Реализация связей и предельные модели в механике тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.Ломоносова

механико-математический факультет

На правах рукописи ДЕРЯБИН Михаил Владимирович

УДК 531.01

РЕАЛИЗАЦИЯ СВЯЗЕЙ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ МОДЕЛИ В МЕХАНИКЕ

01.02.01. - теоретическая механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2004 год

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

А.И.Нейштадт,

доктор физико-математических наук, профессор С.Д.Фурта, доктор физико-математических наук, профессор А.В.Болсинов.

Ведущая организация - Институт проблем механики РАН.

Защита диссертации состоится 22 октября 2004 года в 16 часов на заседании диссертационного совета Д.501.001.22 по механике при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ, ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в зале библиотеки механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан 21 сентября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.22 при МГУ, доцент В.А.Прошкин

4с №

216/1^2

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Определение движения систем с идеальными связями - это одна из основных независимых аксиом механики (хотя периодически предпринимаются попытки вывести, скажем, принцип Даламбера-Лагранжа из законов Ньютона). Здесь ситуация в чем-то напоминает геометрию Евклида с его пятым постулатом о параллельных прямых. Проводя дальше эту аналогию, с полным правом можно считать, что геометрии Лобачевского в механике соответствует вакономная динамика, развитая В.В.Козловым: при описании движения механических систем с неинтегри-руемыми связями принцип Даламбера-Лагранжа заменяется на вариационный принцип Гамильтона. В результате получаются новые динамические системы, которые не совпадают с классическими неголономными моделями.

Для обоснования динамики систем со связями обычно используется классический формально-аксиоматический метод. Однако любые модели механики, в том числе и классические тоже, нуждаются в обосновании. Под обоснованием понимается указание границ применимости тех или иных моделей. И здесь естественным является т.н. конструктивный метод обоснования систем со связями, который был намечен в первой четверти XX века в работах Клейна, Прандтля, Лекорню и Пфейфера, в связи с анализом парадоксов "сухого трения", указанных Пэнлеве. Идея метода в том, что вместо системы со связью предлагается рассмотреть свободную систему, на которую действуют дополнительные силы, или, в более общем случае, систему, движущуюся в вязко-упругой среде (что соответствует физическим представлениям о природе связи), а затем перейти к пределу, устремив коэффициенты жесткости, вязкости и т.д. к бесконечности. Если предел существует,

РОС >1 , '

ь

НАЛЬНАЯ

•! КА

шби

то предельная система объявляется системой со связью. Т.о. конкретная механическая модель должна выбираться исходя из физических параметров задачи.

Конструктивный подход в основном (за исключением упомянутой нами вакономной механики, а также некоторых "промежуточных" моделей), применялся только для обоснования динамики систем со связями и исследования классических моделей динамики. Однако с нашей точки зрения, настоящая сила конструктивного подхода проявилась, когда стало понятно, что на его основе можно создавать новые осмысленные неклассические системы.

Цель работы. Настоящая диссертация посвящена созданию и изучению "предельных" неклассических механических систем на основе конструктивного подхода к обоснованию динамики систем со связями, их связи с "допредельными" системами, а также развитию методов для изучения таких систем. Мы также рассматриваем смежные задачи, в которых естественным образом применяются наши предельные системы. Подобного систематического изучения предельных систем ранее не предпринималось.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.

1. Сформулированы и доказаны теоремы о реализации односторонней го-лономной идеальной связи упругими силами в наиболее сложном случае "касательного" удара и без предположения о потенциальности силового поля. Исследована задача о реализации связей малыми массами и о гамильтон-вом формализме Дирака со связями. С ее помощью получены уточненные оценки для движения "свободной" системы.

2. Рассмотрен общий случай реализации односторонней голономной свя-

зи, когда полупространство связи заменяется вязко-упругой средой Кель-вина-Фойхта, а затем коэффициеты жесткости, вязкости и присоединенные массы согласованным образом устремляются к бесконечности. Доказаны теоремы о предельном переходе. Исследован эффект запаздывания схода со связи.

3. Доказано ветвление решений и, как следствие, отсутствие алгебраической интегрируемости уравнений движения тяжелого симметричного тела в идеальной жидкости. Найдена асимптотика решений уравнения Чаплыгина при £ —► оо. Обнаружен и исследован эффект "выныривания". Решена задача, поставленная В.А.Стекловым, об устойчивости направления оси вращений тяжелого твердого тела с винтовой симметрией, которое падает в идеальной жидкости.

4. Показано, что свойства динамики твердого тела в жидкости (отсутствие полиномиальных интегралов, ветвление решений на комплексной плоскости, асимптотические свойства решений и т.д.) практически без изменений переносятся на соответствующую предельную вакономную систему. Наоборот, "парадоксальные" свойства вакономных систем, как, например, эффект "выныривания", переносятся на тяжелое твердое тело в жидкости.

5. Рассмотрена задача о качении симметричного шара по поверхности без проскальзывания, ее предельный случай, когда радиус шара стремится к нулю, и "частица со спином" как обобщение предельного случая. Доказано, что во всех этих задачах сохраняется гладкая инвариантная мера, найден ее явный вид. Рассмотрены 3-х мерный и общий п-мерный случаи. Доказаны общие теоремы о существовании инвариантной меры в "гамильтоновых" системах с почти-Пуассоновой структурой.

6. При помощи метода присоединенных масс для класса механических

систем с сервосвязями получен критерий лагранжевости системы на поверхности связи.

7. В общем виде построена редукция на произвольную группу Ли, в том числе бесконечномерную, и не обязательно являющеюся банаховым многообразием, геодезического потока односторонне-инвариантных метрик. Найдено редуцированное векторное поле, а также его "поля симметрии": лево-или правоинвариантные поля на группе, коммутирующие с редуцированным векторным полем. Построена редукция на группу для п-мерного волчка Эйлера.

8. Построена редукция уравнений течения идеальной несжимаемой жидкости по римановым многообразиям и их обобщений на соответствующие группы Ли. Найдены "поля симметрии". Доказана интегрируемость систем гидродинамического типа, которые описывают инвариантное многообразие гамильтоновых систем с полутора степенями свободы вида полинома по импульсам.

9. Проведено сравнение механизмов ускорения частиц в обобщениях модели Ферми-Улама. Закон отражения от стенок - классический упругий и "обобщенный"; оба случая рассматриваются в рамках ньютоновой механики и релятивистской механики. Описаны аттракторы в обобщенных биллиардах. Доказаны общие теоремы о "сходимости в среднем".

Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты позволяют обосновать применение тех или иных моделей в различных задачах и оценить качественное поведение систем. Кроме этого, результаты глав 3 и 4 могут оказаться полезными для изучения систем на некомпактных фазовых пространствах, описываемых уравне-

ниями Пуанкаре (устойчивость, интегрируемость и т.д.), а результаты глав б и 7 - в гидродинамике идеальной жидкости.

Апробация работы. Результаты работы докладывались: на Чебышев-ских чтениях и Ломоносовской конференции (Москва), на конференции Колмогоров и современная математика (Москва), на конференции SIAM (Utah, США), на симпозиуме DCAMM (Orenasslott, Швеция); на семинаре по дифференциальным уравнениям и приложениям, NTNU, (Трондхайм, Норвегия); на научных семинарах кафедры Теоретической механики и ме-хатроники Мех-мата МГУ под руководством В.В.Козлова, Д.В.Трещева и С.В.Болотина, В.В.Белецкого и Ю.Ф.Голубева, В.В.Румянцева, В.В.Белецкого и А.В.Карапетяна; на семинаре по динамическим системам под руководством Я Г.Синая; на семинаре по дифференциальной геометрии и приложениям под руководством А.Т.Фоменко.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, перечисленных в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 204 страницах и состоит из введения, семи глав, дополнения и списка литературы (174 наименования).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1 посвящена изучению задачи о реализации односторонних голо-номных идеальных связей упругими силами. Рассматривается наиболее сложный случай, когда в начальный момент система находится на поверхности связи и движется по связи какое-то время, а затем сходит со связи.

Первая масть главы носит методический характер: проводится сравнительный анализ различных условий схода со связи Показано, что если в соответствующей задаче с двусторонней связью реакция связи имеет простой нуль, а также если система - аналитическая, то все эти условия всегда эквивалентны. Далее мы доказываем теоремы о существовании предельного движения, и об оценках для "допредельних" систем, когда коэффициент жесткости N стремится к бесконечности. Основной результат можно сфор-мулровать таким образом.

Пусть r(t), 0 <t<T- движение классической системы с односторонней голономной связью, и пусть гдг(4) - движение "свободной" системы с начальными условиями Глг(О) = г(0), глг(О) = г(0). Предположим, что в момент времени тст Е [О, Т] реакция связи в соответствующей задаче с двусторонней связью имеет простой нуль. Тогда существует 5 > 0, не зависящий от N, т.ч. при достаточно большом iVH0<i<rCT + 5 движение определено и выполняются равенства

rN(t) = r(t) + 0(N~1/2), fjv(t) = r(i) + 0{N~1'2)

Далее рассматривается задача Дирака о гамильтоновом формализме со связями и реализации связей малыми массами, и с ее помощью выводятся уточненные оценки движения системы под действием большой возвращающей упругой силы.

Задача Дирака заключается в исследовании гамильтоновой системы, ограниченной на подмногообразие исходного симплектического многообразия, которое строится следующим образом. Пусть и2 - ограничение симплекти-ческой 2-формы Q2 на наше подмногообразие, a F - ограничение гамильто-

ниана на то же подмногообразие. Тогда движение задается условием

Системы Дирака со связью можно реализовывать малыми массами. Задача о реализации связей малыми массами сводится к анализу гамильтоновой системы на многообразии размерности 2п с гамильтонианом

Я = Но(р, я, Я) + Р2/2е + еЯх(р, д, <2, е)

где б > 0 - малый параметр. Здесь Но невырожден по импульсам р, а £ К2"-2. Мы показываем, что формальные решения в виде рядов по параметру е являются асимптотическими, и при е —> 0 движение системы с малыми массами стремится к движению системы Дирака со связью Р = О на любом конечном интервале времени £ € [О, Т]. Из анализа таких систем, в частности, следует, что при реализации односторонних связей при надлежащем выборе начальных условий "свободной" системы из Х/Ы - окрестности начальных условий соответствующей системы с односторонней связью можно уточнить указанные выше оценки. Пусть система с односторонней связью движется по связи, и при этом реакция не обращается в нуль. Тогда правильным выбором начальных условий на любом заранее фиксированном интервале времени амплитуду осцилляций можно сделать величиной порядка

(вместо \/у/ТГ) при достаточно больших значениях параметра N. При этом скорость "свободной" системы будет отличаться от скорости системы со связью на величину порядка 1 /И.

В главе 2 мы рассматриваем ту же задачу для систем с односторонними голономными связями, что и в первой главе - в начальный момент система находится на поверхности связи и движется по связи какое-то время, а затем сходит со связи, но теперь связь реализуется вязко-упругой средой

Кельвина-Фойхта.

Пусть односторонняя связь задается неравенством /(х) > 0. Упругие свойства среды задаются потенциальной энергией Ум = 7^/2/2, а вязкость - диссипативной функцией Релея

= т-^'

где N - большой положительный параметр. Эффект присоединенных масс моделируется изменением инерционных свойств системы: кинетическая энергия заменяется энергией

т

Т„ = Т + -(-х).

Константы а, (3,7 неотрицательны. Рассмотрим вспомогательное уравнение второго порядка

аг + /Зг + 72 = -А(г) где Л - множитель Лагранжа при движении системы по поверхности связи. Теорема. Пусть т - первый простой нуль функции г(Ь) и А (г) < 0. Тогда предельное движение при N оо существует в интервале 0 < t < т + 5 для некоторого 5 > 0 (не зависящего от Ы), причем на интервале времени 0 < 4 < т предельная система движется по связи и в момент времени т сходит со связи.

Так как эта модель зависит от параметров а, /? и 7, то ее можно назвать (а, /?, 7)-моделью. Случай реализации связи упругими силами, изученный в главе 1, - это (0,0,1)-модель в новой терминологии.

Отметим, что случаи а ф 0 и а = 0 отличаются принципиальным образом и изучаются отдельно.

Для каждой из (а, /?,7)-систем движение по связи происходит одинаково, а отличие состоит в моменте схода со связи. Возникает эффект затягивания

схода со связи, который подробно изучается. Например, в (0,1,0)-модели, т.е., когда связь реализована только вязким трением, предельная система сходит со связи, когда в нуль обращается не реакция, а среднее значение реакции. Таким образом динамика предельных систем оказывается зависящей от "предыстории", а не только от значений координат и скоростей в данный момент времени (в этом наши предельные системы похожи на вакономные модели).

Для предельной модели, в которой односторонняя голономная связь реализована анизотропным трением, мы получаем вариационный принцип -аналог классического принципа Гамильтона.

Отдельно мы рассматриваем задачу реализации односторонней связи упругими силами и сухим трением в общем случае, когда траектория трансвер-сально пересекает границу связи. Предельная модель является т.н. "обобщенным биллиардом", который подробно изучается в дополнении как пример механизма ускорения частиц в моделях типа Ферми-Улама.

В главах 3, 4 разрабатываются методы качественного анализа систем на некомпактных фазовых пространствах, описываемых уравнениями Пуанкаре, на примере уравнений Кирхгофа движения тяжелого твердого тела в идеальной жидкости. Твердое тело в идеальной жидкости - это "допредельная" модель в задаче о движении твердого тела с неинтегрируемой связью, инвариантной относительно левых сдвигов на группе 50(3) к К3, когда связь реализуется присоединенными массами. Предельный случай как раз является вакономной системой. Важным инструментом анализа являются инвариантные соотношения, позволяющие, не решал уравнений Пуанкаре (на соответствующей алгебре Ли), описать поведение системы на группе Ли. Общая теория редукции геодезических потоков односторонне-инвари-

антных метрик на группы Ли развита в главах б и 7.

В главе 3 мы рассматриваем классическую задачу Чаплыгина о падении симметричного тяжелого твердого тела в идеальной жидкости, совершающей безвихревое движение и покоящейся на бесконечности, и вакономный конек, как ее предельный случай: одна из присоединенных масс устремляется к бесконечности. Изучаются качественные свойства динамики тела в жидкости.

Мы изучаем поведение решений на комплексной плоскости времени: уравнения движения приводятся к квазиоднородной форме, и далее используется метод Ковалевской-Ляпунова - исследование системы в окрестности частного решения - мероморфной функции комплексного времени. Среди показателей Ковалевской всегда есть иррациональные, а именно,

1/2 ± л/17/2,

если только тензор инерции не шаровой (в последнем случае вырождается соответствующее частное решение). Следовательно, обшее решение ветвится на комплексной плоскости времени, а, значит, уравнения Кирхгофа не могут быть алгебраически интегрируемыми. Таким образом, наш результат дополняет известный результат В.В.Козлова об отсутствии полиномиальных интегралов у уравнения Чаплыгина, которое описывает плоское движение симметричного тела в жидкости.

Исследуется эффект "выныривания": если сплюснутое твердое тело расположено горизонтально, и начинает двигаться с горизонтальной скоростью (в поле силы тяжести), то в начальные моменты времени такое тело может подняться вверх, выше начального положения. Эффект "выныривания" проявляется на множестве параметров положительной меры. Изуча-

ется аналог эффекта "выныривания" для вакономного конька. Доказательство эффекта "выныривания" проводится следующим образом: решение разлагается в ряд Тейлора по времени £ в окрестности момента £ = 0, а остаточный член оценивается методом мажорант Коши.

В главе 4 мы изучаем общие свойства движения тел в идеальной жидкости, когда время стремится к бесконечности. Изучается асимптотика уравнения Чаплыгина, которое одновременно описывает и движение симметричного твердого тела в идеальной жидкости, и движение вакономного конька. Амплитуда колебаний - величина порядка 1 /\Д при £ —► оо, при этом частота - величина порядка Ь. Таким образом, скорость колебаний неогра-ничена при £ —* оо, точнее, ограничена сверху величиной порядка \Д. Это - следствие гамильтоновости уравнения Чаплыгина (поток сохраняет площадь на фазовой плоскости). Исследуется качественное поведение решений на интервале времени от —оо до +оо: численно найдены области начальных условий такие, что тело делает заранее заданное число полуоборотов. Численно подтверждена гипотеза о том, что при наличии "начального толчка" при почти любых начальных условиях твердое тело стремится к устойчивому положению относительного равновесия - равноускоренное падение широкой стороной вперед.

Решена задача об устойчивости оси вращения осесимметричного твердого тела, падающего в идеальной жидкости, которую рассматривал В.А.Стеклов в конце XIX века. Основным инструментом доказательства условий устойчивости является следующее наблюдение. Пусть уравнения движения можно записать в следующем виде

9Н 9Н

у = --яг-тКФЧу.*). ®=а:-р(№«),

где х = у — 0 - положение равновесия, а функция р(£) стремится к нулю при £ —» оо. Редуцированное уравнение Кирхгофа после замены времени £ —> г = £2/2 имеет такой вид на орбитах коприсоединенного представления группы 50(3) х К3, при этом функция р(£) = 1/лД.

Предположим, что квадратичная часть функции Н(х,у) положительно определена в окрестности нуля. Тогда функцию Ляпунова можно искать в следующем виде:

Нг = Н(х,у)+р{1)А(х,у),

где А(х,у) - некоторая квадратичная форма.

Условия устойчивости оси вращения по Ляпунову выписаны явно. Их суть в том, что присоединенный момент инерции, соответствующий данной оси, должен быть намного больше других моментов инерции. Как и в случае падения симметричного тела, при £ —► оо направление оси вращения асимптотически устойчиво, а скорость колебаний оси неограничена.

В главах 3 и 4 мы показываем, что свойства твердого тела в жидкости - отсутствие полиномиальных интегралов, ветвление решений на комплексной плоскости, асимптотические свойства решений и т.д. - можно практически без изменений переносить на соответствующую предельную вакономную систему. В частности, для осесимметричного тела предельной системой будет "абсолютный винт": поступательная скорость в некотором направлении, фиксированном в теле, пропорциональна угловой скорости вращения вокруг этого направления. Наоборот, некоторые "парадоксальные" свойства вакономных систем (как, например, эффект "выныривания") переносятся на тяжелое твердое тело в жидкости.

Из результатов глав 3 и 4 следует, что в задачах с неинтегрируемыми связями, в которых связь есть результат движения системы в сопротивля-

ющейся среде, например, жидкости (а, значит, из физических соображений необходимо учитывать эффект присоединенных масс), предпочтительнее использовать вакономную модель, чем классическую неголономную. В качестве примера в главе 4 рассматривается вакономная модель задачи о падении диска без парашютирования, исследованная ранее в классической негсшономной постановке.

В главе 5 мы рассматриваем две модели, которые имеют непосредственное отношение к задаче о реализации связи при помощи изменения инерционных свойств системы. Однако при этом эти модели не имеют той групповой структуры, как задачи глав 3 и 4.

Первая модель - это предельный случай качения без проскальзывания симметричного шара по поверхности в случае, когда радиус шара г стремится к нулю. Формально это - система с малыми массами, точнее, с малым параметром при старшей производной.

Зафиксируем поверхность по которой движется центр шара, и будем считать, что она не меняется при изменении радиуса шара. Такая поверхность будет эквидистантной к исходной поверхности. Мы показываем, что после замены угловой скорости т = тш уравнения движения перестают зависеть от радиуса г, а, значит, предельная система при г —> 0 определена корректно и совпадает с качением шара радиуса 1 по поверхности, эквидистантной к исходной.

Уравнения движения можно записать в "гамильтоновом" виде с дополнительным параметром и, "спином" частицы:

А = -^ + иА1(х)р3, х1 = Щ.1 й = и{р,х), 1,3 = 1,2 Когда коэффициенты А\ = 0, мы получаем обычное движение точки (ча-

стицы) по поверхности £ под действием внешних сил.

Рассматриваются обобщения этой задачи на многомерный случай (вместо скалярного параметра и "спином" будет кососимметричная матрица), а также строится класс систем "частица со спином", которые задаются т.н. почти-Пуассоновой структурой (скобка, удовлетворяющая всем свойствам скобки Пуассона, кроме тождества Якоби). Доказаны общие теоремы о существовании инвариантной меры в "гамильтоновых" системах с почти-Пуассоновой структурой, в которых условия существования меры накладываюся на саму почти-Пуассонову структуру и не зависят от вида гамильтониана. С их помощью мы показываем, что во всех наших задачах о "частице со спином" сохраняется гладкая инвариантная мера, и находим ее явный вид. В трехмерном случае след матрицы {А^} равен нулю, поэтому у инвариантной меры - постоянная плотность.

Полученные результаты имеют интересное приложение к химической кинетике. В стандартных моделях химической кинетики считается, что раз радиус атома пренебрежимо мал, его можно считать точкой, и не учитывать его вращение при взаимодействии с другими атомами. Здесь под взаимодействием понимается механическое соударение. Используя указанный предельный переход г —> 0 мы аргументируем недопустимость игнорирования вращения атомов (и молекул) при взаимодействиях.

Вторая модель связана с одним классом механических систем с серво-связями. Мы доказывем теорему о необходимых и достаточных условиях того, что на поверхности связи система - лагранжева. При этом введение конечных присоединенных масс - это основной инструмент доказательства.

В главах 6 и 7 развивается общая теория о нахождении и исследовании инвариантных многообразий, однозначно проектирующихся на конфигура-

ционное пространство, у гамильтоновых систем, которые можно записать в виде уравнений Эйлера на коалгебре Ли. При этом мы рассматриваем общий случай, когда соответствующая группа Ли не обязательно является банаховым многообразием. Особое внимание мы уделяем частному случаю - редукции на группу геодезических потоков с лево- (право-) инвариантной метрикой. В качестве основного примера используются уравнения Эйлера динамики идеальной жидкости.

В главе б строится редуцированное на группу Ли векторное поле, а так> же его "поля симметрии": лево- или правоинвариантные поля на группе,

коммутирующие с нашим редуцированным векторным полем. ^ Пусть G - произвольная группа Ли, g - соответствующая алгебра Ли, и

д* - коалгебра. Любой вектор g £ TgG и любой ковектор то е T*G можно снести в единицу группы как левым так и правым сдвигом. В результате мы получаем вектора и>с, uis € g и моменты тс, та 6 0*.

Пусть метрика - левоинвариантна (правоинвариантный случай рассматривается аналогично) Тогда ms = const, а уравнения Эйлера - геодезиче-» ские такой метрики - имеют вид

тс = шГа-1ттс,

где А : g —► g* - оператор инерции, adç : g* —> g* - оператор коприсоединен-ного представления; £ € д. Зная решение уравнения Эйлера ыс — А~хтс, траектория на группе находится из соотношения g = Lgtuic (Lg - левый сдвиг на группе Ли G).

Цель редукции на группу - не решая уравнений Эйлера получить такое поле у (g) € TG, чтобы решения уравнения g — v(g) являлись траекториями геодезического потока на группе.

Зафиксируем орбиту коприсоединенного представления ms — const. Мы показываем, что приведенное, или редуцированное на группу векторное поле имеет вид

v{g) = ЬцА*1 A(Tgms.

Поля симметрии редуцированного поля v(g) описываются следующей теоремой. Пусть w(g) € TG - правоинвариантное векторное поле на группе G, задаваемое вектором £ € д: w(g) =

Теорема. Фазовый поток векторного поля w(g) на группе G является симметрией редуцированного поля v(g) тогда и только тогда, когда вектор £ удовлетворяет условию

ad^ms = 0.

Т.о. все такие поля симметрии порождаются векторами из алгебы Ли, изотропными к зафиксированной орбите коприсоединенного представления.

В качества примера мы рассматриваем n-мерный волчек Эйлера.

Методы и результаты этой главы можно эффективно применять для некоторых из рассмотренных выше предельных моделей. В первую очередь это касается вакономной механики, что следует из результатов главы 4, где мы показываем, что уравнения Кирхгофа падения тяжелого тела в идеальной жидкости можно представить в виде уравнений Эйлера с неавтономным гамильтонианом.

В главе 7 мы изучаем различные аспекты задачи о течении идеальной несжимаемой жидкости по римановым многообразиям и их обобщения: система с внешним трением и уравнения бесконечной проводимости. Необходимо отметить, что и сами уравнения движения идеальной жидкости можно рассматривать, как предельную модель в "классическом" понимании этого

слова (аналог реализации голономной связи упругими силами).

Используя результаты предыдущей главы строится редукция систем на группу Ли SDiff(M) диффеоморфизмов риманова многообразия М, сохраняющих объем. Течения жидкости - это геодезические правоинвариант-ной метрики, поэтому приведенное поле v(g) имеет вид

v{g) = RgtA'1 Ad*g-imc

Это соотношение интерпретируется таким образом. Фиксируется значение "момента" - 1-форма щ. В каждой точке д мы действуем на 1-формы [tto] диффеоморфизмом д~1 и применяем обратный оператор А-1. Получаем без-дивиргентное векторное поле на М. Вектор v(g) - это такое векторное поле на М, которое получается из нашего бездивиргентного поля A~lAd^-! [tto] дифференциалом правого сдвига, т.е. "перенумеровкой частиц". Мы выписываем редуцированное поле v(g) в явном виде в случае, когда многообразие М - односвязная область евклидова пространства.

Из результатов главы 6 следует, что поля симметрии задаются следующим условием. Пусть w(g) - левоинвариантное поле на группе SDiff(M), задаваемое вектором £ 6 SVect(M): w(g) = Lg,£. Тогда фазовый поток векторного поля w(g) на группе SDiff(M) является симметрией редуцированного поля v(g) тогда и только тогда, когда вектор £ удовлетворяет условию

цйщ = df,

где df - дифференциал некоторой функции / на М. Мы показываем, что эти поля симметрии для редуцированной на группу SDiff(M) системы определяются предельными моделями при реализации связей малыми массами.

Далее строится редукция на группу для течения жидкости с внешнем

трением (в уравнении Навье-Стокса слагаемое -\-vAv заменяется на —ь>и, и > 0) и уравнений бесконечной проводимости.

Отдельно исследуется задача о системах гидродинамического типа, которые описывают инвариантное многообразие гамильтоновых систем с полутора степенями свободы вида полинома по импульсам, т.е. образующее ко-нечнолистное накрытие конфигурационного пространства. Напомним, что системой гидродинамического типа называется система вида ди* <, .ди? . . ,

Мы доказываем, что наша система диагонализируема и обладает бесконечным числом интегралов гидродинамического типа

не зависящих от производных ди/дх, д2и/дх2 и т.д. Этого оказывается достаточно для интегрируемости: систему можно проинтегрировать т.н. обобщенным методом годографа (который восходит еще к Риману).

В конце главы мы обсуждаем вопросы, связанные с определением энтропии Гиббса и подходом Гиббса и Пуанкаре к основаниям статистической механики. Мы рассматриваем случай, когда мера тез(-О), заданная на фазовом пристранстве И системы, неинвариантна относительно динамики. Энтропия Гиббса, посчитанная относительно этой меры, не обязана быть постоянной. Мы доказываем, что если у системы есть интегральный инвариант, и если на систему наложены некоторые естественные дополнительные условия, то энтропия Гиббса не превосходит некоторой константы на всем интервале времени. При этом усредненное по времени значение энтропии Гиббса совершает положительный скачок при переходе к слабому пределу. В качестве основного примера рассматривается задача о динамике

идеальной сжимаемой жидкости.

В дополнении мы рассматриваем задачу Ферми-Улама о возможности ускорения частицы, отражающейся от двух параллельных периодически вибрирующих стенок. Закон отражения от стенок - классический упругий и закон "обобщенного биллиарда" (глава 2); оба случая рассматриваются в рамках ньютоновой механики и релятивистской механики. Известно, что в ньютоновском случае, в отличие от релятивистского (когда система становится диссипативной), ускорение до бесконечности невозможно. В релятивистской постановке задачи изучается механизм возникновения асимптотически устойчивых движений. Для необобщенного релятивистского биллиарда (световые) асимптотически устойчивые траектории получаются, как следствие теорем типа Ляпунова-Малкина (что типично для неголономной механики). Для обобщенного биллиарда аттракторы устроены более сложно; возможен принципиально другой механизм ускорения частиц, который основан на следующем общем результате.

Рассмотрим дискретную динамическую систему на полнотории M = S1 x fin-1 (£)n-i ç fljn-i _ это _ 1).мерНЫй диск). Пусть t, w, х - локальные координаты на М, где t (mod 1) € S1, w e R1, x G R"~2. Система задается отображением T : M —> M, и пусть многообразие w = О инвариантно относительно этого отображения:

w' = A{t, l)w + Bi(t, w, x, l), 1Bi| < d|u;j1+Q, t' = t + l + B2(t,w,x,l) (modi), \B2\<c2\w\,

где l - константа. Константы C\, c2 и a - положительны, a гладкая функция A(t, l) ограничена снизу: A(t,l) > a > 0. На многообразии w ~ 0 ограничение отображения T на S1 есть поворот окружности: t' = t + I (mod 1).

Пусть для компактного множества L CR интеграл

[ lnA(t,l)dt < О

Jo

для всех I £ L. Оказывается, что тогда для всех I € L, кроме некоторого конечного числа значений, траектория из некоторой открытой окрестности множества w = 0 стремится к нему экспоненциально быстро. В частности, это верно, если сдвиг t' = t + 1 (mod 1) эргодичен (т.е. I - иррациональное число).

Список литературы

[1] Дерябин М. В. О реализации неудерживающих связей. ПММ. Том 58. Вып. 6. (1994) С. 136-140.

[2] Дерябин М. В., Козлов В. В. К теории систем с односторонними связями. ПММ. Том 59. Вып. 4. (1995) С. 531-539.

[3] Дерябин M В О полиномиальных интегралах динамических систем и редукции Лакса Мат. заметки. Т. 61. N 3. (1997) С. 445-446.

[4] Дерябин М. В. Общие принципы динамики и теория односторонних связей. Вестн. Моск. Ун-та, сер. 1. N 1. (1998) С. 53-59.

[5] Дерябин М. В. О гамильтоновом формализме Дирака и реализации связей малыми массами. ПММ. Т.64. Вып.1. (2000) С.41-45.

[6] Дерябин М. В Об устойчивости равноускоренных вращений тяжелого твердого тела в идеальной жидкости. Изв. РАН, МТТ. No. 5. (2002) С. 30-34.

[7] Дерябин М. В., Козлов В. В. Об эффекте "выныривания" тяжелого твердого тела в жидкости. Изв. РАН, МТТ. No. 1. (2002) С. 68-74.

[8] Дерябин М. В., Федоров Ю. Н. О редукциях на группу геодезических потоков с лево-(право)-инвариантной метрикой и их полях симметрии. Доклады РАН. 391 4 (2003) с. 439-442.

[9] Дерябин М. В. Об инвариантной мере в задаче о качении симметричного шара по поверхности. ПММ, 67, по. 3 (2003) 384-389.

[10] Дерябин М. В. О движении твердого тела в идеальной жидкости и реализации связей присоединенными массами. Успехи механики. 3, июль-сентябрь (2003). С. 96-115.

[11] Дерябин М. В. О возможности приведения систем с сервосвязями к лагранжевому виду. Вестпн. Моск. Ун-та, сер. 1. (2004). В печати.

[12] Дерябин М.В. Замечания об энтропии Гиббса динамических систем. Вестн. Моск. Ун-та, сер. 1. (2004) в печати.

[13] Deryabin М. V. On asymptotics of Chaplygin equation. Reg. & Chaotic Dyn. 3 no.l, (1998) 93-97

[14] Deryabin M. V. Brackets and Braces. Examples of modern mathematical methods in classical mechanics. MAT-PR, 14, Danmarks tekniske universitet, 2001.

[15] Deryabin M. V, Pustyl'nikov L. D. Generalized relativistic billiards. Reg. & Chaotic Dyn. 8 No. 3 (2003) p. 283-296.

[16] Deryabin M. V., Gravesen J. Calculating the optimal shape of a vibration part feeder. ESGI-Ц, Final report. 2002. p. 41-54.

[17] Deryabin M. V., Hjorth P. G. On integrability of a heavy rigid body sinking in an ideal fluid. Z. Angew. Math. Phys. 54 (2003). 195-207.

[18] Deryabin M. V., Hjorth P. G. High-dimensional Bowling. Abstract, SIAM Conference (2003).

[19] Deryabin M. V., Hjorth P. G. High-dimensional Bowling, n-dimensional ball rolling on (n — l)-dimensional surface. Reg. & Chaotic Dyn. 8 No. 3 (2003) p. 319-329.

[20] Deryabin M. Generalized relativistic billiards. Kolmogorov and contemporary mathematics abstracts. Vol.2. (2003).

[21] Deryabin M. V. On stability of uniformly-accelerated motions of an axially-symmetric rigid body in an ideal fluid. Z. Angew. Math. Mech., 83, no.3, (2003) 197-203.

[22] Deryabin M. V., Pustyl'nikov L. D. On generalized relativistic billiards in external force fields. Letters in Math. Phys. 63 (3) (2003), 195 - 207.

[23] Deryabin M. V., Pustyl'nikov L. D. Exponential attractors in generalized relativistic billiards. Communs. Math. Phys. 248 (3) (2004), 527 - 552.

[24] Deryabin M. V., Fedorov Yu. N. On reductions of geodesic flows with left- or right-invariant metrics onto Lie groups and their symmetry fields. Journal of the London Mathematical Society. Second Series: A. (2004) in print.

4

Подписано и печать Я■ 03 РЦ Формат 60x84/16. Усл.печ л /5" Тираж 75" экз. Заказ

Отпечатано в Отделе печати МГУ

û,

РНБ Русский фонд

2006-4 10132

Введение

Глава 1. Реализация односторонних связей упругими силами и гамильтонов формализм Дирака

1. Сравнительный анализ различных условий движения и схода со связи

1.1. Основные условия схода со связи

1.2. Вариационные принципы

1.3. О нетрадиционных условиях схода со связи

2. Реализация одностороних связей упругими силами

2.1. Реализация движения системы по связи

2.2. Сход со связи

3. Гамильтонов формализм Дирака и реализация односторонних связей

3.1. Реализация связей малыми массами

3.2. Реализация односторонней связи. Уточнение оценок

Глава 2. Движение системы в среде Кельвина-Фойхта. Запаздывание схода со связи. Реализация односторонней связи сухим трением

1. Реализация односторонней связи средой Келышна-Фойхта

1.1. Теорема о предельном переходе

1.2. Движение предельной системы по связи

4.3. Реализация связи анизотропным трением

2. Принцип Гамильтона для движения со связью, реализуемой силами вязкого трения

3. Обобщенный биллиард, как предельная модель

Глава 3. Задача Чаплыгина и вакономный конек

1. Неголономные связи, вакономная механика и коиек

Чаплыгина

1.1. Неголономные связи и вакономная механика

1.2. Реализация неинтегрируемых связей

1.3. Вакономный конек

2. Неинтегрируемость уравнении Кирхгофа и вакономного конька

2.1. Ветвление решений в случае нулевого начального толчка

2.2. Ветвление решений в общем случае

3. Эффект "выныривания" тяжелого твердого тела в жидкости

3.1. Постановка задачи

3.2. Эффект "выныривания"

3.3. Обоснование

3.4. Эффект "выныривания" и вакономная механика

4. Диск, падающий без парашютирования

Глава 4. Движения тяжелого твердого тела в жидкости

1. Асимптотика уравнений Чаплыгина

1.1. Процедура усреднения

1.2. Общее поведение твердого тела

2. Твердое тело с винтовой симметрией и соответствующая предельная задача

2.1. Уравнения движения

2.2. Условия устойчивости

2.3. Об устойчивости линеаризованной системы

2.4. Устойчивость неавтономных механических систем

2.5. Предельная задача

Глава 5. Изменение инерционных свойств систем, две модели

1. Качении симметричного шара по поверхности, 3-х мерный случай. Предельная модель

1.1. Постановка задачи. Предельная модель

1.2. Уравнения движения

1.3. Инвариантная мера

1.4. Обсуждение

1.5. Предельная модель и химическая кинетика

2. Качение n-мерного шара по поверхности и соответствующая предельная задача

2.1. Уравнения движения

2.2. Почти-Пуассонова структура

2.3. Инвариантная мера

2.4. Инвариантная мера для «-мерного шара и "частицы со спином"

3. Сервосвязи и присоединенные массы

3.1. Постановка задачи

3.2. Основные результаты

3.3. Стабилизация периодических траекторий

3.4. Примеры

Глава 6. Редукция на группу геодезических потоков односторонне-инвариантных метрик

1. Построение редукции на группу и полей симметрии

1.1. Редукция геодезических потоков на группу

1.2. Поля симметрии. Редукция для уравнений Эйлера общего вида и вакономной механики

2. Редукция на группу «-мерного волчка Эйлера

2.1. Редукция 3-х мерного волчка Эйлера

2.2. Волчок Эйлера с диссипацией

2.3. Редукция геодезических потоков на группу SO(n)

Глава 7. Течения идеальной жидкости и "вторичная гидродинамика"

1. Течения идеальной жидкости

1.1. Уравнения Эйлера идеальной несжимаемой жидкости

1.2. Редукция на группу диффеоморфизмов и основная теорема

1.3. Поля симметрии редуцированной системы и гамильтонов формализм Дирака

1.4. Поля симметрии в четномерном и нечетномерном случаях

1.5. Векторные поля, отвечающие функциям Казимира

2. Редукция на группу для течения жидкости с внешнем трением и уравнений бесконечной проводимости

2.1. Течение жидкости с внешнем трением

2.2. Уравнение бесконечной проводимости

3. Уравнения Лакса и полиномиальные интегралы динамических систем

4. Энтропия Гиббса и течения идеальной жидкости

4.1. Энтропия Гиббса

4.2. Конечная инвариантная мера динамических систем

4.3. Энтропия относительно произвольных форм объема

4.4. Примеры

Дополнение. Обобщения модели Ферми-Улама

1. Определение обобщенных биллиардов и основные результаты

1.1. Определение обобщенного биллиарда

1.2. Модель Ферми-Улама. Основные результаты

2. Уравнения преобразования скорости, импульса и энергии частицы в релятивистском биллиарде

2.1. Преобразования скорости, импульса и энергии при ударе

2.2. Движение частицы в силовом поле в рамках специальной теории относительности

2.3. Движение по геодезическим псевдо-римановой метрики

2.4. Основная лемма

3. Основные теоремы

4. Ускорение частиц

4.1. Релятивистские биллиарды в негравитационных силовых полях

4.2. Релятивистские биллиарды в гравитационном поле

Определение движения систем с идеальными связями - это одна из основных независимых аксиом механики (хотя периодически предпринимаются попытки вывести, скажем, принцип Далам-бера-Лагранжа из законов Ньютона). Здесь ситуация в чем-то напоминает геометрию Евклида с его пятым постулатом о параллельных прямых. Проводя дальше эту аналогию, с полным правом можно считать, что геометрии Лобачевского в механике соответствует вакономная динамика, развитая В.В.Козловым [41]: при описании движения механических систем с неинтегри-руемыми связями принцип Даламбера-Лагранжа заменяется на вариационный принцип Гамильтона. В результате получаются новые динамические системы, которые не совпадают с классическими неголономными моделями.

Любые модели механики (в том числе и классические тоже!) нуждаются в обосновании. Под обоснованием понимается указание границ применимости тех или иных моделей. И здесь естественным является т.н. конструктивный метод обоснования систем со связями. Идея метода в том, что вместо системы со связью предлагается рассмотреть свободную систему, на которую действуют дополнительные силы, или, в более общем случае, систему, движущуюся в вязко-упругой среде (что соответствует физическим представлениям о природе связи), а затем перейти к пределу, устремив коэффициенты жесткости, вязкости и т.д. к бесконечности. Если предел существует, то предельная система объявляется системой со связью. Т.о. конкретная механическая модель должна выбираться исходя из физических параметров задачи. В частности, вакономная механика - это механика больших присоединенных масс [41], [42].

Конструктивный метод был намечен в первой четверти XX века в работах Клейна, Прандтля, Лекорню и Пфейфера, в связи с анализом парадоксов "сухого трения", указанных Пэнлеве [83]. Речь идет о следующей модели. Две материальные точки, связанные невесомым нерастяжимым стержнем, движутся по двум параллельным прямым. При этом на одну из точек действует сила сухого трения и внешняя сила. Парадокс состоит в том, что при некоторых положениях стержня ("круто поставленный стержень") задача имеет или два решения, или ни одного. Для разрешения парадокса Пфейфер по предложению Клейна заменяет жесткий стержень упругим, а затем коэффициент упругости устремляет к бесконечности. Предельное движение объ-являлость истинным. Интересно отметить, что сам Клейн для разрешения таких парадоксов предлагает следить за знаком реакции связи, т.е. фактически рассматривать систему с односторонней связью [83]. Теорема о реализации двусторонней голо-номной связи полем упругих сил, направленных к соответствующей поверхности, была впервые сформулирована Курантом и доказана его учениками в предположении о потенциальности силового поля [161]: оказывается, что при переходе к пределу движения "свободной "системы стремятся к движениям системы с голономной связью. Позднее многие исследователи независимо формулировали и доказывали аналогичные теоремы (см., например, [2], [135] [145], [165]). Для более общего случая, когда поле сил непотенциально, терема о реализации связи упругими силами была доказана В.В.Козловым и А.И.Нейштадтом [54], и Г.Ю.Шмидтом [162]. Неголономную связь можно реализовать силами сухого трения или вязким трением, см. например, [10], [38], [33], [69], [112].

Т.о., конструктивный подход в основном (за исключением упомянутой нами вакономной механики, а также некоторых "промежуточных" моделей [42], [91]), применялся только для обоснования динамики систем со связями. Однако с нашей точки зрения, настоящая сила конструктивного подхода проявилась, когда стало понятно, что на его основе можно создавать новые осмысленные неклассические системы.

Цель нашей работы - создание и изучение "предельных" неклассических механических систем на основе конструктивного подхода к обоснованию динамики систем со связями, а также развитие методов для изучения таких систем. Мы также рассматриваем смежные задачи, в которых естественным образом применяются наши предельные системы. Подобного систематического изучения предельных систем ранее не предпринималось.

Диссертация состоит из семи глав и дополнения. Нумерация в каждой главе своя.

1. Бренделев В. Н. О реализации связей в неголономной механике ПММ. (1981) Т. 45. Вып. 3. С. 481-487.

2. Бунимович JI. А. О биллиардах, близких к рассеивающим. Мат. сб. 95 N 1. (1974) С. 49-73.

3. Вариационные принципы механики. Сборник статей. М.: Физматгиз, 1959. 932 с.

4. Васильева А. В., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука. 1973. 272 с.

5. Градштейн И. С. Дифференциальные уравнения с малыми множителями при производных и теория устойчивости Ляпунова. ДАН СССР. (1949) Т. 65. N 6. С. 789-792.

6. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехиздат. 1950. 436 с.

7. Голубев Ю.Ф. Механические системы с сервосвязями. ПММ. Т. 65. Вып. 2. (2001) С. 211-224.

8. Дерябин М. В. О реализации неудерживающих связей. ПММ. Том 58. Вып. 6. (1994) С. 136-140.

9. Дерябин М. В., Козлов В. В. К теории систем с односторонними связями. ПММ. Том 59. Вып. 4. (1995) С. 531-539.

10. Дерябин М. В. О полиномиальных интегралах динамических систем и редукции Лакса. Мат. заметки. (1997) Т. 61. N 3. С. 445-446.

11. Дерябин М. В. Общие принципы динамики и теория односторонних связей. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1 Матем., ме-хан. (1998) N 1. С. 53-59.

12. Дерябин М. В. О гамильтоновом формализме Дирака и реализации связей малыми массами. ПММ. (2000) Т.64. Вып.1. С.41-45.

13. Дерябин М. В. Об устойчивости равноускоренных вращений тяжелого твердого тела в идеальной жидкости. Изв. РАН, МТТ. No. 5. (2002) С. 30-34.

14. Дерябин М. В., Козлов В. В. Об эффекте "выныривания" тяжелого твердого тела в жидкости. Изв. РАН, МТТ. No. 1. (2002) С. 68-74.

15. Кориолис Г. Математическая теория явлений бильярдной игры. М.: Гостехиздат. 1956. 235 с.

16. Ламб Г. Гидродинамика. М.: Гостехиздат. 1947. 928 с.

17. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М.: Наука. 1973.

18. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. M.-JI. Гостехиздат. 1950. 471 с.

19. Манаков С. В. Об интегрируемости уравнений Эйлера динамики n-мерного твердого тела. Функц. Анал. Прилож. 10, (1976) с. 93-94

20. Маркеев А. П. О динамике твердого тела на абсолютно шероховатой поверхности. ПММ. (1983) Т. 47. Вып. 4. С. 575582.

21. Маркеев А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука, 1992. 336 с.

22. Нараленков И. М. Двоякоасимптотические движения тяжелого твердого тела в идеальной жидкости. Математические методы в механике. Изд-во МГУ, 1990. с. 66-72

23. Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967. 519 с.

24. Нейштадт А. И. О разделении движений в системах с быстро вращающейся фазой. Жури, прикл. матем. и мех., (1984) 48 (2), с. 197-204.

25. Нейштадт А. И. О запаздывании потери устойчивости при динамических бифуркациях. Дифф. Уравнения (1987). N 23. 12 с. 2060-2067.

26. Новиков С. П., Шмельцер И. Периодические решения уравнений Кирхгофа для свободного движения твердого тела в жидкости и расширенная теория Люстерника-Шнирельмана-Морса (ЛШМ), I. Функц. анализ и его прил. (1981). Т. 15. 3. С. 54-66.

27. Офицеров Е. Н. Частное сообщение

28. Татаринов Я. В. Слабо неголономное представление задачи о качении твердого тела и возможности усреднения по фазовым торам. Изв. АН СССР. МТТ. (1998) N 1. С. 25-33.

29. Татаринов Я.В. Универсальная характеристическая функция динамики систем с неинтегрируемыми связями и метод подвижного репера. Вести. МГУ. Сер. 1 матем. механ, (1989) N 2, 60-67.

30. Татаринов Я.В. Следствия неинтегрируемого возмущения интегрируемых связей. Модельные задачи малой размерности. ПММ, (1987) 51, вып. 5, 741-729.

31. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных. Матем. сб., нов. сер. (1952) Т. 31. Вып. 3. С. 575-586.

32. Трещёв Д. В. Введение в теорию возмущений гамилътоно-вых систем. М.: Фазис. 1998. 184 с.

33. Уиттекер Е. Т. Аналитическая динамика. M.-JL: Гостехиз-дат. 1937. 500 с.

34. Харламов П.В. Критика некоторых математических моделей механических систем с дифференциальными связями. ПММ. (1993) Т. 56. Вып. 4.

35. Царев С. П. О скобках Пуассона и одномерных гамиль-тоновых системах гидродинамического типа. Доклады АН СССР. (1985) Т. 282. N 3. С. 534-537.

36. Чаплыгин С. А. Полн. собр. соч. T.I. JL: Изд-во АН СССР, 1933. 300 с.

37. Шевалле К. Теория групп Ли. Т.1. М.: ИЛ. 1948. 316 с.

38. Ярощук В. А. Новые случаи существования интегрального инварианта в задаче о твердом теле катящемся по неподвижной поверхности без проскальзывания. Вести. Моск. Ун-та, сер. 1 матем., мех. 6 (1992) 26-30.

39. Adler М., van Moerbeke P. A systematic approach towards solving integrable systems. Perspectives in Mathematics. New York: Academic Press, 1987.

40. Arnold V. I., Khesin B. A. Topological Methods in Hydrodynamics. Springer-Verlag. 1998. 376 p.

41. Bates L., Sniatycki J. Nonholonomic Reduction. Rep. Math. Phys. 32,(1993) 99-115.

42. Bates L. Problems and Progress in Nonholonomic Reduction, Rep. Math. Phys. 49,(2002) 143-149.

43. Baumgarte J. Stabilization of Constraints and Integrals of Motion in Dynamical Systems. Computer Methods in Appl. Mech. and Engng. (1972) V.l. No 1. P.l-16.

44. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A. Realization of Holonomic Constraints and Freezing of High Frequency Degrees of Freedom in the Light of Classical Perturbation Theory. Communs. Math. Phys. (1987) V. 113. No 1. P. 87-103.

45. Bertotti M. L., Bolotin S. V. Doubly Asymptotic Trajectories of Lagrangian Systems in Homogeneous Force Fields. Annali di Matematica pura ed applicata. (IV), Vol. CLXXIV (1998), 253-275.

46. Borisov A. V., Mamaev I. S., Kilin A. A. Rolling of a ball on a surface. New integrals and hierarchy of dynamics. Reg. & Chaot. Dyn., v.7, No. 2, (2001) pp. 201-220.

47. Brenier Y. The least action principle and the related concept of generalized flows for incompressible perfect fluids. J. Amer. Math. Soc. 2 (1989), no. 2, 225-255.

48. Cantrijn F., de Leon M., D. Martin de Diego. On almost-Poisson structures in nonholonomic mechanics. Nonlinearity 12,(1999) 721-737.

49. Cantrijn F., de Leon M., D. Martin de Diego. On the Geometry of Generalized Chaplygin systems. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 132,(2002) 323-351.

50. Caratheodory C. Der Schlitten. Z. Angew. Math. Mech. 13 (1933) 71-76.

51. Cayley A. Sur quelques properties des determinant gauches. J. Reine Angew. Math. 32 (1846), 119-123

52. Deryabin M. V. On asymptotics of Chaplygin equation. Reg. & Chaotic Dyn. 3 no.l, (1998) 93-97

53. Deryabin M. V. Brackets and Braces. Examples of modem mathematical methods in classical mechanics. MAT-PR, 14, Danmarks tekniske universitet, 2001.

54. Deryabin M. V., Pustyl'nikov L. D. Generalized relativistic billiards. Regular and Chaotic Dynamics 8 No. 3 (2003) 283296.

55. Deryabin M. V., Gravesen J. Calculating the optimal shape of a vibration part feeder. ESGI-41, Final report. 2002. 41-54.

56. Deryabin M. V., Hjorth P. G. On integrability of a heavy rigid body sinking in an ideal fluid. Z. Angew. Math. Phys. 54 (2003), 195-207.

57. Deryabin M. V., Hjorth P. G. High-dimensional Bowling. Abstract, SIAM Conference (2003).

58. Deryabin M. V., Hjorth P. G. High-dimensional Bowling, n-dimensional ball rolling on (n — l)-dimensional surface. Regular and Chaotic Dynamics 8 No. 3 (2003) p. 319-329.

59. Deryabin M. Generalized relativistic billiards. Kolmogorov and contemporary mathematics abstracts. Vol.2. (2003).

60. Deryabin M. V. On stability of uniformly-accelerated motions of an axially-symmetric rigid body in an ideal fluid. Z. Angew. Math. Mech., 83, no.3, (2003) 197-203.

61. Deryabin M. V., Pustyl'nikov L. D. On generalized relativistic billiards in external force fields. Letters in Math. Phys. 63 (3) (2003), 195 207.

62. Deryabin M. V., Pustyl'nikov L. D. Exponential attractors in generalized relativistic billiards. Communs. Math. Phys. 248 (3) (2004), 527 552.

63. Deryabin M. V., Fedorov Yu. N. On reductions of geodesic flows with left- or right-invariant metrics onto Lie groups and their symmetry fields. Journal of the London Mathematical Society. Second Series: A. (2004) in print.

64. Dirac, P. A. M. On Generalized Hamiltonian Dynamics. Can. J. Math. 2, No. 2, 129-148 (1950). Zbl. 36, 141.

65. Ebin D. G. The motion of slightly compressible fluids viewed as a motion with string constraining force. Annals of Math. 105 (1977), 141-200

66. Ebin D. G. Motion of slightly compressible fluids in a bounded domain. Comm. Pure anf Appl. Math. 35 (1982), 451-485.

67. Fedorov Yu. N., Kozlov V. V. Various aspects of n-dimensional rigid body dynamics. Dynamical Systems in Classical Mechanics. AMS Translations. Ser.2, Vol. 168. (1995) 141-172.

68. Fedorov Yu. N. Backlund transformations on extended Stiefel varieties with application to discrete Euler top on the Lie group SO(3). Lett. Math. Phys. (2004). In print

69. Fermi E. On the origin of the cosmic radiation, Phys. Rev. 75 (1949), 1169-1174.

70. Feynman R. P. Statistical mechanics. New York, Bemjamin, 1972.

71. Frahm F. Uber gewisse Differentialgleichungen. Math. Ann. 8 (1874), 35-44

72. Furta S. D. On nonintegrability of general systems of differential equations. Z. Angew. Math. Phys. 47 (1996) 112131.

73. Gallavotti G. The Elements of Mechanics. Springer, Berlin, 1983.

74. Guckenheimer J., Holms P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer-Verlag, 1983.

75. Hermans J. A symmetric sphere rolling on a surface. Nonlinearity 8 (1995) P. 493-515.138. van Kampen N. G. Elimination of Fast Variables. Phys. Repts. (1985) V. 124. No 2. P. 69-160

76. Khesin В. A., Chekanov Yu. V. Invariants of the Euler equation for ideal or barotropic hydrodynamics and superconductivity in D dimensions. Physica D 40 (1989), no. 1, 119-131.

77. Kirchhoff G. Uber die Bewegung eines Rotationskorpers in einer Fliissigkeit. J. fur die reine und angewandte Mathematik 71 (1870) 237-262.

78. Knudsen J. M., Hjorth P. G. Elements of Newtonian Mechanics. Including nonlinear dynamics Springer-Verlag, Berlin, 2000. 447 p.

79. Kodama Y., Gibbons J. A method for solving the dispersionless KP hierarchy and its exact solutions II. Phys. Letters A. 135 3 (1989) P. 167-170.

80. Kodama Y. Exact solutions of hydrodynamic type equations having infinitely many conserved densities. Phys. Letters A. 135 3 (1989) P. 171-174.

81. Koon W. S., Marsden J. E. The Hamiltonian and Lagrangian Approaches to the Dynamics of Nonholonomic Systems. Rep. Math. Phys. 40 (1997), no. 1. P. 21-62.

82. Koppe H., Jensen H. Das Prinzip von d'Alambert in der Klassischen Mechanik und in der Quantenmechanik. Akad. Wiss. Univ. Heidelberg, Math. Nat. wiss. Klasse (1971) S. 123140.

83. Kozlov V. V., ed. Dynamical Systems in Classical Mechanics. AMS Translations, Ser. 2, Vol. 168 (1995). 254 p.

84. Kriiger Т., Pustyl'nikov L. D. and Troubetzkoy S. E. Acceleration of bouncing balls in external fields. Nonlinearity 8 (1995), 397-410.

85. Lebovitz N. R., Neishtadt A. I. Slow Evolution in Perturbed Hamiltonian Systems. Studies in Appl. Math. 92 127-144. (1994)

86. Leonard N. E. and Marsden J. E. Stability and drift of underwater vehicle dynamics: mechanical systems with rigid motion symmetry. Physica D 105 June 1997. 130-162.

87. Lichtenberg A. J. and Lieberman M. A. Regular and Chaotic Dynamics, 1992, New York: Springer.

88. Marsden J., Ratiu T. and Weinstein A. Semidirect product and reduction in mechanics. Trans. Am. Math. Soc. 281 (1984), 147-177.

89. Marsden J.E., Simo J.C. The energy-momentum method. La "Mechanique Analytique"de Lagrange et son Heritage, Atti della Accademia delle Scienze di Torino 124 (1990), 245-268.

90. Nagumo M. Proc. Phys.-math. Soc. Japan (3), 21 (1937) 529534.

91. Perram J.W., Shiriaev A., de Wit C.C., Grognard F. Explicit formula for a general integral of motion for a class of mechanical systems subject to holonomic constraint. IF AC Workshop on Hamiltonian Systems Sevilla, August 2003.

92. Poincare H. Reflexions sur la theorie cinetique des gaz. J. Phys. Theoret. et Appl. (4) 5 (1906), 349-403

93. Pustyl'nikov L. D. The law of entropy increase and generalized billiards. Russian Math. Surveys 54 (1999), no. 3, 650-651.

94. Pustyl'nikov L. D. Stable and oscillating motions in nonautonomous dynamical systems. II. Trans. Moscow Math. Soc. 1978, no 2.

95. L.D.Pustyl'nikov. On the measure of one-way oscillating motions for the Kolmogorov model and its generalization in the n-body problem. Russian Math. Sur. 5 (1998), 1102-1103

96. Roger C. Extensions centrales d'algebres et de groups de Lie de dimension infinite, algebre de Virasoro et generalisation. Rep. Math. Phys. 35 (1995), no.2-3. 225-255.

97. Routh E. J. Advanced Dynamics of a System of Rigid Bodies. 6th edition, New York, Dover. 1905.

98. Rubin H., Ungar P. Motion Under a Strong Constraining Force. Communs. Pure and Appl. Math. 1957. V.10. No 1. pp. 65-87

99. Schmidt H.-J. Models for Constrained Motion and d'Alambert's Principle. Fachbereich Physik, Universitat Osn. Preprint

100. Shiriaev A., de Wit C.C. Virtual Constraints a Constructive Tool for Orbital Stabilization of Underactuated Nonlinear Systems. I, II. IEEE Trans, on Automatic Control. (2004) In print.

101. Shnirelman A. Generalized fluid flows, their approximation and application. Geom. and Func. Analysis 4 (1994), no. 5, 586-620.

102. Takens F. Motion Under Influence of a Strong Constrainig Force. Global theory Dynamic Systems. B.:Springer-Verlag. 1980. P.425-445.

103. Treschev D. V. An estimate of irremovable nonconstant terms in the reducibility problem. Dynamical Systems in Classical Mechanics. Amer. Math. Soc. Transl., Ser.2, 168. RI: Am. Math. Soc., 1995, p. 129-140.

104. Ulam S. M. On some statistical properties of dynamical systems. Proc.4th Berkeley Sympos. on Math. Statist, and Prob., Vol.111, Univ. California Press, Berkeley, CA 1961. PP. 315-320.

105. Walker G. T. On a dynamical top. Qurt. J. Pure Appl. Math. 28 (1896). pp. 175-184.

106. Woolsey C. A., Leonard N. E. Stabilizing underwater vehicle motion using internal rotors. Automatica 38 (2002) 2053-2062.

107. Yoshida H. Necessary condition for the existence of algebraic first integrals. Celestial Mechanics. 31 (1983), 363-399.

108. Zampieri G. Nonholonomic versus vakonomic dynamics. J. Diff. Equat. 163 No. 2. (2000) 335-347.

109. Zaslavskii G. M. and Chirikov В. V. The Fermi acceleration mechanism in the one-dimensional case. Soviet Phys. Dokl. 9 (1964).

110. Zeitlin V. On the structure of phase-space, Hamiltonial variables and statistical approach to the description of two-dimensional hydrodynamics and magnetohydrodynamics. J. Phys. A. 25 (1992) no.4, L171-L175.

111. Zharnitsky V. Instability in Fermi-Ulam 'ping-pong' problem. Nonlinearity 11, (1998), 1481-1487.