решения Буссинеска для полупространства. Численные результаты для призмы аХаХ2а, нагруженной но площадкам радиусом г = а/4, сравнивались с экспериментальными данными, полученными методом объемной фото-унругости (рис. 7).

Некоторые результаты расчета части рельса Р75 па местное давление от колеса даны на рис. 8. Давление на эллип-

Рис. 8. Изменение напряжений по высоте рельса

тической в плане площадке контакта уравновешивается реактивным давлением со стороны шпалы; напряжения от изгиба рельса как балки не учитываются. Переход к гладким граничным условиям осуществлен но изложенной выше методике. Ординаты на рис. 8 соответствуют напряжениям в точках вертикальной оси, проходящей через центр площадки контакта, и вычислены по формуле sign (ст) In (1 + 104abs (а)). Пунктирные графики соответствуют напряжениям в полупространстве.

Рис. 0. Толстостенный цилиндр под неосесимметрнчным давлением

На рис. 9 приведены некоторые результаты расчета кругового толстостенного цилиндра конечной длины для частного случая неосесимметричного нагружения единичным радиальным давлением (6 = 0,351т, о = 0,325//, Пя--'2На, = V ОД). 32

Г Л.in,г VII

Решение плоских задач теории упругости для ортотропных тел

В п. 7.1 приведены выражения, напряжении и смещении при действии сосредоточенной силы в ортотроинон плоско-стп, ио.тученные интегрированием фундаментального решения V.-C. Pan и T.-W. Cliou о сосредоточенной силе внутритранс-версальп о-изотропного пространства.

В и. 7.2 получены аналитические выражения напряжении i; смещении при действии сил, непрерывно распределенных но отрезку прямой и изменяющихся по линейному закону.

В п. 7.3 вычислены скачки напряжении при действий распределенных сил; скачки даны для плоской деформации и плоского напряженного состояния и выражены в произвольной системе координат, не связанной с осями изотропии. Отмечено, что здесь, в отличие от изотропной плоскости, касательные к нагруженному отрезку силы создают скачки в нормальных напряжениях по площадкам, нормальным к отрезку.

В п. 7.4 рассматривается действие диполей, распределенных по криволинейному отрезку. С использованием формулы (6) получены интегральные представления напряжений, включающие в себя интегралы с сингулярной особенностью. Приведены аналитические выражения напряжений и смешений при действии диполей, распределенных по отрезку прямой п изменяющихся по линейному закону.

В и. 7.5 изучается поведение смсщспип н напряжений при переходе через нагруженный диполями отрезок. Вычислены скачки смещений и напряжений. Отмечается, что скачки напряжении зависят не только от производной плотности и произведения плотности на кривизну, но и от пронз-ноднои механических свойств ортотропного материала в локальных координатах (в случае криволинейного отрезка).

В в. 7.6 рассматриваются тела с разрезами. Сформированы обобщенные нагрузки, используемые при расчете таких тел. Приведены сингулярные интегродифференциальные уравнения для криволинейного разреза в плоскости.

С цслыо проверки полученных формул и уравнений были выполнены численные эксперименты, результаты которых приведены в п. 7.7.

Численные решения сравнивались с аналитическими решениями Г. И. Савина н С. Г. Лехницкого для пластины с

круговым и эллиптическим отверстиями; получено хорошее совпадение результатов. Па рис. 10 даны эпюры напряжении в точках контура эллиптического отверстия в пластине; кривая / соответствует изотропному материалу (здесь численное и аналитическое решение практически совпали), кривые 2 и 3 — ортотронному материалу (кривая 3—аналитическое решение).

Исследовано влияние аппроксимации контура на точность численного решения задач П+, П~, для эллипса. При решении внешних н внутренних задач для квадрата исследовалось влияние сгущения шага фрагментов с приближением к угловым точкам на точность решетке. 10. Сравнение точного решения 1П1Я- Здесь также рассмат-по Г. Н. Савипу с численным ривались первая и вторая

основные задачи. Рассмотрена задача об ортотропной пластине с прямолинейным разрезом, на берегах которого действуют нормальные сжимающие напряжения (нормальный отрыв берегов) и касательные напряжения (сдвиг берегов без отрыва). Полученные эпюры напряжений сопоставляются с эпюрами для изотропной пластины.

Глава VIII

К решению трехмерных задач теории упругости для траневерсально-изотропных тел

В п. 8.1 приведено фундаментальное решение Y.-C. Pan и 7.-W. Chou о сосредоточенной силе внутри транстронного пространства с исправленными опечатками, замеченными в первоисточнике.

В п. 8.2 вычислены скачки напряжений при действии сил, распределенных внутри линейно-анизотропного пространства. Известно, что фундаментальное решение в этом случае в явном виде не выписывается, поэтому для вычисления скачков использовались некоторые соображения симметрии напряженного состояния пространства и непрерывности дефор-3Í

мацнй п плоскости нагруженной распределенными силами площадки.

Б п. 8.3 вычислены скачкп напряжений и смещений при действии диполей, распределенных по криволинейной поверхности в линейно-анизотропном пространстве. Скачки напряжений найдены с использованием формулы (12), в которой скачок нормальной производной определяется с использованием дифференциальных уравнений равновесия и уравнений Коши в криволинейных координатах и закона Гука для анизотропного тела.

В п. 8.4 даны интегральные представления для напряжений при действии диполей по плоской площадке в пространстве.

В п. 8.5 приведена структура обобщенных нагрузок, используемых для расчета тел с разрезами.

В и. 8.6 приведены примеры решения некоторых внешних н внутренних задач для трансверсалыю-изотронного куба: сжатие куба постоянной нагрузкой, распределенной по , двум прямоугольным площадкам на противоположных гранях, сжатие двумя плоскими прямоугольными штампами, сцепленными с основанием, растяжение пространства с кубической нолостыо.

Основные результаты диссертации

1. Рассмотрены вопросы вычисления регулярных, несобственных и сингулярных интегралов, возникающих при реализации метода с использованием в качестве компенсирующих нагрузок распределенных сил:

получены аналитические выражения смешений и напряжений при действии сил, непрерывно распределенных в изотропном пространстве но плоским полигональным площадкам и изменяющихся по линейному закону. Все выражения выписаны в явном виде, удобном для программирования на ЭВМ;

проведены исследования по приближенному вычислению напряжении и смещений путем замены непрерывно-распределенных сил статически эквивалентной системой сосредоточенных сил. Предложен алгоритм адаптивной разбивки нагруженной площадки, позволяющий разместить сосредоточенные силы рациональным образом;

разработан оригинальный способ преобразования несобственных и сингулярных интегралов, использующий соотно-

тения подобия. Способ позволяет преобразовать некоторые двумерные и трехмерные несобственные и сингулярные интегралы в регулярные контурные;

получены представления напряжении в изотропной плоскости при действии сил, распределенных по криволинейному отрезку, через регулярные интегралы;

разработана схема вычисления двумерных сингулярных интегралов по криволинейной поверхности, сводящая их к регулярным двумерным и контурным.

2. Исследована возможность использования в качестве компенсирующих нагрузок распределенных нормальных и моментпых диполей:

исследованы поля напряжений и смещений при действии диполей первого порядка, распределенных в плоскости и пространстве. Установлено, что смещения изменяются скачками при переходе через нагруженный диполями фрагмент и что скачки смещении пропорциональны плотности диполя и точке перехода. Скачки напряжении пропорциональны первой производной плотности, а в случае криволинейного фрагмента зависят еще и от кривизны фрагмента;

исследованы ноля смещений и напряжений при действии диполей высших порядков; установлены закономерности, связывающие порядок диполей с разрывами смещений и напряжений;

на основании исследований сформулированы требования к выбору аппроксимирующих функций для диполей и для поверхности исследуемого тела. Установлено, что чем выше порядок диполей, тем выше должна быть степень используемых аппроксимирующих функций. Эти выводы были подтверждены численными экспериментами;

напряжения при действии диполей выражаются интегралами с ядрами, имеющими несуммируемую особенность; в диссертации предложен способ преобразования таких интегралов путем понижения особенности ядер к сингулярным, имеющим главное значение.

3. Предложен и развит метод решения задач для тел с разрезами, основанный на свойстве диполей создавать скачки смещений:

для реализации метода введены обобщенные нагрузки — такие сочетания диполей и сил, которые не дают скачков напряжений, входящих в граничные условия;

получены формулы напряжений и смещений при действии обобщенных нагрузок в плоскости и пространстве; 30

приведены соответствующие задачам для тел с разрезами интегроднффсренциальные сингулярные уравнения.

4. Разработан способ учета особенностей в углах и угловых линиях, а также в местах приложения сосредоточенных воздействий или резкого изменения граничных условий:

показано, что изменение компенсирующих нагрузок I! окрестности угловой точки определяется особенностью напряжений в этой точке; для основных случаев граничных условий вычислены корни трансцендентных уравнений, характеризующие сингулярность напряжений в угловых точках;

для учета особенностей в местах приложения сосредоточенных воздействий или резкого изменения граничных условий используются решения о силе на границе полуплоскости п полупространства; для учета особенностей на внутренних поверхностях многосвязных тел в эти решения введены ела-¡аемые, обеспечивающие однозначность смещений.

5. Предложен и реализован численный способ построения функций влияния для произвольных упругих тел. Показано применение функций влияния к решению конкретных задач.

6. Предложен простой приближенный способ расчета тел с отдельными армирующими элементами, позволяющий оцепить влияние арматурного элемента на перераспределение напряжении.

7. Предложен способ совместного использования прямого и непрямого методов граничных интегральных уравнений, в котором реализуются преимущества каждого из них: для решения задачи используется прямой метод, а наиболее трудоемкая часть — вычисление напряжении на поверхности п внутри тела — осуществляется по непрямому методу, т. с. по методу компенсирующих нагрузок. Для определения компенсирующих нагрузок решается вспомогательная задача для тела, дополняющего заданное до полного пространства (плоскости). Показано, как организовать вычисления, чтобы решение вспомогательной задачи не увеличивало трудозатрат.

8. Приведены и проанализированы результаты большого количества численных экспериментов:

решены тестовые и прикладные задачи для тел с гладкой и кусочно-гладкой границей, содержащей угловые точки и линии. В качестве компенсирующих нагрузок использовались несколько типов источников — силы в плоскости и пространстве, силы на границе полуплоскости и полупространства, диполи в плоскости. Показано, что сдвижка компенсирующих нагрузок от контура тела может приводить при гладких гра-

ничных условиях к значительному увеличению точности решения задачи. Улучшение результатов происходит также при повышении гладкости в аппроксимации контура тела и искомых плотностей;

исследовано влияние условий равновесия, вводимых на искомые плотности компенсирующих нагрузок, на точность решения задачи и на сходимость итерационных процессов;

для сходимости итерационных процессов при решении первой основной задачи используется либо симметризация задачи, если в качестве компенсирующих нагрузок применяются распределенные силы, либо распределенные диполи;

экспериментально подтверждена эффективность предложенного способа учета особенностей в угловых точках и и точках резкого изменения граничных условий во второй основной задаче;

полученные автором уравнения для расчета тел с разрезами используются для решения некоторых плоских и пространственных задач. Сравнение численных результатов с известными аналитическими решениями подтверждает работоспособность метода.

9. Выполнены исследования по распространению метода па расчет ортотропных плоских и трансверсально-изотрои-ных трехмерных тел:

исследованы поля напряжений и смещений в ортотропной плоскости и трансверсально-изотропном пространстве при действии распределенных сил; получены формулы скачков напряжений. Получены аналитические выражения напряжений и смещений в плоскости при действии сил, распределенных по отрезку прямой;

исследованы поля напряжений и смещений при действии распределенных диполей первого порядка; в случае криволинейной поверхности скачки напряжений зависят не только от кривизны поверхности в точке, но и от производной механических свойств, вычисленных в локальных координатах. Получены формулы напряжений и смещений при действии диполей в плоскости;

предложенный автором метод расчета тел с разрезами распространен на анизотропные тела; сформированы обобщенные нагрузки, получены необходимые интегродиффереи-циальные уравнения для криволинейного разреза в плоскости и плоского разреза в пространстве;

полученные формулы и уравнения использованы при численном решении некоторых плоских н пространственных 38

задач. Сопоставление численных результатов с известными аналитическими решениями подтвердило правильность результатов автора и работоспособность метода.

10. Разработанные предложения и программы используются в ряде научно-исследовательских организации. Документы, подтверждающие внедрение, прилагаются к диссертации.

Список опубликованных по теме диссертации работ

1. Александров А. Я., Зиновьев Б. И/. Одни метол расчета армированных тел // Механика деформируемого тела н насчет сооружений. Но-ьоепбпрск, 1972. С. 79—10!. (Тр. ПИПЖТп; Выи. 137).

2. Александров А. Я., Зиновьев Б. М. Приближенный метод решения плоских и пространственных задач теории упругости для тел с армирующими элементами и разрезами Ц Механика деформируемых тел и конструкции. М., 1975. С. 15—25.

3. Александров Д. #. Зиновьев Б. Л!. Численное решение задач теории упругости для тел с разрезами // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 197>8. Вып. 5. С. 89—97.

■1. Александров А. Я-, Зиновьев Б. Л!. Решение трехмерных прострап-0!пенных задач теории упругости путем численном реализации метода ип-ге; ра.н пых уравнении // Аналитические и численные исследования н механике горных пород: Сб. науч. тр.//Ин-т горного дела СО АН СССР. Новосибирск, 1981. С. 5-1—64.

5. Александров .4. Я., Зиновьев Б. ЛГ. О вычислении сингулярных ии-т< тралов при численном решении задач теории упругости метоцом граничных ин и гральных уравнений // Докл. ЛИ СССР. 1981. Т. 257, № 0. С. 1328- -1332.

О. Александров Л. Я. Зиновьев Б. Л1. О решении плоских и ¡¡рострпн-сненных задач теории упругости путем численной реализации метода пн-1'л ральных ураоненнй // Тез. докл. II псесоюл. конф. «Смешанные задачи механики деформируемого тела». Днепропетровск, 198!. С. 12.

7. Александров Л. Я., Зиновьев Б. Л Г, Кармшова Т. </>. Численная хализация интегральных уравнении при решении задач упругости для щилотрониых сплошных тел и тел с разрезами//Аналитические методы и применение ЭВМ в механике торных пород: Сб. науч. тр./Ии-т гормо-

о дела СО АН СССР. Новосибирск, 1982. С. 68—70.

8. Александров .1. Я., Зиновьев Б. Л/., Карманова Т. Ф. Численная к-алнзацпя метода интегральных уравнений при решении плоских задач еорип упругости для ортотрошшх сплошных тел и тел с разрезами // !зв. АН СССР. Механика твердого тела. 1983. Вып. С. С. 64—71.

9. Александров А. }!., Зиновьев Б. Л'/.. Киршин .7. М. Об одном чне-.ч'гшом методе решения задач теории упругости с учетом особенностей .апряжениого состояния вблизи угловых точек и линий // Изв. ЛИ СССР. Механика твердого тела. 1980. Вып. 3. С. 39—49.

10. Антонов II. П., Зиновьев Б. М. Точное и приближенное решение :адачи о действии распределенных нагрузок внутри упругих пространства : плоскости // Механика деформируемого тела и расчет транспортных ооружешн"]: Межвуз. сб. науч. тр. /ИИИЖТ. Новосибирск, 1978. Выи. 90/3. С. 68—80.

11. Власов А. Г., Зиновьев Б. М. Численное решение пространственных задач теории упругости для тел с разрезами // Тез докл. исесоюч. симпоз. «Метод дискретных особенностей н задачах математической физики®. Харьков, 1985. С. 26.

12. В.шсов Л. Г., Зиновьев Б. AÍ. Численное решение пространственных задач упругости для тел с трещинами /¡/ Тез. докл. V Всесоюз. конф. по статике и динамике пространственных конструкций. Киев, 11)85. С. .15—16.

13. Власов /1. /'., Зиновьев Б. М. Численное решение задач о напряженном состоянии вблизи плоских трещин нормального отрыва и сдвига//Изв. вузов. Строительство и архитектура. Новосибирск, 1987. ЛЬ 8. С. 41 —45.

14. Залесов Г. Ф„ Зиновьев Б. М. Исследование напряженного состояния прямоугольной призмы методом компенсирующих нагрузок // Механика деформируемого тела и расчет транспортных сооружений: Межвуз. сб. науч. тр. /НЙИЖТ. Новосибирск, 1986. С. 66—70.

15. Зиновьев Б. М. Один приближенный метод расчета тел с разрезами//Механика деформиоусмого тела и расчет сооружений. Ночоси-Гирек, 1972. С. 105—125. (Тр. НИИЖТа; Вьш. 137).

16. Зиновьев Б. AÍ. Напряжения и перемещения при действии равномерно распределенных нагрузок на упругие плоскость и полуплоскость, пространство и полупространство//Механика деформируемого тела п расист сооружений. Новосибирск, 1972. С. 243—203. (Тр, НИИЖТа: Бып. 137),

17. Зиновьев Б. М. Некоторые вопросы численного решения задач теории упругости // Механика деформируемого тела и расчет транспортных сооружений: Межвуз. сб. науч. тр. / НИИЖТ. Новосибирск, 1978. Вып. 190/3. С. 5G—67.

18. Зиновьев Б. М. Численный метод построения функции влияния и iiN применение к решению задач теории упругости//Сопротивление материалов и теория сооружений: Рссп. межвуз. науч.-техн. сб. Киев, 1980. Вып. 30. С. 122—I2G.

19. Зиновьев Г>. Л1. Прямой метод построения линии влияния в оержиспых статически неопределимых системах//Механика деформируемого тела и расчет транспоптных сооружений: Межв\'з. сб. науч. тр. I НИПЖТ. Новосибирск, 1980.'С. 95—97.

20. Зиновьев Б. Л1 Исследование скачков напряжений и смешений [ipil действии i! упругом изотропном пространстве распределенных днно-. :< и / Иовосиб. нн-т инженеров ж.-д. трапеп. Новосибирск, 1981. 11 с. Леи. в ВИНИТИ 26.06.81, Ло 3145/81.

21. Зиновьев Б. М. К вычислению напряжений и смещений при действии разрывных нагрузок / Новосиб. нн-т инженеров ж.-д. транеп. Новосибирск, 1982. 10 с. Деп. в ВИНИТИ 09.11.82, № 5526/82.

22. Зиновьев Б. М. Решение плоских задач теории упругости для тг.ч с криволинейными разрезами методом компенсирующих нагрузок / Новосиб. ин-т инженеров ж.-д. трансп. Новосибирск, 1983. 19 с. Деп. и ВИНИТИ 13.02.84, № 858/84.

23. Зиновьев Б. Al. Решение задач упругости для тел с криволинейными разрезами методом компенсирующих нагрузок//Прикладные проблемы прочности' и пластичности: Алгоритмизация и автоматизация решения задач упругости и пластичности. Горький, 1985. С. 33—40.

24. Зиновьев В. М. К решению пространственных задач упругости для тел с криволинейными разрезами / Иовосиб. ин-т инженеров ж.-д. трансп. Новосибирск, 1984. 28 с. Деп. в ВИНИТИ 18.03.85, № 2181/85.

25. Зиновьев Б. М. К решению задач упругости для плоских ьиизо-пропных тел с разрезами методом компенсирующих нагрузок / Новосиб. ин-т инженеров ж.-д. трансп. Новосибирск, 1986. 9 с. Деп. в ВИНИТИ 26.03.86, № 2006,86.

26. Зиновьев Б. М. Одна схема вычисления сингулярных интегралов при решении трехмерных задач упругости методом компенсирующих на-1 -¡узок / Новосчб. ин-т инженеров ж.-д. трансп. Новосибирск, 1987. 6 с. Деп. в ВИНИТИ 04.05.87, № 3149-В87.

27. Зиновьев Б. М„ Карманова Т. Ф. К учету особенностей при численном решении задач теории упругости // Механика деформируемого тела и расчет транспортных сооружений: Межвуз. сб. науч. тр. / НИИЖТ. Новосибирск, 1978. Выл. 190/3. С. 51—58.

28. Зиновьев Б. М„ Карманова Т. Ф. К вопросу о численном решг-нчи задач теории упругости с учетом особенностей напряжений // Сопротивление материалов и теория сооружений: Респ. сб. науч. тр. Киев, 1981. Вып. 38. С. 109—113.

29. Зиновьев Б. М., Карманова Т. Ф. Вычисление скачкоз напряжений в трансверсально-изотропном упругом пространстве при действии распределенных сил / Новосиб. ин-т инженеров ж.-д. трансп. Новосибирск, 1981. 7 с. Деп. в ВИНИТИ 01.12.81, № 5132/81.

30. Зиновьев Б. М., Карманова Т. Ф. Численное решение плоски* задач теории упруюсги для ортотропных тел / Новосиб. ич-т инженеров ж.-д. тпалеп. Новосибирск, 1981. 24 с. Деп. з ЗИПИТИ 04.06.81, Л» 2722/81.

31. Зиновьев Б. М., Карманова Т. Ф. Скачки напряжений при действии непрерывно распределенных сил в ортотропной плоскости // Механика деформируемого тела и расчет транспортных сооружений: Межвуз. сб. и.'лч. тр./НИИЖТ. Новосибирск, 1982. С. 45—48.

32. Зиновьев Б. М., Карманова Т. Ф. К решению пространственных задач теории упругости анизотропного тела методом А. Я. Александрова//Механика деформируемого тела и расчет транспортных сооружении. Межвуз. сб. науч. тр. / НИИЖТ. Новосибирск. 1984. С. 20—24.

33. Зиновьев Б. М., Карманова Т. Ф. Скачки смещений и напряже-и"й при действии диполей внутри линейно-анизотропного пространства / Г'восиб. ин-т инженеров ж.-д. транса. Новосибирск, 1985. 8 с. Деп. н ВИНИТИ 26.08.85. № 6300/85.

34. Зиновьев Б. М., Крахмаль Г. А. О погрешностях, связанных с заменой раеппеделепной нагрузки сосредоточенными силами, при расчете

ироваи'.'ых тел // Механика дефоомипуемого тела и расчет соопуже-п;и. Новосибирск, 1975. С. 129—136 (Тр. НИИЖТа; Вып. 167).

35. Зиновьев Б. М.. Трофимова Э. П. О приближенном вычислении напряжений и смещений при действии распределенных нагрузок внутри упругого пространства //Механика деформируемое тела и расчет транспортных сооружений: Меж.зуз. сб. науч. тр. / НИИЖТ. Новосибирск, 1980. С. 75—83.

36. Зиновьев Б. ЛГ, Холяянский М. Л. К вычислению напряжений при решении задач теории упругости прямым методом граничных интегральных уравнений // Изв. вузов. Строительств и архитектура. Новосибирск, 1987. № 10. С. 28—32. '

Сдано в набор 20.04.8;' г. Подписажэ в печать 11.05.89 г. Формат 60х84'/]в- Заказ 334. 2,5 печ. л., 2 уч.-изд. л. Тираж 100.

МН01229.

Тип. НИИЖТа. Новосибирск-23, ул. Дуси Ковальчук, 191,