Решение обратной задачи по двум спектрам для сингулярного уравнения Штурма-Лиувилля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И .МЕХАНИКИ

На правах рукописи

ГАСЫЛЮВ ЗЛИД МИРАББАС оглы

РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ПО ДВУМ СПЕКТРАМ ДЛЯ СИНГУЛЯРНОГО УРАВНЕНИЯ ШТУРМА—Л ИУ ВИЛЛ Я

(Спец. 01.01.01 — математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

I

БАКУ — 1992

1

Работа выполнена на кафедре уравнения математичеа физики Бакинского Государственного УииЕерситста им. М. Расулзаде.

Научный руководитель:

— доктор физико-математических наук, профессор

ГУСЕЙНОВ Г.

Официальные оппоненты:

— доктор физико-математических наук, профессор

ВЕЛИЕВ О. А. (Бакгосуниверситет им. М. Э. Расулза;

— доктор физико-математических наук, профессор

МАМЕДОВ И. Т. (ИММ АН Азерб. Респ.).

Ведущая организация — Азербайджанский Техническш' Университет

Защита диссертации состоится « » 19[

в . • часов на заседании Специализированного со

К 0С4.01.01 по присуждению ученой степени кандидата физ математических паук в Институте математики и механики Азерб. Респ. по адресу: 370602, Баку ГСП, ул. Ф. Агаева, I тал 553, дом 9.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиот Института математики и механики АН Азерб. Респ.

Автореферат разослан МОФ^^Я. . 1992 г.

Ученый секретарь Специализированного совета, доктор физико-математических наук,

профессор М. X. ИЛЬЯ

ои;ая характера дик а работы

Актуальность те;.'ы. Обратный задачи спектрального анализа, т.е. задачи построения (восстановления) оператора по тем или иным его спектральным характеристикам возникают з различных областях физики, ваприиер, з механике при определении распределения плотности неоднородной струны по частотам колебаний, з квантовой иехзнике при вычислении сил, действующих между частицашз (и определяющих свойства ядерных, атоивых и молекулярных систем) по известным уровням энергии или по данным о рассеяния,, в- геофизических задачах поиска полезных ископаемых. .

Основные результаты з решении обратных задач получили Г.Борг, Н.Левинсон, А.Н.Тихонов, В.А.Марченко, И.Ы.Гельфэнд, Б.М.Левитэн, Н.Г.Крейн, Ю.М.Бэреззнский, Л.Д.Фаддеев, М.Ц. Лаврентьев, Ц.Г.Гасынов, Ф.Г.Максудов, Ф.С.Рофе-Бекетов, Л.П.Нинник, З.Л.ЛеЙбензок, Г.1П.Гусейнов и др.

Значение обратных зэдзч особенно возросло после открытия в 196? году Г.Гарднером, Ди.Гриноы, М.Крускэлои и ?.'(иурэ возможности их использования для ресеивя некоторых нелинейных эволюционных уравнений, возникающих в различных физических теориях.

Цель работы. Исследовать обратную задачу пс двум спектрам для уравнения Стурмэ-Лиувилля на конечном интервале с потенциалом, ииеюциц неинтегрируеиуь особенность.

- ч -

Научная новизна. Решена обратная падзча по двум спектрам для уравнения Птуриз-Диувпллп на конечном интервале с потенциалом, имеющим неянтегрируецую особенность. При этом:

I) найдены необходима и достаточнее .условия, который долены удовлетворять две последовательности зецествепных чисел для того, чтобы они били спектрами дазх граничннх'-за-дгч, порождаемых одним и тем яе уравнением Етурмэ-Лиувилля на конечном интервале с вещественный потенциалом

= ■+• у(ц) , где 5 - вещественная постоянная,

Н) указан алгоритм для вычисления коэффициента уравнения по двум спектрам;

3) как вспомогательный результат получено в терминах необходимых к достаточных условий решения обратно?: эодэчи теории рассеяния для уравнения Ьиуриа-Лиувиллк нэ полуоси с потенциалом из специального класса.

Методы исследования. В работе использованы катоды из-теиатяческого анализа, теории дифференциальных уравнений к теории функций комплексного переменного.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут найти применения в задачах математической физики.

Лпрооация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре д.ф-и.н.,проф.М.Бзйраыоглы (ИМИ АН Азерб.Респ.), на ШХ Всесоюзной научной студенческой конференции (Ново-

с.чбпрск, 1591г.)» нз сеи'.наре-созецании по функциональному анализу а его прилоге изяи, посзяцекпои памяти экздеиикз З.И.Хзлалоза (Баку, 1991г.). на Меадунвродяой конференция "Актуальные проб.-еыи фундаментальных наук (Москва, 1591г.), на XXIX Республиканской конференции молодых специалистов (Баку, 1992г.), на Меавузовской конференции молодых ученых (С/аккт-Петербург, 1992г.), вз сеганзре-совецании, посвященной памяти академика И.О.Кравчука (Киев, 1992г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, список которых приводится 2 конце автореферата.

Обьец работы'и ее структура. Диссертация изложена из 121 страницах иасязописного текста, состоит пз введения, трех глав и списка литературы.

„ ч

' СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ " ^ . 1 * • Во введении дается краткий обзор работ, относящихся к теме диссертации, и излэгэвтся ее основные результаты.

В первой главе рассматриваются граничные задачи, пороз-денные на интервале уравнением

- + у(х) (уи=42, (I)

с вещественным потенциалом ^(х) , удовлетворяв:.'.!!« условий

I # /чМ/^Х < 00 ,

- б -

и разделенных! граничными условиям; Еида

jj(0)=D , (2)

н jjit

i

где jn - комплексный (спектральный) параметр, h, - úik-сн^ованное вещественное число.

Дпс;\"1ерг,нцпэльное выражение называ-

ется регулярны!, если это выражение рассматривается на конечной интервале ft-Oí i , а коэффициент. <j,(x) ^нтегрн-pyei; по этоиу интервалу, Б противнои случае, то есть либо интервал [ll, I] бесконечен, либо йункрия иеиытег-

ркруенз ко /"й-,¿7 (либо п то и другое) дифференциальное выражение ¿(ф ) называется сингулярным.

Так как в рзссиатрпваеиои нааи случае функция Cj(x) , вообце говоря, пеинтегри,руемэ (в окрестности точки х-о она ког.ет ииетъ ноинтегрнруеиуЕ особ-знность), то урэвкенле (I), вообце говоря, будет сингулярный, Вследствие этого факта уравнение (I) isosot инеть решение ij(x) , для которого ко существует конечного значения. • Этим объясняются-специальные виды перзюс граничных условий в (2),(3).

В этой главе докасывэется, что рассиатривэеше граничные задачи (I), (2) к Ц), (3) имеют счетное число однократ-кшс, зсдеотЕекннх собственных значений с единственной ира-

дельной точкоп в + со , а собственные функции, отвечающие различным собственней значениям ортогональны в пространстве

¿гЬА1 .

Основным результатом первой главы является ТЕОРЕМ I. (Теорема 1.4.2). Для собственных значений граничных задач (I), (2) и (I), (3) верны соответственно следущие асимптотические формулы ¡и =Л2 , ^ -- , где

I К- И 71 Ь-

%

М-уфМ* 0№) , со

где

_ Уп Ж

■ 0 •' ^

В случае класса потенциалов ^(х)^ -у ^^(х) • {Г -

ве-щестзенкзя постоянная, 1<р<2 , /^[о^ЗГ] ,

асимптотические формулы (4) я (5) уточняются в зиде:

ап! 2{р-№?-> { I 1 [п—Р/

<? ^ _I__Ч.•___-/•

ас»-%)я-р ит 2(Г-№Р~1

л

о

00 - 2 л

В ь

Под нормировочными числами граничных задач (1),(2) и

С1),(3) соответственно понимаются числа $

о &

п Ч

где пелястся гашвниеи уравнения (i), удовлетворя-

вши условиям: 3(о,А) = 0=

Для нормировочных чисел с<4. и у5 получены асиул-тоткческае формулы

п м* V >£ 2(п-угу (**/•

г до 2п и ииеют вид (6).

3 § 5 гт.I получены теорены с формулзгги о разложениях по собсхвенаиц пункция!.:.

Во второй главе диссертации рассматривается гранпчкзп задача Птурма-Лнувилля

Ч(*)у(х) = Хяу(х) (о$х<сс) , (V)

, (8)

где функция (потенциал) вещественноэн&чизя и удов-

условию -.

го

§х1у(х)1с1х < СО

летворяет условию

го

Ограниченные на бесконечности реке кия гранично Я задачи (?), (8) нзлывэвтсл волновыми (.ункцпети.

В коногрэфик В.А.Марченко "Операторы Птуриз-Лиувиллп и их приложения"- доказано, что при условии (9) граничная задача (7),(8) :шест ограниченное решение при и

IX (Хк>0 , К-1, п ) » причем эти реа-гния удовлетворяет при Х->со асимптотическим формулам

-1Хх , ¡,Хи , г

11(х,Л)~е - ЗДе '+о(1) (о<л.<«>) .

Твгии обрззои, набор величии

{зд (-CO<X<<») (10)

'полностью определяет поведение нз бесконечности всех волновых функций ,

I

Для полного описания кввкто-иехэнкчеокой системы достаточно знзть поведение волновых функция, так как оно позволяет описать все наблюдаемые эффекты» Естественно, поэтоыу возникает вопрос о том, определяет ли поведение волновых функций на бесконечности потенциал (р(х) . Иными словами, «окне ли восстановить потенциал по экспериментальный

данным.

Задача о восстановлении потенциала по экспериментальным денным называется обратной задачей квэнтовой теории рассея-' нкя. В .соответствии с этой гермивологйей набор величин (10), определяющий поведение на бесконечности волновых функции и(х,Х) называется дэннкш; рассеяния грзпкчной задачи (7),(8). ■ ' ; ■ : '

В выше упомянутой монографии В.А.'Марченко доказана сле-дув'дал вапнак

ТЕОРЕКА 2. Для того, чтобы заданный набор велвчкн (10) бнл ленными рассеяния некоторой граничной задачи (7),(8) с потенциалом , удовлетворяющий условию (9), .необходи-

мо к достаточно, чтобы выполнялись следувдпе условия:

I. Функция £>(.Я) непрерывна на всей оси, 5(А)= 5^Т)= \ э с трем: тс я к нулю

Ш-*-00 1! ¡шляется преобразованием.Фурье функции

С [1-3(Л)]е АХ ,

редстззимой в виде суммы двух функций, из которых одна, ринэдлеяпг пространству ¿¿(~00>с°) , з другая ограничена принадлежит пространству ¿2<х>,<*>) . На положительной олуоси функция имеет производную К(х) , удов-

етворяюцую условий

о

П. Изменение аргумента функции 5 (А) связано с чис-ом 71 отрицательных собственных значений граничной эа-ачи (7),(8) формулой

71— . ~~ —. •

2Ш *

По данным рассеяния потенциал ^(х) восстанавливаат-я однозначно. Для фактического нахождения ^(х) следует ;о данным рассеяния определить функцию

К—1 — со

У- написать основное уравнение обратной задачи

00

Р(*+у)+К + -о

При условиях теоремы 2 это уравнение имеет единственное ре-кение при кзгдок X? О . Рецив его, найден функцию а затем и потенциал (^(х) по формуле у (х) = --А ;

Далее, во второй главе рассмотрен частный случаи потенциала .. » играющий ввавую роль в-третьей главе при исследовании обратных задач Цтурма-Диувилля на конечном интервале. Рассматриваются граничные задачи (7),(8), у которых

1) потенциал ^х) равен кулю при и

~хГ + при " 0 ^ '

где {Г - вецествеьная постоянная, р - некоторое вещественное число иа интервала • 0 ФУ^ДОя £е~ цественна и принадлежит А2(оуЖ) '>

2) отсутствует дискретный спектр.

Основным результатом главы Л является следующая

*

Т1Ж£:,!А 3. (Теосемз 2.2.1). Для того чтобы ароизЕоль-)п >ути,-ля 5и\) (~со<Л<+с°) была функцией рзссея-!71 некоторой граничной задачм (7),(8), удовлетворяюще": ус-!вкя» I),2), необходимо я достаточно, чтобы оно обладала ;о£ствэи1 I и Л с и-=Д , указанными з теореме 2 и сде-•вцяи свойство«

И. Функция

знэ нулю при х>2% , она дифференцируема на интервале

3 третье,", глззз поставлена а решена обратная задача рма-Лиузаяля по двум спектрам. Она ставится сяедутщиц азом: нзйтл необходимые и достаточные условия, которым яны удовлетворять две последовательности вещественных зл для того, чтобы они были спектрами граничных задач, зндвемых одним я тем же урэвнэниец--у "(х) у (%) =

I Ц(х) (Ь ¿V) с вещественный потенциалом

1,2$) к

и = о » 8 так;,ш метод по-

строения этого уравнения.

Основный результатом диссертации по решению обратной задачи по двум спектрам является

ТЕОРЕМ 4. (Теорема 3.3.1). Для того, чтоби две последовательности вещественных чисел

были спектрами граничных задач, порождаемых одним к тем яе уравнением Штурыэ-Лиувилля — у" (%) + *}(х)(х) -У1^*,)

с вещественным потенциалом ^(х)- + ^ р^^г^Л) > - вещественная постоянная, а

€/2[0и граничными условиями ^~ & <

, необходимо и достаточно, чтобы они перемежались и удовлетворяли асимптотическим формулам

где

__ ,л-

е I г' * (мг(мэьЮ

ОО Ь"

произвольное вещественное число и ^Е/й /

£ <

Изложенное в главе Ш доказательство этой теоремы со-::;лт такие алгоритм восстановления потенциала ^(х) по гк спектрам.

3 заключении считав своим приятным долгом выразить бокую благодзр.;ссть своему научному руководителю доктору нко-'лэте^атических наук, профессору Г.И.Гусейнову за тановку задач и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации огг/блнксззны в следу-х работах:

1. Гасымов З.М. О спектрзльных свойствах сингулярной граничной задачи Етурмз-Лиувилля // г.!зтзр.ХХ1Х ВсесоЕзн.нэучн.студ.конф., Новосибирск - 1991,

с.22-25.

2. Гэскмпз З.'л, Асимптотика собственных значений и нормировочных чисел для граничной задачи Штурнэ-Лиузил-ля. Тезисы докладов сс!'и;:зр-срзепэния по функциональному анализу и его приложениям, посвященной памяти зкзд.З.И.Хзлнлоза, Баку - 1991, с.29.

3. Гусейнов Г.Е., Гзсымов 3,Ь!. Асимптотическое поведение собственных и нормировочных чисел сингулярной задачи Штурмз-Ляузилля и разложение по собственный функциям // Сб.докладов Международной конференции: Актуальные проблемы фундаментальных наук, Москва -1991, С.105-108.

Гасымов 8.Н. Обратная задаче по двум спектрак дл сингулярно:'! грвничной зэдэчи Есуриэ-Лнувилля // Тезисы докладов Мегвузовской конф. молодых учены Санкт-Петербург - 1992, с.73.

5. Гасымов 3.1!. Об определении сингулярного датевре циального уравнения Штурмв-Лкувилля // Тезисы докладов конференции, посвященной памяти экад. Кравчука И.Ф., Киев - 1392.