Развитие возмущения в тонкой пленке при больших числах Рейнольдса тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ



РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Д. , <.'О ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР .

'V 4 АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ И СЕЙСМОСТОЖОСТЙ СООРУЖШ им. М.Т.УРАЗБАЕВА

На правах рукописи БАГБЕКОВ Ринат Каримович

РАЗВИТИЕ ВОЗМУЩЕНИИ В ТОНКОЗ ПЛШНВ ПРИ БОЛЫШХ ЧИСЛАХ РИШОЛЬДЕА

(01.02.05 - Механика жидкости, газа и вяазмы)

Автореферат

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА-1993

Работа вишнева в Вычислительном центре Академик Наук России и институте механики и сейсмостойкости сооружений Академии Наук Республики Узбекистан.

Научный руководитель:

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация

доктор физико-математических парс, профессор Махмудов A.A.

»

доктор физико-математических наук Терентьев Е.Д.

доктор физико-математических наук Рубан А.И.

кандидат физико-математических наук Чернншеако С.И.

Центральный Институт Авиационного Моторостроение т. Баранова П.И.

Защита состоится " 4 4 " Л^^ft-jL^тUL 1993 г. в часов

на заседании Специализированного совета Д002.32.01 в Вычислительном центре РАН по адресу: г. Москва, 117967, ГСП-1, ул. Вавилова, 40 (конфзренц-зал).

С диссертацией вшо ознакомиться в библиотеке Математического института РАН (ул. Вавилова, 42)

Автореферат разослан "40" уъ&рлЖЛ 1993 г.

Ученый секретаре СпеииализироЕЗЕногс совета Д002.32.01 доктор фяз.-ь-ат. наук

Е.Л.Терентьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

. .. Актуальность теш. Классическая теория пограничного слоя при больших числах Рейнольдса (Я) несправедлива в локальных областях, где имеются большие градиенты давления. В таких случаях обычно вводят уравнения пограничного слоя с взаимодействием. Эта теория позволяет описать явления ламинарно - турбулентного перехода и отрыв штока.

При большой амплитуде вносимых возмущений необходимо привлечь четырехпалубнув теорию, которая позволяет описать сильнонелинейные процессы, вплоть до появления сингулярных структур в пограничном слое. Согласно этой теории в основной толще пограничного слоя течение не зависит от поперечной координаты и описывается нелинейными одномерными уравнениями. Вязкие эффекты проявляются лишь в тонкой пристеночной части пограничного слоя, где течение описывается классически?.! уравнением пограничного слоя с заданным градиентом давления. Вопрос влияния эффектов вязкости на структуру течения до сих пор остается малоизученным.

Целью настоящей работы является изучение распространения возмущений малой амплитуды (в рамках линеаризованного уравнения пограничного слоя с взаимодействием) и возмущений большой

амплитуды (в нелинейной постановке) в задаче о течении слоя тяжелой вязкой жидкости по наклонной плоскости при Я - ю.

Новизна результатов. Построено приближенное аналитическое решение задачи о распространении возмущений малой амплитуды в пограничном слое с взаимодействием (с самоиндуцированным давлением) при Д со. Численно построены рекения задачи об обтекании неровностей в рамках теории нестационарного пограничного слоя с самоиндуцированным давлением. Численно определено влияние вязкого подслоя на невязкое течение в рамках четырехпалубной теории.

Научная и практическая ценность. Полученные результаты позволили проанализировать развитие возмущений свободной поверхности в задаче о течении слоя тяжелой вязкой жидкости по наклонной плоскости. Создан алгоритм численного расчета задач, в решениях которых могут возникать локальные особенности. Результаты численных исследований дают представление о влиянии вязкого

подслоя на осцоЕну» тол&у пограничного слоя и определяют границы применимости четкрехпалубшй теории.

Апробация работа. Основные результаты диссертации докладывались на VI Международной школе-семинаре "Современные проблемы механики жидкости к газа" (октябрь, 1992г. Самарканд!, на семинарах. ( Институт мэханти КГУ, декабрь 1992г.; отд. Механики, Вычислительный Центр РАН, январь 1993; Институт Механики и сейсмостойкости сооружений Акадкадемии Наук Узбекистана, январь 1993г.), 2 работы опубликованы и одна работа находится б печати.

Структура и объем, диссертация состоят из введение, двух глав, замечания, заключений, списка использованной литературы и иллюстраций. Полный обьеи - НО стр., библиография 45 источников и 47 иллюстраций.

СОДЕРШШЕ РАБОТЫ

Во введении проведен краткий обзор работ по развитей возмущений в пограничных слоях., сформулирована цель исследований и дано краткое содержание диссертации.

Первая глава диссертации посвдщепэ асимптотическому анализу течения вязкой зидкости со свободной поверхности).

Пусть по наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонталью, под действием силы тяжести стекает слой пэгаимаомой вязкой жидкости. Невозмущенное движением будем считать установившимся со скоростью, параллельной наклонной плоскости. В качестве коэффициентов обезразмеривания выберем: « -скорость жидкости на свободной поверхности, Н0~ ьнсота ело?, жвдноста, р0 - плотность жидкости. Еыберем декартову систему координат с осью х, направленной параллельно наклонной плоскости, у' - вглубь жидкости от невозмущенной свободной поверхности. В качестве исходных используем уравнения Кавье-Стокса. Число Рейнольдса Я= 2и0Н0/3'1>, где V - коэффициент кинематической вязкости.

На слабо возмущенной наклонной плоскости у' =у зададим условия прилипания

и'= V и'= • (I)

где и' ,и'- составляющие вектора скорости вдоль осей х и у; и , - составляющие скорости поверхности наклонной плоскости У'=У •

На возмущенной свободной поверхности у = т> зададим равенства

нулю нормальных и касательных напрянений

ди' 4 ,д\)' д2!}

— + -= о, -Р + - Я-'-+ —^ = 0 . (2)

ду' дх 3 ду' дг

(где 3^- безразмерный коэффициент поверхностного натяжения) и кинематическое условие

971 От)

— + и'— =и'. (3)

дХ дх

Основное невозмущенное течение

"в(У> = 1 - У'2, 4

ре(у) = — . (4)

Введем малый параметр в = Я-'^7 и проведем асимптотический анализ поставленной задачи. В результате этого анализа получается, что поле течения разбивается на четыре характерные области, расположенные одна над другой. Характерные безразмерные толщины областей задаются с помогаю степеней е. В верхней - первой области, примыкающей к свободной поверхности с толщиной е3, возмущения имеют вязкую природу, хотя и описываются линейными уравнениями. Под первой расположена вторая область с толстой е2, где возмущения описываются линейными невязкши уравнениями. Третья область - ядро потока, расположена под второй, ее толщина - 0(1). Возмущения в ней описываются линейными невязкими уравнениями. И, наконец, нижняя - четвертая область, прилегающая к -наклонной плокости, является пограничным слоем с самоиндуцированшм давлением. Интегрирование уравнений в первых трех областях ( что было возможно из-за линейности определящих уравнений) и сращивание решений позволили поставить задачу для -четвертой области в переменных пограничного слоя ( х=х , у'=1-£2у)

ди <Зо дР

---= О , — = О, (5)

дх ду йу

ди ди ди дР 2 а2и

дг дх ду дх 3 ду2

с условиями при у - со

и £ 2у - 2Л,

Ё5

дх2

и условиями на обтекаемой поверхности /

и = V » = V гда У = Уш' (7)

- форма обтекаемого профиля, и начальное условие

и = и0(1,у) при 1 = 0 (8)

В отличив от классической постановки для пограничного слоя давление Р- не считается заданной функцией, а должно быть найдено в процессе решения задачи из предельного условия (6). С помощью описанной теории рассматривается задача с заданным отклонением свободной поверхности при 1 = 0

Т} = 52Дх), Х{х) - 0, если х ~ (9)

Если /(х) предполокить малой по сравнению с "единицей, то задача допускает линеаризацию. Пусть

/(х) = в/((х), где б « I, /,(х) ~ 0(1).

В таком случае допускается следующее разложение

и = 2у + Си'(г,х,у) + ...

и = бУ(1,х„у) + ... (Ю)

Р = б Р-и.х.у) + ... Подстановка (10) в (5) дает

(3и'- п ар- п

Эх 9у "» Зу = 0

аи'. ?„аи' дР'. г оги'

(II)

ду

Заданные в начальна момент (1=0) отклонения свободной поверхности в виде (9) передаются в область 4, согласно асимптотической структуре течения, как начальное условие для (II). Значит, условие (8) приобретает конкретный вид

г 0 при у - О и'(х,у)= - в(у) 2Д(х), где ё(у) = ^ -(12)

° ' (.1 при У СО

0 при у - О

1 при У - СО

Для этого случая задано условие прилипанил (7) в виде

и'= О, и'= О щи у = 0- (13)

При решении задач (II), (12), (13) и (о) использовано интегральные преобразования Фуръе по х и Лапласа по 1

о го

[й(ш,й,у),й(ш,й,у),р(й,ш) ]= | е-**гаг | е^т',Р' (14)

-00

Применение (14) к (II) дает систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка по у.

Решением краевой задачи является

(3 {й)'^

и = А0 | АЦг1)бг1 + В0| 3£(з,)й2; + й., О = —2-3о?'

ЯП

г = (ЗСгг) г/3у - О, где й - частное решение неоднородного уравнения Зйри. Постоянные А0 и В0 определяются по условиям (13), (12), (6). Давление не зависит от г

р(ш, й) = 1% - 8/15)2г С(П, к)/4ЯШ, й) (15)

где С(П,й) и Я(П,й) имит вид

3и(3£й)'/3 ¿ВЦП) ю ®

Ш

0 =---,С(П, к) =-;— ^ АЦг) г)сЗг £ АЦг) вг -

сШ(П) юг ю со

- ^ (^АЦг)Ог )Р(й,г, )£&,+ Ц}Цг)аг [АЦг^РЩ.

(Ш(Ш 5_-8/15 _ . со

Я(Й, й) = -+ -2^(3{й)'/3 г Р(к,г)=дип/дг

(£1 4 6

Для вычисления оригинала (í - ю) применена теорема вычетов и метод перевала." Обратный переход на физическую плоскость произведен по формуле

СО -1+100

?< к,г) = —| «к | е'*"^4 р«г,и) (16)

-со

где 1 -постаянная величина. Полюса подынтегральной функции Р(й,и) совпадают с корнями дисперсионного соотношения для задачи на собственные колебания

№,&) = 0. (IV)

При действктельннх Р. все особенности р(£,«) в плоскости и сводятся и счэтшму числу полюсов, первого порядка. При больших временах главным будет первый корень (17), а сумма вкладов остальных оценивается как О^-7). Второй интеграл вычисляется с помощью метода перевала. Для этого необходимо найти стационарные точки Функции

Ф = т + шг(&),у=х/г (ш;(й) - первый корень дасперсионнсго соотношения). Они определяются по формуле

§ = ¿7 + ^.=0. (18)

Произведенный расчет показал, что длй любого значения У уравнение (18) вмеет счетов множество корней.При непрерывном изменении 7 из них выходит счетное множество траекторий. На всах траекториях, кроме двух (они показаны на рпс.Т), Яе(ср) оказывается отрицательной, поэтому на них решение стремится к нулю по экспоненциальному закону.

Для конкретных вычислений необходимо задать начальные условия (12) при 1=0. В качестве примера зададим

и0(х,у) = (I - е~у) еар(-(х-0,5)г) (19)

Если найти фурье образ й0№,у) и подставить в (15), то подынтегральная функция полностью определена и можно вычислить давление Р' (хуг) по формуле

Р' (г, х)

г/з

У

У(йз,9з, X, X) (20)

,9 = Яе ^—^-—---- I ,

а 5 I 4ИП(з)[ы,(йз) - (5Г-8/15)^ /21 J

где йа=Аа;(7) при 70<7<7?, й3=йз2(У) ^ 7>71'

&з)- точка перевала первого семейства, кдг~ второго, 9д- угол

между осью х и путем интегрирования, 7о=1,07 и 7;=4,71.

Вычисление возмущения давления было проведено по

формулам (20) соответственно для значения параметра Зг=0,1; при *=10 и 15. Поскольку функции Яеср(й рГ),\Г>, и Яеф(йз2(7),7) достигают максимумов соответственно при 7=7^=2,38 и 7=7^=5,20 (рис.2), то для болыдих X на графиках давления будут иметь место два волновых пакета. Так как

^К,^-7^ > Я» Ф»,^).^).

то на графиках нз виден второй волновой пакет, (рис.3).

Вычисления давления показали, что в окрестности максимума возмущений, движущегося с групповой скоростью 7т1= 2.38, сосредоточены волны, отвечающие максимальному инкременту нарастания по времени длинноволновых возмущений, предсказываемых классической теорией устойчивости.

Вторая глава посвящена изучению в рамках нестационарной теории пограничного слоя (с помощью численных методов) нелинейных процессов, происходящих в тонкой пленке .В §1 дан краткий обзор численных схем и описана конечно-разностная схема с искусственной вязкостью. В §2 даны результаты тестовых расчетов для проверки схемы. Проверка работоспособности алгоритма была проведена расчетом задачи об образовании рециркуляционных зон в сверхзвуковом потоке при падении на стенку слабого скачка уплотнения и его отражения. Кроме того, предлагаемый алгоритм был проверен на расчете классического пограничного слоя с нулевым градиентом давления (моделировалась задача о разигпш пограничного слоя на плоской пластинке). В результате расчетов было установлено, что автомодельное решение Блазиуса вырабатывается довольно быстро и с

хорошей точностью {«<3,5%).

В §3 решается задача об обтекании неровности в рамках теории пограничного слоя с самоандуиированнкм давлением. Прозедекн расчеты в переменных Прандтля, отвечающие градиенту давления вида

На рис.4-5 изображена получающаяся картина течения в виде изолинии функции тока ф. Место расположения возмущения отмечено вертикальной стрелкой. Расчеты проведена на сетке 60«40 с пагами 6x^0,50 и еу=0,50, с=60. На рис.4 (Г=1,43> изолинии тока ф обладают резкими, обращенными навстречу потоку фронтами и более пологими стационарная! участкагли, примыкающими к месту присоединения их к стенка. Размер отрывной зоны увеличивается со временем. К моменту 1=7,38 она приобретает ьпд, изображенный на рис.5. Из рисунка видно, что кроме количественных изменений в структуре течения происходят и качественные. Внутри отрывной зоны появляются два экстремума, которые со временем сливаются в один. В дальнейшем происходят колебательные процессы внутри отрывной зоны. В этих расчетах стационарная картина течений не достигается, но не исключается возможность установления стационарных режимов при больших временах расчета.

Численно проанализировано влияние вязкости на структуру течения. Расчета при различных значениях коэффицента вязкости г> показывают, что увеличение V приводит к стабилизации отрывной зоны около места, внесения возмущений и, б конечном итоге, к возникновению стационарных зон отрыва. С другой стороны, при уменьшении г» теченге переходит к незязкому режиму (г> - О), для описания которого достаточно решения уравнения йЗР с соответствующими начальными Е граничными условиями. В варианте с V = 0,1 (рис.ба.бв) роль вязкости незначительна л нестационарные образования, распространящиеся вверх по потоку, образуют рециркуляционную зону (ркс.бв) со сложной внутренней структурой. Эта картина качественно совпадзет с решением уравнения ЕсР с локальным источником, где такие формы рециркуляционных зон ассоциируются с цепочкой • плохо разделенных солитонов, распространяющихся вверх по потоку. На рис.бв толщина вязкой области

очень невелика л занимает всего несколько расчетных точек по поперечному направлению у. Вычислительные возможности не позволяют числёнко исследовать совокупно невязкую область и существенно вязкий подслой около стенки. Поэтому можно рассмотреть задачу в следующей упрощенной постановке: вязкая область анализируется отдельно в приближении пограничного слоя с заданным распределением градиента давления, отвечающим, например, точному решению невязкой задачи (солитонному решению ШР).

§4 посвящен детальному анализу решений с сикгулярностями. Численным методой рассмотрена задача о структуре пограничного слоя, яцдуцируемого проходящим вихрем над пластинкой. Использована система уравнений классического пограничного слоя Прандтля (в безразмерных переменных)

ди ди ди ди дги

— + и— + V— = и — + —?

дг ах ду бх ду

ди ди

— + — = 0.

дх бу

Течение исследуется з системе коорданат, связанной с движущимся вихрем, распространяющимся с единичной скоростью. В этой системе отсчета стенка двинется со скоростью -I влево, а скорость на верхней границе пограничного слоя дается выражением:

4

иот(х) = - 1 + ие(х)„ ие(х) = р— .

Центр вихря располокен в Другие граничные условия: и=-1, и=0 при у= 0; и - ит(х) при у - ю. В начальный момент и(х,у,0)=иш(.г), и(х,у,0)= 0. Сравнение результатов, полученных при расчетах, показывают хорошую воспроизводимость результатов работы (13. Это дает основание для дальнейшего применения используемой схемы в расчетах однотипных задач об отрыве пограничного слоя под действитем внешних возмущений.

При определенных масштабах возмущений возможна постановка задачи, описанной в предыдущем параграфе, но с другой формой и^, следующей из решения уравнения Кортевега-де Вриза. В §5 разобрана задача, с иа[х) соответствующим солитонному решению с значением скорости распространения I, т.е. в системе координат, движущейся

вместе с солитоном

V*)- 1 + "е(Х) Це(Х>=---

2 + е~х + е х

Во все! расчетных вариантах Ох = 0,083; 8у = 0,25, число точек по х- 120, по у- 40. Краевые и начальные условия такие же, как в § 4. На рис.7 изображена соответствующая картина линий тока. Качественное развитие течения очень сходно с картиной течения с вихрем (§4).

Итак, решения пограничного слоя, возбуждаемого распределением давления соответствующим солитонному режиму, в некоторый момент времени выходят на режим с сингулярностью. Сингулярность носит локальный характер и может быть устранена использованием других моделей. В других областях решение, полученное численным путем, регулярно.

Остановимся на основных результатах второй главы. Проведены конкретные расчеты по предложенной ранее численной схеме для уравнений пограничного слоя с заданным распределением давления и самоиндуцированным давлением. Для классического пограничного слоя проанализирован случай обтекания бесконечной пластинки и пластинки конечного размера. В обоих случаях схема правильно передает области сингулярных решений на пэредней и задней кромке, с хорошей точностью выходит на автомодельное решение Блазиуса. Испытаны некоторые модификации алгоритма, касающиеся части вычисления уравнения неразрывности. Указанная схема обладает рядом преимуществ перед употребляемыми ранее. Она позволяет проведение сквозного счета сингулярных областей, что продемонстрировано при исследовании задачи об отрыве пограничного слоя индуцируемого вихрем [I]. Полученные результаты дают основания для дальнейшего использования данной схемы для решения однотипных задач об отрыве пограничного слоя под действитем солитонного возмущения.

Основные результаты, вшгосииые на защиту.

1. Построено аналитическое решение линеаризованной задачи Коки для пограничного слоя с самоиндуцированным давлением в слое тяжелой вязкой жидкости, стекающей по наклонной плоскости. Показано, что возмущения принимают фор:дн волновых пакетов, распространяюадахся ениз по потоку.

2. Численными методами решена нелинейная задача об обтекании локальных неровностей в рамках нестационарного пограничного слоя с самоиндуцированным давлением. Проанализировано влияние вязкости на структуру течения, выяснено что при больших вязкостях отрывная зона имеет стационарную форму, а при малых вязкостях отрывная зона течения начинает расти зиерх по потоку, приобретая сложную форму.

3. В рамках четырехпалубной модели решена задача о структуре вязкого пристеночного подслоя, образующегося под действием содитона КОТ, двшаущэгося по поверхности пленки. Найдено, что решения пограничного слоя выходят на режим с сингулярности.

Публикации по тема диссертации

1. Р.К.Багбеков, Е.Д.Терентьев. Об одной начальной задаче для тяжелой вязкой жидкости, стекапцей по наклонной плоскости// Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1991. $ 5. стр.90-98.

2. Р.К.Багбеков, А.А.Махмудов. Развитие сильно-нелинейных возмущений при решении задач пограничного слоя с самоиндуцированным давлением// Тезисы докл. VI Международной жколы-семинара "Современные проблемы механики жидкости и газа", Самарканд, 26-30 октября 1992. с.17.

3. Р.К.Багбеков, С.П.Попов. Нестационарный отрыв пограничного слоя с неблагоприятным градиентом давления // Препринт ВЦ РАН, принято в печать.

ЛИТЕРАТУРА

I. Perldler V.J., Smith F.T., Walker J.D. Vortex-Induced boundary-layer separation. Part 1. The unsteady limit problem R - oo // J.Fluid. Mech., 1991, v.232. p.99-132.

ay' Г\' ____ 2 I

/ с Y, / /

/

10 К Ii Re k

рис.1

Pue. 3

Подписано к печати

Отпечатано на ротапринте в Формат бумаги 30x4274 Производственном комбинате Объем&Гп.л. Литературного фонда Зак. /л/ Тир. 100