Решение граничных задач для систем эллиптических уравнений второго порядка методами комплексного анализа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На правах рукописи

АЛЬ-ДЖАУР Ахмад Махмуд

РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА МЕТОДАМИ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА

01. 01. 02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1993

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Казанского ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственного университета имени В.И.Ульянова-Ленина

Научный руководитель доктор физико-математических

наук, профессор Чибрикова Л.И.

Официальные сппснспты доктор физико-математических ■

Защита состоится 2 1993 г. в ^ часов

на заседании' специализированного совета по математике № К.р.053.29.94 в Казанском ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственном университете имени В.И.Ульянова-Ленина по адресу:

420008, г.Казань, ул.Ленина, 18, корпус 2, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета: г.Казань, ул.Ленина, 18.

Автореферат разослан ^Шб«^ 1993 г.

Ученый секретарь

наук, профессор. Габдулхаев Б.Г,

кандидат физико-математических наук Хайруллин Р.С.

Ведущая организация Самарский государственный

педагогический институт

доцент

специализированного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В теории дифференциальных уравнений с частными производными большое внимание уделяется изучению плоских линейных граничных задач для одного вещественного уравнения эллиптического типа второго порядка

л Уц , о Р , г • .

и для системы щ > ^ таких уравнений. Система обычно записывается в том же виде (I) при условии, что 'ит) есть т -мерный искомый вектор, а все коэффициенты А > В >— есть заданные функциональные (тхт )-матрицы.

В скалярном случае (Шс! ) при аналитических коэффициентах основные результаты в теории линейных граничных задач были получены методами комплексного анализа, при атом доказательства теорем единственности для достаточно широкого класса областей оказались относительно простыми, а доказательства теорем существования решений - сложными как в случае выполнения условий теоремы единственности-, так и в случае их невыполнения. Чаще всего доказательства теорем существования реше -ний сводились к разработке алгоритмов построения этих решений. Наиболее эффективным оказался метод И.Н.Векуа, основанный ' на построенных им интегральных' представлениях любых регулярных решений уравнения (I) с аналитическими коэффициентами через произвольные голоморфные функции одного комплексного перемен-

I. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений; - М.-Л.: ОГИЗ Гостехиздат, 1948. - 296 с.

ного, при этом число этих функций определяется порядком связности области ( [Ц , гл.1). И.Н.Векуа показал ( [i] , гл.Ш), что его интегральные представления удобны при решении граничной задачи Дирихле .и одного из ее обобщений задачи Пуанкаре с производными в граничном условии в случае односвязных и многосвязных областей, ограниченных линиями Ляпунова. Регулярные ре шения этих граничных задач он записывал в виде своих формул, входящие в них неизвестные голоморфные функции записывал в виде интегралов типа Коши или некоторых их обобщений с неизвестными плотностями, доя определения которых на основе граничногс условия получал сингулярное интегральное уравнение ( а иногде уравнение фредгольма). На основе эквивалентности между исходной .граничной задачей и полуденным интегральным уравнением путем исследования интегрального уравнения получались выводы . о разрешимости граничной задачи. Были выделены и те достаточно редкие случаи эффективности этого метода, когда одновременно возможно в замкнутой форме построить ядро представления И.Н. Векуа'и получить в замкнутой же форме решение интегрального уравнения.

А.В.Бицадзе показал, что метод И.Н.Векуа переносится на матричные уравнения (I). частного вида

Е(и) = А и + Ь(х,з)^+с(х,аж=0(2)

с аналитическими ( YWXlnn )-матрицами d jh j С ( Г71 > 1 ), Его результаты по исследованию задачи Дирихле и частного случая задачи Пуанкаре'- задачи с наклонной производной в случае

2. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. - М.: Наука, 1966. - 203 с.

односвязных областей доя системы (2) изложены в монографии (гл.1У) и в монографиях [2] , [з] самого А.Б.Бицадзе. В монографиях [2] , [3] изложены также результаты А.Б.Бицадзе, Е.В. Золотаревой, Н.Е.Товмасяна и др. по конструированию таких эллиптических систем (I), для которых задача Дирихле при невыполнении условий теоремы единственности является однозначно разрешимой или имеет даже бесконечное множество решений в случае областей специального вида. Основная часть таких систем оказалась принадлежащей классу систем

А Уи , ХР уи , с Уи (3)

я эх* -¿у* -и

с постоянными матрицами-коэффициентами А / В г С . Все регулярные решения таких систем выражаются линейно через конечное число голоморфных функций, каждая из которых зависит отодного из комплексных переменных — х + ^ у , где комплексные числа являются корнями характеристического многочлена

=<и*(АЪ* + 2В2+с). , (4)

соответствующего системе (3). С помощью таких неинтегральных представлений регулярных решений граничные задачи для системы (3) приводятся к эквивалентным граничным задачам для системы функций с несколькими смещениям.

' А.Б.Бицадзе [2] , [3] неоднократно подчеркивал значение линейных граничных задач для эллиптических систем I) при изучении свойств различных классов функций ( бианалитических, обобщенных аналитических функций по Векуа и Бёрсу) и при решении

3. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных • производных. - М.: Наука, 1981. - 448 с.

некоторых прикладных задач (граничных задач плоской теории упру гости в случае изотропных и анизотропных сред, граничных задач теории упругих оболочек) и считал необходимой дальнейшую разработку этого раздела современной теории дифференциальных уравнений. При этом к числу основных вопросов, подлежащих изучению, он относил выявление новых классов эллиптических систем (I) и новых классов областей, для которых решение граничных задач можно было бы получить новыми или уже известными методами.

Цель работы. В диссертации рассматривается лишь часть проблемы, сформулированной А.В.Бицадзе. В ней для эллиптических систем вида (2) при любом т>1 и систем (3) при т = 2 разрабатывается новый метод решения задачи Дирихле и частного •случая задачи Пуанкаре (задача-с наклонной производной) в случае односвязных и многосвязных областей, ограниченных заданной алгебраической кривой йли дугами такой кривой и ее осями сим -метрии. Среди рассматриваемых областей выделяются такие, для которых рассматриваемый метод может быть эффективным.

Общая методика исследования. В основу метода решения задач Дирихле и Пуанкаре для систем (2) положены интегральные представления Векуа-Бицадзе любых регулярных решений <¿(>0^)= = £еЦ"(системы (2); аналитическое продолжение 17 ( 2 .> £ ) искомого вектора на комплексные переменные 2 =

£ = X - ¿у определяется путем перехода на риманову поверхность 'симметрии граничной алгебраической кривой как решение задачи Шварца для этого вектора "О или граничной задачи Римана-Гильберта-Пуанкаре, при этом при решении последних задач на римановой поверхности используется известный метод симметрии, применяемый Л.И.Чибриковой и ее учениками при решении

1екоторых граничных задач для аналитических функций в плоских эбластях ; при сдуске с поверхности симметрии на плоскость 2 по известному вектору XIнеизвестные голоморфные век-горы в представлении Векуа-Бицадзе определяются либо только из штегрального уравнения Больтерра второго рода, либо обращением сравнения Больтерра с последующим обращением уравнения Фредголь-(1а.

При решении тех же граничных задач для системы (3) при т = 2 важную роль играет приведение этой системы к канонической эорме методом, предложенным авторами монографии [б] . и полу -¡енное на этой основе неинтегральное представление любого регу-ирного решения системы через две голоморфные функции, завися-дае либо от одного переменного н » либо от 2 и •

1ереход на риманову поверхность симметрии приводит в обоих слу-1аях к обычной краевой задаче (без сдвига) для одной кусочно-г 7оломорфной функции на этой поверхности.

Научная новизна. Новым в теории линейных граничных задач уш эллиптических систем является заключение о влиянии рода £ ф 0 алгебраической границы области на разрешимость рассматриваемых задач. Новой является вся схема определения голоморфных векторов в представлениях Векуа-Бицадзе при построении зегулярных решений граничных задач Дирихле и Пуанкаре для сис-

4. Чибрикова Л.И. Граничные задачи теории аналитических функций на римановых поверхностях //Математический анализ. Т. '8 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). - М.,1980. - С.3-67.

5. Hua Leo Kens, Lin '.Vei, W\i Ci Quian. Second-order sys-ems of partial differential equations in the р1атэ - London:-itnaij. 1985. - 292 p.

теш (2) в случаях односвязных и многосвязных областей, ограниченных алгебраической кривой и ее осями симметрии. Впервые полностью осуществлена идея использования векторного оператора Шварца при получении интегрального представления для решения задачи Римана-Гильберта-Пуанкаре на римановой поверхность

Теоретическая и практическая ценность. В целом диссертация представляет соб.ой теоретическое исследование. Разработанная в ней схема построения решений граничных задач Дирихле и Пуанкаре в случае областей с границей ненулевого рода фактиче ски представляет собой доказательство существования решений. Лишь для задач Дирихле и Неймана, когда граница области есть уникурсальная кривая, и немногочисленных случаев границ ненулс вого'рода, разработанный в диссертации метод может-быть эффе} тивным и его можно применить при решении конкретных прикладных задач.

Апробация работы, результаты диссертации, по мере их п< лучения, неоднократно докладывались на семинаре кафедры дифф< ренциальных уравнений Казанского университета и на итоговых научных конференциях К1У за 1990 и 1991 годы.

Структура и объем_аиссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы из 51 наименования. Её общий объем - 139 страниц машинописи.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

' Во введении изложен основной вспомогательный материал, . необходимый при выполнении диссертации. Для удобства введена разделено на 3 параграфа, каждый из них представляет собой

самостоятельный обзор. В §1 изложены необходимые сведения из теории эллиптических^систем дифференциальных уравнений второго юрядка, достаточно подробное описание метода интегральных уравнений решения граничных задач Дирихле и Пуанкаре для этих систем, и здесь же изложено выполненное автором диссертации обобще те интегрального представления И.Н.Векуа.в случае многосвяз -шх областей для матричного уравнения (2). В §2 коротко описаны эсновные характеристики алгебраических кривых (порядок, род, гага особых точек), связанных с ними римановых поверхностей симметрии и основы применения этих поверхностей при решении краевых задач типа Гильберта для аналитических функций. В §3 коротко эписано содержание всей диссертации.

Весь оригинальный материал диссертации является содержани-зм двух ее глав, разделенных соответственно на 4 и 3 параграфа.

В главе I рассматривается однородная эллиптическая система (2) с аналитическими коэффициентами-матрицами С(х,а)измерения (тхт) . В классе регулярных решений этой системы проводится исследование разрешимости граничных задач Дирихле и Пуанкаре в случае областей, ограниченных заданной алгебраической кривой

£ : ? ( X , Э ) = 0 (5)

л ее осями симметрии. Реализуется идея Л.И.Чибриковой одновременного аналитического продолжения уравнений (2) и (5) на ком-¡глексные переменные

2 = х + I 3 , к - X - С У • (6)

Гем самым осуществляется эквивалентный переход от исходной краевой задачи в классе регулярных решений системы (2) к соответствующей краевой задаче для вектора

удовлетворяющего уравнению

* 8(2'«)-^- + С <2'4)17(2,4) =0

и аналитического в некоторой области римановой поверхности симметрии 1фивой (5)-

П г-> ( 7 + к 7т - & Л . П /Л\

: Г - ^ '

Реализация этой идеи в случае одного скалярного уравнения (2) осуществлена в диссертации [б] З.М.Нута.

Хотя метод решения граничных задач Дирихле и Пуанкаре -перенос их на риманову поверхность - является одинаковым,

детали вычислений и рассуждений при реализации этого приема окг зываются различными в' зависимости от порядка связности рассматриваемой области 2) и от рода У её алгебраической границы ЪТ> « что Б конечном счете сказывается на заключении о характере разрешимости этих задач.

В §1 рассматривается задача Дирихле в случае односвязной области 2) , ограниченной алгебраической кривой £ (5) рода ^р или частью этой кривой и ее осями симметрии. Так как на £ и, значит, на всегда могут находиться особые

точки - угловые, кратные, которые трактуются как совокупность угловых, и другие, в которых может нарушаться гладкость , то задача Дирихле формулируется следующим образом:

6. Нут З.М. Решение граничных задач для эллиптических уравнений второго порядка методом аналитического продолжения. Автореферат канд. дисс. - Казань, 1991.

В плоской области 2> с кусочно-алгебраической границей ЪТ> найти )т) гмерный вектор И (х, у) = (П.,,—-;»и.т) > являющийся регулярным решением вещественного уравнения (2) в Х> » непрерывно продолжимый на "^Р всвду, исключая разве что

конечное число угловых точек , ^ ,....., ^ и удовлетворяющий

граничному условию

= , .....Ле} , (9)

где -Рш = >----'-"С) " заданны® вещественный вектор, удовлетворяющий условию Гёльдера во всех точках ¿е }' а в точках могущий иметь точки разрыва первого рода.

Считаем , что область I) с , где о^ есть одна из односвязных основных областей системы (2), то есть одна из областей одновременной аналитичности всех коэффициентов уравнения (7) в хд^) • На основании результатов А.В.Бицадзе в любое регулярное решение системы (2) представляется в виде и(х,у) = 2е 17(2 , ?) , где

= г,г) У>(г)-

2

- / [Ь К С *' ц, 2' г) - я <*> % ' г , *) в (г, Ц; Л у да ¿*

и зсть матрица Римана системы (2), а 5^(2) -

произвольный голоморфный в X) вектор. С одной стороны, представляет собой линейный оператор Вольтерра второго рода от неизвестного вектора у?(2) :

и(2,г) = (2,*) > , • (Ю)

С другой, на поверхности , где переменные 2 и

связаны алгебраическим уравнением (8), вектор и (.2>£ ) будет аналитическим в области , лежащей над X) , а на 'ее

границе этот вектор 11(2>&) в силу заданного граничного условия (9) должен'удовлетворять граничному условию задачи Шварца

Веи| = (П)

Пусть область р ограничена только линией £ и £ является уникурсальной, то есть для нее р = О .Ее образ £ : 2 = £ = на является линией- симметрии с законом симмет-

рии (2*5)«—»(¿" ^2) .-Пусть £г разделяет на две сим-

метричные части Х>2 и и одна из них }} лежит на

одном листе £ , так что над р нет точек ветвления . В этом случае путем введения на вспомогательного кусочно-

голоморфного вектора

Г ' ' -

___ ^ (12)

удовлетворяющего услоьию симметрии

задача Шварца (II) сводится к задаче, о скачке. Если через К {.?:>Х> X>г)обозначить аналог ядра Коши на поверхности (метод его построения по уравнению (8) известен [4} ), то с учетом (12) и .(13) оператор Шварца для области полу-

чится в таком виде

у 1 - (14)

+ К(£>-г;г,г)}'1г + . (г,ь)еЦ

где со - произвольный вещественный вектор.

Для вектора и теперь имеются два представления:

(14) и (10). В области Т> на плоскости они должны совпадать. Поэтому мы подставляем (14) в левую часть (10) и это равенство опускаем на плоскость 2 • полагая в нем £ = ч (г) , где

(г) - та ветвь алгебраической функции уравнения (8), для которой =1 > , и значения которой заполняют тот лист поверхности ^ , на котором расположена область £) . Из (10) таким образом получается интегральное уравнение Вольтерра второго рода

Ы </0 '№)] ; геъ ц5)

с.аналитическими коэффициентами для определения неизвестного вектора у?(2) . Получив вектор обращением уравнения

(15) (аналитичность этого единственного решения уравнения. Вольтерра является следствием аналитичности ядра уравнения, его коэффициентов и правой части), из условия ^(.2<>) = определяем входящий в него постоянный вектор с С0 . Этой операцией построение единственного в данном случае решения задачи Дирихле завершается. Значит, по терминологии А.В.Бицадзе, задача Дирихле для односвязных областей, ограниченных уникурса-льными алгебраическими кривыми, является фредгольмовок.

Этот вывод сохраняется и в случае односвязных областей, ограниченных дугами уникурсальной кривой ^ и ее осями симметрии. Однако, здесь усложняется процесс решения задачи Шварца (II) на . Дело в том, что в этом случае Р2иР* не покрывает всей поверхности Я2 и равенства (12) определяют вектор £1 (н,^) только на части . Чтобы доопределить

Л(2,2,) на всей , надо покрыть по закону паркета

¿Г

областями, симметричными 1) 1>г относительно ее границ. Число таких симметрии может быть как конечным, так и бесконеч-

ным. Последовательное выполнение любого четного числа таких симметрий порождает бирациональное преобразование в себя, а вся совокупность таких бирациональных преобразований образует некоторую группу Г : , Ь = <м,-.-. По закону Г-ав-томорфности и распространяется вектор О- (г) (12) на всю :

^2(2/4) = = (16)

Оператор Шварца получается в том же виде (14), только ядро К заменяется его Г-автоморфным аналогом.

Кбгда односвязная область X) ограничена единственным овалом линии £ рода ^ ф О , то ее образ располагается на всех ^ + 1 листах и не может служить границей однолистной на области. Однако, если обладает группой Г-преобразований в себя, содержащей транзитивные преобразования, переставляющие листы ^ г , то Г-образы на также будут линиями симметрии со своим законом симметрии на каждой из них,и вся совокупность их д = о''...../ ; $

О 2 0 2

пересекаясь в точках ветвления, лежащих в данном случае на , на каждом листе образует замкнутый контур, проекцией кото-

рого на плоскость 2 является линия . Любой из этих зам-

кнутых контуров можно принимать на за . Ясно,

что в данном случае £ , ограничивающая Д) , состоит из X -конгруэнтных дуг , где преобразования группы ¥ получаются из преобразований группы Г заменой Решение задачи Шварца (II) опять сведется к построению на Г-автоморфного вектора О. (, удовлетворяющего условию симметрии (13),по известному скачку на^З^. Оператор

Шварца опять получим в виде (14), заменив в этой формуле ядро

л*

его Г-автоморфным аналогом , но при этом в силу

условия 0 возникнет вещественных векторных (или,

что все равно, ЩР скалярных) дополнительных условий

л

=0 > ' а?)

называемых обычно условиями однозначной разрешимости задачи Шварца. Б этих условиях С?->4") ' ¿ = есть один из базисов абелевых дифференциалов первого рода на и, следовательно, условия (17) зависят только от свойств 2Т> = £ и не зависят от коэффициентов системы (2). При выполнении условий (17) задача Дирихле имеет единственное решение и по терминологии А.Б.Бицадзе относится к числу нётеровых. -

Все три случая односвязных областей проиллюстрированы примерами.

Когда отдельные участки границы плоской области связаны между собой некоторыми преобразованиями, порождающими группу, го такая область является моделью римановой поверхности. Эта трактовка применима и в нашем случае: односвязная область Т> з алгебраической границей £ рода ^ , обладающей груп-юй X преобразований в себя, есть одна из плоских моделей замкнутой римановой поверхности этого рода. Отсюда и влияние эода £ на разрешимость граничной задачи Дирихле.

В §2 задача Дирихле для многосвязной области са^-; ограниченной всеми овалами заданной алгебраической кривой .

^О,применяемым в диссертации методом решается в случае, тогда эти овалн связаны между собой преобразованиями группы & . В этом случае на границей области £>г является совокупность Г -конгруэнтных овалов, со своим законом симметрии га каждом. Регение задачи Шварца при определении и (г > ¿,) на с осложняется многозначностью и(£'<5) в многосвяз-

ной области $2 и наличием в |ве интегральном представлении Ве-куа-Бицадзе постоянных векторов £ и голоморфных в различных областях.векторов Р(2) и $^(2) ■> К=Ы) , подлежащих определению. Искомый вектор 0 (н >£,) представляется в виде двух слагаемых, одно из^которых является однозначным Б ¡32 » а другое многозначным. Однозначное слагаемое как решение задачи Шварца при выполнении известных условий разрешимости, число которых выражается через £ и порядок сшзности оСишСти , представляется в виде оператора Шварца. Условия разрешимости используются при определении постоянных векторов , а представление оператора Шварца в виде суммы подобных операторов для п + 1 областей" - односвязной р и двусвязных Тк =Т>- ^ - позволяет получить для и С 2 / 4) одно из представлений в виде суммы из п+' слагаемых'Ц ) ; второе разбиениена слагаемые с такими"же свойствами получается из представления Векуа-Епцадзс. Путем приравнивания таких слагаемых с одинаковыми номерами из. этих двух разбиении при £ = /? {г) приводит к интегральным уравнениям для' определения векторов Р(2) и ^,(2) . Задача. Дирихле и-в этом случае является нётеровой.

В §3 в случае односвязных областей, ограниченных алгебраическими кривыми рода ^ 0 , методом переноса на поверхность /32 проводится исследование разрешимости задачи Пуанкаре (случай задания косой производной). Для вектора 1/(г^)на

получается один из случаев известной задачи Римана-Гильбе рта-Пуанкаре. Эта задача с помощью построенного в диссертации интегрального представления ЦЧ 2 ) с неизвестной плотностью

ГЫ = ЯеЦШ , /г ,

а

приводится к сингулярному интегральному уравнению относительно . Вычислен .индекс эе этого уравнения и показано, что задача является нётероЕой, при этом И-2. - т(Р~1)' В §4 рассмотрен частный случай задачи Пуанкаре - задача Неймана. Показано, что на ей соответствует задача Рима-на с индексом 26 = -2 • Отсюда получается-известная форма одного условия разрешимости и заключение -о возможности получить решение в замкнутой форме для таких же областей, для которых эффективно решается задача Дирихле.

Глава П посвящена решению граничных задач Дирихле и Неймана для системы (3) с постоянны!.® коэффициентами. Ради простоты рассмотрен только случай односвязных областей, ограниченных алгебраическими. кривыми £ любого рода ^ — 0 и только при т = X , чтобы решение исходных задач получить в замкнутой форме. Здесь при решении исходных задач для искомого регулярного двумерного вектораЛ*/(2, г) = 1 ^(«-¿¡используется не представление Векуа-Бицадзе, а неинтегральное представление его через две аналитические функции <ф> и ~ЦТ , зависящие либо от одного переменного 2 » либо от разных г и 2,= .

• Это представление получено авторами монографии, [б] на основе предложенного им метода приведения системы (3) из двух уравнений к канонической форме, когда все корни соответствующего этой системе характеристического полинома^ (§) являются чисто мнимыми. В диссертации вывод неинтегрального представления"\^(2^ ЦТ) через ср> и Х^Т уточняется (§1), а затем при решении задачи Дирихле (§2) и задачи Неймана (§3) их граничные условия, выраженные через функции ф> и переносятся на поверхность ^ , где путем введения вспомо-

гательных кусочно-голоморфных функций обе задачи приводятся к частным случаям краевой задачи Римана, в том числе и в случае, когда ф и зависят от разных переменных И 'и 24 •

Задачи со смещением здесь не возникает, так как на становится голоморфной функцией с< 2 +- Р ¿,

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации при исследовании граничных задач Дирихле, Пуанкаре и Неймана для двух классов эллиптически* систем (2) и (3) получены и выносятся на защиту следущие основные результаты:

1. Детальная разработка метода решения задачи Дирихле в случае односвязных и многосвязных областей, ограниченных алгебраическими _кривыми и их осями симметрии, путем переноса на риманову поверхность симметрии граничной кривой.

2. Совершенствование схемы решения задачи Пуанкаре на римановой поверхности симметрии.

3. Исследование влияния рода алгебраической границы и числа ее овалов на разрешимость рассматриваемых задач.

Пользуясь случаем, автор сердечно благодарит своего научного руководителя профессора Любовь Ивановну Чибрикову за постановку задач и всестороннюю помощь при выполнении настоящей работы.