Решение обратных задач теплопереноса на основе метода статистической регуляризации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ



Академия наук Украины Институт технической .теплофизики

На правах рукописи

Кривошей Феликс Александрович

РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПЕРЕНОСА НА ОСНОВЕ МЕТОДА СТАТИСТИЧЕСКОЙ РЕШЯШЗАЦИИ

01.04,14 - теплофизика и молекулярная физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Диссертация является рукописью • Работа выплонена в Институте технической теплофизики Академии Наук Украины

Официальные.оппоненты:

доктор технических наук, академик 'АН Украины доктор технических наук, • член-корреспондент АН Украины

доктор технических наук, профессор

Ведущая организация - Институт пройдем энергосбережения

АН Украдны

Защита состоится " ¿ О " ' к^'Ш^рЛ 1994 п в •/у часов на заседании спецр.ялизпрованного совета Д 016,43.01 в Институте технической -теплофизики АН Украины С 252057,Киев,ул.Еелябова,2а)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке. ИТТФ АН Украины Автореферат разослан " (/¿¿¿¿^С)^ 1994) г.

МАХНЕНКО В.И., ШДЕШТЫЙ Ю.М. ШЙНШО Н.И.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат технических наук

Костенко Н.В.

ОБЩАЯ ХАРЖТЕРйСШКА РАБОИ'

Актуальность. Развитие теории и методов репгакш некорректно поставленных задач математической Физики и резкэ возросшие потребности в интерпретации и' обработке' результатов Физических измерений в различных областях науки и техники стимулировали интенсивное развитие обширного к/юса так называемых обратных задач. Их целью является определение .таких параметров наблюдаемых явлений,которые,как правило,не могут быть непосредственно измереш и вычисляются по результатам измерений других величин.В тепловых явлениях при постановке обратных задач искомыми являютсяпараметры процессов теплопереноса (теплоФизические свойства).интенсивность внешней тепловой нагрузки (граничные условия).мощность внутренних источников,(стоков) теплоты и пр.Корректные данные об этих характеристиках необходимы,в частности,при проектировании теплоэнергетических установок,теплообменных устройств и систем тепловой'защиты. Обратные задачи теплопереноса возникают в материаловедении при получении и исследовании новых материалов и в различных технологических процессах,связанных с переносом и преобразованием тепловой энергии.Возрастающие в современней технике требования к точности определения перечисленных тепловых характеристик делают актуальными более совершенные.уточненные постановки обратных задач теплопереноса СОЗТ) и развитие методов их решения.

Цель работы - развить единый для всех обратных задач теплопереноса стохастический подход и разработать метод их решения для определения теплофизических свойств веществ,граничных условий теплообмена, начальных условий и мощности внутренних тепловых источ-ников.Получить численные решения конкретных задач с использованием

экспериментальных'данных.

Для достижения этой цели необходимо решать следующие задачи:

- обосновать и развить стохастический подход к постановке и решению обратных задач теплопереноса; •

- разработать и обосновать процедуру стохастической аппроксимации случайных параметров уравнений и статистического осреднения, полученных стохастических уравнений, во реализациям случайных параметров; ■

- получить уравнения теплопроводности д- т средних значений температур,на основе которых возможны корректные постановки обратных задач теплопереноса;

- получить интегральные уравнения II рода относительно средних значений. искомых функций.регуляризирущие решения ОЗТ;

• ' ...

- исследовать алгоритмическую схрдимость и устойчивость метода , путем решения молельных задач;

- апробировать метод путем решения ОЗТ для определения' теплофизи-ческих свойств, веществ и граничных условий теплообмена по экспериментальна/» данным;

- разработать метод регуляризации решения негиперболической систе-. мы уравнений баротропного двухфазного потока путем щэиведения. матрицы ее коэффициентов г. эрмитовой форме.Сформулировать и ре-, шать краевую задачу для параболической системы осредненных уравнений и апробировать метод путем сравнения численных решений с 0"спериментом и известными результатами.

Научная новизна. В работе обоснован и разшт стохастический подход к постановке и решению ОЗТ,предполагающий случайный характер всех параметров математической модели,а не только результатов теплофизических измерений.Такой подход дает возможность

задаваясь стохастичностью одного (или двух) параметров при одновременном "замораяиваши'* (детерминированности) остальных варьировать постановки задач в зависимости от искомой величины (функции).. На основе развитого стохастического подхода разработан единый для всех обратных задач метод их решения,состояний из двух ключевых процедур:введекия в модель (уравнение) случайного,стохастически аппроксишрованного параметра и последующего статистического осреднения полученного стохастического уравнения по его реализациям. Ключевым моментом новизны метода является то,что при. последовательном выполнении этих процедур корректность постановки задачи достигается автоматически.!) терминах интегральных уравнений это означает,что учет статистических свойств исходной информации и искомого решения в рамках предлояенного; двухступенчатого алгоритма естест- ' венным образом трансформирует некорректное интегральное уравнение I рода относительно'искомой функции в корректное уравнение II рода. 'На основе развитого подхода получены уравнения теплопроводности для статистических средних значений температур,отличающиеся от известных тем,что вместо произвольного малого параметра регуляризации они содержат статистическую характеристику (дисперсию) случайного параметра.Постановки'.ОЗТ на основе этих уравнений, обладают свойством- корректности.В рамках предложенного метода получены интегральные уравнения II рода,регуляризтлрупще решения ОЗТ для определе--шя твплофизических свойств,граничных условий теплообмена и внутренних источников теплоты.

Получено выражение для плотности теплового потока.учитывающее влияние неизотормичности тешгоотдапцей поверхности и ее статистическую характеристику.

Разработаны методы регуляризации решешЯ' некорректной негипер-

бошческсы: системы уравнений баротропного нестационарного двухфазного потока-.путем приведения матрицы ее коэффициентов к эрмитовой Форме и сведением к краевой задаче для параболической системы осредненшх уравнений.

Практпчаекая..значимость. Разработанный метод решения ОЗТ дает возможность единого подхода к различным задачам по определению топлофйзических параметров:

- вычисления первой и второй производных от измеряемых температур, необходимость в которых часто возникает при обработав данных теплофиоичеекдх экспериментов;

- определения теплоФизических свойств веществ вообще и,в частности, как сопутствующих исследованию термической стойкости огнеупорных материалов,каленного литья и различных деструктирушцих материалов;

- определения граничных условий (тепловой нагрузки),включая су-, щественно неизотермические поверхности теплообмена. Разработанные методы устойчивого решения системы уравнений баротропного двухфазного потока позволяют построить эффективный алгоритм численной реализации задачи,повысить точность и наленнссть теплогвдравжческих расчетов параметров двухфазного потока в паро-генерирущих каналах.

Реализация результатов. Результаты работы использованы для уточненного определения теплофизических свойств корундовых и шамотных огнеупорных материалов при исследованиях их термической стойкости, проводившихся в Институте проблем прочности АН Украины.Определены тепловые нагрузки в головке цилиндра автомобильного двигателя Ярославского моторного завода для разработки технологии их.ремонта (совместно с Киевским автоиобилыю-доролшым институтом).По заданию

Украинской сельхозакадемии определена теплопроводность ряда теплоизоляционных материалов,используемых для уменьшения тепловых по- ■

терь в производственных помещениях.

Автор защищает:

- стохастический подход к постановке и решению некорректных обратных задач тешгопереноса и негиперболической системы уравнений баротропного двухфазного потока;

- метод решение некорректных задач,включающий последовательные процедуры стохастической аппроксимации случайных параметров модели и-статистического осреднения полученных стохастических уравнений по реализациям случайных параметров;

- уравнения теплопроводности гиперболического и бигармонического типов для средних значений температурных полей,на основе которых постановки ОЗТ оказываются корректными;

- стохастическое преобразование Лапласа случайной функции,эквивалентное процедуре статистического осреднения ее соответствующего Функционала;

- интегральные уравнения II рода относительно средних значений искомых Функций ,регул**ризирукяцие решения ОЗТ;

- стохастический подход к оценке влияния неизотершчности тепло. отдающей поверхности на плотность теплового потока;

- методы устранения некорректности негиперболической системы уравнений баротропного двухфазного потока:сведение матрицы ее коэффициентов к эрмитовой форме и приближение краевой задачи для полученной системы параболических уравнений относительно средних значений-искомых параметров потока.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы доложены на: 1У и У' Всесоюзных конференциях по тепломассооб-

мену (Минск,1972,1976),Всесоюзном семинаре "Математическое моделирование на сплошных к дискретных срздах" (КЕев,1972).Всесоюзном семинаре "Обратные задачи теплопроводности и обработка данных теплового эксперимента" (Москва,I974)Международной конференции по теплообмену (Торонто.Канада,1978) .Всесоюзной конференции "Обратные задачи.идентификация процессов теплообмена" (Москва,1982), Всесоюзной конференции "Методы и средства машинной диагностики" (Харьков,1983), I Всесоюзной конференции "Многослойные сварные конструкции и трубы" (Киев,1982).Международной школе-семинаре "Математические модели,аналитические и численные методы в теории переноса" (Минск,1982) .Международной школе-семинаре"Тепло-и мас-сообмен в технологии .и эксплуатации электронных и микроэлектронных систем" (Минск,1989),УП1 Всесоюзной конференции "Двухфазный поток в энергетических машинах и аппаратах" (Ленинград,1990).

Публикации. Основное содержание диссертационной работы опубликовано в 12 статьях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, . шести глав и заключения.изложена на 200 страницах текста,содержит 42 рисунка и список литературы из 190 наименований.всего 262 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко освещена степень разработанности проблемы к настоящему времени.обоснована актуальность выполненных исследо-ваний.Кзложена целевая установка ^определены задачи и назначение работы.

Первая глава посвящена краткому обзору и анализу подходов и метопов решения обратных задач теплопереноса.Выделены наиболее

важные работы и результаты принципиального характера.касахадиеся целей данной работы и вопросов,в той или иной мере затронутых в ней.Прежде всего это касается работ,в которых используется вероятностный (статистический) подход к решению некорректных задач. Наряду о этим проанализирован уровень и характер использования математических моделей и исходной информации в развитых классических методах решения ОЗТ ^работы О.М.Алифанова.Л.А.Коздоба, Ю.М.Мацевитого,Н.И.Никитенко и др.).Известной,с математической точки зрения,особенностью ОЗТ является неустойчивость их решений относительно ошибок измерений .Физическим эквивалентом этой особенности является значительная неопределенность искомых решений и вытекавдая из не.е проблема различимости и выделения "физичоских" реазний.Оказалось,что возможность чисто математическими средствами исключить или,по крайней мере,существенно сократить неопределенность весьма ограничена.В 70-е годы сформировалось представление о том,что перечисленные выше проблемы так или иначе связаны с проблемой интерпретации и использования информации.доставляемой в ходе физического эксперимента.В. целом таким образом,трудности классических методов решения некорректных задач связывались с проблемой представления и эффективного использования дополнительной нетривиальной информации о классе искомых решений и,особенно,исходных данных.Это обстоятельство в какой-то мере объясняется тем, что классические методы решения некорректных задач базируются.на мощном аппарате функционального анализа и теории множеств,предназначенном для решения прямых задач,где,как известно,проблема дополнительной информации,связанной с физическими изменениями,не столь актуальна.Названным методам присущ чисто .иетерминитювашшй подход,если не принимать во внимание естественное во всех методах

• стремление связать погрешность решения с ошибками исходных данных.

Стремление преополеть "информационную ограниченность",присущую тгетершнированнш постановкам и методам решения обратных задач,привело к развитию направления и методов,базирующихся на, более глубоких представлениях о вероятностной природе математических моделей.результатов-измерений и.искомых решений.Едва ли-не единственными представителями стохастического направления в решении обратных задач являются развитые методы статистической регуляризации (работы В.Ф.Турчина и его сотрудников) и оптимальной динамической фильтрации (работы Ю.М.Мацевит :о,Д.Ф.Симбирского,О.М. Алифанова).Однако эти методы можно отнес™ к стохастическим лишь в узком смысле,так как они базируются на детерминированных математических моделям теплопереноса.а элементы стохастичности состоят только во введении плотности вероятностей искомого решения и случайном характере ошибок измерений.Между тем очевидно,что все параметры математической модели,как теплофизические (температура, теплофизические свойства),так и пространственно-временные (координаты ,время) по своей природе являются стохастическими.Действительно,обратные задачи теплопереноса являются по существу задачами обработки теплофизических измерений,неизбежно содержащих случайные компоненты,то есть имеющих стохастический характер.Поэтому используемые для решения 031' математические модели являются по существу стохастическими.

Именно такая расширительная, интерпретация стохастичности уравнений теплопроводности и нестационарных двухфазных потоков теплоносителей положена в основу предложенного подхода к решению некорректных 03Г и систем уравнений движения двухфазных сред.

Вторая глава посвящена обоснованию, стохастического подхода к

решению ОЗГ,стохастической аппроксимации к осюолнению уравнения теплотювоттности,построению операторов,рвгуляризируэдих решения ОЗГ.Развиваемый' в работе подход стохастической аппроксимации уравнений переноса и осреднения его Функционалов базируется на фундаментальном свойстве'физических явлений - случайных Флуктуациях характеризующих их параметров. С флуктуационными эффектами традиционно связан обширней круг задач статистической физики.В феноменологической теории теплопереноса эти эффекты как неопределякщие высших порядков малости,как правило.остаются аа рамками интереса. В частности,а нестационарных процессах теплопроводности и диффузии, описываемых уравнениями параболического типа.флуктуадиошше явления могут рассматриваться как модельные представления,практически не влияющие, на результат решения .прямых задач.

Совершенно иная ситуация возникает при решении обратных за-дач.Здесь.как известно,малые отклонения (флуктуации) результатов решения прямой задачи (экспериментальных, данных) могут приводить к большим отклонениям искомых репаний.Именно на ..этом факте существенного влияния малых отклонений в обратных задачах базируется идея тэаботы: на основе флуктуация некоторых параметров уравнений переноса построить метод решения обратных задач,подавляющий развитие неустойчивости.По существу этот метод основан на разложении решения обратной задачи по малому параметру,связанному со статистическими характеристиками флуктуирующих параметров и о ошибками экспериментальных данных.Полученнне ниже малые параметры в терминах классического метода регуляризации имеют смысл параметра ре-гулятазации.Таким образом.решения ОЗГ сводятся к получению и реализации регуляризирукщих операторов.допускающих корректнее постановки этих задач.

Процедура стохастической аппроксимации уравнения переноса состоит во введении в него случайных величин или функций (процессов). В общем случав уравнение переноса - квазилинейное,но поскольку при решении 031' температурные поля (или их фрагменты) считаются известными,квазилинейное уравнение может, бкть записано в линейное форме

где функции с {Х,^)^^,^) поставлены в соответствие зависимостям с ( 7" ), А (7") по экспериментальным пространственно-временным данным о температурах. Запись (I) не предполагает решения этого уравнения,а лишь использование его функционалов от экспериментальных температур для построения решения 03Т.В общем случае случайной величиной или функцией (процессом) могут быть все параметры,входящие в уравнение (I):случайные зеличины координат X .времени Ь ,случайте поля или процессы С ( х , 'Ь ), А ( X* , £ ), 7" ( X*, £ ).В случае статистической зависимости только, от воемени .последние той паоаметоа описываются случайными шюцессаМи.Выбор стоматического параметра в уравнении (I) опоеле-ляется типом поставленной ОЗТ.Стохастические параметш представи-мы сушой осредненного и случайного (флуктуирующего) слагаемых

с корреляционными Функциями (х^-Ь^)... 8$ (хп, .В слу-

чае корреляции только по времени Ь имеем корреляционные Функции случайных процессов •(£ ? (х, -¿,)... (?, «с точки зрения

эксперимента флуктуации 3 X , $ ё можно интерпретировать соответственно как случайные ошибки в координатах установи! термолат-чиков и в отсчетах времени при измерениях температур,описываемые некоторым распределением их вероятностей.Стохастические параметры С , Л могут коррелировать, с независимыми переменными -V , t и с температурой.Взаимная корреляция меяпу С и А отсутствует. С экспериментальной точки зрения случайные компоненты параметров

С , X обусловлены случайными ошибками измерений температур. Стохастический параметр Т можно рассматривать-как случайное поле с корреляционной Функцией ьп ) > либо как случайный процесс с корреляционной функцией (х, $Г (х, íя.)У «В отладив от стохастических, параметров - независимых переменных-. X , Ь .флуктуации которых обусловлены случайными ошибками пространственно-временных измерений,случайный характер темперг-туры имеет альтернативную обусловленность.Действительно, случайный характёр температуры может быть обусловлен ео статистической связью как со случайными функциями С ( х , ? ), А (* , ^ ), так'и со случайными величинами независимых переменных X , t , В реальных ситуациях параметры х , £ , С , Д в силу погрешности их определения имеют случайную компоненту.поэтому в общем случае экспериментальное температурное поле можно рассматривать как случайное,испытавшее воздействие всех случайных параметров.

При математической постановке ОЗТ ситуация иная,здесь выбор стохастического параметра обусловлен постановкой задачи и зависит от искомой функции С .С , А , ф , Т ).В этой ситуации случайная температура интерпретируется как результат воздействия на детерминированную температуру одной (или двух) случайных величин (функций).При этом остальные параметры задачи полагаются детерминлро-

ванными ("замороженными") и статистическая связь между ними и температурой отсутствует.Приведено качественное обоснование гауссов-ского характера распределения случайных ошибок (флуктуаций) про- . ■странствянно-временных и температурных измерений.Показано,что статистическое распределение случайных флуктуаций может быть описано в приближении 6 - коррелированного процесса.Для гауссовского $ - коррелированного во времени 1фоцесса } С £ ) корреляционная функция имеет вид

Введем в уравнение II) случайные гаусоовские 8 - коррелированные поля £ (.*",£), А ( ;Г, £ ) со средними значениями < , и корреляционными Функциями

Далее осрэдним полученное стохастическое уравнение по реализациям случайных полей И ( * , ) ,имея в виду ,что С а

<с>+/с , А = <л>+/А , Г=<г>+/7" ,тогда

и ^

где V = (**,£ ) и принято у3 = I.Задача нахождения уравнения

для средних сначекнй температур < Т > «-•. г стохастически нелинейна, так как непосредственное осреднение уравнения CI) шжгота.т ■ к появления в осреднением уравнении (4) членов типа </.г ^ dt} , </Л 3$Г/Г/7 )> .Расщепляя эти статистические нелинейности по Формуле ФуоутпугЫоиакоЕа и вычислив Функциональные производные с учетом корреляционных функций (2) ,СЗ),получаем замьнутыз уравнения для-средних значений теми.оатур

_ 2. ~ *

где ос , - дисперсии соответственно упе^кой теплоемкости и теплопроводности.Таким образом,стохастическая аппроксимация параметров уравнения теплопроводности и его статистическое осреднение по их реализация!.'i приводит к качественному изменению математической модели.Имонно:случайная функция С (при "згморокзкном" к , &к =0

) приводит к уразнекига гиперболического тина (5) случайная Функция А ( при "зах'.орокеклой"' С , $ с = О ). - г уравнению бигармокяческого типа по пространственной переменной (6/. Уравнения (5),(6) приводят к корректной постановке соответственно граничной' ОЗГ и задачи обращения отсчета времена.Ста уравнения Формально эквивалентны уравнениям в методе М.М.Лаврентьева п в методе квазиобращения.ко.в отличие от них,содержат вполне определенные параметры регуляризации 6"с , 6"/ .На основе уравнения (5) получено выражение для средней плотности теа.озого потока. 0.

* * — t

-т*'*-*

z f

♦ e б*

t X * '

9 О

(7)

2 J-z -•

гле - 2 5C jс , , £t - пространственная и временная нроизводнне ст Функции улелыюй теплоемкости, С * ) - начальное распределение температур.Полагая з (7) с =■ const .получаем интегральное уравн-ние Волхтерра II рода относительно средней пло-. тности теплового потока (f,

t х

<л £ - (V и')ар = с (г- гн)с(х' с о

Второе направление для получения регуляризпрувдкх операторов предполагает статистическое осреднение Функционалов уравнения теплопроводности,возникающих при его интегрировании по случайным независимым переменным £ « £ + /£ , X = х X , • = XУ = 0.Статистическое осреднение функционалов типа * ь

• о 0

по реализациям случайных флуктуацпй ВЬ , $Х .списываемых гаус-

совсга?» 3' - коррелированным процессом,дазт выражения для их ' средних ваачен^й

(8)

15 .

(9)

(10)

Выпале кия ила (9), (10) могут быть получены о" помощью предложенного в работе стохастического преобразований..Лапласа,означающего на"ождокке изображения среднего значения случайной функцгч. времени / ( Ь 5. Полагал,что t ^ I ít % / + , причем St { £ ) - гауссовский $ - коррелированный процесс о корреляционной функцией .

получаем связь между изображе-ием произвольной детерминирована 1 Функции / ( 5 ) и изображением соответствующей эй осредненной случайной функции £ ( 5 ) в линейном а квадратичнш приилижени-. ях разложения экспоненты флуктуаггий по 5 Ь

Н*) - (< - б-/в) / (*) (II)

ф)гг(>) (12)

где о^ - дисперсия отсчета времени, 5 - параметр преобразования Лапласа.Показано,что стохастическое преобразовали Лапласа случайной функции эквивалентно процедуре статистического осреднения ее соответствующего функционала.На основе выражений (9)-(12) построены регуляризирозан"че решения классической задачи о впчис-

<я> = уу*' + в-/ $

< ФУ - j ? еН' + б** £

о

лекии производных,часто возникающей при.обработке данных теплофя-.

зг.ческих экспериментов.Получены интегральные уравнения Вольтерра

II рода относительно средних значений искомых первой и второй про-г ' . п

изводкых / у , / х .решения которых даит регуляразированные. выражения ДЛЯ ИХ ВК'ЧСДеНЛЯ

У

тх (х) = (Л | и ( х ) - ОС | и Сх') €хр [-*. (х-хУ] с/х '| (13)

о

X

Г

о

X

+ ] и (х') {х-х') схр Сх-хУ]с//1 (14)

гге - , и ( X ) - приближенное значение известной функции (данные измерений).Поне-пни сходимость и устойчивость выражений (13),(14),даны оценки их точности пси возмущении точных исходных паншх случайная нормально распределенными числами.

Регуляриэированным решением, исход-иол некорректной задачи предложено называть среднее по реаяизаци-я:л случайного параметра значение искомой функции,а интегральное, уравнение II рода относительно этого среднего значения - р е г у-ляризирупщим оператором.

О использованием результатов (10),(12) получена интегральная Форма ретрсспез гивной задачи на иэ уравнения (6),а более простым путем - статистическим осредкением уравнения (I) в одномерном при-сш:.\:зщи по реализациям случайного поля пространственной перемен-

"пой .Интегрируя это-уравнение по всемеки 'л дважда по координате .после замени переменкой в интеграле пол;,'част,: выражение * £ г

Г г г

] Сх-х У (г- Тн) *х'' = (р с)'1 | ] А (Г •) * г

о от

о

Приманим к нему стохастическое преобразование Лапласа з квадратичном приближешп?, (12).Тогда для температур,осреднении по реализациям случайного гауссовского д - коррелирова' .юго поля координат, после преобразований и перехода к оригиналам получаем интегральное .уравнение II рода относительно оерэднешюго начального распуеделе-

1ЕЯ ' Ти (X)

Тн ^ (х-х*;] Т„ (хУс//* Г

г г

.'; (т')Лт'аИ' (15;

о

г -1 г

где <><• = (¿ К* ) , - дисперсия измерения координат термодатчиков.

■Аналогичным образом получено уравнение .регуляразируицее решение 031 для определения функции теплопроводносж.Двухкрагное интегрирование уравнения (I) по координате и замена переменно.", под знаком интеграла гриводят к выражению ...

А^ТГ«'

То

Ссредкя°. ото равенство по реализациям случайного' гауссовского / -коррелированного поля температур,получаек интегральное уравнение II рола относительно осредаекной функции теплопроводности

г. _

ег л ♦

А -/с^Сх-х'/Ш

Тс . *

где ' - дисперсил экспериментальной температуры.К производной дг/дЬ в (16) следует применить регулягризирушщий ее вычисление" оператор типа (13).Получены решения обыкновенных дифференциальных уравнений относительно искомой функцим теплопроводности -

__ ^с (17)

Г/ Г/

г'

¿А + X -— ' (18) •

-Г (т;г / (т/Г

I и^.'

в которых для гахошгения производных Тх , Т„ , / ^ использованы регуляшзирущпе операторы (13)Д14).Еа основе полученных результатов выделены три метода решения 031':

- метод интегрального уравнения II рода: здесь искомые функции определяются решением интегрального уравнения II рода »исходные данные задаются в явном виде,под знаке»! интеграла (уравнения (7),(8)) или в комбинации обоих вариантов (уравнение (15)),

- прямой метод,или метод обращения модели «Искомые функции определяются непосредственно из уравнения теплопроводности по вычисленным значениям производных от исходных температур (уравнения (17),(18))

- смешанный (комбинированный) метод.З атом случае искомая функция

определяется решением интегрального уравнения II -рола,!""» исходные температуры находятся под знаком производной (уравнение (16)), к • которой применяется регуляризирувдкй оператор тепа (13).

Таким образом,варьирование выбора стохастических парам-'лэов, по которым производив т статистическое осредне"ке уравнения и его Функционалов,приводит к получению семейства регуляризируздих операторов .конкретная реализация-которых приведена з последующих глава« работы.

В третьей глазе приведены регуляризировакный ргжлая внутренних ОИ'.Показаны существование и единственности решений в интегральной Форме.Приведено нестрогое(эвристическое) доказательство единственности пары.искомых Функций теплопроводности" Л ( Г) и удельной теплоемкости £ ( Т ).Получены рогудкризированкые выражения для определения этих характеристик.

Интегрирование решения уравнения,(8) по координате,замена переменной под знаком интеграла и осреднение полученного выражения но реализациям случайных гауссозских ¿г - коррелированных флуктуации измеряемых температур привод г к интегральному уравнению II рсда ,для осреднонной функции Л

(..':•- г* »

■ X

т - ■ .""-.-

t 09

оС о -

t 09

-2 2

где J* = 6"г , б*г - дисперсия измеряемой температуры, Т* -начальное распределение температур, - известное начальное

('озперкое) значено теплопроводности .В комбинированном методе ограничение С - const может, быть снято.Двухкратнее интегрирование уравнения (I) по координате .золена переменной под знаком интеграла и осреднение полученного выражения по реализациям случайных ошибок измерений темпера^'р приводит к интегральному уравнению II рода относительно среднего значения йункции

?"ч оо

' {(Х-/Л' (20)

г

л

c+Aur)<f[~Aj-^*t' (2D

в отороы к производной 0тследует применить оператор типа

(13) .В отлтчие от теплопроводности для удельной теплоемкости не

удается получить интегральное уравнение вида (19),не содержащее

производных от у-мьряеглше темпьратур.Проинтегрировав уравнение (I)

по времени,после пооцедуры осреднения получаем уравнение.II рода

для осредненной функции уд льной теплоемкости ? г

Ад д Вт

#Х дX

т °

Для опр1 деления функции С ( Т ) ъ режа:: смешанного уравнения. (21) производные вычисляются по выражениям (13),(14).

Интегральная фор:,1а постановки задачи исключает возможность од- . повременного определения дары функций Л , с из одного уравне-1шя. Это ограничение снимается при формулировке задачи в виде'системы двух интегральных уравнений относительно Л и £ т

дт

А *} \l (f ')df ' --

J

1 at

т» * !

i

г

£

Г

С +

г

н

Для однозначной разрешимости. задачи в такой постановке задаются реперкно значегия Л м , Сн . •

Численная реализация полученных рзгуждажрованных выражении апробировалась.решением методических задач вычисления первой к второй производных от. функций "с возьупвнньа.®. исхс^каж данными.Ошибки измерений моделировались псевдослучайном нормально распределение-' ю; числам со стандарт®.!!! = 0,05 ц 0,10.Наибольшие относительные погрешности. вычислет-Я первой а второй производных -/.убической параболы и интеграла вероятностей состаьклк соответственно 0,036 а 0,18, 0,035 и 0,27.По такой же схеме решена методическая задача одновременного восстановления функций А \ Г ), с (, Г) из решения еистеги (.22) для углеродистой стали 08.В качос ве' ?еводаущен-шх экспериментальных дапшх использовалось решзкпэ щгмо)* задачи' по точны?,! справочным данным оД(Г), с { Т ). Значения дисперсий при вычислении производных составляли - 0,01, б*/" =0,01.

На рис.1,2 приведены сравнения точных справочных дрчннх А ( Г ), С { Т ) с результата!.® восстановления этих характеристик.Сделан вывод о том,что предложенный подход позволяет восстанавливать те-плофизическио свойства с-точностью,приемлемой для проведения тепло-фазичсских исследований материалов.

. По результатам экспериментального термометрирования определены теплофизическио свойства ряда материалов.!") опытным данным,полеченным в Институте проблем прочности АН Украины,определены теплопроводность и удельная теплоемкость огнеупорных материалов (рис.3,4).

рр

-ч

41

33 25

к 1 \ * 1- ; - - ! 1' ' ; 1 ■

я 1 ; | '

\\ \ '1

.. ■ v-\\ :

• ч

iv.-| 1 1 ' 1

•373 773

1173

т,к

Рис.1 Точная (сплошная линия) и восстановленные зависимости/ тсплощюводкости Д ( Г ) стали 08: б"х = ОД (штрихпу-нктар), б'* =0,05 б"* =0,05 (пунктир)

г ■

•37а- 773

Рис.2 Точная (сплошная линия) и восстановленные зависимости у долькой теплоемкости стали 08: б"* = 0,1, <5^ = 0,1 (итрнзшукктир), б'х =0,05, - 0,05 (пу:!ктнр)

я

10

5.

г- — _ 1 "Г"1

1'

ч | 1 1 ! !

% ; -

г

4 1

473 673 273

Т,К

Еио.З Теплопроводность огнеупорных материалов:1-усредненнне литературные данные для корунда {1% пористости),2,3,4-полученше данные для корунда (Г> пористости) .корувда с нулевой пористостью и шамота пористости)

0,9 Д73. 673 873

Т, К

Рис.4 Удельная теплоемкость огнеупорных материалов: 1-"орунд (1$ пористости) ,2-шамот (30/) ,2-то же (данные электро-мрдёлировапия),3-корунд нулевой пористости,4-памот

Относительное расхождение полученных результатов' с литератур-.:шк дащглш. не превышает + 0,15.Учитывая,что разброс значений /1 и С для близких по составу материалов в литературе значителен (до 5QS) .можно полагать такую точность восстановления удовлзтворительной.

По экспериментальному температурному полю,полученному в Институте проблем литья All Украины при затвердевании каменного базальтового литья,оиредел'яы fro теплофпзнческле свойства (ркс.5,6)в диапазоне температур 873. ..1625 К.^толь высокий галщий пргг">л дк-а-азока объясняется тем,ч:о прнтзмпература;: шжз 873 К при свободном dcTUEaiasa в песчаной форме отливка растрескивается.Падение теплопроводности каменного литья при температурах выез 1173 К. связано »по-видимому процессом размягчения стеклообразной фазы.Отсутствие в литературе данных о тешюфазпческих свойствах базальтового литья не позволило сравни .ь полулешшс зависимости А ( Т ), с{Т) с данными доугих автовов.Оценки точности эаих зависимостей получены путем сравнения результатов решения прямых задач по ^айдешшм свойства!,; с экспериментальными данными для других отливок из того, но материала.Наибольшее расхождение результатов решения прямой задачи и опытных даышх наблюдается в двухфазной области и составило 0,018 максимальной температуры и 0,025 ее локального значения.По экспериментальным температурам (данные ШАМ) .подученным при натурных .испытаниях теплозащитного материала - деструктируидего стеклопластика,были восстановлены его эффективные характеристики тепло-пзреноса.Из-за отсутс-вия сопоставимых данных по Л к С крите- : рием достоверности восстановленных свойств считалось решение по ним прямой задачи п ставненис ее результатов с опытными данными для других образцов того ;.:с материала.Опрелеленк теплофизнчесгае свойства ряка теплоизоляцконинх катеопалов (опилки.костра льна).

Б73

1073 1273 1473" Т,К

Ряс.5 Теплопроводность базальта щм затвердевании. Пунктирной линией покараны данные электромо-• делировакия

и

Гке.6 Э&Твктйзкаа удельная теплоемкость' базальта при загаердзвакщ.11у:1ктарисй линией показаны дамннз электроколелигсг-акея

^ четвертой главе получены выражения,регуляризирувдие решения .граничных ОЬТ.Рассмотрены условия корректности в смысле Тихонова, лриведоно доказательство существования и единственности решения нелинейной граничной ОЭТ в постановке Веймана.Получено регуляризирунцее1 , яыражанио для восстановления граничной температуры. Цроинтегрировав . у'оавнеше (I) по времени и дважды по координате и осреднив, полученное по реализациям случайных гауссовских â - коррелированных флу-ктушшй времени,получаем для осредненной температуры поверхности Тс интегральное уравнение' II рода

г

. о

х

-1 &

(х-х4(г-г„;л' (23)

где с< = б^"2 , 6Г - дисперсия отсчета времени, Т„ - начальное распределение темдератур.Интегральное представление граничной СО? I рода допускает более общую постановку при С =» С ( Т ).Полагая при X = О адиабатическую-поверхность с известной температурой Та ,дщ1 искомой температуры поверхности ( X ~ / ),получаем глрегуляряаировшшое выражение •■•'.'

6 ' ' '' -

Л - Г... Г'

{S-x)ù~dx (24)

ât

в котором для вычисления производной дг/следует применить регуляризирувдий оператор (13)..

Дш: решенря граничных ОЗТ II рода получены рогуляризированнке выражения (7),'(8).Структура уравнения тегшшроводаостп в виде

С (¿Г/сИ) ~ ¿у, /<?х = 0 ,в отладив от граничной ОЗТ I рола, более удобна для определения плотности теплового потока ^ .Так, непосредственное интегрирование этого уравнения по координате в случае тепловой симметрии дает простое выражение для опрэделения £ на поверхности теплообмена X = Я

к

о

Используя для вычисления прозводной выражение (±3),получаем я t

Ф = с(

К

с\т-с< ^Г егр[.ы (¡-¿'¿/¿¿'¡¿х

(25)

где и = .Преимущество выражения (25) перед вычислением щл--

мым диффевенцироБанием ( £ = А (дТ/Эх')) состоит втом ,что иск.тл-чается один из источников погрешностей ( <1 ) и,кроме этог.о.измерение временной-зависимости температуры Т ( £),как известно,выполняется значительно точнее,чем пространственное измерение Т С х )• Для оценки точности восстановления £ по выражению (25) решена методическая задача определения (¡, ■ по возмущенным результатам решения прямой задачи с заданной плотностью теплового потока.Наибол!»--шей относительной ошибке "измерения",равной 0,12,соответствует,погрешность восстановления' £ ,равная 0,19.

В ¡приближении лзотергачности поверхности теплообмена получено интегральное уравнение II рода для оергдпенного ко&ффашента теп-, лоотдачи с< ( £ ) на боковых поверхностях плоской пластины (-/4 х < в , О С У < £ , - СО < г < оо )

-/.. р i * (у,у,^ -,.,,.> ,

Г г 5 *

0 0

. Г Г ¿г

о о

У=о

лгдо' Г

(26)

д Г = 7% ( У , £ ) - - ТУ ( С. ) - темспартуриый напор»индексы. гп" к "с" относят температуру к поверхности и окружающей среде. Уравнек;о (26) справедливо для. постоянных Л , С ,осл;1 теплофи--аачоскир свойства - функции хоордшат.вромени или температуры, задача у слсшяегся: необходимо адпрсхсиудровать их для вычисления производных /Зх , ¿¿Ш , &/¿>Г .В одномерной постановке инте. гральмоо уравнение II рода дяя осроднанного коэффициента теплоотдачи ( £ ) имеет вид , -

ь . V: ,

ь .

где.для вычисления производных дт/дх, $r/3t применяется выражение ИЗ). . •

Соотношения для oi (28) ,(27) получены в приближения класси- • ческо/'о граничного условия III рода .предполагающего не зависимость ^ от распределения тем...ператур на границе раздела.Для ряда задач конвективного теплообмена такое приближение не приводит к существенным погрешностями его точности достаточно при решении практических задач для различных энергетических устройств с конвективным теплообменом.Совершенно иная ситуация возникает,когда граничная поверхность теплообмена неизотершчня.Известно,ч^'о в этом случае использование коэффициента теплоотдачи для изотермической поверхности приводят не только к большим погрешностям,но и к качественно неправильным результатам.Поэтому точные результата в задачах с существенно неизотершческими поверхностями теплообмена могут быть получены только при постновке таких задач -сок сопря- , кбнкых в смысле граничных условий 1У рода.Искомыми в этих задпчах являются распределение температур Т„ ( У , t ) и плотности теплового потока ( if , t ) на неизотермической поверхности теплообмена,причем (J, ' описывается известным рядом

\ с— d J

п = 1 J

где - коэффициент теплоотдачи для изотермической поверхности, дГ - температурный напор, = ( -I (- I.), ' / - Фун-

кция влияния необогреваемого у часта я. При решении обратной задачи', восстянозлеппя ty температуры цеизотермичеспой поверхности считаются известная (измеренными) и определение суп равносильно решении ОЗГ для эквивалентной задачи теплопроводности,к которсл мо-

я«-? быть сведена сопряженная задача.Предполагая именно такой подход,проинтегрируем нестационарное двухмерное уравнение теплопроводности по координате X [ О, В]

<?У ¿X

(29)

где : ^ ( У , £.) » о< С У , ^ )• Л Г( У , £ ), о( - неиэотер-г.'ичаский коэффициент теплоотдачи.Показано,что статистическая корреляция между ^ в случайной величиной координаты вдоль по Потоку У качественно эквивалентна, влиянию неиэотермичности на .. Поскольку функция £ входит в выражение (29) в виде свободного, члена,для зацеплввдя ее со статистической величиной У проинтегрируем это выражение по координате у и $ у

дг

11

о о

"У"

(31)

с * ; • - - • .

Осредняя второй интнграл в (Ш)по реализациям случайных флуктуа-ций координаты 5у с произвольным распределением вероятностей к дифференцируя полученное' выражение по у .получаем выражение

е.

дг

* ■

ь е

гла К- кумулянты случайной величины флуктуаций (ошибок отсчета) ¡Ту .Полагая Ы. = с( * .получаем в круглых скобках выражение .аналогичное известному (28).Для гауссовской случайной величины имеем

оо . л _ _

<о<дг^> = «<лг + У (гп^)Я ^ д (33)

^ ^ у

л»/

Таким образом,учет статистической зависимости между плотностью . теплового потока и случайными флуктуациями координаты неизотерми-чес эй поверхности приводит назависимым от известного путем к выводу о влиянии градиента температур на ' .Статистический подход к влиянию неизотермичности и результат (33) позволили также установить еще один физический аспект этого влияния:оно является немарковским процессом,то есть процессом с последействием:все. последующие (вниз по потоку) значения ( У , ¿) зависят от предыдущих (выше по потоку).

Предложенный подход для восстановления плотности теплового по. тока на граничной поверхности теплообмена реализован применительно к охлаждению цилиндрических образцов из стали Н8К9Т в различных 1 охлаждающих средах.В качестве последних использовались водополямер-ныэ среды с различной' концентрацией полимерных добавок: по ли акрил-амида ,полиэтиленоксвда,полифосфата,соли полиакриловой кислоты и , натрий-целлюдозы.Из традиционных охлаждающих сред применялось масло И-40.Для восстановления £ по экспериментальным- данным,предоставленным Н.И.Кобаско (ИТТО АН Украины).использовалось выражение (25) в цилиндрической системе коорданат.На рис.7 показаны типичные экспериментальные данные об изменении темепратур при охлаждении образца в водополимерной среде (0,3 % полиэтиленсксида).

Соответствующая восстановленная плотность теплового потока О, ' на охлаждаемой поверхности приведена на рко.8. На ркс.9,10 показам! закономерности изменения при.концентрации полиэтилен- ■ оксида соответственно 1% и 0,1 % .Видно,что зависимость $ ( t ) ылоег осциллирующий характер,причем интенсивность теплоотдачи в моменты времени,достаточно далекие от начального,ко2ет достигать -шачаний .характерных для начала процесса.Крупномасштабкые флуктуации потока,как известно,связаны со женой режима кипения:разрушьте паровой пленки и образование ансамбля паровых пузырьков соответствует переходу от пленочного к пузырьковому режиму кипения. Такой характер восстановленной плотности теплового потока подтверждается результатами исследований Sensi 2 . Ц ., Sbitcslbei'ger -Jakob Р . »которые изучали временную зависимость электропроводимости между охлаждаемым образцом и электродом (ванной).связанную с циклическими переходами от пленочного режима кипения к пузырьковому. На. рис.П показано изменеиие электропроводимости,связанное с многократной сменой режима кипения з водополимерных растворах. Авторы объясняют осциллируицкй характер изменения электропроводимости внезапным переходом от пленочного кипения к пузырьковому, после чего возникает- новая фаза пленочного кипения,причем тако-i процесс может повторяться многократно.Кз сопоставление результатов этих авторов с характером восстановленной интенсивности теплоотдачи молшо сделать вывод о наличии корреляции между крупномасштабными флуктуацнями электропроводимости и плотностью теплового .потока.Обнаружено наличие мелкомасштабных флуктуаций. ^ ( t ) на нисходяцой ветви крупномасштабной флуктуации (рис.9).Такой характер изменения интенсивности теплоотдачи,при котором ветвь крупномасштабной флуктуации потока является носителем мелкомасштабных

т,к

943 723

498

20

40

60 t, с

Рис.7 Экспериментальные распределения температур в образце,охлаждаемом в водополимерной среде (0,3 ^ полиэтиленоксида):1-поверхность, 2-центр

С

м

ia

20

40 t, с

Pec.8 Плотность теплового потока на поверхности образца, охлаждаемого в водополимерной среде (0,2 % полиэта-леноксида).Цркятитшоа линией показанк значения,полученное по сг.".аж«нн5лл <йлл»*гкентальнк:.: аа'тшгал

Рис.9 Плотность теплового потока на поверхности.образца, охлаждаемого в водополимврной среде (1#/полиэтилен- ■ оксида).Пунктирной линией показаны значения,полученные по сглаканным эксповиментальным данным

Рис.10 Плотность теплового потока на поверхности образца, охлаждаемого в водололкмерной среде (0,1$ полиэти-леноксида).Пунктирной линией показаны значения.полученные по сглаженным экспериментальным данным

и

ЧУ

Ь.с

Рис.IX Изменение электропроводимости охлаждающей среды,связанное с многократной сменой режима кипения в водных полимерных растворах С по данным Топа! н.к. ,ЗЪ1Ьге1Ъог2<;г-^аЪ:оЪ У.)

«

и

2

10 20 30 t,c

Риз.12 Временная зависимость коэффшзшнта теплоотдачи на поверхности образца,охлагдаемсго в бозэпо;з1-мзрЕОЙ (0,3 ■/, поляэткленоксида)

флуктуапкй,можно объяснить затягиванием процесса охлопывания пузырьков и образования паровой пленки.Показано,что необоснованное сглаживание экспериментальных температур на поверхности образца пли. воды к потере информации о существенной особенности изменения интенсивности теплоотдачи - ее колебательного характерами з сопоставления сглаженных и несглажснных экспериментальных температур сделан вывод о возможности не только реэких количественных отличий интенсивности теплоотдачи,но и потери информации о ее качественном характере.По восстановленной плотности теплового потока получена Временная зависимость коэффициента теплоотдачи о( ( Ь ) в области капания.Температурный иапор определялся как разность между температурами поверхности и насыщения.На рис.12 приведен результат определения «К ( £ ) при охлаждении образца в водопсшмерной среде с добавкой 0,3 £ полиэтиленоксида.. .

Пятая глава посвящена регуляризации решения ретроспективной ОЗГ и восстановлению функции внутреннего источника теплоты.Показано, что решение ретроспективной задачи на основе уравнения (6) Для среднего значения Функции начального распределения сопряжено со значительным объемом'вычислений при реализации конечно-разностного алгоритма.Поэтому получена более удобная для вычислений интегральная форма задачи.(15).Решение этого ураваения при заданном «сродненном температурном поле Г (*,£*) имеет вид

4*-

Г„ (*.) - г & О -« [ \fcii - 2« | | Г.

о оо

ехр[- »('сН 11 (х-х')Г ехр[-Ы (х-х^с/х'с/Ь -

о о

Г

- (V-

тв Л (34)

. г.

где . = 6"х , б"х - дисперсия отсчета координат термодатчиков.' Показано,что идентичное (34) выражение получается после интегрирования линейного варианта уравнения (I) по времени и применения к производной регуляризиругацего выражения (14).Решена

методическая задача восстановления начального распределения по возмущенным исходным данкш.Наибольшие относительные отклонения восстановленного начального распределения от точного при дисперсиях

б"** = 4'10г"4, 6"хг = 25'М-4 составили соответственно 0,035 и 0,19.

Функция источника И/ входит в уравнение теплопроводчости в явном виде»поэтому не удается построить интегральное уравнение относительно № ,не содержащее 'производных от измеряемых температур. Рассмотрены две задачи восстановления фуакции источника,зависящего от координат или времени .Интегриоуя уравнение С (-

(Д дт/дх) - ¡у =0 по координате и полагая = 0 , получаем

д X

0 0

Осредняя последний интеграл по реализациям случайных оыабок отсчета координат,получаем для определения осредненной функции источника IV ( X ) интегральное уравнение II рода

" л

\у + * = Ы | \c2Ldx-K

77 (35)

2

-г г

где » о х , ох - дисперсия отсчета координат термодатчиков.'

В случае V/ = ( ^ ) интегрирование уравнения теплопроводности по времени и осреднение интегрела от источника по реализациям случайных ошибок отсчета времени дает для определения осреднен-

ной функции источника V/ ( Ь ) интегральное уравнение II рода

* *

(36)

<?х ах J

о

где = , (Г.* - дисперсия отсчета времени при фиксировании экспериментальных температур .Из сравнения уравнений (35) и (36) видно,что точность восстановления функции ( х ) выше,чем IV (£), так как в последнем случае необходимо -вычисление производной Решена методическая задача восстановления функции источника w ^,t) похвозмущенным исходным точным данным.Наибольшее относительное отклонение восстановленных значений ^ ( £ ) от точных У ( £ ) при 2

значении ,дисперсии = 0,025 не превышает С,14.

В шестой главе получены регуляризированные решения некорректной задачи для негиперболической системы уравнений баротропного двухфазного потока теплоносителя.Известно.что полная система уравнений двухжидкостной модели двухфазного потока гиперболична.Различные упрощающие физические допущения приводят к моделям о "патологией", связанной,е частности,с потерей гиперболичности основной системы,появлением комплексно-сопряженных характеристических направлений, некорректноотьп задачи Коши и,как следствие,с развитием неустойчивости решений.Наиболее типичной.и распространненой моделью такого типа является двухжидкостная модель баротропного двухфазного потока,базирующаяся на гипотезе о равенстве давлений Фаз.Кажущееся естественным обращение к модели с неравными давле-

шш требует знания радиуса кривизны межфазной границы в реальных двухфазных потоках.Именно из-за.отсутствия достоверной информации об этом параметре модель неравных давлений для приложений практически не испольэуется.Таким образом.вынужденный отказ от'использования полной системы уравнений и низкая точность гомогенной равновесной модели стимулировали поиск возможностей решения проблемы негиперболичности.баротропнсго двухфазного потока.

Идея регуляризации негиперболической системы основана на существовании в двухфазных потоках пространственно-временных флукту-аций их параметров и возможности использовать нетривиальную процедуру статистического осреднения,учитывающего стохастический характер флуктуаций.Известно.что во многих физических задачах процессы изменения параметров можно рассматривать в приближении дельта-коррелированных случайных процессов (полей).Применительно к газожидкостным потоком тачая аппроксимация флуктуирующих параметров имеет достаточно ясную 'физическую природу:спонтанные процессы обраэовашш пузырей,их разрушение,образование паровых пленок можно трактовать как скачки статистических средних значений.параметров для рассматриваемых дельта-коррелирозаншх процессов.Суть идеи регуляризации состоит в "исправлении" несимметрической матрицы баротропнол систеш путем приведения ее к симметрической (эрмитовой ) форме либо в сведении задачи к параболической смстс;'.е,для которой ставится краевая задача.

Первая из этих возможностей реализуется в двух вариантах путем стохастической аппроксимации скорости распространения акустических возмущений в фазах С г- = I - жидкая фаза, с = 2 -газовая фаза) и плотности газовой (паровой) фазы

+ <Ч- (х) А =<?*> +

о корреляддонныш функциями

О,- = е>*. -

<*А М > - * * (*<" ь)

где д - мнимая единица. Первая из этих аппроксимаций .предполагает корреляцию между и объемной концентрацией фаз У; .вторая -между плотностью и давлением Р2 газовой фазы.Осродняя уравнения системы баротропного потока по реализациям олучайннх флуктуация и после преобразований получаем системы .матрицы которых имеют симметрическую (эрмитову) форму.характеристические направления их,как извеотно,вещественны,то есть полученные сиотемы гиперболичны.

• Вторая возможность предполагает изменение типа исходных гиперболических уравнений полной системы уравнений.В этом случав вопрос о некорректности задачи вследствие потери гиперболичности системы формально снимается,так как она изначально перестает быть гипербо-лической.Как и вышв,такой подход реализуется путем стохастической аппроксимации флуктуирующих параметров и последующего осреднения уравнений по их реализациям.В результате такой процедуры получаем систему параболических уравнений,и необходимо установить,обладает ли эта система свойствами,препятствующими развитию неустойчивости решений.Взяв за основу систему уравнений баротропного двухфазного потока-,'представим- скорость фаз ^ как случайную функцию = < у + ¿Г 2Л ( X ) и введем корреляционную функцию

Отг. (ф - ег£ $(*, -гХл)- (37)

2.

где - дисперсия скоростей фаз.Осредняя уравнения системы

баротсопного потока по реализациям случайной функции .с учетом корреляции (37),получаем систему параболических уравнений для средних значений'искомых параметров , р , , б;

-*А'<Р>х ~<П1> (38)

№'<*>&**)<*>*. + 1 <7 4 •

• (<^>х)г= <Яу> (40)

-л" <с,->)■

■ <Р>К * //'Вг <д <4>гух+ ><Я')X +

(^-ъъ)«-)» -¿А'*.,[лб'<ъ>

< ~Л < >

тле у? , р , р , £ V V — соответственно объемная концентрация,плотность,давление .энталыия и скорость фаз, Л - скорость распространения акустических возмущений в фазе, X - координата,

t ~ время,- ¡7 - правые части уравнений, ^ = I - V5, . Приняты следуете обозначения (суммирование по индексу £ = 1,2)

¿-ЪЪи - А.'

(ув. К- ЪЪ. у <Ъ><Ы

Л «I4

А- > . „г ,

у = к.

6; - б; - дб"

Таким образом,осред ,нение уравнений по стохастическому параметру

порождает параболическую систему .В частности,осреднение полной производной скорости по ее реализациям порождает оператор Бюргерса-Хопфа для среднего значения скорости,так что уравнения для скорости аналогичны системе типа Еюргерса-Хопфа.Появление при

~ г

вторых производных множителей ' ,имеющих размерность кинематической вязкости,ассоциируется с методом "вязкости" в газодинамике. Характерно,что скорости фаз-множители при первых пространственных производных давления-заменяются при вторых производных на дисперсии

а— 2-

.Аналогично,скольжение заменяется на "сколь-

2 2

жение" соответствующих дисперсий - .Исследование условий

корректности и свойств решений краевых задач для нелинейных параболических систем типа (38)-(41) связано' со значительными трудностями^ настоящее время недостаточно изучены более простые системы двух уравнений о "вязкостью" типа'Бюртерса-Хопфа.С целью выяснения возможностей предложенной модели использовано сравнение результатов ее численного интегрирования с экспериментом и с результатами расчетов по известным моделям.Для системы (38)-{41) с начальными.граничными условиями й замыкающими соотношениями сформулирована известная задача об истечении вскипающей воды при разгерметизации трубы.Численное интегрирование выполнено по разностной схеме Лакса-

Вендроффа с искусственной вязкостью,учитывающей эффекты нелинейнос-

^ 2

тей.Условие устойчивости схемы связано с параметрами и необходимым условием аппроксимации параболической системы.На рис.13,14 представлены расчетные и экспериментальные кривые изменения давле-. ния и обхемног-о паросодержания при разгерметизации трубы,Видно .что в соответствии с прогнозом Р.И.Нигматулина о влиянии относительного движения фаз,учет этого фактора дает лучшее по сравнению с известной моделью согласование расчетных и экспериментальных данных.

вывода

I.Обоснован и развит стохастический подход к постановке и решению некорректных ооратных задач теплопереноса и негиперболической системы уравнений баротропного двухфазного потока.

О ОД 0,2 t ,о

Рис ДБ Экспериментальная и расчетные кривые давления при разгерметизации трубы:1-эксперимент,2-ре-зультат Нигматулкка Б.И.и др. ,3-результгг;' данной работа при = 20, - 4- то же при 6-/= 6,0, б;г = 7}5

Рис.14 Экспериментальная и расчетные кривые объемного

ппросодергякия (обозначения те .те, что на рис.13)

'¿.Разработан метод решения некорректных задач,включающий последо- •; вателышс процедуры стохастической аппроксимации .случайных параметров модели и последу нцего сгатиотическрго•осреднения полученных стохастических уравнений по реализациям случайных параметров, что приводит к корректной постановке задач.

3.Получены уравнения теплопроводности гиперболического и.бигармо-нического типов для средних значений температурных полей,на основе которых постановки обратных задач теплодереноса оказываются корректными.

4.Предложено стохастическое преобразование Лапласа случайной функции ,включавдее -обычное преобразование Лапласа как частный случай. Покапано,что предложенное преобразование случайной функции эквивалентно" процедуре.статистического осреденения ее соответствующего функционала.

5.Получены интегральгще уравнения Ирода для средних значений-искомых функций ОЗГ.Исследована сходимость и устойчивость регуляризи-рующих выражений.•

6.На основе статистического подхода к влиянию неи?отврмичности поверхности теплоотдачи установлена зависимость.плотности теплового потока от продольного градиента температур .-Показано ,что влияние неизотермичности имеет характер немарковского процесса.

7.Разработаны два метода устранения некорректности негиперболической системы уравнений баротропного двухфазного потока:путем сведения матрицы ее коэффициентов к .эрмитовой форме и приближением краевой задачи' для полученной системы параболических уравнений для средних статистических значений, искомых параметров потока.

8.По экспериментальным те!,щературам определены температурные -зава-симости теплопроводности и удельной теплоемкости огнеупорных материалов, базальтового, литья, теплозащитной д&Ьсрукхкруыцвй пласт-

.массы-и ряда теплоизоляционных материалов .Восстановлены плотности . тепловых,/ потоков и коэффициенты .теплоотдачи при нестационарном охлаждении стальных образцов в различных жидких средах.

ОСНОВШЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУЩКОВАНЫ В РАБОТАХ:

I.Eozdoba I.A. ,ICriv.osvo j P.A.1 Methode und Ergebnisse der Bestimmung dor warmephysikaixschen Eigenschaften von Werkstoffen an elehtri ■ tchen ITetzwerlaaoüeliexv'yE'einserateteclmik.I971-20J.H.7.P.321-J23. .2,Кривошей Ф.А. Методика решения инверсной задачи.теплопроводности с помощью электромоделирования //Электронное моделирование и математическая физика.Киев.Наукова думка.1972.С.140-144.. 3# Kozdoha L.A., Krivosher i.A. The solution of direct andVevorse non-linear.heat conduction probleas by methods of electrothermal analogy // Heat Transfer.Conf.Tokyo, 1974. KA. X.6. P.262-266.

4.Кривошей Ф.А. 0.единственности решения одной нелинейной,обратной ■ задачи теплопроводности // Докл.АН УССР.Сер.А.197г, .№8.0.748-749. Б.Гречанный O.A. .Кривошей Ф.А. Обратные■задачи нестационарной теплопроводности на основе стохастической аппроксимации уравнения переноса // Докл.АН УССР.Сер.А.1989.№12.С.69-70.

6.Кривошей Ф.А. Метод "обращения" времени для оператора теплопроводности // Докл.АН yCCF.Cep.A.I990.jsI.C.76-78.

7.Крпвошей Ф.А. .Стохастическая регуляризация ретроспективной задачи диффузии и системы уравнений баротропной модели двухфазного штока //Промышленная теплотехника.IS92.Т. 14./54-6.0.49-54.

З.Кривошей Ф.А. Обобщение решения параболических уравнений типа

бегущей волны на случай переменной скорости // Докл.АН Украины.

i

1992.155. С. 82-84.

9.Кривошей S.A. Стохастическое приближение коэффициентной обратной задачи нелинейной теплопроводности // Докл.АН Украины»1993.й II. С. 89-91.

Ю.Кривошей Ф.А. Метод устойчивого решения негипербрличеОкой систе-ш уравнений движения двухфазного потока // И®.1993.Т.64.Ш. С.357-362.

11.Кривошей Ф.А. Стохастическая модель нестационарного потока двухфазной среда // ¿Журнал вычислит, математики и математ. физики. I993.T.33.J37.C.II03-II09.

12.Крявошей Ф.А. Регуляризация ретроспективной задачи диффузии и негиперболической системы уравнений баротропной модели двухфазного потока // Изв.Российской АН. Механика жидкости и газа.1993.. J&5.C.43-48.

Подписано к печати об,хи. 19&зя. Формат 60x84/16 Бумага офсетная Усл.-печ.листйЯУч.-иэд.лист 2,о, Тираж /00/ Заказ 985, Бесплатно

Полиграф, уч-к Института электродинамики ЛН .Украины, 252057, Киев-57, проспект Победи, 56.