Самосогласованные решения в модельных теориях Эйнштейна-Янга-Миллса тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

рго од

1 А ИЮН.1993

НАУЧНО - ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ. ЦЕНТР ПО ИЗУЧЕНИЮ СВОЙСТВ ПОВЕРХНОСТИ И ВАКУУМА

На правах рукописи УДК 530.12: 531. 51

ДЖУНУШАЛИЕВ ВЛАДИМИР ДЖУМАКАДЫРОВИЧ

САМОСОГЛАСОВАННЫЕ РЕШЕНИЯ В МОДЕЛЬНЫХ ТЕОРИЯХ ЭЙНШТЕЙНА - ЯНГА - МИЛЛСА

Специальность 01.01.02 теоретическая физика

Артореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - натенатических наук

Москва 1993

Работа .выполнена в " институте Физики Академии . наук. Республики Кыргызстан"

Научный руководитель' ¡. доктор физико! - иатенатических наук,

профессор Гурович В.Ц.

Официальные оппоненты: доктор физико - иатенатических наук

М. Е. Герценцггейн,

кандидат физико - иатенатических наук К.А. Бронников

Ведущая организация •. Российский университет Дружбы народов

Защита состоится " ' 1 " И (1993 г. в ' часов на заседании специализированного совета К 041.07.02 по присуждению ученой степени кандидата физико - иатенатических наук в Научно - исследовательской центре по изучению свойств поверхности и вакуума по адресу: Москва, ул. Марии Ульяновой,•дон з. корп. а.

С диссертацией ножно ознакомиться в библиотеке НИЦИСПВ.

Автореферат разослан " ^ " 1 Л£!< 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ.-нат. наук М.И.Калинин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ ЦЕЛЬЮ РАБОТЫ является нахождение 4-х и яногоиеряых самосогласованных решений модельных уравнений Эйнштейна —Янга -Миллса, описквагояих пространство - время, заполненное либо Stl(2) либо STI(3) калибровочным полей.

АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ. В настоящее время достоверно известно о четырех видах взаимодействий. существующих в природе, три Из которых являются калибровочными. Эти калибровочные поля должны взаимодействовать с гравитацией. порождая соответствутопие пространственно временные решения.

Космологические решения такого рода долены предстазлять большой интерес для теорий . описывающих рогадение Вселенной. Так как в начальный момент времени после Большого Ззрыза во Вселенной большую роль могут играть калибровочные поля слабого и сильного взаимодействий.

Решения типа черных дыр ваяны при исследовании мелкомасштабной структуры пространства - времени, поскольку теперь (после нахождения решений, соответствугяих S0(2) и SU(3) черным дырам) ясно, что точечные сингулярности для любого сферически симметричного калибровочного поля скрыты от внелмего наблюдателя горизонтом событий (ГС ) . •

Горловичные решения (4—мерные и многомерные,'с евклидовой и лсренцевой сигнатурами метрик, заполненные калибровочными полями), по всей видимости будут предстазлять большой интерес при построении моделей топологических переходов в квантоэой гравитации. .

НОВИЗНА РАБОТЫ. В диссертации получены модельные репжгния. описывающие взаимодействие i-x и многомерной гравитации с неабелевыми su(2) и SU(3) калибровочными полями. Показгио, что при некоторых условиях SU(2> Вселенная" Сридмана мо-лэт быть инстэнтонсм.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ. ЕЦНОСНГС-Е !!А ЗАТ1ТУ.

1.Для хромодинамнческого поля предложен модельный акзэц, описывающий центрально - симметричное распределение SU{3) поля.

2.Получено числяннсе решение, списывающее модэльнук черную дыру, заполненную SU(3) калибровочным полем.

3.Длп слабого вэаимодейстзхгя- предложено примените знзац

Полякова - t'Hoofta для описания однородного распределения SUC 2 У поля so Вселенной Фридмана.

й.Получено решение, описывающее Вселенную Ориднана, заполненную полей слабого взаимодействия.

5.Получены условия, при которых Вселенная Фридмана, заполненная SU(2) полей становится инстантонон.

6.Для сильного взаимодействия указан вид модельного анзаца, описывающего однородное распределение SU(з) поля во Вселенной Оридкана.

7.Получено решение, описывающее модель Вселенной Фридмана, заполненную полем сильного взаимодействия.

8.Получены модальные горловинныа решения в многомерных теориях с искривленной матричной метрикой Кнллинга на соответствующих калибровочных группах.

9.Получены решэния so(2) и SUC3) модельных уравнений Янга - Миллса на евк_-;.1довой 4-мерной горловине.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации докладывались на кафедре теоретической физики Киргосуниверситета.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации издоены в трех публикациях.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ, Диссертация состоит из взеде шя. трех

глав. приложения, заключения, списка литературы. Общий объем диссертации 73 стр. пасзшописного текста. 16. рисунков. Список литературы вклячает йб наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении представлен краткий исторический обзор. работ, ■ посвябонных нахо;глани!0 самосогласованных решений уравнений Эйиатейна - Янга - Миллса. Рассматривается актуальность проблемы, цель работы, научная новизна.

В пераой главе расспатривается модельная черная дыра в теории Эйнштейна, заполненная SU(3) калибровочным полем.

Метрика о этом пространстве - времени ищется б виде:

2 2

2 tf ц 2 J? 2 2 Г 2 2 ^

ils - —~ dt" - -i— tr - г [ а0 * ein О ар j С13

здесь с,и являются функциями от г; г. 0 и ' <р — полярные координаты.

STJO) анзац для калибровочного поля предлагается в

— ц -

ледугещем ионополеподобном виде:

(Г<г>)*1) - I.

х

1 1 К

=1.2.. ..,8; 1-=1,2.3; матрицы Ц

1 '

------- алгебры зи(3): а

(2)

являются вещественными декартовы координаты

десь а енератораии 1.;), к«=1, г, 3) в 3-мерном пространстве.

Допустим, что электрическое поле имеет единственную енулевую компоненту тензора Максвелла:

С 33

«г г) г «

Полный лаграняман в таком случае монно записать следующим

'бразом:

|десь ,а

_1_

"е

скалярная

кривизна

I р ^ 1 4 ру J

метрики

(Й) С 13;

„ ^ а » а аЬ с Ь с . ,__

V = д а -3 в -г й й - напряженность калибровочного эиСЗЗ

юля еа ° - структурные константы зи(з) группы; р

- электромагнитный тензор: е - калибровочная константа связи;

¡.V = 0,1,2,3; а.Ь.с = 1.2.....8.

С точностью до несущественного множителя лаграняшан

\Ю могно записать в слздуюайн виде:

. 2 н

Ь а

о' и

- -V1 [ 2"К-кГ

* 2иГ

-Г КГ

2

здесь к « бтгу/е . Для получения модели 2и(3) черной

уравнения Эйнштейна - Янга - Миллса мы получим

непосредственного варьирования (5) по а,с,и и Р:

г

(5)'

(* «;г - •

(51

ДЬ!р Ь!.

путем

( 6. 3 1

2

1 '6-г> (е. А)

1>К - к к г

здесь 0 некоторая константа

пропорциональная

(6.Ц)

Гг" ^

электрическому

* а

заряду.

При- решении этой системы .уравнений в области вне ГС надо ввести следующие безразмерные величины:

х г 2v - _и_ _м_

е - .. -е - , а * . Q —

Н гн гн гн

здесь г - радиус горизонта событий.

Численное решение_системы (б) показало, что регулярное

решение во всей области х > О существует только при некоторых * *

значениях величины <F -F(x=0)). Число n нумерует количество пересечений функции F(x) с осью Ох. Такое поведение решения качественно полностью аналогично SU(2) случаю, разобранному М.С.Волковым и Д.В.Гальновым.

Численный анализ решения внутри ГС показывает, наличие точечной сингулярности.

Во второй главе рассматриваются космологические решения в модельной теории Эйнштейна — Янга - Миллса.

В п.3.1 находится решение для Вселенной Фридмана, заполненной su(2) калибровочным полем. Метрика в этом случае ищется во фридмановском виде:

da2 - a2<T7)£-mj2 + ûxZ * ein** £äö2 * ein20 1pZJJ С7Э

здесь n - время; - 3-мерные полярные координаты.

Введем некоторое дополнительное евклидово 4-мерное пространство с евклидовыми координатами х(латинские Индексы пробегают значения 1,2,3. Л): 1

х - г совх

х^ = г eixix cos©

х^ «= г cinar ßin0 cosp

4

X « Г sin* ßinö El ni' здесь г - 4-мерный радиус.

Теперь в этом пространстве введем инстантоноподобньгй потенциал SU(2) калибровочного поля:

»;.- [ * * '<"> )

здесь Т}6, - SU(2) тензор т'Хоофта; а * 1,2,3 - внутренние 3 H

индексы для su(2) группы.

Затем,потенциал в эйнштейновской-' пространства — вренеин в полярной систене координат выбираем в виде:

V -О V = А V а = А а V = А

аг> ах ах аЭ аЭ ар ар

После чего уравнения Эйнштейна - Янга - Миллса в этой случае мокно записать следующим образом г

i. (г..- — +

(9) (10)

2а

£'' = -гг I f" - 1 I (il)

здесь к - постоянная, в которую входит эйнштейновская гравитационная постоянная и su(2) калибровочная константа связи. Уравнение Якга - Миллса (11) получено непосредственно из лагранжиана Янга - Клллса варьированием по е.

Эту систему легко проинтегрировать!

а « aQ ainr; . Cl2>

t = a0£l - ccW] (13)

f =±/ E25* 22 j "jr^lr]} Пр:! E > 1 <1й>

f = ±-/ 1-Е nd|(T)4.j,o)-/ z*l ' j -£§f-j при E < 1 (15)

¿aô..a и nd<3..п — эллиптнчэсхно функции; t — врэяя (dt=a(T7)C7?). .

Б пункте 3-2 рассматриваются' условия прн которых, SU(2) . Вселенная ■ Ориднана ножт быть инстантснон. Ko:_-ijo показать, что функционал "знэргнн" (здгсь рассматривается только случай

« - J < /т А . я+t rMJ V*.,, )(} i

l-w ^ «'«2 -fj WV"5 - «Л

достигает иннннума, если выполняются условия Богомольного;

здесь F „ - тензор напряженности для потенциала л : F -

га stxfl

тензор дуальный тензору Faa/9* * 0-1»2»3

1.J = 1,2.3. Условия (17) для анзааа (8.2) выглядят следу¡ощ образом:

Г = + - f2J (18

Отсюда получаем:

г = + thr> (19

Для индекса Понтркгина п из (2.7) получаем:

п = ± 1 (2С

Топологически полученный здесь инстантон являете 3

произведением r х s (время на 3-мерную сферу). При rj i калибровочный потенциал (8.2) является чистой калибровкой. тг. как f +1. В этой случае насх* пространство - врегш hoes рассматривать как 4-мерную созру, на которой stT(2) потенции (8.2) язляется сечением нетривиального зи(г') расслоения числом Поитрягинг» п = ±1. Необходимо отметить, что при f = потенциал (8.2) осущэстзллет нетривиальное топологическ<

3

отображение пространственной сферы s на калибровочную груш SB(2).

Теперь вернемся к sa(2) Вселенной Фридмана' и выясним п: каких условиях она может стать инстаптонои. Исходя иi предыду: рассукдений, ясно что для зтего необходимо выполнение следую-д услозий: .

£(0) = -1 (2

г(л) =1 . ' (2

знаки здесь порно поменять местами. .

Напомним. что Вселенная Орндиана является 4-нЬрной сфера Накроен ее двумя координаткезш картами: первая покрьшг область с х < ч-Р! вторая с х > s (здесь s - бесконечно на J величина). Если обозначить зазисимость потенциала (8.2) от через v(f). то потенциал ^V(-e) калиброаочно эквизалент потенциалу V(£):

V(j?) = -V(-f) * ^чистая калибровкаJ (;

причем второе слагаемое здесь фактически является евклндсн

инстантоном. записанным в полярной системе координат, и позп

-1

осуществляет нетривиальное топологическое отображение s

SU(2). Это говорит о тон» что рассматриваемый нами su( 2} потенциал является сечением нетривиального расслоения.

. Тогда на первой координатной карте введен потенциал Vis). а на второй VC-г). Ситуация на каждой из координатных карт для калибровочного потенциала подобна ситуации для евклидсзого . стандартного инстантона. при которой потенциал в начале координат разен нулю, а на границе области он с попопью калибровочного преобразования иоггэт быть преобразозан к нулевому знаменит.

Рассмотрим случай с е < 1. Известно, что эллиптическая функция nd(x|ra) всегда бальпз нуля, поэтому при Е < 1 SU(2) Вселенная Оридмана не иозэт быть ннстантоксн.

Рассмотрим теперь случай Е > 1. Обозначим через

iji

г) iE) минимальный корень алгебраического уравнения?

'(о) = - aafyfzP | = 1 (2й)

(25)

„ f гх «1

Здесь К(Е) является 1/4 периодом эллиптической букхцзш 3d(x|ra):

k(u) = г • г v.

J |i - n sin ау

Е+1 ш „ ___

О

легко показать, что при

2К.СЕ) (2ГО+1) ; Г?п(Е) ='. -- . -- ■ ■ (25)

-/ 23 " ■

•-'- ÜK(S)m Г} iE) =■ ..... ' * 2 (2.7)

йКСЕНга+1) . ^ ' . •

v (Е) = --- - 2Г?'"(Я) (2в)

/iT

решение принимает следующее значение:

е(7? (Е)> - 1

п1

злпсь гл = 0.1,2..... Таким образон еслл потребовать. чтобы

выполнялись следующие условна:

тогда

2K(E )(2m*l) га

1К(Е )m --- а» (Е)

(30)

UK(E )(т»1)

ÏÎÎ

27?* СЕ)

(31)

то при Е . являющимся решением одного из уравнений (29)-(31). SU(2) I деленная Фридмана будет являться псевдоевклидовым 'инстантоном.

Вычисляя топологический индекс согласно (3.2.7) получаем:

п = ±1 (32)

В разделе (3-3) рассматривается космологическое решение в модел

теории Эйнстсйна - Якга - Миллса, в которой заполняющим полем

пзллется хрокодляамичэскоз SU(3) калибровочное поле.

Нзтриху пространства — времени выбираем в ток se виде (7)

как и для EU < 2 ) Еседанной. ••

Для введения ЕЬ'(З) калибровочного потенциала поступим

аналогично SUC 2) случаю. Езедгп некоторое дополнительное

4-нгрное евиллдоЕО пространство с дзкартовыли координатами и в

нгн опродгл;1!1 калибровочные потенциала.

п _ 1 . ci- ci

Езсдэл дгз натричиых .«1-вгцтора L. и ri :

IX „ а

IX,

IX,.

(ï

м1 -

IX

К = 1Х„

„3.

1Х6 -1

M

X

a

здесь X ;

- матричные генераторы 5U(3) удобства проведена перенумерация матриц стандартными обозначениями. принятыми

•V 3 группы

X .

0 -i* 0

i 0 0

0 0 0

• 0 0 -1

0 0 0

1 0 0

0 0 0

0 0 -i

0 i û

• 1 0 0

0 1 0

0 0 -2

1. 2 . s

сравнению

Для со

сильных

теории

взаимодействий. Теперь введем некоторые дополнительные величины следующий образом-.

= {-11Л "1Ь2; -11Л Ь4}

« {-1М1; -1М2; -ХМ3; М4} исф „ = ^-а ^ + ] - ^ + ^ М" ]

ЫА41 = аА.21.7 + ЙА.21-1.8

N ^ = Г - г

"А 'А.21-1^ А.2,}.-1,1

здесь

<ХА'^В> " ХА ХВ + ХВ ХА - бАВ 1 + 2 аАВС ХС

СХА'ХВ] = ХА ХВ " ХВ ХА _ 21 ГАВС ХС здесь греческие индексы пробегают значения 1,2,3.4.

Введем ЭиСЗЭ тензор т'Хоофта:

[«"'Я*)'

здесь N^ = с^У^и?^ - тензор дуальный тензору -

единичный абсолютно антисимметричный тензор в 4-мерном евклидовом пространстве. Р), наконец, переопределим одну из компонент тензора т'Хоофта следуюгцим образом:

УС 1 +2-/Г3~3.

"За/? Т Л3а/3' Теперь

дополнительном пространству:

Теперь можно ввести калибровочные потенциалы ВДа в нашем

х?

В. = Aa/?_ f С rp СЗО

Aot 2

г

Определим калибровочное SUC33 поле УДа в 4-мерной пространстве - времени следующим образом:

v» = в» V,. >='В.Л V, «'в. v., =5, = О С 35:'

Ах Ах A3 Л9- А*> A«? At Аг

Тензор энергии - импульса для 3UC35 по.-.л нпе'м

следующий вид:

■17 _ 1

Т" =

4

384а

£ 48f'^ + f" + 24f3 * 102Га J

Т* = Т® = Т4* = - -1- Г 4ВГ'2 + f4 + 24f3 4. 192Г2 1 "сза. £j

* ° * 1152а41- J

После подстановки анзаца С34Э с точностьи до

несущественного многзггеля лагрангиан для SUC33 Вселенной•могно

записать следующим образок:

L <х - 4ВГ'2 + И * 2&f3 + 192f2 С373

Модельное уравнение Янга - Миллса мы получаем путем

непосредственного'варьирования (37) по полевой переменной fir?).

После чего нокно уравнения Эйнштейна - Янга - Миллса выглядят следующим образом : '

г-Г а2 - а'2 1 - —--J— Г ilBf ' 2 * * 2й£3 * 192f 2 1 C383

a 1 . J зайа J ir-ikaa" - a'2 - a2]«--rfû85'2 * * ziie3 * 192f2l C393

a k . J 1152s ^ J

ZUt" - £ f2 + 6f + 96 J С 403

здесь к - постоянная, в которую входит эйнштейновская гравитационная постоянная и SU(3) калибровочная константа связи.

Так же как и в случае для su(2) Вселенной уравнение Янга -Миллса имеет- интеграл движения !

2 и 2 2

ÛSf * f * 2ilfJ * 192£ - Е С413

что позволяет.записать решение систены (3-3-6) в следующее виде: . .

а « -&0 clnT) С 423

t = г, ooetîJ С 433

Функция f(T?) определяется обрадениен следующего эллиптического интеграла :

<ïf

и ■/ 3 I -.--C44D

"I

•/е2 - И - 2Üf3 - 192f2

Следовательно, полученное здесь решение для Вселенной, заполненной SU(3> калибровочным полем, описывает фридманэЕ;ску1 Вселенную закрытого типа. 4-мерная метрика этого решения. та) еа, кок и в SU(2) случае, эквивалентна -метрике закрыто! Вселенной Фридмана с уравнением предельного состояния натерт е » 3р (с-плотность энергии, р-давление поля сильноп взаимодействия ).

В третьей главе на основе предложенных ранее анэацев для su(2 и SUC3) калибровочных полей найдены решения в модельных теория

»йнштейна - Янга - № члса с искривленной матричной метрикой ¡иллинга на калибровочных группах в многомерных эйнштейновских I евклидовом пространствах.

В 5-нернон случае на основе уравнений Калуцы — Клейна юлучено следующее решение:

4г2

О R

« ^ - н2

CÛ53

г2 - г2 * Л2 (йб)

2 2 •

>-мерная метрика здесь записана в следуппем виде:

аа2 = е2»СК)аг2 _ _ и{й)аг)а _ ак2_

г^В)(.адг * в1пгв сзр2) С485

Показано, что полученную метрику Калуцы - Клейна (й5)-(47)

южно на горизонте событий склеить с 4-х мерной метрикой и

электрическим полем стационарной части решения Райсснера —

[срдстрима.. О

В 7-мерном случае метрика ишется в вида: -I .

2 ' . 2 я (I*) ... 2 2 , . ,, .2^.-2.

йз ----и(~) * * &(*•) -кз!п 9 ар )<•

u(r)(dy^ + di^ * dy^) С49Э

2 .2 „2, " " '2 * 3

)десь последнее слагаемое есть матричная метрика Киллннга на 30(2) • калибровочной группе, являющемся • дополнительными ¡эизрениямн.. Лагранжиан в этом случае записывается в виде:'

1 -ПГ f- —S—:---flsuca>--а. а ^ Y ' '

1 16яг 4а2 ^ 8 J ' .

¡десь 1-ое слагаемое - 7-мерная скалярная- кривизна? Z-^os глагаемое - скалярная кривизна метрики ' Киллкнга калибровочной •pynnu su(2) • одмосрекенно образу;cn?ïft 'дополнительные мзнерэкия« !-е слагаемое - стандартный SUC2) лагрангшан Янга - Нпллса. . В 8-мерном случае метрика шлется в виде: 2

2 в ( ï»} 2 j1 ? -

<3з « - * dr + a(r) l&O- * ain-O <ip ) *

b(r) (<V u(r)dt)2 V u(.r0 (<3y2 + dy2 * dy2) С51Э

здесь - 5-ая координата Калуцы - Клэйна, а последнее слагаемое имеет тот же смысл, что и в (4.9). Лагранжиан записен в виде:

SUC3) 1_ Fñ

2 UV

С]

V i С 523

16лу 16ту 16пу 4е

здесь 1-ое слагаемое 8-мерная скалярная кривизна; 2-ое и 3-е

скалярные кривизны метрик Киллинг на калибровочных группах

5U(2) и SUC3)J 4-ое слагаеное есть Sü(3) лагранжиан Янга

Миллса.

Основной результат, полученный в этих пунктах можно сформулировать сладуюети образом: рассмотренные модельные сферически - симметричные решения в многомерной теории Янга Киллса с искривленной метрикой Киллинга являются горловинами, ограниченными с двух сторон горизонтом событий.

Реиэние систены Эйнштейна - Янга - Миллса в обоих этих случаях прозодялось численн&ии методами.

В п.4.6 получено ретанке для евклидовой гравитации, взаинодействующзй с S'J(2) калибровочным полем. Решение длг калибровочного ггатэнииала получено в видз ряда по радиально/ координате.

В прилоганпи получены решения SU(2) и 5U(3> модальны: уравнений Янга - Киллса на есклндооой горловине.

В заключении перечислены осаозныа результаты, полученные диссертации. .

Основные реэультати диссертации опубликованы в , слг?ду:ос работах: .

1- Диг/нуиалнез Б. Д.- Дополнительные координаты в иногонерии кг координаты на калибровочной группе./ Доп. в ВИНИТИ 1С.04.50, 2005 - BS0.

2. Д:^унушалиев Б. Д. Неабелсса 'си(з)- горловина с 7-нернс вставкой// Письма в £ЗТ0 - 1591, - т.53, - вып.11, - с.521.

3.Dzhunuchaliev V.O. Tiiß SU(3> black hole//1 Письиа и ЮТ0 1992, - т.55, - вып.З. - С.163.

4.Дхунуиалиев В.Д.Горлэвипные росеиия в многомерных теори Эйнотейна - Янга - Каляеву/ ЯС - 1993. - Кб С с печати}.

5. Дгг/нушалиев В. Д. Горловина - струна в стандартной теор Калуцы - Клейна// Изо. вузов, Сизика - 1993. - rj& Св печати).