Режимы охлаждения пористого тепловыделяющего элемента тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ЛУЦЕНКО Николай Анатольевич

РЕЖИМЫ ОХЛАЖДЕНИЯ ПОРИСТОГО ТЕПЛОВЫДЕЛЯЮЩЕГО ЭЛЕМЕНТА

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток 2004

Работа выполнена в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН

Научный руководитель: член-корреспондент РАН, профессор

Левин Владимир Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Чехонин Константин Александрович, кандидат физико-математических наук Бочарова Анна Альбертовна

Ведущая организация: НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова

Защита состоится «30» ^_2004 года в 40

часов на заседа-

нии регионального диссертационного совета Д 005.007.02 в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН по адресу: 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 5, аудитория 510

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления ДВО РАН

Автореферат разослан «¿3» 2004 года.

Ученый секретарь

регионального диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Движение жидкости и газа через пористую среду достаточно хорошо изучено, этой проблеме посвящено множество работ. Однако течение газа через пористую тепловыделяющую среду мало исследовано. Такой режим может возникать при охлаждении аварийных блоков атомных электростанций, например, Чернобыльской АЭС. Исследование стационарного режима охлаждения пористого тепловыделяющего элемента, проведенное группой ученых во главе с В.П. Масловым и В.П. Мясниковым, позволило определить критерий существования такого устойчивого режима и реализовать безопасное охлаждение аварийного энергоблока ЧАЭС. Представляет интерес процесс развития со временем различных режимов охлаждения тепловыделяющего элемента, а также анализ влияния формы элемента на процесс охлаждения.

Целью работы является построение математической модели процесса движения газа в поле силы тяжести через однородную пористую тепловыделяющую среду с учетом теплопроводности и температурной зависимости вязкости газа; исследование стационарного режима охлаждения пористого тепловыделяющего элемента принудительно поддуваю-щимся воздухом; построение конечно-разностных схем для решения нестационарной одномерной и нестационарной плоской задачи о движении газа через однородный пористый тепловыделяющий элемент; решение с помощью этих схем ряда конкретных задач.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- предложена математическая модель процесса движения газа через однородную пористую тепловыделяющую среду;

- показано, что при моделировании движения газа через пористую тепловыделяющую среду необходимо учитывать температурную зависимость вязкости газа;

- решена задача о стационарном одномерном принудительном движении газа через однородный пористый тепловыделяющий элемент. Выведен критерий существования стационарного решения при принудительной фильтрации элемента;

- решена задача о стационарном охлаждении тепловыделяющего элемента, сверх которого имеется пористый инертный слой (завал);

- предложена конечно-разностная схема, которая может применяться при моделировании одномерного нестационарного движения газа через однородный тепловыделяющий элемент;

- с помощью предложенной конечно-разностной схемы решены задачи: о резком сбросе давления газа на входе в тепловыделяющий элемент при установившемся стационарном режиме, о переходе от состояния покоя при отсутствии тепловыделения к состоянию режима принудительной фильтрации при мгновенном включении подвода тепла, о периодическом колебании давления газа на входе в тепловыделяющий элемент;

- предложена конечно-разностная схема, которая может применяться при моделировании плоского нестационарного движения газа через однородный тепловыделяющий элемент;

- с помощью предложенной конечно-разностной схемы решена задача о переходе от состояния покоя при отсутствии тепловыделения к состоянию режима принудительной фильтрации при мгновенном включении подвода тепла для тепловыделяющих элементов различной формы: плавно-сужающейся формы, ступенчато-сужающейся формы, для тепловыделяющего элемента с застойными зонами.

Достоверность полученных результатов базируется на классических подходах механики сплошных гетерогенных сред и строгих математических выкладках. При решении стационарных задач использовались известные численно-аналитические процедуры. Достоверность решений нестационарных задач, полученных конечно-разностным методом, базируется на экспериментальной проверке сходимости схемы в частных случаях.

Практическая значимость работы. Полученные в работе выводы помогут прогнозировать изменение процесса охлаждения протекающим воздухом пористого тепловыделяющего элемента в различных ситуациях. Предложенные конечно-разностные схемы могут применяться при моделировании разнообразных задач, возникающих при изучении одномерного нестационарного и плоского нестационарного движения газа через однородный тепловыделяющий элемент.

Апробация _работы. Отдельные результаты работы докладывались и обсуждались на XXVI, XXVIII, XXIX Дальневосточных математических школах-семинарах им. академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2001 г.,

2003 г., 2004 г.), международной школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2002 г.), международной конференции XXXII Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics" (June 24 - July 1, 2004, St. Petersburg (Repino), Russia), V Минском международном форуме по тепло- и массообмену (Минск, 2004 г.). Работа в целом докладывалась в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН.

Публикации по работе. По теме диссертации опубликовано 8 научных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (68 наименований). Объем работы -133 страницы, в том числе 87 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткий обзор литературы, посвященной движению жидкости и газа через пористую среду. Обсуждаются известные исследования процесса охлаждения пористого тепловыделяющего элемента протекающим воздухом. Излагается структура диссертационной работы.

Первая глава посвящена построению модели охлаждения протекающим воздухом пористого тепловыделяющего элемента. В первом параграфе выводятся основные уравнения математической модели движения газа в поле силы тяжести через твердую пористую неподвижную однородную среду, в которой происходит тепловыделение. Система уравнений, описывающая такой процесс, имеет следующий вид:

Здесь I - время, X - Эйлерова координата, Т,ре,СсД - температура, плотность, теплоемкость, теплопроводность конденсированной фазы, - температура, плотность, теплоемкость при постоянном

давлении, теплопроводность, скорость фильтрации газа, а - пористость, а -константа, определяющая интенсивность межфазового теплообмена, к 2 коэффициент, определяющий уменьшение тепловыделения, <Зо - константа, определяющая интенсивность тепловыделения, - давление газа, динамическая вязкость газа, к} - коэффициент проницаемости конденсированной фазы, % - ускорение силы тяжести, Хт - коэффициент присоединенной массы, учитывающий инерционное взаимодействие фаз при их ускоренном относительном движении, - газовая постоянная,

константы в формуле Сазерленда, Рг - число Прандтля для газа. По повторяющимся индексам происходит суммирование.

Во втором параграфе первой главы производится обезразмеривание системы уравнений и постановка задачи о нестационарном охлаждении пористого тепловыделяющего элемента для одномерного и плоского случая. Тепловыделяющий элемент ограничен с боков нетеплопроводными стенками, а сверху и снизу открыт; в его нижнюю часть под давлением подается холодный газ, который движется снизу вверх через пористую среду, нагреваясь в результате теплообмена, и вытекает в свободное пространство с заданным давлением. Пример тепловыделяющего элемента показан на рис. 1. Краевые условия для одномерного случая ставятся следующим образом: на входе в пористый элемент известны температура газа и давление; на выходе известно давление, так как истечение газа происходит в открытое пространство; известны также условия теплообмена на входе и выходе из пористого элемента. В плоском случае к указанным условиям добавляются следующие: на входе в пористый элемент горизонтальная скорость фильтрации равна нулю; на боковых стенах принимается условие непроницаемости для скорости фильтрации, а также условие равенства нулю производной по нормали к стене от температур газа и твердой фазы, давления газа.

В третьем параграфе первой главы производится постановка задачи о стационарном охлаждении тепловыделяющего элемента для одномерного случая как с учетом, так и без учета температурной зависимости вязкости газа.

Вторая глава посвящена исследованию стационарных режимов охлаждения пористого тепловыделяющего элемента. В первом параграфе выводится решение стационарной одномерной задачи о движении газа с постоянной динамической вязкостью через пористый тепловыделяющий элемент. Обнаружено критическое значение давления газа на входе в тепловыделяющий элемент, ниже которого стационарного режима охлаждения не существует. Приводится также решение для случая, когда можно пренебречь теплопроводностью, силой тяжести. Показано, что учет теплопроводности и силы тяжести незначительно влияет на решение. Однако при большом коэффициенте теплопроводности критическое значение давления газа на входе в пористый тепловыделяющий элемент существенно увеличивается, хотя влияние теплопроводности на решение системы невелико. Также исследуется случай замены закона Дарси на нелинейный закон фильтрации. Показано, что при замене закона Дарси на нелинейный закон фильтрации при стационарном одномерном движении газа с постоянной динамической вязкостью через пористый тепловыделяющий элемент вид решения не изменяется, хотя само решение, безусловно, меняется.

Во втором параграфе второй главы выводится критерий существования стационарного решения, который имеет следующий вид:

где ро - давление газа на входе в тепловыделяющий элемент, р^ - давление газа на выходе из тепловыделяющего элемента. Показано, что это необходимое условие существования стационарного решения в частном слу-

чае отсутствия принудительного поддува воздуха полностью совпадает с критерием существования стационарного решения для однородного завала с равномерным распределением источников тепла, полученным В.П. Мас-ловым, В.П. Мясниковым и В.Г. Даниловым.

В третьем параграфе второй главы решается задача о стационарном охлаждении тепловыделяющего элемента для одномерного случая с учетом температурной зависимости вязкости газа. Показывается, что учет зависимости вязкости газа от температуры существенно влияет на

решение задачи: расход газа значительно уменьшается, происходит более сильный разогрев. На рис. 2 показана зависимость расхода газа от давления газа на входе в тепловыделяющий элемент как для случая переменной вязкости газа (сплошная линия), так и для случая постоянной вязкости газа (штриховая линия).

Рис. 2. Как видно из рисунка, при движе-

нии газа с вязкостью, зависящей от температуры, критическое значение давления газа на входе в тепловыделяющий элемент достигается не при нулевом расходе газа, в отличие от движения газа с постоянной вязкостью. Также из рисунка видно, что при движении газа с вязкостью, зависящей от температуры, существует два стационарных режима охлаждения: одному и тому же значению давления газа на входе в элемент могут соответствовать два значения расхода газа. Анализ устойчивости этих режимов показал, что стационарный режим охлаждения, соответствующий меньшему расходу газа при заданном давлении газа на входе в элемент, является неустойчивым, а стационарный режим, соответствующий большему расходу газа при заданном давлении газа на входе в элемент, является устойчивым. Из неустойчивого стационарного режима охлаждения система медленно переходит к устойчивому стационарному режиму. Таким образом, показано, что при моделировании движения газа через пористую тепловыделяющую среду необходимо учитывать температурную зависимость вязкости газа.

В четвертом параграфе второй главы решается задача о стационарном охлаждении тепловыделяющего элемента, сверх которого имеется пористый инертный слой (завал). В результате анализа определена критическая высота завала, при которой существует стационарное решение.

Третья глава посвящена исследованию нестационарных одномерных режимов охлаждения пористого тепловыделяющего элемента. В первом параграфе приводится конечно-разностная схема, которая может применяться при моделировании разнообразных задач, возникающих при изучении одномерного нестационарного течения газа через однородный тепловыделяющий элемент.

Во втором параграфе третьей главы решается задача о резком сбросе давления газа на входе в тепловыделяющий элемент при установившемся стационарном режиме. Исследуются два возможных случая: 1) падение давления до значения выше критического, при котором возможно новое стационарное решение; 2) падение давления до значения ниже критического, при котором стационарное решение невозможно. Показано, что в первом случае устанавливается новый стационарный режим охлаждения, а во втором случае происходит неограниченный разогрев элемента, ведущий к плавлению твердой фазы и нарушению процесса охлаждения. Оба этих процесса можно разделить на два этапа. На первом этапе по пористому элементу проходит волна разрежения, и вслед за этим происходит быстрое и сильное изменение давления, плотности, скорости фильтрации и расхода газа. Затем это изменение значительно затормаживается, начинается второй этап: происходит медленный нагрев элемента, который вызывает медленное изменение всех остальных искомых величин. На рис. 3 показан пример расчета температуры твердой среды на выходе из тепловыделяющего элемента для обоих случаев рассмотренной задачи: случая установления стационарности (сплошная линия) и случая неограниченного разогрева (штриховая линия). Видно, что в случае неограниченного разогрева нагрев элемента до высоких температур требует достаточно длительного времени. Это может позволить устранить причину понижения давления и вернуть систему к устойчивому состоянию. Введем понятие коэффициента охлаждения - отношение количества теплоты, покидающего элемент в единицу времени, к количеству теплоты, выделяемого в элементе в результате реакции в единицу времени. На рис. 4 показан ко-

т. к

t, hour t, hour

Рис. 3. Рис. 4.

эффициент охлаждения, рассчитанный по приближенной формуле для обоих случаев рассмотренной задачи: случая установления стационарности (сплошная линия) и случая неограниченного разогрева (штриховая линия). Наглядно видно различие этих процессов.

В третьем параграфе третьей главы описывается переходный процесс от состояния покоя при отсутствии тепловыделения к состоянию режима принудительной фильтрации при мгновенном включении подвода тепла. Также рассматриваются два случая: 1) рост давления газа на входе в тепловыделяющий элемент до значения выше критического, при котором возможно стационарное решение; 2) рост давления до значения ниже критического, при котором стационарное решение невозможно. Показано, что в первом случае устанавливается новый стационарный режим охлаждения, а во втором случае происходит неограниченный разогрев элемента, ведущий к плавлению твердой фазы и нарушению процесса охлаждения. Оба этих процесса также можно разделить на два этапа, аналогичных этапам, рассмотренным во втором параграфе третьей главы. На первом этапе происходит быстрое и сильное изменение давления, плотности, скорости фильтрации и расхода газа. Это изменение значительно затормаживается вскоре после установления постоянным давления газа на входе в элемент, начинается второй этап: происходит медленный нагрев элемента, который вызывает медленное изменение всех остальных искомых величин. На рис. 5-6 показан пример расчета температуры твердой среды на выходе из тепловыделяющего элемента и коэффициента охлаждения для обоих случаев рассмотренной задачи: случая установления стационарности (сплош-

т,к

t, hour t, hour

Рис. 5. Рис. 6.

ная линия) и случая неограниченного разогрева (штриховая линия). Наглядно видно различие этих процессов. Видно, что в случае неограниченного разогрева нагрев элемента до высоких температур также требует достаточно длительного времени.

В четвертом параграфе третьей главы решается задача о периодическом колебании давления газа на входе в тепловыделяющий элемент. Показано, что никаких неожиданных явлений не происходит, все искомые величины также совершают периодические колебания. Средние за период значения искомых величин незначительно отличаются от значений этих величин при стационарном режиме охлаждения с давлением газа на входе, равном среднему за период давлению газа на входе в элемент при колебаниях.

Четвертая глава посвящена исследованию нестационарных двумерных режимов охлаждения пористого тепловыделяющего элемента. В первом параграфе приводится конечно-разностная схема, которая может применяться при моделировании плоского нестационарного течения газа через однородный тепловыделяющий элемент. Далее во втором - четвертом параграфах решается задача о переходе от состояния покоя при отсутствии тепловыделения к состоянию режима принудительной фильтрации при мгновенном включении подвода тепла для тепловыделяющих элементов, имеющих форму, показанную на рис. 7 - 9 . Показано, что в случае движения газа через тепловыделяющие элементы таких форм возможен как неограниченный разогрев элемента, так и стационарный режим охлаждения. Определены наиболее нагреваемые зоны у этих элементов. Показано, что форма тепловыделяющего элемента сильно влияет на процесс

Рис. 11. Рис. 12.

его охлаждения. Сужение элемента в верхней части ухудшает общее охлаждение элемента. Зоны со слабым движением воздуха (застойные зоны),

имеющиеся у элемента на рис. 9, приводят к сильному локальному нагреву в этих зонах, что может нарушать стационарность даже при малом тепловыделении в твердой фазе. На рис. 10-12 показан пример расчета температуры твердой среды у элементов различной формы при одинаковых параметрах процесса. Рис. 10-11 демонстрируют температуру через 9 часов после начала процесса, к этому времени процесс охлаждения у данных элементов уже установился. Рис. 12 демонстрирует температуру через 6 суток после начала процесса, разогрев данного элемента всё продолжается. Наглядно видно, что тепловыделение, приводящее к стационарному режиму охлаждения и малому общему нагреву элементов плавно-сужающейся и ступенчато-сужающейся формы, приводит к неограниченному разогреву элемента с застойными зонами.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Предложена модель процесса охлаждения протекающим воздухом однородного пористого тепловыделяющего элемента.

2. Показано, что при моделировании движения газа через пористую тепловыделяющую среду необходимо учитывать температурную зависимость вязкости газа.

3. Решена задача о стационарном одномерном принудительном движении газа через однородный пористый тепловыделяющий элемент. Исследовано влияние на решение задачи теплопроводности, силы тяжести и замены закона Дарси на нелинейный закон фильтрации. Выведен критерий существования стационарного решения при принудительной фильтрации элемента.

4. Решена задача о стационарном охлаждении тепловыделяющего элемента, сверх которого имеется пористый инертный слой (завал). В результате анализа определена критическая высота завала, при которой существует стационарное решение.

5. Предложена конечно-разностная схема, которая может применяться при моделировании разнообразных задач, возникающих при изучении одномерного нестационарного движения газа через однородный тепловыделяющий элемент.

6. С помощью предложенной конечно-разностной схемы решены следующие задачи: о резком сбросе давления газа на входе в тепловыде-

ляющий элемент при установившемся стационарном режиме, о переходе от состояния покоя при отсутствии тепловыделения к состоянию режима принудительной фильтрации при мгновенном включении подвода тепла. Показано, что в этих случаях либо устанавливается новый стационарный режим охлаждения, либо происходит неограниченный разогрев элемента, ведущий к плавлению твердой фазы и нарушению процесса охлаждения. Также решена задача о периодическом колебании давления газа на входе в тепловыделяющий элемент.

7. Предложена конечно-разностная схема, которая может применяться при моделировании плоского нестационарного движения газа через однородный тепловыделяющий элемент.

8. С помощью предложенной конечно-разностной схемы решена задача о переходе от состояния покоя при отсутствии тепловыделения к состоянию режима принудительной фильтрации при мгновенном включении подвода тепла для тепловыделяющих элементов различной формы: плавно-сужающейся формы, ступенчато-сужающейся формы, для тепловыделяющего элемента с застойными зонами. Показано, что в этих случаях возможен как стационарный режим охлаждения, так и неограниченный разогрев элемента.

ПУБЛИКАЦИИ ПО МАТЕРИАЛАМ ДИССЕРТАЦИИ

1. Левин В.А., Луценко Н.А Стационарный режим фильтрационного охлаждения пористого тепловыделяющего элемента // Юбилейный сборник: К тридцатилетию ИАПУ ДВО РАН. - Владивосток: ИАПУ ДВО РАН. 2001. с. 151-159.

2. Луценко Н.А. О стационарном режиме фильтрационного охлаждения пористого тепловыделяющего элемента // Дальневосточная математическая школа-семинар имени акад. Е.В. Золотова. Тезисы докладов. 2001.

3. Луценко Н.А. Одномерный стационарный режим фильтрации газа через слой неподвижного тепловыделяющего конденсированного материала // Дальневосточный мат. журнал. 2002. Т. 3. № 1. с. 123-130.

4. Луценко НА, Левин В. А. О нестационарном режиме фильтрационного охлаждения пористого тепловыделяющего элемента // Дальнево-

сточная математическая школа-семинар имени акад. Е.В. Золотова. Тезисы докладов. 2003. с. 118.

5. Луценко Н.А. Стационарный режим фильтрации газа через тепловыделяющий элемент с завалом // Современные проблемы механики и прикладной математики: Материалы международной школы-семинара. Ч. 3. Воронеж: Воронежский госуниверситет, 2004. с. 14-26.

6. Левин В.А., Луценко Н.А Фильтрационное охлаждение пористого тепловыделяющего элемента // V Минский международный форум по тепло- и массообмену. Тезисы докладов и сообщений. 2004. Т. 2. с. 219220.

7. Levin V.A., Lutsenko N.A. Effect of the temperature dependence of gas viscosity when gas flowing through porous heat-evolution medium // Proceedings of XXXII Summer School - Conference Advanced Problems in Mechanics 2004, St. Petersburg, Russia, 2004. pp. 67-68.

8. Луценко Н.А. О нестационарных двумерных режимах охлаждения пористого тепловыделяющего элемента // Дальневосточная математическая школа-семинар имени акад. Е.В. Золотова. Тезисы докладов. 2004. с. 108-109.

Личный вклад автора. Работы [2,3,5,8] выполнены автором лично. В работах [1,4,6,7] в рамках сформулированной научным руководителем проблемы автор получил необходимые для теоретического анализа и численных расчетов соотношения и провел необходимые вычисления.

р2 29 1 3

ЛУЦЕНКО Николай Анатольевич

РЕЖИМЫ ОХЛАЖДЕНИЯ ПОРИСТОГО ТЕПЛОВЫДЕЛЯЮЩЕГО ЭЛЕМЕНТА

Автореферат

Подписано к печати 28.10.2004 г. Усл. п. л. 0.8. Уч.- изд. л. 0.7

Формат 60x84/16. Тираж 100 экз. Заказ 47.

Издано ИАПУ ДВО РАН. Владивосток, Радио, 5. Отпечатано участком оперативной печати ИАПУ ДВО РАН Владивосток, Радио, 5.

212

Введение.

Глава 1. Математическая модель охлаждения пористого тепловыделяющего элемента.

1.1. Основные уравнения математической модели.

1.2. Постановка задачи о нестационарном охлаждении тепловыделяющего элемента.

1.3. Постановка задачи о стационарном охлаждении тепловыделяющего элемента.

Глава 2. Стационарные режимы охлаждения пористого тепловыделяющего элемента.

2.1. Стационарное охлаждение тепловыделяющего элемента.

2.2. Критерий существования стационарного решения.

2.3. Влияние температурной зависимости вязкости газа при его течении через пористый тепловыделяющий элемент.

2.4. Задача о пористом завале над тепловыделяющим элементом.

Глава 3. Нестационарные одномерные режимы охлаждения пористого тепловыделяющего элемента.

3.1. Конечно-разностная схема для нестационарной одномерной задачи.

3.2. Задача о резком сбросе давления газа на входе в элемент.

3.3. Задача о переходе от состояния покоя к состоянию режима принудительной фильтрации.

3.4. Задача о периодическом колебании давления газа на входе в элемент.

Глава 4. Нестационарные двумерные режимы охлаждения пористого тепловыделяющего элемента.

4.1. Конечно-разностная схема для нестационарной двумерной задачи.

4.2. Задача о плавно-сужающемся тепловыделяющем элементе.

4.3. Задача о ступенчато-сужающемся тепловыделяющем элементе.

4.4. Задача о тепловыделяющем элементе с застойными зонами.

В настоящее время наиболее активно математическое моделирование используется в механике сплошной среды. Множество исследований проводится в области механики сплошных гетерогенных (неоднородных) сред. В частности, продолжается изучение вопросов теории движения жидкости и газа через пористую среду.

Начало развитию теории движения жидкости и газа через пористую среду было положено французским инженером А. Дарси [57], который в 1856 году выпустил книгу, содержащую подробный отчет, исторические сведения и описание опытов по фильтрации воды через песок в цилиндре. Дарси установил простейший закон просачивания воды в песке, который позже назвали его именем. Закон Дарси, называемый также линейным законом фильтрации, оказался справедлив при определенных условиях для различных жидкостей и газов, протекающих через различные пористые среды.

Развитие теории фильтрации связано с именами Ж. Дюпюи [61], который вывел формулы для дебитов притока к дрене и к колодцу, названные его именем, и Ж. Буссинеска [56], именем которого названо уравнение неустановившегося движения грунтовых вод. Большое влияние на развитие теории фильтрации оказали работы Н.Е. Жуковского [14 - 16] и H.H. Павловского [39,40].

Математическую постановку задачи о фильтрации «грунтовых вод, не следующую закону Дарси», впервые дал С.А. Христианович [51, 52]. Нелинейный закон фильтрации, предложенный им, стал широко применяться при исследовании движений через пористую среду жидкости и газа с большими скоростями фильтрации, когда использование закона Дарси приводит к значительным погрешностям.

В СССР теория движения жидкости и газа через пористую среду получила бурное развитие с 30-х годов 20 века. Результаты исследований широко использовались в нефтяной и газовой промышленности, в сельском хозяйстве, в гидроэнергетике. Среди многих ученых следует выделить имена П.Я Полубариновой-Кочиной [43; 44], И.А. Чарного [53], Г.И. Баренблатта [3, 4], Г.К. Михайлова [32], В.Н. Николаевского [32,37].

Следует также отметить работы Р.И. Нигматулина [34 - 36], в которых, в частности, подробно изложены вопросы вывода уравнений теории движения жидкости и газа через пористую среду.

Развитие ЭВМ позволило успешно решать многие задачи, не поддающиеся аналитическому разрешению. Численные методы стали широко применяться в механике многофазных сред, и, в частности, при решении разнообразных задач теории фильтрации. Здесь можно выделить работы В.Н. Монахова и Б.Т. Жумагулова [17,18].

Исследование процесса охлаждения разрушенного в результате аварии в 1986 году энергоблока Чернобыльской АЭС расширило область, применения теории фильтрации. При разработке математической модели процесса эволюции активной зоны аварийного блока Чернобыльской АЭС были проанализированы несколько различных механизмов. Но адекватной реальной ситуации оказалась лишь модель фильтрационного охлаждения. С общей точки зрения это математическая модель фильтрации газа в поле силы тяжести через саморазогревающуюся пористую среду, открытую в атмосферу сверху и снизу. И хотя уравнения модели являются классическими и использованы в той или иной модификации во многих работах по теории фильтрации, новый тип краевой задачи для них, возникший при анализе конкретных условий охлаждения аварийного блока Чернобыльской АЭС, привел к открытию новых физических эффектов, которые позволили последовательно объяснить важные особенности в поведении аварийного реактора.

Результаты исследований большой группы ученых в области математического моделирования охлаждения разрушенного энергоблока Чернобыльской АЭС легли в основу работы В.П. Маслова, В.П. Мясникова,

В.Г. Данилова [31]. В работе основное внимание уделено исследованию стационарного режима охлаждения аварийного реактора. При определенных упрощениях получены стационарные решения как для одномерного случая -аналитически, так и для общего трехмерного случая — численно. Одним из важнейших результатов этой монографии является доказательство существования критического значения параметра подобия задачи, определяющего возможность существования стационарного решения. Оказалось, что при превышении этого критического значения стационарного режима охлаждения не существует. Для некоторых частных случаев критическое значение параметра подобия было вычислено точно. Для случая нарушения стационарного режима охлаждения исследованы возможные сценарии поведения завала аварийного энергоблока на основе уравнений движения упругосыпучей среды.

Исследование режимов охлаждения пористого; саморазогревающегося элемента было продолжено В.П. Масловым [30], получившим некоторые соотношения при различных значениях определяющего параметра подобия задачи: как докритических, так и закритических.

И хотя в настоящее время, как в нашей стране, так и за рубежом активно продолжаются исследования движения жидкости и газа через пористую среду, процесс течения газа через пористую саморазогревающуюся среду остается слабо изученным. Этот процесс близок к явлению фильтрационного горения в инертных и реагирующих пористых средах, которое исследуется во многих публикациях, например [6, 7, 12, 13, 48 -50, 58-60,63, 67].

Настоящая диссертационная работа посвящена дальнейшему изучению движения газа через твердую пористую среду, в которой происходит тепловыделение. Рассматриваются более точные, по сравнению с [30, 31], уравнения, моделирующие охлаждение протекающим воздухом пористого тепловыделяющего элемента. В частности, учитывается температурная зависимость вязкости газа и эффект теплопроводности, которыми пренебрегают в [30,31]. Также в отличие от [30, 31] рассматривается задача с различными значениями давления воздуха на входе в элемент, в общем случае зависящими от времени. Но в отличие от [31], все исследования в настоящей диссертационной работе посвящены только неподвижной и однородной твердой среде.

Первая глава посвящена построению модели охлаждения протекающим воздухом пористого тепловыделяющего элемента. В первом параграфе выводятся основные уравнения математической модели движения газа через твердую пористую среду, в которой происходит тепловыделение. Во втором параграфе производится обезразмеривание системы уравнений и постановка задачи о нестационарном охлаждении тепловыделяющего элемента для одномерного и плоского случая. В третьем параграфе производится обезразмеривание системы уравнений и постановка задачи о стационарном охлаждении тепловыделяющего элемента для одномерного случая как с учетом, так и без учета температурной зависимости вязкости газа.

Вторая глава посвящена исследованию стационарных режимов; охлаждения пористого тепловыделяющего элемента. В первом параграфе выводится решение стационарной одномерной задачи о движении газа с постоянной динамической вязкостью через пористый тепловыделяющий элемент. Приводится также решение для случая, когда можно пренебречь теплопроводностью, силой тяжести. Исследуется случай замены закона Дарси на нелинейный закон фильтрации. Во втором параграфе выводится критерий существования стационарного решения. Показывается, что в частном случае он полностью совпадает с критерием существования стационарного решения, полученным в [31]. В третьем параграфе решается задача о стационарном охлаждении тепловыделяющего элемента для одномерного случая с учетом температурной зависимости вязкости газа. Показывается, что при моделировании движения газа через пористую тепловыделяющую среду необходимо учитывать температурную зависимость вязкости газа. В дальнейшем в настоящей диссертационной работе температурная зависимость вязкости газа везде учитывается. В четвертом параграфе решается задача о стационарном охлаждении тепловыделяющего элемента, сверх которого имеется пористый инертный слой (завал). В результате анализа определена критическая высота завала, при которой существует стационарное решение.

Третья глава посвящена исследованию нестационарных одномерных режимов охлаждения пористого тепловыделяющего элемента. В первом параграфе приводится конечно-разностная схема, которая может применяться при моделировании разнообразных задач, возникающих при изучении одномерного нестационарного течения газа через однородный тепловыделяющий элемент. Во втором параграфе решается задача о резком сбросе давления газа на входе в тепловыделяющий элемент при установившемся стационарном режиме. Исследуются два возможных случая: 1) падение давления до значения выше критического, при котором возможно новое стационарное решение; 2) падение давления до значения ниже критического, при котором стационарное решение невозможно. В третьем параграфе описывается: переходный процесс от состояния покоя при отсутствии тепловыделения к состоянию режима принудительной фильтрации при мгновенном включении подвода тепла. Также рассматриваются два случая: 1) рост давления газа на входе в тепловыделяющий элемент до значения выше критического, при котором возможно стационарное решение; 2) рост давления до значения ниже критического, при котором стационарное решение невозможно. В четвертом параграфе решается задача о периодическом колебании давления газа на входе в тепловыделяющий элемент.

Четвертая глава посвящена исследованию нестационарных двумерных режимов охлаждения пористого тепловыделяющего элемента. В первом

параграфе приводится конечно-разностная схема, которая может применяться при моделировании плоского нестационарного течения газа через однородный тепловыделяющий элемент. Далее во втором — четвертом параграфах решается задача о переходе от состояния покоя при отсутствии тепловыделения к состоянию режима принудительной фильтрации при мгновенном включении подвода тепла для тепловыделяющих элементов различной формы: плавно-сужающейся формы, ступенчато-сужающейся формы, для тепловыделяющего элемента с застойными зонами.

Заключение содержит краткий обзор основных результатов, полученных в диссертационной работе. Некоторые результаты настоящей работы представлены в публикациях [21, 22, 24 - 28, 64].

В главах принята тройная нумерация формул и двойная нумерация рисунков. Первая цифра в номере формулы обозначает номер главы, вторая — номер параграфа, третья - порядковый номер формулы в параграфе. Первая цифра в номере рисунка обозначает номер главы, на протяжении каждой главы нумерация рисунков сквозная.

1. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. В 2-х т. Пер. с англ. М.: Мир, 1990. 728 с.

2. Арнольд В .И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск: РХД, 2000. 368 с.

3. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М.: Недра, 1972. 288 с.

4. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. 208 с.

5. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 600 с.

6. Буркина P.C., Козлов Е.А. Очаговое тепловое воспламенение в пористой среде в; условиях естественной фильтрации газа. // Физика горения и взрыва. 2001. Т. 37. № 2. с. 35-41.

7. Ваганов Д.А., Шатунова E.H., Перегудов Н.И., Самойленко Н.Г. Закономерности фильтрационного воспламенения. // Физика горения и взрыва. 2002. Т. 38. № 4. с. 44-49.

8. Гинзбург И.П. Аэрогазодинамика. М.: Высш. шк., 1966. 404 с.

9. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. 416 с.

10. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я, Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976.400 с.

11. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. Введение в теорию. М.: Наука, 1977.439 с.

12. Добрего К.В., Жданок G.A. Физика фильтрационного горения газов. Мн.: Ин-т тепло- и массообмена им. A.B. Лыкова НАНБ, 2002. 203 с.

13. Жуковский Н.Е. Теоретическое исследование о движении подпочвенных вод. // Собр. соч., т. 3. М.: Гостехиздат, 1949. с. 184-206.

14. Жуковский Н.Е. О влиянии давления на насыщенные водою пески. // Собр. соч., т. 7. М.: Гостехиздат, 1950. с. 73-89.

15. Жуковский Н.Е. Просачивание воды через плотины. // Собр. соч., т. 7. М.: Гостехиздат, 1950. с. 297-332.

16. Жумагулов Б.Т., Смагулов Ш.С., Монахов В.Н., Зубов Н.В. Новые компьютерные технологии в нефтедобычи. Алматы: Гылым, 1996. 167 с.

17. Жумагулов Б.Т., Монахов В.Н. Гидродинамика нефтедобычи. Алматы: КазгосИНТИ, 2001. 336 с.

18. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

19. Ковеня В.М., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981. 304 с.

20. Левин В.А., Луценко H.A. Стационарный режим фильтрационного охлаждения пористого тепловыделяющего элемента. // Институт автоматики и процессов управления. Юбилейный сборник: К тридцатилетию ИАПУ ДВО РАН. Владивосток: ПАПУ ДВО РАН. 2001. с. 151-159.

21. Левин В.А., Луценко H.A. Фильтрационное охлаждение пористого тепловыделяющего элемента. // V Минский международный форум по тепло- и массообмену. Тезисы докладов и сообщений. 2004. Т. 2. с. 219220.

22. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Изд. 6-е, перераб. и доп. М.: Наука, 1987. 840 с.

23. Луценко H.A. О стационарном режиме фильтрационного охлаждения пористого тепловыделяющего элемента. // Дальневосточнаяматематическая школа-семинар имени акад. Е.В. Золотова. Тезисы докладов. 2001.

24. Луценко H.A. Одномерный стационарный режим фильтрации газа через слой неподвижного тепловыделяющего конденсированного материала. // Дальневосточный мат. журнал. 2002. Т. 3. № 1. с. 123-130.

25. Луценко H.A. Стационарный режим фильтрации газа через тепловыделяющий элемент с завалом. // Современные проблемы механики и прикладной математики: Материалы международной школы-семинара. Ч. 3. Воронеж: Воронежский госуниверситет, 2004. с. 14-26.

26. Луценко H.A. О нестационарных двумерных режимах охлаждения пористого тепловыделяющего элемента. // Дальневосточная математическая школа-семинар имени акад. Е.В. Золотова. Тезисы докладов. 2004. с.

27. Луценко H.A., Левин В.А. О нестационарном режиме фильтрационного охлаждения пористого тепловыделяющего элемента. // Дальневосточная; математическая школа-семинар имени акад. Е.В. Золотова. Тезисы докладов. 2003. с. 118.

28. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988. 264 с.

29. Маслов В.П. Эффекты перегрева в фильтрационных средах. // ДАН. 1992. Т. 326. № 2. с. 246-250.

30. Маслов В.П., Мясников В .IL, Данилов В.Г. Математическое моделирование аварийного блока Чернобыльской АЭС. М.: Наука, 1987. 144 с.

31. Михайлов Г.К., Николаевский В.Н. Движение жидкостей и газов в пористых средах. // Механика в СССР за 50 лет. Т. 2. М.: Наука, 1970. с. 585-648.

32. Мухачев Г.А. Щукин В.К. Термодинамика и теплопередача. М.: Высш. шк., 1991. 480 с.

33. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 336 с.

34. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Т. 1. М.: Наука, 1987. 464 с.

35. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Т. 2. М.: Наука, 1987. 360 с.

36. Николавский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970. 336 с.

37. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 1. Изд. 3-е, перераб. и доп. М.: Наука, 1983. 464 с.

38. Павловский H.H. Неравномерное движение фунтовых вод. М.: Гостехиздат, 1930. 58 с.

39. Павловский H.H. О фильтрации воды через земляные плотины. Л.: Кубуч, 1931.259 с.

40. Пейре Р., Тейлор Т.Д. Вычислительные методы в задачах механики жидкости. Л.: Гидрометеоиздат, 1986. 352 с.

41. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Численные методы газовой динамики. М.: Высш. шк., 1987. 232 с.

42. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Гостехиздат, 1952. 676 с.

43. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Наука, 1977. 664 с.

44. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

45. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1. М.: Наука, 1976. 536 с.

46. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1987. 430 с.

47. Сеплярский Б.С. Воспламенение конденсированных систем при фильтрации газа. // Физика горения и взрыва. 1991. Т. 27. №1. с. 3-11.

48. Футько С.И. Учет турбулентности пламени в моделях фильтрационного горения газов. // Физика горения и взрыва. 2002. Т. 38. № 6. с. 30-36.

49. Футько С.И., Добрего К.В., Шмелев Е.С., Суворов А.В., Жданок С.А. Фильтрационное горение при десорбции углеводородов из пористой среды. // Инженерно-физический журнал. 2003. Т. 76. № 6. с. 88-97.

50. Христианович С.А. Движение грунтовых вод, не следующее закону Дарси. // Прикладная математика и механика. 1940. Т. 4. № 1. с. 33-52.

51. Христианович С.А. Избранные работы. Речная гидравлика. Теория фильтрации. Аэродинамика и газовая динамика. Горное дело. Теория пластичности. Энергетика. М.: Издательство МФТИ, 2000. 272 с.

52. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. М.: Гостехиздат, 1963. 396 с.

53. Шевелев Ю.Д. Пространственные задачи вычислительной аэрогидродинамики. М.: Наука, 1986. 366 с.

54. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена. Пер. с англ. М.: Мир, 1988.544 с.

55. Boussinesq J. Recherches théoriques sur l'ecoulement des nappes d'eau infiltrees dans le sol et sur le debit des sources. // J. math, pures et appl. 10, 1904. № 1. pp. 5-78. (Complement, № 4. pp. 363-394)

56. Darcy H. Les fontaines publiques de la ville de Dijon. Paris, 1856. 647 p.

57. Dobrego K.V., Kozlov I.M., Zhdanok S.A., Gnesdilov N.N. Modeling of diffusion filtration combustion radiative burner. // International Journal of Heat and Mass Transfer. V. 44. 2001. № 17. pp. 3265-3272.

58. Dobrego К.V., Kozlov I.M., Bubnovich V.I., Rosas C.E. Dynamics of filtration combustion front perturbation in the tubular porous media burner. // International Journal of Heat and Mass Transfer. V. 46. 2003. № 17. pp. 32793289.

59. Dobrego K.V., Zhdanok S.A., Zaruba A.I. Experimental and analytical investigation of the gas filtration combustion inclination instability. // International Journal of Heat and Mass Transfer. V. 44. 2001. № 11. pp. 21272136.

60. Dupuit J. Etudes theoriques et pratiques sur le movement des eaux. 2-e ed. Paris, 1863. 304 p.

61. Forsythe G.E., Wasow W. Finite Difference Methods for Partial Differential Equations. New York: Wiley, 1960.

62. Henneke M.R., Ellzey J.L. Modeling of filtration combustion in a packed bed. // Combustion and Flame. V. 117. 1999. № 4. pp. 832-840.

63. Richtmyer R.D., Morton K.W. Difference Methods for Initial-Value Problems, 2-ed. New York: Interscience Publishers, Wiley, 1967.

64. Roache P.J. Computational Fluid Dinamics. New Mexico: Hermosa, Albuquerque, 1972.

65. Shkadinsky K.G., Shkadinskaya G.V., Matkowsky B.J. Filtration Combustion in Moving Media: One and Two Reaction Zone Structures. // Combustion and Flame. V. 110. 1997. № 4. pp. 441-461.

66. Zachmanoglou E.C., Thoe D.W. Introduction to Partial Differential Equations with Applications. Baltimore: Williams&Wilkins, 1976.