Схемы метода конечных элементов для эллиптических краевых задач с негладкими решениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

ДАУТОВ Рафаил Замиловим

СХЕМЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С НЕГЛАДКИМИ РЕШЕНИЯМИ

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Казань - 1998

Работа выполнена в Казанском государственном университете.

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор А.В. Лапин.

Официальные оппоненты:

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова.

Защита состоится 18 декабря 1998 г. в 14.00 на заседании Диссертационного Совета Д 053.29.10 в Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Университетская, 17, комн. 324, конференц-зал НИИММ им. Н.Г.Чеботарева.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского государственного университета.

Автореферат разослан 17 ноября 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических н^к-

член-корреспондент РАН Шайдуров Владимир Викторович доктор физико-математических наук профессор Злотник Александр Анатольевич доктор физико-математических наук профессор Голованов Александр Иванович

Ведущая организация:

доцент

Б.М.Федотов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Метод конечных элементов (МКЭ), наряду с методом конечных разностей, в настоящее время является одним из самых распространенных и эффективных методов решения задач математической физики и техники. Теория этих методов для линейных краевых задач основательно разработана. Ей посвящены монографии и учебники A.A. Самарского, В.Б. Андреева и A.A. Самарского, A.A. Самарского и Е.С. Николаева, A.A. Самарского A.A. и A.B. Гулина, Г.И. Марчука, Г.И. Марчука и В.В. Шайдурова, H.H. Яненко, Е.Г. Дьяконова, O.K. Зенкевича, JI.A. Оганесяна, В.Я. Ривкинда и Л.А. Руховца, В.Г. Корпеева, Ж.Г1. Обэна, Г. Стренга и Дж. Фикса, Ф. Сьярле, Г.И. Марчука и В.И. Агошко-ва, В.В. Шайдурова и другие. Значительные результаты получены и в теории сеточных методов для нелинейных задач математической физики. Различные аспекты этой проблематики отражены в монографиях Р. Гловински, Главачека И., Е.Г. Дьяконова, М.М. Карчевского и А.Д. Ляшко, Ф. Сьярле, Дж. Одена, Р. Темама и многочисленных статьях.

Современная теория МКЭ базируется на вариационных принци-naqx и теории обобщеных решений краевых задач (включая теорию регулярности обобщенных решений), на теории аппроксимации функций и численных методах алгебры. Процесс решения конкретной задачи математической физики с использованием этого метода обычно прпредполагает реализацию следующих основных этапов:

1. вариационная (обобщенная) формулировка задачи;

2. выбор аппроксимирующих сплайнов и пространства конечных элементов, базис в котором образуют функции с малым носителем, и определение понятия приближенного решения;

3. решение соответствующей конечномерной задачи.

Несмотря на большое и постоянно увеличивающееся число работ по МКЭ, на каждом из этих этапов возникают проблемы, которые недостаточно полно исследованы с теоретической точки зрения, даже для классических задач, не говора уже о новых задачах, для которых само построение приближенного метода является не очевидным. Кратко перечислим наиболее важные и актуальные, на наш взгляд, проблемы, решению которых посвящена диссертация.

В настоящее время известно, как определять обобщенные решения для широкого круга задач. Для таких задач актуальной является разработка таких новых вариационных формулировок, которые были бы более эффективными с вычислительной точки зрения при определении основных неизвестных задачи. Например, в последние годы все более важное значение приобретают различные формулировки краевых задач со свободными границами в виде вариационных неравенств и дифференциальных включений. Естественно, актуальным по-прежнему является определение обобщенных решений задач, для которых вариационные формулировки до сих пор не были известны.

Благодаря успехам в теории аппроксимации в настоящее время достаточно хорошо известно, как эффективно выбирать пространство конечных элементов, если решение задачи обладает достаточной регулярностью (гладкостью). Значительно слабее разработан вопрос о том, как выбирать аппроксимирующие функции в случае, когда решение задачи не обладает достаточной регулярностью и имеет различного типа особенности. С такой ситуацией приходится сталкиваться, когда рассматриваются задачи в областях с угловыми точками, задачи с многозначными или разрывными операторами и т.п.. Использование в этих случаях стандартных аппроксимаций, не учи-

тывающих специфику решаемой задачи, как правило приводит к существенному понижению точности получаемых приближенных решений (по сравнению с регулярным случаем) и, в конечном итоге, приводит к существенному понижению эффективности всего метода в целом. Поэтому актуальным является построение таких конеч-ноэлементных аппроксимаций задач с особенностями решения, которые бы имели повышенную точность по сравнению со стандартными. Это может быть достигнуто только в том случае, когда конструкция приближенного решения основана на априорной информации об особенностях решения аппроксимируемой задачи. Естественно, актуальным также является построение и исследование конечноэлементных аппроксимаций новых, ранее не решавшихся задач.

Эффективность МКЭ существенно зависит и от выбранного метода решения полученной конечномерной задачи, которая обычно является разреженной системой и имеет большую размерность. На размерность системы главным образом влияет качество аппроксимаций, использованных на втором этапе. Как правило, увеличение точности аппроксимаций приводит к уменьшению размера решаемой системы уравнений. В этой связи актуальным является построение аппроксимаций повышенной точности, приводящих к конечномерным задачам с той же структурой разреженности и обусловленностью, что и у стандартных методов.

Цель работы.

Построении и исследовании конечно-элементных схем повышенной точности для линейных эллиптических краевых задач второго порядка в областях с угловыми точками и для задач с быстро осциллирующими периодическими коэффициентами.

Исследование устойчивости свободных границ в задачах с препят-

ствием внутри области, формулируемых в виде вариационных неравенств первого рода для сильно монотонных квазилинейных эллиптических операторов второго порядка, построение и обоснование сеточных схем их решения и для определения с повышенной точностью возникающих при этом неизвестных границ.

Теоретическое исследование, построение и обоснование приближенного метода решения эволюционного дифференциального включения, возникающего при математическом моделировании кавитаци-онного течения ньютоновской вязкой жидкости в тонком зазоре.

Научная новизна результатов диссертационной работы состоит в следующем.

1. Для линейных эллиптических краевых задач второго порядка на плоскости в областях с угловыми точками

- предложен и исследован способ мультипликативного выделения особенности решения в окрестности угловой точки;

- построена и исследована новая схема МКЭ на регулярной триангуляции, обладающая повышенной точностью по сравнению со стандартными методами.

2. Для линейных эллиптических краевых задач второго порядка в областях с периодической структурой (быстро осциллирующие коэффициенты, перфорированные области) построена и исследована схема МКЭ той же точности, что и у первого приближения в методе осреднения (гомогенизации).

3. Для краевых задач со свободной границей, сводящихся к эллиптическим вариационным неравенствам с препятствием внутри области с квазилинейными оператороми 2-го порядка

- даны эквивалентные определения решения в виде вариационных неравенств 2-го типа с выпуклым лшшшц-непрерывным функциона-

лом и в виде уравнения с разрывной слабой нелинейностью;

- построены новые методы регуляризации, для которых получены оценки точности, лучшие известных ранее;

- доказаны оценки устойчивости по мере коинцидентного множества к возмущению правой части неравенства, существенно улучшающие известные оценю!;

- построена и исследована новая схема МКЭ для приближенного решения задачи, основанная на аппроксимации эквивалентного операторного уравнения с разрывной нелинейностью;

- предложен и обоснован более точный чем известные метод приближенного определения свободных границ.

4. Сформулированы математические модели для описания явления кавитации при стационарных и нестационарных течениях ньютоновской жидкости в тонких зазорах, сохраняющие баланс массы. Для них

- доказаны теоремы о существовании обобщенных решений;

- исследованы качественные свойства решений;

- построены и исследованы схемы МКЭ для их приближенного решения.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая значимость работы заключается в том, что в ней разработаны новые методы решения ряда важных задач математической физики, относящихся к классу задач с особенностями решения, со свободными или подвижными границами. Разработанные алгоритмы показали высокую эффективность при решении модельных задач.

Построенная в работе математическая модель для описания явления кавитации при течениях ньютоновской жидкости в тонких зазорах и алгоритмы его решения могут быть использованы в инже-

нерной практике при расчете, например, подшипников и уплотнений различных конструкций.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 5-ой Всесоюзной конференции "Вариационно-разностные методы в математической физике", Москва, 1983, на Всесоюзной конференции "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности", Саратов, 1985, на Всесоюзной конференции "Современные проблемы вычислительной математики", Москва, 1986, на Всесоюзной школе "Математическое моделирование в науке и технике", Пермь, 1986, на 5-ой Всесоюзной конференции "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики", Новосибирск, 1987, на VII совместном Франко-итало-советском симпозиуме по вычислительной математике и приложениям", Москва, 1987, на VI Сибирской школе "Вычислительная математика. Теория и практика". Новосибирск, 1989, на Всесоюзном научно-координационном совещании "Газовая смазка в машинах и приборах", г.г. Ростов-на-Дону -Новороссийск, 18-20 сентября 1989 г., на Международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева, Казань, 1994, на Международной научной конференции АМСА-95: Advanced Mathematics, Computations and Applications, Novosibirsk, Russia, June 20-24, 1995, на Международной научной конференции OFEA-95: Optimization Of Finite Element Approximations, St.-Pete-rsburg, Russia, June 25-29, 1995, на Международной научной конференции Advanced Numerical Analisys, Moskow, August 16-22, 1995, на школе-конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева, Казань, 1997, на семинаре кафедры вычислительной математики МГУ (руководитель Н.С. Бахвалов), на семинаре кафедры математического моделирования МЭИ (руководитель Ю.А. Дубинс-

кий), на семинаре НИИММ при Казанском университете (руководитель A.B. Костерин), на семинарах кафедры вычислительной математики КГУ (руководитель А.Д.Ляшко), на итоговых научных конференциях Казанского университета.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 18 работах.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Основной текст работы изложен на 2Т1 страницах, содержит библиографию из 138 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении изложено состояние проблем, исследуемых в диссертации, дана краткая характеристика работ, примыкающих к ее тематике, приведен краткий обзор основных результатов диссертации.

Первая глава посвящена исследованию поведения решения линейной эллиптической краевой задачи второго порядка в плоской области с углами произвольного раствора, построению и исследованию точности схемы МКЭ для этой задачи. Точки смены типа краевых условий на гладкой части границы области также считаются угловыми и им приписывается внутреннй угол, равный тг. Предполагается, что граница области образована отрезками прямых, на отрезках, примыкающих к угловой точке, заданы либо однородные краевые условия Дирихле, либо однородные краевые условия разных типов, а именно Дирихле и Неймана.

Хорошо известно, что в окрестности угловой точки Ь решение краевой задачи для уравнения

2 () 1)ц 2 1 j

- Y, + И 0,1— + а0и = /,

¿,j=i dxi dxj i=1 öxi

с достаточно гладкими коэффициентами, в общем случае имеет степенную особенность, зависящую от величины внутреннего угла ф в этой точке. Не ограничивая общности будем предполагать, что угловая точка Ь расположена в начале координат, ац(Ь) = ¿у, г,у = 1,2.

Введем для достаточно малой К - окрестности точки Ь полярную систему координат (г, <р). Обозначим через (}>> круговой сектор радиуса Я и раствора ф,

^п = {{г,Ч>) = 0 <г <Я, 0 < (р < ф},

а через 5о, и 8ц части его границы:

50 = {(г,0) : 0 < г < К}, = {(г, ф) : 0 < г < Щ, вц = дП\{Б0 ЦБф).

Будем считать, что граница 5'о расположена на оси Ох 1 и на ней задано однородное краевое условие Дирихле. На границе Бф будем предполагать заданным либо однородное краевое условие Дирихле (в этом случае точку Ь будем называть угловой точкой типа ОБ), либо однородное краевое условие Неймана (Ь - угловая точка типа БИ).

Пусть Л^. = кХ, А = 7г/ф, если 6 - точка типа ББ, Л^. = (2к + 1)Л, Л = 0.5-л/ф, если Ъ - точка типа БN. Если среди чисел А;; нет равных единице, то в секторе Пд решение задачи пред ставимо в виде

и= Е cfcrЛi 5т(Хк<р) + гу- (1)

Ь:0<Д1<1

Функция м в этом разложении принадлежит пространству функций с нормой определяемой выражением

11411,0 = / Е |г^~2Л(х)|2 ¿х,

а 1/з|<2

а

£ Ы + ||тх||2,*.„ < с(||/||£а(0) + НиНигдп,).

к: 0<Л*<1

Очевидно, что функции из И*7? имеют в начале координат нуль кратности большей единицы. Функция р, р — гА кт(А^), представляет главный член асимтотического разложения (1).

Из представления (1) следует, что в общем случае решение задачи принадлежит лишь пространству Соболева ИЪ1+А~е и использование стандартных сеточных схем для ее решения становится неэффективным, особенно при наличии углов близких или равных 2-л\

В первом параграфе главы 1 приводится постановка задачи и получаются необходимые для дальнейшего вспомогательные результаты об асимптотических Представлениях обобщенного решения в окрестности угловых точек для уравнения Пуассона для произвольных углов ф. Во втором параграфе эти результаты распространяются на уравнения с переменными коэффициентами. Характер особенности обобщенного решения в окрестности угловых точек для более общих краевых задач, чем те, которые рассматриваются нами, изучался во многих работах. Отметим лишь работы В.А. Кондратьева, в которых содержатся требуемые нам асимптотические представления решения в случае задачи Дирихле для углов не равных 2ж. В случае смешанной краевой задачи такие представления решения для углов, кратных тт/2, автору неизвестны. При получении разложений мы следуем методике работы Л.А. Оганесяна, В.Я. Ривкинда и Л.А. Руховца, в которой получены несколько другие асимптотические разложения решения.

Отметим, что точность стандартных схем МКЭ для рассматриваемых задач имеет порядок кх в энергетической норме.

Известные подходы к повышению точности конечноразностных и конечноэлементных схем основаны на различных способах преодоления недостаточной гладкости решения задачи в окрестности угловых

точек. Не имея возможности перечислить все подходы и работы в этом направлении, отметим лишь следующие. В работах Е.А. Волкова, Бабушки, Г. Стренга и Дж. Фикса, А. Щатса и В.В. Шайдуро-ва исследуются способы локального сгущения узлов сетки в окрестности угловых точек. В работе Дж. Фикса предлагается вводить в базис пространства конечных элементов подправленные функции р, учитывающие особенности решения. В работах В.Б. Андреева исследуются возможности локальной модификации сеточных схем на равномерных сетках. Г.И. Марчук и В.В. Шайдуров, Е.П. Жидков и Б.Н. Хоромский исследовали метод экстраполяции Ричардсона на последовательности сеток. Отметим также методику, основанную на комбинированном использовании аналитического представления решения в окрестности особых точек и МКЭ вне этих окрестностей, которой посвящены работы Г.И. Марчука и В.В. Шайдурова, Живо-ли, Лиза.

Особо выделим работы следующих авторов, чьи подходы идейно наиболее близки к нашей.

И.В. Фрязиновым построена пятиточечная разностная схема повышенной точности для уравнения Пуассона в области, которую можно покрыть равномерной ортогональной сеткой. Улучшения точности в этой схеме удается достичь благодаря тому, что ее погрешность аппроксимации равна нулю на главном члене асимптотики р. Метод основан на аддитивном выделении особенности. Точность схемы исследуется в сеточной норме .

Для первой краевой задачи И. Бабушка и М. Розенцвейг предложили схему на основе метода Петрова-Галеркина, в которой в качестве пробных функций берутся произведения стандартных базисных функций на весовые функции, соответствующие угловым точкам, -

функции вида гх. Точность схемы устанавливается в весовой норме. Аналогичная идея, но на основе другого определения решения, была использована в работах В.В. Шайдурова и В.А. Рукавишникова.

Многочисленность работ и разнообразие методик построения схем для рассматриваемого круга задач объясняется как актуальностью тематики, так и многообразием ситуаций, с которыми приходится сталкиваться в расчетной практике. Так, в задаче может быть одна или несколько угловых точек, порождающих особенность в решении, а может быть таких точек несколько десятков; часто возникает необходимость решения систем дифференциальных уравнений на одной сетке, а каждая неизвестная функция может иметь в угловой точке свой тип особенности и т.д..

Предлагаемый в диссертации подход к повышению точности ко-нечноэлементных схем основывается на мультипликативном представлении решения в окрестности угловой точки. Поскольку р не меняет знака в области Г2д и обращается в нуль только в тех точках, где принимает нулевые значения функция го, то ясно, что в окрестности угловой точки решение задачи и(;с) можно представить в факторизо-ванном виде u(x) = p{x)v{x). Проблемой является лишь установление класса гладкости функции v(x). Показано, что она может быть представлена в виде

v{x) = ^аО + Ч*), "о = Е скгЪ-Ьф(р), ф(р) = (2)

(если среди чисел А*, есть равные единице, то слагаемое «о имеет вид со + Д(г)Ф(р), Ф(|р) - бесконечно дифференцируемая функция, R(r) ведет себя в нуле как функция crAl_A In13 г, (3 > 0).

Оказывается, что в разложении (2) функция щ является элементом

весового пространства Соболева с нормой

И!*» = /( Е р2\Впи\2 + г2Л-2|У-и|2 + т2Х~4и2)(1х. а Н=2

Доказательство этого факта основывается на следующем доказываемом утверждении.

Пространства И^ДЯд) П У(Ь) и \\>'\,(>{&к) изоморфны. Точнее, любой функции V еИ/^^д) можно поставить в соответствие функцию и € И^ДП«) ПУ(Ь) по правилу и = ру (и наоборот, V = и/р), так, что

^ИИ,.,« < 1МЬ,ЛП < С2||«||2,*,П.

где постоянные с\, С'2 не зависят от и и V, Ь - угловая точка типа ББ или БК Здесь У{Ъ) ={и6 ^(П) : и(х) — 0 на ¿Мд}, если Ъ -угловая точка типа Б13, и У(Ь) = {и £ И^О) : и{х) = 0 на ¿«и ^д}, если Ъ - угловая точка типа 1Ж, Й^Д^я) ~ подмножество функций из ТУ^ДПд), обращающихся в нуль на Бц.

Отметим, что весовая функция р имеет разный характер вырождения на разных частях границы области: в окрестности граничных точек с краевыми условиями Дирихле, исключая угловую точку, р ведет себя как расстояние до границы, тогда как в окрестности угловой точки - как гА. Этому посвящен третий параграф главы 1.

Факторизация решения в окрестности угловых точек позволяет построить новую схему приближенного решения, имеющую более высокую точность по сравнению со стандартными сеточными схемами. В параграфах 4-6 конструируется схема МКЭ, исследуется обусловленность возникающей системы алгебраических уравнений, а также точность приближенного решения. Схема МКЭ строится на регулярной триангуляции с использованием разных аппроксимаций вблизи точек с особенностями и вдали от них. Так, в 0(1) окрестности уг-

лов типа ОБ, больших тг, а также в окрестности углов типа ВИ, больших тг/2, приближенное решение ищется в виде и?, = ри^, в то время как в оставшейся части области иь — где ьи - линейная на каждом элементе функция. Сопряжение разных аппроксимаций осуществляется так, чтобы функция и;, была непрерывной в вершинах элементов, что алгоритмически легко реализуемо. В результате мы приходим к неконформному методу МКЭ с такой же структурой разреженности и обусловленности системы алгебраических уравнений, как и в стандартном МКЭ. Получаемая при этом оценка точности имеет, практически, такой же порядок, какую бы имела стандартная схема МКЭ с линейными элементами, если ее погрешность аппроксимации в окрестности особых точек вычислять на вторых членах асимптотического разложения решения.

В заключительном параграфе главы приводятся результаты тестовых вычислений, подтверждающие эффективность предложенных схем.

Вторая глава диссертации посвящена построению и исследованию точности схем; МКЭ для линейных эллиптических краевых задач в областях с периодической структурой. Простейшим примером может служить следующая задача.

Требуется найти функцию ие бИ^О), удовлетворяющую уравнению

- АЪгА(х/е)Чи" = /(ж), х е О С Е\ (3)

где положительно определенная матрица коэффициентов А(у) является 1-периодической как по ух, так и по у2, у — (2/1,2/2)) Ми) € Ьоо, е > 0 - малый параметр.

Специфика задач рассматриваемого типа заключается в том, что коэффициенты уравнения могут иметь разрывы первого рода и изме-

няются на конечную величину при изменении х на величину порядка £, то есть являются быстро осциллирующими разрывными функциями. Следовательно, решение задачи как на макроуровне (в целом но области П), так и на микроуровне (на подобластях диаметра е) обладает малой гладкостью. На любом уровне можно предполагать лишь, что решение принадлежит W^. В связи с этим, учитывая малость е, численное решение уравнений такого типа с приемлемой точностью стандартными сеточными методами практически невозможно. Таким образом, для численного решения задач типа (3) необходимы специальные сеточные методы, в достаточной мере учитывающие специфику задачи.

Исследованию эллиптических уравнений в областях с периодической структурой посвящены многочисленные работы. Отметим лишь монографии Н.С. Бахвалова и Г.П. Панасенко, Э. Санчес-Паленсия, Е.Я. Хруслова и В.А. Марченко, Г. Папаниколау, А. Бенсусана и Ж.-Л. Лионса, Жикова, Козлова и O.A. Олейник, в которых можно найти дополнительные ссылки. Эти работы посвящены методу осреднения (гомогенизации) уравнений в периодических средах и содержат, в частности, разнообразные примеры физических задач, приводящих к уравнению типа (3). Метод осреднения представляет собой метод асимтотического разложения решения исходной задачи по степеням параметра е:

2 £ Qu

v?(x) = Wi(a;) + %('.с), ui(z) = u(x) + e £ Щ-)-—,

¿=1 e dx i

где функции Ni(y) являются решениями задач на стандартной ячейке У — [О, I]2, нулевой член разложения и(х) не зависит от е и его гладкость определяется лишь гладкостью правой части /(ж) и гладкостью границы области П. Для рассматриваемых нами задач для

остаточного члена справедлива оценка

11% II1,я < су/е.

В первом параграфе главы 2 анализируется конформная схема МКЭ для уравнения с быстро осциллирующими периодическими коэффициентами, предложенная Л.Г. Страховской и Р.П. Федоренко, и основанная на использовании непрерывных L - сплайнов и (работа не содержит теоретических оценок точности предложенной схемы). При приближенном решении описанных выше задач естественно предполагать, что шаг сетки имеет порядок е. Схема считается приемлемой, если ее оценка точности имеет вид

||u-uh|| =0(еа), а > 0.

Несмотря на убедительность эвристических соображений, заложенных в конструкцию схемы Страховской-Федоренко, как показывает проведенный в диссертации анализ, она оказывается не сходящейся. Точнее, для решения схемы доказана оценка

11« - k2(") > с > 0 Ve > 0,

где постоянная с не зависит от е. Далее проводится модификация схемы так, чтобы добиться ее сходимости. Получающаяся при этом схема принадлежит семейству неконформных схем МКЭ. Доказывается оценка

IK-Uftlli,* < ||77e||i,Í¡ +ce||/||o,n, где щ — решение сеточной схемы, || • ||i^t - аналог нормы Wj в пространстве приближенных решений.

Во втором параграфе построена аналогичная схема для уравнений в перфорированных областях. В третьем параграфе проводится

обобщение метода на системы эллиптических уравнений плоской теории упругости. Нетривиальным при исследовании соответствующих схем является доказательство дискретного аналога неравенства Корна. Для всех рассмотренных задач получена оценка точности

||«£-«л||1,А < Су/1.

В третьей главе диссертации изучаются вариационные неравенства с препятствием внутри области, строятся и исследуются сеточные методы их решения, а также специальные методы приближенного определения возникающих при этом неизвестных границ.

Хорошо известно, что немалое число стационарных задач со свободными границами может быть непосредственно (или после некоторых преобразований) сформулировано в виде эллиптических вариационных неравенств с препятствием внутри области

иеК : (Аи, V- и) > (/,г> -и) Уи е К, (4)

с сильно монотонным и лшпшщ-непрерывным квазилинейным эллиптическим оператором второго порядка А, где К соотйетствует одностороннему ограничению:

К = {V е V* : V > 0 в П}, V3 = {V £ : V = д на <ЭП}.

Область ОсЛ2 предполагается ограниченной, / £ 9 £ И^О),

д > 0 на д£1. В монографиях Д. Киндерлерера и Г. Стампакья, Г. Дюво и Ж.-Л. Лионса, А. Бенсусана и Ж.-Л. Лионса рассмотрены примеры различных физических задач, приводящих к таким неравенствам.

Сильной стороной формулировки задачи со свободной границей в виде вариационного неравенства является то, что оно не содержит явно неизвестных, характеризующих свободную границу. Это оказывается весьма полезным, так как позволяет изучать свойства решения

и строить алгоритмы его приближенного определения (схемы сквозного счета), практически, игнорируя наличие неизвестной границы: опа восстанавливается после решения неравенства (4) как граница F коинцидентного множества 7:

I = {х е П : и(х) = 0}, F - д{9. \1) П Q.

Отметим, что во многих практических ситуациях граница F и множество I представляют не меньший интерес, чем решение неравенства и{х). Для их приближенного определения традиционной является следующая последовательность действий.

Используя какой-либо сеточный метод, например, метод конечных элементов, получаем последовательность приближений -¡/./¡(ж), сходящуюся к точному решению и{х) задачи (4). Зная щ(ж), находим приближенное коинцидентное множество Г?> и приближенную свободную границу F/,.. Заметим, что эти операции неоднозначны и множества Ih, Fi, можно определять разными способами.

Наиболее естественно принять

= {в € П : uh(x) = 0}, Fh = <9(0 \ Ih) П SI.

Этот способ определения F^ был изучен Ф. Брецци и Л. Каффарелли. Ими рассматривалась схема МКЭ на основе линейных конечных элементов в случае, когда А - оператор Лапласа с обратным знаком. В предположении справедливости дискретного принципа максимума, а также при условии

/ < Cf < 0 в ÍI, с/ = const, (5)

показано, что при достаточно малых h

(1°) теа8(/Д/„) < е = 0{\\и - «A||!2(n)),

(2°) Fh С Oe{F), Oe(F) = {x£R2 : dist(a,F) < s},

где Д означает симметричную разность множеств. Доказательство утверждения (Io) опирается на следующее свойство решения неравенства:

(AI) Bei > 0 и З71 > 0 такие, что Ve < ех :

meas (Oe(F) Л {ж G Q : 0 < и(х) < е2}) < ^е,

а доказательство (2°) - на свойство:

(А2) Зе2 >0 и З72 >0 такие, что Ve < ег:

{х £ Ü : 0 < и(х) < у2е2} С Oe(F).

Если учесть, что, при условии и £ и при выполнимости дис-

кретного принципа максимума справедлива оценка ||u — w/i||í„(sí) < ch?ln(l/h) (J. Nitsclie), то из (2°) следует, что в наилучшем случае Fh аппроксимирует F по расстоянию с точностью 0(h\ny^2(l/h)). Это, практически, оптимальный результат при таком определении Fh. Надо заметить, однако, что требование выполнимости дискретного принципа максимума является достаточно сильным ограничением, сужающим как круг рассматриваемых задач, так и класс допустимых схем (в первую очередь из-за ограничений на триангуляцию области).

Отметим также работы В. Вайнельта, в которых рассматривалось аналогичное определение свободной границы при использовании разностной схемы на ортогональной сетке для решения неравенства с линейным оператором без смешанных производных. Им получена оценка точности по расстоянию порядка Л3/41п1/,2(1 /h) при выполнении условия (5).

Другой способ определения IfL и Fh предложен и исследован в работах Р. Ночетто. Сначала регуляризованная специальным образом

задача (4) решается методом МКЭ (линейные элементы) и находится и/,. Затем определяется

4 = {х € п : щ(х) < е2}, Д - д(0\1ь)пп, где е = 0(||и-«л||^(П))-

Доказывается оценка точности ||гх — ипЦб^Ш) < с/121п2(1 /Л), а также, при условии (5), утверждения (1°) и (2°) на основе (А1) и (Л2) соответственно.

Выполнимость свойств (А 1) и (/12), называемых свойствами невырожденности решения задачи (4) по мере и расстоянию соответственно, исследовалась Л. Каффареллн, А. Фридманом и другими авторами. Для их справедливости, в частности, необходимы достаточная гладкость исходных данных задачи и условие (5). Свойство (.42), очевидно, сильнее, чем (Л1). При достаточной гладкости исходных данных оно выполняется, например, если Р £ С0,1.

Особо отметим условие (5), фигурирующее во всех упомянутых работах. На необходимость ограничения такого типа указывает следующий простой пример.

Пусть П = (—1,1), Аи — —и", / = 0, если \х\ < с, и / = —2, если |ж[ > с, с = 2/3. Вариационное нераенство с такими данными имеет решение и(х) такое, что и(х) = 0, если |ж| < с, и и(х) = (|ж| — с)2, если |ж| > с. При этом -Р = {—с, с}. Если рассмотреть вомутцение функции / равное fe= / + £■,£> 0, то решением неравенства будет функция

ие = и + г/2(1 - ж2) > О,

и возмущенная свободная граница станет пустой.

Оригинальный метод (метод индикатрисе) к определению свободных границ предложен в работах Д. Фаге. Однако, с нашей точки зрения, этот метод строго обоснован только для одномерных задач в

случае, когда коинцидентное множество является односвязным. Согласно этому методу имеется принципиальная возможность определить свободную границу с точностью 0(Ь21п(1/Л)).

Развиваемый нами подход основан на использовании приближенной характеристической функции коинцидентного множества. С этой целью в первом параграфе третьей главы мы вводим новые эквивалентные определения решения вариационного неравенства с препятствием внутри области. Показано, что оно может быть сформулировано в виде вариационного неравенства 2-го типа

иеУ : (Аи, V - и) +з{а) - ¿(и) > (/, V - и) \/у £ V (6)

с выпуклым Липшиц-непрерывным функционалом а в случае регулярных задач (т.е., когда краевая задача Аи = / имеет решение и 6 IV2 ) в виде операторного уравнения

иеУ : Аи + (3(и) = / в V* (7)

с монотонным ограниченным разрывным оператором /3. Постановка (6) интересна тем, что позволяет легко исследовать гладкость решения задачи (4), не прибегая к процедурам штрафа или регуляризации, а также может служить основой конструирования новых схем приближенного решения задачи, не. требующих аппроксимации множества ограничешш К.

В постановке (7) оператор /3 имеет вид /3(и) = ~/~х(и)> х(и) ~ характеристическая функция коинцидентного множества I, и, следовательно, из уравнения (7) вытекает формула для вычисления характеристической функции коинцидентного множества решения и(х). Уравнение (4) является основным на протяжении всей главы.

На основе полученных формулировок далее рассматриваются методы штрафа и регуляризации неравенства (4). Из этих методов, до-

статочно полно изученных в литературе, выделяется один класс, для которого нам удалось получить более точные по сравнению с известными оценки погрешности в энергетической норме. А именно, оценка ~ "f||t,n — 0(у/е) для этого класса заменяется на

11« - Tie||i,o = о(уД) или ||« - tif|jii0 = 0(е3/4)

в зависимости от гладкости исходных данных задачи. Для всех схем регуляризации доказывается оценка точности

обобщающая оценку, полученную в монографии Д. Киндерлерера и Г. Стамнакья.

В заключительной части §1 главы 3 изучается устойчивость по мере коинцидентного множества решения и вариационного неравенства (4) к возмущению правой части /. При этом используется формулировка неравенства в виде уравнения (7). Оператор А предполагается регулярным. Известные автору аналогичные оценки устойчивости получены для линейных задач и при более сильных требованиях на гладкость входных данных задачи. Оценки типа

/<(/(й)Д/(и)) = С?(||«-«||^(а))|

известные в случае линейных операторов А, улучшаются до следующих

v(I(û)AI(u)) = О (||/ - /||24п)) , /£(/(«)Д/(«)) = О (||/ - /||£1(п)) ,

где û и и - решения: неравенства (4) с правыми частями / и / соответственно. Последняя оценка имеет место, если и > 0 на дП.

Во втором параграфе строится и исследуется схема МКЭ для задачи (4) и предлагается новый метод определения свободной границы.

В случае, когда мрюжество I звездное, граница Р допускает аналитическую параметризацию, а сИйЦР, ОЩ > df > 0, доказана оценка

ЯсОе(П е = 0(Л21п,(1/Л)).

Отдельно рассматривается одномерная задача и показывается, что свободная граница может быть определена с точностью 0(/г2).

Глава заканчивается описанием результатов тестовых вычислений, подтверждающих теоретические оценки.

Четвертая глава посвящена теоретическому исследованию, построению и обоснованию приближенного метода решения одного эволюционного дифференциального включения, возникающего при математическом моделировании кавитационного течения ньютоновской вязкой жидкости в тонком зазоре между двумя поверхностями малого зазора (на примере задачи из гидродинамической теории смазки).

Основным уравнением гидродинамической теории смазки является известное уравнение Рейнольдса, которое получается осреднением трехмерных уравнений Навье-Стокса по толщине зазора. Главным упрощающим предположением при его выводе служит гипотеза о постоянстве поля давления р по осредняемой координате. Жидкость считается несжимаемой. Уравнение Рейнольдса представляет собой эллиптическое уравнение второго порядка относительно р, коэффициенты и правая часть которого параметрически зависят от переменной времени (через функцию к(х, £), описывающую толщину зазора).

С нашей точки зрения гипотеза о несжимаемости жидкости не всегда применима. Дело в том, что в диффузорной части области течения (функция зазора к здесь монотонно возрастает) при достаточно больших скоростях течения, как известно, давление в жидкости значительно падает и, следовательно, также существенно меняется плотность жидкости. При использовании уравнения Рейнольдса ска-

заиное проявляется в том, что в этой области, называемой областью кавитации, функция давления принимает большие отрицательные значения, что не соответствует физической картине течения.

Область кавитации заранее неизвестна (обозначим его через /(¿)). При моделировании кавитационных течений в тонких зазорах наиболее широко используемым является следующий подход (см., напр., монографию Д. Киндерлерера и Г. Стампакья и цитируюмую там литературу). Считается, что давление в области кавитации постоянно и равно давлению парообразования р„, вне зоны кавитации поле давления удовлетворяет уравнению Рейнольдса. На неизвестной границе 81 принимаются условия, предложенные Рейнольдсом:

др п

Полученную задачу с неизвестной границей назовем моделью Рейнольдса. Бе обобщенное решение можег быть определено как решение соответствующего вариационного неравенства с препятствием внутри области. Основным недостатком этой математической модели, вытекающим из краевого условия Рейнольдса, является дисбаланс массы: масса втекающей в область жидкости не равна массе вытекающей. При определенных режимах течения дисбаланс может стать значительным, а модель непригодной для использования.

Мы предлагаем считать жидкость сжимаемой, точнее баротроп-ной, и использовать соответствующие осредненные уравнения (см., напр., монографию М.А. Галахова и П.Б. Гусятникова "Математические модели контактной гидродинамики", М.: Наука, 1985). Зависимость плотности р от давления предлагается выбирать в виде многозначной функции "ступеньки", что является достаточно хорошим приближением для реальных жидкостей и является простым в том смысле, что для ее определения необходимо знать лишь зависимость

давления парообразования от температуры. В итоге задача сводится к отысканию двух функций [р(х,Ь), р(х,1)), удовлетворяющих в обобщенном смысле уравнениям

д Ь?

—(/Л) - («V (щ^Р ~ ирЬ) =0, х € П, Ь > 0, (8)

/>еЯ(р-р„)> (9)

после присоеденения к ним необходимых краевых условий (например первого рода) и начального условия. Здесь Н{-) - многозначная в нуле функция Хевисайда, функция II(ж, Ь) - задана и определяется скоростями движения поверхностей, образующих зазор, ¡г - вязкость. Выводу уравнений (8), (9) и интерпретации полученной задачи как задачи со свободной границей посвящен первый параграф главы. Показывается, что основное отличие предложенной нами модели от модели Рсйнольдса заключается в отсутствии дисбаланса массы. Это достигается благодаря краевым условиям на неизвестной границе, принимающим вид

къ дъ

где V ■ п - скорость перемещения д1(Ь) в направлении нормали п. Из второго краевого условия следует, что условие Рейнольдса др/дп = 0 выполнено только на части

д+1 = 01 : (и - V) • п > 0}

границы области кавитации. Во втором параграфе уравнения (8), (9) дополняются краевыми условиями (нелокальными на части границы области), а также начальным условием и дается определение обобщенного решения задачи. Существование обобщенного решения методом дискретизации по временной переменной доказывается в треть-

ем параграфе. Попутно устанавливается: существование обобщенного решения стационарной задачи. Аналогичный подход к исследованию разрешимости стационарной задачи фильтрации через плотину применялся А. Фридманом. В параграфах 4-6 нестационарные и стационарные обобщенные решения изучаемой модели сравниваются с соответствующими решениями по модели Рейнольдса (решениями вариационных неравенств). Доказывается, что если и(х,£) - решение вариационного неравенства,

= {х € О : и{х,£) = р^}

соответствующая область кавитации, то

р{х,Ь) < и(х,1), ш{£) С 1{р), Чх € О, ¿>0.

то есть решения неравенств мажорируют решения дифференциальных включений.

В заключительном параграфе главы рассматривается полностью дискретная, чисто неявная сеточная схема для нестационарной задачи и изучается ее сходимость. Доказывается слабая сходимость подпоследовательностей решений по параметрам дискретизации к решению задачи. Для аппроксимации конвективных слагаемых по пространству используется техника аппроксимации против потока, введенная и исследованная для линейных уравнений в работе М. Табаты и для стационарной задачи фильтрации через плотину - П. Пьетрой. Необходимость таких аппроксимаций вызвана тем, что уравнение (8) можно трактовать как уравнение конвекции-диффузии, в котором коэффициент перед конвективным слагаемом может быть бесконечным. Надо отметить, что для рассматриваемых схем нетривиальным является доказательство разрешимости возникающей на слое по времени конечномерной задачи.

Публикации по теме диссертации.

1. Даутов Р.З. Метод конечных элементов для эллиптических уравнений в областях с периодической структурой. // Дифференц. уравнения,, Т. 21, №7, 1985. - С. 1155 - 1164.

2. Даутов Р.З. Метод конечных элементов для краевых задач в перфорированных областях с периодической структурой // Новосибирск, ЧММСС, Т.17, №1, 1986. - с. 57-69.

3. Даутов Р.З. Операторы точного штрафа для вариационных неравенств первого рода. - В сб.: Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1987. -С. 66 - 67.

4. Даутов Р.З. Схема МКЭ для краевой задачи в области с углами. // Тез. докл. межд. научной конференции "Алгебра и анализ" (5-11 июня 1994, Казань). Изд-во КГУ, 1994. - С. 51 - 52.

5. Даутов Р.З. Схема точности 0{h2) определения свободной границы для одномерной задачи с препятствием. // Казань: Язв. Вузов. Матем., №9,1994. - С. 39 - 48.

6. Dautov R.Z. 0(/i2ln"(l//?,)) accuracy in distance for free boundaries in finite element approximation to the obstacle problems. // Advanced Mathematics, Computations and Applications. Abstracts of Int. Con}. A MCA-95, NCC Publisher, Novosibirsk, 1995. - p. 82 - 83.

7. Dautov R.Z. 0(h2lna(l/h)) accuracy in distance for free boundaries in finite element approximation to the obstacle problems. // Proc. Int. Con}. AMCA-95, NCC Publisher, Novosibirsk, 1995. - p. 477-490. .

8. Dautov R.Z. High accuracy post-processing technique }or free boundaries infinite element approximations to the obstacle problems. //Optimization 0} Finite Element Approximations, (St.-Petersburg, Russia, June 25-29,

1995), Abstracts of Int. Conf., 1995. - pp. 49-50.

9. Даутов Р.З. Об операторах точного штрафа для эллиптических вариационных неравенств с препятствием внутри области. // Дифферент уравнения, Т. 31, №6, 1995. - С. 961 - 970.

10. Даутов Р.З. Схема точности 0(h2) определения свободной границы для одномерной задачи с препятствием внутри области. // Тез. докл. межд. научной конференции "Алгебра и анализ" (5-11 июня 1994, Казань). Из-во КГУ, 1994. - С. 50-51.

11. Даутов Р.З. Схема точности 0(h2lnö(l / Л)) для определения свободной границы в задаче с препятствием внутри области. // Дифферент уравнения, Т. 31, №7, 1995. - С. 1191 - 1199.

12. Даутов Р.З. Схема метода конечных элементов на основе мультипликативного выделения особенностей для краевых задач в областях с углами. // Казань: Изв. Вуз. Матем., №4, 1995. - С. 29-39.

13. Даутов Р.З. О точности схем МКЭ для задачи Дирихле с нелокальными краевыми условиями. // Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Тезисы докл., Москва. ИММ РАН, 1991.-С. 23- 24.

14. Даутов Р.З., Саримов H.H. Численный метод решения задачи Дирихле с нелокальными краевыми условиями. // Журн. вычисл. матем. и матем. физ., Т. 35, №9, 1995. - С. 1356 - 1374.

15. Даутов Р.З. Моделирование кавитации в рамках приближения тонкого слоя. // Тезисы докл. конф., посвященной 100-летию со дня рождения Б.М.Гагаева (16-22 июня 1997, Казань) Казань, Из-во Казанского матп. об-ва, 1997. — С. 67.

16. Даутов Р.З. Моделирование кавитации в рамках приближения тонкого слоя. //Казань, Из-во Каз. мат. об-ва, Иссл. по прикладной

математике, вып.22,1997. - С. 32 - 47.

17. Dautov R.Z. High accuracy post-processing technique for free boundaries in finite element approximations to the obstacle problems. // Жури. выч. мат. и матем. физ., 38, №2, 1998. - С. 239-246. 18. Да-утов Р.З. Мультипликативное выделение особенности решения; эллиптических краевых задач в окрестности угловых точек области. // Материалы Всерос. сем. "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач", Казань, Из-во Казанского мат. об-ва. 1998. - С. 16-18.

Автор считает приятным долгом выразить искреннюю благодарность своему научному консультанту А.В. Лапину, всем членам семинара по вычислительной математике Казанского университета и особенно его руководителю А.Д. Ляшко, плодотворное сотрудничество с которыми оказали существенное влияние на выбор научной тематики и мое научное становление. Я признателен А.В. Лапину и М.М. Карчевскому, любезно согласившимся прочитать диссертацию, за замечания, способствовавшие заметному улучшению изложения.

Автор также благодарит Российский Фонд Фундаментальных Исследований за финансовую поддержку работы на ее заключительном этапе в рамках грантов 95-01-00448, 98-01-00200.

¿0. щ мм

7 .•■ - .„ - > / ? ¿зо-... КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ _ИМЕНИ В.И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА_

На правах рукописи

УДК 519.6

ДАУТОВ Рафаил Замилович

СХЕМЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С НЕГЛАДКИМИ РЕШЕНИЯМИ

Специальность 01.01.07 — вычислительная математика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Президиум ВАК России

(решениеот" , № Я

О

присудил ученую степень ДОКТО^

¿¿£г)ЛГ

Ц) — $ Начальнику:

—-. наук

и я 1АК России

шыи консультант:

м.н., профессор Лапин А.В.

КАЗАНЬ - 1998

Содержание

Обозначения 5

1 Схема МКЭ для задач в областях с углами 35

1.1 Особенности решения в угловых точках для уравнения Пуассона..........................................................37

1.1.1 Угловая точка типа ББ................................42

1.1.2 Угловая точка типа БМ................................50

1.2 Уравнение с переменными коэффициентами................53

1.3 Мультипликативное выделение особенностей................58

1.4 Построение схемы МКЭ........................................72

1.5 Обусловленность системы алгебраических уравнений. . . 76

1.6 Оценка точности приближенного решения..................80

1.6.1 Оценка т£ ||г/ — г^Цх д....................................82

уЕУи

1.6.2 Оценка неконформности метода......................93

1.7 Тестовые вычисления..........................................99

2 Задачи в областях с периодической структурой 102

2.1 Уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами. 103

2.1.1 Исходная задача. . .............................105

2.1.2 Конформная схема Федоренко.................109

2.1.3 Неконформная схема. ................. 118

2.2 Уравнения в перфорированных областях....................127

2.2.1 Исходная задача........................................127

2.2.2 Неконформная схема....................................130

2.3 Уравнения теории упругости..................................134

3 Задачи с препятствием внутри области 142

3.1 Операторы точного штрафа, регуляризация, устойчивость свободной границы............................................143

3.1.1 Исходное неравенство с ограничением..............144

3.1.2 Эквивалентное неравенство без ограничений. . . 149

3.1.3 Эквивалентное операторное уравнение......152

3.1.4 Регуляризация и оценки точности..................157

3.1.5 Устойчивость коинцидентного множества по мере. 161

3.2 Приближенное определение свободной границы в задаче с препятствием ..................................................164

3.2.1 О восстановлении области по ее приближенной характеристической функции............................165

3.2.2 Одномерная задача с препятствием..................171

3.2.3 Двумерная задача с препятствием....................187

3.3 Тестовые вычисления..........................................200

4 Моделирование кавитации в тонком слое 203

4.1 Модификация уравнения Рейнольдса........................204

4.2 Математическая модель гидростатического подшипника-уплотнения ..........................213

4.2.1 Физическая постановка задачи.................213

4.2.2 Математическая модель..............................215

4.2.3 Определение обобщенного решения..................217

4.3 Существование обобщенного решения ....................221

4.3.1 Дискретизация по времени задачи (7-^)..............221

4.3.2 Предельный переход по г в полудискретной задаче. 222

4.4 Сравнение с вариационным неравенством..................229

4.5 Интерпретация задачи (V) как задачи со свободной границей ............................................................232

4.6 Сравнение задачи (V) с вариационным неравенством. . 234

4.7 Неявная сеточная схема........................................235

4.7.1 Формулировка дискретной задачи.........236

4.7.2 Сходимость решения сеточной схемы.......248

Обозначения

В евклидовом пространстве Яп мы обозначаем через е\ = (1, 0,..., 0), б2 = (0,1,..., 0), еп = (0,..., 1) базис и через х = (жх,..., хп), у = {Уъ- ■ •) Уп)-, • - • ~ точки пространства,

п

х • у — х\у\ + ... + %пУп ~ скалярное произведение в К

|ж| =у/х • х - длина х Е В?1,

Вг(х) - открытый шар радиуса г с центром х Е Яп.

В, - множество всех действительных чисел, = {х Е И : х > 0}.

Буквой "с" обозначаются различные постоянные, не зависящие от стоящих рядом величин.

Для частных производных функции и по х^ (обычных и обобщенных) используются обозначения

Лр их., дги, их = ^аЛи-^и = (иХ11...,иХп).

Если а = (скх,..., ап) - мультииндекс, то Иа - это дифференциальный оператор

д\

а

Если ¡а[ = 0, то Ва - тождественный оператор.

Пусть О - область в К11 с границей Г, О = О и Г. Будем пользоваться следующим определением во всех тех случаях, когда требуется

определенная гладкость границы. Оно допускает рассмотрение всех общеупотребительных видов границ без точек заострения. Следуя Нечасу [1], будем говорить, что открытое множество О имеет непрерывную по Липшицу границу Г, если выполняются следующие условия: существуют постоянные сх>0и/5>0и конечное число (т) локальных координатных систем ..., ж^) и локальных отображений ar, 1 < г < т, непрерывных по Липшицу на отвечающих им областях определения Ur:

Ur : {хг = (хг2,..., хгп) : | < а, г = 2,..., п},

такие что

тп

Г = U : = аг(хг), £ Ur},

Г—1

{(ж1, хг) : аг(хг) < х\ < аг(хг) + /?, (Е С/г} С О, 1 < г < т, {(жь £г) : or(£p) ~(5<xi< ar(xr), xr е Ur} С Rn \ О, 1 < г < т.

Заметим, что открытое множество с непрерывной по Липшицу границей ограничено.

Будем называть также границу границей класса класса X, если аг : Ur.—> R - функции класса X (например Ск или Ск,а).

Через meas (О) или |П| обозначается мера Лебега множества О. Пусть О, С Rn - ограниченная область, dx = dx\... dxn - лебегова мера в Rn. Будем обозначать

Ск{р) множество к раз непрерывно дифференцируемых в О, функций;

Ck,x(ft) пространство всех функций и £ Ск(0), для которых производные Dau с \а\ = к удовлетворяют условию Гельдера с показателем А, т.е.

\Dau(x)-Dau(y)\<c\x-y\x \/x,yeü-

Cfc(Q) пространство всех функций и 6 Ck(Q), таких что для каждого а, |ск| < к, производная Dau обладает единственным непрерывным продолжением на О. Пространство Ск{0,) становится банаховым пространством, если ввести в нем норму

||ií||c* = maxsup |.Daií(cc)|;

H<fc хеп

Ck'X(ñ) подпространство функций Ск(й) с конечной нормой

|Dau(x) -Dau(y) |

и\\скх = I|w||cfc +max sup . ,

M=кх,уеП,хфу \x — у\л

Cq°(Q) множество бесконечно дифференцируемых в О функций с компактным носителем;

Lp(£l) пространство измеримых по Лебегу функций на О, для которых конечна норма

/ \ 1/Р

Ы\о#,п = 1Ми„(П) = f\u\pdx\ , 1<р<оо;

41 )

£оо(0) пространство измеримых по Лебегу ограниченных функций, IMIo,oo,o = IMUTO(fl) = inf{ М :\и\<М п.в. в О};

Wp{£l) пространство Соболева, 1 < р < оо, к - целое число,

Wk(il) = {и: ие ЬР(П), Dau G Lp(ft), \а\ < к}.

Wk{Q) - сепарабельное банахово пространство. При 1 < р < оо оно оснащается нормой

( \1/р

IMIfc^fi = |M|w£(ii) =

£ /1Dau\pdx \ Н<* о

и является рефлексивным.

Для полунорм в И7^ (О) используются обозначения

в < к.

р

( \1/р

= \иЩ(П) =

£ / \ваи\4х \ Н=« п )

При р = 2 для норм и полунорм в И^П) используются сокращенные обозначения

|Р||в,П = ||«||в,2,П, = \Щз,2,П-

УУр^) подпространство функций из И^(О), обращающихся в нуль на границе области П;

при нецелом в = к-{-¡л, 0<^<1, 1<р<оо - пространство Соболева-Слободецкого. Норма в нем задается выражением

/ , ч , ч , \ 1/Р

=

мр ^^ п\Р*ч{х)-Рач[у)\* д л

И^Д(О) класс функций из Ск 1(0), производные к — 1 порядка которых удовлетворяют в й условию Липшица ;

X* пространство, двойственное (сопряженное) к пространству X;

(•, •) билиненйная форма, приводящая в двойственность основное банахово пространство и его двойственное;

1 ° 1

(П) пространство, двойственное к И-^(П), 1/р+1/р' = 1, 1 < р < оо. Элементы И/Гр71(0) можно рассматривать как обобщенные производные функций ^ из 1у(П); точнее говоря, если / £ И^Т^О), то найдутся такие функции /о, /ь • • •, /п С что

</,£} = / (ж - Е ¿X щ ет^(П);

Wpkloc(n) совокупность функций, принадлежащих W^(O') для любой ограниченной подобласти П', Q1 с П;

Lp(О, Т; X) , Т < оо, X - банахово пространство - банахово пространство измеримых функций t —> /(t):[0, Т] —У X, таких, что

/ Т \ !/Р

Lp(0,T-,X) = I Wf\\x dt < +00 {рф +00), \0 /

ИЛкооСодо) = sup ess ||/||х < +00.

te(o,T)

ВВЕДЕНИЕ

Метод конечных элементов (МКЭ), наряду с методом конечных разностей, в настоящее время является одним из самых распространенных и эффективных методов решения задач математической физики и техники. Теория этих методов для линейных краевых задач изложена в монографиях A.A. Самарского [2], В.Б. Андреева и A.A. Самарского [3], A.A. Самарского и Е.С. Николаева [4], A.A. Самарского A.A. и A.B. Гулина [5], Г.И. Марчука [6], Г.И. Марчука и В.В. Шайдурова [7], H.H. Яненко [8], Е.Г. Дьяконова [9], O.K. Зенкевича [10], J1.A. Оганесяна, В.Я. Ривкинда и Л.А. Руховца [11], [12], В.Г. Корнеева [13], Ж.П. Обэна [14], Г. Стренга и Дж. Фикса [15], Ф. Сьярле [16], Г.И. Марчука и В.И. Агошкова [17], В.В. Шайдурова [18] и других. Значительные результаты получены в теории сеточных методов для нелинейных уравнений математической физики. Различные аспекты этой проблематики отражены в монографиях Е.Г. Дьяконова [9], М.М. Карчевского и А.Д. Ляшко [19], Р. Гловински [20], Ф. Сьярле [16], Дж. Одена [21], Р. Темама [22] и многочисленных статьях.

История вариационных и проекционных методов решения задач математической физики восходит к работам В. Ритца и отечественных математиков И.Г. Бубнова и Б.Г. Галеркина. Основы метода конечных элементов были заложены в статье Р. Куранта [23]. Современная теория МКЭ базируется на теории обобщеных решений краевых задач

(включая теорию регулярности обобщенных решений), на теории аппроксимации функций и численных методах алгебры. Процесс решения конкретной задачи математической физики с использованием этого метода обычно прпредполагает реализацию следующих основных этапов:

1. вариационная (обобщенная) формулировка задачи;

2. выбор аппроксимирующих сплайнов и пространства конечных элементов, базис в котором образуют функции с малым носителем, и определение понятия приближенного решения;

3. решение соответствующей системы алгебраических уравнений.

Несмотря на большое и постоянно увеличивающееся число работ по МКЭ, на каждом из этих этапов возникают проблемы, которые недостаточно полно исследованы с теоретической точки зрения даже для классических краевых задач, не говоря уже о новых задачах, для которых само построение приближенного метода является не очевидным. Кратко перечислим наиболее важные и актуальные, на наш взгляд, проблемы.

В настоящее время известно, как определять обобщенные решения для широкого круга задач. Для таких задач актуальной является разработка таких новых вариационных формулировок, которые были бы более эффективными с вычислительной точки зрения для определения основных неизвестных задачи и обеспечивали бы более высокую точность. Например, в последние годы все более важное значение приобретают смешанные вариационные формулировки, различные формулировки краевых задач со свободными границами в виде вариационных неравенств и дифференциальных включений и т.п.. Естественно, актуальным по-прежнему является определение обобщенных решений задач,

для которых вариационные формулировки до сих пор не были известны.

Благодаря успехам в теории аппроксимации, в настоящее время достаточно хорошо известно, как эффективно выбирать пространство конечных элементов, если решение краевой задачи обладает достаточной регулярностью (гладкостью). Значительно слабее разработан вопрос о том, как выбирать аппроксимирующие функции в случае, когда решение краевой задачи не обладает достаточной регулярностью и имеет различного типа особенности. С такой ситуацией приходится сталкиваться, когда рассматриваются задачи в областях с угловыми точками (в областях с негладкой границей), уравнения с малым праметром при старших производных, задачи с многозначными или разрывными операторами и т.п.. Использование в этих случаях стандартных аппроксимаций, не учитывающих специфику решаемой задачи, как правило приводит к существенному понижению точности получаемых приближенных решений (по сравнению с регулярным случаем) и, в конечном итоге, приводит к существенному понижению эффективности всего метода в целом. Поэтому актуальным является построение таких конеч-ноэлементных аппроксимаций краевых задач с особенностями решения, которые бы имели повышенную точность по сравнению со стандартными аппроксимациями. Это может быть достигнуто только в том случае, когда конструкция пространства конечных элементов будет основана на априорной информации об особенностях решения аппроксимируемой задачи. Естественно, актуальным также является построение и исследование конечноэлементных аппроксимаций новых, ранее не решавшихся задач.

Эффективность МКЭ существенно зависит и от выбранного метода решения системы алгебраических уравнений, которая обычно являет-

ся разреженной системой и имеет большую размерность (особенно для многомерных задач). На размерность системы главным образом влияет качество аппроксимаций, использованных на втором этапе. Как правило, увеличение точности аппроксимаций приводит к уменьшению размера решаемой системы уравнений.

В диссертационной работе рассматриваются вопросы, касающиеся, в основном, первых двух этапов в реализации метода конечных элементов при решении следующих задач.

1. Двумерные линейные эллиптические краевые задачи в областях с угловыми точками. Показано, что в окрестности угловой точки решение задачи и(х) можно представить в факторизованном виде и(х) = р(х)у(х), в котором функция р(х) определяет особенность решения, а у(х) обладает достаточной гладкостью и принадлежит весовому пространству Соболева. Это представление решения позволяет ввести новое определение приближенного решения, имеющего повышенную точность по сравнению с решениями стандартных сеточных схем.

2. Линейные эллиптические краевые задачи с быстро осциллирующими периодическими (с малым периодом е) коэффициентами и краевые задачи в периодически перфорированных областях. Особенность решений этих задач заключается в том, что они также являются быстро осциллирующими и обладают малой гладкостью: в произвольной подобласти диаметра г решение задачи естественно предполагать принадлежащим лишь И7^. Построены схемы точности 0(у/е).

3. Определение неизвестной границы в задаче с препятствием внутри области. Даны новые определения обобщенного решения задачи. Эти определения оказываются полезными как с точки зрения

исследования устойчивости свободной границы, так и с точки зрения построения приближенных решений. Построены алгоритмы, позволяющие определить неизвестную границу с большей точностью, чем это позволяют делать известные алгоритмы.

4. Задача со свободной границей, моделирующая кавитаци-онное течение в тонком зазоре. Сформулирована математическая модель рассматриваемой задачи и дано определение обобщенного решения, сводящее задачу со свободной границей к решению эволюционного дифференциального включения. Исследованы качественные свойства и существование решения, построены и исследованы приближенные методы его нахождения.

Приведем теперь более подробный обзор содержания диссертации, состоящей из четырех глав.

Первая глава посвящена исследованию поведения решения линейной эллиптической краевой задачи второго порядка в плоской области с углами произвольного раствора, построению и исследованию точности схемы МКЭ для этой задачи. Точки смены типа краевых условий на гладкой части границы области также считаются угловыми и им приписывается внутреннй угол, равный 7г. Предполагается также, что граница области образована отрезками прямых, и на отрезках, примыкающих к угловой точке, заданы либо однородные краевые условия Дирихле (угловая точка типа ББ), либо однородные краевые условия разных типов, а именно Дирихле и Неймана (угловая точка типа Б1\Г). Коэффициенты и правая часть уравнения предполагаются достаточно гладкими.

Хорошо известно [24], что в окрестности угловой точки 6 решение краевой задачи в общем случае имеет степенную особенность, завися-

щую от величины внутреннего угла ф в этой точке. Точнее, решение представимо в виде (за исключением нескольких значений ф)

и = сор + с\гХ1 8т(А1<р) + го, р = гхзт(Хср), с0 € Л, (0.1)

где (г, ф) - полярные координаты с началом в точке 6, угол ср отсчи-тывается от стороны с краевым условием Дирихле, А = тг/ф, = 2А, если Ь - точка типа ББ, А = О.Ьтт/ф, Ах = ЗА, если Ь - точка типа Б1М. Функция и) в этом разложении является гладкой: ги Е И7!- Отметим, что р Е ~£ для любого £ > 0 и р Е только тогда, когда ф < 7г,

если Ъ - точка типа ББ и ф < 7г/2, если Ъ - точка типа БЫ.

Из представления (0.1) следует, что в общем случае решение краевой задачи принадлежит лишь пространству

Соболева ТУ21+А~£ и использование стандартных сеточных схем для ее решения при наличии углов близких или равных 2тт становится неэффективным.

В первом параграфе главы 1 приводится постановка задачи и получаются необходимые для дальнейшего вспомогательные результаты об асимптотических представлениях обобщенного решения в окрестности угловых точек для уравнения Пуассона. Во втором параграфе эти результаты распространяются на уравнения с переменными коэффициентами. Характер особенности обобщенного решения в окрестности угловых точек для более общих краевых задач, чем те, которые рассматриваются нами, изучался во многих работах. Отметим лишь обзорную статью В.А. Кондратьева и О.А. Олейник [25] и работу В.А. Кондратьева [24], в которой содержатся требуемые нам асимптотические представления решения в случае задачи Дирихле для углов не равных 27г. В случае смешанной краевой задачи такие представления ре