Решение одного класса интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

л

АКАДЕМИЯ НАУК КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Специализированный Совет Д 01.93.08

На правах рукописи

КАРАКЕЕВ ТААЛАЙБЕК ТУЛТЕМИРОВИЧ

РЕШЕНИЕ ОДНОГО КЛАССА ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА ВОЛЬТЕРРА

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

БИШКЕК — 1994

Работа выполнена на кафедре математического анализа механнко-математнческого факультета Кыргызского государственного национального университета.

Научные руководители: канд. физико-математических наук,

профессор Jl. Е. Кривошеий,

кандидат физико-математических наук, доцент Т. Д. Омуров.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент Р. Рафатов (Кыргызский технический университет),

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник А. Бай-заков (Институт математики МЛН Кыргызской Республики).

Ведущая организация: Институт автоматики МЛН Кыргызской Республики.

Защита диссертации состоится 1994 го-

да, в /Ö часов на заседании специализированного совета Д 01.93.08 по присуждению ученых степеней локтора и кандидата наук в Институте математики HAH Кыргызской Республики.

С диссертацией можно ознакомиться в ЦНБ HAH Кыргызской Республики.

Автореферат разослан « $ »jg^ года

Отзывы на автореферат просим прислать по адресу: 720071, г. Бишкек—71, Проспект Чуй, 265 «А», Институт математики HAH Кыргызской Республики, Специализированный Совет Д 01.93.08.

Ученый секретарь Специализированного Совета, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ^Г,

П ' ^

С. ИСКАНДАРОВ

СБНАЯ' ХМ'МТЕРИСТИКД РАБОТЫ

Актуальность темы., Нелинейные математические модели, сст-сываюшие различные сложные процессы естествознания, привлекают в настоящее Еремя пристальное■внимание ученых.Зтот интерес постоянно возрастает в сзазн с; запроса?® промышленной" технология, механики, «физика и других отраслей естествознания, которые приводят к исследованию нелинейных дифференциальных я янжггро-диф-{еренциальных уравнений: с допсльзгтельпкми условиями. В частности, нелинейные иЕтегрс-дЕЗферешшальнне уравнения-, нейтрального типа встречаются з задачах прикладной: гидродинамики, распрост-трэнении длинных волн с вязкостью, нелинейной акустике ч других.

Найти, точное решение нелинейных интегро- дифференциальных уравнений з замкнутей., форме в обдем случае невозможно. Поэтому большое значение приобретают приближенные методы решешения уравнений. Среди них мокно выделить важный: класс: итерашюн-ные методы. В разработке и исследовании итерационных кете доз приняло значительное число ученых, ерзди которых известны имена И. Ньютона, П.Л. Чебшеьа, O.A. Чаплыгина, Л.З.Канторовича, Ю.1. Соколова и других.

3 развитии теории неявных урашеяий и по прш/енению приближенных методов к различным классам уравнений соновопелагахяиб результаты получены Л.В.Канторовичем, з частности по пегиекэниа метода Ньютона. Обладая высокой скоростью сходвюсти метод Нь?.-тонз-Канторезичэ применялся в шогсчясл~ккых работах отечественна зарубежных учеклх. Вместе с тем, при реализации ?тсго метода вникают трудности, связанные.с выбором начального ирис -лижзния и другим*:- запросами относительно заданного спесатоза. Это ¡гоивело к создакпо различных вариантов метода, к котог-:м

относятся модифицированный метод Ньютона-Канторовича, и его варианты, исследоваиные в некоторых работах Красносельского М.А., Мысовсют И.П., Вертгэйма Б., Денниса Де. и Шнабеля Р., Ортега Дк. и Нуль У. и других.

В настоящей диссертации разрабатываются приемы построения решения одного класса ннтегро-дафференциалкных равнений с краевыми условиями, цримыкзкеие к некоторым вариантам модифицированного метода Ньютона-Канторовича. Рассматриваемое в работе инте-грэ-дифференциальное уравнение обобщает дифференциальные и ин-тегро-дифферэнциалъные уравнения,, встречающиеся ь вышеуказанных прикладных задачах.

Развитие теории приближенных методов указывает на полезность создания новых методов, ускоряющих или упрощающих процесс нахождения приближенного решения исследуемых задач или обладающими иными преимуществами. Поэтому в диссертации излагается ' приближенный метод, имеющий более высокую скорость сходимости, чем метод Дикара и некоторые другие существенные особенности, е смысле реализации и сходимости этого приближенного процесса.

Цель работы. В настоящей работе ставилась следующая цель: -изучить вопросы существования и единственности граничных задач для одного класса интегро-диф^ренциальннх уравнений б частных производных; .

-исследовать условия непрерывной зависимости решения рассматриваемых задач от граничных функций; -построить приближенные решения данных задач приближенными ме -тодами, с изучением условий сходимости применяемых алроксиме-ций и с выводами оценок погрешностей.

Методика исследования. Доказательство теорем существования к единственности решения изучаемых задач проводилось на основе

построенных разрешающих интегральных уравнений, с применением теории сжимающих операторов. Приближенное решение рассматриваемых задач строится'методами Пйкара, обобщенных невязок и кеэзи-нъютсноеским1 методом.

Научная новизна. Вопросы корректности рассматриваемого ин-тегро-дифферендаальнога уравнения с граничными условиями не зселедозались.Предложен метод обобщенных невязок для построения приближенного реаения исследуемых з работе задач, изложен кзази-яьютонозский метод, не требующий построения резольвент разрешающего интегрального уравнения на каэдом шагу итераций.

Теоретическая и практическая .ценность. Диссертация носит в основном теоретический характер. Рассматриваемое в ней интегро-дифференциальное уравнение обобшазт уравнения распространения длинных золн с вязкостью и другие. Предложенные в работе итеративные методы можно использовать при построении приближенного решения и других классов дифференциальных и интегро - дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Основные результаты данной работы докладывались на семинарах кафедры математического анализа КГНУ, на семинаре института математики НАН Республика Кыргызстан, на Межрегиональной: научной, конференции (г.Уфа, 1967г.), на II л 111-й заучшаг сессиях аспирантов КырГ/ (г.Фрунзе, 1988-1989гг.), на Републлканской научной конференции (г.Фрукзэ,1Э8йг.), на научной конференции математиков, посвященной 60-летш образования Кыргссукиверситета (г.БишкекЛЭЭЗг.).

1/ Деннис д*.. Шнгбель Р. деленные методы безусловной оптимизации и решения нелинейны/, уравнений.—М_:Мир,1988.-440с.

Луодикацки. По содержанию настоящей диссертации .¿апус-ликс--' вано 6 работ, список которю. ггриведен в конце .авторефэрата.

Структура е оОьем раЗотк- Зкссерташ5я состоит кз -введе-кия, двух глав, -заключений к списка зетерат^фы кз Ъ1 наюэнаванил. Оощкй обьем диссертации 102 страниц машлюписного тексть.

СОДЕШНИЕ 2ЙЕ0ТЫ

Во введении показана актуальность тега, приводится краткий оозор 153от но тематике диссертации и излагаются основные ре; -зультатк рзОстн.

В первой главе диссертации рассматриваются вопросы существования, единственности и непрерывно! зависимости решений краевых задач от- данных функций для интегро -дифференциального уравпеыкя в частных производных. Решения этих задач строятся приближенно, с оценкам допускаемых погрешностей.

В § I, главы I, исследуется решение интегро-дифференциаль-ного уравнения

(ЫО(У>

ГСх,у.ихх(х,у)1 =

а

ихх (х,Т)) МТ)] . (1)

с полуязными краевыми условиями

Ша+{ (Ь-а) ,уЗ = <р^1у.Ща,у) ,У(Ъ,у)] (1=0,1}, . (2)

где {Ш)у) = г(у.-}м[|,у.И(Е.4')ИЕ).

о

ФУ5ШШ К(Х,у,Т).\ ,1Г(у,15). М(£1у,11).

И = 0,') заданы, непрерывны по совокупности аргументов в областях

V Co«. ,2,.41; сз= Ï«[|Z3 г ];

£0 * Í ! 1± г 1 ; Г = 'Г-1 i IJ ^ rt, 1 ï7 г ; .соответственно, r{rccnst (í=T7S), no=const,~çl=[a,b], у€Т=[а,,б1, Io4«Y з по 2, (í=i //) удовлетворяют условию Липшица с коэффициентами G<L« (r))€G[ct,ai (Í=TT1); 0< L<_=const (Î=1,2,A): G<L =ccsst;G< CL (f )çC.[a,b] ; Q<L,, „ =const li,j=Q,i;, соответственно функция

- r f

определена, непрерывна по совокупности аргументов и двазсдн непрерывно дзф£ерении?уэмз по iз области Г5, причем

i'3)

0 <0(Г,у,У5 < 2. (4-)

С помощью преобразования = С(o--r)h(y) + (píy) -

û

строится интегральное уравнение -ÍU.(ГУ)(у)]

jKUr.y.-n, (r.-rî), )dr?ï fs.y); (5)

--- >- " ' '.л UlUiJ/ .'-t.' i—i^JLl—

г636ниэ сл'тгэмк ;2з.

'Лсучежэ условия су^ествсзанпя и единственности г=пенял -о-дзчи ',-/,(?.! i.rc'0ícдитс.ч oghoes янтвгоэльнсго утзавн-гкзя í'í;, разтязксс^ь кстсрого эквивалентна сазгеппксети >:с:-:сдес:1 ззлач;:.

При выполнении условия принципа сжимаютх отображений Банаха для оператора В, уравнения (6) имеет единственное.решение V = =Р ).Следовательно. с учетом (5), задача (1),(2) имеет

единственное решение и=1Цх,у)£СГ(1о), которое строится метсдоу Пикарэ. Также рассмотрено преобразование, отличное от (5), требующее более простых условий для функций Ъ.(у),р(,у) и начального приближения пикаровского процесса. Изучены вопросы непрерывной зависимости решения задачи (1),(2) от функций Ъ.(у), р(у).

Б 5 2, главы I, изучаются условия однозначной разрешимости интегральной краевой задачи

и

= [ £,у£ .у) 3<1£, 1=

0.1 (7)

для уравнения (I). функции К^^.у.И) (1=0,1) определены, непрерывны по совокупности аргументов в области

тт= к г; :

и являются липшицевыми по и, с коэффициентами (XI (р )€ССа,Ъ]

________

(1=0,1), соответственно, г^.г^сопвг.

Преобразуя'задачу (1),(7), приходим к системе интегральных уравнений

Щх,у) = (ЛШ.РЖг.у),

Р(х,у) = {ВШ,У))(х.у), . '3)

V Ь

" г

где (Ли,\>])(х,у) = С(Ь-о:)|^,1£.у.«(£,у)ЗйЕ + ЕС.у.иСЕ.

а С1

Ъ г

а а

<ЯИ. И ><*,*)•■ - (1у1х,у,Щх,у) ] )-*-(11х,у,1Чх.у) 3- Т1Х,

a

7])) 0.7}]}.

Так как оператор Л имеет коэффициент Липшица (^^ахСС^ , (Ь-з)2), Qo= const, то когда Ь - а< 1. и при выполнении условия принципа сжимающих отображений Банаха, получим единственное решение V -=V(x,y)tC(Ert), системы (8). В случае Ъ-а используется преобразование

ит (x-ty) = Х2(х,у) + [J.

где 2(х,у)~ новая искомая функция,- A.=eonst, 0<.\<1,

Их,у)<eZM2U,у) €С <£0)/. 12(х,у)-2п |, У {х,у) е£о ,2а const).

Тогда, с учетом краевых условий-(7), урэзнение (I) сводится к

системе интегральных уравнений

Ь Ь.

U(z,y)-= [(Ь-з:}|но[|,у.и(5.у)]<15 + (г-а)|\ц.у,г,'(|,у) 3d? -A-U-

а а

ь n х

a a "

2(r,y)= 2(x,y) -(\tHlz,y, (32) (z.y)] Г1(![.x,y,(H2) (x,#) J -P:.rsy,

iU.Zl) (X,y), ) j Kd.y.Tj, }(,r,7}), Me:u.23

a

<.Н2)(г,т)и<1г]3)з (9)

где (32) [x,у) = X2(x,y) ~ ц, go(£) s{ <x-a)*-(x-a) (Ь-а) ]/2, с последующим изучением условий однозначной разтг-еаямсстз. Приближенное решение системы (?) строится по правилу

a

Рассмотрены частные случаи задачи (1;, (7; .Изучен!; условия непрерывной ззвистмост-г решенья задачи(I), '7) ст функциг В,Ц.у.У}

/ г < I

\ * —^, < , ■

В 5 2, главк I, излагается метод с-ОоОсеяных невязок [ 1 ]« для построения лсислиж&кного решения вышеуказанные задач, ь предположении, что уравнения {в) и (5) имеют единственные ре -шения. Для уравнения (6) указанный метод имеет вид:

■V.« = П-р(2г.у)3 (.Й1>п) (а,и) - Нг (г )7{х,у) =

Н (НУп}(Х.у) (71=0,1....), где

(СРп) (г,у)=Р (х.у) + Н 4(гп) (х,у) (п=0,1...),

гп(х.у)=(ВР )(л;,у) - V (х.у) <п=0,1,...

р(х,у/-заданная, непрерывная функция, отличная от нуля, .Нелинейные операторы. Пусть

I) |<НРв)(г.у)-^{ | • (=пзах( | • 11;.

3) I + е * 1,

1 ¿а-когффилпэнт сжатая оператора 5, <'о- начальное цриСлгазЕзе к Р{х,у). Тогда метод обобщенных невязок сходится к точному решению уравнения (6), с оценкой погрешности

¡)чх,у; -1 ^(х,у)1 - и-ь;

к при надлежащем выборе оператора Р., и функции р (х,у) имеет

квадратичную скорость сходимости относительно коэффициента сеь-тия с, оператора Л. Следовательно, с рте-том (5), приближенно; решение задачи !!},(£; стиоптся не правилу

Ц. »-»У- - СЛР ;• ;

йЗЕлсппные результаты получены и при построении зриблигекн??: решения системы (3) методом сообщенных невязок:

¿С, (г.у^П-рСс.уП^гИ .V ЗКх.у) 4- р(я.уМ(С1[ИГ1.Уп]. .V (71=0,1,...),

и,у)=[1-р(г,у)] (Сг[^,г>п ])(х,у) + р(х,у)3(й ¿И^]. сг[г/ «V ])(х,у) (п=о,1,...),

где (в, .V 3)(х,т/)Е + ¡1. (г )(х,у) <п=0,1,...),

+

т; (х,у)=(.Щ :; (г,у) - г/^.у) <л=0,•,...), ^(.Г.^мвш »V 3)(г,у) - »„(г.у) .77=0,

Б ?тсм параграфе такке- рассмотреть частные случа? кетсда ссос-шекныг невязок.

Отметим, что метод оОоба?нйых навязок юке'г 2>!5ть садж -кость, при построении прлсликзяного решения светемы друг уравнений, если она имеет оекение > даке тогда, когда процессПикгрг для нее расходится.

В главе II изучает оя модайнзировгнЕые варианты представления тэазретэших интегрз^ш?. уравнений задачи (1),{2) 2 Ш,(71, указан пзие* уменьшения коэ-йкшкита Липшица сгерзтора разре-

вашего интегрального уравнения, излагается квазиньвтановский метод приближенного решения достроенного интегрального уравнэ -ная.

В 5 I, главы II, рассматриваются две модификации осеоекого представления разрепащего интегрального уравнения (6). В первой модификации вместо функции Г(г,у) = (?р[^,у,У(г.у)3в уравнении (в) используется функция Г4 (г,у)=("у [г.у.У 3 З"1, во втором случае Гг(х,у)= Х{х,у)£ 0, '1(х,у)&а, \{х,у)к0(Го), торке удовлетворяя! неравенствам

О < (Гу(х,у,Уо)Г*Г у <х,у,1>) < 2, О < л(г,у)1у!^,у,У) < 2, соответственно. Анализируются условия однозначной разрешимости полученных представлений и проводится их сопоставление.

В 5 2, главы II, изучается интегро-дифференциальное урав -Н8НПЯ типа Вольтерра

Пх,у,ихк1х,у)1 * ^ф1х,у,г],и^(х,т})Щ а

с краевыми условиями

О (а,у) = Ь.(у), Ы[Ь,у) = р(у), Ь.(у)-,р<у)€С[а,р]. Если оператор., -

V{x,y):- (ГуСг.у.УСс.уШЛгСг.у.УСг.у)] - ЙрСг.у,

а

Зйп)

сгсреааиаего интегрального уравнения данной задачи имеет ко&ф-флпкент Лилгапа ссльзе епажи, при выполнении условия (4), то нрнжняя идеи метода подобластей8 отроятся интегральные уравнг-

5.3. Курс шстг ттеыгтихи. Т.4.ч.1.Ч*.:НзукаД»74

—О-?£»•»■

ния

V (2,у) - (Гр кг.у.У (г.&'Ш'^Пх.у.У (аг.у)! -

К-

)\-(х,у) = - (^х.у^^х^у):)'1 (Пх.у.Р Ах.у)} -

'-1 У .• V '

~ X ] - | ЛтрГЗ^',) (х.у),

^У^Еу^ ,у£ 3 (1=ТТп), 1>{ (г,^ (гу^), о? х ф ({=77гё=Т).

Бри этом коэффициент Липшица оператора В "уменьшается выбором шага Ь, разбиения интерзала [а,рз, из неравенства

Ь < (1-К )/(Ъ + гй^

Т^Ц^.у,)'))"1!.

Тя = |Ф(2т,у,т],У) (, |= тах{)• 1), I- коэффициент Лишила функции Ф(х,у,г?,V) по ^.Приводятся уимзич, при выполнении которых Зг- («=1 отображают области своих определений з сеся.

В 'этой же параграфе излагается сржзлижзнный метод, относящийся к классу квазикьютонозских методов. С помощью метода за -моиаживания строятся интегральные уравнения вида

)>1(х,у) = У и,у) - (Г^Гх.у. (г.у)3 3 - р1х.

Р,(х,у) = >\(х,у) - ¿х.у)! -

И и. V

•7=» Уи» " ¿'(-I

Vы иг,^ ), а $ х « Ь, (1= 1 .ш-1). Далее, приближения к Vi^x,y) (С=1,ш-1) строятся по правилу

-[¿¡Нг.у.т?,?, <п+1 (г.уЬУ, <П 1.x,

у5;;сг; ¡п С,:),

! Ь>.х,у,т„1' Гх,-Т))'ап - 1 - йг.у.т].

Л ~ ■> " * 1

у, (г,уЖУ{ Сг.у) V,-; {х,у )))&)) {:=2,а), (п=0,1

соответственно, £ (г,у,г,,У)?С0,0,!>,::(£), Г=Т«гг, 'Сохраняя квадратичную скорость сходимости приближенного процесса, этот подход позволяет избежать построения резольвент разрешающего интегрального уравнения на каждом шагу итераций.Тогда с учетом У(г,у) - {31>)(х.у) и (10) получим

№х,у) \У{х,у;

. где кс&^л.ти^г? сзитгя сдзратора 3, р^зреааксего знтегсаль-

- у,<г,уж Ь(у) * (Т01 2То1,(у - у, ,})■

' - , *

Основные результаты диссертации опубликованы в заботах:

I.Решение одного класса нелинейных интзгро - диффетенпиальню:

уравнений в частных производных с краевыми условия/® //Исслзд.

по тЕгтегро-дкфференц. ургвяенгям.-Зрунзе:Юак,7.953. -Ьш;.22.--

1.КнтегральЕая краевая задача для неявного интегро - дифферен -дкального уравнения в частных произзодкых//Ксслед.по теории и приближенным методам решения дифференц. к интегро - дифферевц. уравнений.-Фрунзе,1339.-С.32-33.

3.Прибликенное решение краевой задачи для одного масса дифференциальных уравнений з частных произзодннх // Дрфферэнп. уравнения и их приложения: Тез. докл. Республ. научн. конф.-Фрунзе,1Э8Э.-С.31-32.

4.Решение гранично® задачи для одного класса кнтегро-дифферев- " циальных урарнэний//Там не.-С.65.

5.Решение одного класса интегро-дайвренциальнкх уравнений о преобразованными краеьыш условиями// Приближенные методы и качественные вопросы теории интегро - дифферент, уравнений.-Бишкек,I991.-С.33-36.

6.Решение неявного интегрального^аввэнйя-ишв Волыерра.//Тео, докл. научн. конф., поев. 60-летию Кнргосунзгвррситета.-Бнякек. 1993. -С. 4 Г—41 - , • у