Решение краевых задач для систем уравнений параболического и эллиптического типа при граничных условиях смешанного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНСКОП РЕСПУБЛИКИ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ и МЕХАНИКИ

----_— , - ., -, ....

___ лл На правах рукописи

Plu IM ..

; ' *

r2 l\IÛ 1325

МАМЕДОВ НИЯЗ МУСТАФА оглы

УДК 519. 95

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО И ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ СМЕШАННОГО ТИПА

01- 01. 02-Дифференциальные уравнения

АВТО РЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

БАКУ — 1995

Работа выполнена на кафедре уравнении математической физики Бакинского Государственного Университета им. М. Э. Ра-сулзаде

Научный "консультант академик АН Азербайджанской Республики |м. Л. РАСУЛОВ (

Официальные оппоненты:

академик АН Азербайджанской Республики, доктор-физико математических наук, профессор ГАСЫМОВ М. Г. (БГУ им. М. Э. Расулзаде) , .

доктор ф1П!-<ко-матгматических наук, профессор В. А. Кондратьев (МГУ им. М. В. Ломоносова)

доктор физико-математических наук, профессор А. А. Новрузов (Азербайджанский Технический Университет)

Ведущая организация: Институт физики Высоких Энергии Российской АН (г. Протвино, Московская обл.)

^ О ^ .л О О

Защита состоится995 года в | | часов на заседании

разового специализированного совета Б/Д 004. 01. -02 ИММ АН

Азербайджанской республики по адресу г. Ба-ку, ГСП 602, ул.

Ф. Агаева, 553-ии квартал дом 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ АН Азербайджанской Ресну^лйкй^ТГ;^-;.

Автореферат разоС^а^/«' ¿у; 7~» ^^^/Ну-'О^ЭОБ года

Ученый секретарь\совета/ Л, .'"'

\ \д.ф'г м.н, прЬф. / И С К Е Н Д ЕРОВ Б. А-

СПАЗ ХА?АНТЕ?2СТИКА 'РАБОЙ

Лягуальвосгь пробасим. Как вмесгао ? язгсо cap&Scsiiisc-ких свсгем урагсвкзй, згэдвзагй й.Р.Рогрозокки з его счз'игззой рабогз "О задача Кепи для сг-ssn дЕ^арэкцзаяыз»; jpraaejiai в • пао5Енив прояззодпнкя в сбласгз еаакалйзакзоет йугэдка ШЗЗг») ' оказадоя чрэагычайго вижя ¡1 породпз з гдий'зйят r4sroa явлраз-' левее нсследеааянй, С. : кис вазаа-г» p?.6osa Т.Я.Загорского,В .П.УжаЗлова,ОЛ.Яа-д!^яской,Г.Б.Евпоза^иС.йррапо23^»и.З»3"г^ея5'3»Л.Соп;3!:ггзгс5а,

Параболически яо Ц.Г.Пагроззазоцу сгоге'^а кгагггоъ ^гоьиа удач. лш' обс5г,вкпзи йзве'с»2о?о уразсэаЬя' я дгя .зях • оамяы авгорон tfraa узгаягагога езррехяю$п ж» Лда-иару аомагозкэ задачи'Scan, гго было г.с::агзаао sat лвпейвых оясгеа с ког($зг.гза*ейа, -зяззестке! только оз эраканя, ео в дааьвейаен другая 'азгоаакЗ-бейя 'ssscssspos эалпгз езегэетз,-. коафйвциеиы когорте сазпопг оз аоей Еззайко^г» йврзгжшз: я по» зосоргя незшвзйшзэ езеявкн. Бняа предяо^зга зййез овяоэоря? обсб-* дзн'ая яозягня дараболзчносгя.

В указанной работе И.Г.Пвгровсяого оойозеыц камиагзтаскет аппа-рагон являема ввгеграяьзоз преобразован!» Фурье-но яровграисг-' венный перекеиннн. С его лсмоахэ доерозяа.газ пазыВазиар ментальная иагрзца решений соогзэгегзусггей одноредной вараболэ-* • ческой сясгеш я установлены'я^обходякне оцеяям. Геяеаяз задача Ковш для расемагриваеиой параболнчзоней с ас игл ярздогазлявгзя в ввде сушш внгеградов, ядрена ногорых слуетз указанная дугда-ценЕдпьяая матрица р&шеапй.

При изучении яраовях задач для урввеениа а опегеи варзбогя- • чесвого зипа одним аз вднкх цетодоз охаавяаегоя ыэгод геялокгс

- 2 -

Еохеацкалов, вдек которого иосходаэ к изв-зстной работе' Д. П.Тим- е.эга в(д$ уравнениях яешхопрозоддокга для езскодькех переиенных" (БзшиЫ7,соЕ£у;а А, I, выл.9,1338); Подробное взлоЕеаЕа зхсго легода для снеа&акых задач в дсгуаройграЕСЕге и 2 конечных ци-одздоюед; обдожх в$казг$за в Есаогр&Згг' С^гиа&дзвтДгака "Параболические свсаека1' ("йазка",Москва,ХЗвО. В ггой конограйяв, в случае полупросаравогзеаной задачи допускаемся вхокденве в гра-вйчеыо условия произзоднхх по"вроиевип оз неизвестой' зевюр-с?унк-. ции.

К решению краевая задач обцего вида для лараболичзснах ураз-навий п сксюи при грашшшх условалх , содзрЕащк такие дифференцирование- "зрзмени" успешно приме изгоя ыегсд конгурного цягеграла акад.М.Л.Рйсулоза, сисгенагияескоцг излоазнва которого аосзявзЕЯ его"фундаыевтадьккэ нонография "(¿огод вонгурного кнга-грала" ("Наука",а "Ярииенение ьегода контурного ингегралс (иНаука",й.,1Э?5). Согласно схеме згого ыетода рассматриваемой сыеканиой задаст, для иарабол".чоской яиогеш сопоставляемся спек-гральиая задача, косорак представляв! собою граничную задачу для зашмгсвческой свсхе^ с пкплекеана параиегроы. Вегодаш »еорав • погонциала докгюяваегса сувдсгвоваксо реяеняс эгой зедачи при всех зааченвше сараагтра ив изкояовО-беейоне^ноа обдасгв в ус$а-иаадгеавгея яеос:х>:№-2!£ о^ькя дгн раиеявк. На основе этих оценок в далгаеЯаги доп.тТ'.ь^тсзз с^чеегаокаике регонкя россказрвзаеиой сь'змшшой задача ддя параболической система,прсдставишго в вида бьетро сходяцегозя конгурного инбеграла. . Введенные в монографии "Пркыенециэ метода конгурного ишзграла11 новоеинтегральаис преобразования позволили охватить и такие скеаа вшши& задач;;, у кегорих правые чама граничных условий зависят аатао оз "иреиенв". Следует подчеркнуть, что спектральные задачи,

• ? -

3-iccnaïpK:.;cis::t;g s иэя и ci-.snann;:."3 i-rn --псГояузс-

ках уразпощЛ a с'асгзм; псэ^сгаглта? ¡105 ЗЕа*:зп:;з л геор:;;! оггсоч л yp;;r;,

Задача Козв а раэшшг-з кразг^з гэ^агл ;*лз аагаЗе-гпсзгл:: yaor-ЕЗНЗМ ghüsöiJ 2;j2Di s.-œs i

•зз с надпла.':я геор;:з ^гзало-а-загссо сй:сзса, ироводносзл, подге»." . :

Слазакноз з полной ropo .огпооптся п ::: ггеа'"<! ггм жгевнх условиях 5?ипа Дуашгзрэ-гаро'гГй» "г:?-:: r.^sxír.'T кяс частях граввци задаазся зозззаз passsc: к.г.оз. .Чай-^мо? л ппссгейсзи сяутаз уралаззгя .'.•оягю.чзогой.тсз^э ::•:. sofoy, чго-ла. чайзя aosdprrcîra . Ъгга г.

другой часп!- гепдозой :îoïç:u

■ Следует сЗразет» szzzszr.* з v¡\ er» -._"s г?л-

скогрзпяи .кролик зегд~:' с.'ст :■..•":..vr-7-;'.v'. >:\г:. -у

я соокгзготзувд'к ■yc-'ij" :с p.'vs-"

• рспяиосгя Лояасгпскаео ягтгс;!,::сг'?.::» r-jr^-v îpscnri,

Eosïcûy дзл пар2болг;"::с:г:;:г е:^*::; î '-¿i'iir-'vo "луд яраовхк задач с дсмагота» гпагг^'-'г'гз угявзксг-^сс.г.зрге-

цинз ¡гсязе лк$фореш£зровок::з so боте легкоярозврязЕКЭ уологцл

ЗСаква образец, » çt.:iir.r> гоголя jr

данная двеезргацкодяая ргб&га, г» пгт.::? *

Цолв ргбегп состт? ' - з аосгрозява аоасгруЕгиэгсЗ гвогзл к«' жг

класса краезкзх годач дяя йллпгггзс:"": zzi-r.z-.b

яарядва спзцпааиного вида прг; gi^z^ttí урягсгаг уелг/зп?: szzz Вуаяяарз-Зарзиба, еодзрьеше: сйхсо вкятагзгпз assers*.-«) э з уо-гакеггетш. «огаяшразгздгнх caducs лгт " wo гхвггда«-

пих при зсох значентк иараизгра яз 'сгсэтзгсгзугхза tóíásss,

м ¿t '

в докавзтедьсгво суцаеадозшая резаная ^пироявго класса краевых задач для ласаСсшчоскьх по И-Г.Каярозскоиу свзтеи специального вида при сиэаавакх грсшзшас условиях runa Пуанкаре-За-рокбя, содержащих гакге диффвроицврованйэ по "вроазни", з виде {¡исгро сходящегося конгуреого. интеграла.

' Ойцая кегодика ясоледозания состоит в систематической прн-Еенеаяи изгода soaiypaoro иитеграла акад.Ц.Л.Расулова, получяз-сего известность у пас а за рубеаоы благодаря фундаментальным ионографиям "Метод контурного интеграла" и "Црааешшш негода контурного интеграла". Широко использованы такге аппараг ssopaa интеграла Фурье, специальные функции, теории потенциала з комплексный параметром н р.д. Предлогена оригинальная ьеюдвка цезтро-енвя теории потенциала с комплексный параметром дня злдшиецчэсяах систем второго порядка специального вида ррн окапанных граня чкьа: условиях типа Пуаш:аре-3арзы'а,,

Йаучяая Новизна . Рассмотревшей диссергация сиешанше граничные условия ткпа Пуанкаре-Зарекйа, содерзацие гакяз дифференцирование ао "вреизна" для параболических сисгеи, относятся к числу почта неисследованных. Краевое задача для эллип5ических c«oseu прв сиег-чкашс гракичша услрзвях, эависавяе oí конпгеа-сксго napaiieip;*-. (одсиз5рс»аио в двесер*адаи в качестве спектраяь-ккх задач, ¡таг,г *&кез г asaos ааассгоягояьпоз значение в теории эялаамчезхЕХ На vtsx. ячдач г раоото аоохросяа орига-

аальаая теория ноЕвнцаала.

; На основе одоыок решения спектральной задача при определенных условиях па Е0зф£нцязнгы свсгеиа и граничных условии доказано ■ауаесадованяе репоная рассиагр;1 лешх скешанных задач для пара-. й&яических' екмеи, предетавииого в Егде быстро сходяаегося кое-¿ypEora" KKíerpaaa.

'у Ч.

тддЕЁШи.- Наряду'с ваангм теоретическим значением раси!стрежмз: в диссертация аадачп имсгют такте я актуальной прикладное значение, т.к. она связана с проблемам теоряи тепло-и массообмена, нодзомяоР гадромеханли», диффузии 0 т.д.. Главными элементами копструяцяи при-реиения*спектральных задач являются йукцпьгентальяыо штрнщ решения схютветструггда. едпэродпих эллиптических cectôm г ..''.'йилекоЕчм параметром, помрсеянвв методом Леви-Карлешка." Для рассмотренных з даосзр-тзцая эдш/тячеегда систем гладкие частп букдаментальпых ьатрап реиеииа зиразалтся в явном виде либо через злемоятаряыс' фунхтдп, тбо ко через.вадокз-менаакыо пундаи'.Бесоеля второго, рода /гфшлда Ыаетояальда/ со-отЪетсщтего'-пЬрюяса^.' ;'..•/.""•.'' • \

Таким образов в каедоы кбнкротном случае акеатся а^горягетчес-ЯЕ1ШЯ еозмозность йслользозапвя лолучеййых тсоретпчэскях ро-сультзтов для лрибллнояного э чяслонпого расчета реаЬкяя.

Апробдтпу работа, .■ ' ^Гвзультата-дзссергаапа^сястбиатачоскз "< докладывалась г обсуждались sa паучком стмяарз кафгдри ураззепяЯ штег.'лтлческой. фязпки ¡ход руководством зыке покойного акацемлха М.Л.Расулога. С .докладами по теме дассертатии агтор вистуаол яг каучзок соманарэ'ШМ АН .АзЕ^айдзааскоЗ Республгкя. яойругсводст-эоы- акадвшша- Ф.Г.Иагс7Дова, ка научном одаа^рв-авадайяха Ы.Г, -Гасдаова, -'па научкнх сеиааарахпроф. ярол В.А.

Кондратьева, псой. А.А.Новру2овз. прой. А.Б.Алл «зла. про?). АД. . Кскендэрова, npoft. $.А.Мамедоза, за об" единенном заседании еекцяа миюзиука до даффвреялиальная уравнениям я- г. Ашхабад о / прадсб-даиеяь - проф. С.Г.Креия, 1978/, на научном семзгарзНЕШШ АН Азербайджанской Ьсяубиикз, а такав аа «мгэданх яёцгчяях rxsalp »

рвнввях ушвер'сзтега..;-.' : ;..*.".'••* ; , .,;.'. -. П7бдчк.'лтля. Одкав'коя содвргаяэе. дассфйшви- «jj'Çtocsosaeo 'а

14-.егатьях автора I - 14..- • У:--V^'^.-'J '..Ч-Вез статьи подготовлены и- «аубагковакг без соазтэров«- -

- б -

Сгрукгура в объем работы Рабоза сосгоиж вз введения

ipax глав и списка EiîispaîypH, содеркиг I рисунок и IS9 ир. агыиесшйсногс гексга, ornaos „спольэогазной дзгерагури в 137 названий. .

CoRepacattiio • райогы

' Во-введена» сОооесвака аигзапъкссгъ ss¡¿ii я изложено краткое

содержание диссергада ло сЕдельнш ггаваа л параграфа;!.

Первая глааа посгксзаа nocipcsEüa в сцзнкан £уЕД£г,енгаяъных

uaipau реиегши нзксгсрых глдищ и ческах cacrei; с комплексны;.: па-

pav.espoa. г

■ В I гд.1 paccuoïpeaa эклипгкческьп сгсгешх зада: •Í>/£)U ->*«.= ? : ■ ; . (Ц

- 'V i

<г>

¿ у_ У аСх1

' п ' ¿ 'г • + <

¿) \ ее г*' ^ ,

/ - > ../с: 1 ■■ У____* 4 1 -

--——-— ' ' м

К ^Г) "И32еетяке K£°äPS5ekq награды порядка аеизаемйая векюр-фзмицля (столбец skcctü д/ ). . fipeiînûsarasïca , чго сисгеуа уравнений

являегся разномерно параболаческой по' И.Г-Яегровмсолу, Озсада

л

■следуег суцестзовааде'в /\ -пловкосги оезгсра —.

' • _> «<—) че содержащего ви одного /\ -корни уразнзЕля

7

& - О (5)

при веевозиовшахдейст'ге явных значениях яара1.91роз о^____с/

для которых (^-¡^О...Здесь' - ,

..О -леаогорое яолояэгглоьясв пемоянноа зясло, ¿Ц -едшгш'ая

г ц'атрща порядка «/уЛ ^ " : •/ ' . • ■ .

Обозначай через обласяь.значзяЕй вешшь'саого паракезеа

■ из сектора (4),. удовлетворявших неравенству \X\ ~7/»'^до —

достаточно большое йолсгшгегьяоэ «и: ело. .=

Доказана ' ' '

Теорема 1.1. . Если элементы яагриц ¿X ^^^ аиеет непре-

—----—----------- -----~Г~ _ ~ |

рыв вые д ограниченные часмше производные до . /<_ -го ( ^ — ¿у т

-{-'•-+£) порядка включительно и осла систека (3) явияетг« раваснэр- .

но параболической ло И.Г.ГЬ-грозсяону, то__у

(I) при^всех Дб ^с сущеомузт аналитическая ао/\ фуадаиеа» .

гальная награда решений (Ф.а.рО^М^О^А/ предогагаиая в заде

» -Б -

гдз

и

г

£

Ш'

( >- ¡'-1

/ С-О

^ -пи-?-5 р

а

со

Л. иа^^ичнаа ддотяомь \ \ д/^пределче1ся^_из яакогорсЗ

систеш итегразьных зрагнений й да. азе справедлива оценка

I и —i

'./х-?/ ■ ' сч

Для главной часта ф.и.р. у. для самой ф.^.р. при всех

справедливы оцааив:

ох - - оК ^

I ..

/х-?/

(9)

* ' —- -о

Jif^jM j¿ wf tMl^flJ

í i ../ • lA- -i! (1С)

Если есзъ зехгор-фувщт, чазкуа *гздрершзэ.:а и агра~ нииные чайные дропздоднзо' первого взрздаа,' 26 заягор-функцгя

'.V л*- : п ':. -;^'

при soez:Aw^7. дрз&ог&злябз-расезсэ сзодвородной гтаапеачзс-•вой .сиехеуы: ^ • - • • -.'■■■^ji;.'.:-'.--Л 'л'.'-'--'••-■г •

-Как'узе сказано об £S03T пзлзсзэ'.'гепз hirnssrracnúx- ЕьраазшзЗ для главцой.часзнф.н.р. jsrpáea вгваупроза » посгрсзпвь- ^звввий основных краевых 'задач для раосаагрзг^ггд ззлззгп'гзсязх ceosohi в особенно в установлении отзозрогэряа^яг увяо^зА раарэязиосгй.

3§2 гл.1 , з часгвосгя-, расскогрзаа газ н&гкгавггая еяо-ieaa "диагонального зпда"! • "... .

1л _ 5 .

4 ^

Рч

г se

l Г Vi , 1

■ Д (%)- oIíqq O^íx) ... а fx) /

f \U di ; ■ ic¿ J

Т'аагнзк часть ф.и.р. сисгемы (13) имеег бид:

m

Af (*J)

_______ ( Л

гао

M) =.№{№^>11}

п. - Г х~

'№ I АЛ w

' * у

>-,7г

1 jfX-y, 1 '4

i vit 'í/t 7 Л

(п)

Hp)

í '/: -зъянегген

<\ ^ ;

- 7

'¿/- ' -3î:0ii6iiSH cöpaiiioii катрица ( // (

3î:0iieiiSH

.видсйзиаиекйай функция Еессела второго рода {¿уш;ца!г Макдсшаяьда), :: or о кап являегся решением ураваекш:

t \ п - 2. il"il. I ' J ¿w3

"t ¿ "" £~

(H)

I X I ' га^ма 4(Уахция, -"азсц^.'-з" чстгзрхггап адзаьч-вой «$еры в' Л -меряоа арссграясжзв.

Другой ваянсй сисгвао!? элпяягичесЕОГО гвда » рассг.8ярзваеиоК .а даявоЧ работе являзгоя Л -кзршЗ аяагог сйизю урэвясяай,свч-занеой с яввошсй гзскгей гглло-в-йсевос&:еяа.

Далее з с» 2. 1-7,1 рассиагюяваегоя «авяпгзчгспая сязгззд 1 . Гл-Г; л , > . „V.

§2,

Подчермзавтсп, та о глазная часть ф.н=р. сксхеш II?) я:мея зг.д;

• - Ж- 'Х* 0 ж

■фС.еЧфЛ-'У )

V Г г \2ii- /У / Л1Л-«)./-

л.-}/.-*—}-

А--*»'

(М)

и

я и О: { / /I

где элемента матриц рХ ( > Л вычяслязотся по формуле* -

\ М.-1-) - ;) I Ж»' I Ч/

лом:-

)

А.^'^)- аигебраитаскоз дополнение соствегсгвупцего эяеиенга ъ » И- -крагвосгь корня //(1/. уравнения

• М' Са(1) + .. ; (15)

Главке части ф.и.р,. (15) и (18) приЕишюз более- проогсй вид в пракгвчзски наиболее ваакых случаи й При ~ Д. в гх выраяеаиях повздпзтоя функция /\0/ « которая икеэт ао' гаркфгучзскув ос обе на оста при ¿~0 , а при согласно известной йоркуле ^--| __

/У ;. 11.-^

■

глазная часть в кокечиоп вида •зыраказзся чзрзз этюнтарнко функции. Башлиц, чво эта возмоеессть остаемся з силе и для еоох иа-чагных П.

В § 3 гд.1 приведены указанный -ыш фсркуды для главных частей ф.м.р. для аастекн уравнений второго порядка диагонального вида и для ^дгпгичвскоа сиегена,связышой с теорией тепго-

1л — О I

-и-иаосообыеиа - 'А.- < .

Г лага Я посьвга.м реаеияа .грааячках задач для некоторых эллиптическая сиотеи с паражмфом.

В ^ X гп.П 'выведена форьула Грана .связанная о граничной еадзчай:

V)

•ато2г 1 ч П

■m -

f La

-X ^

И

7

р

и

•гh), )■é

, w

' - /

(21)

аде'

TYV

и

V

'КЛГ

f

'i.

^ /Ж V ^

КС l ^ • -

(22)

W » S'fcl а 'G^ -зйхэй?Енз.'жгзлра1Ш8 impnvp sopiássa^ ipl])"" Я8*еогянэ сзггор-фудаза -(моябчз sacoza ,4/') за-даздь'9 да ■■-^{xj '-аавэ&спаз гэиорН^якцЕЯ,заданная В врвдполозанви-доргагочвой гладяссга коэффааззягог ogcssüh (20) " указаняая формула Грана подучЕэгся обкчяка пуган енгегр^розанвя по часгяи и пяеег зад: .. _______ ^ ■

I

Ч

f

V 1 V 0-4Í

J

mdrf

с/

/

45C2Ü caspxy огначаог copíaos к so ляле ксяо-с ояряае hhüsi, a

¿2р42-2рьшЕонароза1и: * e кахр:л£о& гй^ерзсдсальЕоз знрагвнив UV j дх_\и ~

-i

v--

v.

;

/

■ 1С-,

fß'/ri/Ux)} — / о , •

ô С Ч<

г-

<2VJ

/

/ /-

7

ЕЕЖЯ02СЯ форздаьго соярягеягыц к / / ' з сьшеде Лсграк-

Шт)-

¿равдчаоа условие

И Г" И >

V Г - -

Z— L ^

о

"v- - 7

J

j— i

U'-'Ч J ¡ -

(25)

йазшш.85св соаряхэкала к »раяв'чаоау усасягг (21) (upa f'-i ¡~ ¿ }. • оо.о1лЗвсг-еняо, задача аахогдгяяя роаевяя своееш

г • ■}

> сгб>

U

fv

/ о. с-

)

í

4 J3 fi

19. ,:..r

Vi .

7/

У --

. I

О л ) " — ^

Яегрвпа Грпна trPv 'V g (' V А А / / -гг.гл (28) a (29)-(E0) cascara мз=яг еоЗсэ «гз^гл

£ fal, V - QäJ^l

ОпогЕокзяйе (31) неодзокраиго аспользуегся в дальнайнеа при-реванш различных краевых задач для линейных сисзвк «ьла (20). 3 еладуваеи -*3 гл.Я рассматривался вопрос о одаисткгиноски р&зеаяя задачи Лирихле для сильно зклипуя ческой самосопряаашш сниеш» с. хоиплеасвыи паваиегрои вида: '

ЭС&Ъ (82)

Доказана

Теорема 2.2. Пзсгъ (32) есть саизоолряженная сильно рпгпти-

ческа" "исеиа в некоторой /1 -верной обласги ^ , ограаичса-

аой '¡Л—1 -мэриой ьсзархкостьв 1япуьо£г ^ . Пусть далее/-] )

дзгзда непрерывно дкфеерзадируеш, а С(у} Л непрерывны . ^ . -

до Гедьдеру. Тогда при ззеах /\ , за искнвченяэы , быть моей г, действительных я часто инзшсс знача пай - Д. , однородная зада-и^о^а^л л_с и от е^ы (82) иыаег единственной аналитическое по ■Д- решение

пь

I » прзддгавиксе форнулой;

Л/ ,

_?да_-'о ?[ г .. , .ч^вшаа при л..:

велярную особепйоахл К— порядка: •

у

Г Ы ? д)1 с —— (34)

Б ^ 4 гл.Я раыасгек задача ДгнЪтз згз окх.'^тх^.-'Ч.Л диагояаяыюго зида: ^

х^и-л-и^о , ;с ^

СС^ и (*, X) , ^ б У"

" ,' ' ■ ' ' /

где пагрячпсэ лапэНго-э дпйггз^жгсз гг?.-.. г.-: ? {'V / оярзделвЕО з зос^эгсггаз в.осс^д^г: ('гу '1 К рзаевЕо задала (В5)~(£5) згг^ггязг.!.г'-.;:?;-* д.-"";*" гч г ;г::г,-закснш паркгзг^оа. ■■ ; • ' , '•■■\'/ТК , •

С поиозыэ $ундс.пзпгазз"оЗ У*-Л.КГ '■ ~

(85) зводпгся с<5с?д:пгг'1 г::^:;':-".:! Г::1::"™""* ■

Ж

V ' ■ ^ - Л*) ' Цс.. ■

а (2т)

- 18 - , ■ и ^

.аи

■ ¿V-

■ С/

¡рцалв к V

£ «а^А

-направление ваешизй нориалв к Л в точке -так называемая векторааа плотность ясгенциала (37).которая пред полагается непрерывной ¡5 ограаичегнок.

Главная часть "диагональной0 системы (35) ииеег вид (15).

йспользуа разпекенав функция Иакдоналада бесконеч-

' о

ныг» ряд в учитывая .(15)" нетрудно уб' гиг е.: г гол, чао иа^ричко^ ядро ллинг зала (37) в своей главной диагональной части .вызет «су же особенность, благодаря которой справедливы известные фориулы СЕачка прг .переходе готов X. • через граниту J ».которая предполагается У\ — 1 кердоа позгёргЕоагъа 1япуаова. ' С поиецьо згвх фориуг скачка задача Дйрягле (35)-(3б) сводится е свстеке .вятеграаьнзх уравнений гапа. фредгольца с квазир?гуляр-аш «аграчнш ядром. . • .

Лалее обоснована прзыениыость метода последовательных яриблигеп» к полученной вагерральных урагяевиЬ прв васг Л из об-

ласти /ч.^" те;х (;) (прз л) Доказана .

и

иггеа^ое ди^ореаавапьаов выраке-

] в (55) и.

И5гее£ диатешльвна вид и удовлетворяет

' Теорека 2.3.

.. _

усяогвяк § 2 гд«1. Пусть далее является поверхностью

Ляпунова,а леитор-^уккцил ^/У. ^ непрерывна по ^ .аяалитичяа

а ограничена. Тогда^трв^сех ^ существу« единственное ■ решение задачи Дярзгле (35)-(5ъ) пред-

сгазнаае.в звде матричного псгенцпала дзоЗного скол (37}, lento; рая ялогыооЕь которого определяемая вз'соспетсгвузиел опогзги яягегральнщ: уравненна.. Для катран ого ядра ¡~j ['J ¡ ? , Aj эгой расгеш и для резольззг^ной катрягз l¡¿ ^ опразадаавн

оцэяяи f

' 1,1 1 7 . rj-if""1"1- <s5>

[rlMI^Û

^ЬМ) â

, ■<■. ÍM'-.f- ' ■ .

(4-0)

г с ■ ..'inf-iVJ^ _, ■

vjfi д_ a -иекйгоркз лоаокйгегвшз ЕояеояняЕз* «ч -чсоео Лявуноза аоверхЁосЕЯ

Решение задала (35)-(S6) 5«®1анашншй:о по Л в дга сего

свраведлиЕЫ оценяв: ^

JL-—г2— — ^.»-1+n.ts

I <г <И)

ос é 4

^ ■ - 20 - . гдз О - шшыадьное рассюяЕиа зйеду граяицаыи обвдсмй

В 5 ге.Д для есй е9 згшииичвскоЯ сисгеш рагзк&шхоро вида (35) расеиотрааа. ?р4ййЧ8&Я задача-"типа, Пуанкаре © граавш^а условием йВДй! '

' ("г ъ(гТ ' <*'>

где , у

А У

| ^

^ с/. . ' .

а сикяог "^¡у" спрзделоа фораузой (28).

. Основшзз услова! раареяииссги задачз (55)~(36 ) соотоиг б гск,

ч?о алеиеяк »задрагвой.иаркца' •

$ ■■■ - ; с,

> -ч.

сгракачвы щ-', г;-зх яоа^аасзшг А , уйоитяоравцях оаравзн-с*ву р\| ^ ;-.* п?.: биолоя пояохагезвнсм ^ .

1егко проьеряекосЕЪ ггого условия очзгеадпа. Оно выполняется зава-депо , есля вавраигр СЛ-^Т -¡~ &

РбЕбаяе гращпаоа задача (35)-(Эб ) вцегср в язде иа-гричного потенциала простого стоя

vp . - 21 •

где g.u.jj. слсгег::! (S5)} v S? Z

rs.I, a > млглссапая гшогвое»* (сто;::>зц гк:,; .,-v" ,'ь

для кснсриалъпой ясоззгодесй локзнягагп ('!•';■} <';on.'í~rj: скачка, с поксзъэ sosopu: задача Егхоп£вЕ=зз астгзсзгс-й w.:jrcp-

ПОЗ nBOSHOCSn'J4'np¡3t05D2CB 3 CBC!tSK9 'Jp^fK!-

skü гзяа ®рэдгэдк;а г^орадо posa a ?£Г23Ер;1'7Л5п.?кг •-с г^йгтп ' ром. Далее аегоЗЕоа r?~ • ^.отз'гспнлл: 2р?бгтпзк:;3'лс-.гсзг-*"'» гял о?.-яоэяачяая разреЕяга?025 егой сгсгэ.'га ^-ici zpr.

roer /\ (rfZ^ * Пря ззяза с^цзс-'гзяга- "лспогзг^е-: .пХгг-згзззо* зыез услогаа да эзегзсзв ааграгр (43)». ,дгл 'рс'ггг:.:': за^с: {35}-• (S6 ) при зсох езр2~элп~гз ascrh гарэЪ;. :г: д Í;>I}-

Далее з 5 га*П pscewwjcrat -тг^ :-.ттг Q^ir.í?

для seоднородной ет&шгвчэсаоа сгзгггу с -«.»да-

,зокс0нн парзкогром; х •• ^ ¡ . .,

... ,в

Еслй взгесхяа иагрица Гр«аа / 1/Ъ) егозила«*. го

реЕеьпе предсгаздяеюп з es до: • а

ц/

В C20S очередь , уагркзз Грзяа'saj^aa 5} -сг^з з

ЕВДС

é

¿А

где 1/ А) ' ейь ф.и.р. однородный. элдипгичзской сис-

темы (85), а Ср/Х, Д) веизвестиаа.регулярная часть. Построение матрицы ^ ^сводится в решению задача тияа (35)-

(В61)-

Все рааудьгаяы этой чате а 5 гл П сформулированы з заде теоремы 2.5 , где в частности указано, что экакеаты матрицы (^("Х; 1,70 анаактвчны со /V дря всех Л&[¿; и для них оврааздлиаы оценки: / [

с д

^ —

й ^ б гл.П реыгва краевая задача для скалярного эяллитачесяогс уравнения о дерекелйыив коз^^енгамв илщзго гида при гранично! Зслогяя , содсрьацек высокие степей» параметра и производную по аакраалеиав коксриала.

Ре&улыаг с^орлудврован в «аде теоремы 2.6, в которой приведены ¿о 01 ьг I с ^ муа е оценка -для 'реаеная и его производных, а такке

- '23 -

Для регулярзой часгз фущгда Грзыа,

§ 7 гв.П посьлзея р'ешешм азлмиитасяог «зегсцмн -лярспаль-ного вида (35) при граничив усио^гьх сизссдеого г.згл, Порюй работой такого гапа,по-зид^исиу, сзгдузг счягагь рзбогу С.Ззрз1<о'а "Об одной смешанной задаче, оявселзвйея к урагззлет 1алх?сая (Ш'Н, I ,£КП. 3-4,19-45,125-146). ' Среди дальнейших исс;; :.знзй следуе? згзгз» рзбсгз Рп'-'пга ЗскпнаГ.И., Фй'яерц Г.,Па5рэ а др.

В огяичве сл всех еазгазнхк вагз псж^эдсзсгп^, з дзс~ сзргацЕя раооноярэнн сгвйапзкэ ярззгеэ ¿а-з'ГГЛ-з йяляпгз^екзх сиогеи с кюшекяша харгхвгроз о .¡цксй •гхззеагегвсгга су^естзо-зандя репвЕвя я' уегавовгеягя ссоггойсгжгга;- спзпоз ¿ля ¿мго лрз

■ всех значениях 'лараиагра :.:з гз-гсгсроЛ .¿ссйеззтаа 'оЗлзсез.'

■ Такие - задача вазвг' дагзсэ сззссгтаггс-згэ сзз'гэргз з гзорпз'вл-лгшачаовзх сгвгоа. г :• •*•/- : • •

Крове еого, озя ш£82я зяшт^зазгсэ гккетггэ-зкз аоасгяеаз

ннх аналнгв'зсазг ярздсгяггзяза репеззй сЬогзггзг^ют: зраезнх

задач для параболачесззх спозез. V Г I •

Обозначай ^зргз 'Ху лззогогзуэ сбянагз Л -зэрзого ввялз-' доза пространства с границей , являгцейся Л —1 -герно.1 закинуто^; погерхаосгьв Ляпувоза, Пусгэ 1} ^ ) а '

'О. ?~Н ? ) есть некоторая сгстеиа 'гзатшопепер^екавзвх-

/-о' -'/-'/■

ся связных отзрыгнх частей J , объединение заггйканяЗ зогорыг • совпадает с ^ . Для аллиптичоской свстези (35) диагонального вида рассмотрим краевую задачу при сиепавннх граничных усговаах .гака Пуанкаре -Зареиба: ^_^)

'"•-—/С : ■ • ---

• ъ

(52)

Ье--

а]

ГГус^ь даяае^^ обозиачаег кзксгоруп обгасзь " П -иэргого бзклЕЯОва проогрансгва, содерсадув . Границу облает

обозяачла через ■% % пусть 9

Г-'

'О

Нетрудно геоцезричзскв сргдеггавиъ себе закую область ^ .»по-

ш

лучавнус иг ^2) нугзк Еакозорой деЗоркадип учасгкоз О

____ , ' ■ - ""ТС--

э- * . Зей /»¿ораврозагяаэ учасгкз будаи сбогначагь

го' > Ь / /-Т—■/?} ,--- Ч '

соогвегосвекао /. "' (>с~Г1-4 9 ) » С<5лас!ь,ограначеЕ?

ну® в&нкну?оа. гис^гхикса» •-■/ Щ ^ у ' ' обозлаче::

2) /V- /Т-Г? 1 * •

^ 4 Рте1 />-""'

■ , Пусзь високалюгоя усяозая:

.1?, Хаадый пз екплярвых диффереицваягша выражений

гпл

к.,'С ^

ч езс] • - _ ¿'Х^ ^

- 25 - ■

является равашзрко эйдиптрлзскиц с полоаатегьно опрадекеаной

квадратичной Зоркой», , • . •

2? Элементы.патриц /4,^ ^ и /ч/-^ ) нопрэрызпо двффэрэп-

'^с ' ' - /у' .

цзруегя ссотгетстгэяно два раза п одиа раз,а злоиоти матрици ЦХ/

поразни, лрзчеи пев они продоязка з обллегь 2у с йохраяе-

яйс" гяязтаппаосгя а нвпрврнзносга сооивгмзукда ярояхводяых.

3? а яяшноя- поэзрхаоеггшп Зяиупсг-г.

Езкзор-фуаацня ('2/ Д) разнн аула в точках И-Х --кераих каогосбразкй , язлпзщгася оедзиа гракидаии на / учасг-

коз типа сучастгакя тнпа^.

55 Здоиаяги натояц о

И< „ П

лэкрерыгны яа ^ ¡¿__ ) 2 пра досгагочяо большом /< ,

для всех Л > удовлегворявчаз неравенству /-Л/"?/ , эгеиеагн

матрацы ^ ^ )-{-/\olte) J ' о?ранзч0ЕЯ (эго условие зы-

пидаяааса аазвдеэо, вегш АА^^у^0 )•

6? Йизег хесго ссогнссэЕза:

^ Г Аф^Ь;

О

)

спи всех £ С7 - 1 ¿^ 1

3 раошзрв2зой сбласга рассиагрвв&кся. *гз- Езапгастаа зезо-иогательзая спехтрэлькак задача

ч

I /г , ~ - )м - ~ \\ (х) ; X вД ■ ' ^

^'иех^) * ^^ - <55>

с-

X —СГ

Обозначим через ^ ¡ ? / X) иаариuj Грана sa;

адачи (5'4)-(55), Брииеввя фораулу Грана (23) s предполагав исшу решению 'ijfj }.] и к награда Гриаа [! , ^ сопряяенаой к (54)-(55) задачи и учиЕызая соогиошеяие (SI) а гакге условна б° лрвходич л выводу, чао решение граничной задачи (35),(51),(52) аокно всиать з ваде:

т^/х, л;

"у

и

гНт^ ...

■л ' - : А

s,

.

(56)

•ири дог/онниельшо: 'уозгозвйх:

' f.- * ; '-> 1 "

(57)

где

■ L у "i

UbhhwíibhMb)^

X

ÍS

MS

%

0.

íx^):

C ~

^ h í 7 \

'o Cj (-í;

O»)-

'U?

•y.

M ' /V-

o... ^ V o o ' •

/

(6q>

cosa H3B33sc2Ra3

' (Alj f -2e as caMHa, 'JSO s a. (38) f, /5

BSKaopaae naosaoMa (CIOÍICUH BHOOIH ^V' ).

:a- ._^ fL

ílyreu npaaanBBoro cepsxosa npaZ/. 7J- * r c ^

. b oooiKoceHaflx (5?) c j-totolí cocoercrsyim üamjz oteases onpaaejieaaa nea33?.ciHio: BeKEopHsx aacssioossfi nosj^aaa czízj&zzz

oacieua naTerpanLaHx ypaBHeflua:

n

yv ¡t X.) - 9 7 V

cf L

a~<*)

т~

Û\J

)

il)

! V ^/ V ,

MVA-

; (я)

Еояа лрршпгьвЗазгачзимп ;• 'J.

о/ /

прз

'5 '

л '- '

- ' ' ' . '.-•-Av;/1

' ^ -- „

. . ■Vi'^' • Л'-:

i. л V- - • -

•Со?аас4? Tçaosbsa ,.-5° V^spj^ -яолу^ь оценку • :

i-"

где ^.^¡^-рсгоЛаауцсз:

•ДокаЕаня л:;,'i ; . - ;

Теорзыа . jpa'jcáasaá: гранитаав задача .(35),, (51),

(52) %M^afôMb£û2^aifiSi3ôcicjî-6so2ei2j с.кокпяексаым capa-

- 29 - -

негров вкеег анаямичао^оа по Д рзтзаиз Ъ((Х//\) ,лред-

евазвиоо '¿-ориуаоЛ (Вб) яри дополните льне:; условиях (57). Векгор-м вяотарстя погенцнааоз (36) опродаляаасд яэ оаогемы итеграль-пых уравзсьзй (61), дая рззодьзампой ыагрицы когоряй справедлива оценка: .

к (■^ ^ /- "ТГтр^ <«>

Для 35зх алогносгей ¡^ункцззяальнке соозкоязыяй (57) выполнявгся ;оадео?Еензо. Дая решения задачи ^85),(51),(5Я)_яри всех

виз в? иаезо оценка:

? .5

">^1 "> -

« / А ' 1

/ и (х, ,\) I ь. С

] Лд х/ ¿ С. (б6>

_ / V

с С®

V - иинималвное расс^ояяаэ^иеаду срадацаыя обзастек^. я

3 § 8 гд.П решена граяачкая задача сызяаавого эяла" яга эядгпгв-ческоа сисге-ш (17) о коипже.яаяиа парамзгрси, оззаазноа э часа-

яосиз, с теорией теяло-в-иассообдана. Для гадачн (17),'(51),(52) удалось посгромгь теорЕв погевдиала.ьо многой аналогичную той, тао В1 7 гл.П,' ео гак как система (17) не являагся жиа- . гояальаого гада, иыеегся' в ряд'едзотвешшх различий. В яеобхо-зишос*я возникновения ааких разлвчий .можно -убедиться я яутев • сраваекия я^кшс аяала^ЕчеокЕ? аредставяеннй тдавяцк частей ' оасге^ {В5) м (17),соо*вагствеано по ©орнулаы (15) (18). . . £5еаЦ8 рфоффЩ^Ш г виде геореаш

..когорая'йга^огвчва лзфрвна^.^; Ц'Х"

-Даковач'сааедв.ад^^^^^?^¿¡осзявен ,рассио!реяад> яадач:''. ч>.У 7--в "8 ба&й-же гл^н/'^гопьа^азкервогах облаотвлравна 2 ждя-В. Как(и'^ообче ерш... явчегвоя■ :<1 ' »аяоаяцая.: в .гааадую, чаегг:

ЪнравааЕСя Д ¿шири"^дав^ввваранвфавдвй. йря

йогрраа'.»»«»в»: .ър^фоъгь/Щояв "увдиЬ; '¿шю-.вая-

шж.-слу&ез' /-"Йг^!'8рейиа»ввей9дяэ -этого- отдельного-параграфах ¿оюевегездувдшш' упрощениям -црЕЕо-сад-газь саргйдашш.,..' '' *"■-. 1 ' • -

Зд^лачительаая! 'нра^ья '¿^тва! (дааоерайря соавясзва р&аеняо -вадазд К-оии и разливах сыешаялЕх аадач дая оадельвкх ашяеШас дарабо-зичвоиа, по Е^Р-Пеаровягацу , сисхеи.

В ^ I гдЛ| расснайрвваегся задача £опя дла .параболической сис-

высшего дорадаа йЗи ори ва<шьнои условии (з аекзоряоЕ форна): • - ' .;': • ... . -

соотйзюзаекно ■

Пусгл выполняются условия;

I? Элемента иагсиц 6?

' . 'V "*ч, раз непрерывно дифференцируемы-. ■

2? Сисгоиа (3.1.1) является ррнокерпо параболической, по Я.Г.Пенровскоиу. -

Обозначим далее черезбесконечный разомкнутый коаеур, расположенный в облает;« [2 г- •

Г

Ъ '15 -

И Л

15

олух*

Л/

веззи которого в доезгагочяо. далеких часгях обласги дазг с продолжениями лучэ2 „ ■

К

Г

(67)

созпа-

А ~ ±

о

. С68)

доказала .

Теорема 3.1. Пус55.гнпогпгвг'ся усдогяя а зекгор-фукзпвя

С]з(х! непрерывка я ограничена в. обдаст Ох . Тогда вуцаетву-

I ' -- Т--

с г ¿теаевяе задача Коша (З)-(З ), прздезапяыоа а птес коятурзого йнгеграла:

^ 2.5 \ Д

С©)

где

иоп_в аиде (б).

ОХЯШвЧШбИ бййгекы .(I) лрздсгаЕпен-

Для соамеасзгБугцва Езодаородяой СЕзгецы очевидно кохно ограничивая рассцогрвййаи нулевых начальные усыигпй. Речь вдвг о задаче Ксапзг

%

■ л \ ' v-. v

о1К?; (_

--Г/Ь-'Г

Л • п.

9;-

где'

..(То)

(71)

^ ¿у ОС5а.;И32ЭСТДаг..ч;СП2Ьр-фуЕЯа22 кшвй изсео -'Л'-Л - "•.

Теораца 3.2+ Дра услс-апг. саорохо: 3,1, -села .декгор-фувкгцш' ' ^[Х) -I) ^Цаег Еапрэразка а ограид^зш^гз ^чаагниз '■•пррдззодяаз ■•рервого аорадиа ;По . в\1»орС7о;яорялка^ло .« го судзегху-ег решение. .задача (70)-(71) 'зарадогаллЕОО в зсде ашгурдото' гааэ-грала:У.'.-

V"

(Щ

Ваяеми, -.»о г

носгь^) * е ЕСЧК2 зрения

. Й' " - ' 1 ' ■ ' - ' ■

постановки задачи Коаа.

При доказа'юльсгъе творен 3.1 я 3.2 судественяо исяолъзуамя аналягическоз представление з оцеявя л.к.р. эллзятвческоЯ сясге^ (I). установленные з I гл.1.

В о?язк с з?1ш скапе.ч квсколъяс алоэ о знугрзяяей сзяэя между aiopoii я третьей главами двосергацаа. Кая угз сказано об эгом, краевые задачи, раееиог ракше s рд.П предсгаззшя sasHoe сакосго-ягояьясо зяачоаав с мчкз зрения -seорав эллвпмчеогак задач с

коыпязксакц парагегрси.

Цоааяо toro, онц предегазяяюг зажиое заачеяае к как епекгралъзые эидгч», сззгз^Е^-'лу'пдва ";0 сгеи" метода когауряого яягеграла сыэ-шпглкм краевым задачам параболических ссстеы, расскмрзняам

2 ГЛ.2, о

В р 2 гл.П рассмогрцяа краегая задача для дараболачеокоЗ оасгены даагоаадьного зада:

Ó

i \ О

t&foV])

/ • //

о i zr vffxj , эсб-З-

"(73)

где

i'

•Л

ДЫ-——-f-/

* - - 1 ^___/ ¿'--С

- i--,- • -, '--,7 (73)

. ..r^- Cíx)' • , :

л

а>н

1С. Р

\ Ь() г ''С Í-X^ -'''авгзсгзш каэдрагсь® кагрвцы поолкка ■ ^ ' ' ; ; - •* ' . ' ' "'■ cj\ - -Cf

злагапi'Ei.:.n bMbpœxs&zpcu йующзс, одределе';:»:? s JU /(Í-Cf;

^bji) ■}' fe} -fsKíóp-gyEsasB (ехслбци гкосгиу/

, // : c-

- ; -f-'í.'^'v/

1 С С l^j.

l

Л/.

/ Xfe-ffofi) -ssz^ásízta квадракгше кагрвцв дорядаа

-i— 1 • - iía^ffí^iüiáí'c'iioHopiiaKbffiJií" »ф^ервяцвадьнвй оператор, С\1л> ~ I '' i 7 / . M '

снрздзьенной формулой (3?), fo-jX, т/ -невзгесгная векгор-фушщвя

(СЕОЛбОЙ îUCOSil ).

-Предполагаются íüeohessekíe условия: I? Всо оперяаорэ

j.» ÍÍUU uiiau&ïuuj - с

--к r/z <

$, g )_ Уа ^гЛ

с

разшжерпо злззшачяи с полозигодапо одрзчеленноа квадрантной •

' -Я!

'¿. Коз'И.члязаги а:-, (х!пзпрарызды и огра-

--—- 1 / _' Л —--:---

1п~<зл<! ?. зншшугой обласлг зцзсте с прсиззодныия до зго-

рого порядка, а зломенм яагриц М --"5сге а произ-

зодюлп парного порядка.

3?" ядяяагоя позегояосгьа Ляпунова ,эяокоаги лсеж

»аарпЦ^(^) [5 ^ "7/1) Ч) непрерывны па ^ п прп косгагочио _бол5го:; ^ , дзя врак' удозлеззорикзз-: нзравенсгзу /р/^^

ЗЛЗНЗД2Ы ^ЛЗ^ПИПД.' • ' я ч —'/

оггаезчзки. • _ ?_/'!'-/

^ уз.-"0Х2э я-; по л л,~з к л загздоно, .50,"И СЛ'^-^ / и '

'I? Взйвор-фупицзя1/"'^ Т"/ язллэзея орягзпаноа огносвгелз-

по параболачзско'л саогемы (73) з ген, самого, чзо лряяаго з ио-

пографаи ''ПрипензЕПо пагода коягуряопо интеграла" М.Л.Расулоза.

Обозначай ' <; , ,

/ < / I /X

- о ____

"7панйчнуэ задачу (35)-(86 ) с гакой. гвкгор-фуаацзвй О',' расоиогревную в § 5 гл. К , бут пи назь/газь спеягральпой еадачзй, соотазгсгзузздей скеиалной задача (?а}-(?5). .

. Пусгь есть бесконечный разсмкЕугай коксур,распсяоазв-

ный з облаем От » определенной керзвзнегмка:

Ь - ____

,/Л| 7/Д , Соъсиъ-рл У/ д

v '/

sesBE когорого при çocïoscmo больном f\ соьрадаа? с лучаак

Здесь ^ -досгаючно болызов, а \

Г- досг&ючво малое'поао-• .внедьвве числа.

С лоиооъв ревулиамв ^ 5 га.Ц доказана Геореиа 8.8. При условиях 1°~40 у однородной парайолическоД свсхемз, ооогьегагвуюдеи -оесаемв (73) 'суцесиуез? решений удоздеиворвадее гравичяац условиям (74) и нулевому дачаяьноиу условие , предсгазвмоэ в виде коиураого интеграла: '

fl^-1 J . /.;•

f г :

(?В)

."где ly{lXj},) рзвеизе х^раявчаор iç^aM (3j5)-(S6 •) с -векгор-фуш;-цве£ {у }\j » олределевн^ до формуле '' (76). Для полного oxBBia задача (7S)-(7p) .осгаегсг: реаиг неодяородау» систему (73) при одвородвнх треяичнщ: условии, соогвегствусдвх (74) к яри ненулевом начальном-условии''.^'75). •

Эгоиу посвящена .'; : \ ',•'■':■'_'• ■ ■-

Теорема Р.4. Дрв условиях 1°-3°, если жэкгор-фуЕОДЕЯ '^ffx) весрерывво дифференцируема один раз до всем , а {-)

ведрерыьдо дифференцируема один pas до доем в два раза

лс в если обе эзя функции обращаются в нуль в некоторой

. гравгчвой лодвве обдаем , ?о у сисеемк (73) суцесгзуег ре-вевве, зредегаввмое л заде гошурвого яагетрааа / ;

удозлэгворяюцео однородный гранящим усяодияи,соогветсгвуэдиц (7») а' начапьяыи услодапи (75). Здзеь ^Ху ?, Л) яаярпца Грина спектральной задачи (45)-(4б), построенная в виде (48)в (5 гл. П.

Доказательство явором 3.3 и ЗЛ проводится пуюи непосрадспез-яоц подегановкн контурных мнтегралоз з систему уравнений, з гра-яачнкэ и запальные условия с соогзегсгзуюдик обоснованней. Значительных усилий' гребуег при эгоц дсказаюяьсгво удовяегзорвнпя начального услозял (75) яон»уррш иягегралом (79),где суцестЕенно используется -явное аналитической прэдсуавденав через фузкцйз Мак— донаяьда главной частя ф.ы.р. а матрицы Грина (48) з зядэ (15).

3^3 гл.И решена смешанная задача для линейного параболического уравнения зхорсго порядка с переиенаыаз когкйациенгака прл граякчнон уозозии, содэрлацз» проязяодяш змиях порядков по "зрз-иена" наряду с дилереицирозалией по направлению коиорыалп. Со-

отличаемся от других тез, чго ее грапичнна условия содерзаг хшс-ииэ стэпезя параызгра.

Доказаны гесреиа (з.б) я (3.7) согласно коеорш решение рассматриваемой смешанной задачи для-параболического уразнешая нред-оаазкяеюя з виде суыыы скалярных конгурпых ингегралов шпа (78)

виях смешанного типа для параболической системы диагонального гида. Речь аде? о задача:

о-лзегсгвувиая снокгральаая задача исследована з

§ б гл. П а

и (79).

поевяцен реаению краевой задача зря граничных уоло-

Е8 -

-7 хв2>

-41 >ГдХ-] > . -ад

(81;

1 Г_ ...

• («ад

а цагричвое линейное диф'^йзВДЕальяое выракение А (Ху^^

ше» вид (78 ), ) ■

иавемиые фекгор-йу акций, р/- (Г-1,1,1,4) -известиие

вэадрахшгв шгрицы ломака ^ , злеиеии вом^ определены

, €; у ___у

соогвексгаевво Еа ^ )% ": -V'.' ^

Задача {В5)-(51)-(52) асследоваЕнаЕ}з;гл.П _ ивляевся./ ОСЕОЯЕОЙ сяеигральной задачей, соо2ве$сгвувде£ ■смешанной задаче

- 39 -

(Е0)-(83) согласно схеме иетода контурного ннгеграла.

Доказана - .

Теорема 3.5. При условиях Х°- 6° (р 7 гя.П, если вектор-

6 L-7|c, ) являются ориггиалами относительно параболической системы (60), краззая задача (ео)-(ВЗ) алее; рвденио, дредстави-иое з виде контурного интеграла

гдз

есть решение осесзной'спектральной задача (35)-(51)-

(52) представленное формулой (5£).

3 § 5 гл.П ранена краевая задача при свешанных граничных ус-' ясенях для няогомеряого аналога свстеиы уравнений теории тепло-а-иасооперэнсса.

С покосов результатов $ 8 ra.II (теорема 2.7) обооксзаяо существование решения расскавравааиой краевой задача, предсгаваыо-го..з виде контурного интеграла гяаа (84).

Глазная часть ф.н.р. систени уравненгй Езорна гепло-2-иаосоперз-асса йзь-зстяа з авяси виде, зависящей оэ корней хараягеристкчзс- . кого уравнения з онколе Н.Г.Петровского (си.например,датированную зыко конограураю Ы.Л.Расуяоза).

Используя згу ф.н.р. в ^ 6 гв.-Е раееиогрева краезая задача 'для соог^еясЕзуаце.! парао'оллчзскоа .сиагаш с ггссгоаняязги 'еоэс&в-^яентаии, при граничных условиях типа Пуанхсре-Зарзиба» пэ оодер-гацец , однако, производной по Еренеяи. Оаяопние идеи ^ 8 гл.П для эллги1йч?С8С:1 сясхецы удалось прииеняль здеоь непосредственно к расоьагрлзаоиой параболической свствмк я'прагзи в соотье?-

; . - ъо - . •. , ■ , •

стлущай свои»} тмраяшес уравязавЯ та Вок&герра,' ш Но-юрой доказана однозначная разрерамость методом посведонатеяышх прибавлений. '• ■'••''., '..•.■••' ■*'!'"'

§ 7 -'глЛ краеаой задачи -яра

грашгшв-.^лрвиях-. свешанного гапа длй -уровненая теплопроводности. Эффектно?» /реяеиая /шрющ'гс*.»'-аои' 'смысле,' чво после со-оиегсм^цшс;1йрео(Зр^овмиа рйцСвая :сооне&ствувдей, спектральной вадата, -коягя^^аиифазш^ '^годяцае в решение смешанной задачи, вычисляющая'з. [язваа.а ••реи|яда',»рвлс*ы'ляе*ся' ¿..-виде "бесколеч-т ¿Ого йоатурныа:. иягеграл». ~ • «.

р|венш> краевой. задачи лри смешанных -Хракишк условиях для одного параболического ■уравнения когда граявший отрзгор шее а гад

4 1 > , Г * <■ ....... _ , - * . ', > vi* , .

что отлп^еаслуаапрвкзр, оз (53)Т ( - "' - -

Основниз результаты нвсяояцеА раСогы заключаются ъ следующем:

1) Для.дарового класса кразгнг-.'авда«"-Щ* елашиачеокнх систем о комплексным.параиегрсм а параболических систем,имевдах заа-ное теоретическое в прикладное дзначе'кве, развита конструктивная • теория разрешимости основанная ва применение известного метода контурного внтеграла а вмещая существенно алгоритмический характер. ■ '; •

2) Для линейной зллвптзческой системы высшего порядка с комплексным параметров при лсех значениях ларамегра ва некоторой бесконечной -области методом Лева-Карледава -построена фундаментальная

" матрица решенийа ¿в дадьнейиеи с ее'аоночыз. докманр:суаеетвоаа-..

нае решения задача £оец для с о отре тствуюцей аараб ояиче ск ой систе-

- « -'

121, прздсгаваиого в виде быстро сходящегося контурного интеграла. ' • '

3} Для"линейных эллиптических систем второго порядка "диагонального" вида о комплексный параиагрои а с переменными коэффициентами построена теория потенциала, охватыаавцая задачу Дирах-лэ и задачу гяпа Пуанкаре , содержащую з граничных условиях диф-^зредцирозавле по аонормалв и степени параметра. Для всех значений исудаовсного параиетра из аекоторой бесконечной области установлена оценки для решений рассматриваемых задач и для производят от этпх решений до определенного порядка. На осаозэ зтих результатов в дальпейи^г доказано сут-ссоозгнне рчгрнял краевой задача для соотзеюгвуюцей параболической еастзцы"диагонального" вида,при граничных условиях, содержащих дифференцирование по "вре~ иенц" в по направлению к о н о р у а л и, пр е д с г аз я ц о з в виде быстро сходящегося контурного интеграла.

Для линейных эллиптических 'систеи второго порядка "диагонального" зада и для эллиптической систены а комплексный парапет-рои, связанной с нногоыершш аналогом системы уравнений теории тепло-и-иассообиена решены краевые задача с гранзчньша условиями смешанного типа, когда на некоторых отдельных связны?: участках границы задается условие Дирихле,а на других участках - условия типа Пуанкаре,содержание дидфереацарозанае по кояормахи а степанв комплексного параметра. ■

Путей использования матрицы Грина соогвегсгвувщах вспоиогатзльных задач,построена конотрукгавная геория погенцзава для указанных вьие снепаяных краевых задач типа Пуаякаро~Зарош5а а усгаяйвлзаы соответствующие оценки при всех значениях параметра нз некоторой о'еоконечвои области. На базе этпх результатов в дальаейаеи доказано существование ресвная соответствующих краевых эадач.при гра-

Яйчвнх условиях скгшанного ткпа Пуаккаре-Зарекба, содеркедях "даф~ фереацзрозанил ло коноркали и по вреиеям для параболических сас-?ои "дягтодальяого" вида втяла систем теории теяио-а-ыассообиева.

5) Лр*1 построгай теории яотенцяала для всех рааскогреяных вялиптаедсйях., задач с комплексный параметром исходный элементом послужила главная часгьдфуЕДа^енгальнои награды решений, которая хыраказтсЕ в явной заде',с помоцьв элементарных функций я функций

; Бесселя,; что 'доёвоишо. • сформулировать легвопрогеряеиые глобальные. . уславвя' разре,иниос5й' укаеаннвх задач .в аависиыостя 02 козффяциев-.. гов•урагюнвй:.ва5й^;Л\г.гранвчша: условий.' , , • .....

6) Явное начало зсзг процессов последовательных пряблилений, связанных с, всстроенкеи фувданедгапъяой кагрицы решений,а такке -. с реиея^еи .всшшогательной а основной спектральных задач, а так-ze удобное ..аналитическое представление, решения краевых задач для •. соотве'тствувдЕх'нараболяческБх систем,в-виде быстро сходяцегося конгуряого антеграла указывав? на' то,, что яредлогенная охена ио~ кег бытд, цаяольаована танее, для лриблигеяното и численного решэ-екя рамиагрдгаешпс задач.. •■• ,

Основное содержание диссертации'опубликовано в сведущих работах агтора:

1.Лаиедов Л.М., Скесанная задача с,производными высшего порядка з траничыьх уоирвяях для параболического уравнения с лере-

. ценным коэффицвекгчии, Ученые зая.АГУ ш.С.й.Кирова,сер.физ-цат'. науя,Балу,,Щ,с.14-13.

2, Манедов Н.М.., Применение цетода конгурвого интеграла я-решению океванноя задачи да'параболической.системы с перекснннии

,-'.. 3. йЕшедов Н.ш./Лр^Ееаие .из10за конгурЕОго интеграла ки/ ■ ревению задаче £оеш даш ззяоторщ-ледабояв^скях -систец вксиего

- 43 - '

порядка- о переменными нозффвця8а1айа,Диф.урав.,г.П5,№3,1578, о.492-458.

4. Иамедов Н.М., -Реиеане смешанной згдачз для параболической системы вгирого порядка ара граничных условиях смешанного типа, Программа и зезисн докладов симпозиума по диф-.урзз.Дщсабад, Туркменская госуязвзрсиге? ,1970.

5. Нефедов U.M., Яраезке задача при граничных условиях c?ís-иаеного t¿ü& для некого pax глтяягичесваг csicss« с комплексная параметра;!, Тем.сб. "К^аезаз задача для дкйзезгдальвых уразне-ввй с тасгянмй прсияводшша", лсд-рздаимзй аад.АЯ Азерб.СС? .М.1.Рэсулоза,взд.Я7 п<..5.Й.К ировэ»Втку,IS8I,в.1X9-137.

6. Ыамедов ЕЛ!,, Крзгвая задача при с ме павднх ? рзядчй^х ус-лозгях для лзргбояитеаяоЗ с н с г r у у , Д ;:$. у р а £., г. Х7Ш, 19 Б2, 1, с. 131В-I22S» _ ... ...............

7. Нанадов ЯЛ., Гзшепяе краевой задача пря гравзчаых условиях cseisacHoro ?вда для системы-уразнеяяЗ зепяо-а-массосбизаа, . Пзв.АН Азерб,CCP,IS32:йЗ,с.50-57. -

8. Намедов 2 .Ii., Ре из нив краевой задача пря смекавши. граничат условиях для одпой параболической явс2е1ш,Двф.урав.,г.1П, 1583,1Й5,с. 828-834.

9. Машздзз K.M., Ргпзн?е кразвоЗ ладача пра саешаваю: граввч-ккх условиях параболической сисгеш в плоской области,leu.сб. "ДвгЗфзревциадьиые уразпеаиз с частаюш производными и вх приложения", изд.АТУ вн.С.М.Карсза,БакуЕ1983,с.61-72.

10. Цаиедов Н.М., Решоаие краевой задача пря граничных уело-би?х смешанного типа для одной параболической. систекы,йЛГ. ССОР, r.275,IS£4»ö2,c.365-3£8.

11. Мамедоз U.M., Авалятаческое представление радения смешанной краевод -задачи для одной параболической сасгвьы,2ек.сб.яДвф-

ферепциальвые уравнешш с часщышз лронзводници я их приложения" вод редакцией акад.'АН Азерб.ССР Ц.Л.Расулова,мзд.ДГУ ш.С. 1!.Киров а, Баку,1585,с.17-23. ■ '; •

12. ЫаиедоБ^Н.Ц., Аашшяч'еакое лредсг'шение решения краевой задачи .праскевашвас граничат условиях для одной параболической. сгсгеши,Теи.сб^ПрЕКЛЕДЕК0 задача лагвкагической фиаикв" под редакцией акадЦЕ Аззрб.ССР И.Л.Раоудога, игд.Ш ки.С.¡¿.Кирова,Баку, 1566,0.11-15. ■ У. \\; .• '. .

18. • задача при гравву-

яых условиях ; двффзреяцированио по арв-

кени»,ДШ " -А '

14. аадю» щ"шщрщ йарабодичес-

вих снмгеи;вра ■сдошшвнх. '¿роамод-

ше яо_ времена ашсвах до^даов^ ;1еи.сб.«П|)ииэ£аш18,1и$ода йоиур-. ното ппге'грала а ргсаавд -сшаяшшх' а1эйая ¿ай дЕдаравдвельшос . •• ураввешй тайснвх Лаерб.СС?

Н.11.:*!зг.мэдов

"Нарабслик'вэ елляпткк тип ';?энлв«1зр система

■учун гарндшг сзрЬэд цэртлк мзсэлзлэрии Ьэлля" ' X У Л А С. Э

яиосертасил'а И'.:лядэ лютчя'.тэртйб хусусл торэкэля бэ"з!5 хэтта ' асраболяк вэ еллшгепх самекязр учун кифадот гэдар уму?,га азкялли гарапиг таяла сорКэд ыэсэлэлэрвкаа Ьзлликгга ортскнал конструктив пэззря^зси гурулчуз.зухсэк тзртлбля хзтта дараболяк олстонлйр учу л Аояп мзсзлзсякш сур"згло ^арчлая контур янтехчрали адэкляндз кбстэрглэ бялзя Ьэллдяин заряда асбят эдплдгятдзр. Ид кярЕадэя еэ уч феся^тая ибарэтцир.лири1здз иевзунун актуаллыры . асаслаццырнлыр бз аЗрк-а1ра сзсиллэр вэ парагра&шр узрэ дуссерта-! г;>данкп зсас взтачзлзрз гкса шзрЬ олуяур._

Зйрчячч гэслл ?о*.алекс чз^чэтр дахлл олан хэт-гя аллиптлк сястег-юр учук цувдагяиатх Ьадлэр иатрасинпа гурулыасана вэ гз^мзтлзн-'аряд^ас-яэ Ьвср одукауздур. Комплекс параметрия муэ.иэн еоасуз збгдгтдан олая бу™ук пИиэтлзряндз ^урде интеграл чавлрг.эсяяа вэ у сегуну тэт-б:гг е'шзкдз дуг.сз:: тзртпбяа хатта вллпя-мк сзстй» уч*£Н ^¡уядшлент-ал Ьзллзр яатряси гурулмуя.ояун озу ез ?ври:алв|5а учук га52этл5н:.«злэр алннмыпднр. Икенчн тэртиб хгсуеа ' торэизля бо"гс еяяяптяк сястегшзр гчуа фуаяаиэнтал Ьзллзр маграса-нлы бая Ьлсоэоапян аикар аналитик ифадэся ворилшадяр.

.Шсиячя комплекс яараметрля хусуся ыэкзлла икияча тэртяб

эллиптик састеглэр учу;? сзр'пэд мэсэлзлзринян Ьзллаяз Ьзср олунг.<уя-дур. Якй. эоас сзрЬэд изртлзрипэ бахылыр.Онлардан бариачяся комплекс яарамвтр цахяп олан Пуанкаре тяпля шэрт.дякйра исэ даЬа .¿урохкзб одан Нуангарэ-саремба тгпла ¡йзртдар.Ьгкиа ыэсэлэлзр учтя б у л»сяжю глтулзк комплекс аарамзтряи' погонсааллар аэззрвз^зси пгхглкг бпрчяисли еллпитлк сястеглмриа эввзлки фзсайдз- адаймыи •¿•71Пал5нтад Ьоллэр матрпглзряяэ' осасланор. Бахилан Ьаялзрда.'^уяда-ментад Ьаллвр уатраслэраязн 3?л Ьяссэсаявн аядар апалитск п£адзеа-кзя ОШЛаСЫ сзрпод пзозлзсишш. пэллянян-ЕарЛЗГЫ учуп к2,л

аэртлари ексаллар васв?зсалэ аякар Я'2одз есмз^э змкан заряр.

Киццчя Олоилдэ еЗрэнилэп мэсэлзлзр Ьзы да коатур актограли гоу. луну^ ехемянз корэ ¡ду^а-^г яараболяк оясгеилзр учун гр^улмуп гары-ыаг мзсэлзлэро у^гун онекттил мзсзлэлэрдяр,

)чуп«у С.зсил зсасэн бела гарыгааз? мзезлэлзрия Ьэлкпн.з Ьзср олун-¡.^•пдур, Ваш Ьпссэся Еиагояал • изкялла акзкча тяртяб хэ?та яараболгз

сяетеакэр ччт, Ьабедэ ярздшк вэ кггхэ -яечуруяаэея нэзэрмЗЗзси: кан ноходчулу. аналогу гчуа.,замая дэ^ашгаикэ вэ конориал ястига-мэте керз торгьшор доил олан-'Цуапкарз изз Пуаякара-йаракба тепли. сврЬэд ийрмш ' гаршзир' иэсаяэлэрея • сур"этлэ Загалая контур штегралы.^сгказвд»• кеетераяэ ¿шкш Ьвлликзн варлыгы «сбит еда-' лир. .Бу -.яг гзчаяэр. •гваэдгш;фэсшцэ. мувауиг спеотрал мзсаиалорян Ьэдяа .у-чуп «дуниаа..-та■ зсасланир.

ф8сйеи" адк дйратрафавда j3.ce Jykçsk' г®ртийжв,хэтти, Л.ГЛе2ровехя ыэ^нада. ларабалик сасгол' учтя Кови мэсалдсяпяв контур Ьвдгшяяи варлют-исба? едпл.-ладир.

Еу нэтячз .б.адаБа'оязэ-дйссартасиЗанип бяринчи Фзелишш ялк параг-

ti.K.ltsniaeo*

-■Solutions tq Parabolic and Elliptic Systeras-Under ttixed Boundary Data . ______

sursiARr

tills thesis. we «Jive! sn original constructive theory of nixed larv value problems of senerai form for some second order linear •one zM empties jyitems, and prove the existence' of a sotutiof? trie Csucii» i'sttest tcr Imar . parabolic systems • of high order, >ss it via a fast co'ivs rams cmtmif ifiteirsl

hi} thesis contains an introduction and ttree <■*??•?<•.?'• In tf.3 ¡fltffl-we state the importance of ' the problems considered, sn.<j ojye an le of the results.

Master t is devoted to cons'iucting and, estimating the matrix of omental solution to linear elliptic systems with a complex pararte-Appl/ing Fourier transform with tha complex parameter belonging in infinite domain, and levi-Carlemsri method, we construct f*e matrix of funa3(nental solution for linear elliptic systems and estimate it its derivatives. We is well give an explicit analytic form :t)S • rrioin part of .the fundamental matrix for trie same 3econd order tic systems.

hapter 2 is devoted to solving boundary value problems for second elliptic systems of special type. We consider two main Kind^ ■ of iary c«ta. Cne is the Pcincare data with a complex parameter and ic.r is more complex Poincare-Zorenba data. Theory of potentials

a complex parameter is based on th& raatriies of fundamental solutions ned in the previous chapter -for- corresponding homogeneous elliptic in s. The availability of an explicit analytic fo'm of the main of ■ the fundamental matrix in the considered cases allows us to out the sufficient conditions for the existence of a solution via ficients. Moreover, in the second "chacter we consider the spectral ems posed for the corresponding parabolic systems in the fr?mtworX the method of contour integration.

napter 3 d^als with the problems of the rollowiis ty;e. We prove c.-tirler.co of a solution m the form of a■ fast convaromy contour rai to the boundary value protlsn v?»trt Pcincare «ns Pomi^re-Iarsn-trufitfary data. which include tine sr.a canorjRil derivatives, for second lsne*r poraSotic systems *>ltB ruin part of the diagonal form, W.i a» for nullidirr.eivsionel ansiogues of tn» e*watians of heat and transport tneory. These results ere bjsed on tha estimates obtained the previous chapter of tne solutions to the corresponding spectral

IBS.

i the paragraph t of tne third chapter, the esistrnca m ■ trse form

a contour integral of a solution to the Ci'ichy crooicw for t nigh crder

>olic (by PetrovsKi) linear system is proved. TWa result is &a»e<i cn first paragraph of the first c.1ayt?r.