Сходимость приближенных моделей случайных полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Р Г Б О Л ИМЕНИ АЛЬ-вАРАБИ.

2 3 ОКТ 1395

На правах рукописи УДК 519.245

БУГЛАНОВЛ НАТАЛЬЯ АЛЕКСАНДРОВНА.

СХОДИМОСТЬ ПРИБЛИЖЕННЫХ МОДЕЛЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ.

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

АЛМАТЫ 1993

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной математики Национальной Академии наук Республики Казахстан.

Научные руководители - академик HAH PK, доктор физико-

математических наук У.М.СУЛТАНГАЗИН

кандидат физико-натенатических наук О. К.УРБАННУРАДОВ Официальные оппоненты • — доктор физико-математических наук

К.К.САБЕЛЬФЕЛЬД

кандидат физико-математических наук С.А.АТАНБАЕВ

Ведущая организация ->'Новосибирский Государственный

Университет

Защита диссертации состоится «'/А. МЛ^уЗ 1995 года в час.на заседании специализированного Совета К 14/А.01.05 при - Казахском Государственном Национальном университете им.Аль-Фараби по адресу 480012, г.Алматы, ул.Масанчи. 39/47.

Сдиссертацией можно ознакомиться в библиотеке

КазГУ им. Аль-Фараби.

Автореферат разослан

«А

1995 г.

Ученый секретарь Спец. Совета А 14/-01.05 к. ф. -м.н.

Б. М. КАДЬЗСЕНОВ.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность тены . С развитием вычислительной техники возрос интерес к численнын нетолам решения прикладных задач, в частности , к методам статистического моделирования . Многие стохастические нодели в качестве параметров содержат случайные поля. т.е. т-мерные функции 1-нерных вещественных переменных: иСш,хЭ= Си Си.хЭд! С<л,эО,...,и Сш.хЭЭ - случайное поле, ш е О,

12т.

О из основного вероятностного пространства СО.^.РЗ, х е О, Г>с и функция иС<о,хО при фиксированном со ^-изнернна по со .

Моделирование случайных полей является одним из самых сложных разделов методов Монте-Карло, хотя в настоящее время существует достаточное число различных методов построения моделей случайных полей с заданными статистическими характеристиками. Но, как правило, моделирование случайных полей осуществимо лишь приближенно, поэтому актуальным

является вопрос о сходимости приближенных моделей к заданному случайному полю.

Настоящая работа посвящена проблене сходимости приближенных моделей случайных полей . До настоящего вренени наиболее изученными оказались рандомизированные спектральные модели СРСМЭ гауссовских однородных случайных полей ССПЭ . Впервые эти модели были введены в 1970 году 1?. Кга1сЬпап .Более совершенные .так называемые. слоистые рандомизированные

спектральные модели были предложены Г.А.Михайловым в 1978 году, им хе были инициированы исследования сходимости

таких полей . При этой наиболее полно изученной оказалась слабая сходимость рандомизированных спектральных моделей однородных гауссовских случайных полей . 6 качестве пространства", в которой рассматривается сходиность, выступает пространство непрерывных функций CCD3 , где D -1-мерный компакт из R1 . как правило, D^IO.li1- единичный куб в R1.

Моделирование негауссовских и неоднородных полей и вопрос о более сильных видах сходиностей, таких как сходимость по вероятности, сходимость почти наверное Сп.н.3 и сходиность в средней степени р изучены существенно в меньшей степени. Поэтому актуально исследование условий сходиностей вышеуказанных видов для приближенных моделей негауссовских и неоднородных случайных полей.

Важно отметить также, что опубликованные работы по вопросам Функциональной сходимости приближенных ноделей случайных полей носят качественный характер, количественные же исследования, где были бы найдены оценки скорости сходимости РСМ однородных гауссовских СП отсутствовали до сих пор , за исключением работы О.Курбанмурадова 1993 г."Функциональная сходимость монте-карловских аппроксимаций однородных гауссовских случайных полей", в которой исследуется проблема сходимости аппроксимаций ГСП в смысле сходимости по распределению и по вероятности в равномерной метрике банахова

пространства непрерывных фукций и получены оценки скорости сходимости названных видов. А поскольку оценки скорости сходиности необходины для определения точности решаемых задач, которые в качестве параметров содержат приближенные нодели случайных полей, актуально также получение таких оценок при использовании не только РСМ гауссовских СП, но и при использовании других ноделей.

С точки зрения вычислительных затрат важный показателен является трудоемкость моделирования случайного поля, с заданными статистическими характеристиками .поэтону актуально и получение оценок для трудоемкости построения РСМ ГСП.

Цель работы. 13 Изучение более сильных,чем слабая, видов сходиностей РСМ однородных гауссовских случайных полей , а именно сходимость по вероятности, сходимость почти наверное и сходимость в среднем степени р рандомизированных спектральных моделей однородных гауссовских СП в равнонерной норме банахова пространства непрерывных функций ССГО

23 Построение более сложных, чем РСМ , моделей как гауссовских так и негауссовских однородных и неоднородных случайных полей.

33 Получение оценок скорости сходимости всех вышеуказанных видов для различных моделей случайных полей.

43 Получение оценок для трудоемкости моделирования РСМ.

Научная новизна полученных результатов состоит в том, что впервые получены оценки скорости сходиности по вероятности

более общих случайных нолелей, чен РСМ однородных гауссовских случайных полей .

Получены оценки трудоемкости моделирования однородных гауссовских СП.

Введены более общие,чен рандомизированные спектральные модели гауссовских однородных СП 4 , названные обобщенными спектральными моделями СОСГО гауссовских неоднородных случайных полей и для них проведены качественные и количественные исследования сходимости.

Введен новый класс моделей .названный интерполяционными СИЮ, произвольных выборочно-непрерывных случайных полей , который строится интерполяцией значений исходного случайного поля ?СО, t«T, Т«СО,1]п на конечном множестве S£, которое является с - сеть» множества Т и для которого исследованы условия сходимости по вероятности, в средней степени р и почти .наверное к исходному СП. Также получены оценки скорости сходимости при ограничениях вида

Е |?Ct5-fCs5 < СЮ, t, se Т, |t-s|<h,o>l

Практическая ценность полученных результатов. Учитывая то ;—-

обстоятельство, что вероятностная теория функциональной сходимости последовательностей случайных полей в последние годы развивается весьма эффективно , определенньй интерес у специалистов по теории вероятностей могут вызвать полученные в диссертации условия сходимостей приближенных моделей случайных полей по вероятности , почти наверное и в средней

степени р ■ . а также оценки скорости сходимости во всех перечисленных случаях.

Помино теоретической ценности существует довольно много практических приложений полученных результатов во многих областях человеческих знаний . например, в задачах гидромеханики , оптики атмосферы и океана, радио-и электротехники и нногих диффузионных задачах.-

Несомненный интерес вызовут оценки трудоемкости моделирования ГСП, полученные в диссертации , у специалистов, занимающихся непосредственно численными расчетами.

Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались на конференции, посвященной юбилею К. Ж. Наурызбаева С Алматы,

1994 г.Э.на научном семинаре кафедры прикладной' натематики КазНТУ С руководитель - доктор фиэ.-нат. наук Сакабеков А.С.Э САлнаты 1995 г.Э, на научном сенинаре лаборатории математических проблей теории переноса ИТНМ HAH PK , САлматы

1995 г. Э , на юбилейной научной конференции, посвященной 50-летию развития математики в Академии наук Казахстана , САлматы 1995), на объединенном семинаре кафедр вычислительной

математики и функционального анализа и теории вероятностей 4 КазГУ им. Аль-Фараби САлматы 1995Э.

Публикации. Основные результаты работы изложены в 6 работах, опубликованных в открытой печати C1J-I6].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех- глав, приложения и заключения. В конце работы приведен список литературы из 47 наименований . Общий объен работы, включая 1 таблицу, составляет 10?-страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, описана история исследований по теме диссертации , определена цель и основные результаты . Кратко изложены основные направления и структура работы.

В первой главе , которая состоит из четырех параграфов, рассматриваются РСМ гауссовских однородных СП , условия их сходимости по вероятности , в среднем степени р и почти наверное к исходному полю и приводятся оценки трудоемкости моделирования однородных гауссоских случайных полей.

В § 1 главы I излагаются сведения из спектральной теории

случайных полей , даются определения и условия спектрального представления однородного гауссовского случайного поля в виде

N

uCxD= / ZCdJO CID

I

в

где ZCdX3 - m-мерная комплекснозначная ортогональная гауссовская мера стохастическая мера со средним нуль.

Рандомизированная спектральная модель однородного гауссов-

ского случайного поля иСхЭ . х<=й1- это последовательность

00 I

случайных полей {и^СхЭ}-^^ ,хей определяемая формулами :

ГI

и сх)= ) etC\k,x)zcA , n=i, э,... сг>

n / nk

к = 1

где -1а I , п=1,2..,. при каждом п образует разбиение носи-

пк-'1с = 1 _

теля спектра эиррСрС ОЭ = ^Хе!?1.- рСХЭ^О}- = Лей1; гСАЭ- стохастическая ортогональная мера, участвующая в спектральном предку

ставлении поля цСх) , 4 \ I - серия 1-мерных случайных

величин, попарно независимых К^еА^ в каждой серии.

В § 2.1 главы I рассмотрен случай . когда носитель спектральной плотности Л является компактом . В предположении компактности носителя получены условия сходимости РСМ к исходному полю по вероятности , при этом определяется содимость по вероятности:

Говорят,что последовательность СП ^и СхЭV сходится схо-

1 п 1 п = 1

р

дится по вероятности к случайному полю иСхЭ и пишут и^-► и ,

11-► со , если Уе, <5> О 3 Ы=МС£,65, такое, что Р-{ II и-и^ I с> 6 . п>Ы.

Получена оценка скорости сходимости

5 -2г 1 6г

Р ^ Ни СхЭ-иСэОИ >6 | < ———^ ехр -{--^

" С У 1+41 2сге2

9 .Г»

Iи -и! = Бир 1иСхЗ -и СхЗ I

п С п 1

00

где с - вычисляемая константа, ^£ V -последовательность

Э 1 П 1 П=1

положительных чисел , сходящаяся к нулю , такая ,что

2 й с11 ат А , < е тахС 1, р 5

пк п г*к

(3- положительное число , р = |Х|

п Х.еЛ ,

пк

В § г. 2 главы 1. Рассматривается общий случай, т.е. условия конпактности носителя не являются обязательными.

Основным инструментом , с помощью которого исследуется указанный вопрос является оценка распределения равномерного уклонения гауссовских СП , полученная Ферником.Т.к.эта оценках была получена для вещественных СП, а нами рассматриваются, вообще говоря , комплекснозначные СП , то в главе I §2.2 приводится "кокплекснозначный " вариант оценки Ферника Свывод ее дается в главе II §23.

В § 3 главы 1 приводятся определения почти наверной сходиности

- Ю -

и сходимости в среднем степени р последовательностей случайных полей:

оо

Пусть СП иСхЭ и последовательность in СхЭ ^ имеют

1 Г> >П=1

с вероятностью единица непрерывные реализации , т.е. их

можно представить как случайные элементы в банаховом

пространстве ССГО. Говорят, что последовательность СП оо

iu СзО V сходится в среднем степени р и при этом пишут:

' П 1 П=1

L

Р Р u —»uCxO.n—> оо, если Elu -ul ->0,n—мо. Здесь и далее всюду

п ПС

Е- означает знак математического ожидания . Наконец, говорят,

со

что последовательность СП {и^СхЭ „ц сходится почти наверное

Сп.н.Э к случайному полю иСхЭ и пишут п.н.

иСхЭ-» uCxD. п —» оо' , если Pi lim Hu -ив =0^ = 1, т.е.

п • ПС*

п-юо

п. н. .

Ни -и II -» О , п —► оо .

п с

§ 3 главы I состоит из двух разделов, как и во втором параграфе, в нен указанные виды сходимости сначала исследуются для случая компактного носителя Л . а затеи в общем случае .

В § 4 главы I расссмотрен очень важный вопрос

оценки трудоемкости моделирования РСМ гауссовских случайных полей . Здесь впервые рассматривается эта проблема , хотя общее понятие трудоемкости в алгоритмах метода Монте-Карло и исследование их для решения некоторых задач статистического моделирования известно . Отметим, что определение

трудоемкости и нетодика получения оценок для нее , изложенные в данном разделе таковы, что их без труда можно перенести

на более общие случаи, рассматриваемые в последующих главах.

Вторая глава диссертации посвящена приближенным моделям гауссовских полей Свозможно неоднородных} , названными ■ нами обобщенными спектральными моделяни СОСМЗ . Такие модели

применимы для моделирования гауссовского СП ?СО,1еТ СТсЕ^З,

такого, что его корреляционная функция BCt,s3=EC?C t3 ?Cs33 представима в виде

BCt,s3= J gCt,;OgCs,X3ntCdX.3 , СЗЗ

Л

где AcR1. mCd\3 - мера в С Л, !8дЗ , где а-алгебра борелев-ских подмножеств множества А ; gCt-,\3: ТхА —► С -конплекснозначкая измеримая функция . В силу теоремы Карунена при условии с33 справедливо обобщенное спектральное представление

?СО= J gCX3ZCd\3 , С43

А

где ZCdX3 - ортогональная гауссовская стохастическая мера со структурной функцией mCd\3 . Используя представление С-43 точно также как и в однородном случае С33 иожно определить ОСМ гауссовского случайного поля ?Ct.3:

к

г»

? Ct,3= У gCt.X 3ZCA ,3 ,n=l,2...... teT C53

тч Zj nk nk

k=l

Вторая глава состоит из четырех параграфов. Как видно из оглавления, в ней изучаются все виды сходиностей ,

рассмотренные в первой главе для РСМ.

В } 2 и } 3 главы II предполагается , что : gCt,X3

удовлетворяет условиям:

|gCt.X3-gCt'.X ) | < с^С |t-t.' |+ J\—X* СК>

|gCt,X3-gCt' .ХЭ+gCt/, Xe3-gCt.>i| < ^ |t-t' | • |х-х' | СТ}

В частности. этим условиям удовлетворяют дважды дифференцируемые по t и X функции gCt,X3. Доказывается сходимость ОСМ по вероятности , в среднем степени р и почти наверное, для ядер , удовлетворяющих этим условиям.

В § 4 главы II это ограничение ослаблено. В частности .если gCt.X3 непрерывно дифференцируема по t и X и первые производные удовлетворяют условию Гельдера , то для нее применимы результаты , полученные в главе II §4.

Третья глава диссертации посвящена интерполяционным ноделян случайных полей СИМ СП), которые строятся интерполяцией значений исходного поля на дискретном множестве. В отличии от моделей, рассмотренных в двух предыдущих главах, где их область применимости простирается лишь на гауссовские СП , область применимости ИМ неограничена. Необходимо лишь , чтобы реализации исходного поля были с вероятностью единица равномерно непрерывны в области своего определения .

В § 1 главы III дается строгое определение ИМ и приводится оценка близости приближенного и исходного случайного поля. , на языке выборочного модуля непрерывности исходного поля Ссн.Лемна 13.

§ 2 главы III целиком посвящен оценке вероятности Р-|ы^СЫ><5^, где выборочный модуль непрерывности исходного поля

fCO.teT. Некоторые выкладки для удобства изложения были вынесены в Приложение.

Далее в § 3-} 4 главы III исследуются все виды виды сходймостей ИМ , упомянутые в начале введения в связи с ^РСМ. Причем, в § 3 исследуется общий случай, а в } 4 случай гауссовских случайных полей. Тайое разделение обьясняется тем, что в последней случае достаточные условия сходимости являются существенно менее ограничительными, чем в общем случае, а при одних и тех же требованиях скорость сходимости является более быстрой. -

Приложение. В виду громоздкости оценок для вероятностей уклонения выборочного модуля непрерывности , их

вывод был вынесен в Приложение.

В таблице 1 приводятся в обозримом виде результаты главы III.

В заключении выделены основные результаты работы.

Следует отметить , что результаты , полученные в-

разных главах имеют различные степени завершенности . Так, достаточные условия сходимости РСМ, рассмотренные в первой главе, по существу совпадают с условиями выборочной непрерывности гауссовских СП . Поэтому эти результаты вряд ли ногут быть принципиально улучшены . В то же время результаты глав II и III скорее всего могут быть уточнены и обобщены , т.е. они имеют предварительный характер . Это обьясняется тем, что эти проблемы до настоящего времени не были изучены и здесь

ни рассматриваются впервые

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

. Buglanova N. A. .Kurbanmuradov O.A. Convergence on probality of randomized spectral models of gonogeneous gausian random fields // Monte-Karlo methods and application.-1Q94.-No3.24 p.

:. Бугланова H.A. Функциональная сходимость интегральных сумм Римана-Стилтьеса стохастических интегралов, зависящих от параметра// Депонированные научные работы КазГосИНТИ . - N S618 Ка94,- Алматы, 1995,- No 1.-8 стр.

I. Бугланова Н.А..Курбаннурадов O.A. Сходимость интерполяционных моделей случайных полей// Депонированные научные работы КазГосИНТИ.- N 5619 Ка 94.- Алиаты , 1995,- No 1.- 21 стр.

I. Бугланова Н.А..Курбаннурадов O.A. Функциональная сходиность конечных аппроксинаций стохастических интегралов, зависящих от параметра //Депонированные научные работы КазГосИНТИ.-N 5S17 Ка94.- Алнаты ,1995.- No 1,- 13 стр.

5. Бугланова Н.А..Курбаннурадов O.A. Интерполяционные модели случайных полей и их функциональная сходиность //Тезисы юбилейной научной конференции.посвященной 50-летию развития математики в Академии наук Казахстана.Алматы 1995 г.

>. Бугланова Н.А..Курбаннурадов О.А.Функциональная сходимость конечных аппроксинаций стохастических интегралов, зависящих от параметра // Тезисы межвузовской научно-методической конференции посвященной 60-летию профессора К. Ж.Наурызбаева,Алматы 1995г.

-15Г-

BUGLANOVA NATALYA ALEXANDROVNA "CONVERGENCE OF APPROXIMATE MODELS OF RANDOM FIELDS" Ol. 01. 07. -COMPUTING MATHEMATICS abstract, of thesis for a candidate degree In physical and mathematical sci ens.

Functional convergence of approxl mate models of random fields . estimation of convergence rate for different types of models, estimation of modelling content for gomogeneous gaussian rrandom fields .construction of new models are considered .

Convergence conditions in probability .the almost sure convergence an the convergence 1 n mean Cof p-th degree} of random spectral models for gaussian random fields .generalized spectral models for gaussi an ingomogeneous fields and newl y i ntroduced i nter polated models for sample continuous randomfields were investigated . Estimation of convergence rate in all above -mentioned cases was extracted.

The results may be used in the qualitative theory of functional convergence of random fields .probability theory, practical tasks of hidro—mechanic , atmosphere and ocean optics for the solqution of which a scholastic approach,!.e. Monte-Carlo method is used.

Бугланова Наталья Александркызы

"Кездейсок ерктсрдш жуыкталган модельде-ржщ асинактылыгы" такырыбынан 01.01.07 "Есептеу математикасы" мамандыгы бойынша Физика-математика гылымьшын кандидаты дэре-хесш коргау диссертациясы.

Кездейсок ерктердш жуыкталган модельдер1нш функциональдык жинактылыгы, модельдердщ гурл1 жагдайлары ушш хинакталык хыл-дамдыгын багалаулар, б1ртект! гаусстьк орктер1 дадельдершщ ау-кшдалырын багалаулар. асана турдег 1 кездейсок модельдерд1 КУРУ мэселелер! карастырылган. Гаусстык кездейсок ерктердш рандоми-зацияланган спектрлык модельдерпин, гаусстык б;ртект1 емес ерк-тершш жалпыланган спектрлык модельдершт зэне ханадан енНзи-ген кез-келген тацдама-узджспз интерполяциялык модель дершш ык-тималдык бойынша, барлык дерлык жэне р дэрезке¿ндег! орта жинак-тылыгынын шарттары зерттелген. Осындай жагдайлардын бэр1нде ыкти-малдык бойынша асинактылык жылдамдыгынын багалауы табылган. Жуыыс-тын нэтижелер! кездейсок ерктердщ функциональдык жинактылыгынын сапалы теориясында. ьктималдактар теориясында, гидромеханика, атмосфера жэне мухиттар оптикасында, статистикалкк тэс1лдердь ягни Монте-Карло эдктерш талап ететш турл1 диффузиялык практика есептерш шешуге колданылады.