Решение связанных задач оптимизации процессов упругопластического деформирования металлов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РТБ ОД

-------------------м-ЮСЙ----------------------------- -----

I '0 ь '

На правах рукописи

СТОЛБОВ ВАЛЕРИЙ ЮРЬЕВИЧ

РЕШЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЦЕССОВ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ МЕТАЛЛОВ

Специальность 01.02.04 Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Пермь {995

Работа выполнена на кафедре математического моделирования систем и процессов Пермского государственного технического университета.

Научный консультант: доктор физико-математических

наук, профессор П.В. Трусов

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

слл. В.Н. Аиггуков

доктор физико-математических наук, профессор РА. Васин

доктор физико-математических наук, профессор А А. Роговой

Ведущая организация: АО "Мотовилихинские заводы"

Защита диссертации состоится "27" октября 1995 года в "13" часов на заседании специализированного Совета Д063.66.01 по присуждению ученой степени доктора технических наук в Пермском государственном техническом университете (614600, Пермь,ГСП 45,Комсомольский пр.,29а).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан "12" сентября 1995 года.

Ученый секретарь специалированного Совета, доктор технических наук, профессор

Г.Б. Кузнецов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При рассмотрении многих прикладных проблем механики деформируемого твердого тела (МДТТ) возникает необходимость решения нескольких задач оптимизации, связанных между собой. Это относится, например, к проблеме исследования многопереходных процессов термомеханической обработки металлов или к проблеме оптимального проектирования конструкций с учетом технологии их изготовления. В настоящее время подобные задачи решаются раздельно, без взаимосвязи. Например, известно много работ, посвященных оптимизации распределения анизотропных или неоднородных механических свойств материала по объему конструкции с целью обеспечения ее минимального веса или максимальной прочности. Большой вклад в решение подобных задач внесли работы В.Н. Аптукова, Н.В. Баничука, С.И. Богомолова, В.В. Васильева, В.Б.Грннева, Я.АЛеллепа, Ю.Р. Лепика, В.ГЛитвинова, К-АЛурье, В.П.Малкова, Ю.В.Немировского, Р.Б. Рикардса, А.В.Черкаева и других исследователей. Однако в этих работах не рассматриваются вопросы выбора технологии изготовления, позволяющей получить оптимальные эксплуатационные свойства конструкции. Это снижает ценность получаемых прикладных результатов и затрудняет внедрение их в производство.

В других работах предложены оригинальные подходы к решению задач оптимального управления температурными полями, напряжениями, деформациями и перемещениями в технологических процессах обработки материалов. Важные результаты в этом направлении получены в работах Я.И.Бурака, А.Г.Бутковского, В.М.Вигака, Э.И.Григолюка, В.С.Колесова, Ж.- ЛЛионса, В.П. Михайлова, МЛ. Нейнлоо, Ю.И. Няшина, И.В.Огирко, Я. С. Подстригача, Э.Я. Рапопорта, A.A. Углова, Л.А. Филыптинсхого, О.Н. Шаблия и других ученых. Но здесь, наоборот, не исследуются вопросы обоснования действительных распределении, исходя из условий эксплуатации конструкции. Хотя понятно, что точно получить оптимальное поле физико-механических характеристик материала по объему исследуемого тела практически невозможно. Поэтому встает вопрос о том, какое приближение лучше с точки зрения эксплуатации конструкции. Ответ на него сможет дать только совместное решение задач оптимального проектирования и оптимального управления технологическим процессом.

Подобный подход применяется в очень ограниченном числе работ. Но в них рассматриваются конкретные процессы изготовления конструкций, например, процесс армирования конструкций из композиционных материалов или процесс сварки при изготовлении конструкций различного назначения. Это снижает возможность выбора технологии и не позволяет сравнить несколько различных технологических процессов.

Решение задачи оптимизации в более широкой постановке затруднено по нескольким причинам. Во-первых, отсутствует достаточно общая методика решения связанных задач оптимизации. Во-вторых, это связано с громоздкостью системы дифференциальных уравнений в частых производных храевой задачи термоупругопластичности или ползучести, описывающей поведение материала в процессе изготовления. Вторая причина является более существенной. Это следует из того, что процессы термомеханической обработки обычно сопровождаются большими

градиентами температур и напряжений, протекают в условиях сложного нагружения и при больших деформациях. Учет этих факторов и всей истории нагружения при построении математической модели процесса является сложной проблемой МДТТ. Однако появление в последнее время быстродействующей вычислительной техники, разработка эффективных численных методов решения и создание современной теории определяющих соотношений позволили сделать существенный шаг в направлении решения задач подобного класса. Большой вклад здесь внесли работы РА.Васина, Б-А.Горлача, ВА.Горового, О.Зенкевича, В.Г. Зубчанинова, АЛ. Ильюшинаj ИА Кийко, В.Д. Клюшникова, В.И. Кондаурова, A.C. Кравчука, В.И. Кукуджанова, В.И. Левитаса, B.C. Ленского, А.И. Лурье, H.H. Малинина, В.И. Малого, В.Нолла, И.Охаши, Б.Е. Победри, A.A. Поздеева, В. Прагера, A.A. Рогового, И.Е. Трояновского, К.Трусделла, П.В.Трусова, Ю.Н.Шевченко, И.Ямады и других отечественных и зарубежных ученых.

Таким образом, появилась возможность подойти к постановке и решению связанных задач оптимизации, имеющих важное прикладное значение в МДТТ.

Целью настоящей работы является постановка связанной оптимальной задачи МДТТ, разработка методики ее решения на основе известных методов теории оптимального управления и решение практически важных прикладных задач данного класса.

Научная новизна работы заключается в разработке общей методики решения связанных оптимальных задач МДТТ, позволяющей свести решение поставленной задачи к последовательности решений нескольких задач оптимизации с дополнительными ограничениями. Исследуются вопросы существования и условия сходимости итерационной процедуры для бесконечномерного и конечномерного случаев.

С помощью разработанной методики решен ряд новых нелинейных задач оптимизации температурных режимов и напряженного состояния деформируемых тел для некоторых ресурсосберегающих процессов термомеханической обработки металла.

Достоверность основных научных результатов работы подтверждается удовлетворительным соответствием полученных результатов с известными в литературе данными и данными, полученными в ходе проведения натурных экспериментов.

Практическая ценность работы определяется разработкой эффективных алгоритмов решения оптимальных задач, оформленных в виде пакетов прикладных программ. Разработанные алгоритмы и программы внедрены в различные организации и были использованы при совершенствовании существующих и создании новых ресурсосберегающих технологических процессов.

Проведено теоретическое обоснование оптимальной технологии процесса упрочнения цилиндров и труб, работающих под давлением. Разработанная методика позволяет сравнивать различные технологии и выбирать оптимальные параметры процесса изготовления, обеспечивающие заданные прочностные характеристики конструкции. Полученные результаты использовались при разработке технологии изготовления гидроцилиндров на Харьковском ПЮ "Стройгидропривод" и толстостенных

высоконагруженных труб в АО "Мотовилихинские заводы" (Пермский машиностроительный завод им. В.И.Ленина).

Разработана методика расчета оптимальных режимов электроконтактного нагрева и пластического деформирования тел осесимметричной формы в процессе электровысадки. Методика внедрена на предпреятиях АО "Инкар" (Пермский карбюраторный завод им. Калинина).

Предложена методика определения оптимальной формы профильных труб и обоснована оптимальная технология их изготовления. Применение данной методики позволило внедрить в производство на предпреятиях АО "Мотовилихинские заводы" процесс профилирования, позволяющий получать трубы заданного профиля и с высокими прочностными свойствами.

Суммарный годовой экономический эффект от использования разработанных методик и внедрения полученных результатов в производство составляет более 200тысяч рублей (в ценах 1991 года).

На защиту выносится совокупность теоретических разработок, состоящих из постановок новых задач, аналитических и численных методов их решения, которую можно классифицировать как основу нового класса оптимизационных задач МДТТ, а также решения новых задач оптимизации температурных режимов и напряженного состояния при пластическом деформировании металла.

Апробация работы. Основные положения и результаты работ?! докладывались на 8 Всесоюзной конференции по прочности и пластичности (Пермь, 1983г.), на Всесоюзной школе молодых ученых и специалистов "Проблемы оптимизации в машиностроении" (Алушта, 1983г.), на 2 и 3 Всесоюзных симпозиумах "Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии" (Киев, 1984г.; Житомир, 1989г.), на 3 Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Харьков, 1985г.), на Всесоюзной школе-семинаре "Математическое моделирование в науке и технике" (Пермь, 1986г.), на Всесоюзных конференциях "Механика неоднородных структур" (Львов, 1987 и 1991г.г.), на 2 Всесоюзной конференции "Численная реализация физико-механических задач прочности" (Горький, 1987г.), на Всесоюзной конференции "САПР в кузнечно-штамповочном производстве" (Свердловск, 1988г.), на б Всесоюзной конференции по управлению в механических системах (Львов, 1988г.), на 2,3 и 4 Всесоюзных симпозиумах "Технологические остаточные напряжения" (Москва, 1985г.; Кутаиси, 1988г.; Пермь, 1992г.), на 6 Национальном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Варна, 1989г.), на 1 Всесоюзной конференции "Математическое моделирование в машиностроении" (Куйбышев, 1990г.), на Всероссийской конференции "Математическое моделирование технологических процессов обработки материалов давлением" (Пермь, 1990г.) , на 7 Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва, 1991г.), на 13 Международном симпозиуме (Дания, 1992г.), на Международной конференции по математическому моделированию технологических процессов (Пермь, 1994г.) и на 13 Международной школе по моделям механики сплошных сред (С-Петербург, 1995г.)

Работа обсуждалась на научных семинарах Института проблем математики и механики АН УССР, Института механики при МГУ,

Московского института электронного машиностроения, Городском семинаре по теоретической механике в г. Перми и на семинаре кафедры математического моделирования систем и процессов Пермского государственного технического университета.

Пуб^тквнвн, По теме диссертации опубликовано более 50 научных статей и тезисов докладов, а также получено 3 авторских свидетельства.

Структура н объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, списка литературы и приложений. Объем диссертации составляет 220 страниц . Диссертация содержит 67 рисунков. В приложениях приведены доказательства теорем и копии актов внедрения результатов, подтверждающих практическую ценность работы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отмечена актуальность проблемы оптимизации в МДТТ. Приводится обзор литературы, показывающей современное состояние теории оптимального проектирования конструкций и оптимизации термонапряженного состояния тел в процессе пластического деформирования. Показана необходимость решения связанных оптимальных задач и сформулирована идея общего метода их решения.

В первой главе приведена математическая постановка задачи связанной оптимизации, рассмотренная на примере двухсвяз энной оптимальной задачи (биоптимиэации).

Пусть на отрезке времени [*o>'i] рассматриваемое тело занимает ограниченную область Q{ с R3 с границей |"í, а при - область Q^c R3 с

границей Гг- Здесь и в дальнейшем под R3 будем понимать трехмерное

евклидово пространство. Будем считать, что Qj = Qí' , где Q¡" = flj'1-' Г}'.

i=l,2. Введем вектор-функции состояния тела uj(e,«)fiij и

»(•»•^([MdxQi) ■ га;е . «=1.2 - пространства

Соболева. В рассматриваемых задачах в качестве таких функций могут выступать функции перемещений, деформаций, напряжений, температур и т.д., которые характеризуют состояние деформируемого тела в данной точке и в данный момент времени. Обозначим через Ь,(»,») б KC^[t,,t,]x Q¡j и

Ь,(»,*) е КС £[»„»,] х ¿)j вектор-функции параметров оптимизации, где под

KC^[t|_,,t|] * (i =1,2) понимаются пространства кусочно-непрерывных

функций. Будем рассматривать функционалы вида Ju(lh) = Jn(hi,iii(hi),q>i(fai,ui)}, i = <M¡4»

JM

где ф,,ф, - некоторые непрерывные операторы, за счет которых осуществляется взаимосвязь двух оптимальных задач. За счет ф, осуществляется учет всей предыстории деформирования на предыдущем этапе ( деформационное упрочнение материала, остаточные напряжения и т.п.), а за счет ф, учитывается влияние функций состояния и параметров оптимизации второго этяпа деформирования на первый. Зависимость от ф, в данной постановке задачи является нетрадиционной, т. к. здесь решение задачи в некоторый момент времени зависит от решения задачи в последующий момент времени, т.е. "настоящее" зависит не только от "прошедшего", но и от "будущего", которое заранее неизвестно. В этом заключается основная новизна рассматриваемой постановки задачи биоптимизации и в этом же состоит трудность ее решения. Кроме того, зависимости (^((ц) и «^Оь) обычно также неизвестны в явном виде, а задаются через систему нелинейных дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений.

Пусть связь между функциями состояния и параметрами оптимизации задается с помощью некоторой системы уравнений, которую в операторном виде можно записать следующим образом

д(^х,1ц,п1,ф1(Ь2,и2),Р,) = 0> 1е[10,11], хео?,

/2(4,х,Ьг,и2,ф2(и1(11,«)),Рг) = 0, »хе£Й, где 1х,1г - некоторые операторы, описывающие поведение тела при

деформировании; Р^»,») е * Р2(в>") 6* Ог^

функции, задающие нагрузки на рассматриваемое тело в процессе деформирования и принадлежащие пространству Лебега I,,; х- вектор пространственных координат. В рассматриваемых задачах приведенная выше система уравнений представляет собой систему уравнений краевой задачи термоупругоплаегичносга.

Процесс деформирования тела всегда происходит при некоторых ограничениях технологического и конструктивного характера. Эти ограничения можно записать в виде следующих неравенств

где Г,|, Г2,- некоторые заданные непрерывные функции. Пусть в качестве критериев оптимальности каждого этапа деформирования выступают функционалы .1,, и J2, , соответственно. Тогда задачу биоптимизации можно

сформулировать следующим образом: найти такие функции | Ьц Ьг | .которые

сообщают минимальные значения функционалам

1ю(Ь1)-»Ь|Г (1)

Л2о(Ь2)-»®Г (2)

при ограничениях типа равенств

¿,(»,х,Ь1,и1,ф1(|12,иг),Р1) = 0, <е[!„,!|]; Х€£21. (3)

.¿2(»,х,Ь2,112,ф2(и1(<х,.)),Рг)=0, ^[»„»г]; (4)

и ограничениях типа неравенств

Гц('»х,Ь,,и1,Л1))5 0, »е^,]; хеП}; (5)

Поставленная задача биоптимизации не является двухкритериалъной задачей в обычном смысле. Здесь области определения функционалов (1) и (2) разделены по времени, поэтому нет смысла вводить понятие оптимизации по Парс>о. В данном случае рассматриваются две задачи оптимизации, между которыми существуют связи за счет влияния параметров оптимизации и функций состояния одной задачи на решение другой. Это требует разработки нового подхода к решению подобного класса задач оптимизации. Рассмотрим условия существования решения задачи (1)-(6). Для этой цели введем вспомогательные множества 11, и 112, в которых выполняются ограничения (3) и (4), а также множества Н1 и Н2, в которых выполняются ограничения (5) и (б) соответственно. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема I.Пусть 31^ е и Зи2 е и2 такие, что множества Н1,Н2 -непусты, ограничены и слабо замкнуты; выполняются условия непрерывности отображения II, х и, -» и , задаваемого функционалами

Л1;(с,о,ф,(|12.и2)) УЬ2 бН2,Уа2 е и2, 1 = 0,т„ и отображения Нгх11г->Н, задаваемого фушсциопилаии (•>•>Фг(и1 (>"))) ,•)е!^, 1 = 0.т2;

функционалы

II, ,•) И •12о(а>и2>*) " выпуклы ПО Ь] И ф{, 1ц и Ф2 У!^ € и, п Уи2 е 1/2 , соо1ветс1венно, а функции ф1,«р2,Г1|(| = 1,к1) и

Г2)0 = 1,к2) - непрерызные по каждому аргументу. Тогда 1) Э^Ь,,^^ -решение задачи (1)-(6); 2) найдется такая последовательность

(.(,) (■) . (и) (а)] . „

,112 ), П = 1,2, ... , удовлетворяющая условиям

еН,; и, еи,; Ь2 €Н2; и2 еи2,

Ьг|= ВтЛгв(ь(2п))=шГ^(^^„ф!^,^,,*))),^ е Н2;и2 6 и2;и,(е,,.) е и}

\ ) п-»«0

и при этом |ь« - Ь|, -> 0, «Ь« - Цс -» 0.

Из приведенной теоремы и ее доказательства следует общая методика решения задач связанной оптимизации, основанная на расщеплении общей задачи на ряд отдельных оптимальных задач и последовательном их решении. Для этого строится специальная итерационная процедура. Первоначально рассматривается задача (2), (4), (б) при некоторой заданной функции

<>(«!,•). Обычно ( и^(<1>*) = 0). Это приводит к классической постановке данной задачи оптимизации. Решая ее одним из известных методов

оптимизации, находим Ь'®' и с помощью оператора ¿г определяем и'^Ь'®'^.

Напомним, что здесь под и'^Ь'^ понимается решение краевой задачи упругопластичности (4) при некотором распределении параметров оптимизации Далее решается задача оптимизации (1), (3), (5) с фиксированными

А А А А

функциями

и определяются и Затем уточняется функция

<>(«,,•) и вновь решается задача (2), (4), (б). Итерационный процесс продолжается до выполнения заданных условий сходимости.

Отметим, что данный подход к решению связанных задач не является единственным. Возможно построение специальных или "обобщенных" функционалов ^(Ь^Ь^) , зависящих от всех параметров оптимизации. Простейшим примером такого функционала может служить линейная комбинация фунхционалов 1 = 1,М вида

Л*(Н1,Н2,...,ЬМ>= . П)

1=1

где А., - некоторые заданные весовые коэффициенты.

В общем случае функции (¡=1,м) могут принадлежать различным функциональным пространствам, что затрудняет построение обобщенного функционала ^(Ь,) и вызывает большие математические трудности при решении общей оптимальной задачи. Однако в некоторых случаях такой подход может оказаться более эффективным и привести к упрощению решения задачи за счет устранения итерационной процедуры ( по отдельным этапам ). В данной работе применяется как первый, так и второй подходы к решению задач связанной оптимизации. Эффективность их сравнивается при решении конкретных задач, при этом указываются достоинства и недостатки различных подходов.

Вторая глава посвящена математическому моделированию процессов термоупругопластического деформирования металла при эксплуатации или изготовлении различных элементов конструкций. Необходимость отдельного рассмотрения этого вопроса связана с тем, что уравнения соответствующих задач термоупругопластлчностн входят в общую задачу связанной оптимизации как ограничения в виде равенств (3),(4) и во многом определяют стратегию ее решения.

Рассмотрим общую постановку задачи термоупругопластичности с учетом сложного нагружения и больших пластических деформаций. Отметим, что постановка базируется на общей теории упругопластических процессов А .А. Ильюшина и ее обощении на случай больших пластических деформаций, сделанном П.В. Трусовым и О.И. Дударем.

Пусть в некоторый момент 1е[о,Т] деформируемое тело занимает

ограниченную область О* с И3 с границей Г1,О* = 0'иГ( . Будем считан,

—»

что на части границы Г„ приложены силы Р, а на другой части границы Г^ заданы скорости перемещений. Тогда состояние деформируемого материала при пренебрежении инерционными и объемными силами может быть описано следующей системой уравнений, в которую входят уравнения равновесия:

V- а = 0, хеО1 , (8)

определяющие соотношения геометрически нелинейной теории пластичности с учетом сложного нагружения и больших деформаций:

¿ = ц(в,8,Н^)ьг+Я х бО1, (9)

закон линейного изменения объемных деформаций с учетом температурного расширения материала:

о = |к^й}-3£^), хе£2\ (10)

геометрические соотношения:

Н* = Б+Ь, Б = хеО*

уравнение теплопроводимости:

= + ХеО*, (12)

при выполнении граничных:

У=У, (13)

по = Р, хеГ|„ (14)

*Уе-п = -Цб-в^+хеГ' (15)

и начальных условий:

х(о)=х0, б(о) = ео, о(о) = О, Н(о) = О. (16)

В уравнениях (8) - (16) приняты следующие обозначения: V - вектор скоростей

перемещений; с,р,Х - теплоемкость, плотность и теплопроводность материала;

—»

Ч, • мощности внутренних и внешних тепловых источников; п • внешняя

л

нормаль к границе Г*;ас - коэффициент теплоотдачи в окружающую среду;0с -температура среды. В зависимости от кривизны траекториям деформации в

(П)

------------------------------------и

векторном пространстве А.А.Ильюшина функции ц и Я могут принимать различный вид, что будет соответствовать разным теориям пластичности: теории малой, средней кривизны или многозвенных процессов:

М-

- для траекторий в виде двухзвенных ломанных ,

_ - дм траекторий малой кривизны ,

Н. sinv,

о

Н_

2GAt • упруго« иагружгние и разгрузка,

0,riBT| I RT(At)-S«-R(At)I - траектории с изломом ,

o^nnv.L J

8 - траектории малой кривизны,

активное упругое нагружекие,

RT(At)-S«-R(At) - упругая разгрузка.

Здесь приняты следующие обозначения: а, - интенсивность напряжений;

Н, - интенсивность деформаций; G - модуль сдвига; v, - угол излома

—*

траектории; v, - текущий угол сближения между векторами о и d3 в

пространстве Э(5>, 0 - нуль-тензор, S» - тензор начальных напряжений, At -шаг

по времени иагружения, R - ортогональный тензор.

Скалярные свойства материала задаются с помощью универсальной

функции аи а векторные свойства - с помощью другой

универсальной функции v, = v(ro,so,s,0) , где s0,s - данна дуги траектории деформации в точке излома и текущая дайна траектории соответственно.

Справедливость применения тон или иной теории пластичности (определяющих соотношении) в работе проверяется алосгериорно путем построения и исследования траекторий деформации каждой частицы материала. Для этой цели используется метод корректирующего анализа, предложенный B.C. Ленским. Под классическим решением задачи (8>(16) понимается тройка функций:

V еС^[0,Т]х О1 j, о еС°^[0,Т]xQ'j, в е CujjO,T] xO'j, (17 >

удовлетворяющих системе уравнений ( 8 ) - ( 16). Классическое решение (17) можно найти только при очень ограниченном классе исследуемых процессов термоупругопластического деформирования. Поэтому определим обобщенное или слабое решение задачи ( 8 ) -(1 б).

Рассмотрим некоторое приближение исходной начально-краевой задачи, вводя дискредитацию по времени. Для этой цели исследуемый отрезок времени

[0,Т] разбивается на конечное число отрезков и задается характер

изменения искомых функций на этих отрезках. Тогда задача определения функций на всем отрезке [0,Т] сводится к задаче определения значений функций

в конечном числе точек х(, I = 1,р. Теперь дня фиксированного момента т, е[0,Т] требуется найти тройку функций

еС^О1'| х Сг^Ох'| х С^СР'удовлетворяющих уравнениям задачи

(8)-(1 б) в дискретизироваинои по времени виде. Теперь можно перейти к слабой формулировке исходной задачи. В этом случае вместо уравнений (8), (14), (10), (12) и (15) рассматриваются их интегральные аналоги

|Уф:о<Ю- /ф-рЙГ = 0, УфеН(а''), (18)

о" г;«

¿,{°~|[11(Н"г)М+11("0)"3£в]}<Ю = 0' (19)

¿. " * - ~ «о) - ^ - в. ) - Wтp]|Г = О. ( 2о)

Тройку функций ^У,а^б\У2(я1,)х Ь^СУ^х ^^СЗ1') , удовлетворяющих

условиям (18) - (20) и условию V-V еН(а*') , где Уе^О*1)

понимается в смысле "следов", а н(а,')=|ф б = о|, будем

называть обобщенным или слабым решением задачи (8) • (16). Классическое решение (17) является обобщенным и, наоборот, при достаточной гладкости обобщенного решения оно является классическим.

Для поиска приближенного решения в слабом смысле удобно применять различные численные методы. Отметим, что с помощью уравнений (8) - (16) или (18)-(20) можно решать как нестационарные задачи термоупругопластичности, так и стационарные. - Последние, которые часто применяются при моделировании различных технологических процессов; '-возможно решать, например, методом установления. Однако такой подход требует больших затрат времени. Поэтому в работе для решения стационарных задач используется методика, основанная на совместном эйлеро-лагранжевом подходе, при котором решение задачи ведется в эйлеровых переменных, но прослеживается вся история деформации. Согласно этому подходу полагается,' что все частицы металла движутся по линиям тока, которые в условиях установившегося течения совпадают с их траекториями ( рис. 1 ). Кроме отсчетной пространственной системы координат Х| у= 1,з) вводится сопутствующая лагранжева система

(I = 1,з), связанная с частицами металла и деформирующаяся вместе с ними.

Рис. 1

Предположим, что в момент времени 1 = 0 (х3 = 0) координаты Е,; совпадают с х,. Теперь можно связать скорости перемещения частиц металла с их смещением относительно неподвижных осей координат через время перехода частицы по линии тока из положения (к-1) в к-е положение с помощью следующих

уравнений <! и к = V * <ИК, к = 0, К. Зная приращение перемещений каждой

частицы, можно определить поле перемещений и , а по нему построить тензор деформаций Генки и определить форму деформируемого тела.

Большинство решаемых задач упругопластичности, возникающих при моделировании технологических процессов ОМД, являются контактными, причем области контакта деформируемого металла с инструментом Гк обычно неизвестны. Применение совместного эйлеро-лагранжева подхода удобно при определении неизвестных границ. Отметим, что форма свободной границы также заранее неизвестна и находится путем интегрирования по времени вектора скоростей перемещений вдоль границы. Форма свободной границы считается найденной, если выполняется условие V,.(£,,) = 0 V?;; £ Г / Гк.

Разбиение области О на подобласти упругого Ое и пластического Ор деформирования проводится по следующим условиям:

О' = | хе £2(оц (хI) < о„ или си (х,):

= о, ,скзп(х^)< -~<10 + иН,

¿0

<1Н„

ч

О» = {ж, еО/ов(х,)- «.^.(х,) - ^«Ю +

где функция скалярных свойств материала а,(б,Нв,8)

задается из

экспериментальных данных.

Данный подход эффективен при приближенном решении пространственных задач установившегося течения металла с помощью метода "физического расщепления " задачи, позволяющего решение пространственной задачи свести к последовательности плоских задач. Суть физического расщепления состоит в следующем. Пусть путем тщательного физического анализа процесса с использованием экспериментальных данных или натурных наблюдений возможно описать характер деформирования металла в одном из направлений. Заметим, что во многих реальных процессах подобное характерное направление существует. Затем, в соответствии с предварительной информацией, полученной при физическом анализе процесса, задается вид функций, описывающих деформирование в этом направлении. Обычно эти функции могут быть представлены в виде полиномов различной степени координат (в простейшем случае деформации в характерном направлении считаются постоянными). Тогда пространственная задача заменяется последовательностью плоских задач в сечениях £3,,1 = 0,к, перпендикулярных характерному направлению ( рис. 1). При этом НДС в сечение является начальным для последующего сечения Ок. Для определения свободных границ и границ контакта с инструментом в каждом поперечном сечении Ок используется совместный эйлеро-лагранжев подход, упомянутый выше. Приведенная методика решения пространственных задач установившегося течения металла была использована в данной работе при моделировании процесса профилирования желобчатых труб.

И последнее замечание, касающееся проблемы прогнозирования разрушения металла в процессе деформирования. В данной работе в качестве оценки возможного разрушения использовался критерий ВЛ. Колмогорова, который в литературе часто называется степенью исчерпания ресурса пластичности металла и записывается в виде

О ^Р

где I, - время протекания пластической деформации частицы металла, Я.р = пластичность металла, зависящая от Щ, температуры

О, показателя напряженного состояния частицы и коэффициента Лодо цс. Полученные в последнее время экспериментальные данные о зависимости л., от перечисленных параметров для большого числа металлов и сплавов делают возможным широкое применение данного критерия в прикладных расчетах.

Как было отмечено выше, для приближенного решения задачи (18) -(20) используются численные методы. Так если исследуемую область О* разбить на конечные элементы и в качестве взвешивающих функций <р,1 и т? выбрать базисные функции этих элементов, то из уравнений (18)-(20) можно получить разрешающую систему нелинейных алгебраических уравнений метода конечных элементов (МКЭ) относительно У,,в,,1=1,М и 0|,]' = 1,К , где N - число узлов конечно-элементной сетки, а К - число конечных элементов.

Разработанные алгоритмы реализованы в виде комплекса прикладных программ "КОМПРОМИСС" (КОМплекс ПРограмм по Обработке давлением Металлов И Специальных Сплавов), позволяющего исследовать широкий класс задач процессов обработки металлов давлением. С помощью данного комплекса проведены исследования и оптимизация ряда технологических процессов, рассматриваемых в данной работе.

В третьей главе рассматривается проблема, связанная с изготовлением толстостенных труб и цилиндров, работающих под высоким внутренним давлением и являющихся основными элементами многих машин и установок. В настоящее время у нас в стране отсутствует эффективная и экономичная технология - изготовления подобных изделий, отвечающих все более высоким требованиям по прочности и материалоемкости. В данной работе предлагается один из подходов к решению этой технологической проблемы путем постановки и решения трех связанных оптимальных задач. Первоначально ставится задача отыскания таких

оптимальных распределений предела текучести материала с,(г) и остаточных

напряжений р(г) по толщине цшшвдра, при которых его толнрша будет минимальна и будут выполняться все требования по конструкционной прочности. Затем рассматривается задача о глинизации процесса упрочнения заготовки с целью получения распределений механических и конструкционных

рассматривается несколько альтернативных процессов упрочнения: закалка, автофретирование сверхвысоким внутренним давлением, дорнование и вытяжка с утонением стенки. Третья задача является задачей оптимизации процесса получения заготовки требуемого размера при минимальных энергозатратах. Здесь в качестве процесса изготовления выбран эффективный метод обратного выдавливания, позволяющий практически без отходов получить заготовку требуемых размеров. С целью снижения необходимого усилия выдавливания рассматривается схема деформирования с подвижной боковой стенкой контейнера. Определялось оптимальное отношение скорости перемещения стенки контейнера V, к скорости перемещения пуансона %, при котором усилие выдавливания будет минимальным. Таким образом, приходим к трем оптимальным задачам, связанным между собой за счет неизвестных размеров заготовки, распределений функции упрочнения материала и остаточных напряжений. Для решения этой трехсвязгитой задачи оптимизации применим методику, рассмотренную а первой главе.

Математическая постановка описанных выше трех оптимальных задач состоит в следующем. Пусть требуется получить цилиндрический сосуд давления длиной Ъ с внутренним радиусом И, работающий под внутренним давлением Р,. Материал цилиндра задан и известны его теплофизические и механические свойства. Требуется определить минимально допустимую толщину цилиндра, отвечающую всем условиям конструкционной прочности с учетом упрочнения материала и остаточных напряжений, а также подобрать оптимальную технологию изготовления, позволяющую получить цилиндр требуемого размера и прочности. Все время изготовления и эксплуатации

свойств изделия

близких к оптимальным. При этом

разобьем на три отрезка: [ОЛ,],^,,!,],[*,,где 1, - время получения заготовки; (1, -1,) - время упрочнения заготовки; -1,) - время эксплуатации цилиндра. Отметим, что в качестве времени здесь может выступать некоторый неубывающий параметр. Пусть на отрезке времени [ОД,] заготовка занимает ограниченную область О} в эвклидовом пространстве й' с границей Г{. При упрочнении заготовка занимает область с границей Г2, а при эксплуатации -Оз с границей Г3.

Как было отмечено выше, в качестве процесса изготовления заготовки будем рассматривать метод обратного выдавливания цилиндра с донышком из сплошного прутка. Если учесть, что данный процесс сопровождается отжигом заготовки дня восстановления пластических свойств материала и снятия остаточных напряжений, то первая задача оптимизации достаточно просто "развязывается" с двумя остальными. В ней остаются неизвестными только размеры области £3{', которые зависят от решения других оптимальных задач. Если считать эти размеры заданными, можно перейти к математической формулировке задачи оптимизации процесса обратного выдавливания. В качестве параметра оптимизации выберем отношение скоростей боковой стенки

контейнера и пуансона, т.е. Ь, = Уу . За критерий оптимальности примем

величину работы, затрачиваемой на деформирование металла. Задачу оптимизации сформулируем следующим образом: найти такое оптимальное

А

отношение 1)1, при котором работа деформирования будет минимальна

^о(Ь1) = А(Ь1) Ы (21)

при выполнении ограничений типа равенств

/^«.г.^.ВрР^-О, 4е[0,11]; (22)

которые представляют собой уравнения краевой задачи упругопластичносга, описывающие поведение металла при деформировании и служащие связями между параметром оптимизации и функциями состояния и1 при заданных нагрузках Р1, а также ограничений типа неравенств, накладываемых на исчерпание ресурса пластичности материала

»е[<М,]; 7еО{ (23)

и параметр оптимизации

05Ь4 5 Бь (24)

где ¡п - некоторое максимально возможное значение 1и, определяемое технологией процесса деформирования.

Перейдем к постановке второй и третьей оптимальных задач. Эти задачи связаны между собой несколькими функциями связи и "развязать" их практически невозможно. Здесь возможно несколько постановок. Рассмотрим две из них, которые будут использоваться при дальнейшем решении. Первая постановка предусматривает отдельную формулировку двух задач, связанных

между собой, и последовательное их решение. Вторая - построение обобщенного критерия оптимальности и сведение с его помощью двух связанных задач оптимизации к одной оптимальной задаче.

Сначала рассмотрим постановку задачи оптимального проектирования цилиндра с учетом процесса упрочнения. В качестве параметров оптимизации

выберем толщину цилиндра Ь, распределение остаточных напряжений р и функции упрочнения а,., по толщине, т.е. Ь3=Гь,р,а.Л. Чдесь

Ьей, ре\\'(£23)сС(Оз), ст5 где XV - подпространство

непрерывных дважды дифференцируемых в обобщенном смысле тензорзначных функций на £23,удовлетворяющих уравнениям краевой задачи дал остаточных

л

напряжений. Требуется найти такой вектор Кз, который сообщает минимум функционалу

ь

130(Ь3)=/Ь(11М (25)

о

при выполнении ограничений типа ¡«равенств, представляющих собой уравнения краевой задачи упругости с учетом начальных напряжений

|',Ьз,11з,ф(аг((;,«)))Рз 0, 1е[(,Л3]; 7еЙз (26)

и неравенств

X,

г -л ч ,

а*„1«,г1--»ФгДз]; '«Оз. (¿7>

ге03, (28)

МЬ<Ьир, (29)

где а* - интенсивность тензора напряжений а*, складывающихся из

напряжений Оз от давления Р3 и остаточных напряжений р, п - заданный коэффициент запаса прочности; - предел текучести неупрочненного

материала; ов - предел прочности материала; Ь0 - заданная минимально допустимая толщина цилиндра, отвечающая условиям жесткости конструкции; Ь,^-заданная максимально допустимая толщина цилиндра. Если решать поставленную задачу ( 25 ) - ( 29 ) без учета технологии процесса упрочнения цилиндра, то полученные результаты будут иметь малое прикладное значение,

так как не всегда можно получить найденные оптимальные распределения р и

А

Ое- Поэтому, задачу ( 25) - ( 29 ) необходимо решать совместно с задачей выбора оптимальной технологии упрочнения цилиндров. Будем рассматривать четыре альтернативных процесса упрочнения: закалку, авггофретирование

высоким внутренним давлением Р2, дорнование и вытяжку, которые наиболее часто применяются в технологии изготовления гидроцилиндров. Требуется

А

найти такие параметры процессов Ьг, при которых распределение остаточных напряжений р близко к оптимальному р по следующей норме

^(М^Р.СГЛЬР.Мз)]* |„г (30)

при ограничениях типа равенств

геф (31)

и неравенств

2

-08(г,Ь3) I Лг-б^ 5О, (32)

( 6[Ч»'г]> ге£3{, (33)

Ь2еБ2, (34)

где - заданное положительное число, - предельно возможное исчерпание

ресурса пластичности, зависящее от НДС тепа; Ьг - область допустимых значений параметров оптимизации. Как видно из постановки задач (21) - (24), (25) - (29) и (30) - (34), получаем постановку трехсвязанной задачи оптимизации. В работе показано, что поставленная задача является частным случаем задачи связанной оптимизации и что выполняются условия теоремы 1, т.е. решение задачи (21)-(34) существует. Понятно, что для приведенной постановки задачи (25) - (29) и (30) - (34) надо решать

А

последовательно, постепенно уточняя толщину с учетом реальных

~ А А

распределений р и Ов, соответствующих оптимальному выбору Ьг. Такав итерационная процедура требует значительных затрат времени счета на ЭВМ. Поэтому рассмотрим другую постановку задач, основанную на построении обобщенного критерия. Будем считать, что за период эксплуатации [^»Ц] релаксации остаточных напряжений не происходит, что характерно для высоколегированных сталей. Кроме того, не будем учитывать зависимость НДС цилиндра при нагружении рабочим давлением от продольной координаты г, что допустимо для длинномерных цилиндров. Тогда для решения задачи (26) можно воспользоваться известным решением Ляме для толстостенной трубы с внешним радиусом й,, внутренним радиусом К ( толщина стенки к = 11,-II ), находящейся под действием внутреннего давления Р,. Введем обозначения:

я-Л2/ • я-®з/ • г=г/. Ь-Ь/ /Ь2' Ч~ /Я2' Г /К* /К"

Тогда интенсивность напряжений о*, входящая в условие (27), может быть записана в следующей форме

(o;)î = 3P,2a242/r,-3P3ïq(pr-pe)/r2+pÎ . (35)

Теперь воспользуемся тем, что минимум толщины цилиндра будет соответствовать предельному случаю выполнения условия прочности (27), когда оно переходит в равенство. Введем фунхцию h*(г), г e[R,R + h], которая характеризует распределение минимально допустимой толщины цилиндра при

известных значениях в данной точке остаточных напряжений р(г) и функции упрочнения as(r). Понятно, что если найти выражение для функции h* (г), то максимум этой функции по т будет характеризовать наименьшее значение толщины для всей конструкции.

Для получения зависимости Ь*(г) в условие (27), записанное в виде равенства, подставим выражение (35), в котором вместо h используется функция

h". Тогда получим уравнение относительно h* = h* / R, решением которого будет следующая функция

(36)

где Q^rj - функция, зависящая от р(г) и as(r).

Как было показано выше, максимум функции h"(r) на отрезке [R,R + h] характеризует минимально возможное значение толщины цилиндра при

некоторой комбинации распределений р*(г) и о3(г). Этот максимум и удобно выбрать в качестве обобщенного критерия оптимальности, т.е.

•ГОО=и( тахТО^ЛМ]-

Vr«(R.R(»] » )

Теперь последние две задачи оптимизации можно свести к одной задаче биоптимизации цилиндра наименьшей толщины, сформулировав ее следующим

А

образом: найти такие параметры процесса упрочнения hî, при которых обобщенный критерий оптимальности стремится к минимуму

J'(h,) min, (37)

выполняются 01раничения типа равенств

4^t,r,K„Ui,Pjj=0, te[t„t,]; ieQ^ (38)

шенств

^t.T.fa^j-^u^O, te[t,,t2]; ÎeQÎ, (39)

и неравенств

Ь2еЬ2. (40)

Постановка задачи (37) - (40) имеет преимущества по сравнению с постановкой (25) - (34), т.к. не требует итерационной процедуры.Задачу (37)-

(40) можно рассматривать как задачу нелинейного программирования. При ее решении использовался метод штрафных функций в сочетании с методом деформируемого многогранника, На каждом шаге поиска краевая задача (38) решалась численно с помощью методики, описанной во второй главе.

В результате ее решения определялись остаточные напряжения р и функция упрочнения материала о, в зависимости от параметров оптимизации h2. На рис. 2 показана эффективность упрочнения цилиндра различными методами. Из приведенных результатов видно, что наилучшую комбинацию благоприятных распределений остаточных напряжений и функции упрочнения можно получить при использовании процесса вытяжки. Поэтому допустимая толщина цилиндра после вытяжки будет минимальна по сравнению с другими способами упрочнения. Однако процесс вытяжки может быть использован только для достаточно тонкостенных цилиндров (h/R <0,5). В связи с этим для упрочнения более толстостенных цилиндров может быть рекомендован процесс автофретирования.

После выбора оптимального процесса упрочнения цилиндра можно перейти к оптимизации технологии изготовления цилиндрической заготовки меюдом обратного выдавливания. Как было отмечено выше, основный параметром, влияющим на процесс деформирования, является отношение скорости перемещения стенки контейнера V2 к скорости перемещения пуансона Vt . Для качественного исследования решения поставленной задачи оптимизации (21)-(24) была поставлена и решена вспомогательная задача оптимального управления. С использованием теории упругопластичесхих процессов АЛ. Ильюшина минимизируемый функционал (21) может быть представлен в следующем виде:

J10(h1)=A=//o-d3dQ , (41)

tro

-» -»

где о - вектор напряжений; d3 - дифференциал вектора деформаций частицы металла в векторном пространстве А.А. Ильюшина; s- длина траектории деформации частицы; Q* - множество всех частиц металла, находящихся в поперечном сечении заготовки. Из этой формулы видно, что снижение затрачиваемой работы на деформирование возможно за счет уменьшения

скалярного произведении o-d3 (при заданных размерах заготовки и пуансона). В случае, когда траектории деформирования являются близкими к

прямым или имеют малую кривизну, векторы о и d3 соосны и их скалярное

произведение максимально. Если же траектория деформирования имеег

—>

кривизну порядка следа запаздывания материала, то вектор о отклоняется от касательной к траектории на некоторый угол V и скалярное произведение уменьшается. Поэтому, управляя скоростью перемещения границы инструмента, можно изменить кривизну траектории деформирования частиц металла, тем самым добиваясь снижения усилия выдавливания (из условия стационарности рассматриваемого процесса следует пропорциональность затрачиваемой работы усилию выдавливания).

'я»

-0.1

-0 А

-0.7

■1.0

-1.3

/г / /-3

"иг

а)

о 0.2 04 0.6 0.8

ЬА

1.2

0.9

0.6

0,3

! / ч

/ "А

I / У

/

0,1

б)

0,66

1.22 Р/.

1 • при равнопрочной конструкции; 2 • после авгофретирования; 3 - после дорнования; 4 - без остаточных напряжений; 5 - после вытяжки

Ь

а)

-0.0413 - 0.0249 - 0.00848 Э2 • - V, = 0,* х - V, = 1,5у,.

Р,МПа

600

400

300

б)

(V

— 1

5 -.__ '5 С

0 1.0 1.5 ЧЧ

X - эксперимент; ! • теория малой кривизны; 2 • теория средней кривизны.

Используя метод динамического программирования, была решена задача оптимального управления одной траекторией деформации в векторном пространстве А .А. Ильюшина и исследовано влияние вида траекториии деформации на значение функционала (41). Как оказалось, оптимальная траектория должна иметь вид зигзагообразной ломаной. Таким образом, в результате решения этой вспомогательной задачи можно сделать вывод о том, что существует возможность снижения работы пластического формоизменения металла за счет искривления траектории деформации частиц металла. Именно этот эффект имеет место в случае обратного выдавливания цилиндра с подвижной боковой стенкой контейнера. За счет сил трения на боковой поверхности цилиндра происходит искривление траекторий деформаций и, следовательно, снижение усилия выдавливания. Это предположение подтвердилось при решении задачи оптимизации (21)-(24) с использованием в качестве критерия оптимальности функционала (41). На рис. За показаны траектории деформации частицы металла, находящейся на внешней поверхности цилиндра, при различных значениях параметра оптимизации. Видно, что при подвижном контейнере происходит сжатие траектории в направлении оси Э3 и кривизна ее увеличивается. Такой вид траектории является оптимальным с точки зрения усилия выдавливания, что подтверждается результатами, приведенными на рис. 36.

В четвертой главе рассматривается процесс электровысадаи деталей. Этот процесс находит все большее применение в машиностроении. Он позволяет получать заготовки по безотходной технологии и с большой производительностью. Электровысадка состоит из двух последовательных этапов (рис. 4). На первом этапе происходит нагрев заготовки путем пропускания через нее электрического тока. Второй этап заключается в непосредственном деформировании надетой заготовки до получения детали требуемой конфигурации.

Как показывают экспериментальные данные, предельная пластичность металла заготовки зависит от многих, параметров, основными из которых являются температура 0 , интенсивность скоростей деформации Н* и напряженнее состояние, характеризующееся показателем а/Т (а - среднее напряжение; Т - интенсивность касательных напряжений). Поэтому при неправильно выбранных режимах электровысадки происходит разрушение металла. Проблема состоит в том, как выбрать такие параметры процесса (функцию распределения тока по времени, время нагрева, давление на пуансон и т.п.), при которых деформирование заготовки будет происходить при максимальном использовании пластичности металла. Решение этой проблемы удобно разбить на решение двух оптимальных задач, связанных между собой. Скачала оптимизируется процесс нагрева заготовки, чтобы в конце нагрева получить распределение температуры, близкое к оптимальному. Затем, управляя давлением на пуансон и зная температуру нагрева заготовки, постараться приблизиться по некоторой норме к оптимальному напряженно-деформированному состоянию. Сложность решения этих задач заключается в необходимости многократного решения нелинейных и нестационарных задач электротеплопроводности и термоупругопластичности.

На основе методики, изложенной во второй главе, была построена математическая модель исследуемого процесса, учитывающая нелинейное распределение тепловых источников при пропускании тока через заготовку, сложное натружение и большие пластические деформации металла. Проведенное сравнение теоретических результатов с экспериментальными данными дало достаточно хорошее совпадение. Как показали исследования, основными факторами,' влияющими на разрушение металла при данном процессе, является температура нагрева заготовки и скорость деформации. Управлять этими факторами возможно с помощью функции силы тока

I0(t), te [0,t,], где t| - время нагрева заготовки, и функцией давления на •

пуансон Р(t), te[t¡,t2l где (tj- Ij) - время деформирования заготовки. Приходим к следующей постановке двухсвязанной задачи оптимизации.

Найти такие управления из класса кусочно-непрерывных функций

•

h1(»)=I0(e)eKC[0,f1] и h2(«)= Р(в)еКС[1,,^] , которые сообщают

минимальное значение следующим функционалам:

j

J1o(b1) = í[e(í1,r1,i;h1)-e(I;Hi,o/T)] dZ-> inf, (42)

2

^(Ь2)=}[т«(н1(1,г,г;Ь2))-Н:(в,о/Т)] dt->inf (43)

при ограничениях типа равенств

¿1(t,r,z,b1,u11P1) = 0, tefO.ti]; Мей!, (44)

¿t(t,r,z,b2,u1(t„r,i),PJ) = 0, t6[t„t2}; r,icül (45)

и неравенств

0<h,(t)Sl, t€[0,t,],

O^h.WsP, te[t|ft,],

(46)

(47)

Из постановки ( 42 ) - ( 47 ) видно, что задача является частным случаем задачи биоптимизации, поставленной в первой главе. Сложность ее состоит в том, что операторные уравнения (44) и (45) представляют здесь уравнения нестационарных краевых задач элежтротеплопроводности и термоупругошистичности. Численное решение этих задач требует больших затрат времени. Поэтому первоначально было проведено качественное решение оптимальных задач (42),(44),(46) и (43),(45),(47) при некоторых дополнительных допущениях. Если в первой задаче положит, что температура есть функция только от времени и продольной координаты, то с помощью метода Фурье можно построить аналитическое решение задачи 6(t,z). Используя полученное решение, можно в явном виде расписать

дифференциал Фреше. Исследуя этот дифференциал, можно показать, что управление Ц должно быть релейно, т.е. существует и единственно только в классе ступенчатых функций на отрезке [0,(11. Этим свойством обладает прерывистая периодическая функция, которая удовлетворяет требованию простоты реализации в реальном технологическом процессе. Поэтому в дальнейшем решение задачи (42) ,(44),(46) будем искать в таком виде. Тогда исходную задачу оптимизации (без дополнительных допущений ) нетрудно свести к задаче нелинейного программирования, выбрав за параметры оптимизации величину тока в период нагрева и отношение времени нагрева к врмени паузы. Решение задачи для нагрева одной из заготовок приведено на рис. 5. Видно, что режим прерывистого нагрева (рис. 5а) дает распределение температуры по поверхности заготовки более благоприятное, чем при существующем режиме нагрева (рис. 56).

Теперь рассмотрим качественное решение второй оптимальной задачи (43),(45),(47). Исходя из предварительных теоретических исследований, едлхаем следующие до по лш ггель ные допущения. Будем рассматривать деформирование только высаживаемой части заготовки I и считать этот процесс изотермическим. В качестве модели материала примем модель несжимаемой линейно-вязкой среда. Тогда для решения такой упрощенной задачи оптимального управления можно применить принцип максимума Поктрягина. Решение показал о, что функция управления Ь^ должна иметь переключение в некоторой точке т, зависящий от температуры нагрева заготовки и механических свойств ее материала. В этом случае интенсивность скоростей деформации на протяжении всего процесса деформирования наиболее близка к заданной, что снижает возможность разрушения металла. Этот режим был проверен путем решения краевой задачи термоупругопласгичности (без упрощений). Решение показало, что при оптимальном режиме предварительного нагрева заготовки и оптимальном режиме деформирования можно гораздо полнее использовать пластические свойства материала и снизить исчерпание ресурса пластичности у, выбранного в качестве критерия разрушения материала. Это подтверждается и экспериментальными данными, полученными в

I», А

3000

2000

/1

а)

1000

6 t,c

в,с 1000

в, 800

600

400

200

б)

Z, мм

1 - существующий режим; 2 - рациональный

условиях реального технологического процесса. На основе полученных результатов составлены' номограммы рациональных режимов электровысадки для широкого класса типоразмеров заготовок, которые внедрены на ряде промышленных предприятий.

Пятая глава посвящена постановке н решению задачи оптимального проектирования профильных труб с учетом процесса их изготовления. Первоначально поставлена задача оптимального проектирования трубы с желобом минимального веса, удовлетворяющей всем требованиям по прочности и жесткости. При расчете на прочность учитываются остаточные напряжения, возникающие в трубе в процессе изготовления. Вследствие того, что при эксплуатации основные нагрузки приходятся на желоб трубы, то ищется только оптимальная форма желоба. Требуется найти оптимальное распределение толщины по сечению желоба трубы = Ь(я),

обеспечивающее минимум веса хострукции, т.е.

§

лзо(,,2) = 1Ь2(»)<Ь-»ш1 , (48)

о

где я - криволинейная координата вдоль профиля трубы в ее поперечном сечении, при выполнении ограничений типа равенств

( \

= 0, хеС^, (49)

которые представляют собой уравнения краевой задачи упругости, описывающие поведение трубы при нагружении силами Р2 и служащие связями между функцией управления и функциями состояния и2 при заданном

распределении остаточных напряжении = р^ 115х ^ а также ограничении типа неравенств, накладываемых на конструкционную прочность трубы

грукционную ГТ[

•Ь,02)= гаахтах^о;^,х;Ь;г,и^-о8^х^8з (50)

и параметр оптимизации

Ья^Ья(в)£11г1, (51)

где а* - интенсивность напряжений а*, складывающихся го рабочих

напряжений о от нагрузки Р2 и остаточных напряжений р, образовавшихся в трубе после профилирования; Ь20>Ь21 - некоторые заданные положительные величины, определяемые условиями жесткости и габаритами трубы.

Задача (48)-(5() была сведена к задаче нелинейного программирования путем замены непрерывной функции М®) набором хусочно-посгоянных функций Ь|(>), {=1,11, где п - число участков, на которые дисхретизнрован желоб трубы. Решение задачи проводилось методом штрафных функций в сочетании с методом деформируемого многогранника. На рис. 6 представлены результаты оптимального проектирования желобчатой трубы. При полученной форме желоба обеспечивается заданная конструкционная прочность трубы при ее минимально возможной материалоемкости.

Рис. 6

Необходимо отметить, что данная форма трубы битка к существующей форме, получаемой путем приваривания пластины для усиления боковой стенки желоба (на рисунке показана пунктирной линией), но предлагаемая форма желоба несколько снижает материалоемкость конструкции.

Остаточные напряжения в трубе определяются из решения задачи оптимизации процесса изготовления с (цельк> получения профиля трубы, близкого х оптимальному. В качестве процесса изготовления рассматривался прогрессивный метод профилирования трубы. Этот метод заключается в протягивании трубы через коническую матрицу специальной формы и формировании требуемого профиля. В задаче требовалось определить такие

параметры 1ц (начальный диаметр заготовки, угол конусности матрицы, угол развала паза инструмента ), при которых

^(Ь») = / /¿(ЬДчМЬхЖ)^!--» Ы, (52 >

где - тензор скоростей пластических деформаций. Отметим, что функционал ,110 зависит от формы области 0|\ которая заранее неизвестна и является

А

функцией от оптимальных параметров трубы Ьа, т.е. = Ф1(Ь2)- При этом должны выполняться ограничения -шла равенств

^М.Ь,."!»^}^ <53>

которые представляют собой уравнения краевой задачи упругопластичности, описывающие поведение металла при деформировании трубы и служащие связями между параметрами оптимизации Ь, и функциями состояние и, при

заданных нагрузках Р,, а также ограничения типа неравенств, накладываемых на конечную форму трубы

¿пОч 1*^58,, ХбО|\ (54)

«'пОк) = ^ - Сг^х.Ьг ^ £ 52, хеА}, (55)

где Г|,Г2 - уравнения внешней и внутренней поверхностен профиля трубы,

полученные при профилировании; - заданные уравнения внешней и

внутренней поверхностей, полученные при оптимальном проектировании трубы, а также ограничений, накладываемых на исчерпание ресурса пластичности материала трубы

Лв(Ь,) - згетК^'1''))<х <5б>

и на параметры оптимизации

О £ Ь„ £ Ни, 1 = 1Д (57)

где Ьи - заданные максимально возможные значения Ьи, определяемые технологией процесса профилирования.

Решение пространственной упругопластической задачи (53) проводилось с помощью смешанного эйлеро-лагранжева подхода, рассмотренного во второй главе. Численная реализация осуществлялась методом конечных элементов. Задача оптимизации (52) - (57) решалась методами нелинейного программирования. Были найдены оптимальные параметры процесса профилирования, позволяющие получить трубу требуемой формы. При этом оказалось, что остаточные напряжения, возникающие в желобе трубы при профилировании, являются сжимающими и благоприятно сказываются на конструкционной прочности трубы в процессе эксплуатации. Подученные результаты оптимального проектирования и оптимизации процесса профилирования желобчатых труб использованы при разработке технологии изготовления подобных труб на предприятиях АО "Мотовилихинские заводы".

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В работе осуществлена математическая формулировка связанной задачи оптимизации процессов упругопластического деформирования металлов. Показано, что данную постановку можно рассматривать как частный случай многокритериальной оптимизации, при котором области определения минимизируемых функционалов разделены по времени или по любому другому неубывающему параметру. Получены необходимые условия существования решения задачи для бесконечномерного и конечномерного случаев. Сформулированы необходимые условия сходимости минимизирующей последовательности к множеству решений связанной задачи оптимизации.

2. Разработана методика решения связанных оптимальных задач, включающая построение специальной итерационной процедуры последовательного

решения отдельных задач оптимизации или построение обобщенного критерия оптимальности.

3. Проведено математическое моделирование широкого класса технологических процессов обработки металлов давлением. Разработанные модели процессов прессования и профилирования основаны на решении методом конечных элементов соответствующих задач термоупругопластичности с учетом больших деформаций и сложного нагружеиия. Модели реализованы в виде пакетов прикладных программ, ориентированных на персональные компьютеры типа 1ВМ-РС/АТ.

4. Поставлена и решена задача оптимального проектирования цилиндрических сосудов давления с учетом процесса изготовления. Задача рассматривалась как трехсвязанная оптимальная задача. Определены оптимальные распределения остаточных напряжений, при которых вес цилиндрических сосудов давления минимален и выполняются условия' конструкционной прочности. Найдена оптимальная технология изготовления цилиндров с заданными механическими свойствами. Показано, что для толстостенных цилиндров из малоупрочняющегося материала наиболее эффективным является процесс автофргтирования сверхвысоким внутренним давлением. При учете деформационного упрочнения металла для цилиндров с малой толщиной стенки более благоприятным является процесс вытяжки с утонением. Здесь же исследован процесс* получения заготовки цилиндра требуемого размера с помощью метода обратного вьщавливания. С целью снижения усилия деформирования использовалась схема с подвижной боковой стенкой контейнера. Показано, " что при оптимальном соотношении скоростей перемещений стенки контейнера и пуансона усилие снижается почти в два раза. Это объясняется перераспределением сил трения на поверхности контакта с контейнером и получением благоприятных траекторий деформации.

5. Проведена оптимизация процесса электровысадки деталей с целью минимизации исчерпания ресурса пластичности материала при деформировании. Задача сведена к решению двух связанных оптимальных задач. Вначале оптимизирован процесс электроконтактного нагрева заготовки. Показано, что оптимальным является прерывистый режим пропускания электрического тока. При таком режиме нагрева возможно получение достаточно равномерного распределения температуры по длине высаживаемой части заготовки. На втором этапе найден оптимальный вид функции давления, развиваемого пуансоном при деформировании. Управляя давлением на пуансоне, можно добиться проведения процесса деформирования при заданных скоростях деформации металла. На основе полученных результатов составлены номограммы рациональных режимов электровысадки для широкого ассортимента деталей, которые внедрены в производство.

6. Решена задача оптимального проектирования труб с учетом процесса изготовления. Определена оптимальная форма профиля трубы, отвечающая всем требованиям прочности и жесткости. Затем найдены параметры процесса профилирования, позволяющие получать трубу с заданным профилем. При решении первой задачи учитывались остаточные напряжения, возникающие в трубе при изготовлении. Найденные параметры процесса профилирования проверены экспериментально н внедрены в производство.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ

1. Трусов П.В., Столбов В.Ю. Об одном алгоритме решения пространственных задач установившегося течения металла. //Изв. АН СССР. Металлы, 1983,№4.С. 1 34-138.

2. Столбов В.Ю., Дударь О.И. Оптимизация формы желобчатой трубы //Прочностные, динамические характеристики машин и конструкций. Межвузхб.-Пермъ:Изд-во ППИ,1984.С. 33-37.

3. Трусов П.В., Столбов В.Ю., Онисхнв В Д., Дударь О.И. Некоторые результаты исследования остаточных напряжений в процессах с большими деформациями //Тр. 1 Всес.симп."Остаточные технологические напряжения".-М..1985.С.314-319.

4. Столбов В.Ю., Трусов П.В., Крон И .А. Исследование процесса профилирования желобчатых труб //Обработка металлов давлением. Межвуз. сб.-Свердловсх:Иэд-во УПИ.1981 .С.69-73.

5. Столбов В.Ю., Дударь О.И., Девятов В.В. Влияние скорости прессования и угла конусности матрицы на изотермический процесс прямого выдавливания полого цилитщра //Изв. вузов. Черная металлургия, 1986,№6 .С .46-49.

6. Столбов BJO., Девятов В.В., Дударь О.И. Влияние температурной неоднородности на процессе полугорячего прямого выдавливания трубной заготовки //Обработка металлов давлением. Межвуз. сб.- Свердловск:Изд-во УПИ, 1986, С. 118-124.

7. Няшин Ю.И., Девятов В.В., Столбов В.Ю., Подгаец P.M. Исследование температурных полей в процессах прямого выдавливания цилиндров //Изв. вузов,Черная метаяургия,1987,№З.С.б7-70.

8. Девятов В.В., Столбов В.Ю. Оптимизация механических свойств при пластическом деформировании //Кузнечно-штамповочное производство, 1987^610. С.4-6.

9. Ашихмин В.Н., Столбов В.Ю. Оптимальное управление технологическим процессом изготовления пщроциливдров с целью получения заданного распределения механических свойств материала //Тезисы 2 Всес. хонф. "Механика неоднородных структур".Т.2.-Львов,1987. С.14-15.

10. Столбов В.Ю., Ашихмин В.Н. Оптимальное проектирование гидроцилиндров минимального веса с заданным распределением прочностных свойств //Тезисы 1 Всес.конф. "Численная реализация физико-механических задач прочности".-Горький,1987 .С.17-18.

11. Столбов В.Ю., Тверье В.М., Дударь О.И. Автоматизация проектирования технологического процесса электровысадки деталей осесимметричной формы//Тр. Всеслсонф. "САПР в кузнечно-пггамповочном производстве.Т. t.-M.,l988.C.79-80.

12. Няшин Ю.И., Столбов В.Ю., Трусов П.В. Математическое моделирование и оптимизация технологических процессов штамповки выдавливанием /Лр. Всес .ко нф. "САПР в кузнечно-штамповочном производстве.Т. 1 .-М.,1988.С.143-145.

13. Девятов В.В., Столбов В.Ю. Определение показателей качества деталей, обработанных холодным редуцированием //Кузнечно- штамповочное производство ,1988^62 .С.17-18.

14. Няшин ЮЛ., Столбов В.Ю., Трусов П.В. Оптимизация остаточных напряжений в процессах осесимметричного прессования IFГр. 3 Всес. симп. "Технологические остаточные напряжения.-М.,1988.С.283-288.

15. Столбов В.Ю., Тверье В.М. Методика расчета рациональных параметров электроконтактного нагрева цилиндрических заготовок // Кузнечно-штамповочное производство,1987J67.C.21-23.

16. Столбов В.Ю., Няшин ЮЛ. Оптимальное управление траекториями деформаций при сложном иагружвнии тела осесиммепричной формы II Тезисы 3 Всес.симп. "Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии".Т.2.-Киев,1!>89.С.54-55.

17. Nyashin Y.I. and Stolbov V.Y. Residua] stress optimization in material treatment H Trans.of Sixth National Congress of Theoretical and Applied Mechanics. (Varna,l989).Vol.2.Sofia,1990.P.339-343.

18. Столбов В.Ю. Оптимальное управление процессом электровысадки деталей осесгшметрнчной формы //Мат.методы и фиэ.-мех.поля, 1991, вып. 33. С.59-64.

19. Столбов В.Ю. Управление траекториями деформации при обратном выдавливании цилиндра //Акт.проблемы теории пластичности и устойчивости. Межвуз.сб.-Тверь,1991. С.93-100.

20. Столбов В.Ю. Оптимальное проектирование конструкций с учетом процесса изготовления //Проблемы прочности, 1991 ,№5. С.64-68.

21. Столбов BJO., Келлер И.Э. Оптимальные траектории деформации при сложном нагружении //Краевые задачи. Межвуз.сб.-Пермь:Изд-во ППИ.1991. С.128-136.

22. Столбов В.Ю., Ашихмин В.Н. Оптимальное проектирование цилиндрических сосудов давления с учетом процесса автофретирования // Проблемы прочности,1992J&2. С.78-82.

23. Trusov P.V. and Stolbov V.Y. Modelling of steady and unsteady metal flow processes under complex loading and large strain // Proc.I3th Riso Int. Symp. on Materials Science. Roskilde. Denmark. 1992. P. 473-478.

24. Няшин Ю. И., Столбов В. Ю. Оптимальное управление технологическими остаточными напряжениями с целью повышения прочности и устойчивости консгрухций // Прикладная механика, 1993. Т. 29, № 8. С.З-13.

25. Столбов В. Ю. , Тверье В.М. Управление элегароконтактным нагревом цилиндрических заготовок при высадке деталей II Кузнечно-штамповочное производство, 1994, >fe 5. С. 6-8.

26. Гитман М.Б. , Столбов В.Ю. О некоторых постановках и решениях задач оптимизации процессов обработки металлов давлением II Вестник ПГТУ. Механика. Межвуз. сб. - Пермь:Изд-во ПГТУ, 1995, № 2. С. 128-139.

Сдано в печать 9.08.95. Формат 60x84/16. Объем 2 пл. Тираж 100. Заказ 1386.

Ротапринт Пермского государственного технического университета