Сферические полудизайны и кубатурные формулы для вычисления интегралов по сфере тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Котелина Надежда Олеговна

СФЕРИЧЕСКИЕ ПОЛУДИЗАЙНЫ И КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ ПО СФЕРЕ

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

16 МАЙ 2013

005058829

Санкт-Петербург 2013

005058829

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Института точных наук и информационных технологий Сыктывкарского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор ПЕВНЫЙ Александр Борисович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Защита состоится 16 мая 2013 г. в 13 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.232.49 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Пстродворсц, Университетский пр., д. 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан « ¡Л » (ич^А- 2013 г.

Учёный секретарь диссертационного совета,

профессор МАЛОЗЁМОВ Василий Николаевич (Санкт-Петербургский государственный университет)

кандидат физико-математических наук, профессор ИСАКОВ Валериан Николаевич (Коми государственный педагогический институт)

Ведущая организация: Санкт-Петербургский академический

университет РАН

доктор физико-математических наук

10. В. Чурин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Понятие сферического идйзайпа было введено Ф. Дельсартом, Й. Гётальсом, Й. Зайделем в 1977 г. С тех пор Н. Н. Андреев, Б. Б." Венков, В. А. Юдин, Н. Слоан, Е. Боннаи занимались проблемами существования, строения и нахождения дизайнов заданного порядка на сфере заданной размерности. Сферические дизайны — это особый класс сферических кодов, т. е. конечных множеств точек на сфере Мотивом для их изучения послужило приближенное вычисление интегралов по сфере 5"-1. Интеграл от алгебраического полинома степени не выше £ по сфере может быть вычислен как среднее от значений полинома в точках дизайна порядка Ь.

Сферические дизайны обладают рядом экстремальных свойств. В частности, Б. Б. Венков доказал, что для сферических дизайнов порядка £ сумма всевозможных скалярных произведений их элементов, возведённых в чётную степень Ь (¿-потенциал), достигает минимума. Этот результат можно обобщить, если рассматривать симметричные сферические дизайны, брать из них половину векторов (сферические полу дизайны), а затем сопоставлять элементам нового множества некоторые веса. Тогда ¿-потенциал с весами достигнет минимума на взвешенных сферических полудизайнах. В. А. Юдин доказал экстремальные свойства сферических дизайнов, использующие полиномы Ге-генбауэра. Аналогичные экстремальные свойства могут быть доказаны и для полудизайнов. Элементы взвешенного полудизайна (со знаками + и —) можно брать в качестве узлов кубатурной формулы для вычисления интегралов по сфере, а веса — в качестве сё коэффициентов.

Теорией кубатурных формул занимались И. Радон, А. Строуд, Д. Максвелл, С. Л. Соболев, В. И. Крылов, И. П. Мысовских, В. И. Лебедев. При фиксированной степени точности в, они стремились минимизировать количество узлов кубатурных формул. Оценки снизу для количества узлов кубатурных формул с заданной степенью точности с1 получали И. П. Мысовских и Ф. Дельсарт.

Английский математик Э. Варинг (1734 - 1798) поставил задачу о представлении формы ||ж||' = (х\-\-----Ь Жп)£/2 при чётной степени Ь в виде суммы

линейных форм, возведенных в степень Различные представления полу-

чали в 19 веке Е. Лукас, Ж. Лиувилль, А. Гурвиц и другие математики. Результаты этих исследований систематизированы в мемуаре Б. Резника1.

В некоторых случаях с помощью представления для ||ж||' можно получать взвешенные сферические полудизайны порядка t и строить с их помощью кубатурные формулы со степенью точности d = t + 1 и с числом узлов, меньшим, чем в известных формулах. Цель работы.

1. Введение понятия сферического полудизайпа и детальное изучение свойств сферических полудизайнов.

2. Введение понятий взвешенного сферического полудизайна и несфери-•ческого полудизайна, изучение их свойств.

3. Исследование связей между взвешенными сферическими полудизайнами и кубатурными формулами для вычисления интегралов по сфере.

Методика исследования. В диссертационной работе использовались методы теории сферических дизайнов, теории фреймов, теории кубатурных формул.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Введено понятие сферического t-полудизайна. Установлено, что минимум t-потенциала достигается на сферических t-полудизайнах и только на них.

2. Установлен критерий сферических полудизайпов в терминах полиномов Гегенбауэра. Установлено, что минимум потенциалов В. А. Юдина достигается на сферических t-полудизайнах и только на них.

3. Доказано необходимое и достаточное условие для сферического t-полу-дизайна в терминах кубатурных формул. Строится кубатурная формула с узлами в точках сферического полудизайна, точная для полиномов степени не выше t + 1.

'Rcznick В. Sums of even powers of real linear forms // Mem. Am. Math. Soc. 1992. Vol. 96. No. 463. P. 1-155.

4. Неравенство для Ь-потеициаяа, обобщается на случай произвольного вектора весов IV = ..., \Ут): ^ = Введено понятие взвешенного сферического Ь-полудизайпа. Установлено, чт.о неравенство для г-потеициала, с весами достигает,ся на взвешенных сферических Ь-полудизайнах и т.олько па них.

5. Введено понятие песферического полудилайпа порядкаЛ. Доказано, что обобщённое па случай произвольных векторов неравенство для Ь-по-тенциала достигается па, несферических Ь-полудизайнах и только па. них.

6. Получен критерий взвешенных сферических полудизайнов в терминах кубатуриых формул. Строится кубатурная формула с узлами в тючках взвешенного сферического Ь-полудизайна, т.очная для полиномов степени не выше 4 + 1.

7. Построены некоторые кубатурпые формулы для вычисления интегралов по сфере с числом, узлов, меньшим,, чем в и,звест.пых формулах.

Научная новизна. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Разработана теория сферических полудизайнов, включающая в себя критерии сферического полудизайна, связанные с ¿-потенциалами и с потенциалами В. А. Юдина. Построены некоторые кубатурные формулы для вычисления интегралов по сфере.

Апробация работы. По результатам диссертации были сделаны доклады на следующих семинарах и конференции:

• семинар кафедры вычислительной математики математико-механичес-кого факультета СПбГУ;

• семинар по дискретному гармоническому анализу и геометрическому моделированию (БНА & САСЭ) (http://dha.spb.ru);

• Международная научная конференция «Теория приближений» (Санкт-Петербург, 6-8 мая 2010 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре работы [1-4], перечисленные в конце автореферата. Статьи [1-3] опубликованы в изданиях из перечня ВАК.

Работы [2-4] написаны в соавторстве. В статье [2] диссертантом проведено доказательство основной теоремы и найдены коэффициенты в кубатурной формуле со степенью точности 9. В статье [3] А. Б. Певному принадлежит идея ввести понятие полудизайна и постановка задачи об обобщении неравенства для ¿-потенциала для произвольных ненулевых векторов. Доказательство обобщённого неравенства для ¿-потенциала и условия достижения в нём равенства принадлежат диссертанту. В статье [4] А. Б. Певный предложил ввести понятие взвешенного сферического полудизайна и поставил задачу обобщить неравенство для ¿-потенциала на случай произвольных весов. Доказательство неравенства с весами и критерия равенства в нём осуществлены диссертантом. В тезисах доклада [5] на Международной конференции "Теория приближений" анонсируются некоторые результаты из [3]. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 2 глав, разбитых на 15 параграфов, списка литературы, включающего 54 наименования. Объём диссертации — 117 страниц.

В первой главе диссертации рассматриваются сферические полудизайны и взвешенные сферические полудизайны. В первом параграфе изучаются свойства сферических полудизайнов. Понятие сферического полудизайна является новым и впервые появилось в работе Н. О. Котелиной, А. Б. Певного [3].

Пусть заданы натуральные числа п ^ 2, т, ¿, причём г чётное. Используем

скалярное произведение (х, у) = х1у1 Н-----\-хпуп векторов х, у € К" и норму

11^11 = \/{х,х). Пусть 5"-1 = {1£ К" I ||х|| = 1} - единичная сфера в К".

Возьмём систему векторов Ф = {(¿>1,..., Iрт} с 51'"1. В диссертации рассматривается тождество, которое именуется тождеством Варинга, в честь английского математика Э. Варинга, поставившего задачу о представлении формы {х\ + • • • + в виде суммы степеней порядка ¿ линейных форм

Содержание работы

(уих):

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Система векторов Ф = {<¿>1,..., ут} С 5"-1, для которой существует константа А1 > 0 тлкая, что выполняется тождество (1), называется сферическим полудизайном порядкаЬ.

В первом параграфе установлено следующее свойство сферических полудизайнов.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Сферический Ь-полудизайп Ф = {щ,..., рт} является сферическим р-полудизайпом. для всех р = 2, 4,..., £, с константой А„ = с„т, где

- (Р-1)" (2)

Ср тг(п + 2) • • • (п + р — 2)'

Далее получено ещё одно эквивалентное определение сферического полудизайна порядка

ТЕОРЕМА 1. Пусть задана система векторов Ф = {</?ь • • •, <рт} С й"1-1. Для того чтобы система Ф была сферическим полудизайном порядкаЬ, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

1 Г 1 т

для любого однородного полипомп. <3(.т) степени I от, п переменных. Здесь ап — площадь сферы Б4'1.

С каждым сферическим ¿-полудизайном связана кубатурная формула, точная для всех полиномов степени не выше £ + 1.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Пусть I — натуральное чётное число, система Ф = {ч>\,...,Ч>т} сферический Ь-полудизайн. Положим ут+г = —щ, г € £ 1 : т. Тогда справедливо равенство

1 Г 1 2т

для любого полипома (¿{х) степени не выше £ + 1.

Во втором параграфе рассматриваются сферические полудизайны порядка 2. В этом случае сферические полудизайны представляют собой жёсткие

7

фреймы. Рассматриваются вещественные гармонические фреймы и доказывается, что они являются сферическими 2-полудизайнами в Еп. В третьем параграфе вводятся сферические дизайны. Пусть £ целое, Ь > 2. Приведём определение сферического дизайна.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Система Ф = {фи... ,ч>т} С 5""1 - сферический дизайн порядка Ь, если для любого хей"« всех р = 0,1,..., Ь выполняется равенство

1 ХГ^Г/ \1Р ) сг\\х\\Р> Р чётное, ¿=1 I и, р нечетное,

где Ср определяются по формуле (2) при чётных р ^2, а с0 = 1.

В третьем параграфе вводится также понятие симметричного сферического дизайна. Для чётных Ь устанавливается связь между определениями симметричного сферического {Ь + 1)-дизайна и сферического ¿-полудизайна.

Существует также определение сферического ¿-дизайна через кубатурные формулы, точные для всех полиномов <5(х) степени не выше Ь.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Система Ф = {<рх,... ,<рт} С называется сферическим Ь-дизайном, если выполнено тоэюдество

1 Г 1 т

(4)

для всех полипомов С}{х) степени не выше Ь. Здесь ап — это площадь сферы Известно, что определения 2 и 3 эквивалентны.

Введём понятие Ь-потенциала для системы векторов Ф = {</>!,..., </зт} с С 5"-1:

т т

= (5)

¿=1 .7 = 1

где í — натуральное чётное число. Для £ = 2 потенциал называется фреймовым потенциалом.

В четвертом параграфе приводится неравенство В. М. Сидельникова -Б. Б. Венкова для ¿-потенциала. Для любой системы Ф = {<ри ..., ¡рт) с 5"-1

выполняется неравенство

Рь{ф) ^ с(т2, (6)

где константа cí определена формулой (2) при р =

Справедливо следующее экстремальное свойство сферических ¿-полудизайнов.

ТЕОРЕМА 2. Неравенство (6) обращается в равенство на сферических 1-полудизайнах и только на них.

Теорема 2 является следствием более общей теоремы, установленной далее в диссертации.

В пятом параграфе «Вершины икосаэдра» доказывается, что вершины икосаэдра образуют сферический 5-дизайн. В этом параграфе для системы Ф12 из всех 12 вершин икосаэдра, вписанного в сферу 52, вычисляется матрица Грама й. Вид матрицы (3 позволяет доказать свойство вершин икосаэдра:

(ерь = г ф ¿, |г - ¿| ф 6, г, 3 6 1 : 12.

Далее это свойство используется при вычислении 4-потенциала системы Фб из половины вершин икосаэдра, с помощью которого доказано указанное свойство икосаэдра.

В шестом параграфе «Вершины додекаэдра» рассматривается додекаэдр, двойственный к икосаэдру из предыдущего параграфа, вписанный в сферу 52. Его вершинами являются центры граней икосаэдра, спроектированные на сферу. Вычисляются координаты всех вершин додекаэдра, выписывается матрица Грама для соответствующей системы Ф20 и устанавливается, что Ф20 является сферическим дизайном порядка 5.

Существует ещё одно экстремальное свойство сферических ¿-полудизай-нов, в формулировке которого используются полиномы ГегенбауэраСд:(и). В седьмом параграфе в качестве подготовительного шага доказываются формула сложения и неотрицательная определённость для полиномов Гегенбауэра.

В восьмом параграфе доказывается критерий для сферических нолуди-зайнов в терминах полиномов Гегенбауэра.

ТЕОРЕМА 3. Пусть £ — натуральное чётное число. Для того, чтобы

система Ф = {<¿>1,... ,<рт} С 5П 1 была сферическим Ь-полудизайпом, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

т

=0, хе£Г-\ А = 2,4.....(7)

1 = 1

Заметим, что в случае ¿-дизайна равенства (7) должны выполняться при всех к = 1, 2,..., ¿.

Далее для системы векторов Ф = {</?!, ..., <рт} на сфере 5™"1 определяем потенциалы В. А. Юдина

т тп

и№) = Е Е ъ))' к = 1,2,..., г.

¿=1 ¿=1

Поводом для введения названия «потенциал» послужила неотрицательность выражений С4(Ф), которая следует из формулы сложения для полиномов Гегенбауэра.

В восьмом параграфе доказывается критерий сферических полудизайнов в терминах потенциалов £4(Ф):

ТЕОРЕМА 4. Пусть t — натуральное чётное число. Система векторов ф = ...) (рт] с 5"-1 является сферическим Ь-полудизайном тогда и только тогда, когда выполняются равенства

ик( Ф) = 0, к = 2,4,...,*.

Достижение потенциалами [/&(Ф) минимума, равного нулю, на сферических ¿-полудизайнах и только на них в диссертации именуется вторым экстремальным свойством Ь-полудизайнов.

В девятом параграфе неравенство Сидельникова - Венкова (6) обобщается на случай произвольных весов.

Пусть £ — натуральное чётное число, система Ф = {(¿>ь ..., лежит на сфере 57'"1. Рассматривается квадратная матрица А размера т с элементами

ау =[(¥>£, М'е1:т.

Эта матрица является неотрицательно определённой:

(А\¥, ТУ) ^ 0 для всех У/ е Ет.

Неравенство Сидельникова - Венкова может быть переписано так:

{А\У0,У/0) 1У0= (і.....€Ет.

В диссертации устанавливается более общее неравенство.

ТЕОРЕМА 5. Пусть £ — натуральное чётное число, задана система векторов Ф = {</?!, <¿>2, ■ • ■) Рт} »а сфере 5П_1 и вектор IV Є И"1 такой, что Щ = 1. Тогда справедливо неравенство

{АУ/,Ч/)>Сь. (8)

Далее доказывается необходимое и достаточное условие равенства в неравенстве (8).

ТЕОРЕМА 6. Для того, чтобы в (8) имело место равенство, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение

т

^Щ&иХ^^ъМ, І6Р. (9)

¿—і

Замечание. По аналогии с тождеством (1) тождество (9) названо тождеством Варинга с весами.

Условие (9) стало основой для введения понятия взвешенного сферического полудизайна, которое является новым и появилось впервые в работе Н. О. Котелиной, А. Б. Певного [4].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Пусть вектор IV = (И^,..., Є К"1 такой, что і ^ = Система Ф = ір2і • • • > <Рт} С в71'1 называется взвешенным сферическим полудизайном порядка £ с вектором весов IV, если выполнено тождество (9).

Таким образом, неравенство (8) обращается в равенство на взвешенных сферических полудизайнах порядка £ и только на них.

Для краткости введём обозначение (Ф, XV) для взвешенного сферического полудизайна Ф с вектором весов IV.

Взвешенные сферические £-полудизайны обладают следующим свойством.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Пусть пара (Ф,И0, где Ф = {</?!,..., ¡рт} С Я*1'1, V/ 6 Кт, — 1) ~ взвешенный сферический полудизайн порядкаЬ. То-

гда пара (Ф, является взвешенным сферическим полудизайпом, порядка р для любого р = 2,4, — 2.

В девятом параграфе вводится также определение взвешенного сферического дизайна порядка ¿ через систему тождеств и для чётных ¿ устанавливается связь между определениями взвешенного симметричного сферического [Ь + 1)-дизайна и взвешенного сферического ¿-полудизайна. Приводится пример, связанный с минимальными векторами решётки Коркина-Золотарёва Е8. Для таких векторов доказывается тождество Варинга с весами и устанавливается, что эти векторы образуют в пространстве Е8 взвешенный сферический дизайн порядка 7 с весами Wi = щ.

В десятом параграфе рассматриваются ¿-полудизайны в К", состоящие из векторов разной длины. Это понятие впервые появилось в работе Н. О. Ко-телиной, А. Б. Певного [3].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Пусть ¿ — натуральное чётное число. Система ненулевых векторов Ф = ..., (рт) С для которой существует константа Лt > 0 такая, что выполняется томсдество (1), называется несферическим полудизайиом порядка ¿.

В десятом параграфе неравенство Сидельникова - Венкова обобщается на случай ненулевых векторов из К".

ТЕОРЕМА 7. Для любой системы ненулевых векторов Ф = {</?!,..., <рт} в пространстве К" справедливо неравенство

где констант,а С; определяется формулой (2) при р = ¿. Равенство в (10) дост,игает,ся на Ь-полудизайнах и только на них.

При ¿ = 2 неравенство (10) доказал Р. Саяагга.

Вторую главу открывает одиннадцатый параграф, в котором устанавливается критерий взвешенных сферических полудизайнов в терминах кубатур-ных формул.

(10)

¿=1

ТЕОРЕМА 8. Пусть задана система векторов Ф = ірг,..., <рт} на сфере 5П_1 и вектор \¥ = (\Уи...,\¥т) Є Ет такой, что еііі ^ = Для того чтобы пара (Ф,ІУ) была взвешенным сферическим полудизайном порядка і, необходимо и достато'чио, чтобы выполнялось равенство

для любого однородного полинома С}(х) от п переменных х = (х\,..., хп) степени

Равенство (11) выполняется также для любого однородного полинома<5(а:) степени 0, 2, Чтобы оно выполнялось для полиномов нечётной степени,

добавляем узлы —<ръ ■ • •, — Ут- Получаем кубатурную формулу

точную для всех полиномов от п переменных степени не выше £ + 1.

Справедливо следующее предложение.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Пусть пара (Ф, IV), где Ф = {</>!,... , <рт} С 5""1, IV е ! = 1, является взвешенным сферическим Ь-полудизайном.

Тогда кубатурная формула (12) является точной для любого полинома (¿(х) от п переменных х = (х1,..., хп) степени не выше 4 + 1.

В параграфах с двенадцатого по пятнадцатый приводятся примеры построения взвешенных сферических полудизайнов порядка 4, 6, 8, 10, 12 и соответствующих кубатурных формул степени точности 5, 7, 9, 11, 13. Все кубатурные формулы строятся по приведённому выше методу. Например, в тринадцатом параграфе получены взвешенный сферический полудизайн порядка 6 и соответствующая кубатурная формула степени точности 7. При их построении используется тождество из книги Б. Резника:

(П)

(12)

2

540||а;||6 = 378х? + 378х| + 280:4 + ^(л/Зх{ ± 2х3)6 +

¡=і

+ ^(\/Зх! ± у/3х2 ± Х3)6, х Є М3.

В диссертации доказано следующее предложение.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5. Система векторов

Ф = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), 4=(л/3,0, ±2), -4(0, ч/з, ±2),

л (14)

^(А±%/3,±1)}

образует взвешенный сферический 6-полудизайн в пространстве К3.

Для системы Ф устанавливается тождество Варинга при £ = 6 с вектором весов \¥ 6 К11: \¥ = ..., . Следовательно, пара (Ф, IV) является взвешенным сферическим 6-полудизайном и можно написать следующую кубатурную формулу со степенью точности 7:

+ «(-<*))•' (15)

Число узлов в данной формуле равно 22.

С помощью взвешенных сферических полудизайнов были получены некоторые новые кубатурные формулы для вычисления интегралов по сфере с меньшим количеством узлов, чем в книге И. П. Мысовских2:

1. Для п = 3 построена кубатурная формула степени точности й = 7 со следующими узлами и коэффициентами

(±1,0,0), (0, ±1,0) (0,0,±1)

20' 27'

^(±\/з,0,±2), ^(0,±х/3,±2) т|5;

^(±ч/3,±\/3,±1) ^

Число узлов в этой формуле равно 22.

2. Для п = 8 построена кубатурная формула степени точности <1 = 7 со следующими узлами и коэффициентами

1

^444.....4)

Число узлов в этой формуле равно 240 и является минимальным.

_ _ ..,_ с четным числом плюсов ¿■^Л 2 2 2 / 240

2Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы. М.: Наука, 1981. 336 с.

3. Для п ^ 3 построена кубатурная формула степени точности й = 7 со следующими узлами и коэффициентами

(±1 0п-1} ' _8-п_.

1 'и > п3 + бп2 + 8п'

71(±1'±1,0П~2) п3 + 6п2 + 8п'

^ г>2

-7=(±1,...,±1)

Число узлов в этой формуле равно 2п2 + 2" и при п = 4,..., 8 меньше, чем в известных формулах.

Публикации автора по теме диссертации Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

[1] Котелина Н. О. Обобщение неравенства В. Б. Венкова и взвешенные сферические полудизайны //В мире научных открытий. 2012. № 8.1(32). С. 108-120.

[2] Котелина Н. О., Певный А. Б. Взвешенные сферические полудизайны и кубатурные формулы для вычисления интегралов по сфере // Известия вузов. Математика. 2013. № 2. С. 49-55.

[3] Котелина Н. О., Певный А. Б. Экстремальные свойства сферических полудизайнов // Алгебра и анализ. 2010. Т. 22. Вып. 5. С. 162-170. (English translation: St. Petersburg Math. J. 2011. Vol. 22. No. 5. P. 795-801.)

Другие публикации:

[4] Котелина H. О., Певный А. Б. Неравенство Венкова с весами и взвешенные сферические полудизайны // Проблемы математического анализа. 2011. Вып. 55. С. 29- 36. (English translation: J. Math. Sei. 2011. Vol. 173. No. 6. P. 674 682.)

[5] Котелина H. О., Певный А. Б. Экстремальные свойства сферических полудизайнов // Тезисы докладов Международной конференции «Теория приближений». Санкт-Петербург, 6-8 мая 2010. С. 51- 53.

15

[6] Котелина H. О. Оценка снизу количества элементов сферического дизайна с помощью линейного программирования // Семинар по дискретному гармоническому анализу и геометрическому моделированию (DHA & CAGD). Избранные доклады. 29 мая 2010 г.

(http ://dha.spb.ru/reps10.shtml#0529).

[7] Котелина H. О. Формула сложения для нолиномов Гегенбауэра // Семинар по дискретному гармоническому анализу и геометрическому моделированию (DHA & CAGD). Избранные доклады. 13 ноября 2010 г. (http ://dha.spb.ru/repslO.shtml#l113).

Подписано к печати 08.04.13. Формат 60 х 84 'Лй. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,00. _Тираж 100 экз. Заказ 5761.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 421-0043,428-6919

СЫКТЫВКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

на правах рукописи

Котелина Надежда Олеговна

СФЕРИЧЕСКИЕ ПОЛУДИЗАЙНЫ И КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ

ПО СФЕРЕ

01.01.07 — вычислительная математика

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель —. доктор физико-математических наук, профессор А. Б. Певный

Сыктывкар 2013 г.

Содержание

Введение..................................3

Глава I. Сферические полудизайны п

§ 1. Определения и свойства сферических полудизайнов......17

§ 2. 2-полудизайны и жёсткие фреймы.................28

§ 3. Определения сферических дизайнов...............32

§ 4. Неравенство Б. Б. Венкова и первое экстремальное свойство

сферических полудизайнов.....................37

§ 5. Пример сферического полудизайна: вершины икосаэдра .... 39

§ б. Пример сферического полудизайна: вершины додекаэдра ... 41

§ 7. Полиномы Гегенбауэра и формула сложения...........44

§ 8. Потенциалы В. А. Юдина и второе экстремальное свойство

сферических полудизайнов.....................53

§ 9. Неравенство Б. Б. Венкова с весами и взвешенные сферические полудизайны..........................60

§ 10. Несферические полудизайны...................74

Глава II. Кубатурные формулы для вычисления интегралов по сфере......79

§ 11. Кубатурные формулы для вычисления интегралов по сфере . 79

§ 12. Кубатурные формулы степени точности 5............83

§ 13. Кубатурные формулы степени точности 7............90

§ 14. Кубатурные формулы степени точности 9............100

§ 15. Кубатурные формулы степени точности 11 и 13........106

Литература...............................111

Введение

Понятие сферического 1-дизайна было введено Ф. Дельсартом. Й. Гё-тальсом, Й. Зайделем в 1977 г. (см. [43]). С тех пор Н. Н. Андреев. Б. Б. Венков. В. А. Юдин, Н. Слоан. Е. Боннаи занимались проблемами существования, строения и нахождения дизайнов заданного порядка на сфере с заданной размерностью. Сферические дизайны — это особый класс сферических кодов, т. е. конечных множеств точек на сфере б1"-1. Мотивом для их изучения послужило приближённое вычисление интегралов по сфере 5'п_1. Интеграл от алгебраического полинома степени не выше £ по сфере может быть вычислен как среднее от значений полинома в точках дизайна порядка Вопросы вычисления интегралов по сфере подробно освещены в книге И. П. Мысовских [26].

В диссертации вводятся множества точек на сфере, именуемые взвешенными сферическими полудизайнами, элементы которых можно брать

1

в качестве узлов кубатурных формул для вычисления интегралов по сфере, а веса являются коэффициентами в этих формулах.

Целью диссертационной работы является:

1. Введение понятия сферического полу дизайна и изучение свойств сферических полудизайнов.

2. Введение понятий взвешенного сферического полудизайна и несферического полудизайна, изучение их свойств.

3. Исследование связей между взвешенными сферическими полудизайнами и кубатурными формулами для вычисления интегралов по сфере.

Приведём краткий обзор содержания диссертации. Работа состоит из двух глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Нумерация параграфов сквозная. Ссылки на формулы и теоремы образуются из номера параграфа и номера формулы или теоремы в параграфе.

В первой главе диссертации рассматриваются сферические полудизайны и взвешенные сферические полудизайны. В первом параграфе изучаются свойства сферических полудизайнов. Понятие сферического полудизайна является новым и впервые появилось в работах Н. О. Ко-телиной, А. Б. Певного [21, 22].

Пусть заданы натуральные числа п ^ 2. т, причём £ чётное. Используем скалярное произведение (х.у) = х\у\ + ••• + хпуп векторов х. у £ Мп и норму ||.т|| = у/(х. х).

Пусть задана система векторов Ф = {</?!,..., <рт} С 5П_1. В диссертации рассматривается тождество, которое именуется тождеством Варинга, в честь английского математика Э. Варинга. поставившего за-

+ /9

дачу о представлении формы [х\ + • • • + ж^) "в виде суммы степеней порядка Ь линейных форм (см. [50]):

гп

^[М]ь = Аг\\х\\\ хеЖ1. (0.1)

1=1

Пусть 5П_1 = {жеМп|||ж|| = 1} — единичная сфера в Мп.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.1. Система векторов Ф - {ч>\, ■ ■ • С Б71'1, для которой существует константа At > 0 такая, что выполняется тождество (0.1), называется сферическим полудизайном порядкаЬ.

В первом параграфе установлено следующее свойство сферических полудизайнов (см. [20]).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 0.1. Сферический г-полудизайн Ф = {(рх,____<рт}

является сферическим р-полудизайном для всех р — 2,4, ...Л, с константой Ар = срт, где

_ {р-1)!!

°р ~~ п(п + 2) • ■ • (п + р — 2)' (°'2)

Далее получено ещё одно эквивалентное определение сферического полудизайна порядка t (см. [20]).

ТЕОРЕМА 0.1. Пусть задана система векторов Ф = \}Р\,..., (рт} С С в71-1. Для того чтобы система Ф была сферическим полудизайном порядка I, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

1

(7 „

Г 1 т

/ (Хх) =

1сп-1 т —'

Jb 7 = 1

для любого однородного полинома С^{х) степени Ь от п переменных. Здесь ап — площадь сферы 5'п~1.

С каждым сферическим ¿-полудизайном связана кубатурная формула, точная для всех полиномов степени не выше t + 1.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 0.2. Пусть Ь — натуральное чётное число, система Ф = {</?!,..., (рт } — сферический Ь-полудизайн. Положим (рт+г — = —<ръ, г Е 1 : т. Тогда справедливо равенство

1 Г 1 2т

- (¿{х)<18 = — ^Ы (0.3)

ап JSn-l 2т ^

для любого полинома <5(.т) степени не выше 1 + 1.

Во втором параграфе рассматриваются сферические полудизайны порядка 2. В этом случае сферические полудизайны представляют собой жёсткие фреймы (см., например. [24. 25]). Рассматриваются веществен-

ные гармонические фреймы и доказывается, что они являются сферическими 2-полудизайнами в К".

В третьем параграфе вводится понятие сферического дизайна. Пусть I натуральное. £ ^ 2. В. А. Юдин в статье [31] привёл следующее определение сферического дизайна.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.2. Система Ф = {уэь ... ,<рт} С 571"1 - сферический дизайн порядка если для любого х € Мп и всех р = 0,1,... А выполняется равенство

1 х^л п СрУжЦ7', р чётное.

г=1 I 0. нечётное.

где ср определяются по формуле (0.2) при чётных р ^ 2, а со = 1.

В третьем параграфе вводится также понятие симметричного сферического дизайна. Для чётных t устанавливается связь между определениями симметричного сферического (£ + 1)-дизайна и сферического ¿-полудизайна (см. [20, 21, 22]).

Существует также определение сферического ¿-дизайна через куба-турные формулы, точные для всех полиномов (}(х) степени не выше £.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.3. Система Ф = {фЪ ..., <рш} С Б71'1 называется сферическим Ь-дизайном. если выполнено тождество

Л С 1 т

/ (Хх)й8 =-У^СЦъ) (0.4)

/ сп-1 т —

л 1=1

а.

для всех полиномов (5(;х) степени не выше I. Здесь ап — это площадь сферы 5'п~1.

Это определение впервые появилось в работе Ф. Дельсарта, Й. Гё-тальса, Й. Зайделя [43] в 1977 г. В. А. Юдин в [31] доказал, что опре-

деления 0.2 и 0.3 эквивалентны. Для симметричных сферических дизайнов это автоматически следует из симметричности. Приводятся примеры сферических полудизайнов и соответствующих симметричных дизайнов.

В работах Гётальса, Зайделя [45. 46] впервые появился Ь-потенциал системы векторов Ф = {</?!,.... (рт} С ¿'п~1:

т т 1=1 3=1

где £ — натуральное чётное число. Для £ = 2 потенциал был рассмотрен в работах [35. 38] и назван фреймовым потенциалом. Неравенство для фреймового потенциала было установлено в [35, 38].

В четвёртом параграфе приводится неравенство для ¿-потенциала, доказанное В. М. Сидельниковым в работе [28], Гётальсом, Зайделем в [45], а для симметричных множеств на сфере Б. Б. Венковым в [54].

Для любой системы Ф = {(/?!,..., </?ш} С б""-1 выполняется неравенство

Рг(Ф) ^ С(??г2. (0.6)

где константа с^ определена формулой (0.2) при р = I.

В работе Б. Б. Венкова рассматривались только симметричные множества Ф и тогда минимум Д(Ф) достигается на сферических ¿-дизайнах и только на них. В диссертации берутся произвольные множества Ф, лежащие на сфере. Тогда справедливо следующее экстремальное свойство сферических ¿-полудизайнов.

ТЕОРЕМА 0.2. Неравенство (0.6) обращается в равенство на сферических Ь-полу дизайнах и только на них.

Теорема 0.2 является следствием более общей теоремы, установленной далее в диссертации.

В пятом параграфе «Вершины икосаэдра» доказывается, что вершины икосаэдра образуют сферический 5-дизайн (см. [21, с. 164]). В этом параграфе для системы Ф12 из всех 12 вершин икосаэдра, вписанного в сферу S2, вычисляется матрица Грама. Вид матрицы G позволяет установить следующее свойство вершин икосаэдра:

(<Pi,<Pj) = ±^ i^j, \г~]\ 6, i,j е 1 : 12.

Это свойство используется при вычислении 4-потенциала системы Фб из половины вершин икосаэдра, с помощью которого доказано, что икосаэдр — сферический 5-дизайн.

В шестом параграфе «Вершины додекаэдра» рассматривается додекаэдр, двойственный к икосаэдру, вписанный в сферу S2. Его вершинами являются центры граней икосаэдра, спроектированные на сферу. Вычисляются координаты всех вершин додекаэдра, выписывается матрица Грама для соответствующей системы и устанавливается, что Ф20 является сферическим дизайном порядка 5.

Существует ещё одно экстремальное свойство сферических t-полу-дизайнов, в формулировке которого используются полиномы Гегенбау-эра G^\u). В качестве подготовительного шага в седьмом параграфе доказывается, что для произвольного ортонормированного базиса С Harm(fc) справедлива формула сложения для полиномов Ге-

генбауэра

N(k)

Здесь N(k) — размерность пространства Harm(Zc) сферических функций порядка к (см.. например, [3]).

Из формулы сложения следует неотрицательная определённость полиномов Гегенбауэра, которая означает, что для произвольных т > 0 и точек £2, • • •: £т на Б71'1 матрица А = {С^ }™=1 является

неотрицательно определённой.

В. А. Юдин получил критерий сферического дизайна в терминах полиномов Гегенбауэра (см. [31. с. 40]). Он рассматривал три определения ¿-дизайна: через кубатурные формулы, систему тождеств и через полиномы Гегенбауэра и доказал, что они эквивалентны. В восьмом параграфе устанавливается критерий для сферических полудизайнов в терминах полиномов Гегенбауэра (см. [21, с. 168]).

ТЕОРЕМА 0.3. Пусть £ — натуральное чётное число. Для того, чтобы система Ф = {(^1,... . 1рт} С й*™-1 была сферическим 1-полу-дизайном, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

т

=0, жбГ1, к = 2,4, (0.7)

г=1

Заметим, что в случае ¿-дизайна равенства (0.7) должны выполняться при всех к = 1,2,... Л.

Далее для системы векторов Ф = {</?!,... ,(рТп} на сфере 5"-1 определяем потенциалы В. А. Юдина:

т т

= Е Е 4П) (К ¥>;»: к = 1,2,..., г.

1=1 ¿=1

Поводом для введения названия «потенциал» послужила неотрицательность выражений С//с(Ф), которая следует из формулы сложения для полиномов Гегенбауэра.

В восьмом параграфе доказывается критерий сферических полудизайнов в терминах потенциалов Ф) (см. [21, с. 168]):

ТЕОРЕМА 0.4. Пусть t — натуральное чётное число. Система Ф = = {(/?!,... ,(ргп} С S'"'-1 является сферическим t-полу дизайном тогда и только тогда, когда выполняются равенства

Uk{ Ф) = 0, к = 2,4,

Достижение потенциалами Uk{Ф) минимума, равного нулю, на сферических ¿-полудизайнах и только на них в диссертации именуется вторым экстремальным свойством t-полудизайнов.

В девятом параграфе обобщается неравенство Б. Б. Венкова (0.6) на случай произвольных весов (см. [11, 17. 18]).

Пусть t — натуральное чётное число, системаФ = {(р\..... ipm} лежит на сфере Sп~1. Б. Б. Венков на лекциях в университете Бордо в 1997— 98 гг., опубликованных в статье [54], рассмотрел квадратную матрицу А размера m с элементами

<kj = [{<Pi,Vj)]\ i,jel-.m.

Нетрудно доказать её неотрицательную определённость: '

(AW. W) ^ 0 для всех W Е Rm.

Рассмотренное выше неравенство Б. Б. Венкова для i-потенциала может быть переписано так:

{AW0iW0) W0= €Mm

В диссертации устанавливается более общее неравенство. ТЕОРЕМА 0.5. Пусть t — натуральное чётное число, задана си-

стема векторов Ф = {(/?!, <р2,...; <рт} на сфере Б'^1 и вектор ]¥ = = ...; £ Мт такой, что ^21=1 = 1. Тогда справедливо неравенство

{А\¥, \¥) ^ с*. (0.8)

Далее доказывается необходимое и достаточное условие равенства в неравенстве (0.8) (см. [11. 17, 18]).

ТЕОРЕМА 0.6. Для того, чтобы в (0.8) имело место равенство, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение

т

^ Щ [(<Ри х)]1 = Сг\\х\\г, X е Мп. (0.9)

г=1

Замечание. По аналогии с (0.1) тождество (0.9) будем называть тождеством Варинга с весами.

Условие (0.9) стало основой для введения понятия взвешенного сферического полудизайна, которое является новым и появилось впервые в работах Н. О. Котелиной, А. Б. Певного [11, 15, 17. 18].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.4. Пусть вектор = (Жь ..., \¥ш) 6 Мт такой, что ^ — 1- Система Ф = {(/?!, (/?2; • • •; <рт} С Б71'1 называется взвешенным сферическим полудизайном порядкаЬ с вектором весов ИЛ если выполнено тождество (0.9).

Для краткости введём обозначение (Ф. И^) для взвешенного сферического полудизайна Ф с вектором весов У/.

Таким образом, неравенство (0.8) обращается в равенство на взвешенных сферических полудизайнах (Ф, \¥) порядка £ и только на них.

Взвешенные сферические полудизайны обладают следующим свойством (см. [18]).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 0.3. Пусть пара (Ф, W), где Ф = {<рь ..., iprn} С С Sn~l, W G Wi — 1? ~~ взвешенный сферический полудизайн

порядка t. Тогда эта пара является взвешенным сферическим полудизайном порядка р для любого р = 2, 4,.... t.

В девятом параграфе вводится также определение взвешенного сферического дизайна порядка ¿ через систему тождеств и для чётных ¿ устанавливается связь между определениями взвешенного симметричного сферического (t + 1)-дизайна и взвешенного сферического ¿-полудизайна (см. [18, с. 31]). Приводится пример, связанный с минимальными векторами решётки Коркина-Золотарёва Eg (см. [16, 18, 31]). Для этих векторов доказывается тождество Варинга с весами и устанавливается, что эти векторы образуют в пространстве М8 взвешенный сферический дизайн порядка 7 с весами Wi — Поскольку все веса W{ равны, то это утверждение эквивалентно тому, что множество минимальных векторов решётки Eg — это просто сферический 7-дизайн.

В десятом параграфе рассматриваются ¿-полудизайны в Rn, состоящие из векторов разной длины. Это понятие впервые появилось в работах Н. О. Котелиной, А. Б. Певного [21, 22].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.5. Пусть ¿ — натуральное чётное число. Система ненулевых векторов Ф = .... (рт} С Кп, для которой существует константа At > 0 такая, что выполняется тождество (0.1), называется несферическим полудизайном порядка t.

В десятом параграфе доказывается обобщённое на случай ненулевых векторов из Rn неравенство для ¿-потенциала (см. [21, 22]).

ТЕОРЕМА 0.7. Для произвольной системы ненулевых векторов Ф = = {сpi...., ipm} в пространстве Мп справедливо неравенство

m 9

Ptm > ; (0.10)

i= 1

где константа et определяется формулой (0.2) при р = £. Равенство в (0.10) достигается на t-полу дизайнах и только на них.

При £ = 2 неравенство (0.10) доказал P. Casazza в [38]. С одиннадцатого параграфа начинается вторая глава, которая посвящена построению кубатурных формул на сфере. В одиннадцатом параграфе доказан критерий взвешенных сферических полудизайнов в терминах кубатурных формул (см. [15]).

ТЕОРЕМА 0.8. Пусть задана система векторов Ф = {(/?i, if2- ■ ■ ■ ■ <f>m} на сфере S71-1. вектор W = {W\...., Wm) £ Ш.т такой, что ^ = = 1. Для того чтобы пара (Ф. W) была взвешенным сферическим полудизайном порядка £. необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

1 Г т

— Q{x)dS = YtWiQ{(pi) (0.11)

ап JS7'-1

для любого однородного полинома Q(x) от п переменных х = (х\..... хп) степени £.

Равенство (0.11) выполняется для любого однородного полинома Q(x) степени 0, 2. ..., t. Чтобы оно было справедливым для полиномов нечётной степени, добавим узлы —(fii,..., —<рт- Получим кубатур-ную формулу

1 Г т 1

- / Q{x)dS^y2-Wi(Q(iPi) + Q(-iPi))1 (0.12)

точную для всех однородных полиномов от п переменных степени не выше £+1. В одиннадцатом параграфе доказано следующее предложение (см. [15]).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 0.4. Пусть пара (Ф. УУ), где Ф = {<р1:..., (рт} С С 5п_17 \¥ 6 Мт.' ^ = является взвешенным сферическим

1-полудизайном. Тогда кубатурная формула (0.12) будет точной для любого полинома С}{х) от п переменных х — (х\,... :хп) степени не выше £ + 1.

В параграфах с двенадцатого по пятнадцатый приводятся примеры построения взвешенных сферических полудизайнов порядка 4, 6, 8, 10, 12 и соответствующих кубатурных формул степени точности 5, 7, 9. 11, 13. Часть из этих примеров основана на тождествах из книги Б. Резника [50]. Некоторые кубатурные формулы присутствуют в книге И. П. Мысовских [26] и в статье В. И. Лебедева [23]. Все кубатурные формулы строятся по приведённому выше методу. Приведём те из них, которые имеют меньшее количество узлов, чем формулы в [26, 23].

Для п = 3, д — 7 получена кубатурная формула, со следующими узлами и коэффициентами:

Эта формула имеет 22 узла. В [26] для п — 3 приведены формулы со степенью точности 7 с количеством узлов N = 38. N — 32, N = 26.

Для п = 8, (I — 7 построена кубатурная формула со следующими узлами и коэффициентами:

(±1,0,0), (0,±1,0) (0,0,±1)

^-(±>/3,0. ±2), ^(0,±ч/3,±2) 4=(±л/3,±\/3,±1)

1

20'' 1

27'' 49

1

1080' 49

1080'

1

Число узлов в этой формуле равно 240 и является минимальным. Для (I = 7 в [26] приведены формулы с количеством узлов, при п — 8 равным 402 и 576.

Для п ^ 3, в, = 7 построена кубатурная формула со следующими 2п2 + 2п узлами и коэффициентами:

(±1,0п~1)

8 - п

п3 + 6п2 + 8 п'

1:(±1,±1!0П"2^ 4

Vх2 ' ; п3 + 6п2 + 8п'

1 (±1.....=ы;

пк у 2п(п2 + 6п + 8)'

При п = 3, 4, 5, 6, 7, 8 количество узлов в этой формуле равно 26, 48, 82, 136, 226, 368. �