Решение нелинейных задач гидродинамики идеальной жидкости со свободными границами методами конечных и граничных элементов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

од

На правах рукописи

АФАНАСЬЕВ Константин Евгеньевич

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ГИДРОДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ МЕТОДАМИ КОНЕЧНЫХ И ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

01.02.05 механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Кемерово 1997

Работа выполнена на информационно-вычислительном центре Кемеровского государственного университета

Защита диссертации состоится года в 14 час. 3

мин. в ауд. физ.2 на заседании Диссертационного Совета Д 053.29.01 п защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физике математических наук по механике при Казанском государственно] университете по адресу: 420008, Казань, ул. Ленина, 18, КГУ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КГУ Автореферат разослан " Л-&" CP/L/LC1997 г.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Киселев О.М., доктор физико-математических наук, профессор Гузевский Л.Г., доктор физико-математических наук, профессор Лапин A.B.

Ведущая организация:

Институт проблем механики РАН, г. Москва

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

A.A. Саченков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена развитию теории плоских и осесимметричных нестационарных потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами. Рассматриваются традиционные для этой теории области исследования: нестационарное движение уединенных волн по дну различной топологии, выход уединенных волн на мелководье, горизонтальное и вертикальное движение тел в жидкости с образованием волн, эволюция одиночного пузыря в объеме, ограниченном твердыми стенками и свободными границами, взаимодействие цепочки пузырей, стационарное обтекание препятствий потоком жидкости конечной ширины, отрывное обтекание препятствий по схеме Лаврентьева М.А. В каждой из них решены либо новые задачи, либо задачи, постановки которых давно известны, однако решение стало возможным благодаря разработанным в диссертации методам и алгоритмам. Все рассмотренные задачи исследуются в точной нелинейной постановке. Постановки многих задач хорошо известны, но они доступны для исследования в основном численными методами, в связи с этим достаточно большое внимание уделено проблемам вычислительной технологии.

Актуальность темы. Теория движений жидкости со свободными границами и, в частности, течений, возникающих в результате неустановившегося взаимодействия тел с жидкостью, являются одним из наиболее бурно развивающихся направлений современной гидродинамики, характеризуемых разнообразием входящих в нее актуальных задач.

Результаты исследований течений жидкости со свободными поверхностями находят многочисленные технические приложения, прежде всего в тех областях где вязкостью жидкости можно пренебречь. Сюда относятся струйные и кавитационные течения, поверхностные золны на воде, волнообразование при движении тел в жидкости. Актуальным остается и исследование динамики газовых пузырей, в связи ; задачами кавитационной эрозии.

Однако, несмотря на довольно многочисленные приложения, методы решения таких задач далеки от совершенства. Это обусловлено гем, что даже в рамках идеальной жидкости наличие свободных границ ггановнтся серьезным препятствием для исследования. Основная грудность заключается в том, что положение свободной границы ¡аранее неизвестно и должно быть определено в ходе решения. Кроме :ого, на неизвестной свободной границе задаются нелинейные краевые •словия. Несмотря на стремительный рост быстродействия современных

ЭВМ, большой круг задач, возникающих в практике, по-прежнему является серьезной проблемой для численного моделирования. Особенно затруднения возникают в задачах со сложной неустойчивой формой свободной границы, например, при обрушении поверхностных волн или при формировании кумулятивных струй коллапсирующих пузырей. В этой связи актуальным остается вопрос разработки эффективных численных алгоритмов.

Задачи со свободными границами интенсивно исследуются многими отечественными и зарубежными учеными, они являются предметом пристального внимания международных симпозиумов и конференций. Современное состояние теории плоских задач гидромеханики идеальной жидкости изложено во многих учебниках и монографиях.

Целью работы является решение плоских и осесимметричных нелинейных задач гидродинамики тяжелой несжимаемой жидкости со свободными границами с помощью численных методов.

Теоретическое значение и научная новизна работы состоят в следующем:

• создана эффективная численная методика для решения сложных гидродинамических задач со свободными границами;

• выполнен цикл исследований на основе точной нелинейной постановки нестационарных задач со свободными границами;

• решены задачи по движению уединенных волн на уступ, вплоть до момента опрокидывания;

• обнаружен ряд новых нелинейных эффектов, присущих течениям связанным с эволюцией солитонов;

• выполнены систематические расчеты по движению полукругового цилиндра по дну под свободной поверхностью в широком диапазоне чисел Фруда; ■ • •

• создан численный метод расчета динамики газовых пузырей, позволяющий проводить анализ задачи практически до момента коллапса; ■ ■

• проведены оценки возможной миграции центра пузыря к граница'м области и максимальной амплитуды возмущений свободной поверхности жидкости при схлопывании пузыря вблизи нее;

• показана возможность использования схемы М.А. Лаврентьева с склейке потенциального и вихревого течений для анализа течений вязкой жидкости при умеренных числах Рейнольдса. . ■,

Практическая значимость. Полученные в диссертации результата способствуют более углубленному пониманию значения нелинейны? эффектов при исследовании задач теории волн, движения тел I

жидкости, эволюции газовых пузырей и расширяют возможности шсленного моделирования сложных гидродинамических задач.

Обоснованность и достоверность полученных результатов тодгверждается апробированностыо используемых моделей гидродинамики, строгостью математической постановки задач, тестированием результатов на известных аналитических решениях, :равнением с имеющимися данными экспериментальных и численных исследований.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались: на II--VI Всесоюзных школах по гидродинамике больших скоростей Чебоксары, 1984, 1989, 1992, 1996; Красноярск, 1987), на Всесибирских школах по методам вычислительной математики (Новосибирск, 1983; Шушенское, 1986, 1995), на Всесоюзных конференциях "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики" (Горький, 1986; Кемерово, 1988), на международной конференции "Вычислительная аэрогидродинамика" (Самарканд, 1985), на VI и VII Всесоюзных съездах по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986; Москва, 1991), на конференции "Численные методы механики сплошной среды" (Абакан, 1989; Абрау-Дюрсо, 1991), на региональной научно-технической конференции "Динамические задачи механики сплошной среды" (Краснодар, 1986; Геленджик, 1988), на международном симпозиуме "XVIIth international congress on theoretical and applied mechanics: IUTAM" (Гренобль, Франция, 1988), на Всесоюзной школе-семинаре "Современные проблемы механики жидкости и газа" (Иркутск; 1989), на международной конференции "Computational modelling of free and moving boundary problems" (Саутгемптон, Великобритания, 1991), на Всесоюзных совещаниях по численным методам в задачах волновой гидродинамики (Ростов-на-Дону, 1990; Новосибирск, 1992, 1994), на 10-ой Байкальской школе-семинаре "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 1995), на Международной Научно-технической конференции, посвященной 90-летию со дня рождения профессора A.M. Васина (Ленинград, 1995), на третьей Международной конференции "Moving Boundaries 95" (Блед, Словения, 1995), на семинаре профессора В.И. Полежаева (Москва, Институт Проблем Механики РАН, 1986, 1996), на семинарах профессора А.Г. Терентьева (Чебоксары, ЧГУ, 198386, 96), на семинаре профессора В.В. Пухначева (Новосибирск, Институт Гидродинамики СО РАН им. М.А. Лаврентьева, 1997), на научных семинарах преподавателей и сотрудников Кемеровского университета (1987-1997).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1-17], тезисах и аннотациях докладов [18-29]. Из совместных публикаций в работу включены, как правило, результаты, полученные непосредственно автором. При использовании результатов соавторов даны соответствующие ссылки.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав и списка литературы ( 302 наименования). Главы диссертации разбиты на параграфы (общее число равно 18), нумерация параграфов внутри каждой главы своя. Диссертация содержит 177, рисунков и изложена на 355 страницах текста, набранного в редакторе WinWord 2.0. Формат набора в точности соответствует формату данного автореферата.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы на основе анализа близких по тематике публикаций, показано место данной работы в общем ряду исследований, посвященных вопросам, затронутым в диссертации; изложено содержание работы и сформулированы основные результаты.

1. Предложен эффективный алгоритм решения стационарных задач со свободными границами. В задаче об обтекании полукруговых препятствий потоком конечной ширины найдено три решения.

2. С помощью численных расчетов показано, что интегральные характеристики нелинейной уединенной волны, такие как масса, кинетическая и потенциальная энергии достигают максимума до момента наивысшей волны.

Для описания нелинейной уединенной волны построена приближенная аналитическая зависимость от амплитуды, а также построена приближенная аналитическая зависимость для волны предельной амплитуды.

Обнаружен эффект нелинейной волны, связанный "с фазовым сдвигом набегающей и отраженной волн при накате на вертикальную стенку.

3. Решены новые нестационарные задачи волновой гидродинамики и проанализированы нелинейные волновые явления при:

- движении цилиндра под свободной поверхностью;

- колебаниях жидкости в бассейне;

-накате нелинейных солитонов на прямоугольный уступ;

-взаимодействии солитона с полукруговым подводным препятствием.

4. Подробно исследована задача о движении полукругового цилиндра по дну для отношения R/H=0.2 в диапазоне чисел чисел Фруда 0.1 < ir < 100.

5. Приведено решение задач вертикального движения плоских и осесимметричных тел при наличии свободной поверхности.

6. Исследована динамика одиночного пузыря при одновременном влиянии на его поведение свободной границы и твердой стенки.

7. Исследованы возмущения свободной поверхности жидкости, возникающие в результате эволюции и схлопывании пузыря вблизи границы раздела вода-воздух.

8. Исследовано поведение пузырей в цепочке. Изучено взаимодействие двух пузырей, расположенных на большом расстоянии от свободной поверхности и находящихся между свободной границей и твердой стенкой.

9. Изучено поведение цепочки из трех пузырей. Обнаружены эффекты группового воздействия двух пузырей на третий.

10. Приводится решение задачи о склейке потенциального и вихревого течений в каналах, ограниченных твердыми стенками или свободными границами; обобщен алгоритм на осесимметричный случай.

Первая глава является общей для остальных глав и посвящена некоторым аспектам использования методов конечных и граничных элементов для решения нелинейных задач со свободными границами. Целью работы является решение в полной нелинейной постановке стационарных и нестационарных задач гидродинамики со свободными границами.

В §1 приводится постановка нестационарной задачи со свободной границей, описывается "пошаговый" метод движения по времени, который заключается в разбиении исходной задачи на последовательность линейных задач теории потенциала и приводится алгоритм автоматического выбора шага по времени.

В нестационарных задачах в областях, ограниченных твердыми стенками и свободной границей, требуется найти решение уравнения Лапласа А<р = 0, удовлетворяющего на твердых стенках условию непротекания: <р„ = 0. На свободной границе задаются кинематическое и динамическое условия:

dx rr ¿У 1 1гт i2

— = V, -f - - I Vq>\ + gy = const

at at L

В начальный момент времени ^ = О задаются начальные условия, определяющие положение свободной границы: х(0) = х0 и распределение потенциала на ней - гр(х0,0) = срй.

Идея, заложенная в "пошаговом" методе, характеризует этот метод как явный, а поэтому условно устойчивый. Для выбора шага интегрирования по времени используется два условия:

1) любая частица жидкости за временной шаг не может переместиться на расстояние больше заданного;

2) узлы любого элемента не могут изменять ориентацию относительно друг друга.

В §2 описывается метод граничных интегральных уравнений, основанный на третьей формуле Грина для плоской и осесимметричной задач. Описывается технология метода линейных граничных элементов. Рассматриваются вопросы вычисления интегралов: сингулярных и несингулярных, эллиптических и имеющих логарифмическую особенность. Рассматривается метод линейных граничных элементов, основанный на интегральной формуле Коши. В данном методе все интегралы вычисляются аналитически, сингулярные интегралы - в смысле главного значения по Коши.

Третий параграф посвящен краткому изложению метода конечных элементов. Рассматриваются изопараметрические преобразования для четырехугольных элементов, построение матриц и вычисление интегралов. Обсуждаются вопросы генерации конечно-элементной сетки для стационарных задач и приводится алгоритм подвижных сеток для нестационарных задач.

В §4 обсуждаются вопросы решения системы алгебраических уравнений, рассматривается технология двойных узлов. Приводятся тестовые расчеты по определению вычислительных затрат, точности и числа обусловленности для методов граничных элементов. Описываются формулы высокого порядка точности для дифференцирования функций, заданных на границе, затрагиваются вопросы нахождения ускорений на свободной границе и внутри области течения.

Вторая глава посвящена моделированию нелинейных уединенных волн, их распространению и анализу волновых движений, возникающих на поверхности невязкой несжимаемой весомой жидкости при взаимодействии волн с неподвижными границами.

В §1 приводится постановка задачи (о распространении уединенных волн по жидкости конечной глубины), относящаяся к классу потенциальных течений идеальной жидкости со свободной границей. Задача сводится к определению функции потенциала скоростей ф(х,у,0

л функции у- ?](х,(), описывающей форму свободной границы. В эбласти, занятой жидкостью, потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа. Аф=0, а на границах области должны выполняться определенные краевые условия. Так на свободной границе должны зыполняться нелинейные кинематическое и динамическое условия:

а на твердой границе (на дне)- условие непротекания: — = 0.

дп

Для решения нестационарной задачи необходимо в начальный ломент времени задавать начальную форму свободной поверхности /(х,0) = г)(х) и начальное распределение потенциала ф(0) = ф(х,г|,0) и ней. При этом предполагается, что на бесконечности жидкость токоится, а т] (-оо,1) = т] (+00,1:) = 0. Однако в численных расчетах эбласть течения ограничивается вертикальными твердыми стенками, на соторых также выставляется условие непротекания.

'о

С

Число Фруда определяется по формуле: Гг = -т=^= , где С,

жорость распространения волны.

С целью построения аналитической зависимости, для шпроксимации начальной формы нелинейной волны, было выбрано 'равнение вида:

7(х) == А{(1 - у)со5И'2[(х - х0)а, К ]+ /ехр[-а2(х - х0)2]} (1)

3 А

где К = - |——, а а1, аг, у - коэффициенты, определяемые

методом наименьших квадратов по результатам численных расчетов ;оторые выполнены в шестой главе.

На основе расчетных данных были построены зависимости от шплитуды коэффициентов, входящих в уравнение (1), а также построена ависимость числа Фруда от амплитуды:

32 , 19 Л1 369 46 ,4 553

- А - -rrr А2 + А3 - -ТТ7 А* + -г^гт- А1

ч3131 251 2003 521 1563 Данное приближение совпадает с численными расчетами с шюсительной погрешностью, не превышающей 0.5%. Выражение в 1ервой скобке есть значение для скорости волны, приведенное в работе г.Е. Протопопова (1990).

Распределение потенциала на свободной границе определяется из уравнения Бернулли.

При изучении динамики волновых движений очень важным, наряду с изучением формы волны и ее амплитуды, является знание интегральных характеристик, таких, как энергия, масса, момент, циркуляция, а также соотношения, диктуемые априорным ограничением на высоту волны, исходя из интеграла Бернулли.

В работе M.S. Longuet-Higgins'a (1974) доказано, что в теории нелинейных уединенных волн справедливы безразмерные соотношения: I = Fr • М (I)

Т = Fr • (I - С) / 2 (И)

Р = (Fr2 -I)- М /3 (III)

где Fr - число Фруда, М - масса волны, С - циркуляция, Р -потенциальная энергия, Т - кинетической энергия, I - импульс.

Для контроля точности определения потенциальной и кинетической энергий использовались формулы (1)-(Ш), поскольку они являются точными для теоретических волн. Сравнение показало, что до амплитуды А ~ 0.7 все энергетические характеристики совпадают друг с другом с точностью, менее 1%. Кроме того, были проведены дополнительные проверки свойств построенного приближения, которые дают основание утверждать, что выбранное приближение хорошо согласуется с расчетами также до амплитуды А ~ 0.7.

На рис. 1 приведены графики изменения массы, циркуляции, потенциальной, кинетической и полной энергий, а также зависимость числа Фруда от амплитуды А. На графики нанесены расчеты, выполненные двумя способами: численно и с использованием приближенной формулы (1). Сравнение результатов расчетов

обнаруживает хорошее совпадение интегральных характеристик особенно по энергиям. Некоторое отличие наблюдается в расчета: массы М и циркуляции С. "Верхние" кривые соответствуют численны» расчетам, нижние - расчетам на основе приближенной формулы.

М S^f*

1.75 ■

1.5 • //с i

1.25 - / —

1.0 ■ 0.75 ' / Т + Р/ ;

0.5 7 /S^1

0.25

0.2 0.-1 0.6 л

рис. 1 Графики изменения интегральных характеристик. Для массы М и циркуляции С верхние кривые - численные расчеты, нижние - расчеты на основе приближенной формулы (1).

Важно отметить, что все интегральные кривые претерпевают максимум до достижения максимальной амплитуды. Этот факт также отмечается в обзоре JI. Шварца и Дж. Фентона (1987) при изучении гравитационных волн на глубокой воде. Кроме этого, максимум массы и циркуляции достигается раньше, чем максимум энергий и числа Фруда. Несмотря на приближенный характер найденного приближения уединенной волны, построенные на ее основе интегральные характеристики также имеют максимум, который практически совпадает с численными расчетами.

В первом параграфе рассмотрен вопрос построения приближенной формулы предельной волны. Вопросам непосредственного построения предельных волн посвящены работы J.M. Williams'a (1981),. Л.Г. Гузевского (1982), J.K. Hunter'a, J.M.Vanden-Broeck'a (1983), М. Tanaka (1986), Н.М. Шерыхалиной (1996), W.A.B. Evans'a, M.J. Ford'a (1996). Аналитическое решение задачи для волны, близкой к предельной, найдено в работе Е.А. Карабута (1994). Приближенная форма волны приведена в работе M.S. Longuet-Higgins'a (1974).

Различными авторами, в разное время, для максимальной полны были получены значения амплитуды и числа Фруда. Наиболее точными приближениями, вероятно, следует считать расчеты, получепные в работах Н.М. Шерыхалиной и W.A.B. Evans'a, M.J. Ford'a (A=0.833199, Fr=l .290890). В диссертации для предельной волны получены следующие значения амплитуды и числа Фруда: А=0.833277, Fr=l .290951.

Для предельной волны была выбрана приближенная формула, исходя из того, что асимптотическое поведение предельной волны в вершине имеет вид : ехр(- v-|x|,), где 2 v - угол между касательными в

вершине предельной волны.

Исходя из данного факта, уравнение (1) было • переписано следующим образом:

ti(x) = А{(1 - у) cosh"3[(x - х0) а, К] + у ехр[-а2|х - х0|]} (2)

Коэффициенты, входящие в уравнение (2) для амплитуды волны А=0.8332768, имеют значения: al=l.191060; а2=0.8756714; у=0.8229703. Максимальное отклонение от численных расчетов Ду=0.53Е-03

В §2 рассматриваются вопросы распространения нелинейных уединенных волн. В качестве начального приближения берутся волны, построенные по приближенной формуле (1).

Приводятся результаты численных расчетов процесса распространения уединенной волны по ровному дну. Эта задача не только является отличным критерием оценки качества численного

метода, но также дает основание сделать заключение о качестве начального приближения для нелинейной нестационарной задачи.

Проведенные тестовые расчеты дают право говорить о достаточно высокой точности найденных приближенных аналитических зависимостей. Это следует из ряда наблюдений. Во первых, за движущимся солитоном практически отсутствует дисперсионный след, что свойственно только достаточно точным нелинейным приближениям. Во вторых, такие зависимости, как энергия, масса и скорость волны, изменяются незначительно и имеют относительную погрешность в пределах 1%. Абсолютная максимальная погрешность лежит в пределах величины 7 • Ю-3.

В задаче наката волны на вертикальную стенку проведено сравнение расчетов, выполненных по другим приближенным формулам и с результатами других авторов. Сравнение показало высокую точность построенного приближения.

На рис. 2 представлены графики максимума гребня волны при движении по каналу относительно высокой волны (амплитуда А=0.71) и графики изменения кинетической, потенциальной и полной энергий. Точкой на оси Т обозначен момент максимума потенциальной энергии. Нетрудно заметить, что максимум потенциальной энергии и максимальный заплеск на стенку смещены по времени друг относительно друга. Эта временная несогласованность может служить объяснением фазового сдвига набегающей и отраженной волн.

После того, как энергия уЕ~ начинает возвращаться к своему первоначальному состоянию, волна еще некоторое время остается "прилипшей" к стенке, а затем резко падает, принимая свое минимальное значение, опускаясь ниже первоначального уровня. В этот момент потенциальная энергия также минимальна, а кинетическая имеет величину, большую, чем в начале движения, что объясняет, почему скорость волны,

имеющей меньшую амплитуду, больше, чем у начального солитона.

0.85

10.0 рис. 2

Изменение амплитуды, при накате волны высоты А=0.71 на стенку и изменение полной, кинетической и потенциальной энергий рассчитанных с использованием формулы (3).

процесс

6760 х

В)

В заключении данного параграфа описывается взаимодействия солитонов, движущихся навстречу друг другу.

В третьем параграфе изучается движение солитона над дном с препятствием в виде прямоугольного уступа. Рассматриваемая задача изучалась численно и экспериментально в работе J.F.Seabra-Santos и др. (1987). Конечно-разностным методом в работах Г.С. Хакимзянова, Ю.И. Шокина и др. (1990, 1992). Методом граничных интегральных уравнений, в работе J.M.C. Leitao, J.L.M. Fernanges (1990).

Для проверки правильности расчетов по накату :олитона на прямоугольный уступ была рассмотрена задача о накате волны шплитуды А=0.18 на уступ зысоты h=0.5. Геометрические размеры бассейна зыли взяты такими же, как эни выбраны в работе P.A. эузиева, Г.С. Хакимзянова 1992). Сравнение расчетов : результатами цитируемой )аботы и экспериментом из заботы J.F. Seabra-Santos I др. (1987), представлены и рис. 3.

В перечисленных рабо-ах основное внимание деляется вопросам изу-[ения количества отходя-цих от основного солитона юлн и практически нет

Т= 41,3В

TT—i

=40

aL

ег.боХ

б)

а) рис. 3

Движение солитона над уступом, •абот, моделирующих оп- Сравнение с результатами работ P.A. Рузиева,

Г.С. Хакимзянова - ''пунктирная кривая, с

юкидывание волн

ПрИ I лймшмпипа - пунктирная кривая, „ экспериментом ХИ. 5еаЬга-8ап(оз и др. - кривая [акате на прямоугольный отмечена крестиками

ступ, поэтому в дис-

ертации были проведены ' ' 1

оответствующие исследования. Помимо геометрических характеристик олны, изучается поведение интегральных характеристик: кинетической потенциальной энергий.

рис. 4

Накат уединенной волны амплитуды А=0.454 на уступ высоты [1=0.5.

рис. 5

Накат уединенной волны амплитуды А=0.71 на уступ высоты Ь=0.7

При анализе наката волн на подводный уступ был обнаружен один эффект, связанный с тем, что на переднем фронте волны, при подходе его к границе уступа, зарождается волновой сгусток, движущийся по основной волне против ее движения (рис. 3). Этот эффект лучше заметен при накате волн малой амплитуды. С увеличением высоты волны и высоты уступа наблюдаются режимы опрокидывания, которые могут быть отнесены к режиму скользящего или ныряющего буруна. Первый случай показан на рис. 4, где приведен фрагмент' наката волны амплитуды А=0.454 на уступ высоты Ь=0.5. Передний фронт уступа расположен по оси абсцисс в точке Х=3.0. Второй случай представлен на рис. 5 для взаимодействия волны амплитуды А=0.71 с уступом высоты 11=0.7. Для данного режима обнаружено, что зарождающийся волновой сгусток, взаимодействуя с гребнем, образует брызговую струю, формирующуюся на фронте волны, а не на ее гребне. Этот эффект наглядно представлен на рис. 5. На данных рисунках приведены два расчета, выполненных на разных сетках. Верхний рисунок соответствует

расчету при 270 точках на свободной границе и 380 точках по области, а нижний - при 160 и 270 точках, соответственно. Хорошо видно, что, несмотря на некоторое отличие в поведении волн, в целом геометрические картины течения совпадают.

Данный параграф заканчивается рассмотрением задачи наката уединенной волны на полукруговой цилиндрический выступ, образующая которого параллельна гребню волны. Данная задача рассматривалась в работе M.J. Cooker, D.H. Peregrine и др. (1990). В данной задаче все типы возникающих течений разбиваются на пять групп: волновая цепь, обмен гребнями, опрокидывание вперед, опрокидывание назад и неустойчивость Танаки. Первые четыре режима

опрокидывание вперед опрокидывание назад

рис. 6

Классификация течений, возникающих при взаимодействии солитона с полукруговым цилиндрическим выступом.

В §4 рассматриваются задачи колебания жидкости в ограниченном объеме. Для возвыше-

нии малой амплитуды, когда задачу можно считать линейной, проводится сравнение численных расчетов с аналитическими решениями, построенными на основе теории изложенной в монографии Л.Н. Сретенского (1972). Для нелинейных задач получены различные решения, многие из которых оказались неожиданными. Например, при распаде возвышения, форма которого описывается уравнением (1), выяснилось, что начальные возвышения данного вида распадаются не так, как начальные возвышения другой формы, а именно: при распаде "солитон" трансформируется на два бегущих в разные стороны солитона, при этом точка с максимальной амплитудой не опускается ниже начального невозмущенного уровня свободной поверхности. На рис. 7 показан расчет распада волны, описываемой уравнением (1). Начальная амплитуды волны А-0.376, а начальное распределение потенциала постоянно и равно нулю.

Также неожиданным оказалось, что эволюция выемки, описываемой уравнением (1). Удивителен тот факт, что центр формирующейся струи не поднимается выше нулевого уровня.

ВД> 1.1 1*4 274 а) ЮН

сравнение форн с иамгинов: ^»начального 2- восстановившегося

1.1 ЯЛ «1 гтл х/н

рис. 7

Распад солитона под действием силы тяжести.

а) А=0.1

в) А—-0.71 рис. 8

Формирование всплеска, из выемки имеющей форму перевернутой волны, описываемой уравнением (3)

Это наглядно демонстрируется на рис. 8а. Расчеты выполнялись в бассейне единичной глубины, ширина бассейна равнялась 26, система координат располагалась на невозмущешюм уровне свободной границы, в середине бассейна. Количество точек на свободной границе и в целом по области выбиралось равным 130 и 190, соответственно.

Если выемка имеет заглубление, меньшее, чем 0.15, формирующийся всплеск распадается на "обратные солитоны", что наглядно показано на рис. 8а для волны "амплитуды" А = 0.1.

Принципиально другое поведение наблюдается при схлопывании выемки, имеющей "амплитуду" А = 0.454. Картина течения для данного случая изображена на рис. 86. Хорошо видно, что язык султана не поднимается выше нулевого уровня, при этом от центра в разные стороны распространяются увеличивающиеся по амплитуде волны. На рис. 8в приведена эволюция выплеска из углубления "амплитуды" А = 0.71. В данном случае точка, лежащая на оси симметрии, опять же не поднимается выше нулевого уровня. В процессе эволюции выплеск деформируется, и в разные стороны от оси симметрии формируются опрокидывающиеся волны.

Третья глава посвящена нестационарным волновым задачам, вызванным движением различных тел под свободной поверхностью весомой жидкости. Задача о движении тел под свободной поверхностью представляет собой сложную и многопараметрическую задачу.

Общая постановка задачи и расчеты по горизонтальному движению цилиндра приводятся в первом параграфе.

В декартовой системе координат (х,у) рассматривается нестационарное движение идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей. Область D(t), занятая жидкостью, ограничена гладкими поверхностями S(t), Q(t) и W. Граница S(t) является свободной поверхностью жидкости, Q(t) - граница движущегося тела, граница W представляет собой твердую стенку. Предполагается, что в области D(t) происходит безвихревое потенциальное движение однородной жидкости, имеющей постоянную плотность р. Движение жидкости порождается

наличием внутри ее движущегося тела и наличием массовых сил, обладающих потенциалом gz (g=const). Давление Ра на свободной границе постоянно и" равно нулю. В начальный момент времени t=0: S(t)=S(0).

Математическая задача для потенциала скоростей в безразмерных переменных записывается в следующем виде:

Ад>=0 ;x(x,y)eD(t)

— = Уср ; х(х,у) e£(t)UQ(t)

at

^-||VH2+(Y-1)/Fr2 = 0 ; x(x,y) eS(t)

4^ = 0; x(x,y)6W■lv = -(V-ny, x(x,y) eQ(t)

дп о n

Краевая задача является нелинейной, так как положение свободной границы в каждый момент времени неизвестно. Кроме того, на поверхности S(t) должно выполняться нелинейное граничное условие, а именно: интеграл Коши-Лагранжа. В данной постановке в качестве характерных линейных величин выбирались глубина канала Н, скорость

V

цилиндра V. Число Фруда Fr = ,—=.

VsH

Поставленная краевая задача записана в предположении, что тело движется в жидкости, ограниченной твердыми боковыми стенками.

Данная задача рассматривалась в работах H.J. Haussling, R.M. Coleman (1979)(конечно-разностный метод) и P.L.-F. Liu, J.A. Liggett (1986) (МГЭ, неявный метод), К. Mizumura (1985) (метод граничных элементов, для движения по времени применяется метод приращений), G.R. Baker, D.T. Meiron & S.A. Orszag (1981) (обобщенный вихревой метод), М. Suzuki (1989) (метод комплексных граничных элементов), в обзоре И.В. Стуровой (1990). Сравнение экспериментальных данных с расчетами в вязкой жидкости проведено в работе Н. Miyata, С. Matsukawa, Н. Kajitani (1985).

В работе И.С. Долиной, С.А. Ермакова, E.H. Пелиновского (1988) проведена экспериментальная проверка приближения Ламба и сделана попытка усовершенствования линейной теории с учетом непотенциалыюсти обтекания цилиндра в эксперименте.

В исследовании В.И. Бояринцева, А.К. Леднева, В.А. Фроста (1988) проведено сравнение экспериментальных результатов измерений деформации поверхности над телом в диапазоне чисел Фруда по глубине 0.17-0.43 с результатами полученными по формуле Ламба.

В этой же работе отмечается, что лишь немногие исследования, посвященные изучению движения тел под свободной поверхностью направлены на выявление характера формы свободной поверхности. В связи с вышесказанным, в диссертации детально рассмотрена эволюция свободных границ при горизонтальном движении цилиндра из состояния покоя с постоянной скоростью. Кроме этого, изучается структура опрокидывающейся волны, возникающей за телом.

Структура волны на свободной поверхности. Причиной отсутствия стационарных течений могут быть режимы, при которых за телом на свободной границе образуется всплеск, который затем разрушается как гребень волны. Последовательные этапы разрушающейся волны показаны на рис. 9 10. Цифрами 1-6 отмечены кривые в моменты времени показанные на рисунках. Положение центра цилиндра соответствует значению безразмерного време-ни, отложенному по оси X со знаком минус.

В этой задаче, наряду с геометрическими характеристиками, интерес представ-гают и физические особенности возникающей волны. Опрокидывающаяся волна представляет собой наиболее грудный объект для исследования волновых явлений, г. к. характеризуется быстротой происходящего процесса, значительными ускорениями и большими искривлениями свободной поверхности. В этой проблеме характерным является то, что перед обрушением, элемент водной поверхности становится вертикальным, а затем гребень разрушается, образуя струю, направленную в сторону движения волны. Это хорошо видно из расчетов, приведенных на рис. 9-10. Расчеты по данной задаче проводились в области [-12Н, 6Н] по оси ОХ, при глубине Н=1. Диаметр цилиндра D и число Фруда Fr были следующими: для задачи приведенной на рис. 9 - D=H, Fr=0.2, на рис. 10 - D=0.5H, Fr=0.5. Количество узлов на свободной границе было 108, а всего в области -290 узлов. При этом точки на свободной границе в начальный момент времени сгущались в окрестности вершины цилиндра.

Обращает на себя внимание различие в поведении опрокидывающейся волны. В одном случае гребень формируется за счет, жидкости накатывающейся на цилиндр сзади (рис. 9). По классификации опрокидывающихся волн этот случай может быть отнесен к категории

YIH Эволюция свсбоднсй границы r моменты сбрушония • H«1,V=-1 DJH'1.0, ХШ«[-12,6], Fr=V/(gH)1,lr0.2 1-UM7, г.изи, J-14U1, 4-144(3, « 3.14m. ••14М4.

100

•2 SO -2 00 .1 40 -0 83 XU

рис. 9 Движение цилиндра при числе Фруда Fr=0.2

Y/H 1«- Ээолюция сесбодчой границы в моменты сбсушения H-1.V-1 DÍH=0.5, ХЛЧ=[-12,Fr=V/(sjHJ 1/г«0.5 1-34144, 2-Ч7М, W-IÍO, 441 «Я. $4.«*, ила

4оо -гсо >7Н

рис. 10 Движение цилиндра при числе Фруда Fr=0.5

скользящих бурунов. Во втором случае (рис. 10) энергия волны подпитывается за счет "убывания" волны перед цилиндром, и по характеру - это ныряющий бурун.

В опрокидывающейся волне можно выделить три зоны, которые появляются еще до того, как вол1

1. Зона, где скорость отдельных частиц жидкости на гребне волны превышает скорость движения тела;

2. Зона переднего фронта волны, где имеется тонкий слой, в котором ускорение частиц значительно выше ускорений в остальной волне;

3. Зона задней поверхности волны, в которой ускорение частиц близко к нулю.

Эти три зоны показаны на рис. 11. Стрелками нанесены рассчитанные поля скоростей и ускорений.

При обтекании препятствии ограниченным потоком жидкости существуют режимы, зависящие от числа Фруда и отношения радиуса R тела к глубине Н жидкости, при которых не существует стационарных режимов. Это показано в работе L.K. Forbes, L.W. Schwartz (1982) и отмечено в обзоре И.В. Стуровой (1990). Оказывается, что при докритическом течении стационарный волновой цуг может существовать лишь при значениях чисел Фруда Fr, меньших некоторого критического числа Fr*(R/H). При сверхкритическом режиме обтекания также существуют числа Fr >1, лишь выше которых возможен выход на стационарный режим течения. Так, например, при R/H=0.2 не существует стационарных решений в диапазоне 0.6<Fr<1.2.

Чтобы проверить эти утверждения и понять природу получаемы? течений, был выполнен цикл расчетов (для различных чисел Фруда) пс движению с единичной скоростью из состояния покоя полукруговогс цилиндра, при отношении R/H=0.2. Расчеты проводились в диапазон! чисел Фруда от 0.1 до 100 и были условно разбиты на три группы Группа I - сверхкритические течения, при которых существуе: стационарный режим: 1.2 < Fr < 100. Группа II- докритические течения при которых опять существуют стационарные решения: 0.1 < Fr <0.6

станет вертикальной:

Y поле скоростей

• \ Г

\LZ J

Y

- поле ускорений___

о

<

•ч.О -J.e .3.0 -i.9 -2 С -1,5 -1.0 -0.5 0.0 X рис. 11

Рассчитанные векторные поля скоростей и

ускорений на гребне волны

'руппа III - околокритические течения, при которых не существует тационарныхрешений: 0.6 < Fr < 1.2.

На рис. 12 показаны расчеты течений, отнесенные к группам I-III. 1редставлены рисунки двух видов. На одних приводится форма вободной поверхности, на других - сила сопротивления. Черные кружки ia оси абсцисс - положение центра цилиндра.

Наиболее изученными являются течения из группы I. Здесь известно, то при установившемся течении над телом существует горб, а вверх и низ по потоку никаких возмущений не распространяется. Теоретически то показано в работах К.Е. Афанасьева, М.М. Афанасьевой, А.Г. ^ерентьева (1986) и экпериментально И.С. Долиной, С.А. Ермаковым, i.H. Пелиновским (1988). При этом существует общая для этой группы акономерность выхода на стационарный режим: в начальный момент рвижения за телом появляется впадина, которая, практически не вменяясь, сносится вниз по потоку. Над телом формируется горб, :оторый по истечении некоторого периода не изменяет своей формы и (вижется вместе с телом.

Данный режим течения характеризуется еще и тем, что, начиная с [екоторого момента времени, сила сопротивления цилиндра стремится к [улю, что является необходимым условием стационарного течения.В щссертации показано, что при числе Фруда Fr=2.0 волна, формировавшаяся над цилиндром с относительной погрешностью, >авной 0.2%, совпадает с волной, рассчитанной по стационарному ыгоритму.

Течения отнесенные к группе II характеризуются тем, что при шижении тела из состояния покоя перед ним формируется армонические волны, убегающие от тела вверх по потоку. За телом :акже развиваются гармонические волны, распространяющиеся вниз по ютоку.

Для этого режима течения характерно то, что график силы ;опротивления имеет затухающий волнообразный характер, но по-фежнему сила стремиться к нулю.

Течения, отнесенные к группе III, не должны выходить на :тационарный режим. Однако при проведении расчетов каких-либо шожностей, связанных с этим обстоятельством, не возникло. Изучение синематической картины течения также ничего не показало. Единственное, что явно бросается в глаза, так это то, что не выполняется «обходимое условие принадлежности решения к стационарному, т.е. ;ила сопротивления на данных режимах не стремится к нулю.

Докритические течения. Группа II

Неустановившиеся течения. Группа III

Сверхкритические течения. Группа I

евркнооти

"V - X Эволюция свободной поверхности

Сила сопротив

рис. 12

Эволюция свободной поверхности и изменение силы сопротивления при движении полукругового цилиндра по дну для 11/Н=0.2.

Второй параграф посвящен задачам вертикального движения цилиндра и сферы под свободной поверхностью, горизонтального движения полупогруженного тела и задачам моделирования цунами путем вертикальной подвижки дна.

Задачи вертикального движения тел рассматривались в работах Е.Т. Коковина (1989), А.Г. Теренгьева (1989) и J.G. Telste (1987).

Горизонтальное движение полубесконечного тела, частично погруженного в жидкость, рассматривалось в работах M. Grosenbaugh, R. Yeung (1989) и M. Suzuki (1989).

Задача волнообразования при вертикальной подвижке участка дна имеет отношение к моделированию цунами. Данная задача исследовалась экспериментально (J.L. Hammack (1973)) и численно (Т. Nakayama (1983), Б.Е. Протопопов (1988)).

В четвертой главе рассматриваются задачи динамики одиночного пузыря, расположенного между свободной поверхностью и твердой стенкой.

В §1 дается общая математическая постановка задачи, аналогичная

приведенной и обоснованной JI.B. Овсянниковым (1972) для задачи

газового пузыря в безграничной жидкости. Задача описывается

уравнением Лапласа относительно потенциала поля скоростей ср\

д -q> д V 1 д ç „

Аш=-—~ +-^ +--— = 0 xeD

д т2 д z г д г

На границе пузыря задаются кинематическое и динамическое условия:

динамическое условие на свободной границе имеет вид:

df_I|VP+z = 0 xeS(t)

dt 2

На твердых стенках задается условие непротекания:

^ = 0, xeR(t)

о п

В случае безграничной области задается условие на бесконечности: |Vç>|h>0, |xj —> со

Кроме того, в начальный момент времени задаются положения свободных границ и распределение потенциала на них: Slo = S(0), <p[__0 = ç( 0,Х)

Здесь использованы обозначения: D - область, занятая жидкостью; S(t) - свободные границы области D ; R{t) - твердые границы области D ; a = (Pa~Pg)lpgRm, ß=PalpgRm.; q(t) =l-(Vq(0)ÎVq(î)y-,

Rm - максимальный радиус Рэлеевского пузыря; g - ускорение силы тяжести; Vq(0) - начальный объем пузыря; у - показатель адиабаты; ДР = Ра-Рг\ 1\ - давление на свободной поверхности жидкости; Pg = P0(V(t) / V(0)X - давление на границе пузыря; Р0 - начальное давление внутри нузыря; К(0) и Vit) - начальный и текущий объем пузыря, соответственно. Важными параметрами задачи являются также расстояние до свободной поверхности жидкости h или твердой стенки Н (в зависимости отрешаемой задачи).

В §2 всесторонне тестируется алгоритм решения, построенный на основе метода граничных элементов для осесимметричной постановки задачи.

Совместное влияние твердых стенок и свободных границ на эволюцию пузыря обсуждается в §3. Там же приводится математическая постановка задачи при одновременном влиянии твердой стенки и свободной поверхности на процесс эволюции пузыря.

Отдельно влияние плоской твердой стенки и свободной границы на процесс жизнедеятельности пузыря в безграничной жидкости подробно в своих работах исследовали J.R. Blake, B.B. Taib, G. Doherty (part I - 1986, part II - 1987). Изучению влияния твердых границ на коллапс пузыря посвящены экспериментальные работы T.B. Benjamin, А.Т. Ellis (1966) и W. Lauterborn, Н. Bolle (1975), Ю.А. Гривнин, С.П. Зубрилов (1985). Для объяснения причины направления миграции пузыря и образования кумулятивной струйки J.R. Blake с соавторами, через импульс Кельвина, строит "нулевую" кривую, описываемую уравнением у8& 0.442. S -коэффициента плавучести, у - относительное отстояние центра пузыря от рассматриваемой границы. Таким образом, зная величину произведения у5, можно определить направление миграции пузыря.

Совместное влияние свободной границы и твердой стенки ранее не изучалось, и думается, что методом, изложенным в работах Блейка с соавторами, такое решение не получить. В данном параграфе совместное влияние обоих границ исследуется численно.

Для учета этого влияния в динамическое граничное условие, записываемое на свободной границе и на границе пузыря, вводятся два параметра:

где

у, +уг = (1-©,)-£- +(1-®,)^-

IL Д»'

Параметр у определяет влияние свободной поверхности жидкости, а параметр у2 влияние твердой стенки. Эмпирический анализ показывает, что в случае удаления пузыря от одной из границ убывает и влияние соответствующего параметра, асимптотически стремясь к нулю для безграничной области. Проведены систематические расчеты при различных начальных

расстояниях пузыря от свободной поверхности /г и твердой стенки Н. Анализируя смещение

центра пузыря в момент коллапса от первоначального расположения, можно выделить такой набор параметров И я II при фиксированном коэффициенте плавучести, что пузырь не будет мигрировать ни к одной из границ. На рис. 13 представлена такая

"нулевая" кривая для значения коэффициента плавучести 1

^(^ЛР1) «0,3; (а = Пользуясь ей, можно предсказать направление

миграции пузыря к одной из границ области, зная только его начальное расположение.

В § 3 приводится математическая постановка задачи, решение которой фактически распадается на два этапа: решение задачи о динамике пузыря под свободной поверхностью и решение задачи о распространении возмущений поверхности жидкости, вызванных коллапсом пузыря.

Вычислительные эксперименты проводились, для двух случаев: в первом пузырь начинает схлопываться с некоторого максимального радиуса Д„, а во втором - первоначально расширяется с некоторого начального радиуса Д, до максимального радиуса, а затем начинает схлопываться.

В первом случае расчеты проводились когда начальный радиус пузыря Д = Ят = 1,0; расстояние от свободной поверхности к = 1,5Я^, начальное внутреннее давление в пузыре Р0 = 0,001 При этом

режиме течения на свободной поверхности жидкости в момент схлопывания пузыря образуется впадина, наличие которой приводит к образованию кумулятивной струи типа "султан". Дальнейшие возмущения поверхности жидкости определяются затухающими колебаниями султана относительно первоначального невозмущенного

уровня. Максимальная амплитуда отходящих при этом колебании гравитационных волн не превышает 5% максимального радиуса пузыря.

Для второго случая принималось, что начальный радиус пузыря Д, = 0.1Д,; расстояние от свободной поверхности Л = 1.5 начальное давление в пузыре Р0 =- 10.0{{%11я). Этот режим

течения отличается от предыдущего тем, что на этапе расширен™ пузыря на поверхности жидкости образуется возвышение - "купол", -который продолжает увеличиваться даже после того, как пузырь начинает

схлопываться. Дальнейшая

рис. 14

Распространение возмущений на свободной поверхности после выхода пузыря из жидкости

эволюция свободной поверхности определяется процессом разрушения этого купола. Максимальная амплитуда генерируемых при этом волн не превышает 1%-2% от величины максимального радиуса пузыря. Если пузырь в начальный момент времени расположен близко к поверхности жидкости: И - 1.0Д,, то в этом случае пузырь не успевает схлопнуться в жидкости и выходит на свободную поверхность (рис. 14). При этом наблюдается образование брызговых струй на боковых поверхностях образующейся впадины. В этой фазе картина поведение брызговых струй напоминает картину о детонации сферического заряда на поверхности раздела между водой и воздухом, полученную в расчетах по одномерной теории в работе Ч.Л. Мадера (1974).

С целью оценки максимальных амплитуд расходящихся волн, получающихся в результате распада купола на свободной поверхности жидкости, проведена серия расчетов задачи о первоначальном расширении пузыря с постоянного начального радиуса ^ = 0.1^. расположенного на расстоянии Н -1.5 от поверхности жидкости, не при различных значениях внутреннего начального давления Р0. На рис, 14 приведен график зависимости максимальной амплитудь генерируемых волн от максимальной высоты купола, образующегося £ результате коллапса пузыря.

Из этого графика видно, что максимальная высота султана в момент коллапса пузыря начинает быстро расти при значениях максимального радиуса, превышающих величину К ~ 0.97?,,, что соответствует начальному внутреннему давлению Р0 ~ 4.5({%Ят). До этого

я,А

/

/

/ /

момента высота султана

рис. 14

График зависимости максимальной высоты султана (Э, сплошная линия) и максимальной меняется незначительно, амплитуды генерируемых волн (А, пунктирная Это объясняется тем что линия) от максимального радиуса И., до которого

расширяется пузырь за все время своей эволюции.

начального внутреннего давления недостаточно для

того, чтобы преодолеть инерцию слоя жидкости, расположенную над пузырем, и сопротивление свободной поверхности. Однако при резком увеличении максимальной высоты султана не наблюдается сколько-нибудь существенного роста амплитуды отходящих волн. При наибольшей высоте султана = 0.777?я, достигнутой при расчетах, максимальная амплитуда волны равна величине а = 0.06Лт, что составляет лишь 6% от максимального радиуса.

Пятая глава посвящена исследованию эволюции цепочки пузырей.

В §1 рассматриваются задачи о динамике двух пузырей, расположенных друг над другом. Задача решается в двух вариантах: 1) пузыри располагаются на достаточно большом расстоянии от свободной поверхности жидкости и 2) пузыри находятся вблизи твердой стенки или свободной поверхности.

032

fj'ogn,

Для решения первой задачи применяется метод отражения через свободную границу. Проведенные расчеты показали, что поведение пузырей в цепочке, принципиально отличается от поведения одиночного пузыря. Расчеты проводились при разных способах задания давления в пузырях: постоянное или изменяемое по адиабатическому закону. Способ задания давления также оказывает серьезное влияние на процесс движения пузырей. На рис. 16 показаны расчеты, подтверждающие данное утверждение.

В работе J.R. Blake, Р.В. Robinson и др. (1993), проводится экспериментальное и

рис. 16

Эволюция свободной границы пузырей при различных способах задания давления. Левая половинка каждого рисунка - давление постоянно, правая половинка процесс адиабатический. Центры пузырей расположены на глубине /г, = 13и 1\ = 16^. Начальное давление И Р2 в пузырях следующее: рис. а) - Р, = Р2 = рис. б) - Р, = рФ\

Л =

численное изучение поведения двух пузырей, расположенных над твердой стенкой. Показывается, что близость верхнего пузыря к нижнему, расположенному около твердой стенки, оказывает такое сильное противодействие, что нижний пузырь не всегда коллапсирует к стенке, как это происходит в случае одиночного пузыря. В работе Y. Tomita, К. Sato, A. Shima (1994) экспериментально изучаются задачи взаимодействия двух пузырей (расположенных на оси симметрии), образовавшихся в различные моменты времени. Показывается сильное динамическое воздействие пузырей друг на друга. По мотивам эксперимента в диссертации проведен численный расчет, дающий хорошее качественное совпадение экспериментальных и численных результатов.

В зависимости от условия задачи начальное распределение потенциала на границе пузыря задается двумя способами:

1. Если пузырь начинает схлопываться из состояния своего максимально возможного радиуса, то в этом случае на границе пузыря задается распределение потенциала, вытекающее из линейной теории: Ф(|(_0 = 0.

2. Если же пузырь начинает расширяться с начального радиуса до некоторого своего максимального радиуса, а затем схлопывается, го на границе пузыря распределение потенциала задается исходя из решения задачи Рэлея о росте сферической газовой полости из нулевого радиуса.

Задачи динамики двух пузырей характеризуются

многообразием вариантов задания начальных условий и разнообразием форм течений. Поэтому при анализе цепочки из двух пузырей были рассмотрены варианты

качественно, с точностью до зеркального отражения относительно соответствующей поверхности, повторяющие друг друга.

На основании проведенных расчетов делается вывод о том, что свободная поверхность жидкости оказывает такое же влияние на процесс эволюции пузырей, как и твердая стенка. Только "знак" у этого влияния различен. Другими словами, влияние соседнего пузыря оказывает большее влияние, чем наличие какой-либо из границ. Два "подобных" расчета представлены на рис. 17 и 18. Второй из представленных

... Collapse vj/tir* со .. Grovrth те , Growth

в -1 DO . О 150: •10.00 о ■ О : •11 по

Ri»d wafl Q 1 -г 49.....2« Q | -2 51 г 51 <3 i 2 53 7 53

рис. 17 Эволюция двух пузырей между свободной поверхностью и твердой стенкой: пузыри находятся возле свободной поверхности; верхний пузырь расширяется с радиуса Я2 = 0.тт, Р0 = О.ООЦ/^); нижний - в состоянии максимального радиуса К1 = 1.0КП1,Ро = 2.0(/вКга).

., Collapse Frit 'urfve 00 . Growth СО Growth

0 -7 00 0 ": 3 : •10 00 •'С по

RwdwaS g i -2.49 249 0 1 -2 49 2 49 g i 2 49 2 43

рис. 18 Эволюция двух пузырей между свободной поверхностью и твердой стенкой: пузыри находятся возле твердой стенки; верхний пузырь расширяется с радиуса Л2 =0,1Яя, Р0 = 0. 01(уС§11т); нижний - в состоянии максимального радиуса Л, = 1,0 , Р0 = Ю,0(^).

расчетов выполнен по мотивам эксперимента Y. Tomita, К. Sato, А. Shima (1994) и показал очень хорошее качественное совпадение результатов.

Во §2 рассматривается осесимметричная задача о динамике трех первоначально сферических пузырей, центры которых располагаются друг над другом на оси симметрии. Эта задача характеризуется еще большим числом вариантов, поэтому в диссертации приводится лишь восемь расчетов, имеющих неповторяющиеся комбинации.

Во всех расчетах, наряду с формой пузырей, приводятся графики: объема пузырей, положения центра пузырей, нормальных производных точек пузырей, лежащих на оси симметрии и давления в пузырях.

В шестой главе рассматриваются стационарные задачи обтекания препятствий потоком тяжелой жидкости конечной глубины и задачи о движении жидкости в каналах ограниченных твердыми стенками или свободными границами при наличии зон постоянной завихренности за обтекаемыми препятствиями.

В §1 исследуется стационарная задача обтекания препятствий потоком тяжелой жидкости. Задача решается в терминах потенциала скоростей и функции тока. Для построения свободной границы применяются два алгоритма (основанные на двух различных принципах). Один алгоритм применяется для потенциала скоростей, другой для функции тока. Сравнение алгоритмов показало, что они практически эквивалентны по скорости сходимости и точности. Расчеты проводились как методом конечных, так и методом граничных элементов. Последний оказался точнее. Из методов граничных элементов наиболее точным является метод комплексных граничных элементов.

Основное внимание в данном параграфе уделяется построению трех решений для некоторого диапазона чисел Фруда. Факт наличия двух решений был впервые доказан H.H. Моисеевым (1957), который изучал в приближенной постановке задачу обтекания бугра сверхкритическим потоком при числах Фруда, близких к единице.

Построение двух решений в точной нелинейной постановке впервые было получено в 1982 г. JI. Г. Гузевским в работе и позднее J.-M. Vanden-Вгоеск'ом (1987). По определению Л.Г. Гузевского, предельный случай первого решения соответствует равномерному потоку, когде поперечный размер обтекаемого тела равен нулю. Предел .второго решения описывает уединенную волну.

При анализе первого решения обнаружился удивительный факт состоящий в том, что при определенном отношении радиуса цилиндра Ь

и глубины потока Н существует число Фруда Fr* > 1, ниже которого не существует стационарных решений. Это критическое число Фруда Fr* является вершиной "параболы" А = А(Fr) (А - амплитуда волны), ветви которой соответствуют первому и второму решениям. Указанная задача имеет единственное решение, если в качестве параметра, определяющего течение, вместо числа Фруда задавать величину скорости в верхней точке свободной поверхности (Л.Г. Гузевский (1982)). Данный прием позволяет не только находить два решения при обтекании препятствий, но и получать уединенные волны, вплоть до волны предельной амплитуды.

Основной результат данного параграфа состоит в том, что уточнены расчеты J.-M. Vanden-Broeck'a (1987) и Л.Г. Гузевского (1982), получено два решения в широком диапазоне чисел Фруда для отношения 0<R/H<1.1, обнаружен факт наличия трех решений при значениях амплитуды волн, близких к предельной. С высокой точностью найдены уединенные волны, вплоть до волны предельной амплитуды.

Математическая задача для потенциала скоростей описывается следующим образом: требуется найти решение уравнения Лапласа для функции ер: Аер =0, х е Q

удовлетворяющей на границах области следующим условиям:

дер п доо .. дер тг

— = U - на твердых участках границы, — = - к и — = У дп дп дп

- на участках втекания и вытекания жидкости, соответственно,

/Т7 ч2 2(у -1) , dy v

(У ер) + —- = 1 и — = — динамическое и кинематическое Fr" dx u

V

условия на свободной границе. Здесь Fr = г— - число Фруда, V -

-JgH

скорость втекающего потока, v - вертикальная составляющая вектора скорости,и - горизонтальная.

Свободная граница заранее неизвестна и должна быть найдена численно в ходе решения задачи. Для ее определения применяется метол последовательных приближений ранее успешно применявшийся в ряде работ автора. К недостаткам алгоритма можно отнести то, что с егс помощью удается построить лишь одно, первое решение.

Чтобы построить второе решение, Л.Г. Гузевский вводит вместо числа Фруда отношение скоростей Vc = vc / . В этом случае уравнения интеграл Бернулли переписывается в виде:

Это дает возможность получать два решения, нахождение которых осуществлялось различными способами: методом граничных элементов с использованием как функции тока, так и потенциала скоростей, методом комплексных граничных элементов, когда на свободной границе задается потенциал или функция тока. Оказалось, что наиболее точные результаты дает МКГЭ с заданием на свободной границе и дне функции тока, а на боковых участках потенциала.

Преимущество МГЭ с использованием потенциала состоит в том, что алгоритм на его основе применим и к

осесимметричным течениям.

После выполнения условий на сходимость итерационного процесса искомое число Фруда определяется по формуле:

V 1-К

Результаты расчетов, показывающих наличие двух решений при безотрывном обтекании полукругового цилиндра, приведены на рис. 19. Приведенные кривые

представляют графики зависимости амплитуды А волны от числа Фруда ¥г для различных отношений Я / Н радиуса цилиндра Л к ширине потока на бесконечности Н. Хорошо видно, что все приведенные кривые имеют точку, в которой касательная к данной кривой становится параллельной оси ординат. Первое и второе решения стыкуются именно в этой точке. Число Фруда /К, соответствующее вершине кривой с ветвями, являющимися первым и вторым решениями задачи, является минимальным числом Фруда, при котором существует стационарное обтекание полукругового цилиндра сверхкритическим (Я- > 1) потоком идеальной жидкости.

рис. 19а

Зависимость амплитуды А волны от числа Фруда ¥г при обтекании цилиндра для различных отношений радиуса Л и глубины потока на бесконечности Н.

Построение двух решений

Фрагмент графиков приведенных на рис. 19а

Цифры на рис. 19а соответствуют различным отношениям R / Н. Кривая, показанная штрихпунктирной линией, является графиком !ависимости А = Fr2 / 1. Эта зависимость характеризует волну, у соторой величина К = 0. Кривая 1 соответствует R / Н = 0 и описывает 'единенную волну, далее цифрой 2 - отношение R / Н = 0.1; 3 - 0.2; 4 -).3; 5-0.5; 6-0.7; 7-0.9; 8- 1.0; 9- 1.1.

На этом рисунке пунктирной линией в зоне кривой 5 нанесен расчет в работы J.-M. Vanden-Broeck'a (1987). В пунктирном квадрате аключена область, показанная на рис. 196 в увеличенном формате, :оторая демонстрирует наличие неоднозначности поведения решения в оне предельной волны. Здесь же пунктиром для уединенной волны [анесены расчеты, проведенные Д.В. Маклаковым (1995) на основе шработанной им теории, расчеты для R / Н = 0.1 взяты из работы Л.Г. 'узевского (1982), а для R / Н = 0.2 из работы J.-M. Vanden-Broeck'a 1987).

В §2 шестой главы решаются задачи потенциально-вихревых ечений в каналах, ограниченных твердыми стенками или свободными оверхностями. Задачи данного класса были развиты в работах М.А. "ольдштика, B.C. Садовского и JI.A. Кожуро, А.Б. Шабата и др.

М.А. Лаврентьев (1962) предложил использовать плоские отенциалыю-вихревыс течения в качестве модели отрывных течений ри условии отсутствия скачка постоянной Бернулли на разделяющей инии тока.

Потенциально-вихревая задача в плоском случае описывается равнением Пуассона с разрывной правой частью <9у ¿?У _ [-со, i*,y) 6П2,

дх2 + ду1 0, (х,у) ей,,

и соответствующими граничными условиями:

условием непротекания на твердых границах и разделяющей

инии тока: у/ = const;

условием, характеризующим отсутствие перепада давления

оперек разделяющей линии тока --¡2

оц/ 2 дуг

е . д>г.

= 0

условием на бесконечности:

ду ~ду'

К/,

Форма и положение разделяющей линии тока Ь, а также значение шихренности со заранее неизвестны и подлежат определению в ооцессе решения. Поэтому даже в случае отсутствия разрыва

тангенциальных составляющих вектора скоростей на L поставленная краевая задача нелинейна и допускает существование нескольких решений. Этот факт при исследовании задачи порождает определенные математические трудности, предполагающие задавать какие-либо дополнительные условия для однозначной разрешимости.

Так, в монографиях М.А. Гольдштика (1981), М.А. Лаврентьева и Б.В. Шабата (1977), работах А.Б. Шабата, B.C. Садовского данная задача решается по алгоритму, в котором точка отрыва потока задается, а линия склейки определяется явно в процессе нахождения решения.

Другой способ, позволяющий определить размеры и положение зоны с постоянной ненулевой завихренностью, - это задавать значение полной циркуляции Г по границе вихревой области. Такой подход был предложен в работе П.Н. Вабищевича, Р.В. Гассиева (1986). Задание циркуляции позволяет отбросить тривиальное решение, соответствующее чисто потенциальному течению. Величина завихренности при этом определяется также из условия задания полной циркуляции по области С12 : r = JJa>AJ

Разделяющей линией тока можно считать линию тока, уравнение которой у/ = 0. Тогда к зоне вихревого течения относится область отрицательных значений функции тока {(х,.у)1 ¥ < °}> а к внешнем) потенциальному потоку - область положительных значений у > о}

Так как течение в отрывной зоне является невязким, то давление Р может быть рассчитано из уравнения Бернулли.

Особенность итерационного алгоритма заключается в том, чтс разделяющая линия тока явно не задается, а находится посл< установления итерационного процесса как граница между зоной i отрицательным и положительным значениями линии тока внутр! области течения. Также определяется положение точки отрыва потока ш обтекаемом препятствии. Единственный задаваемый параметр задачи это циркуляция в зоне постоянной завихренности. Такой алгоритм н противоречит выполнению условия отсутствия перепада давления вдол разделяющей линии тока, и очевидно, что при таком подходе разры: касательных скоростей на линии у/ - 0 равен нулю.

Использование метода конечных элементов позволяет с высоко: точностью решать поставленную краевую задачу и определят положение разделяющей линии тока, которая восстанавливается п значениям поля функции тока.

За начальное приближение размеров вихревой зоны можно принимать всю расчетную область течения. При этом, поскольку рассматривается поток идеальной жидкости при обтекании гладких контуров (например, полукруговой цилиндрический выступ на прямолинейном дне), зоны постоянной завихренности при расчете будут выделены как за телом, так и перед ним (С.А. Чаплыгин (собр. соч. т2, 1948). Этот эффект наблюдается и в реальной жидкости при числах Рейнольдса много меньших единице. Однако при числах Рейнольдса от 1 до 40, в плоском случае, вихревые зоны возникают за препятствиями (М. Ван-Дайк (1986)). Поэтому в случае канала с полукруговым цилиндрическим выступом, при задании начального приближения, за вихревую область принимается либо полуплоскость {х>0}, либо небольшая произвольного размера площадь, прилегающая к "кормовой" части препятствия.

В случае канала с квадратной выемкой на дне за начальное приближение вихревой зоны удобно принимать область самой выемКи (всю или ее часть).

Для канала с прямоугольным уступом задание начального приближения аналогичное.

В качестве тестовой задачи была выбрана задача о течении жидкости по каналу с выемкой. Впервые расчеты по данной задаче провел М.А.Гольдштик (1981). Им были просчитаны варианты при различных соотношениях основания и высоты траншеи, а также задача обтекания круго-вого цилиндра однородным невязким потоком. Для однозначного определения решения Гольдштик указывает точки срыва струй с обтекаемого контура. При наличии излома на контуре за точку схода берется угловая точка, а при расчете обтекания гладкого контура (круглого цилиндра) точки срыва потока задавались им на угловом расстоянии в 120° от передней критической точки.

На рис. 20 проведено сравнение положения нулевой линии тока при обтекании цилиндра потоком, имеющим единичную скоростью.

у о - настоящий расчет

х -эксперимент

1- х___у 1 - расчет Гольдштика

0 1 2 3 X рис. 20 Сравнение расчетов по положению нулевой линии тока при обтекании цилиндра

Показаны расчеты из работы М.А. Гольдштика, а также нанесена кривая, рассчитанная по нашему алгоритму при числе циркуляции Г=3. Расчеты показывают хорошее совпадение результатов.

По схеме М.А. Лаврентьева проводятся расчеты по обтеканию ступени в цилиндрической трубе, осуществляется сравнение результатов с аналогичной плоской задачей. Приводятся сравнительные графические зависимости длины и высоты каверны для плоского и осесимметричного случаев.

Демонстрируется возможность использования схемы М.А. Лаврентьева в задачах со свободными границами. Рассматриваются стационарные задачи обтекания препятствий сверхкритическим потоком тяжелой идеальной жидкости при наличии зоны отрыва за обтекаемым препятствием.

По результатам численных экспериментов проведено сравнение расчетов по обтеканию цилиндра с экспериментом и расчетами в вязкой жидкости. Факт о существовании нелинейной зависимости между циркуляцией и числом Рейнольдса (1 < Re < 40) является важным, так как это может служить основанием для изучения вязких течений не по уравнениям Навье-Стокса, а по более простой и экономичной модели Лаврентьева.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Афанасьев К.Е. Моделирование свободных границ г гидродинамике идеальной жидкости // Гидродинамика ограниченны* потоков / Чуваш, гос. ун-т им. И.Н. Ульянова,- Чебоксары, 1988.- С. 9 18.

2. Афанасьев К.Е. Численное моделирование течений идеальное жидкости со свободными границами методом конечных элементов Автореф. дис.... канд. физ.-мат. наук,-Томск, 1987,- 17 с.

3. Афанасьев К.Е. Приближение нелинейной уединенной волны / Труды VI научной школы "Гидродинамика больших скоростей" / Чуваш гос. ун-т им. И.Н. Ульянова.- Чебоксары, 1996.- С. 3-10.

4. Афанасьев К.Е., Афанасьева М.М., Терентьев А.Г. Исследовани эволюции свободных границ методами конечных и граничных элементе] при нестационарном движении тел в идеальной несжимаемой жидкост] // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.- 1986,- N 5.- С. 8-13.

5. Афанасьев К.Е., Афанасьева М.М., Терентьев А.Г. Деформаци газовых пузырей в жидкости II Актуальные задачи гидродинамики Чуваш, гос. ун-т им. И.Н. Ульянова,- Чебоксары, 1989,- С. 4-10.

6. Афанасьев К.Е., Боженкова C.B. Нахождение зоны вихревог течения методом конечных элементов по заданной циркуляции Актуальные задачи гидродинамики / Чуваш, гос. ун-т им. И.1■ Ульянова,- Чебоксары, 1989,- С. 10-15.

7. Афанасьев К.Е., Боженкова С.В. Определение вихревой зоны в отоке со свободной границей // Прямые и обратные задачи епломассообмена / Кемер. ун-т,- Кемерово, 1993,- С. 28-32.

8. Афанасьев К.Е., Боженкова С.В. Потенциально-вихревая схема дя расчета вихревых течений // Проблемы гидродинамики больших коростей / Чуваш, гос. ун-т им. И.Н. Ульянова.- Чебоксары, 1993,- С. 6-32.

9. Афанасьев К.Е., Гудов A.M. Численное моделирование динамики [ространственного пузыря методом граничных элементов " // Моделирование в механике.- Новосибирск, 1994.- т. 7(24), No 1 .-С. 11-19.

10. Афанасьев К.Е., Гудов A.M. Эволюция цепочки из трех пузырей безграничной жидкости // Динамика сплошных сред со свободными

раницами / Чуваш, гос. ун-т им. И.Н. Ульянова.- Чебоксары,- 1996,- С. 1-41.

11. Афанасьев К.Е., Самойлова Т.И. Техника использования метода раничных элементов в задачах со свободными границами // 5ычислительные технологии.- Новосибирск,- 1995,- вып. 7 , No 11.-С.19-7.

12. Афанасьев К.Е., Стуколов С.В. Моделирование ^прокидывающихся волн методом комплексных граничных элементов И "руды VI научной школы "Гидродинамика больших скоростей"/ Чуваш, ос. ун-т им. И.Н. Ульянова.-Чебоксары,- 1996,-С. 11-17.

13. Афанасьев К.Е., Терентьев А.Г. Применение метода конечных лементов в задачах со свободными границами // Динамика сплошной реды с нестационарными границами / Чуваш, гос. ун-т им. И.Н. Ульянова.-Чебоксары, 1984.-С. 8-17.

14. Терентьев А.Г., Афанасьев К.Е. Численные методы, в идродинамике: Учеб. пособие / Чуваш, ун-т. им. И.Н. Ульянова.-1ебоксары: ЧГУ,- 1987.-94 с.

15. Afanasiev К. Е., Gudov А. М., Zakharov Yu. N. The use of iteration chemes of incomplete approximation in some problems of hydrodynamics // Modelling, Measurement and Control, B, AMSE Press.- 1992,- vol. 46, No 4.-'.27-40.

16. Terentiev A.G., Afanasiev K.E. Numerical study of cavitational flows I Computational modelling of free and moving boundary problems.- 1991.-'.l.-P. 185-193.

17. Terentiev A. G., Afanasiev К. E., Afanasiev M. M. Simulation of insteady free surface flow problems by the direct boundary method // Advanced boundary element methods IUTAM Symposium, ed. Th. A. Cruse, Springer-Verlag.- 1988,- C. 427-434.

18. Афанасьев K.E., Афанасьева M.M. Сравнительный анализ МГЭ 1 МКЭ для задач со свободными границами II Динамические задачи механики сплошной среды: тез. докл. респуб.. конф. Часть II.-■Сраснодар, 1988,-С. 172-173.

19. Афанасьев К.Е., Афанасьева М.М., Терентьев А.Г. Численное лоделирование свободных границ в гидродинамике идеальной жидкости

// Теор. основы констр. числ. алг. зад. мат. физики: Тез. докл. VII Всес. семинара.- Кемерово, 1988,- С. 8.

20. Афанасьев К.Е., Афанасьева М.М., Терентьев А.Г., Чечнев A.B. Нелинейные задачи взаимодействия тел со свободными поверхностями II Теор. основы констр. числ. алг. зад. мат. физики: Тез. докл. VI Всес. семинара,-Горький, 1986.-С. 17.

21. Афанасьев К.Е., Афанасьева М.М., Терентьев А.Г., Чечнев A.B. Нелинейные нестационарные задачи взаимодействия твердых тел со свободными поверхностями // Шестой всесоюзный съезд по теор. и прикл. механике: Аннот. докл.- Ташкент, 1986, с. 59.

22. Афанасьев К.Е., Боженкова С.В. Решение задач о склейке потенциального и вихревого течения МКЭ // Численные методы механики сплошных сред: Тезисы докладов. Часть 1.- Красноярск, 1989.-

23. Афанасьев К.Е., Боженкова C.B. Задача обтекания препятствия по схеме Бэтчелора // Численные методы механики сплошных сред: Тезисы докладов. Часть 1,- Красноярск, 1991.- С. 43-44.

24. Афанасьев К.Е., Терентьев А.Г. Исследование неустановившегося движения тел в идеальной несжимаемой жидкости сс свободными границами методом конечных элементов // Вычислительная аэрогидродинамика: Школа-семинар социалистических стран. Тезисы докладов.-Самарканд, 1985,-С. 156-158.

25. Афанасьев К.Е., Гудов A.M., Захаров Ю.Н., Терешкова В.В. Применение итерационных схем неполной аппроксимации в задачах волновой гидродинамики // Современные проблемы механики жидкости и газа / Иркутск, V-я всесоюзноя школа-семинар (тезисы докл.).- 1990.-

26. Афанасьев К.Е., Гудов A.M., Трутников В.Н, Регуляризирующие алгоритмы при решении задач гидродинамика методом граничных интегральных урвнений // Методы оптимизации к их приложения / Иркутск, 10-я Байкальская школа-семинар (тезись: докл.).- 1995.-С. 236-238.

27. Афанасьев К.Е., Гудов A.M. Численное исследование движенш трехмерного газового пузыря в идеальной жидкости. // VII Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике (15-21 августа 1991г.) аннотации докладов, Москва, 1991, С. 26-27

28. Terentiev A.G., Afanasiev К.Е., Afanasieva М.М. Gas bubble dynamics in fluid // XVIIth international congress of theoretical and appliec mechanics: IUTAM, Grenoble. Abstracts.- vol. В.-1986,- P. 180.

29. Terentiev A.G., Afanasiev K.E., Afanasieva M.M. Simulation oi unsteady free surface flow problems by the direct boundary method // Sump on advanc. boundary elem. methods, San Antonio, USA.-1987,- P. I.21-I.24.

C. 22-23.

C. 17.