Решение многопараметрических задач механики методами компьютерной алгебры тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ

РГБ ОД

На правах рукописи

^ г, г.?'? >-.-.-

ЖУРОВ Алексей Иванович

РЕШЕНИЕ

МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ МЕТОДАМИ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ

01.02.01 — Теоретическая механика 01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации -на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва—-1995

Работа выполнена в Институте проблем механики РАН

Научные руководители:

академик РАН Д. М. Климов

доктор физико-математических наук А. Д. Полянин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А. П. Маркеев, доктор физико-математических наук В. И. Найдёнов.

Ведущая организация:

Московский физико-технический институт.

Защита диссертации состоится " 2-Ъ " иР-й-£}>5к_ 1995 г.

в 46 часов на заседании диссертационного совета Д002.87.01 при Институте проблем механики РАН по адресу: 117526, Москва, проспект Вернадского, 101, ИПМ РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем механики РАН.

Автореферат разослан " 20 " 011995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.87.01 кандидат физико-математических наук

А. И. Меняйлов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию ряда многопараметрических задач механики с использованием символьных вычислений.

Актуальность темы. Точные аналитические решения дифференциальных уравнений всегда играли и продолжают играть большую роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания. (Численные решения многопараметрических задач нередко приводят к значительным сложностям в интерпретации результатов.)

Задачи механики описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, коэффициенты которых часто зависят от многих параметров. Поиск точных решений в этих задачах связан с большим объемом алгебраических преобразований и выкладок, которые существенным образом ограничивают возможности исследователя. В этих случаях целесообразно использовать методы компьютерной алгебры, которые нередко позволяют преодолевать указанные сложности.

Многие задачи нелинейной механики описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных. Как правило, точное аналитическое решение задачи получить не удается. Поэтому систему упрощают (например, линеаризуют), чтобы установить ее локальные свойства. Методы анализа линейных систем хорошо известны. Наиболее актуально исследование нелинейных систем, поскольку их поведение зачастую качественно отличается от поведения соответствующих линеаризованных систем. Значительный интерес представляют точные аналитические решения, которые позволяют лучше понять поведение нелинейных систем "в целом". (Точные решения, даже если они не имеют ясного физического смысла, можно использовать для оценки погрешности различных численных, асимптотических и приближенных методов.)

Актуальность проблем гидродинамического обтекания пористых тел обусловлена практикой (например, это относится к проблемам расчета пористых катализаторов, пневмотранспорту). В прикладных исследованиях обычно ограничиваются поступательным или враща-

тельным потоком. Однако реальные течения зачастую имею г более сложную структуру. Рассмотрение сдвигового потока, структура которого задается рядом свободных параметров, позволяет точнее моделировать возникающие на практике течения. Решение для деформационной составляющей сдвигового потока можно рассматривать независимо от поступательной и вращательной составляющих. Суперпозицией решений для отдельных составляющих можно получить решение для* течения сложной структуры.

Изучение процессов адсорбции, проблем повышения нефтеотдачи при разработке газонефтяных месторождений и многих других явлений приводит к задаче о поршневом вытеснении одной фазы другой в пористой среде. Интерес представляет построение точных, приближенных и асимптотических решений, соответствующих уравнений в неравновесном случае.

Цель работы. Диссертация направлена на аналитическое исследование ряда многопараметрических задач механики: построение точных, асимптотических и приближенных решений методами компьютерной алгебры ввиду большой сложности и практической невозможности исследования рассматриваемых задач вручную. При этом основное внимание уделено:

• разработке алгебраического метода поиска точных аналитических решений нелинейных динамических систем второго порядка с полиномиальными правыми частями и его применение к нахождению таких решений;

• поиску нелинейных многопараметрических преобразований динамических систем второго порядка, приводящих рассматриваемые системы к интегрируемому виду;

• исследованию обтекания пористой сферической частицы и пористого кругового цилиндра линейным сдвиговым потоком вязкой несжимаемой жидкости в стоксовом приближении;

• анализу процессов неравновесной двухфазной фильтрации в пористой среде;

• разработке программ символьных вычислений для решения и исследования рассматриваемых в работе проблем.

Работа выполнена при поддержке Международного Научного Фонда согласно гранту R6IOOO (проект "Creation of new methods of mathematical physics, search for exact solutions and first integrals of nonlinear differential equations").

Методы исследования. Построение точных аналитических, приближенных и асимптотических решений, а также их анализ осуществлялся методами компьютерной алгебры с использованием систем символьных вычислений Reduce и Maple. Для построения точных решений динамических систем второго порядка предложен новый метод и реализованы следующие основные алгоритмы символьных вычислений: формирование линейной алгебраической системы (размерностью ^ 7) с нелинейными многопараметрическими коэффициентами для неизвестных коэффициентов уравнения, решение полученной системы, приведение громоздких выражений к удобному для восприятия и анализа виду, выявление положений равновесия соответствующей динамической системы и установление их типа. Для сравнительного анализа использовался метод построения асимптотических решений. В трехмерной задаче об обтекании пористой сферической частицы сдвиговым потоком для поиска точного решения использовался метод неопределенных коэффициентов. В задачах механики дисперсных сред применен метод сращиваемых асимптотических разложений, а также предложен итерационный метод построения приближенного решения.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:

• разработан алгебраический метод поиска точных аналитических решений нелинейных динамических систем второго порядка с полиномиальными правыми частями;

• получены точные (общие) аналитические решения ряда многопараметрических нелинейных динамических систем второго порядка с квадратичными и кубическими правыми частями; показано, что предложенным методом можно построить решения для систем с полиномиальными правыми частями и более высокого порядка;

• найдены нелинейные многопараметрические преобразования динамических систем второго порядка с квадратичными правыми

частями (отличные от указанных выше), приводящие эти системы к интегрируемому виду;

• получены точные решения осесимметричной и трехмерной задач об обтекании пористой сферической частицы линейным сдвиговым потоком вязкой несжимаемой жидкости в стоксовом приближении; определено количество жидкости, просачивающейся внутрь частицы в единицу времени; получено решение плоской задачи об обтекании пористого кругового цилиндра произвольным линейным сдвиговым стоксовым потоком;

• получены точные и асимптотические решения уравнений механики дисперсных систем, описывающих процессы двухфазной фильтрации в пористой среде с учетом капиллярных сил и неравновесности;

• предложена итерационная процедура построения особых траекторий динамических систем, проходящих через особые точки (обеспечивающая точные результаты в предельных случаях при малых и больших значениях характерного параметра задачи); эта процедура использована для решения некоторых задач механики дисперсных систем;

• разработан комплекс программ символьных вычислений на языках Reduce и Maple для решения и исследования рассматриваемых в работе проблем.

Практическое значение. Полученные точные решения многопараметрических динамических систем второго порядка могут быть использованы для оценки погрешности различных численных, асимптотических и приближенных методов.

Результаты по обтеканию пористых тел линейным сдвиговым потоком позволяют сделать важный для практики вывод: для реальных значений коэффициента проницаемости пористых тел внешнее гидродинамическое течение можно приближенно считать таким же, как и течение для соответствующего непроницаемого тела. Полученная формула для количества жидкости, просачивающейся внутрь пористой сферической частицы, важна в химической технологии при расчете пористых катализаторов с внутренней химической реакцией. Указанные результаты могут быть использованы и в проблемах пневмотранспорта.

Предложенная итерационная процедура позволяет построить приближенное решение задачи о двухфазном поршневом вытеснении в пористой среде с учетом капиллярных явлений и неравновесности (аналогичными уравнениями описываются и задачи адсорбции). При этом получаемая приближенная формула оказывается весьма простой и точной с практической точки зрения во всем диапазоне изменения характерного параметра задачи. Это имеет значение при описании процессов адсорбции в химической технологии, а также для повышения нефтеотдачи при разработке газонефтяных месторождений.

Достоверность результатов. Полученные результаты проверяемы, например, путем прямой подстановки решения в исходные уравнения. Кроме этого достоверность полученных результатов подтверждается соответствием найденных решений в предельных случаях решениям, полученным другими авторами.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре при Научном Совете РАН по механике систем и Научном Совете РАН по проблемам управления движением и навигации под руководством академика А. Ю. Ишлинского и академика Д. М. Климова в Институте проблем механики РАН (Москва, июнь 1995 г.), на ежегодных Герценовских чтениях в РГПУ им. А.И. Герцена на Секции по дифференциальным уравнениям (С.-Петербург, апрель 1994 г.), на семинаре под руководством д.т.н. П. Г. Бедриковецкого в Государственной академии нефти и газа им. И.М. Губкина (Москва, октябрь 1994 г.), на международной конференции "SPE Middle East Oil Technical Conference and Exibition" (Бахрейн, март 1995 г.) и на семинаре Лаборатории термогазодинамики под руководством д.ф.-м.н. В. М. Гремячкина и д.ф.-м.н. Ю. А. Сергеева в ИПМ РАН (Москва, июнь 1995 г.).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в шести статьях и одном препринте.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Изложена на 134 страницах, содержит 20 рисунков, 7 таблиц и список цитированной литературы из 85 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, дается обзор современного состояния работ, посвященных изучаемым в диссертации проблемам, формулируются цели исследования и основные результаты, которые выносятся на защиту.

В главе 1 предлагается алгебраический метод поиска точных аналитических решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с полиномиальными коэффициентами и связанных с этими уравнениями динамических систем второго порядка. Рассматриваемые семейства уравнений описываются рядом свободных параметров. Метод основан на непосредственном задании структуры решения в параметрическом виде с учетом зависимости от произвольных постоянных, ряда неопределенных параметров и функций, для нахождения которых существенно используются методы компьютерной алгебры.

Предложенный метод позволил описать новые интегрируемые многопараметрические семейства уравнений с квадратичными и кубическими коэффициентами. Показано, что этим методом можно построить решения для систем с полиномиальными правыми частями и более высокого порядка. Исследованы связанные с полученными уравнениями динамические системы с простыми и сложными положениями равновесия. В ряде случаев решение удается записать в явном виде, для получения которого использованы символьные вычисления. Рассмотрен пример построения асимптотического решения для многопараметрического семейства динамических систем и проведено сравнение с точным решением.

Предложен метод поиска преобразований (замен переменных), приводящих исходное нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка с квадратичными коэффициентами к линейному уравнению первого порядка. Точное решение в данном случае записывается в параметрическом виде с помощью квадратур. Метод основан на задании структуры преобразования в виде квадратичной формы с неопределенными коэффициентами, которые находятся далее с помощью компьютерной алгебры из условий приводимости исходного нелинейного уравнения к линейному.

Рассмотрим подробнее указанный выше алгебраический метод на

примере динамической системы второго порядка с квадратичными правыми частями:

х = Л01х + А10у + А02х2 + Апху + А20у2, у = В10х + В01у + В20х2 + Впху + В02у2,

где — "свободные" параметры, задающие многопараметриче-

ское семейство динамических систем. Исключая независимую переменную получим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка:

(А20у2 + А11ху + А02х2 + Л10у+ А01х)у'х =

= В20х2 + Впху + В02у2 + В10х + В01у.

Если найдено общее решение уравнения в переменных х, у, то решение для t находится в квадратурах из уравнений системы.

Решений уравнений первого порядка, общее аналитическое решение которых можно записать в явном виде у = у(х; С) или х — х(у; С), где С — произвольная постоянная, известно сравнительно немного — это достаточно простые и хорошо изученные линейные уравнения, уравнение Вернулли и др. Гораздо больше существует уравнений, общее решение которых можно представить в параметрическом виде х = х(т;С), у = у(т-,С). Такие решения, например, в ряде случаев имеют уравнения Абеля, уравнения Эмдена — Фаулера, уравнения теории горения и теории химических реакторов, уравнения тепломас-сопереноса, уравнения пограничного слоя неньютоновской жидкости и др.

Будем искать общее решение рассматриваемого семейства обыкновенных дифференциальных уравнений в виде

г = а1Ст/(т) + а2Сд(т), у = Ь.СГ^т) + Ь2Сд(т),

где С — произвольная постоянная; а2, Ь1, Ь2— "неопределенные" коэффициенты; функции / и д, а также значения параметра ш подлежат определению. Следует отметить, что возможны решения и другой структуры.

Задача состоит в том, чтобы выявить такие семейства уравнений, которые допускают решения рассматриваемого вида, т.е. найти тп и

/(г), д(т), а также определить зависимости между коэффициентами уравнения Л,-, B{j, параметрами аг, а2, blt Ъ2 и параметрами, входящими в /(г) и д(г).

Подставляя решение в уравнение и собирая члены при одинаковых степенях С, получим

К,С3т91 + C2m+l (K2<p2 + I<3v3) + I<AC2m<p4 + Cm+2(Kb<p5 + K6¥>6) + . + Ст+1[К7<р7 + Ks(pg) + К9С3<р9 + К10С2(р10 = 0.

Здесь коэффициенты Ка = Ка(А^, BtJ-; а2; 6Х, 62), а = 1,..., 10, не зависят от С и г, а функции <ра = <рQ(r) линейно независимы и выражаются через /, ^ и их производные /', д'. Чтобы указанное равенство удовлетворялось при любом С необходимо положить Ка — 0

(а = 1.....10).

Коэффициенты Ка линейны относительно А^, В^ и нелинейны относительно alt a2l blt b2. Поэтому в системе 10 алгебраических уравнений Ка = 0 целесообразно неизвестными считать 10 величин A{j, B{j. Однако в невырожденном случае данная система имеет только тривиальное решение. Нетривиальное решение возможно, если хотя бы две функции <ра и <рр (а ф fi), стоящие при одинаковых степенях С, будут линейно зависимы (в этом случае уравнений будет меньше, чем неизвестных).

Например, для m — 2/3 при С2 стоят функции tp1 и <р10. Накладывая условие пропорциональности <р1 = const ip10, с учетом того, что = /2/', Ую = 99'■ получим уравнение для / и д: f2f = const дд'. Интегрируя, имеем /3 = рд2 + q, где р, q — произвольные постоянные. Без ограничения общности можно положить / = (рт2 + g)1/3, д = т. Разрешая далее получаемую алгебраическую систему, находим зависимость коэффициентов уравнения А-, В^ от параметров ах, а2, f>n b2, р, Я- Таким образом, получаем 3-параметрическое (независимы только три параметра из шести, например, а1, è2, р, а остальные можно положить равными 1 или —1) семейство уравнений, имеющих найденное точное решение.

Перебирая значения параметра m и считая линейно зависимыми другие функции <ра при одинаковых степенях параметра С, получим другие уравнения для определения fug- Далее находим Л,- -, В^ из соответствующей алгебраической системы.

В работе такой анализ проделан полностью для динамических систем, правые части которых содержат линейные и квадратичные члены, свободные и квадратичные члены, а также линейные и кубические члены. Полученные системы и их решения содержат от трех до пяти свободных параметров. Во всех случаях проведен анализ положений равновесия.

В главе 2 исследована задача об обтекании пористой сферической частицы линейным осесимметричным сдвиговым стоксовым потоком. Течение снаружи частицы описывается стационарным уравнением Стокса

Av=gradp, divv = 0, а для течения внутри пористой частицы справедлив закон Дарси

V = —к grad Р, div V = 0.

Здесь v, р и V, Р — безразмерные скорость и давление снаружи и внутри частицы соответственно; к — безразмерная проницаемость частицы.

Граничное условие вдали от частицы обусловлено невозмущенной структурой деформационно-сдвигового потока:

г-><х>, v = v(0) + Er, Е = ЦВ,-уЦ,

где г — радиус-вектор точки в жидкости, Е- — компоненты матрицы сдвига. На границе с пористой средой использованы обычные условия равенства внешнего нормального напряжения внутреннему давлению и непрерывности нормальной компоненты скорости. Для касательной составляющей скорости использовано условие, экспериментально установленное Биверсом (Beavers) и Джозефом (Joseph) и теоретически обоснованное Саффманом (Saffman). Согласно этому условию нормальная производная касательной компоненты скорости на границе терпит разрыв, пропорциональный разности касательных компонент скорости снаружи и внутри частицы.

Для случая осесимметричного деформационного течения получено точное аналитическое решение для компонент скорости жидкости и давления снаружи и внутри пористой частицы с помощью введения

функции тока. Решение обобщено на случаи произвольного трехмерного линейного деформационного, а также поступательно-сдвигового стоксовых течений. В общем случае деформационно-сдвиговое течение описывается пятью независимыми параметрами, и полученное решение учитывает зависимость от всех этих параметров. В предельном случае при стремлении коэффициента проницаемости частицы к нулю полученные решения переходят в соответствующие решения для непроницаемой частицы.

В трехмерном случае получено и исследовано выражение для величины, характеризующей количество просачивающейся жидкости внутрь частицы. Показано, что в безразмерном виде эта величина слабо зависит от параметров течения (диапазон изменения составляет менее 5%) и на практике может считаться постоянной.

Кроме этого исследована задача об обтекании бесконечного кругового пористого цилиндра стационарным линейным деформационно-сдвиговым стоксовым потоком в плоскости, нормальной к оси цилиндра. Задача описывается такими же уравнениями и граничными условиями, что и задача об обтекании пористой сферической частицы.

Получено точное аналитическое решение для давления и компонент скорости жидкости снаружи и внутри цилиндра как для деформационно-сдвигового, так и для произвольного линейного сдвигового течения. В предельном случае (коэффициент проницаемости равен нулю) решение переходит в соответствующее решение для непроницаемого цилиндра. Получено выражение для величины, характеризующей количество жидкости, просачивающейся внутрь цилиндра в единицу времени.

Для получения решения в обеих задачах были использованы символьные вычисления, в частности, при "сшивании" внешнего и внутреннего решений на границе пористого тела. Наиболее существенно компьютерная алгебра использовалась в трехмерном случае обтекания пористой сферической частицы, что позволило выполнить большой объем аналитических выкладок и проверить полученные результаты. Кроме того, величина, характеризующая количество жидкости, просачивающейся внутрь частицы в единицу времени, также получена с помощью компьютерной алгебры.

В главе 3 проведен асимптотический и приближенный анализ некоторых задач механики дисперсных систем. Все задачи объединены обобщенной математической моделью в виде нелинейной системы дифференциальных уравнений в частных производных:

да да(р) д /_, . dp \ да

где а = cr(x,t) и р = p(x,t) — неизвестные функции координаты х и времени i\ q(p), D{p) — заданные функции; и, т — известные константы. Начальные и граничные условия имеют вид

р(0,£) = р* = const, сг(0 ,i) = сг* = const, р(х, 0) = а(х, 0) = р0 = const.

В теории фильтрации такими системами описывается одномерное двухфазное поршневое вытеснение одной жидкости другой в пористой среде с учетом капиллярных эффектов и неравновесности. Аналогичные системы возникают и при описании процессов адсорбции в плотном неподвижном слое адсорбента. Частным случаем таких систем является также уравнение Бюргерса, объединяющее типичную нелинейность с типичной тепловой диффузией. Целый ряд других физических явлений описывается рассматриваемой системой или ее частными случаями.

В систему входят две произвольные функции q(p), D(p) и два малых параметра v, г, выбор которых соответствует конкретным физическим явлениям. Отношение параметров е = v/t может быть любым. Характерная особенность всех описываемых явлений — то, что в нулевом приближении (и = г = 0) решение имеет разрыв в виде движущегося скачка (ударной волны). Если малые параметры отличны от нуля, то фронт скачка размывается. Форма размытого фронта определяется конкретным видом произвольных функций и значениями параметров. Форма фронта скачка и ширина зоны размытия, важные с практической точки зрения, являются объектами асимптотического и приближенного исследования в данной главе.

Используя метод сращиваемых асимптотических разложений и переходя в систему координат, движущуюся со скоростью скачка, удается свести задачу к динамической системе второго порядка (содержащей отношение малых параметров е) с двумя особыми точками. При

этом проблема определения ширины зоны размытия и формы фронта скачка сводится к задаче отыскания сепаратрисы, проходящей через особые точки. Для решения задачи нахождения сепаратрисы динамической системы

ex = f(x,y), у = д(х, у) с двумя особыми точками

(х, у) -»• (0,0) при t +00, (ж, у) —» (1,1) при t -> —00,

т.е. /(О, 0) = <7(0, 0) = 0 и /(1,1) = <7(1,1) = 0, предложена итерационная процедура

dx _ j

~~ = f{xn,y), n- 1,2,...,

которая позволяет за две-три итерации построить приближенное решение с достаточно высокой для практики точностью на всем бесконечном интервале изменения характерного параметра е. Предполагается, что х входит в f(x,y) и д(х,у) линейно. Все итерации удовлетворяют граничным условиям и в предельных случаях £ 4 0 и £—>-оо итерационная процедура обеспечивает асимптотически точный результат.

На примере было продемонстрировано сравнение результатов, даваемых предложенной итерационной процедурой, и результатами, полученными с помощью трех различных асимптотических методов: построение асимптотических разложений по малым параметрам е и -¡-фг, а также получение решения методом сращиваемых асимптотических разложений при е —> оо. Анализ показывает несомненное преимущество итерационной процедуры перед асимптотическими методами, т.к. первая хорошо работает на всем интервале изменения е, а последние дают большую погрешность при е ~ 1.

Эта итерационная процедура была использована для решения задачи о неравновесном двухфазном вытеснении нефти водой (с учетом капиллярных сил) в пористой среде.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

• Разработан алгебраический метод поиска точных аналитических решений нелинейных динамических систем второго порядка с полиномиальными правыми частями, основанный на непосредственном задании структуры решения в параметрическом виде с учетом зависимости от произвольной постоянной интегрирования.

• Получены точные (общие) аналитические решения ряда многопараметрических нелинейных динамических систем второго порядка с квадратичными и кубическими правыми частями (такие решения трудно получить другими известными методами). Рассмотрены все случаи, когда правые части содержат линейные и квадратичные члены, свободные и квадратичные члены, линейные и кубические члены. Найдены и исследованы положения равновесия. Для ряда динамических систем проведен анализ фазовых траекторий. Показано, что предложенным методом можно построить решения для систем с полиномиальными правыми частями и более высокого порядка.

• Найдены нелинейные многопараметрические преобразования динамических систем второго порядка с квадратичными правыми частями (отличные от указанных выше), приводящие эти системы к интегрируемому виду. Найдены положения равновесия.

• Получены точные решения осесимметричной и трехмерной задач обтекания пористой сферической частицы линейным сдвиговым потоком (описываемым в общем случае пятью независимыми параметрами) вязкой несжимаемой жидкости в стоксовом приближении.

• Определено количество жидкости, просачивающейся внутрь частицы в единицу времени. Показано, что в безразмерном виде эта величина слабо зависит от параметров течения (диапазон изменения составляет менее 5%) и на практике может считаться постоянной.

• Получено точное решение плоской задачи об обтекании пористого кругового цилиндра произвольным линейным сдвиговым стоксо-вым потоком. Выписано решение для частного случая простого сдвигового течения.

• Получены приближенные и асимптотические решения уравнений механики дисперсных систем, описывающих процессы двухфазной фильтрации в пористой среде с учетом капиллярных сил и неравновесности, а также другие явления.

• Предложена итерационная процедура построения особых траекторий динамических систем второго порядка, проходящих через особые точки (обеспечивающая асимптотически точные результаты в предельных случаях при малых и больших значениях характерного параметра задачи). Эта процедура использована для решения некоторых задач механики дисперсных систем. Сравнительный анализ показал несомненные практические преимущества этой процедуры по сравнению с асимптотическими методами, поскольку последние неприменимы в области промежуточных значений характерного параметра.

• Разработан комплекс программ символьных вычислений на языках Reduce и Maple для решения и исследования рассматриваемых в работе проблем.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. А. Д. Полянин, А. И. Журов. Алгебраический метод интегрирования дифференциальных уравнений нелинейной механики // Докл. РАН, т. 337, № 2, 1994, с. 196-199.

2. А. И. Журов. О точных решениях динамических систем 2-го порядка // Междуведомственный сборник "Проблемы математики в физических и технических задачах", Москва, 1994, с. 97-104.

3. А. И. Журов, А. Д. Полянин, Е. Д. Потапов. Обтекание пористой частицы сдвиговым потоком // Изв. РАН. МЖГ, № 3, 1995, с. 113-120.

4. А. И. Журов. Обтекание пористого цилиндра сдвиговым потоком // ТОХТ, №2, 1995, с. 213-216.

5. A. I. Zhurov. Equations of the form (Л22У2 + A12xy + Anx2 + A2y + +A1x)y'x = B22y7 + Bnxy+Bnx2 + B2y+B1x // In book: A. D. Polya-nin, V. F. Zaitsev, "Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations," CRC Press, 1995, pp. 65-73; В книге: Зайцев В. Ф.,

Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: точные решения. М.: Наука, 1995, с. 60-67.

6. P. G. Bedrikovetsky, К. Т. Potsch, A. D. Polyanin, and A. I. Zhurov. Upscaling of the Waterflood Reservoir Properties on the Core Level: Laboratory Study, Macro and Micro Modelling. SPE No. 29870, 1995, pp. 327-339.

7. А. И. Журов, И. И. Карпов, И. К. Шингарёва. Основы Maple. Применение в механике // Препринт ИПМ РАН Лг° 536, Москва, 1995, 76 с.