Решение некоторых задач о неустановившихся температурных напряжениях в телах с трещинами и отверстиями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.% *

1. Современное состояние вопроса.

2. Краткое содержание.

Глава I. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В

АНИЗОТРОПНОМ ТЕДЕ С ОТВЕРСТИЯМИ-И ТРЕЩИНАМИ

РАЗРЕЗАМИ.

§ I. Основные соотношения термоупругости.

§ 2, Постановка задачи. Интегральное уравнение плоской задачи термоупругости.

§ 3. Исследование разрешимости интегрального уравнения (I.I3).*.

§ 4. Асимптотический анализ поля напряжений в окрестности вершин разрезов (трещин). Частные случаи.

§ 5. Напряжения на границе области.*.

Глава П. РАСЧЕТ НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛАХ С ТУННЕЛЬНЫМИ РАЗРЕЗА!®.

§ 6. Тепловые поля в телах прямоугольного поперечного сечения, ослабленных трещинами.

§ 7. Неустановившиеся температурные напряжения в прямоугольном брусе с туннельным разрезом (трещиной).

Интегральное уравнение.

§ 8. О численной реализации алгоритма определения неустановившихся температурных напряжений.

Глава Ш. УПРАВЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫМ ПОЛЕМ В АНИЗОТРОПНЫХ

ТЕЛАХ С РАЗРЕЗАМИ - ТРЕЩИНАМИ

§ 9. Оптимальное по быстродействию управление температурным полем в ортотропном теле при ограничениях на управление.

§10. Постановка задачи оптимального управления тепловым полем в телах с разрезами при ограничениях на коэффициенты интенсивности напряжений.

§ II. Сведение задачи оптимального управления к задаче математического программирования.

§ 12. О численной реализации алгоритма решения задачи управления. Примеры расчета. д£

Во многих случаях потеря несущей способности конструктивных элементов является следствием их неравномерного прогрева. Такого рода явления типичны, например, для авиационных и космических конструкций, различных деталей и узлов энергетического оборудованияL«, 2,0» » 35 ]. Неравномерный прогрев сопровождает, как правило, большинство технологических процессов, связанных с производством высокопрочных, в частности, композитных материалов L^, ^ J. Заметим, что композитные материалы можно рассматривать "в целом" как анизотропные. Возникающие при охлаждении (нагреве) температурные напряжения могут вызвать разрушение материала еще на стадии его создания L 55 ] 9 что объясняется, наряду с другими причинами, наличием в реальном материале различных дефектов (полостей, включений и т.п.). Следовательно, учет дефектов, например, трещин, необходим (также, как и учет анизотропии упругих и теплофизических свойств) как при определении прочностных свойств материала, так и при выборе режимов его тепловой обработки.

В связи с выше-изложенным, а также, исходя из потребностей внутреннего развития механики разрушения, является актуальной разработка эффективных методов расчета неустановившихся температурных напряжений в анизотропных телах с отверстиями и трещинами (математическими разрезами) произвольной формы.

Рассмотрение задач этого рода составляет первую часть данной работы.

Однако, требования практики проектирования таковы, что в настоящее время важно не только иметь представление об уровне температурных напряжений в теле, но и располагать возможностью управления ими за счет выбора режимов тепловой обработки. Можно потребовать, например, чтобы термонапряжения в течение всего процесса обработки не превышали допустимого уровня, а некоторый критерий качества принимал свое экстремальное значение.

Вторая часть работы посвящена решению ряда задач оптимального управления тепловыми полями в упругих телах, ослабленных трещинами, при наличии ограничений на функцию управления (температуру охлаждающей среды) и фазовые переменные (коэффициенты интенсивности напряжений).

I. Современное состояние вопроса

Разработке теории и методов решения задач механики разрушения посвящено большое количество работ как советстких, так и зарубежных авторов. Результаты этой работы нашли достаточно полное отражение в монографиях А.А. Каминского I.Si ] . М.Я. Леонова Uil В.6. Панасюка L п ]. В.З. Партона, Е.М. Морозова L ], Ю.Н.Ра-ботнова Л.И. Седова L г.П. Черепанова L 12.i] ,

Д. Броека L ], Т. Екобори Л.Р. Ирвина L],Дж.§.Нотта L^ ]и ряда других авторов. Эти же вопросы освещены в семитомном издании "Разрушение" под редакцией Г.Либовица (см.,например, L96, У05"Ц ), а также ряде статей 69, ЧЦ, 4S, iOO, /04,

W, из, по, ш, m,i*s9 /зб].

В нашем обзоре остановимся кратко на работах, касающихся методов решения двумерных краевых задач теории термоупругости для тел, ослабленных отверстиями и трещинами-разрезами.

Прежде всего отметим, что к настоящему времени наиболее полно изучена плоская за^ача^стадионарной те£м^прхгостиизотропного^те-лаи разработаны эффективные методы ее решения для тел указанной выше конфигурации. Обзор и достаточно полную библиографию можно найти в монографиях Г.С. Кита, М.Г. Кривцуна L 5% ], В.В. Пана

- б сюка, М.П. Саврука, А.П. Дацышин L si] , М.П. Саврука [М].

Предваряя обсуждение работ, изучающих проблемы термоупругости в анизотропных телах с отверстиями и трещинами, отметим, что исследование напряженного состояния в анизотропной среде с двумя или даже одним отверстием, отличным по форме от эллиптического, представляет принципиальные трудности [62] . Задачи стационарной термоупругости анизотропного тела были исследованы А.И. Уздалевым [,{02, U02 для ортотропных пластинок ограниченных двухсвязным контуром, а для многосвязных пластин - А.С. Космодамианеким и С.А.Ка-лоеровьш . Краевые задачи при наличии в пластине круговых или эллиптических отверстий решены путем сведения их к задачам линейного сопряжения. Поскольку данный подход позволяет получить решение только в том случае, когда отверстия имеют простую форму (например, круг, эллипс и т.п.), то при наличии в пластинках криволинейных отверстий достаточно произвольного вида А.С. Космодамианеким и С.А. Калоеровым в С успешно использован метод кол-локаций.

Задача термоупругости для анизотропного тела с терщинами решена С.А. Калоеровым в £] , а вместе с соавторами для пластинки с прямолинейной трещиной и круговым отверстием - в 9 , SO ] , причем определение комплексных потенциалов, дающих решение краевой задачи теории упругости, сведено к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений.

Наряду с упомянутыми ранее методами при решении задач термоупругости для тел с трещинами широко применяется метод интегральных преобразований. В частности, с помощью этого метода Д.Л. Клементе, Т.Р. Тэтчер [\Ъ 1] , Т.Р. Тэтчер 1^9] исследовали ряд задач стационарной термоупругости для анизотропной полосы с прямолинейной трещиной. Решение задач термоупругости для анизотропных сред с прямолинейными трещинами можно найти также в [ , , ikil, Здесь же отметим, что при использовании метода интегральных преобразований существенными являются простота границ тела, прямолинейность и определенная ориентация трещин.

Среди методов свободных от указанных выше ограничений прежде всего укажем на метод конечных элементов, с помощью которого был решен ряд задач механики разрушения U*. >2, 73 ] . Однако, его использование в задачах такого рода сопряжено с рядом трудностей, в частности, необходимостью учета особенностей напряжений в вершинах трещин-разрезов.

В последние годы при решении задач теории упругости для тел с границей достаточно произвольного вида все более широкое применение получает метод, основанный на сведении исходной краевой задачи к решению интегральных уравнений. Метод интегральных уравнений, достаточно полное представление о котором можно получить из книг В.З. Партона, П.И. Перлина [1к , , является основой работ Д.И. Шермана \ilk] , Л.А. Фильштинского [Ш, Н2] и использован ими при решении силовых задач теории упругости анизотропного тела. Прием, примененный этими авторами при сведении двумерных краевых задач к интегральным уравнениям,основан на представлении комплексных потенциалов в виде интегралов типа Коши. Подстановка этих представлений в краевые условия приводит к интегральным уравнениям относительно фигурирующих в этих представлениях неизвестных функций точек границы (плотностей). Отметим, что в работе Д.И. Шермана L^] решена первая краевая задача теории упругости для анизотропной среды с отверстиями, а в работах Л.А. Филыптинского LH4, ^2]-для анизотропной среды с трещинами.

Метод интегральных уравнений использован также Г.С. Китом [5"2J и М.П. Савруком I'fOj] при решении задач стационарной термоупругости, но для изотропных тел с отверстиями и трещинами. Установлено irni в частности, что для тел с термоизолированными трещинами полученные интегральные уравнения совпадают с уравнениями соответствующих силовых задач, с той лишь разницей, что к искомым функциям прибавляются слагаемые, известные из решения задач теплопроводности.

Решению задач стационарной термоупругости для анизотропных тел с трещинами посвящены работы Д.В. Грилицкого, Б.И. Поповича [5 3] , А.И. Прусова [92, S3 ] .

Важным обстоятельством, которое позволяет успешно использовать при решении задач теории упругости интегральные уравнения является наличие эффективных методов их численного решения. В связи с этим укажем на ряд работ [46, > 101, /33, <50, <5i J, в которых можно найти различные методы решения интегральных уравнений и соответствующие библиографические ссылки.

Теперь заметим, что влияние нестационарных температурных полей на коэффициенты интенсивности напряжений изучено слабо (в отличие от стационарных) как в изотропном, так и анизотропном случаях .

Так, например, Я.С. Подстригачем и Ю.М. Коляно в [30 J среди. прочих задач рассмотрена задача о неустановившихся температурных напряжениях в изотропной полуплоскости с прямолинейным перпендикулярным границе разрезом и разрывными граничными условиями. Тепловая задача для плоскости с разрезом исследована также в [ 53 ] .

В работе В.Д. Кулиева, А.С. Ахиева [60] исследовано напряженное состояние изотропной полуплоскости, ослабленной перпендикулярной границе краевой трещиной при воздействии на нее циклической температуры, изменяющейся по закону Т - T^tyVSlft^ot) . При решении задачи в этой работе, также, как в [ 30 ] , использовался метод интегральных преобразований.

В [&£] О.В. Побережный и И.В. Гайвась рассмотрели задачу об определении коэффициентов интенсивности напряжений (КИЮ в пластине с полубесконечным разрезом, на берегах которого задана температура. Здесь же исследовано влияние нестационарного температурного поля и теплоотдачи пластины на КИН.

Квазистатическая задача термоупругости для изотропной пластинки с полубесконечным теплоизолированным разрезом изучалась в влияние теплоотдачи на КИН в пластине с разрезом в .

Из известных нам работ, посвященных исследованию неустановившихся термонапряжений в анизотропных телах с разрезами, отметим работы LM. <кЪ, iS%-\.

В частности, в работе решена задача об определении неустановившихся термонапряжений в полом цилиндре с кольцевой трещиной. В качестве математического аппарата использовался метод интегральных преобразований. й, наконец, отметим работу П.С. Кушавахи [43 &] , близко примыкающую к обсуждаемой тематике, где решена задача об определении КИН при воздействии на тело массовых сил.

Таким образом, проведенный анализ литературы показывает, что на иболее полно изучена стационарная задача термоупругости для изотропных тел. Нестационарные температурные поля и их влияние на КИН даже в изотропных телах исследованы недостаточно: рассмотрены тела с отверстиями и трещинами простой конфигурации (круги, эллипсы, прямолинейные трещины-разрезы). Аналогичная картина наблюдается при изучении анизотропных тел, но число работ в этом направлении значительно меньше. Одна из причин, объясняющих создавщуюся ситуацию - ограниченные возможности методов, используемых при решении этих задач.

Исходя из вышеизложенного, представляется актуальной разработка эффективных алгоритмов решения задачи о неустановившихся температурных напряжениях в анизотропных телах с криволинейными отверстиями и трещинами-разрезами.

Переходя к обзору работ, посвященных задачам оптимального управления тепловыми полями в упругих телах, заметим, что задачи такого типа рассматриваются в теории оптимального управления системами с распределенными параметрами [ft , 63] . Достаточно обширная библиография по данному вопросу содержится в монографиях А.Г. Бутковс-кого , Э.И. Григолюка, Я.С. Подстригача, Я.И. Бурака

Ъ1] , А.И. Егорова [41] , Ж.-Л. JlnoHcaUS] , к.А. Дурье [64 ] , а также обзорных статьях А.Г. Бутковского , Т.К.Сиразетдинова

Ш], У. Брогана [ 430] f Л.Рассела Один из подходов, применяемых при решении задач теории оптимального управления, основан на теории и методах вариационного исчисления. С помощью этого подхода Э.И. Григолюком, Я.С. Подстрига-чем, Я.И. Бураком [32] разработаны теоретические основы методики оптимизации температурных режимов в оболочках вращения и решен ряд важных для практики задач. Критерий оптимизации здесь заключается в минимизации функционала энергии упругой деформации, учтены некоторые ограничения на параметры напряженно-деформированного состояния и теплового процесса. Аналогичный подход развит в работах

Наряду с методами вариационного исчисления при решении оптимизационных задач в системах с распределенными параметрами нашли применение методы, основанные на обобщении принципа максимума Понт-рягина [41, , Решение некоторых задач оптимального управления тепловыми полями на основе этого подхода можно найти в [ 9 3] .

Однако, следует заметить, что применение этих подходов довольно трудоемко, что является серьезным препятствием для их систематического использования при решении указанного выше класса задач.

При решении задач оптимального управления тепловыми полями и, в частности, при отыскании оптимального по быстродействию управле

- и ния нагревом (охлаждением) в настоящее время разработана (см, Ю.Н. Андреев, А,Г. Бутковский L3, к ] ) методика построения оптимального управления температурными полями в массивных телах, основанная на I проблеме моментов [J5] . На основе этой методики в [2, 5\] найдено приближенное решение задачи наискорейшего нагрева пластины до заданной температуры; ряд других задач, также одномерных, решен в lit. Ml;

Но и эта методика обладает существенными недостатками. Наиболее существенный из них связан с непреодолимыми трудностями при учете фазовых ограничений, в качестве которых для упругих тел с трещинами-разрезами могут выступать, в частности, коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах трещин, либо иные парамеры напряженно-деформированного состояния.

Поскольку наличие фазовых ограничений значительно усложняет задачу, различными авторами предложен ряд путей для преодоления возникающих трудностей.

При решении задачи отыскания оптимального по быстродействию управления нагревом Я,С. Подстригачем и В.М. Вигаком [13] предложена методика, основанная на предположении, что температурный режим совершается либо при максимально возможном значении управления, либо обеспечивает максимально допустимые значения ограничений фазовых переменных. Такое предположение позволило свести решение исходной задачи оптимизации к решению краевых задач теплопроводности с классическими либо неклассическими граничными условиями. Аналитическое решение таких задач может быть получено, например, при помощи метода интегральных преобразований. Дальнейшее развитие и обоснование указанная методика получила в работах L i3, 2 0 ]. Впрочем, и здесь можно найти решения задач оптимального управления £Еноме£шми тепловыми полями.

Как уже отмечалось, наличие фазовых ограничений значительно усложняет задачу оптимизации. Один из возможных подходов к решению задач такого рода состоит в определении дополнительных ограничений на функцию управления, при наличии которых заданные ограничения на фазовые координаты заведомо выполняются. Решение некоторых задач на основе данного подхода можно найти в работах А.Х. Вырка [22 ] , Б.М. Распопова [99] .

Б.М. Распоповым [99] найдено приближенное решение задачи оптимизации по быстродействию температурного режима пластины с ограничениями на функцию управления, в качестве которой выступает тепловой поток, и фазовые переменные (градиенты температурного поля). Задача решена с использованием метода интегральных преобразований и принципа максимума Понтрягина.

А.Х. Вырком также подучено приближенное решение задачи оптимального управления одномерным температурным полем, однако, в качестве функций управления в его работе [Ml выбрана температура греющей среды. Предпол)агалось, что выполнены ограничения на функцию управления и фазовые переменные (температурные напряжения).

Задачи оптимального управления температурными полями при наличии ограничений на параметры напряженно-деформированного состояния рассмотрены в статьях Ю.Н. Андреева, М.Г. Огульника Li"] , Н.Н.Го-лубя , Я.И. Бурака, А.Р. Гачкевича U3] , А.А. Шевелева ill, {23] , Э.Я. Рапопорта L97, 9 i 3 и ряда других авторов.

При оптимизации температурных режимов используются также методы, основанные на замене краевой задачи теплопроводности системой обыкновенных дифференциальных уравнений, либо системой алгебраических уравнений с последующим использованием хорошо развитой теории оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами. Именно такой подход использован в работе Б.И. Колодия [5*4] при оптимизации температурного режима в тонкой пластинке, а также Ю.А. Афанасьевым, Л.А. Егоровым, В. И. Муравьевым , В.Д. Протасовым [ 6] при решении задачи оптимального управления температурными напряжениями в ортотропных телах.

Вместе с тем,к решению таких задач оптимального управления могут быть применены методы математического программирования [23] , на возможность использования которых указывалось, например, в книге А.Табака, Б. Куо [Ю&З . На основе данного подхода в 'tan решена задача оптимального управления нагревом пластины, причем исходная задача сведена к задаче линейного программирования. В СЪЗ, ] на основе применения конечно-разностных схем и методов нелинейного программирования определены оптимальные режимы охлаждения толстостенных изделий из композитных материалов. Возможность применения такой схемы обоснована, в частности, в работе В.П. Гуленко, Ю.М. Ермольева £ 3 6 Л . Аналогичный подход обосновывался также в работах других авторов [^/2, 65*, /^0, £ ] ,а некоторые другие задачи, близкие к рассматриваемым в данной части обзора, можно найти в 3*, ]

Таким образом, на основании выполненного обзора можно сделать вывод, что большинство имеющихся решений оптимизационных задач относится к задачам управления одномерными тепловыми полями. Однако, при решении задач механики разрушения и, в частности краевых задач теории трещин, необходимоjy^eTbj^paBJLHTb^вуме]эными тепловыми полями, чтобы иметь возможность учитывать ограничения на коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах трещин.

Решению задач такого рода посвящена вторая часть данной работы.

2. Краткое содержание диссертационной работы

Целью настоящей лисс^ертадионно^й работы является разработка общего метода решения двумерных квазистатических задач термоупругости для анизотропных тел, ослабленных отверстиями и трещинами произвольного вида. Такая постановка включает случаи наличия внутренних трещин, а также трещин, выходящих на границу тела.

Наряду с решением этой задачи предлагается методика решения задач оптимального управления двумерными тепловыми полями в упругих телах с трещинами при наличии ограничений на фазовые переменные коэффициенты интенсивности напряжений) и функцию управления температуру охлаждающей среды). В качестве функции цели выбирается средняя температура тела.

При наличии ограничений только на функцию управления рассмотрена также задача оптимального по быстродействию управления двумерным температурным полем.

Общая мемдика^иссле^ований заключается в систематическом применении метода интегральных уравнений, основанном на представлении комплексных потенциалов в виде интегралов типа Коши с неизвестной плотностью. Подстановка этих представлений в граничные условия приводит к сингулярным интегральным уравнениям, решение которых осуществляется численными методами.

Решение задачи оптимального управления основано на замене фазовых ограничений ограничениями на управление и последующем сведении ее к задаче математического (в данном случае линейного) программирования.

Задача оптимизации по быстродействию решена на основе проблемы моментов.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем кратко основные результаты диссертационной работы.

1. На основе метода интегральных уравнений разработан единый подход к решению задач об определении неустановившихся температурных напряжений в анизотропных цилиндрических телах, ослабленных туннельными трещинами и отверстиями достаточно произвольной конфигурации. Доказана разрешимость интегральных уравнений, соответствующих поставленным краевым задачам.

2. Получены формулы, определяющие коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах трещин-разрезов в виде функционалов на решениях интегральных уравнений.

3. Разработаны схемы численной реализации построенных алгоритмов. Для случая остывания тела с трещиной в условиях свободного теплообмена получена новая информация о характере изменения коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах трещин и концентрации напряжений на внешнем контуре в зависимости от расположения трещины, характера теплофизической и механической анизотропии, а также условий теплообмена с внешней средой.

4. На основании проведенных численных экспериментов можно заключить: а) наличие в телах остроконечных дефектов типа трещин значительно повышает уровень концентрации напряжений на границе тела; б) среди внутренних трещин наиболее опасными являются прямолинейные трещины перпендикулярные к границе тела; в) среди трещин одинаковой длины особую опасность представляют прямолинейные краевые трещины; г) анизотропия тела существенно влияет на коэффициенты инте^сивности напряжений (НИН). В частности, КИН и концентрация напряжений на границе тела больше в том случае, если трещина располагается вдоль направления с меньшим модулем упругости.

5. В работе поставлена и решена задача об управлении двумерным температурным полем в телах с трещиной при учете ограничений нового вида, а именно, ограничений на коэффициенты интенсивности напряжений.

6. Поставлена и решена задача об оптимальном по быстродействию переводе тела из начального температурного состояния в заданное конечное состояние при наличии ограничений на функцию управления.

1. Алиферов В.В. Вариационный подход к решению задач оптимизации тепловых процессов. - В кн.: Математические методы оптимизации теплоэнерг. процессов, Фрунзе, Илим, 1970, с. 60-69.

2. Андреев Ю.Н. Номограммы для наискорейшего нагрева массивной пластины. Изв.вузов. Черная металлургия, 1967, №3, с.147-152.

3. Андреев Ю.Н., Бутковский А.Г. Оптимальное управление нагревом массивных тел. Изв. АН CCGP. Техн.кибернетика, 1964, №5,с. 45-54.

4. Андреев Ю.Н., Бутковский А.Г. Задача оптимального управления нагревом массивных тел. Инж.-физ. журнал, 1965, 8, № I,с. 87-92.

5. Андреев Ю.Н., ОгуЛьник М.Г. Оптимальный по быстродействию нагрев пластины при ограниченных температурных напряжениях. В кн.: Кибернетика и управление. М.: Наука, 1967, с. 43-52.

6. Баренблатт Г.И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении. Журн. прикл.матем. и техн. физ., 1961, №4, с. 3-56.

7. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы нестационарной теплопроводности. -М.: Высшая школа, 1978. 328 с.

8. Беседина Л.П., Будз С.Ф., Зозуляк Ю.Д. О построении оптимальных по напряжениям температурных полей применительно к условиям термообработки пластин и оболочек. В кн.: Математическиеметоды и физ.-мех, поля, вып. 7, Киев: Наукова думка, 1978, с. II-I6.

9. Бойко А.В., Карпенко JI.H. 0 решении некоторых задач плоской теории упругости для тел с трещинами при помощи интегральных уравнений. Киев, 1980. 24с. - (Препринт/Институт проблем прочности АН УССР).

10. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. М.: Мир, 1964. - 518 с.

11. Броек Д. Основы механики разрушения. М.: Высшая школа, 1980. - 368 с.

12. Бурак Я.И., Гачкевич А.Р. Оптимальные по напряжениям режимы индукционного нагрева тонкой пластинки. Математические методы и физ.-мех.поля, 1975, вып. 2, с. 93-98.

13. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. - 474 с.

14. Бутковский А.Г., Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975, - 568.

15. Бутковский А.Г. Управление системами с распределенными параметрами (обзор). Автоматика и телемеханика, 1979, Ml. - 65 с.

16. Бутырин В.И., Филыптинский Л.А. Оптимальное управление температурным полем в стержне при программном изменении зоны управления. Прикладная механика, 1976, ХП, № 8, с. II5-II8.

17. Вигак В.М. Исследования температурного и напряженного состояния упругих тел применительно к оптимизации переходных режимов в деталях энергооборудования. Автореф. дис. . канд.физ.-мат. наук. Львов, 1973. - 23с.

18. Вигак В.М. Оптимальное управление нестационарными температурными режимами. Киев, Наукова думка, 1979. - 360 с.

19. Вигак В.М., Фальковский С.В., Горешник А.Д., Мащенко Б.В. Доцустимые температурные напряжения и скорости прогрева (расхолаживания) паропроводов. М.: Энергия, 1975. - 104 с.

20. Выпов Г.П., Гинкул С.И., Казанцев Е.И. Применение си^лекс-метода для решения задач оптимального управления нагревом металла с ограничениями. Изв. вузов, Черная металдургия, 1975, №5, с. 174-179.

21. Вырк А.Х. Управление нагревом массивного тела с учетом ограничений на термонапряжения. Автоматика и телемеханика, 1972, 33, №5, с. 185-188.

22. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1981. -350 с.

23. Гайвась И.В., Кит Г.С. Нестационарная задача термоупругости для пластины с полубесконечным теплоизолированным разрезом. -Проблемы прочности, 1974, №6, с. 72-75.

24. Гайвась И.В., Побережный О.В. Влияние теплоотдачи на коэффициенты интенсивности напряжений в пластине с разрезом. В кн.: Вопросы прикладной термомеханики. Киев: Наукова думка, 1979,с. 159-162.

25. Галимов К.З. О некоторых направлениях развития механики деформированного тела в Казани. В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек, вып. 12, изд-во Казан.ун-та, 1976, с.3-26.

26. Галимов К.З. О некоторых направлениях развития механики деформируемого твердого тела в Казани. В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек, вып. 14, изд-во Казан.ун-та, 1979,с. 11-82.

27. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Физматгиз, 1963. - 639 с.

28. Гейтвуд Б.Е. Температурные напряжения применительно к самолетам, снарядам, турбинам и ядерным реакторам. М.: Изд-во иностр. лит., 1954. - 349 с.

29. Голубь Н.Н. Оптимальное управление симметричным нагревом массивных тел при различных фазовых ограничениях. Автоматика и телемеханика, 1967, 28, № 4, с. 38-57.

30. Гольдштейн Р.В., Салганик Р.Л. Хрупкое разрушение тел с произвольными трещинами. В кн.: Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975, с. I56-171.

31. Григолюк Э.И., Подстригач Я.С., Бурак Я.И. Оптимизация нагрева оболочек и пластин. Киев, Наукова думка, 1979. - 364 с.

32. Грилицкий Д.В., Попович Б.И. Плоские контактные задачи термоупругости. Львов: Изд-во Львов.гос.ун-та, 1973. - 114 с.

33. Гришанов А.Н., Семисалов А.С., Фильштинский Л.А. Оптимальное • управление тепловыми полями и температурными напряжениями в элементах конструкций. Ученые записки ЦАГИ, 1977, УШ, № I, с. 152-159.

34. Губа В.М., Постольник Ю.С., Гаранчук В.А. Об оценке допустимых параметров нагрева слитков простой формы. В кн.: Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1972, выш12, с. 76-79.

35. Гуленко В.П., Ермольев Ю.М. 0 конечно-разностном методе в задачах управления системами с распределенными параметрами. -Кибернетика, 1970, №5, с. 81-83.

36. Дегтярев Г.Л. Об оптимальном управлении граничными условиями. -Тр. Казанского авиационного института, 1971, вып. 130, с.75-79.

37. Диордиев Н.Д., Колчин Г.Б., Ножак Г.В. Применение методов теории распределенных систем к управлению импульсными термоупругими процессами. (рукопись деп. в ВИНИТИ 18 февр. 1983г.,919.83Деп). 7 с.

38. Дубовицкий А.Я., Коротков В.М., Турусов Р.А., Розенберг Б.А. Алгоритм оптимизации и оптимальные режимы охлаждения толстостенных изделий из композитных материалов. Механика композитных материалов, 1984, №2, с. 334-340.

39. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980, - 384 с.

40. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978, - 464 с.

41. Егоров Ю.В. 0 некоторых задачах теории оптимального управления. Докл. АН СССР, 1962, 145, №4, с. 720-723.

42. Егоров Ю.В. Некоторые задачи теории оптимального управления. -Журнал выч.мат. и матем.физики, 1963, 3, № 5, с. 887-904.

43. Екобори Т. Физика и механика разрушения и прочности твердых тел. М.: Металлургия, 1971. - 264 с.

44. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: Наукова думка, 1968. - 288 с.

45. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука, 1973. - 304 с.

46. Калоеров С.А. Напряженное состояние многосвязной анизотропной пластинки с трещинами. Теор. и прикл.механика, Киев-Донецк, 1983, №14, с. 25-33.

47. Калоеров С.А., Горук Е.Н. Распределение напряжений в пластинке с трещиной и круговыми отверстиями. Теор. прикл.механика, Киев-Донецк, 1983, № 14, с. 33-39.

48. Калоеров С.А., Павленко В.И. Напряженное состояние пластинки с круговым отверстием и трещиной. Киев-Донецк: Теор. и прикл. механика, 1981, № 12, с. 47-56.

49. Каминский А.А. Механика разрушения вязко-упругих тел. Киев: Наукова думка, 1980. - 160 с.

50. Кит Г.С., Кривцун М.Г. Плоские задачи термоупругости для тел с трещинами. Киев: Наукова думка, 1983. - 277 с.

51. Кит.Г.С., Побережный О.В. Нестационарная задача термоупругости для пластинки с трещиной при наличии теплоотдачи с боковых поверхностей. Физ.-хим. механика материалов, 1976, 12, № 4,с. 73-78.

52. Колодий Б.И. Оптимальный по быстродействию нагрев тонких пластин при ограничениях на температурные напряжения . Автоматика и телемеханика, 1972, 33, № 12, с. 33-36.

53. Константинов JI.G., Трухов А.П. Напряжения, деформации и трещины в отливках. М.: Машиностроение, 1981. - 199 с.

54. Коротков В.Н., Дубовицкий А.Я., Турусов Р.А., Розенберг Б.А. Теория оптимизации режима охлаждения толстостенных изделий из композитных материалов. Механика композитных материалов, 1982, № 6, с. I05I-I055.

55. Космодамианский А.С., Калоеров С.А. Температурные напряжения в многосвязных пластинках. Киев-Донецк: Вища школа. Головное изд-во, 1983. - 160 с.

56. Кудрявцев Б.А, Квазистатическая задача термоупругости для плоскости с полубесконечным разрезом. В кн.: Динамика сплошной среды, 1970, вып. 6, с. 29-31.

57. Кудрявцев Б.А., Партон В.З, Квазистатическая температурная задача для плоскости с разрезом. Проблемы прочности, 1970, №2, с. 15-19.

58. Кулиев В.Д., Ахиев А.С. Краевая трещина под действием цикличео кой температуры. Физ.-хим.механика материалов, 1983, 19, №4, с. 70-76.61* Леонов М.Я. Основы механики упругого тела. Фрунзе: Мзд-во АН Кирг.ССР, 1963. - 328 с.

59. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.; Наука, 1977. - 416 с.

60. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. - 415 с.

61. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975. - 480 с.

62. Мирсалимов В.М. Решение задачи термоупругости для изотропной среды, ослабленной периодической системой круглых отверстий и прямолинейными трещинами. Прикладная механика, 1981, 17,7, с. 64-70.

63. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. М.: Наука, 1980. - 256 с.

64. Морозов М.Ф. Математические вопросы теории трещин и острых вырезов. М.: 1982. - 57 с. - (Препринт/Институт проблем механики АН CGCP, Ленинградский государственный университет, №193).

65. Мусхелишвили Н.Н. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 708 с.

66. ЭДусхелишвили Н.Н. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. - 511 с.

67. Нарекая Н.Л., Белкин А.Е. Расчет коэффициентов интенсивности температурных напряжений в стенках цилиндрических сосудов. -Изв. вузов, Машиностроение, 1982, № II, с. 16-20.

68. Никишков Г.П. Определение термоупругих коэффициентов интенсивности напряжений с помощью метода конечных элементов. Физ. и мех.деформации и разрушения, 1977, № 4, с. 51-58.

69. Новожилов В.В. 0 необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности. Прикл.матем, и механика, 1969, т.33, № 2, с.212-222.

70. Новожилов В.В. К основам теории равновесных трещин в упругих телах. Прикл.матем. и механика, 1969, т.33, № 5, с. 797-812.

71. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.

72. Нотт Дж.Ф. Основы механики разрушения. М.: Металлургия, 1978. - 256 с.

73. Панасюк В,В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. -Киев: Наукова думка, 1968. 246 с.

74. Панасюк В.В., Саврук М.П., Солтыс И.Ф. Температурные поля и напряжения в упругой полуплоскости с произвольно размещенными термоизолированными трещинами. Физ.-хим.механика материалов, 1975, II, № 4, с. 48-54.

75. Панасюк В.В., Саврук М.П., Солтыс Й.Ф. Задачи теплопроводности и термоупругости для пластины с трещинами при различных температурных условиях на их берегах. Физ.-хим. механика материалов, 1976, 12, № 5, с. 60-64.

76. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений в пластинах и оболочках. Киев; Наукова думка, 1976. - 444с.

77. Паркус Г. Неустановившиеся температурные напряжения. М.: Физматгиз, 1963. - 251 с.

78. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упруго-пластического разрушения. М.: Наука, 1974. - 416 с.

79. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977. - 312 с.

80. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. - 688 с.

81. Щдстригач Я.С., В1гак В.М. Оптимальний нестац1онарний темпера-турний режим для пружних т1л з двома керуточими функц1ями. -Доп.АН УРСР, сер.А, 1975, № 4, с. 358-362.

82. Плотников В.И. О сходимости конечномерных приближений (в задаче об оптимальном нагреве неоднородного тела произвольной формы). Журн. выч.матем. и матем. физ., 1968, 8, I, с. 156-157.

83. Побережный О.В., Гайвась И.В. Влияние нестационарного температурного поля и теплоотдачи пластины на коэффициенты интенсивности напряжений. Прикладная механика, 1982, 18, № 6, с.124 -127.

84. Подстригач Я.С., Вигак В.М. Оптимальное управление нагревом пластины при ограничениях на растягивающие термоупругие напряжения. В кн.: Математические методы в термомеханике, Киев: Наукова думка, 1978, с. 12-23.

85. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Неустановившиеся температурные поля и напряжения в тонких пластинках. Киев: Наукова думка, 1972. - 308 с.

86. Похорилер В.Л. Оптимальный режим прогрева деталей энергооборудования с учетом термических напряжений. Энергомашиностроение, 1972, № 12, с. 29-31.

87. Прусов И.А. Некоторые задачи термоупругости. Минск: Изд-во БГУ им.В.И. Ленина, 1972. - 198 с.

88. Прусов И.А. Об одном новом представлении общих формул термоупругости для анизотропной полуплоскости и анизотропной плоскости с разрезами. Весц1 АН БССР, сер. физ-мат.навук, 1976, № 3.

89. Прусов И,А. Термоупругие анизотропные пластинки, Шнек: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1978. - 200 с.

90. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. - 744 с.

91. Райе Дж. Математические методы в механике разрушения. В кн.: Разрушение. М.: Мир, 1975, 2, с. 204-335.

92. Рапопорт Э.Я. Об одной задаче оптимального по быстродействию управления нагревом массивных тел. Автоматика и телемеханика, 1971, 32, № 4, с. 120-127.

93. Рапопорт Э.Я. Оптимальное управление нестационарным процессом теплопроводности с учетом фазовых ограничений. Казань, 1979. - II с. - ^рукопись представлена редкол. журн. Известия вузов. Математика. Деп. В ВИНИТИ 3 января 1979, № 55-79.

94. Распопов Б.М. Некоторые задачи оптимального управления процессами тепло- и массопереноса при сушке. Автоматика и телемеханика, 1968, № 2, с. 185-193.

95. Савин Г.Н., Панасюк В.В. Развитие исследований по теории предельного равновесия хрупких тел с трещинами (обзор). Прикладная механика, 1968, 4, № I, с. 3-24.

96. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. -Киев: Наукова думка, 1981. 324 с.

97. Саврук М.П., Ярема С.Я. Температурное поле в пластине с полубесконечной трещиной при наличии теплоотдачи с боковых поверхностей. Физ.-хим. механика материалов, 1971, 7, №4, с.92-94.

98. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1970, т. 2. -585 с.

99. Си Г. 0 сингулярном характере температурных напряжений у вершины трещины. Прикл. механика (перевод Трудов Американского общества инженеров-механиков), 1962, 29, сер.Е, №3, с.157-159.

100. Си Г., Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрушения. В кн.: Разрушение, М.: 1975, т. 2, с. 83-203.

101. Сиразетдинов Т.К. Оптимальное регулирование температуры твердого тела. В кн.: Оптимальные системы автоматического управления, М.: Наука, 1967, с. 39-51.

102. Сиразетдинов Т.К. Метод функций Ляпунова в задачах управления системами с распределенными параметрами (обзор). Автоматика и телемеханика, 1972, IF1 7, с. 5-21.

103. Табак Д., Куо Б. Оптимальное управление и математическое программирование. М.: Наука, 1975, - 280 с.

104. Уздалев А.И. Некоторые задачи термоупругости анизотропного тела. Саратов: Саратовский ун-т, 1967. - 166 с.1X0, Уздалев А.И. Температурные напряжения в пластинках, ограниченных двухсвязньш контуром. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1975. - 216 с.

105. Филыптинский Л.А. Упругое равновесие плоской анизотропной среды, ослабленной произвольными криволинейными трещинами. Предельный переход к изотропной среде. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1976, № 5, с. 91-97.

106. Филыптинский Л.А. Двоякопериодическая задача теории упругости для анизотропной среды с разрезами. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1977, № б, с. II6-I24.

107. ИЗ. Фильштинский Л.А., Ячменев В.А. Макромодель теплопроводности линейно-армированного композиционного материала с анизотропными компонентами структуры. Динам, и прочность машин. Респ. межвед. научно-техн.сб., 1980, вып. 31, с. 96-101.

108. Фильштинский JI.A., Ячменев В.А. Об оптимальном охлаждении отливок. Динам, и прочность машин. Респ.межвед. научно-техн. сб., 1981, вып.34, с. 106-109.

109. Филыптинский Л.А., Ячменев В.А. Нестационарные напряжения в остывающем теле с трещинами. Докл. АН УССР, сер. А, 1982, № 5, с. 47-50.

110. Хижняк В.К., Шевченко В.П. Напряженное состояние ортотропных оболочек, ослабленных трещинами. В кн.: Теоретична и прилож-на механика 3-й Нац. конгресс, Варна, 1977. Докл., София, 1977, кн. I, с. 604-609.

111. Хорощун Л.П., Мелибекян А.Х., Шишкин П.Г. Температурные постоянные стеклопластика косоугольной намотки. Прикладная механика, 1979, 15, вып. I,

112. Цванг В.А., Шевченко В.П. Напряженное состояние ортотропной оболочки, ослабленной прямолинейной трещиной. Докл. АН УССР, сер.А, 1980, № 12, с. 41-44.

113. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. - 640 с.

114. Шевелев А. А. Температурные напряжения в пластине и выбор оптимального режима нагревания. Инж.-физ.журн., 1965, 8, № I,с. 79-81.

115. Шевелев А.А. Температурные напряжения в цилиндре и выбор оптимальных условий нагревания. Изв.вузов. Авиац.техника, 1966, № 2, с. 44-48.

116. Шерман Д.И. К решению плоской задачи теории упругости для анизотропной среды. Прикл.матем. и механика, 1942, б, вып. 6.

117. Шерман Д.И, 0 некоторых типах особых интегральных уравнений, встречающихся в приложениях. Прикл.матем. и механика, 1979, 43, вып. 3, с. 519-530.

118. Янсон М.О., Паненков М.Ю., Дмитриева Л.П. Определение критической. тепловой нагрузки, вызывающей развитие трещин возле отверстия. Л.: Физ.процессы горн.производства, 1982, № 10,с. II3-II6.

119. Ячменев В.А. Исследование нестационарных напряжений в анизотропных телах с трещинами. Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1981, № 6, с. 161.

120. Atkinson С. , Clements D.L. On same crack problems in anisotropic thermoelasticity.- Jut. J. Solids and struct., 1977, 13, N9, p. 855-864.

121. Atsumi A., Mori Т., Shiudo Y. Thermal stresses in a circular cylinder with a circumferential edge crack under uniform heat floww -J. Therm.Stress, 1979» 2, N5-4, p.425-456.

122. Brogan W.b. Optimal control theory applied to systems described by partial differential equations .- Advances in Control Systems ( Ed. С, T. Leondes ). N.-Y.; Acad. Press, 1968, 6,p.221-316.- 112

123. Chattodhyay M.Ch. Note on thermal cracki in anisotropic material.» J. Sci. and Eng. Res., 1966, т. 9» N2, p. 237-244.

124. Clements D.L. , Tauchert Т.Е. A thermoelastic crack problem-for in anisotropic slab.- J. Austral. Math. Soc, B21, p.243235. .

125. Fabrikant V., Ho a S.V., Sarikar T.S. 0Ы the approximate solution of singular integral eguation.- Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng., 1981, 29, N1, P.19-33.

126. Griffith A.A. The phenomena of rupture and flow in solid.-Phil. Trans. Roy Soc., London, 1921, A221, p.163-198.

127. Griffith A.A. The theory of rupture.- In: Proc. First Int. Congr. Appl. Mechanics, Delff, 1924, p.55-63.

128. Hellen Т.К., Cesari F., Maitan A. The application of fracture mechanics in thermally stressed structures.- Jnt. J. Pressure Vessels and Pip, 1982, 10, N3, p.181-204.

129. Irvin L.R. Fracture.- In: Handbuck der Physic., Berlin, 1958,1. Bd6, p.551-590.

130. Lee Kang Г., Adavani Sunder H. Critical loading conditions and stress intensity factors for partial or entiere closure of a Griffith crack under thermo-mechanical loading.- Jnt. J. Fract., 1983, 22,N2, p.83-90.

131. Lorchirachoonkul V., Pierre D.A. Optimal Control of M!ultivariabl Distributed- Parameter Systems through Linear Programming.-JACC, 1967, p.702-710.1. ИЗ . . . . .

132. Misra J.С., Haiti S.N. Thermal stresses in an aeolotropic-medium with cylindrical cavity and an external crack,- Istanbul univ. Fen fak.meck. Rev. fac. sci.univ. Istanbul, 1978(1975) A40, p,17-28.

133. Russel L. Controllability and stabilizability theory for linear partial differential equations.: Recent Progress and open quectionsSIAM Rev., 1978, 20, N4, p.639-739.

134. Sakawa Y. Solution of an Optimal Control Problem in a Distri-buted-Parameter System.- IEEE Trans. Automatic Control, 1964,9, N4, p.420-426.

135. Sasai H. A note on the penalty method for distributed parameter optimal control problems.- SIAM Journal Control, 1972,10, N4, p.730-736.

136. Sekine H. Crack problem for a semi-infinite solid with heated bounding surface.- Trans. ASME,1977» B44, N6, p.637-642.

137. Smid J. On the numerical calculations of stresses and displacements in a fuel pellet with fuzzy cracks.- Z. angew. Math, and Mech., 1983 , 63, N4, T205-T208.

138. Tauchert T.R. Thermal stresses in an orthotropic slab containing apian flaw.- J. Therm .Stresses, 1981, 4, N3-4,p.443-459,

139. Ting V.C?, Jacobs H.E. Stress intensity factors for transientthermal loading of a semi-infinite medium.- J. Thermal Stresses, 2, N2, 1979» p.1-13.