Решение задачи термоупругости пологих оболочек методом граничных элементов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

г г б од

На правах рукописи

КРАМИН Марат Владимирович

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ

ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 1995

Работа выполнена в Казанском государственном университете.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Ю.П. Артюхин.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор М.Н. Серазутдинов.

по физико-математическим наукам Казанского Государственного университета (г. Казань, ул. Ленина, 18).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета.

Отзывы на автореферат просим присылать по адресу: 420008, г.Казань, ул. Ленина, 18, КГУ, Научная часть.

Автореферат разослан 1995г.

Ученый секретарь диссертационного Совета, доктор физико-математических наук,

кандидат физико-математических наук, доцент А.П. Грибов.

Ведущая организация:

Институт механики и машиностроения РАН

Ж" ЖЩ.... 1995

А.И. Голованов

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы.

Высокая механическая прочность и легкость оболочек обуславливает их широкое использование в технических конструкциях. В настоящее время на практике применяются оболочки сложной геометрии, что влечет за собой развитие как фундаментальных, так и прикладных разработок, ориентированных на численные методы исследования.

Обзоры по оболочкам сложной формы приведены в работах Я.М. Григоренко, A.M. Тимонина, А.Н. Гузя, A.C. Чернышен-ко, М.С. Корнипшна, М.А. Файзуллиной, Н.П. Петухова, М.Н. Серазутдинова и Н.М. Якупова.

Являясь эффективным подходом к исследованию в механике твердого деформируемого тела, метод граничных элементов (МГЭ в настоящее время занимает достойное место среди других численных методов и находит применение для решения разнообразных задач в различных областях. МГЭ основан на соответствующих этим задачам граничных интегральных уравнениях, которые могут быть построены при существовании фундаментальных решений для исследуемых дифференциальных операторов и при проведении детального анализа предельных соотношений интегральных представлений, имеющих место при переходе на границу.

Основы теории граничных интегральных уравнений были заложены в работах С.Г. Михлина , В.Д. Купрадзе , Н.И. Мусхе-лишвили и В.И. Смирнова.

Метод граничных элементов (МГЭ) впервые с прикладной точки зрения описал в исследованиях Т.А. Крузо и Ф.И. Риццо.

Проблеме построения и анализа фундаментальных решений теории оболочек, неразрывно связанной с осуществлением гранично- элементных методов, посвящены работы С. Лукасевича , В.П. Ольшанского, В.П. Шевченко.

Развитие МГЭ в теории пластин и оболочек представлено работами Ю.П. Артюхина, К.Н. Ванцарева, Р. Ваттерфилда, П. Бенерджи, К. Бребия, Э.С. Венцеля, Ю.В. Верюжского, А. Вро-убела, С.П. Гавели, Г.К. Господинова, А.П. Грибоза, И.Л. Зан-га, Р. Квина, Б.Г. Коренева, Т.В. Крамина, С. Крауча, П. Кси-алинга, A.M. Куземко, В.М. Кулакова, Т. Масатаки, Л.Б. Ма-

слова, В.Н. Паймушина, М. Саламы, М.Н. Серазутдинова, Ф. Старфилда, М.Тетсуи, В.М. Толкачева, Н. Тосаки, A.M. Трофимова, А.Г. Угодчикова, Н.М. Хуторянского и других.

В механике твердого деформируемого тела особый интерес представляют задачи, связанные с оценкой напряженного -деформируемого состояния, обусловленного наличием в телах концентраторов напряжений типа трещин, которые сильно влияют на работоспособность конструкции, являясь во многих случаях причиной ее разрушения. Этот факт предопределяет теоретическую и практическую значимость указанного класса задач.

Обзор работ по исследованию напряженно- деформируемого состояния пологих оболочек с одиночными разрезами приведет в монографии В.В. Панасюка, М.П. Саврука, А.П. Дацышина. Построению системы сингулярных уравнений и анализу распределения напряжений в окрестности разрезов для пологих оболочек посвящены работы В.А. Осадчука, В.П. Шевченко, В.К. Хижняка, С .Я. Яремы и др.

Построение аналога функций Грина для сосредоточенных деформационных и силовых факторов осуществлено в работе Г.А. Мораря.

Если для пологой сферической оболочки фундаментальная матрица Грина может быть получена в функциях Кельвина-Томпсона, то для пологих оболочек двоякой кривизны получение этой матрицы в замкнутом виде затруднительно.

Применение МГЭ к определению НДС пологих оболочек сопряжено с определенными трудностями в определении матрицы Грина (в замкнутом виде) и анализе свойств граничных интегральных уравнений, связанными с наличием разнообразных граничных условий на контуре и берегах разрезов.

Кроме того, наряду с потенциальной возможностью рассмотрения с помощью МГЭ с итерационным уточнением определенных классов нелинейных задач, в этом случае может иметь место медленная сходимость (или даже расходимость) итерационного процесса.

Вместе с вышеуказанными трудностями, МГЭ обладает рядом существенных преимуществ, а именно:

1. С вычислительной точки зрения МГЭ приводит к системе меньшего порядка, чем другие численные методы (МКЭ,МКР)

при решении той же задачи. После решения этих уравнений можно найти решение в любой точке заданной области, вместо автоматической привязки результатов к ряду фиксированных точек (МКР и МКЭ).

2. В атом методе в силу непрерывности аналитического решения, которое справедливо всюду в области не возникает вопроса совместности элементов, как в МКЭ, где аппроксимации проводятся в каждом элементе.

3. Физические величины, связанные с производными решения можно получить аналитически, дифференцируя сингулярные решения и суммируя их, что также способствует повышению точности, так как численное интегрирование всегда представляет более устойчивый и точный процесс, чем дифференцирование.

Необходимость преодоления вышеуказанных трудностей в сочетании с новыми возможностями, предоставляемыми методом граничных элементов предопределяет актуальность решения данной задачи.

Предложенный краткий обзор свидетельствует не только об теоретической и практической актуальности исследуемой в работе проблемы, что подтверждается многочисленными публикациями по расчету пологих оболочек различными методами, но также показывает недостаточное развитие МГЭ в применении к решению этой задачи. Данная работа, обобщающая предшествующие разработки в этой области, представляет собой продвижение в данном направлении и позволяет рассматривать достаточно широкий класс задач.

В работе для исследования пологих оболочек применяется итерационный метод, использующий фундаментальную матрицу Грина для сферической оболочки, которая представляется в бесселевых функциях. Свойства этих функций хорошо изучены. Поэтому при решении не возникает вопросов точности определения фундаментальных решений.

Целью диссертационной работы является:

Развитие метода граничных элементов для решения задач теплопроводности и термоупругости теории пологих оболочек и построение эффективного численного алгоритма и программного комплекса.для исследования температурного поля и НДС пологих оболочек двоякой кривизны со сложным опорным контуром.

На защиту выносятся:

1) Построение и анализ граничных интегральных уравнений теории теплопроводности и термоупругости пологих сферических оболочек для всех основных видов граничных условий.

2) Итерационный МГЭ для расчета пологих оболочек двоякой неотрицательной кривизны.

3) Численные алгоритмы и комплексы программ, реализующие МГЭ в применении к расчету пологих оболочек сложной геометрии.

4) Результаты решения ряда новых задач и их анализ.

Научная довкзна предлагаемых в работе результатов состоит

в проведении следующих разработок:

- Построены граничные интегральные уравнения для различных типов граничных условий и в случае наличия разрезов произвольной формы с использованием предельных соотношений интегральных представлений, полученных на основе подхода Ада-мара и метода локализации;

- Предложен и исследован итерационный МГЭ для расчета пологих оболочек и рассмотрены вопросы его сходимости и эффективности.

- Получено совместное решение задач теплопроводности и тер-моусругости теории пологих оболочек МГЭ.

- Разработаны различные способы дискретизации широкого класса областей сложного очертания, их опорных контуров и разрешающих граничных интегральных уравнений.

- Построены и обоснованы эффективные численные алгоритмы МГЭ для решения широкого класса задач теории пологих оболочек сложного контура, на основе которых создан программный комплекс и выработаны рекомендации по егс практическому применению.

- Поставлен и решен ряд новых задач, исследующих влияние различных внешних и внутренних факторов на. напряженно- деформируемое состояние пологой оболочки.

Достоверность научных положений и результатов диссертации обеспечивается:

-Применением высоко точных схем интегрирования в численных алгоритмах и аналитических подходов для определения значений сингулярных и суперсингулярных интегралов.

-Проведением вычислительного эксперимента для модельных и тестовых задач теории оболочек, имеющих аналитическое ре-шепие или решение, полученное другими численными методами.

-Осуществлением апостериорной оценки достоверности решений при расчете сферической оболочки и при исследовании оболочки двоякой кривизны на каждом шаге итерационного процес са путем вычисления певязки выполнения граничных условий в промежуточных точках контура исследуемой области, а также оценки точности приближенного решения, полученного в ходе итерационного процесса исходя из функциональной сходимости вектора фиктивных сил во всей области.

Практическая ценность работы обусловлена следующими факторами:

- Разработанное программное обеспечение позволяет рассчитывать оболочки со сложной внешней границей плана и конечным числом отверстий произвольной формы при наличии различных связей как на внутренних и внешних границах (смешанные граничные условия), так и в заданном наборе внутренних точечных опор. Алгоритм расчета предполагает определение всех компонент перемещений, деформаций, усилий и моментов для разнообразных видов нагружения: распределенных (внутри области и по определенным кривым) и сосредоточенных (в отдельных точках) сил и моментов произвольного направления, а также под действием заданного температурного поля.

- Программный комплекс основал на максимальной автоматизации процесса расчета, которая включает минимизацию и удобство представления исходной информации, оптимальный выбор схем аппроксимации и избирательное определение искомых величин в необходимой для пользователя форме, что дает возможность широкого применения данного пакета как в учебном про цсссе и научных разработках, так и для чисто практических исследований.

- Предложенные в диссертации расчетные схемы для решения пологих оболочек сложного опорного контура, а также полученные результаты могут быть использованы в проектных и конструкторских организациях для инженерных расчетов.

Апробация работы. По основным результатам работы автор награжден дипломом лауреата конкурса "Молодые дарования"

в области механики и машиноведения, организованного Международным гуманитарным фондом "Знание".

Основные результаты диссертации доложены и обсуждены:

- на Итоговых научных конференциях Казанского государственного университета за (1993-1994 гг.);

- на семинаре кафедры теоретической механики Казанского технического университета (1994 г.);

- на международной научно-технической конференции "Механика машиностроения.", Набережные Челны, 1995г;

- на 47 Республиканской научной конференции по итогам научных исследований и внедрению их в производство., Казань, 1995;

- на 4 международной конференции "Лаврентьевские чтения" по математике, механики и физике, Казань, 1995;

- на 17 международной конференции по теории оболочек и пластин, Казань, 1995;

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ.

Структура и содержание работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка, включающего 158 наименований, и содержит 173 страницы машинописного текста, на которых распределены 7 таблиц и 91 рисунок.

Во введении охарактеризовано состояние, актуальность и степень освоения изучаемой проблемы, показано место настоящей диссертационной работы как в общем направлении расчета оболочек сложной геометрии, так и в разработке и развитии новых эффективных подходов в методах граничных интегральных уравнений.

В первой главе кратко описаны свойства потенциалов интегральных уравнений в задачах теории пологих оболочек.

В первом параграфе этой главы приведены некоторые характеристики бесселевых функций и их производных, а именно аппроксимация этих функций полиномами по отрезкам, реккурент-ные выражения для производных и асимптотические разложения для малого аргумента.

Во втором параграфе проведен анализ предельных соотноше-

ний интегральных представлений. Исследуются свойства поверхностных потенциалов - простого и двойного слоя и их производных при переходе через границу. Рассматривается проблема преодоления сложностей, возникающих из-за присутствия в интегральных ядрах особенностей порядка К > 2. Применяется подход Адамара, основанный на введении "конечной части" для ряда сверхсингулярных интегралов и метод локализации, предложенный О.И. Падичем и развитый для сингулярных интегральных уравнений теории пластид Т.В. Краминым.

Во второй главе представлена постановка задачи теплопроводности теории тонких оболочек при различных условиях на поверхностях и опорном контуре. Эта задача сводится к решению неоднородного дифференциального уравнения второго порядка при задании на границе неизвестной функции, ее нормальной производной или их линейной комбинации: Ь\А] = /,где Ь = Д - г,2,

где г]- некоторая постоянная, зависящая в общем случае от толщины, средней кривизны, коэффициентов теплопроводности и теплообмена оболочки; Д— оператор Лапласа.

Используется фундаментальное решение уравнения мед 01 = <*(д,с) в виде ед, С) = К0{пт),'

где г = фхх- О)3 + (хг - Сз)2. а?(«1,«2) 6 П, 0CCi.Cs) € Г, К0— модифицированная функция Бесселя, 6— дельта-функция Дирака.

С помощью введения на границе Г распределенных источников р{С), неизвестная функция А может быть представлена в виде:

А(х) = ( 0{х,у)р(у)Щу) + I ед*)/(5)«ВД, г п

где у € Г, х, г € П.

Каждому типу граничных условий на опорном контуре соответствует определенное граничное интегральное уравнение, которое может быть получено проведением предельного перехода из области на границу. Так как функция К0{*]г) имеет логарифмическую особенность при г —► 0, то величина А - непрерывна при переходе через контур согласно свойствам потенциала простого слоя, а ее нормальная производная содержит интеграл ти-

па Коши и, следовательно, терпит скачок потенциала двойного слоя.

Таким образом исследуемая линейная система двух дифференциальных уравнений, второго порядка каждое, для определения интегральных температурных характеристик с помощью соответствующих фундаментальных решений и полученных в работе предельных соотношений трансформируется в систему двух граничных интегральных уравнений относительно неизвестных плотностей.

В третьей главе выводятся основные соотношения метода граничных элементов для решения задачи термоупругости пологих оболочек. Рассматриваются статические (квазистатические) несвязные температурные задачи теории оболочек. Исследуется напряженно- деформируемое состояние пологих оболочек сложного очертания при известных температурном поле и силовой нагрузке.

В первом параграфе этой главы производится сведение температурной задачи теории оболочек к силовой путем введения некоторых фиктивных усилий и моментов.

Во втором параграфе дана полная система дифференциальных уравнений теории пологих оболочек в компонентах перемещений:

= Ъ = (1)

где Ьц — определенные дифференциальные операторы, В — -¡^а,

Л",-,» = 1,3— компоненты внешней распределенной нагрузки.

Третий параграф посвящен выводу фундаментальных решений для пологой сферической оболочки при действии локальных нагрузок.

Фундаментальная матрица Грина представляется в виде:

цеп = 1К(2,бН, и = = = .

где(и;(х,|)- перемещение в направлении (г) в точке (х) от действия единичной силы Р в направлении (;') в точке (£)).

С помощью матрицы ||0|| решение системы (1) представляется

в виде свертки:

со со

[¿Л(х) = I I \\в(^()\\[Х}(ШО

-ОО —00

Фундаментальные решения системы (1), соответствующие решению задач теории пологих оболочек при действии на них сосредоточенных нагрузок могут быть получены методом интегральных преобразований Фурье. В силу линейности системы (1) и принципа независимости действия сил, каждая из компонент сосредоточенных сил могут быть рассмотрены отдельно, причем интенсивность сосредоточенной силы определяется с помощью сингулярной обобщенной функции Дирака.

В четвертом параграфе приводятся разрывные решения в теории пологих сферических оболочек.

В пятом параграфе строятся и анализируются ядра интегральных представлений для компонент НДС.

Вводятся: 1.вектор деформационных факторов:

2.вектор силовых факторов:

М = [Мп,дл,гя,5„,я„]т,

3.вектор обобщенных силовых факторов:

4.вектор компенсирующих нагрузок на границе Г :

где - распределенные тангенциальные усилия, парал-

лельные соответственно глобальным осям координат (0^1, 0х2), (еГ, - поперечное усилие и погонный момент, нор-

мальный к контуру Г. Кроме того, при наличии в оболочке набора в общем случае криволинейных трещин, на линиях разрезов задается вектор скачков деформационных факторов:

щ = к,и;х,0;]т,

где и* и* (С) - распределенные скачки тангенциальных смещений, нормальные и касательные к линии разреза Г* соответственно, ад*, - поперечное смещение и угол поворота нормали к срединной поверхности оболочки в плоскости, перпендикулярной к Г*. .

Тогда интегральные представления могут быть записаны в матричной форме:

и = [Ф]И + тнн = \0)\р] + = [Ф М + [Ф<][Л].

(В случае отсутствия в оболочке трещин вторые слагаемые в вышеприведенных соотношениях опускаются.)

Шестой параграф посвящен построению системы четырех граничных интегральных уравнений теории упругости пологих оболочек, соответствующих определенному набору граничных условий. Компоненты вектора деформационных факторов и представляются в следующем виде:

[у] = И + и + и,

I* = «? + «?+«?,» = (1,6),

где

'<(*)= ЙГ, хсП, ■

. 3 т 3

+ Х) / Фу (я,2,)Х'(г,)с1Ь(2,),

г!

(В случае отсутствия в оболочке трещин слагаемое ш? опускается.) ¿а - элемент площади, п - нормаль к контуру Г, - область, ограниченная контуром Г, Р] - распределенная по области нагрузка в }-м направлении, X1- - распределенная по кривой Ьк нагрузка в ¿-и направлении,

О1* - величина к-й сосредоточенной силы в точке я* в направлении, т - число заданных сосредоточенных сил,г € ь - число кривых по которым приложено натружение. Г* - совокупность криволинейных разрезов к = 1,/с. Аналогичные представления имеют место и для силобых факторов:

в которых, вместо компонент матриц ([Ф],[ФС]) (для [у]), используются .компоненты матриц ([О],[0е]) и ([Ф],(ФС)) соответственно.. Таким образом, получаются интегральные представления для всех компонент перемещений, деформаций, усилий и моментов.

Учитывая предельные соотношения, можно получить систему четырех граничных интегральных уравнений, соответствующих определенному набору граничных условий, относительно неизвестных компенсирующих нагрузок [р] и скачков деформационных факторов [Л], которая путем дискретизации может быть сведена к системе линейных алгебраических уравнений.

В седьмом параграфе предлагается новый итерационный метод решения задач теории пологих оболочек.

Выделяя дифференциальный оператор для сферы в уравнениях (1), получим:

[Ц[Щ + [¿ЦСГ] = [V], (2)

{Ь)[и) = [У}-1Ш ¡¿Н«/] = [*],

X *

й = —= Xi + сг,,

где <7,-,; = 1,3— компоненты неютторой добавочной распределенной нагрузки: [Е] = [Е](<т,),

При рассмотрении оболочки двоякой кривизны начальным приближением принимается сферическая оболочка с тем же планом и радиусом кривизны, равным наименьшему из двух радиусов заданной оболочки двоякой кривизны. На каждом шаге итерационного процесса исследуется сферическая оболочка с определенными фиктивными силами, приближающими решение для сферической оболочки к решению исходной задачи. Механической ин-

терпретацией итерационного процесса является постепенное деформирование сферической оболочки распределенными силами в оболочку двоякой кривизны.

Изложенный выше подход является обобщенным методом простой итерации, в чем легко убедиться, применяя к системе (2) слева оператор(£-1]:

Точность полученного приближенного решения может быть показана при функциональной сходимости вектора фиктивных сил во всей области.

Зададим малую величину е(е —> 0) и допустим, что на А;-м шаге имеем:

ПРЬ-РМ! <е,

Согласно схеме итерационного процесса вектор перемещений [и]к удовлетворяет следующему уравнению:

Тогда получим:

[щи\к = [ь}\и)к-над* = М+ИН£Ь-1 = М+М', \\1П\\ <

Таким образом, [1/]^ удовлетворяет исходной системе уравнений равновесия с точностью до величины е, которая в процессе численной реализации может быть определена заранее сколь угодно малой, т.е.: предполагая достаточно точное выполнение граничных условий, сходимость итерационного процесса обеспечивает адекватность конечных результатов.

В четвертой главе исследуются основные численные результаты, характеризуются способы совершенствования алгоритмов расчета.

В первом параграфе этой главы описывается численная реализация метода граничных элементов: дискретизация граничных интегральных уравнений, осуществление и сравнение различных схем численного интегрирования по области и по границе.

Во втором параграфе для исследования достоверности определения искомых величин созданным программным комплексом приводятся расчеты простых тестовых задач, подтверждающих

адекватность исследуемого алгоритма как для расчета пологих сферических оболочек, так и для расчета оболочек двоякой кривизны. Англизируется зависимость скорости сходимости для достижения определенной точности от формы оболочки и предлагается схема ускорения итерационного процесса. Описывается осуществление апостериорной оценки погрешности приближенных решений при расчете сферических оболочек или на каждом шаге итерационного процесса при рассмотрении оболочек двоякой кривизны, а также опенки точности приближенного решения, полученного в ходе итерационного процесса исходя из функциональной сходимости вектора фиктивных сил во всей области. Выполнение соответствующих этим оценкам критериев достоверности полученных результатов в совокупности обеспечивает адекватность конечных результатов.

Во всех рассмотренных примерах расхождение т}* между результатами, основанными на других численных методах, и результатами исследуемого программного комплекса в максимальных значениях прогиба и изгибающих моментов не превосходит 3 процентов при. числе граничных элементов п = 40. При увеличении п,(п = 64), г}* становится менее 1.5 процента, т}* также уменьшается при увеличении точности разбиения области при интегрировании по площади.

Третий параграф посвящен расчету сложных, модельных задач, разделенных на четыре основных типа: задача теплопроводности, силовая задача при действии поперечных нагрузок, сило-вал задача при действии тангенциальных нагрузок, совместная задача теплопроводности и термоупругости.

Демонстрируется универсальность и эффективность разработанного алгоритма и программного комплекса для исследуемого класса задач,

Лля иллюстрации работы пакета программ рассмотрим .иве задачи:

1. Исследуется воздействие сосредоточенного пагрева на распределение температурного поля.

Задается сложный план (Ро), представляющий собой квадрат размером а — Ь — 2тп (см. рис.1) с двумя полукруговыми вырезами с центрами в точках {(1т, 0), (-1т, 0)} радиусом г = 0.6т

и двумя отверстиями с центрами в точках {0,—0.5т), (0,0.5т)} радиусом го = 0.3т.

К оболочке приложены локальные тепловые потоки «/¡^ = =

7»(0> ' = (1;4) в следующем наборе точек (5о):

{(-0.5т, 0.5т), (0.5т, 0.5т), (0.5т,-0.5т), (-0.5т,-0.5т)}.

Принимается: qл = 1 К°/т, коэффициент теплопроводности Л = 30т, толщина оболочки Л = 0.01т, радиусы кривизны:

(Й1 = Ют, Я2 = 20т).

Предполагаются следующие граничные условия для интегральных температурных характеристик , т2 на опорном контуре: на внешней границе - т\ = 10К", т2 = 0, а на внутренней - т^ = т2 = 0.

Результаты расчета (значения величины Т]) вьшодятся по прямым: р! : {х2 = 0,11 € [-0.4т,0.4т]},р2 : = 0,ж2 € [-0.2т,0.2т]},

а также по дуге окружности радиусом п = 0.7т и центром в точке (1т,0) и представлены соответственно на рис.(2,3,4), из анализа которых можно заключить, что уровень температурной составляющей 74 значительно увеличивается в окрестностях сосредоточенного нагрева.

2. Исследуется сходимость итерационного процесса для сложного многосвязного контура и смешанных граничных условий при расчете оболочки двоякой кривизны.

Рисунок 2: .

i i i \

I I I \

i i i V

j-------i--------1---X..

I I I >

I I I

I I I

! ! ! X2

Рисунок 5: .

Задается рассмотренный выше план (Р0), (из задачи 1.) оболочки с радиусами кривизны: Ri = 50m,Ri = 25m (см. рис.1), к которой приложены четыре равные по величине сосредоточенные силы Р в вышеупомянутом наборе точек (5о), из задачи 1.

Предполагаются следующие граничные условия на опорном контуре: на. сторонах {х2 = :fclm,a;i € [-lm, lm]}— абсолютная заделка, на сторонах {zi = ±lm}— шарнирное закрепление, на оставшихся криволинейных частях границы - свободный край.

Критерием сходимости в данной задаче принимается расхождение т) = 0.3% между двумя последовательными приближениями в максимальных значениях фиктивных добавочных нагрузок, кроме того, проверяется сходимость всех основных компонент НДС.

Результаты расчета (прогиб W, изгибающие моменты М\, M2 ) приводятся по прямой pi из задачи 1. и представлены рис.(5,6,7), из анализа которых можно заключить, что уровень соответственно, где показаны только 10 из 14 необходимых для полной сходимости итераций в связи со слиянием графиков на последующих шагах итерационного процесса.

Номер итерации меняеиря 1снизу вверк от 1 до 10

"М17Р

0.04

0.00

г Рисуиок 6: .

В заключении приведены основные результаты и выводы диссертации. -

В диссертационной работе рассмотрена задача теплопроводности и термоупругости пологих оболочек сложной геометрии методом граничных элементов. В результате проведенных исследований:

1.Проанализированы предельные свойства интегральных представлений всех основных компонент напряженно -деформируемого состояния пологих сферических оболочек с учетом подхода Ада-мара и метода локализации.

2. Предложен итерационный МГЭ для расчета пологих оболочек и оценена адекватность получаемых приближенных решений.

3. Построены и обоснованы эффективные численные алгоритмы МГЭ для широкого класса задач теории пологих оболочек.

4. Разработаны различные способы дискретизации широкого класса областей сложного очертания, их опорных контуров и разрешающих граничных интегральных уравнений.

5. На основе разработанных в диссертации алгоритмов создан комплекс программ (^ОЯГДЛТУ-77, РС-ЛГ-486) для решения задач теории пологих оболочек сложного контура.

6. Проведены численные эксперименты, позволяющие выработать практические рекомендации для пользователя по применению программного комплекса, а также оценить эффективность созданных алгоритмов.

7. Поставлен и решен ряд новых задач, исследующих влияние различных внешних и внутренних факторов на напряженно -деформируемое состояние.

Диссертационная работа выполнена на кафедре теоретической механики Казанского государственного университета.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1.Артюхин Ю.П., Гурьянов И.Н., Крамин М.В., Крамин Т.В. Метод потенциала в задачах механики пластин и оболочек. Ла-врентьевские чтения.: Тез. докл. 4 межд. конф. по математике, механики и физике, Казань, Изд-во Казан, гос. ун-та, 1995, с.89.

2.Артюхин Ю.П., Крамин М.В. Применение метода граничных элементов для расчета напряженно - деформируемого состояния пологих сферических оболочек. Казан, гос. ун-т. - Казань, 1994, -19с, - Деп. в ВИНИТИ N 2476-В94.

3.Артюхин Ю.П., Крамин М.В. Определение напряженно - деформируемого состояния оболочек двоякой положительной кривизны методом граничных элементов. Казан, гос. ун-т. - Казань, 1994, -19с, - Деп. в ВИНИТИ N 2449-В94.

4.Артюхин Ю.П., Крамин М.В. Исследование напряженно -деформируемого состояния пологих сферических оболочек под действием температурного поля методом граничных элементов. Казан, гос. ун-т. - Казань, 1994, -19с, - Деп. в ВИНИТИ N 2444-В94-

5.Крамин М.В., Артюхин ГО,П. Расчет напряженно - деформируемого состояния пологих сферических оболочек под действием температурного и силового полей. Механика машиностроения. Тез. докл. межд. научно-техн. конф., Набережные Челны, Изд-во Камского политехи, ин-та, 1995, с.83-83.

6.Крамин М.В., Артюхин Ю.П. Расчет на прочность пологих ' оболочек двоякой положительной кривизны. Тез. докл. респ. паучной конф. по итогам научных исследований и внедрению их в производство, Казань, Изд-во Казан. инж.-строит. ин-та, 1995,

7.Крамин М.В., Артюхин Ю.П. Исследование задач термоупругости пологих сферических оболочек сложной геометрии. Тез. докл. респ. научной конф. по итогам научных исследований и внедрению их в производство, Казань, Изд-во Казан, инж.-строит. ин-та, 1995, с. 67.

8.Крамин М,В., Артюхин Ю.П. Термоупругость пологих оболочек произвольного очертания. Труды 17 межд. конф. по теории оболочек и пластин. Казань, Изд-во Казан, гос. ун-та, 1995, с.45.

9.Kramin T.V., Kramin M.V., Artuhin U.P. The Application of the Boundary Element Method for Analysis of Stress-Strain State of a Plates and Shallow Shelb of Arbitrary Shape. Int. Conf. on lightweight structures in civil engeineering, Warsaw University of Technology, 25-29 September, Warsaw, Poland, 1995, p.lll.

c. 52.