Редукция к одномерному уравнению Фоккера-Планка модели электрической активности ансамбля нейронов

Турбин, Андрей Александрович

Автореферат диссертации на тему "Редукция к одномерному уравнению Фоккера-Планка модели электрической активности ансамбля нейронов"

На правах рукописи

ТУРБИН Андрей Александрович

РЕДУКЦИЯ К ОДНОМЕРНОМУ УРАВНЕНИЮ ФОККЕРА-ПЛАНКА МОДЕЛИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ АНСАМБЛЯ НЕЙРОНОВ

Специальности 01.04.03 — Радиофизика 03.00.02 — Биофизика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург — 2005

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

Научный руководитель: Кандидат физико-математических наук,

Чижов Антон Вадимович

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук

Скляров Олег Павлович

Кандидат физико-математических наук Скворцов Алексей Николаевич

Ведущая организация: Институт мозга человека РАН

Защита состоится «29» декабря 2005 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.229.01 в ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» по адресу: 195251, г. Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29, в 470 аудитории II учебного корпуса.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

Автореферат разослан « 22 » ноября 2005 года. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.229.01, доктор технических наук

Короткое А.С.

даче

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований. Разработка математических методов исследования нейронных структур является одной из актуальных проблем современной нейрофизиологии. Развитие вычислительных средств и экспериментальных методик делает актуальным построение математических моделей активности нервной ткани, в частности, модели нейронного ансамбля (под нейронным ансамблем понимается некая совокупность однотипных, возбуждающих или тормозных, нейронов).

Нервная ткань представляет собой распределённую электродинамическую систему взаимодействующих источников тока в трёхмерном пространстве слабопроводящей среды (электролита), находящуюся под воздействием детерминированного и случайного воздействия. Распределение этих источников сложно и допускает целую иерархию упрощений. Во-первых, они объединены в некие замкнутые поверхности - нейроны. Во-вторых, распределение этих нейронов в ряде случаев можно рассматривать однородным. А в-третьих, согласно современным представлениям нейрофизиологии корковой ткани, нейроны часто работают коррелированно в ансамбле (например, в колонке). Поэтому создание целостной «полевой» модели ансамбля нейронов является актуальным. «Полевое» описание нейронного ансамбля, в отличие от «многочастичного», не рассматривает активность конкретного нейрона, а описывает ансамбль в терминах плотности распределения нейронов по параметрам состояния.

Среди существующих ансамблевых моделей нет общепризнанных, и задача построения вычислительно простой, но достаточно точной полевой модели нейронного ансамбля является актуальной. Решение этой задачи найдено в применении традиционных для физики (в частности, для радиофизики) математических подходов: используются уравнения

Ланжевена и Фоккера-Планка, а также анализ колебательных систем для сведения модели нейрона к одномерной модели.

Цель работы состояла в разработке модели нейронного ансамбля. Для этого необходим переход от многочастичного (многоэлементного) описания нейронного ансамбля к полевому, то есть к описанию в терминах плотности распределения. Эта цель достигалась путём решения нескольких производных задач.

- Необходимым для полевого описания нейронного ансамбля являлось построение модели нейрона с малым числом переменных (с единственной переменной), характеризующих его состояние. Эта модель определялась выбором фазовой переменной и уравнениями для описания состояния нейрона.

- На этапе разработки средств численного моделирования были разработаны компьютерные программы для моделирования единичного нейрона и многочастичного ансамбля нейронов на основе уравнений Ходжкина-Хаксли.

- Была решена задача разработки уравнений для полевой модели ансамбля нейронов, и выведены формулы для связи параметров уравнений с параметрами уравнений единичного нейрона.

- Проводился сравнительный анализ исследуемых моделей.

- Также решалась задача моделирования экспериментально наблюдаемого гамма ритма активности участка нервной корковой ткани.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовались методы статистической физики и математического моделирования.

- Для вывода уравнений модели ансамбля использовался формализм Фоккера-Планка, применяемый, в частности, в статистической радиофизике.

Использовались и анализировались модели нейронов: модель Ходжкина-Хаксли, пороговый интегратор (Leaked-Integrate-and-Fire), спайковый нейрон (Spike Response Model) и нейрон - частотный генератор (Firing Rate).

Применялись численные методы, такие как: сеточный метод Эйлера для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, метод прогонки для реализации неявной численной схемы уравнения теплопроводности, метод расщепления по физическим процессам для построения численной схемы уравнения переноса, метод наименьших квадратов для решения задач оптимизации коэффициентов аппроксимационных зависимостей.

Положения, выносимые на защиту;

Предложенная модель нейрона, основанная на фазовой переменной -предполагаемом времени до спайка, достаточно точно описывает состояние нейрона между спайками.

Предложенная полевая модель ансамбля достаточно точно описывает работу совокупности одинаковых нейронов под воздействием зашумлённого синаптического стимула.

Достоверность результатов.

Достоверность модели единичного нейрона на основе фазовой переменной - предполагаемом времени до спайка - обеспечивается детальным сравнением её свойств со свойствами эталонной модели распределённого нейрона Ходжкина-Хаксли.

Достоверность полевой модели нейронного ансамбля обеспечивается сравнением предлагаемой модели ансамбля и аналогичного многочастичного описания ансамбля нейронов.

Модель ансамбля даёт непротиворечивые эксперименту результаты моделирования индуцированного гамма ритма активности нервной корковой ткани.

Научная новизна. Предложена новая модель нейронного ансамбля, в основе которой лежит новая однопараметрическая модель единичного нейрона. Модель единичного нейрона отличается от известных тем, что впервые в качестве единственной фазовой переменной выбрано предполагаемое время до следующего спайка.

Научная ценность. Полученные в диссертационной работе результаты представляют собой аналитические средства описания нейронных ансамблей. Тем самым они заполняют пробел в иерархии моделей от моделей единичных нейронов к моделям ЭЭГ. В частности, приведённый в диссертации пример моделирования гамма ритма в корковой ткани показывает возможность описания сложных нейрофизических процессов с помощью предлагаемой модели.

Апробация работы. Основные результаты работы представлялись и обсуждались:

- на XIV Международной конференции по нейрокибернетике (Ростов-на-Дону 2005);

- на международной конференции «Устойчивость и процессы управления» (Санкт-Петербург 2005);

- на пятой всероссийской научно-технической конференции «Нейроинформатика 2003» (Москва 2003);

- на научной конференции студентов и аспирантов факультета ПМ-ПУ СПбГУ (Санкт-Петербург 2002);

- на заседании секции «Математические методы и модели в физиологии, биофизике и биохимии» физиологического общества им И.М.Сеченова (Санкт-Петербург 2002).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 работ.

Личный вклад автора. Представленные в диссертации материалы получены лично автором или при его непосредственном участии.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трёх частей, обсуждения результатов и выводов, списка литературы и приложений. Работа содержит 150 страниц, 39 рисунков и 5 приложений.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении рассмотрена актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследования, приведены защищаемые положения; показаны новизна, научная ценность и практическая значимость, кратко изложено содержание работы.

В первой части («Обзор») рассказывается о моделях нейрона и нейронного ансамбля, строится иерархия тех моделей, которые имеют отношение к содержанию диссертации.

Наиболее точной моделью электрофизиологических свойств нейрона можно считать распределённую модель Ходжкина-Хаксли (XX), описывающую потенциал на всех веточках дендрита и аксона. Такой способ моделирования является сложным и для многих задач избыточным.

Широко применяются упрощённые модели нейронов - нейроны, эмитирующие спайки (Spiking Neurons), разделяющие состояние спайка и состояние между спайками. Самой простой моделью этого класса является модель Leaked-Integrate-and-Fire (LIF) - пороговый линейный интегратор. Более точной и более сложной является модель Spike Response Model (SRM) [3]. SRM описывает эволюцию потенциала нейронной мембраны под действием синаптических токов.

В первой части делается вывод о том, что модель ансамбля должна строиться в рамках макроскопического подхода. Макроскопический подход

упрощает рассмотрение нейронного ансамбля. При построении моделей, в основном, принимаются следующие допущения: гомогенность (нейроны и их связи одинаковы), бесконечность количества нейронов и renewal гипотеза (состояния нейрона после спайков идентичное). Основная характеристика, описываемая моделями - это активность, то есть число спайков за единицу времени. При полевом описании ансамбля нейронов оперируют плотностью

распределения нейронов р в фазовом пространстве X = (х.....,хк), где

переменные xv...,xK характеризуют состояние нейрона. Вместо описания большого числа нейронов (сетевой подход), полевая модель описывает одну функцию представляющую собой количество нейронов в единичном

фазовом объёме dX. С целью упрощения уравнений модели ансамбля, модель нейрона используется с наименьшим числом фазовых переменных.

Примером одномерной полевой модели (в этом случае X - скаляр) является и -модель [5], использующая в качестве фазовой переменной, параметризующей состояние нейрона, безразмерный потенциал и для LIF модели нейрона. Однако, потенциал может однозначно определять фазу активности между спайками только в случае, когда он монотонно изменяется, поэтому этот подход, в основном, применяется для описания линеаризованных нейронов - пороговых сумматоров (LIF).

В настоящее время используются также модели нейронного ансамбля, построенные на наипростейших моделях нейронов Firing Rate, в которых не учитывается фаза нейрона между спайками, а лишь используется зависимость частоты от силы стимуляции нейрона. Эти модели имеют ряд ограничений, например, при описании переходных процессов (таких как внезапная подача возбуждения).

Передовые подходы по моделированию нейронного ансамбля далеки от совершенства, например, не обладают необходимой общностью при использовании в качестве фазовой переменной потенциала мембраны.

Вторая часть («Построение модели ансамбля»), состоящая из пяти глав, содержит сведения о новой предлагаемой т -модели нейрона и нейронного ансамбля. Первая глава второй части посвящена моделям нейрона, используемым в работе: 1ЛР, БЯМ и XX. В частности, геометрия распределённого нейрона XX представлена на рис. 1.

Рис. 1 Структура модельного нейрона XX в поперечном сечении

Во второй главе описывается сеть из модельных нейронов (под нейронной сетью понимается некоторая совокупность несвязанных модельных нейронов, находящихся под воздействием общего синаптического стимула). Сеть используется в численном эксперименте для сравнения с ней модели нейронного ансамбля. В роли модельного нейрона при построении сети в работе выступает нейрон XX и ЬШ нейрон. Под активностью нейронной сети понимается число спайков, отнесённое к общему числу нейронов сети, в единицу времени.

В третьей главе представляется новая фазовая переменная т -предполагаемое время до следующего спайка, а в четвертой главе приводится модель единичного нейрона на основе этой переменной. Фазовая переменная т однозначно в обе стороны отражает состояние нейрона. Это означает, что по состоянию нейрона (для распределённого нейрона XX состояние нейрона - это распределения по поверхности клетки потенциала V и канальных переменных п,т,Ъ,1) и синаптическим проводимостям можно определить т, и обратно: переменной т и синаптическим

проводимостям можно сопоставить состояние нейрона. Для каждого модельного нейрона, находящегося в некотором состоянии, значение переменной т может быть вычислено. Для этого необходимо зафиксировать синаптические проводимости и эволюционировать нейрон до состояния спайка. Время, необходимое для достижения спайка, и есть значение переменной т.

Рис. 2. Зависимость переменной Т и потенциала V в конце аксона распределённого нейрона XX от времени при постоянных синаптических проводимостях

На рис. 2 изображено, как меняется величина т при установившейся спайковой генерации и постоянном синаптическом воздействии на нейрон. В этом случае время до следующего спайка равномерно уменьшается, а в момент самого спайка оно скачком принимает значение межспайкового интервала.

Уравнение т -модели для случая медленно меняющихся синаптических проводимостей записывается следующим образом:

где gt, - возбуждающие и тормозные проводимости;

~ «функции перехода», определяющие переход в новое фазовое состояние при изменении синаптических проводимостей; (&£>&/) -межспайковый интервал при постоянстве синаптических проводимостей. Первое уравнение в системе (1) описывает эволюцию переменной х со временем, причём первый член в правой части определяет эволюцию т при постоянных синаптических проводимостях, а остальные - эволюцию под действием плавного изменения синаптических проводимостей. Во втором уравнении описывается скачкообразное обновление т при достижении момента спайка до значения предполагаемой длительности следующего межспайкового интервала хшх.

Смысл функций перехода Ае(т>>)= ~ , АЛт>= " -

д8:

чувствительность т -модели нейрона к изменению синаптической проводимости, т -Модель обобщается также на случай зашумлённого синаптического стимула.

Последняя глава второй части посвящена «полевой» т -модели нейронного ансамбля (ПМНА). ПМНА описывает ансамбль одинаковых нейронов, находящихся в условиях зашумлённого синаптического стимула. В этом случае уравнение ПМНА - это уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова:

др д ' ^

Р|1 лЬв Л 1

, ?<&) Т 1

*' (2)

3/ дх

где р(/,т) - плотность распределения нейронов по значениям т, и -детерминированные компоненты синаптических проводимостей, б(т> - коэффициент диффузии, зависящий от параметров синаптического шума. ПМНА характеризуется активностью представляющей собой предел при большом числе нейронов отношения числа нейронов, эмитирующих

спайки, к общему числу нейронов в единицу времени. Активность вычисляется по формуле:

(3)

следующей из рассмотрения потока нейронной плотности в точке т = 0.

Третья часть («Исследование моделей и применение т -модели ансамбля для трактовки экспериментальных данных»), состоящая из трёх глав, содержит результаты сравнения моделей и сравнение с экспериментом по вызванному гамма ритму гиппокампа. '

В первой главе повествуется об исследованиях свойств т -модели нейрона. При сравнении решений для т-нейрона и эталонной модели XX показано, что эти решения отличаются незначительно в случаях воздействия постоянной синаптической проводимости, проводимости, меняющейся со временем, и шума. Представлены результаты сравнения моделей 81Ш и т -модели с эталонным нейроном XX. Показано, что т -нейрон лучше чем БИМ модель аппроксимирует поведение эталонной модели XX по критерию чувствительности нейрона при подаче возмущения в разные фазы нейронной активности между спайками.

Во второй главе сравнивается ПМНА, построенная для описания ансамбля простейших ЫБ нейронов, и известная полевая и -модель [5], построенная на переменной и - потенциал ЫР нейрона. Показано, что ПМНА описывает ЫБ ансамбль не хуже и -модели.

Наконец, сравнивается решение ПМНА, построенной для описания I

ансамбля распределённых нейронов XX, и решение для сети нейронов. Показано, что ПМНА хорошо описывает ансамбль нейронов XX (см. рис. 3). '

Рис. 3. Активность для ПМНА (жирная линия) и сети распределённых нейронов XX (тонкая линия)

В третьей главе, используя ПМНА, описана гамма активность гиппокампа - продолжительные синхронизованные колебания нейронной активности в диапазоне частот (30-80)//z, вызванные взаимодействием ансамблей возбуждающих и тормозных нейронов, а также действием химического агента. Система, состоящая из двух ПМНА (для возбуждающего и тормозного ансамблей), связанных через синаптические проводимости, качественно моделирует (см. рис. 4) экспериментальные зависимости активности и постсинаптических токов от времени (постсинаптический ток регистрируется в эксперименте patch clamp, в котором потенциал внутри нейрона при помощи микропипетки фиксируется на заданном уровне).

В заключительной части сформулированы наиболее важные результаты и выводы, полученные в диссертационной работе.

У„- -70т¥

ЕР$С

п\У\

РЯС

У„-+10тУ

0 Пте!™)М

N 20

10

-10

1Р8С ЕР8С

0

-2 -4

.аи

/ ! \ "и

1 V 1 \ ]\ ^ ! \ / | \ / 1 х У

• х. 1 1 , I / \ 1 1 1 : \ ! / \ 1 / ч 1 ' 1 - 1

■ ........V? . 1 ^ 1. . . 1 "

8110

8120 8130

1тв

1

■10 -12 -14

8140

Рис. 4. Экспериментальные зависимости [2] (левый рис.) активности (верхняя гистограмма) и постсинаптических возбуждающих и тормозных токов (ЕРЯС ,1Р8С) для пирамидных нейронов гиппокампа от времени (нижние рис.); модельные зависимости (правый рис.) активности А^ и токов ( ЕРБС, 1РБС ) для нейронов возбуждающей ПМНА от времени

Работа содержит пять приложений. В первом приложении приводятся уравнения аппроксимации потенциал-зависимых каналов Л^1юге [4], составляющие модель распределённого нейрона XX, используемого в работе. Во втором приложении описывается известная полевая модель нейронного ансамбля, построенная на переменной и - потенциал нейрона [5]. В третьем приложении излагается аналитический вывод функции перехода

г _ Л

- -—, основной функции т -нейрона. Четвёртое приложение содержит

& Е

вывод коэффициентов уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова [1], основного уравнения ПМНА. Исходные коды реализации распределённого нейрона Ходжкина-Хаксли приведены в последнем приложении.

По материалам диссертации опубликованы следующие работы:

Турбин A.A., Чижов A.B. Параметризация нейрона как составной части нервной колонки. // Межвузовская научная конференция, юбилейная неделя науки. - СПб.: СПбГТУ. 4.VIII. 2002, с.91-92.

Турбин A.A. Моделирование нейронного ансамбля. И Процессы управления и устойчивость: Труды XXXIII научной конференции студентов и аспирантов факультета ПМ-ПУ. - СПб: НИИ Химии СПбГУ, 2002, 309-314 с.

Турбин A.A., Чижов A.B. Модель нейронного ансамбля. // Нейроинформатика-2003. Труды V всероссийской научно-технической конференции. -М.: МИФИ. 2003г, 133-140 с.

Турбин A.A., Чижов A.B. Изменение чувствительности нейрона к синаптическому воздействию в период между спайками. // Нелинейное моделирование и управление. Тезисы докладов международного семинара. - Самара 2004,63-64 с.

Турбин A.A., Чижов A.B. Определение параметров модельного нейрона по постсинаптическим токам. // Нейроинформатика-2004. Труды VI всероссийской научно-технической конференции. - М.: МИФИ 2004г, 117-123 с.

Турбин A.A., Чижов A.B. Сравнение моделей популяционной нейронной активности. // Нейроинформатика-2005. Труды VII всероссийской научно-технической конференции. - М.: МИФИ, 2005г. 4.1,122-126 с.

Турбин A.A., Чижов A.B. Сравнение одномерных моделей реалистичных нейронов. // Устойчивость и процессы управления Труды международной конференции. -М.: МИФИ 2005г. 1207-1211 с.

Турбин A.A., Чижов A.B. Сравнительный анализ популяционных моделей. // Проблемы нейрокибернетики. Труды международной конференции. - Ростов-на-Дону: ЦВВР, 2005. Том 2. 49-51 с.

Список цитируемой литературы:

1. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. Случайные процессы. М: Наука: 1976. - 491 с.

2. Fisahn A., Pike F.G., Buhl Е.Н., Paulsen О. Cholinergic induction of network oscillations at 40Hz in the hippocampus in vitro. // Nature. -Macmillan Publishers, 1998, №394, 186-189 pp.

3. Gerstner W., Kistler W.M. Spiking Neuron Models: Single Neurons, Populations, Plasticity. - Cambridge University Press, 2002. - 400 pp.

4. Migliore M., Hoffman D.A., Magee J.C. Role of an A-type K+ conductance in the back-propagation of action potentials in dendrites of hippocampal pyramidal neurons. // Journal of computational neuroscience. 1999. № 7, 515 pp.

5. Omurtag A., Knight B.W., Sirovich L. On the Simulation of Large Populations of Neurons. // Journal of Computational Neuroscience. 2000. №8, 51-63 pp.

Лицензия ЛР №020593 от 07.08.97

Подписано в печать 11.11.2005. Формат 60x84/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,00. Тираж 100. Заказ 159Ь.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в Цифровом типографском центре Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. Тел.: 550-40-14 Тел./факс: 247-57-76

fi

t г

1 t

j 'î 2 f

РНБ Русский фонд

2006-4 25846

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Турбин, Андрей Александрович

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР.

1.1. Единичный нейрон.

1.1.1 Устройство и морфология нейронов.

1.1.2 Нейрон как электрическая система.

1.1.3 Классификация моделей единичных нейронов.

1.2. Нейронный ансамбль.

1.2.1. Модульная организация коры головного мозга, гиппокамп.

1.2.2. Классификация современных моделей нейронных ансамблей.

Введение диссертация по физике, на тему "Редукция к одномерному уравнению Фоккера-Планка модели электрической активности ансамбля нейронов"

В настоящее время область применения традиционных физических подходов всё больше расширяется, и предлагаемая работа тому пример. Нейрофизиология и радиофизика объединяются общими математическими подходами: уравнениями Ланжевена и Фоккера-Планка-Колмогорова. Для механических систем и радиофизики эти уравнения появляются, например, при рассмотрении броуновского движения, флуктуаций в генераторах [1], замедления нейтронов [9] и плазмы, а также при описании распространения волн в случайной неоднородной среде [13]. Объектом исследования в механике, в случае броуновского движения, является ансамбль частиц (в настоящей работе под ансамблем понимается некая совокупность однотипных элементов), описываемых координатой и скоростью

Хь = на которые оказывается воздействие в виде случайных толчков.

А в нейрофизиологии объектом является ансамбль нейронов, находящийся под воздействием случайных синаптических «толчков». Состояние нейрона описывается неким вектором состояния Хп. Если понимать под элементом механической системы частицу, а в нейрофизиологии нейрон, то можно записать единое уравнение Ланжевена для элемента ансамбля: где F отражает действие регулярных сил, a Y - случайных. При рассмотрении ансамбля частиц при броуновском движении интересуются плотностью распределения в пространстве Хь, а для нейронов в пространстве Хп. На основании уравнения Ланжевена, можно написать уравнение Фоккера-Планка, позволяющее проследить эволюцию плотности распределения р : dt ~ Y dxt dxfdxJ ' где Xj и Xj - компоненты вектора X, A(x,t) отражает влияние регулярного воздействия F(x,tj, a B{x,t) - случайного воздействия Y{x,t). Таким образом, хотя уравнение Фоккера-Планка описывает процессы разной природы (блуждание частиц и синаптическое воздействие на нейроны), вид уравнения тот же.

Броуновские частицы могут находиться в поле действия внешних регулярных сил, например, силы тяжести. А нейроны могут быть под воздействием химических веществ, например, каинат оказывает постоянное возбуждающее синаптическое действие [45]. Для плазмы со слабым взаимодействием можно ввести самосогласованную силу, действующую на данную частицу со стороны всех остальных частиц. А для нейронов эта сила эквивалентна возбуждению или торможению, действующему со стороны нейронов ансамбля, имеющих синаптические контакты от нейронов этого же ансамбля. Математически это подобным образом отражается в функции

F{x,t) для уравнения Ланжевена и в функции а(х, для уравнения Фоккера-Планка.

В работе рассматриваются электрические свойства элемента ансамбля, нейрона. Нейрон суммирует электрические сигналы, приходящие от других нейронов и может переходить в возбуждённое состояние (спайк), тогда он выдаёт сигнал, поступающий на другие нейроны. Вектор состояния Хп должен отражать внутреннее состояние нейрона и однозначно разделять возбуждённое состояние и невозбуждённое, в таком случае можно называть фазовым вектором. Поскольку нейрон - сложная система, то выбор конкретного вектора состояния является неоднозначной задачей, сопровождаемой упрощениями, редукцией. Наиболее подробным вектором

Хп при рассмотрении нейрона, представляющего собой распределённый проводник второго рода, погруженный в проводящую межклеточную жидкость и отделённый от наружного проводника тонкой мембраной с особыми проводящими свойствами, является вектор состояний на графе. А одним из вариантов упрощенного вектора состояний Хп является единственная переменная - разность потенциалов V на мембране (Хп = (v)).

В работе предлагается новый вариант упрощённого вектора состояний Хп -универсальная величина - предполагаемое время до спайка т.

Актуальность исследований. Разработка математических методов исследования нейронных структур является одной из актуальных проблем современной нейрофизиологии. Развитие вычислительных средств и экспериментальных методик делает актуальным построение математических моделей активности нервной ткани, в частности, модели нейронного ансамбля (под нейронным ансамблем понимается некая совокупность однотипных, возбуждающих или тормозных, нейронов).

Нервная ткань представляет собой распределённую электродинамическую систему взаимодействующих источников тока в трёхмерном пространстве слабопроводящей среды (электролита), находящуюся под воздействием детерминированного и случайного воздействия. Распределение этих источников сложно и допускает целую иерархию упрощений. Во-первых, они объединены в некие замкнутые поверхности - нейроны. Во-вторых, распределение этих нейронов в ряде случаев можно рассматривать однородным. А в-третьих, согласно современным представлениям нейрофизиологии корковой ткани, нейроны часто работают коррелированно в ансамбле (например, в колонке). Поэтому создание целостной «полевой» модели ансамбля нейронов является актуальным. «Полевое» описание нейронного ансамбля, в отличие от «многочастичного», не рассматривает активность конкретного нейрона, а описывает ансамбль в терминах плотности распределения нейронов по параметрам состояния.

Среди существующих ансамблевых моделей нет общепризнанных, и задача построения вычислительно простой, но достаточно точной полевой модели нейронного ансамбля является актуальной. Решение этой задачи найдено в применении традиционных для физики (в частности, для радиофизики) математических подходов: используются уравнения Ланжевена и Фоккера-Планка, а также анализ колебательных систем для сведения модели нейрона к одномерной модели.

Цель работы состояла в разработке модели нейронного ансамбля. Для этого необходим переход от многочастичного (многоэлементного) описания нейронного ансамбля к полевому, то есть к описанию в терминах плотности распределения. Эта цель достигалась путём решения нескольких производных задач.

- Необходимым для полевого описания нейронного ансамбля являлось построение модели нейрона с малым числом переменных (с единственной переменной), характеризующих его состояние. Эта модель определялась выбором фазовой переменной и уравнениями для описания состояния нейрона.

- На этапе разработки средств численного моделирования были разработаны компьютерные программы для моделирования единичного нейрона и многочастичного ансамбля нейронов на основе уравнений Ходжкина-Хаксли.

- Была решена задача разработки уравнений для полевой модели ансамбля нейронов, и выведены формулы для связи параметров уравнений с параметрами уравнений единичного нейрона.

- Проводился сравнительный анализ исследуемых моделей.

- Также решалась задача моделирования экспериментально наблюдаемого гамма ритма активности участка нервной корковой ткани.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовались методы статистической физики и математического моделирования.

- Для вывода уравнений модели ансамбля использовался формализм Фоккера-Планка, применяемый, в частности, в статистической радиофизике.

- Использовались и анализировались модели нейронов: модель Ходжкина-Хаксли, пороговый интегратор (Leaked-Integrate-and-Fire), спайковый нейрон (Spike Response Model) и нейрон - частотный генератор (Firing Rate). - Применялись численные методы, такие как: сеточный метод Эйлера для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, метод прогонки для реализации неявной численной схемы уравнения теплопроводности, метод расщепления по физическим процессам для построения численной схемы уравнения переноса, метод наименьших квадратов для решения задач оптимизации коэффициентов аппроксимационных зависимостей.

Положения, выносимые на защиту:

- Предложенная модель нейрона, основанная на фазовой переменной -предполагаемом времени до спайка, достаточно точно описывает состояние нейрона между спайками.

- Предложенная полевая модель ансамбля достаточно точно описывает работу совокупности одинаковых нейронов под воздействием зашумлённого синаптического стимула.

Достоверность результатов.

- Достоверность модели единичного нейрона на основе фазовой переменной - предполагаемом времени до спайка - обеспечивается детальным сравнением её свойств со свойствами эталонной модели распределённого нейрона Ходжкина-Хаксли.

- Достоверность полевой модели нейронного ансамбля обеспечивается сравнением предлагаемой модели ансамбля и аналогичного многочастичного описания ансамбля нейронов.

- Модель ансамбля даёт непротиворечивые эксперименту результаты моделирования индуцированного гамма ритма активности нервной корковой ткани.