Решение задач с функциональными начальными условиями для обыкновенных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ТАД2ИШШИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УИТШГСПТЕТ

Специгишзировашшй совет К 0G5.0I.02

На правах, рукописи

УД,' 519.87.59

I ^

___________\АУ

5НПИ ЗАДАЧ С ШПЩОНМЬНШИ ШЯАШШ1 УСЛОШШЯ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДЙФФЕРЕШЩШШХ УРАВНЕНИИ

01.01.0? -дК'1ф0рв1ЩИа.ЧЬШ0 УрЭЕНеКН.4

АВТОРЕФЕРАТ дйссертацин на соискание ученой степени кандидата физико-иатенатнчаских наук

Душанбе - 1995 г.

Работа выполнена в Таджикском государственном университете. . ,

I"

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Ы.К.ЕНУСИ -

Официальные оппоненты- доктор физико-математических

наук, профессор ИДОЛОВ II.И. кандидат физико-математических наук, доцент ДХОБИРОВ А.

Ведущая организация - Институт кибернетики научно-произ- .

водственного объединения "Киберне-нетика" АН Республики Узбекистан

Защита состоится " ¡Н' » ^гса^;)^ тээбг. в. {асов на ааседании специализированного совета К 065.01.02 по хрисуаденшо ученой степени кандидата физико-математических наук в Таджикском госуниверситете (734025,г.Душанбе,пр.Рудаки,17).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Таджикского госуниверситета.

Автореферат разослан " " СКЧ-ЯирЛ 1995г.

Ученый секретарь :гоциализированного совета, к.ф-м.н., доцент

Хосабеков О.Х,

0Е1ЦЛЯ ХЛРЛКТШТСТЖА. РАПОТН

Актуальность работа, Кяк известно при решения многих задач физики, биологи;;, геологии, <е«мии, кодкцтго, згссгг'/ктя* т? других отраслей остостсо?наиия бсш-му» роль играет циалыюе уравнения. При ртом вчгячм «пятом •лгамеренциалыпи. уравнений являются обнкнояетгоо /аМфзредоглааыто уравноикя, который описывают различные явления природы и чэлоьзчоскс.!

Обпюпроголг?! ди^^орешрпл.м.'.та уровионлям и сеязаш-оо с ш!-ми задачей Ксад! £с,сшкзш< ¡л'огочислетп;^ рг^стк оточостг/эюшх и зарубежных ученых. Среда них работы Филипа Хартмана, Дж.Сансоне, Килййгтона 2.А., II.',.. И.«-.. гюнпыги-

па Л.С., Гутера Р.С., Тихонова А.Н., Васильевой А.Б., Свешникова А.Г., Уварова В.В., Э.Камке, Эльсгольца Л.Э., Степанова В.В., Матвеева Н.М. и других. Во всех этих работах, либо изучены корректность задачи Кош» либо свойства решений обыкновенных-дифференциальных уравнений. В многих этих работах также изучены вопросы устойчивости стационарного состояния.

Изучение решений задачи Кош для илтегро- дифференциальных уравнений 1-го порядка посветевн раоотк ГТ;;-Г., Полков а Г. А. Массера Х.Л., Шефера Х.Х., П.Р.Халмоша, Г.й Цзрчукь, Я.В.Быкова. И.Г.Петровского« Ичскаяиезз М.И., Короткова В.Б.» Краснова М.Л., В.П.Маслова н т.д..

В связи с математизацией биологии и общества з последа-' время возникли новые постановки задач для ебкгловеш^-. дифференциальных уравнения. В этих постановках задача Коагл заменяется на так называемую задачу с функциональными начальными Си граничными; условиями:

М

- = Т(Н(а), а), О < а £ Ъ

■ йа ъ • (I)

N(0) = / В(Я(1)г V

о

где Р(,), В(,) - заданные функции, Ьо, Ь -заданные числа. Задача (1) характеризирует стационарную численность популяций биологических сообществ с учетом возрастной структуры. Заметим,

' • • ••*г: -3 ; •"•' '

что некоторые физические процессы аЛ-взаимодействий элементарных частиц также сводят к задаче (1). Термин задача с функциональными условиями типа (1), а также связанные с уравнениями в частных производных был введен и изучен в работах М. Пнуси.

В задаче (1) не учтен эффект группового возрастного взаимодействия с конкретным биологическим видом, который очень важен с практической точки зрения. Этот эффект можно учитывать введением нового интегрального члена в правой части уравнения (1).

Математически, соответствующая задача имеет вид:

сШ г

- = Г(Н,а) + ] ф (На), Щ - <р (N(0)), О $ а < I.

* а„

(2)

Н(0) = I в (на). и ае

где, фГ,;, фС.^-заданные функции. К задаче типа (2) также сводятся некоторые другие физические процессы. Эти физические.процессы, например, связаны с си-взаимодействиям и описаны в рамках партонных моделей. Для уравнения переноса, в работах и.Шуей и была поставлена и решена модельная задача с функциональными условиями типа (2).

Таким образом класс задач типа (2) является очень важным классом в теории дифференциальных задач с функциональными условиями и имеет немаловажное теоретическое и практическое значения.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический и практический характер. С теоретической точки зрения ценность работы состоит в исследовании решений нового класса задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы при моделировании • численности популяций биологических сообществ, число элементарных частиц, при проектировании мероприятий по защите урожая от сельхозвредитолей и охраны редких видов.

Цель работы состоит в исследовании нового класса задач для обыкновенных и интегро- дифференциальных уравнений, т. е.;

и

• -

задач с функциональными начальными условиями, связанных с численностью изолированной популяции и биологических сообществ с учетом внутри- и межвидовых взаимодействий и числам элементарных частиц.■ Отличительная черта рассматриваемых задач заключается в том, что начальные значения являются функционалом (интегрального ,типа).от неизвестного решения. Для линейных задач рассматриваются вопросы корректной их разрешимости и представления решения через входные параметры в явном виде. Доказаны теоремы существования и единственности задачи (1), (2) в банаховом пространстве, а исследованы соответствующие задачи с

функциональными условиями для уравнения Бернулли, Гиасатп, Клеро и других. Рассматривается также вопросы численного решения соответствующих рассматриваемых нелинейных задач.

Научная новизна. Для одного класса обыкновенных и ин-тегро - дифференциальных уравнений с функциональными начальными условиями изучены вопросы корректной их разрешимости и устойчивости соответствующих стационарных решений. Доказаны, теоремы существования и единственности их классического решения. Обоснованы такке существования и единственности решения задач с функциональными начальными условиями в банаховом пространства. Приведены конкретные примеры решения задач с функциональными условиями для уравнения Бернулли, Риккати, Клеро и другие.

Метода исследования. В работе использованы современные методы теории дифференциальных уравнений, функционального анализа и вычислительной математики.

Основные положения, которые являются новыми для данной работы, следующие:

1). Для линейной интегро-дифференциальной задачи с функциональными начальными условиями доказаны теоремы существования и единственности

2). Обоснованы представления решения некоторых однородных и неоднородных линейных задач с функциональными начальными условиями.

3). Исследований решение линейных задач с функциональными начальными условиями в банзковсм пространстве.Поставлены

и решены' соответствующие задачи для-уравнения Бернулли, .Риккати и Клеро.

4). Изучены вопросы нахоадешш приближенного решения, дока-зашш сходимость и устойчивость решения разностных аппрок-силирущих задач.

5). Приведении вычислительные экспер4менты для решения модельных задач на ЭВМ.

Апробация работа. Основные результаты диссертации

докладывались на семинарах кафедры математического моделирования и оптимизации кехашио математического факультета Таджикского Государственного Университета (рук. проф. .4. К. Еиуси), на ежегодных апрельских научно - теоретических конференциях профессорско-цроподавательского состава Таджикского госушшэрсн-тета (1992, 1993, 1991, 1995 г.), на международной конференция "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент" ( 28 -30 ноября 1994 г, г. Ташкент) и на обьедененном заседании кафедр "Дифференциальные уравнения и функционального анализа", "Высшая математика", "Прикладная математика" н "Математического моделирования и оптимизации" (24.11.1994).

Публикации. Основше результаты дассертащш опубликованы в работах [1} - [5].

Объем и структура работ. Диссертационная работа изложена на 104 страницах машинописного текста, состоит из введения, двух глав и списка литературы, включандего 100 наименования.

В дассертащш использована двойная нумерация, причем первая цифра означает номер параграфа, а вторая - номер формулы в параграфе.

Краткое содержание работа.

В первой главе рассмотрена так называемая задача с функциональными условиями (начальное условие является функционалом неизвестного'решения,), которая описивазт динамику биологических популяций в стационарном реашме:

б

6П г

-- Т()1,а) + I ф (N(1), и » ф (И(а)), О ^ о а.

аа о

(3)

н(о) = | в аки, и ц

о

гдо !!(а)=(1^(а), и2(а),...,Нт(а)); Я ^ Га;-искомая неизвестная функция характеризирующая численности популяции 1-го вида возраста а, 0^1; Р('{,а), В(!Г,а)-тч?лрпая вектор функция, ц}(Н,а)-заданные т-мерные и скалярные функции^^таЕ^-твсиио].

Функция Р(И,и), В(Н.а) харакавризируш1 сооизвгсхашо ции смертности и роздаемости популяции, а функции ф(7/,и, Ф(]?(а)) означают внутривидовую конкуренцию.

Заметим, что задача (3) является стационарной задачей для

задачи

1.

аХа н* = г),а,г) + / ф ст.Ь. и ^ * Ф

о

О ^ а € Ъ

Н*(а, О) = Н* (а); О $ t $ О $ а $ I. (4)

К*(0, г) = / В (Я*а, t), 5, О О $ t <

о

где 1-время, ^(а) - начальная численность биологического вида

возраста а, ОекЕ; и оператор а^а- определяется таким образом:

а а «ь = — + — ; ш ах аа

В диссертационной работе рассматривается, случай, когда Р=Р(Я. а) и В=В(П, а).

Следуя работ М.Шуси сформулированную задачу (3) назовем задачей с функциональными начальными условиями.

Введем обозначение: С?п ы- пространство непрерывных функций.

имеицих кусочно-непрерывные производные первого порядка. Определение I. Под решением задачи (3) Гили (4)) будем понимать непрерывную функцию Н~Н(а) ("или N*=N*(a,t)),

(КШк) из Cf¡0и, которая удовлетворяет

условиям (3) (или (4)).

В первом параграфе первой главы приведены и исследованы примеры модельных задач с функциональными начальными условиями:

пример I. Цредаолошш, что F(H, а) = FJa) ¡Ha).

■Wt). U « Ф0ГС-» : ¡f(Ü. а) = N(a),

B(H(V. í) = B(t) ; ¡f(a);

где обозначено: <|>0fU ; fffU=E Mk(i)

i

Для задачи (3) с описаными выше функциями, введем в рассмотрение параметр L

Ь* S B0(t) ехр[г Р0(ц) an] dt .

о °

тогда справедливо следующее: Для всех Во(а) > О, FQ(a) < О, VaeCO.LJ при h<1 задача (3) не имеет положительного решения, а при Ь>1 существует единственное решение данной задачи, которое определяется с помощью формулы

N(a) = N(O) еяр( / FJV ä{ - 0така ).

где

If (ОJ =

ö

так

S

f <|>ja) exp[ x FJU di - flMaxo ] da

o

и втал-является вещественным, максимальным, положительным корней

уравнения а

I В(а) е аа - 1, в(а)= Во(0) expí t F0fT}J d» 1 (Б)

О ° .

В случае, если h=í, то N(0)=0, т.е. Я(а) = 0;

Пример 2. Пусть в задаче (3), F(N, а) = Fía) N(a),

® -

X |F0fa;i da < и » Ф0си; V(U.

tfir. a) = 1, B(N(i), i) « B(a); H(a);

J B(a) âa < го,

где функции Hja), Fo(a), Фо(а), ф(о) - заданные непрерывные функции и Во(а)>0, Fo(a)çO, <|)0(а)Ю, ф(а)К>, тогда реше-

ние задачи (3) представляется в виде

К (а) = С F (а) + <р (а),

гдэ

L. со

JV«|U{J ф (t)J di

" ; Jw'

|Во(0) I e 6 dÇda-e! L

, P(a> -

1 - J Ф0Ш m)

; - J в (a) da

и <p(a) »

й о i r

; J w

-t^=S BQ(a) j <ç(a) e > d£ da.

f - J В (a) (ta

Праызр 3. Пусть теперь в задаче (3), F(N,a)=Fo(a)R(a),

B(Na),t)=B(a) N(a); где FJa), FJa), В(а), фс ("с^-задашше функции и кроме того Во(а)>0, Fo(a)ï0. FJa)>0, тогда решение задачи (3) представляется в виде

Н(а) = С х F (а),

где

С =

1

-

j Фсге; f*(V ¿e

о

F(a) =

S'Ba(Vr P.(î) eapf f F0(t\) âr\ lcfa'cîe

» О L a • J

- _ . —

/ Bo(V exp\ / FJi}) dr\ 1 dC - 1

V о J

exp[ /Р0ЩМ})~

/ Ffa) ezpf fF (O d£ W

О л' J

Во втором параграфа первой главы, для задачи (3) доказаны теорзмы сущзствования и единственности. Введем определение:

йгределеше 2. Классическим решением задачи (3) назовем любую функцию N=N(а), OCaCL из С|0<ы которая в точках непрерывности F(,) удовлетворяет первому уравнению (3) и для нее выполняется соответствующее функциональное начальное условие (2-ое уравнение (3)).

Пусть имеют место условия:

Теорема I.

Теорема 2.

а) F(N.a) = F0(N,a) N(a), |F0íff,a,>| £ -¡¿а)

L

Ф(N,a)=H(a), J TtÍUd£<». ФГЛ.1М1>0Ш MU.

o

и

едти, tmm. B(N,a)=Bo(U,a)N(a)^(a),

o

тогда существует классическое решение задачи (3)

Пусть выполняются условия а) теоремы I и кроме того выполнено условие

W; 0$}i<L

о о

где q=conat>0, тогда решение задачи (3) существует и единственно. З&иачанца I. Теоремы I, 2 справедливы и в случае, когда

В(П,а)=В0(Я.а) N(a)*p(a),

L

F(N,a)=F0(N,a) U(a)-¡ <J>0(N(l),Í)dÍ N + a(a)

где.

rnr J F0(N(i),uat < со, mar J i|>0 WU.EJdC < »,

г Í 1 °

0 < S Bo(N(í), i) ezp[ J (F0) Ffrjj ar¡ ] < 1.

Замечание 2. Теоремц I, 2 справедливы, если условие а),

заменить на условие

о о

В параграфе 3 исследуются вопросы корректности постановки соответствующих систем с функциональными начальными условиями, т.о. "

(Ш г

- = Aja) №) -J Ф (i) mu di * Н(а) + а(а), О < а < L.

da о

(S)

w) » J в0а) на) dg f р

о

о

где N=(N^0), 11г(а).....Ип(а)), Ы^-И^а)-искомый вектор функция

Ла(а), Во(а)-т*п матрицы, ф(а), а(а), § - «-мерные нэотрицатоль-1ПЮ вектора, Оса$»,

СО СО СО

ХЦа|| а£ < со, ЛМоШ0 <36 < И„. ЛВ0Га;|1 < е р-сопзг > 0

о ! о о

Основными результатами данного параграфа являьтоя следуиаие:

Тоорама 3. Пусть а(а)=0, р=0, В(а)>0, Е-'-л)-В (а) г(а),

со -Ха

В(\)=/В(а) е с!а<оо для всех ,*■>], \о < О.

о

Тогда существует единственный максимальный вещественный корень \ уравнения

det (I - В(\)) = О и X

так

>0, . если h = Р2 > ? 0, если h --- 1 . <0, . если h < 1

Определенно: Пусть а(а)/0, (1/0, н функция В(а) удсалетьор-

яот условиям теоремы 3, тогда система (б) имо<>т единственное реиекие тогда я только тегд" данная система в случае aía)-0, р-О, нг; икет не нулевых решений.

Сформулируем следующие условия: а) Р(1Г, а) = А(И, a) N(a), <p(У(а)) = Н(а)

B(N,a)=Bo(N,a) N(a)+ ßo(a), A(N. а) < Ao(a)

CO 00

JBBoreJU di < е О « J ф MV,t) « 0о

б)

Теорема 5.

л» л»

det (I - В(\)) / О, В = S Воа) е xa) de,

ах äP °

Х(а), Х(О) = I, 0 < П(а) < ~

da

■ dF

da N(a).

Пусть имеет место условие а), тогда существует по крайней мере одно решение задачи (6). Если же выполнено и условие б), то это решение единственно.

Четвертый параграф посвящено решению задач с функциональны™ начальными условиями с квадратичной правой частью, т.е.

г сет г

— = Р0(а) П(а) - Р^а) ] <|>„Ш (»«£>, мс£>1 (Ха<1.

(7)

ч(о) = J в0(Ь на) d?

где, Р0(а), В0(а)~заданные матрицу порядка пыт, Р%Га;-заданный

т-вектор, фо(а) - заданная скалярная функция.

Теорема 6. Пусть Р0(а), Р^а) - являются непрерывными

функциями, (а)>0 и йеКВ-1)*0,

Роа)

В=/ Ва(£)е Х=Х(а) решение системы:

о

(ЗХ

— = Ро(0)Х, Х(О) = I, (За

тогда решение задачи (7) представляется в виде ' Ща) = С * /(а),

где,

С = _-

f <p0amvii2dz

о

f(a)=X(a)\ J B0(tmtJ di - I

i

J в (V f XCUrUvJFJvJ^Í *

o

a

+J- X(a) r'(t) Fjí) cíe.

o

В параграфе 5 привелело решение задачи с функциональными начальными условиями для уравнения Бернулли, Риккати и Клеро. Этот параграф состоит из трех пунктов. В первом пункте рассмотрено уравнение Бернулли

ÚN _

-- Р(а) N = Q(а) ¡г, О z а < L (8)

Оа

с функциональным начальным условиям

со

ЩО) = J BJV на) ai (9)

о

где, Р(a), Q(a) - заданные непрерывные Функции а, 0 ^ а < L Заметим, что в случае п=0, п-1, мы придем к тем известным результатам. В случае когда n¡¿0, n¡¿ 1, справедливо следующие ут-верздение:

00

Пусть Во(а) > О, J Во(а) da > 1, Q(a) (к О, О « о с I,

о

тогда уравнение

«, ■ _

I 20fa; [ 1-(п-1) aja) 0 ] " ' da = 1 (10)

о

гдэ

Sra;=BoCa;e ° , án(a)=}Q(t)e ° di; 0=^(0),

имеет положительной максимальный вещественный корень Следствие.

0 = К*'™ (О)

mOJ» * '

tf*(0) = [ej "-1, при п-><О Я*(О) = 1

Во втором пункте рассмотрено уравнение Риккати dN

-= Q(a) И1 + Р(а) N + R(a), О < а < Ь (II)

(За

и функциональное начальное условие

ь

N(O) = J Bja') N(a') da'

о

где, Р(а), Q(a), R(а)-заданные непрерывные функции a.OgtgL. Пуоть известно частное решение уравнения (II), тогда после з ны N=Nt+Z относительно Z мы получим уравнение Бернулли с фун ональныш начальными условиями

L U

о) = j в0ге; а? + р. где р*-що) - j bjv нла) с

о о

Следовательно задача решается как в предыдущем пункте, (ест вестно одно частное решение NJa)).

В третьем пункте рассмотрено уравнение Клеро

N(a) = ра V-. ф(р), О < а $ L (12)

с функциональным начальным условиям

N(О) = J В0(а') N(a') da'

о

о

(Ш

где, ф-данная дифференцируемая функция, Р=-, фСр^йр, Ь=оот

(За

Справедливо следующее утверждение:

Пусть выполняются условия Ва(а) > О,

г.

$В0(а)ва<1, ц>(а) такая что, уравнение ф(а;=г

о

Тогда в представлении решение неизвестная ко станта С определяется из

ь

J а х в0(а) da

Ф (С) =

о

1 - s BJa>(3а

Оснсбшм результатом параграфа б - является обоснованно чч с функциональными начальными условиями в си^ахоьиа прос-

ЛСТ I3E.X.

Пуо-iь iliuJ-OÄüonapü.'icspiiHecKoe J семей^н- ■ <л»рато-бшахового пространства В с oCu;efl пло-шой ь Б областьз оттрс-;ш Zbö и пусть А(ч) зависит от параметра а нопрвршйю, т.о. )/~>ЛЫ,)/. z~<üt, Г^л tfcP.

гиг.: и^од}«^ задачу. Найти решило уравюшя

(ЯГ

- х i О i а $ а. (13)

IUI

влетворящегося функщюнальному ("начальному; условии

со

ЩО) = J Воа) N(t) üi

о

, F(a), ßo("U-заданные интегрируемые функции. Следуя введем дующее определенно.

Оператор А(а) в В обладает такими свойствами:

•-i" -%;;?ity c.aoparjpa

vv;::-:/;:: - ЯГ* C'v.-u, -'".< В) '.'.гл 5 ^>!•-; ;

Oy;::;..:myi;v i'aKw •* > О, "¡то дм -ЛКЯ.'о а '- ■' ъ " - ... 5 а > О

л ■ п

SiAi^j - ХГ' Ша2) - \J-...r.4tatJ - \j-ge ч t\ -а

/: V ' .■!■) : с.

:ia: Пусть Л(а) обладает свойством Г^б). 'Пусть

N(a) - некоторая непрерывная функция параметра

г. sc ?яй'!°н!?ям1« в О (А(п)) <- в и такая, ч-го

..V .17 ,*у:пиы!'. —. ч ?<aj =---- А(-ч ::л./

<.ш ^

.»¿а/ ло Бохшру; fJ0t'u) - задетого "

•лм'рирус-мы по Isoxiiopy. Тогда

Т5

Ме °о пах \Н(а)\ $- г ¡и ей. ш> », (14

<Ха«а <".ао ао о

/ I РоГЕЛ, йе

Глава II посвящена вопросам разностной аппроксима1 задач с функциональными начальными условиями и ее сходамосч устойчивости схем и погрешности аппроксимации. Показано, * матрица аппроксишрупцей задачи, идентична хорошо известнс матрице Лесли для модельных ■ популяций с учетом возраст структуры.

Приведем основные результаты данной главы.

В параграфе I второй главы рассматривается .на се;

А%=(а1, а(=(х, 1>0, (=Э7п/, ам4п=Т^с, ата><=Т7Я, следуищ вопросы аппроксимации задачи с функциональными начальными усл< виями для обыкновенных дифференциальных уравнений:

сш

- = , О ^ а $ I. (15)

(За

с»

И(О) = I В (Н(1), %) й?

здесь а , а - положительные числа, а < а , а < L.

y»>vn mo* т\г» me* тая

Предположим, что функции F(N.a), В(Я,а) непрерывны и огранич! вместе со своими вторыми производными. Уравнение fl5> заменя разностным уравнением по схеме Рунге-Кутта 2-го порядка точно

YU1 = r(+a[ FWfaO+ а ~ rctt,at)J J, (16)

где а-параметр, i-o,I,2,...,п. функциональное начал

ное условие (9^заменяем с помощью одной из квадратурных форм имехией 2-й порядок точности ("например, формула средних или т пения}:

Y0 =Z ct B(Yt.at) (17)

i ~v

О

где С^ коэффиценты квадратурной формулы. Введя вектор фута

/<Т)= (fa(Y),...,fJY)).

получим систему нелинейных алгебраических уравнений

Y = f (Y) (18)

«ft

ая как известно, что при max

сй\

< 1 имеет единственное

нив. Показано, что решение уравнения (1в) сходится в равной матрице к решению исходной задачи со скоростью 0(%1). им, что матрица системы (1В) является матрицей типа матрицы

О...О aoio...aoto О... О

0

О а.

.О

.О

О

а . О

пп- 1

, где а

U

dft

(JY,

У О

дельной матрицией:

-

dB 08

0. ..0 — ,. .— ...0

(Ш <Ш

1 0 0... 0 ...0

0 1 с , .

0 0 . 1 0

ено, что собственные значеш!Я матрицы Áz удовлетьо; я»;т :ешоэ

Г х«'- а£оаоХ{'-£°-

*/~Л^ - i u„u Q _ ) - 0 (19)

to IO О I lO 21 n n-1

;ак аопг< O, n = Т~Г7, и свободный член характериггкччt-Koi-o гения (19;, Oga^J, J-u,n-i, (=T7~ñ, т.е. матрица А -неважная.

Аналогичным образом исследованы вопроси разност:п:Я алгт>"к-цш и устойчивости схем а также погрешности кшроксимчции :ледувдий уравнений а

сОТ

- = Р(Н,а) + Г Ф (ff(U,í '-Д <3 < а < Т (20)

da

а

N(0) / ВШ(1)ЛЩ .a r ó а < а

V Xi n'Via*

Параграф 2 посвящен вопросам устойчивости схем для зада' и вычислениям погрешности аппроксимации.

В параграфе з, главы II приведены численные решения рг

смотренных задач для различных модельных дашшх.

В заключение выракаю глубокую благодарность своему науч]

му руководителя М.К.Шуей за постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации' опубликовании в следующих работах.

1. Чалилов Хуршед (Хуршеди Максудзод;, Дар бораи халли ян масъвлаи интегро-дифференциали бо шартхои аввалаи функцией а ли (На тада. языке), Тез.докл.апрел.науч.теорет.конф. проф.преп.состава ТГУ, 1992

2. Хуршеди Максудзод (Джалилов Х.М.), Теоремаи мавчудият ва ягон<.пш халли як масъала бо шарти аввалаи функционала,

Тез.докл.апрел.науч.теорет.конф.проф.преп.состава ТГУ,, 1993

3. Хуршеди Максудзод <"&;алилов Х.М.;, М. Шуей, Исследование математических моделей с учетом внутри и межвидовых конкуренции в стационарном случав, Тез. докладов международной конфренщи "Математическое моделирования и вычислительный эксперимент'', (28 - 30 ноября 1994 г, Ташкент, стр.375)

4. Хуршеди Максудзод ("Дкалилов Х.М.;, М. Юнуси, Решение одной задачи с функциональными начальными условиями, Тез.докл. апрел.науч.теорет.конф.проф.преп.состава ТГУ, Душанбе -1994.

5. Хуршеди Максудзод ("Джалилов Х.М.;, М. Шуей, Исследование стационарных моделей с учетом внутри и межвидовых взаимодействий, Известия АН Тада. N I, 1995г.

2/.\-1{'05 г. Закоа 105. 'Тирмк 100 »кг. Рс4ифМ<т ТГ>',Дуи'Пнбе,ул.Лаху»и 2. 18

fnrocraFCTEO ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ ТАДЗИОХТЛН ТЛДПТГССГПТ!* ГОСУД* PCTpîWîiWîf ТКПЕКРСИТЕТ

Специал!зпротшшП совет К Ов-Ъ.ОГ.С'/ На правах, рукописи

.гтгг* trn Ctrl СО

ДШШ10В ХУРШЗД МАКСУДОВИЧ

О РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ОУШСЦКОНАЛШШ НАЧМЬЙШ УСЛОЕВШ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ

01.01.02 —двффэронцн? штс- ураш;ен»л

А В Î О Р Е О а Р А Г диссертации на соискание ученой степени

папдздата (¿ззяко-'латзна'пгсосют паук

Душанбе - 1995 г.