Сходимость простых и двойных рядов Фурье по полным ортонормированным системам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ



-9

ъгьчиъъ '1 13 8 Ц V и Ъ и 1Т ч I и и Г и 1)

2Ьпи^р11 []рил|п|.'и[>п4 уж 517.51

8 О*,

чплпг-зич! ипрэьг ч-ьчпп^^

йГПЧЧ^ ипчлгиш^ ич Мр^ш^ъ СирЯйГЪ сив 1,гм оркитгигл. щиадирчърп «пичшгизтФзпмс

^шшч^злмзгтъ^ и.01.01. - лрь^шт^ш^шъ шЪш^я

3)^[)1{Ш1Тш[!)1)1Ги1л[11[ш1[ш'и q¡1lnnLf!)J пь'иЪЬр^ цп1цппр[1 С|спщЦ 1и ишт|10шЪ|| 1шJ (з«Гш"и штЬ'ишЬти tn.fl

и 13 Ч 1Г .11 Ч Ц Г V р й Ч 11 "и - 199?

ереванский госу^\рств±ншй унившжьт

Ка правах рукописи удк 517.51

григорян мартин шворговвд

СХОДИМОСТЬ простых и двойных рядов фурьй го полным ОРГОЮНЛИРОВАНКЬМ систшж

СПйЦИАЛЬКОСТЬ-Л.01.01,- математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискания учпной стодани доктора физш<о-матрматичосиах наук

К Р Ё В А Н •» 1997

Работа выполнена в Ереванском государственном университете

Официальные оппоненты: -доктор физико-математических наук,

профессор Голубов Б.И. -доктор физико-математических; наук профессор Гоголадзе Л.Д. -доктор физико-математических наук профессор Геворкян Г.Г.

Ведущая организация - Московский государственный университет им„М.В.Ломоносова

о °

Защита диссертации состоится " / £ " ЬСЮиО, 1997г. в " часов на заседании специализированного совета 050 при Еровансш госунив^рсктете по адресу : г.Ереван-49,ул.Ая.Манукяна I.

С диссертацией можно ознакомитьая в Библиотеке Ереванского Госуниверситета .

Автореферат разослан "/> " Т997Г.

Ученый секретарь специализированного совета к.ф.м.н..доцент

тМ- тАРУТЮНЯН Т .Н.

Актуальность том J. Работа посвящена важной и бурно развивающейся области гармонического анализа - теории простых и двойных рядов Фурье по общим и классическим полным ортонормированиям системам.

В настоящ«« время вопросы сходшлости рядов Фурье (по общим и классическим ортонормированным системам) в одномерном случае довольно хорошо изучены.

Упомянем лишь монографии Н.К.Бари,А.Зигмунда,С.Качмажа и Г.Шгейнгауза.

В свою очередь, вопроси сходимости двойных (кратных) рядов Фурье исследованы значительно слабее.Наиболее активные исследования в этой области проводятся со второй половины 60-х годов. Различные проблемы ( в той или иной степени затрагивающие волро-сы^обсуздаемые в настоящей диссертации) исследовались в работах [1-24] .

Цель работы: Исследование вопросов сходимости (равномерно, почти всюду в метриках ¡J, Р 7, i ) простых и двойннх рядов Фурье по (общим и классическим) ортонормированием системам,после исправления функции классов С и ll вне заданных множеств. .Методы исследований. Применяются метода теории Функции и функционального анализа.

Научная новизна и публикации. Все доказанные в диссертации теоремы являются новым. По т«ме диссертации опубликовано 20 работ .(см. [25-441 )

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты представляют теоретический интерес и могут применяться при исследовании сходимости в различных метриках простых и кратных рядов Фурье как по классической,так и по любой полной ортонорми-рованной системе.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах отдела теории функций действительного переменного Института математики АН РА, на семинарах С.М.Никольского (МИАНСССР), Д.Е.Меньшова и П.Л.Ульянова (Мех.мат.МГУ), Б.С.Кашина и К.И.Ос-колкова (ВМик МГУ).В.А.Скворцова (Мехмат МГУ), Г.Гарсия и Ф.Серия <4 ■ UniveJii.o(L&l ^".¿0'лс.тгс obi M^cL'UlL'

По теме диссертации были сделаны доклады на Всесоюзных школах по теории функций и приближений (Кемерово 1983г.,Саратов, 1988г. и Г990г. Ереван 1987г..Воронеж 1991г..Одесса 1991г.), на

Международной конференции "Проблемы анализа и механики" в Тбили се (1991г.). По теме диссертации был произведен стендовый докла на й/съЫср <> «„¿AppL^k'^s ¿п £<№а

■ USA . ms )

Структура диссертации.Диссертация состоит из введения, , двух глав и списка датированной литературы.

Общий объем диссертации 183 страниц.

Библиография содеротт 72 названия.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В 1912 году H.H.Лузин [i] доказал следующую знаменитую теорему.

Теорема (ILН.Лузин). Для каждой почти всюду конечной на

измеримой Функции и для любого £>о сущаствухя

измеримое множество Е с мерой 1 £ \ > 1 - t и непрерывная hs [0,l\ функция ^ U) , совпадающая с на Е .

Эта идея Лузина об исправлении функции с целью улучшения свойств получила в дальнейшем большое развитие.

В 1939 году Д.Е.Меньшов [2"] доказал следующую фундамецтал ную теорему

Теорема I.(Д.З.Моньшов). Пусть -ß (х) -измеримая функция конечная почти всюду на [0.23Г) .Каково бы ни было £ >о ,мож но определить непрерывную функцию <? (,х) . совпадающую с ißcx) на некотором множестве £ , lE[>«2^r-L • и такУ®> что ее ряд Фурье по тригонометрической системе сходится равномерно на [оду

Далее в этом направлении ваккне результаты получены А.А.Талаляном, Ф.Г.Арутюняном, О.Д.Церчтели.У.Прайсом, К.И.Оско, ковым, Б.С.Кашиным, К. С.Ка з аряном,Ш.В.Хеладз е,А.Б.Гулисашвили, Р.И.Осиповым и другиш авторами (см. [5-I6J ).

Здесь мы приведем те результаты, которые непосредственно относятся к теоремам,доказанным в диссертации.

В работе [б] А.А.Талаляном установлена

Теорема (А.А.Талалнн). Чл^ны любой ортонормированной сис^ темы можно переставить так, чтобы вновь полученная

система обладала следующим свойством: для любой фуи

вди ^боб^го, п и любого £->0 можно найти функцию

д -5 ~

L[c,i] такую, что J ijVe [о, 1] , и ое ряд

Фурье по системе «¡^.j J *) ^ сходится почти всюду.

Б 1978 году Ш.В.Хеладзе [13] опубликовал следующую теорему;

Теорема (Ш,ВЛелрдзе). Любую функцию j^-*) из L изменением

на множестве , зависящем от функции , можно превратить

в функцию ; |fix;j .РДД Фурьп шторой по тригокомегрл-

/1

ческой системе сходится к нец почти всюду и в метрике ц

Отметим еще один результат А.В.Гулисашвили рбJ , относящийся к теореме 1.5, доказанной во втором параграфе глави I . Игл показано, что для любой полной в ¿f~[o, 1J ортонормированной системы

0ГРа1тЧРНШХ функции, для любых чис°л О .

и для любой функции Ь(х) 6 ¿До, ij молшо найти функцию *С (К) . та~ кую.что |tcx;(zl л Р™ ФУ-РЬЧ Функции

^(¿^[¿■С*)" ft*-)] п0 системе ^ сходится к ней в метрике ¿f .

Замечание I. Необходимо отметить, что во всех выше сформулированных теоремах "исключительное" множество , на котором происходит изменение функции -^сос) , зависит от функции . Более того, в доказанной теореме I Д.Е.Меньшова, им ко в 1959 г. было установлено, что это "иехшочит^льное" множество -Q. существенно зависит it исправляемой функции (см. [4] ).

Теорема П (Д.З.Меньшов).для любого совершенного множества (¡^ с £o,£STJ положительной м^рн и дая любо!! ого точки плотности >Х0 можно определить Функцию .непрерывную на {0,25»]и об-

едающую следующим свойством: Какова бы ни была измеримая на [0,23?J >граниченная функция ffx) и совпадающая с -j-f*) на G- , ряд >урье по тригонометрической системе от Функции ^ffx) расходит-:я в точке Хо •

Таким образом .выбрать заранее £ . |Е*| и требо-

вать, чтобы непрерывную можно было сохранить на Е к,

изменяя ос только внп , получить ограниченную функцию со всю, а такта равномерно на Ег сходящимся рядом Фурье по тригоппм°тр: ческой системе уже невозможно.

Тем не менее, за?леняя сходимость всюду на почти всюду, Д.Е.Меньшов доказал (см. рЗ )

Теорема Ш. (¿.В.Меньшов). Пусть -^(Л,) -любая суммируемая : íi?,2Jr] функция и Qfe [о,23?3 -любое нигде не плотное множество Тогда можно найти такую сутируемута функцию » 4,10

$ (¡к) -=. (х) на ) и ее ряд Фурье по тригонометрической ci теме сходится почти всюду.

В связи с этим возникают следующие вопросы; Вопрос I. Существует ли измеримое множество Q, сколь у: но малой мчры и перестановка натуральных чисел такие,

что после изм»н°ния значении любой функции класса Cf^jar] на < ряд Фурье по системе вновь полученной Функции схо;

ся бы равномерно на - ^о.ЗУЗ44"^- ^

Вопрос 2. Существует ли измеримое множество Q. сколь уп но малой меры такое, что после изменения значений любой функции класса ¿^ [o,.¿g?J на ^ РОТ по тригонометрической сист'

ВНОВЬ полученной фуНКЦИИ СХОДИЛСЯ бы В метрике Li ?

Оказывается, что поставленные вопроси имеют положительные ответы „А шенно^ворны следующие т«ореш (caí. [25] , |_32] ):

Tooрема I. Члены тригонометрической систегш можно перестаз так, чтобы вновь полученная система А ^ V обладала следуют свойством: для любого £>£) существует измеримое множество EL мерой jЕ ¡ > ДЗГ-такое, для кадцой непрерывной на £ Фу] ции M0JiCH0 найти пункцию ^(-х) 6- совпадающую с

-^■fo) на Е ' такУ°' что ао- РЗД по систеМ^еГ^(ЮХ^

сходится равномерно на £ к ^.(х) •

Теорема 2. Для любого £.>0 существует измеримое множество Ее [о,Й'5ГЗ с |£1>..ЙГ-£- такое, что для каждой функции ^ & ^[и,^] можно найти функцию совпадающую с на и такую, чт"> ряд Фурье по тригоно-

И

метрическои системе СХОДИТСЯ В метрике Ц(о,,.

Болео того, можно следить за ментором и скоростью возрастания частичных сумм ряда <Ьурь° исправленной функции, а также за скоростью убывания оо коэффициентов ^урье (теорема 1.8 ) .

Замечание 2. Отметим, что в отличии от выше сформулированных теорем А.А.Талаляна,Ш.Б,.\еладзе,А.Б.Гулпсаи1В11ли (см.также замечание I) как в теореме Ш Д.З.Моныиова, так и в теоремах,полученных в диссертации (в частности в теоремах 1,2\ "исключительное" множество е » на котором происходит изменение, не зависит от исправляемой функции.

Однако метод, который применил Д.З.Меньшов при доказательстве теорем,I Ш.но позволяет получить исправленную Функцию с рядом Фурье сходящимся в метрике 1} Л!ам удалось построить мнпя°ство О. сколь угодно малой мерц, такое_>что любую функцию из С изменением на множестве -в можно превратить в Функцию, ряд Фурье которой сходится к ней в метрике ¿^ .

Далое естественно ВОЗНИК ВОПрОС: верни ли теоремы I и 2 в классе полных равномерно ограниченных ортодармированшх систем? (Необходимо отметить, что в 1981 году К.С.Казарян доказал, что теорема I Д.3.Меньшова не распространяется на полные равномерно ограниченные ортонормированиие системы, а из одного результата^ доказанного в 1974 году Б.С.Кашшом ^15] следует, что теорема Ш Д.Е.Моньшова но остается справедливой для полных ортонормированних систем).

Теорема (К.С.Кззарян). Для любого 0<'Х<1 существуют пол ная равномерно ограниченная ортоюрмированная система •[ Ч^0*1^ определённых на [o,l] функции и непрерывная функция ^(оО таки ЧТО ДЛЯ произвольно!" интегрируемой функции ~

>o¿ i Р9 ортогональное разложение по системе J^ (хт н° сходится равномерно на jp.lj . А

ТдеРо!ла (Б.С .Катин). Существует полная в 1л [o.lj ортонор рованная система ^ ограниченных функций такая, что из

сходимости почти всюду рада ^Cj^ujсл^дучт ^ бг^ »

В работах j^J и наш было установлено, что ответ на вопрос поставленный выше*, положителен.

Болчо того в § I первой главн доказываются следующие теор

мы:

Теорема 1,1. Члены любой равномерно ограниченной полной в ортонормпрованной системы 4 (*■> ^ » можно перестав так, чтобы вновь полученная система V^v.tf'^f обладала след Щ1ЫЛ свойством: для любого Е > О существует измеримое множество Е с fo,1) с мерой такое,что для каждой непрерывн

ка £ функции j^(oc) мпяно найти функции £ (\х) & ¿{[о, 1J, сов дашу» с па Е , такую,что ее ряд Фурье по системе

i^V !í Н£> Ь равномерно сходится к , а на

bfi [0,l]\e сходится к п°чтк всюду и в метрике zi[o.í> и по

следовательность коэффшдаентов Фурье функции л°жит во все:

г

Теорема 1.2. Члени любой равномерно ограниченной полной : ¡a [°'1J ортонормированной системы \ ^ С к) ^ можно переста так, чтобы вновь полученная система \ ^ обладала следу

щим свойством: для любого 6>о существу"? измеримое множество £ с. [од] с мерой |£ такое, что дуй каэдои (Уункцки

в ¿,'[о,:] можно найти функцию ^ .совпа-

дающую с -С(.х) на Е. гакую^что ряд Фурье по системе и СР ¿о (.

,1 Iе )

сходится к ней почти всюду и в метрике ц[о, ¡^ и £

при всех

^ Теорема 1.3 . Член» люб'>й равномерно ограниченной полной в ь [0Д1 ортонормированииц системы (х^ можно переставить

так, чтобы вновь полученная система ^ °6ладала следую-

щим свойством: дщя любого > О существует измеримое множество ЫЗ с мерой | е | > ь такое,что

I) для каждого р> Д. и для любой ■{^(•М <£ Д Г£ ) можно найти (функцию Д^од") > севпдцакулута с ^-С^ на Е и

такую,что ое ряд Фурьп по системе "( ^ сходится к нпй в

метрике ¿4 ( Е ) ^ т •4 •

-to w\

J] ^a^ifw-H^50

,p

2) для кавдой e/U [од} можно найти функцию

^ (,£) ^¿[0,1] г совпадающую с /^j на iS и такую, что ее ряд

Jypbe по системе (0 "о ц сходится к ней во всех метриках , р I Jtf^to >

Замечание 3. D диссертации доказано (теорема 1.4), что пе-зеставл°нную систему и измеримое множество £ С [о, ij

можно выбрать таким образом, чтобы они удовлетворяли »дновреманно всем требованиям выше сформулированных теор°м.

Во втором параграфе первой главы доказываются теоремы 1.5 i 1.6. г

Теорема I.S. Пусть .-полная в ¿л [о, 1] ортонор-

- ю -

тарованная система ограниченных функций.Тогда существует ряд вида

обладающий следующим свойством: для любого £,>о можно построить измеримое МНОЖЕСТВО Е. С С мерой ¡(=.\>1~ Я такое, что

I. для каздой функции £6 0 ^ (Е.) из ряда (I) можно выделить частичный ряд ^ ССЛ Ш (.>л .который сходится к

о ¿>—'

ВО ВС°Х метриках ¿Г({= V, » Рб[1Д)> и ЯВЛЯПТСЯ рядом Фурье ПО системе некоторой (функции ^ . ^Ск)^

2. для каждого Рб[1,А) идля каждой ¿л ("ь ) мой

но найти функцию ^ (х.) & <4 Гс, совпадающую с па Е ,

ряд Фурье которой по системе ^к^ ^ является частичным рядол

ряда (I) и на множестве & сходится к ) в Метрике // ((= ) » а на множестве сходится к в метрике е) •

В СВЯЗИ С ЭТОЙ теоремой СЛ°Дует ОТМ°ТИТЬ, ЧТО Л.Л.УлЬЯНО!

в работе [171 установил, что если в тригонометрической системе пе-

V |Р

реставить члены, то можно даже построить функцию класса ц при всех ,ДЛЯ КОТОрОП ряд Фурьо В метрике Д не сходится.

Из т°ороМ 1Д и х.5 вытекает следующее ' Следствие I. Существует равномерно ограниченная оргонормированная система , е Г^- обладающая следующим СВОЙСТВОМ,* для любого £>0 МОЖНО построить измеримое МНОЖЕСТВО £ [о, С мерой такое ( ЧТО для каждой функции £ С^Ц (£(*-> & и [С, 13 ) наедется ряд X * ) .который равномерно на 15 (в метрике ) СХОДИТСЯ к £.(<.) и является рядом Фурье.некоторой функции , £ло к«

Здесь необходимо отметить, -что в 1964 году Л.М.Олевскип в ра-¡оте [Изв. АН СССР (сер.мат.) 19с6,т.30,Ш ,38?-432]| доказал,что в :ространствах Сго,1]и ¿^Гс, 1]но существует равномерно ограниченного базиса.

Из теоремы 1.5 вытекает таюхе

Следствие 2.Не существует полная ортонормированная система ограниченных Функций такая, что из сходимости в метрике ¿} ряда ^ следует -[Ск^б: ,т.е. в теореме Каши-1а нельзя заменить СХОДИМОСТЬ П.В. СХОДИМОСТЬЮ в Метрике ¿л

л

Теорема 1.6. Пусть полная в Ц {"0,13 ортонорми-

юванная система ограниченных ¿>ункций:Тогда существует возрастаю-1ая подпоследовательность натуральных чисел 7* 00 свойством:

У1Я любого £ у О существует ИЗМериМОе М1ПК"СТВО ££ С. [о, 1 | С юрой \> 1~Ьтак0'"'> 41,1 Ллл каядой Функции ^ можно

[айти функцию ^ 0*)6 ¿/[еду совпадающую с Е. и такую,

;то

I. Ряд Оурье по систем" ФУНКЦИИ ^ (У,) СХОДИТСЯ

ней в метрике Ц

2Ластичные супа« ряда Фурье функщш по системе

с номерам! ^^ сходятся почти всюду на [рД^-З.песледовательность коэффициентов '¿урье 'Тункции ^СХ ) П0 истеме "^у^*^ лежит ВО всех ^<1/ , •

Замечание 4. Заметим, что эта теорем;) Мп;^еТ бить усиле-Э В следующем смысле: во-первых, В третьем пункте нельзя обеспе-ЯТЬ Сд » поскольку МНОЖЕСТВО Е: .вне которого

зоизводится изменение значения любой функции -{-(X) 6¿.[од] ,фик-гровано,' во-вторых, во -втором пункте вместо Ж ^ дая системы ^^(х,")^ » построенной Б.С.Кашином ¡15^ , нельзя взять К. ; щако, если надлежащим образом изменить порядок членов любой рав-)мерно ограниченной полной в ц у ортонормированиеи систему

(к^ > то •г*ля вновь полу^нной (переставленной) системы ^(^оо^ - это уж° возможно (теорема 1.2) (см.также [41] ).

Добавим, что подпоследовательность ЬЛ (< обладает такие следующим свойством- (см. [35] ) : для любой измеримой функции рС^) , Х<=Го,1.) гложн° найти ряд вида 00 л , с^

1 АЛ X )

частичные суммы которого с номерам! сходятся к поч-

ти всюду на .

В § 3 главы I для тригонометрической системы к системы Уолша доказываются следующие ТаОремц

Сем. рб] ,[34] ). | ).

Теорема 1.7. Для любого положительного числа > О сущест вует измеримое мнокество Е С [о,£5Т] с мерой | Е | > ~ "с-такое, что для любой ¿^[с,^-^ можно найти функцию

3 ^ ^/ОгЛа такую' ЧТ0 $ СХ)- ^СХ) на~ Е, и ее рад

Фурье по тригонометрической системе сходится почти всюду на [р,25Г И В метрике Д^эдИ последовательность коэффициентов Фурье лежит во всех , .

Теорема 1..8. Пусть даны последовательности Я

Тогда ДЛЯ любого существует измеримое множество

Е с[ОпЯЛГ] с м^Р01"1 так0°> что да1 каждой функции

1-е*) 6 ¿1 м0™° иай™ Функцию ¿'со,£5Г}> совпала

щую с на и такую, что

а) ряд Фурье от ^СхЛ по тригонометрической системе схо дится к ней в метрике ¿'¿-сД-^Л

б) ^ ■ ( С, ~ \п - ая частичная сумма ряда Фурь° функции ^ (X) )

В) при К 4 О ^Ак]

В связи с пунктом б) необходимо отметить, что в 1961 году И.Стейн [2^1 установил, что для любой последовательности положительных чисел ° бйки) существует ТЭКЭЯ функция ^Гк; е-, что для почти всах Л имеем для бесконечного числа номеров 1<\ .

В § 3 главы I доказывается, что теорема 1.8 верна и для: системы Уолша (теорема 1.9), гд» со сходимостью в м°тркке ц ряда Фурье исправленной функции об°спечена такжп сходимость почти всюду.

Замечание 5. В связи с пунктом 3 теоремы 1.6 полезно отметить,что в работе (Матом, сб. 1964, т. 63, ,!&3, стр. 356-391 ) П.Л.Ульяновым построен пример интегрируемой функции- последовательность коэффициентов Фурье которой по системе Хаара не только не сходится к нудно, более того »е верхний предел равен.

Во-второй главе диссертации вышерассматриваемые вопросы исследуются и в двумерном случае.

Сразу же отметим, что ряд классических результатов (скажем, такие теоремы, как Л.Карлесона ; ряд Фурье любой функции

[0,5,^-] сходится почти всюду (см. АсЬа. tAa.tR, V 116. 15 ^

М.Рисса ; рад Фурье каждой функции 6 ^ р>1 сходится в метрике // ; 1921 ^

А.Н.Колмогорова ; ряд Фурье каждой функции -^С>0 Z сходится в метрике , ^^ 1 С см. РМ ДЗ-Л&]

невозможно перенести с одномерного случая на двумершй случай.

В этом случае дахе разные (сферические,прямоугольные,квадратные) частичные суммы резко отличаются друг от друга по своим

р

свойствам в таких вопросах, как сходимости в ¿, > « и сходимости дочти всюду (по этому доводу см. обзорные статьи Я.В.Жи-жиашвили [18] I Б.И.Голубова {19} и М.И.Дьяченко [20] ).

Подтверждением сказанного выше служат следующие теоремы.

Теорема (Ч.Фефформан [21] ). Существует непрерывная на Фужция, двойной ряд Фурье которой ло тригонометрической системе по прямоугольникам расходится в каждой внутренней точке [0,25-]^

Теорема (Ч.Фе(М>дрмаН, 1Г22] ).для любого р^ р^д существуем функция ^ «войной ряд Фурье которой по тригонометричес

кой системе по сферам расходится в метрике ¿^ .

Теорема (Р.Д.Гецацзе [23\ Пусть - равномерно ог-

раниченная полная в ортонормированная система.: Тогда

существует (функция ^ (ЬС| 6 Го,^ Двойной ряд Фурье которой по системе по квадратам расходится по мере.

Отметим также, что в работах автора [25~|, ¡[27] установлена

Теорема. Для любого р 6(0,1] существует функция

¿4 [0 сферические частичные суммы двойного тригономет рического ряда Фурье которой удовлетворяют неравенству

Отсюда сразу вытекает, что для любого р ( О, 3 ^ [с 2С^г '1аКаЯ' ЧТ0 ^аЯ подпоследовательность

сферических частичных сумм ее двойного тригономет рического ряда Фурье расходится в метрике // .

В § I главы П доказываются следующие теоремы.

Теорема 2.1. Члены любой равномерно ограниченной полной в ¿^с,,^ ортонормированной системы ^ Ц) (у,-) ^ можно п°реста-

вить так, чтобы вновь полученная система ^ -обла-

дата следующим свойством: для любого £>о существует измеримое множество Е С ° морой |Е1>1- такое, что для каздоц

непрерывной на Е функции ^-С*^) можно найти функцию совпадающую с на Е к такую, что ее двойной, ряд Фурье по системе ^ ^с^**'^ сходится к равномерно на £ , к* к ^ в метрика ¿4(го,г)\^) как по сф°рам>так и по прямоугольникам и последовательность коэффициентов Фурье функции ^ Гх", ^;

К,*-1

Теорема 2.2. Пусть ^^^^ Х<£/о,1] полная в ортонормированная система ограниченных (функций,Тогда найдется ряд

В1ща оо

обладающий следующим свойством: для любого ^ > о можно построить измеримое множество Е С С0*!]"* с мерой )Ег)>1~£_ такое, что цля каждой

■ложно выделить подряд и , (X) ^р ( &") ;

^ л 16г 'Ч

который сходится к во всех метриках //Уе. ^ » ,

<ак по сферам, так и по прямоугольникам, и является радом Фурье по жстяме Ч^Ч})"^ некоторой функции $ Ы1 е 4

Теорема 2,3. Пусть ^ полная в /< ¿То, 7j

ортонормированная система ограниченных функций.Тогда дли любого £ ^ О существует измеримой множество Е c(Qil]¿ с мерой |Е|> 1-такое, что для каждого рб Cl,2) и для кавдой

можно найти функцию совпадающую

с ^ на ^ и такую, что ее дво1'шой ряд Фурье по системе

^ ^f^U) f^í^) сходится к -f- в метрике ¿lP(\£) как по сферам, так и по прямоугольникам.

Следует отметить, что теорема 2.3 и дая тригонометрической системы является новой,поскольку двойной ряд Фурье яо тригонометрической системе функции б р*2.,построенной Фефферманом L22],расходится по сферам в метрике Д^о^]-2-

Во втором параграфе второй главы доказывается Теорема 2.4 .Пусть C[o,¿T] x-f.í. совершенные нигде не плотные множества .Тогда для любой функции ¿f ( ф ) »

ТЧ fof^jr]5" можно определить функцию í* íKi^ é z^'fTj такую, что

FCxi'j) наQ-Q*Q¿,двойной ряд Фурье которой по тригонометрической систем» сходится к ней как по сферам, так и по прямоугольникам почти всюду.

Отметим, что при доказательстве теоремы Ш Д.Е.Меньшов воспользовался неравенством , а ■ fcf

где ^(-ir) -произвольная интегрируемая и вне (c-td) обращающаяся в ноль функция, <Г~ - произвольное положительное число.Следует отметить, что в двумерном случае, когда точка

любая интегрируемая и обращающаяся вне A-fíi^J'-[c1c¿J в ноль

функция, то чаСТИ'ЦШе суммы $ ] функции ^(О*..^) У»^

не оцениваются интегралом ^ ^(^»^¡cUe/^. .Также отметим,что в отличие от доказательства теоремы П, схема доказательства теорем; 2.4 такова:

Функция (д (Л\ > полученная после изм°неш1я знач°ний любой функции (x^ï е 1(Т) тй представляется в

метрике рядом, члена?.® которого являются непересекающиеся двойные тригонометрические полиномы, внутренние кол°бания которых стремятся к нулю почти всюду (см.[32] ).

В § 2 второй главы диссертации получен аналогичный результат и для двойных рядов Фурье-Хаара (теорема 2.5), доказательство которого значительно проще доказательства теоремы 2.4 (см.[2б] ).

§3 главы П посвящен изучению вопроса сходимости ряда Оурье-- Лапласа в пространствах LU, ?&[{,£)

Пусть « ( б, V}} - сферические функции на ( S -единичная сфера на R * ). Напомним, что сферической гармоникой степени п называется сужение на единичную сфору S однородного гармонического многочлена степени п .Более подробно о сферических многочленах см. Стейн,й. .Beiic Г. Введете в гармонический анализ на евклидовых пространствах М.Мир, 1974 .

Пусть £(6),Ч9 <£ ( lï(S) -пространство суммируемых

функций на S Рядом Лапласа (Фурье-Лапласа) функции называется ряд по сферическим функциям ввда

талы) >

где -полиномы Лежандра, У -угол методу радиусами, прове-

денными из центра шаровой поверхности к точкам (S>, и (€>l tp'J, В 1973 году Бонами и Кларк в работе [Ты^ь МлЛп.

Soc.. ШЗ , 183 , ХХЪ-Л62>\

доказали, что для всех р существует функция такая, что ее ряд Фурье-Лапласа не сходится в Ь (. Следовательно, не все функции пространства ¿^(д). рфХ можно представить рядом Лапласа в метрике 1Т(£')

■Естественен вопрос: Пусть 6 -любое положительное число, существует ли измеримое множество £7 с с мерок 1Е1>

такое, что для всякой функции е можно

найти ряд вида , который сходится к -^¿х) в

метрике /Де) ?

Оказывается, что поставленный вопрос при имеет

положительный ответ (см. [42]). Более того, в диссертации (глава II,§ 3) доказывается следующая.

Теорема 2.7. Пусть 6 -любое положительное число.Тогда существует измеримое множество £ С^ с мерой ) ЕЕ | > такое, что для любого ре.и для кавдой функции е Ц({ можно найти функцию ^(х) е ¿а(£) • совпадающую с рСх) на

такую, -что ее ряд Фурье-Лапласа на множестве Е сходится к в метрике ( Е) , а на множестве \ Е сходатся к ^ в метрике ( & \ '

Литература

1. Лузин H.H. "К основной теореме интегрального исчисления^ Матем.сб-1912,т.28,Р2,с.266-294.

2. Меньшов Д.З. "О равномерной сходимости рядов Фурье".Матем. сб.II (53),1942,с.67-96.

3. Меньшов Д.Е. "О рядах Фурье от суммируемых функций:" Тр.Моск. матем.о бщ-ва,1952, т.I,с.5-38.

4. Деныпов Д.Е. "О рядах Фурье непрерывных функций".Уч.записки "Математика",1951,148,т.1У,с.108-132.

5. Талалян A.A. "О зависимости сходимости ортогональных радов от из1ялклш\я значений разлагаемой функции.Матом.заметки,IS83, А'б.т.ЗЗ. )ti$-%XX.

6. Осколков К.И. "Равномерный модуль непрерывности сутя.ируег.щх функций на множествах полоштельной м°ры". ДАН СССР - 1976., т.228,£2,с.304-306.

7. Арутюнян Ф.Г. О рядах по системе Хаара.ДАН Арм.ССР,1966,т.42, Ш, с .134-140.

8. Кашин B.C. Дошелева Г.Г. "Об одном подхода к теоремам об исправлении".Вестник МГУ, Сер. мат.мех. 1988,М,с.6-8.

9. Церетели О.Д. "О сходимости почти всюду рядов Фурье".Сообщ. АН Груз.ССР,57,1970,с.21-24.

S»4 I$JU ¿л MäA. I4is, v. 15. p. 131 -136.

11. Котляр Б.Д. Ряда Уолша и теорема Меньшова об "исправлении" функций.Изв.АН СССР,Сер.мат.,т.30,ßö, 1966.

12. Осипов Р.И. "О сходимости рядов по системе Уолша.Кзв.АН Арм. ССР (сор.мат.) 1966,т.1,М,с.270-283.

13. Хеладзе Ш.В. "Сходимость рядов Фурье почти всюду и в смысле метрике ".Мат.сб.1978,107,152,245-258

14.Казарян К.С."О некоторых вопросах теории ортогональных рядов" Матем.сб.I9B2,т.119,№,278-298.

15.Кашин B.C. "Об одной полной ортоноршреванной системы ".матем. сб.1976,т.99,с.356-365.

16.1Улпсашвили A.B. "Перостановки.растановки знаков и сходимость

последовательностей операторов".Зап.научн.семинаров ЛОМИ,1982, т.107,45-59

17.Ульянов П.Л. "О рядах по переставленной тригонометрической

системе ИАН,1958 Д4,22,515-542.

18. Жижиашвили Л.В. "0 некоторых вопросах из теории простых и кратных тригонометрических и ортогональных рядов "ЖНД973, т.28,вып.2,65-119.

19. Голубев Б.И. "Кратные ряда и интегралы Фурье.В сб.Итоги науки и техники,сер.мат.анализ,т.19,М.ВИНИТИ,1982,с.3-54.

20. Дьяченко М.И. "Некоторые проблемы теории кратных тригонометрических рядов.УМН,т.47,нвп.5 (287),1992, с.97-162.

21. ре^-еътв* С. ,0« 1ки, ¿¿¿алдеъ&ь с/ глоЛЬСрЬ- РцоМел, ■■

МиМх. ¿ое-. 191-№

22. р^а*.^ С. „ТАв. ншАЫрйи Дл, ¿М-

23.Гецадзе Р.Д. "0 расходимости по м^ре общих кратных ортогонал^

кых рядов Фурье" ДАН СССР, 1989,т.306,Ж

24. С^и Е м- •■ О ОУиЬа^« ел^о^ьМ «Ак^^ ¿и Г'^ши.

25.Григорян м,г,"0 сходимости в метрике С сферических частичные сумм кратных рядов Фурье суммируемых функций" .ДАН Арм.ССР, т.'73,>52,1981, с. 87-90.

26.Григорян М.Г. "0 сходимости почти всюду двойных рядов Фурье--Хаара суммируемых функций".ДАН АН Арм.ССР,т.75,№1,1982,3-8.

27.Григорян М.Г. "0 сходашости в метрике I? , р< 1 сферических частичных сумм двойных рядов Фурье."Матем.заметки,33,м,(198с с.517-528.

28.Григорян М.Г. "0 сходимости рядов Фурье-Уолша суммируемых функций".Изв.АН Арм.ССР,Сер.мат.,т.18,1983,с.291-304.

29.Григорян М.Г.- "0 сходимости двойных рядов Фурье суммируемых функций.Тезисы докладов всесоюзной школы по теории функций 1983,Кемерово,ст.36.

30.Григорян М.Г. "0 сходимости подпоследовательностей сферичесю частичных суш двойных рядов Фурье по полным ортонормированнь системам.Изв.вузов."Математика",1983,Ерован, <?о-до.

31.Григорян М.Г.Представление измеримых простыми и кратными рядг ми по многочленам Лежандра.Ученые записки,ЩД988. 143-IV?

32. „Он Мъ-

АнаХуВ^ ШьГ, 11 Хо 1-216.

33.Григорян М.Г. "О сходимости рядов Лапласа и Фурье".ДАН СССР, 1990,т.315, J82,с.265-266.

34.Григорян М.Г. "О сходимости рядов Фурье-Уолша в метрике L и почти всюду".Изв.вузов,математика, 1990,MI,с.9-16.

35.Григорян М.Г. О сходимости в метрике ¿f и почти всюду рядов Фурье по полным оргонормированным системам.Матем..сборник, 1990,181 ,),г'8, с. ЮИ-ЮЗО.

36.Григорян М.Г. "О сходимости радов Фурье-Лежандра суммируемых функций".Изв.АН Ары.ССР,сер."Математика",199017-35

37. М-Сг - Оn ofi Fowet ZejueA ¿.'К U* rtu^i«. 4 ¿*n i^V« JMdUr^M^ . 1991, if.b.iU- ЛЭ} •

38 C^^-M-Gr- a ^-«v^a 4 Po^uet ^че* с VU * ¿t m^U cLJ*- s^ccw.

^ r tgiiiii . ifgL, p LS-6.

39.Григорян М.Г. "О сходимости в метрике ¿^ и почти всюду рядов Фурье и о коэффициентах Фурье суммируемых функций".Изв.АН Арм .ССР, (сер.мат.), 1991, т.26,)Ь2, с. 18-35.

40.Григорян М.Г. "О некоторых свойствах ортогональных систем". Изв.ВУЗов "Математика",1992 .Ш,88-90.

41.Григорян М.Г."Сходимость почти всюду рядов Фурье по полным ортонормированным системам" ,Матем.заметки,1992,т.51,!£>,с.35--43.

/ Р

42.Григорян М.Г. "Сходимость рядов Фурье-Лапласа в метрике и . Изв.ВУЗов "Математика", 1992,J52,17-23. .

43.Григорян М.Г. "О некоторых свойствах ортогональных систем. Изв.Российская АН."сер.матем.",1993,т.57,$5,с.75-105.

44. (tu^C'HÜ« M. Gr. ,, Qy> cjoKV-ebgtyyaz. i и co~fWe- sys_£tot<zJtoUn^s. <4 ¿he- Ъ^с^л*--

RoЫа. (USA), P-

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие результаты:

Члены любой равномерно ограниченной полной в ¿"Vc.ij ор-тоноршрованной системы переставлены так, чтобы вновь

полученная система обладала следующим свойством:

ддя любого существует измеримое множество (2 е- Го,11

с мерой 1Е\> такое,что

I .для каждой непрерывной на Е Функции % сх) можно найти функцию $ (х.) 6 /ir°'3J . совпадающую с на Е такую, чч ее ряд Фурье по системе •[ Ч'еч*)-*^ равномерно на £ сходна ся к ^(зч) , а на множестве [о,1}\Е. сходится к почти

всюду и в метрике U , и последовательность коэффициентов Фурь^ функции fj (X.) лежит во всех , f > i .

2.для каждой функции можно найти функцию С to, 12 > совпадающую с на Е , такую, что ее рщ Фурье по системе "W^i^**^ сходится к ней почти всюду и в метрике ¿tfo.1T • _ ----0 ,(> Л

З.для каждого и для лзобок ¿«.¿существует

- на Е и такую, что ее ряд Фурье по системе { схо~

дится к ней в метрике

Для любой полной в /,Аг<>.1) ортонормированной системы 4Ч7^огРанич;°ншх функций и для кавдой £>о построен ряд видаСХ^) С1К <fKciy с ^ оо , для всех % > А, ,

и измеримое множество В с. fo, ij с мерой IЕ I > i - , которые обладают следующими свойствами: , _

4.для каждого pe.fi,Я) и доя каждой -P-Cxj&d (Е) монно найти функцию 6-¿Го,у J совпадающую с fax) на

£ , ряд Фурье которой по системе ^„(ю^ является частичнш рядом ряда (I) и на множестве Е сходится к -f-бс) в метрике

, а на множестве РМ]\Е: сходится к в метри

£ ¿Г0,1]\е>. п л \9

5. V К*)^^) из ряда (I) можно выделить части ный ряд, который сходится к во всех метриках Ъ (EzJ ■>

I6f><i и являет ся^ рядом Фурье по системе 4 fni*)^1 нек торой функции £ fx) €¿/0,1 J ; %(*)- на Е .

6.Для тригонометрической системы и системы Уолша,исправлен функция ^ (X) построена так, чтобы ее ряд Фурье сходился как в метрике 1ф,(},так и почти всюду.

7.Доказан "дпутлоршгП" аналог выше сформулированных результатов. ,Р

8.Полнен результат о сходимости )) метрике ц } 1 * г* и

рядов Фурье-Лапласа.

и 1Г О П О (11'. !Г

11т и'и1ч[|'пип I. Л I. lí ^ ин ¡|чишр и'.^ шф ин 1 игш'||Н!|)<ш1[ "1111 'Ы{ ^¡ии'иЬр ¡1 3

ршг^рндшй 1] -им!" [_¡1!IЧ 0[1;)п'||пр1Ги^ 0|иикш-

дш!) ^ ццГш^шрсф ш'1н^и«Г'и(1р¡1 тЦцт-'П^нииЛ и'и ш/и^Ьи, ир Ъпр и'пн1гц.[ш&

^Г 1 ииГ1'.[1[1!'р([¡1 11 ш^ц 1 "ишГшр Цшап 1.гр|шЬ ¿ш^Ь-

1.11 ршфГни^пс'ир, мр11 1; 1 ~ £, - ¡13

' Ъ '^»'¡''««'[Ьи тр|[ш(| гри'Ын'кц;!^ цр иЛц'/П р|н[ I;/, 0|1сп|шЬ 1Ьт!1-

^инп^пцр _)П 1.'(ГиЬрт} • /ширип»11-:'!'|ш^ Ь'и ^ЫИ^ш^ [3 Ьпр1иП|1|рр/.*

1. £ -¡1 |}рш ш'ир'иц'! Ш1Л 11 I! '>'п ^ ^Ш^Шр

_шр Ь|_I; ^«¡'ии^ [о, 1] -лиГ И*ии1 !«тц Ь|_ ¡1, £ -[1 [[рш ~Ь ^ 1лл

Ш1Гр'и1['1)Щ| ш/Ц'фи]! ^(СХ) ''¡'пь'Ш^ии, пр|| ;!)тр)11ф 2шР2С Сшп 4

с^п мцшГ^тН. Т^-О -¡>'1' ЕЕ. '¡рш 1 ин[шишрш^:и|[), ^ [О, 1} -[1 Црш 1ш|Гшр^ «иП/Ьтр Ьр ¡1 '""Р 1''|111 -1т1

I% , у%>а ,

» ПР и1.1и ¡1 Ь11 р 1лГ(1 Ъпр I» 'иий Ьпш'1|1[ ш|]шЛ(1'Л( ¡1 Лыц^! ииХшЦшрг) Ьр[\ ^ЬщрпиГ?

2. Зпцишми'и^ 4-(.-£) /ц^О,^-!1 ^»мГсир 1{шрЬ[^> £ цш'ии^

; $Сх> -=.-£(><) ; Хб/г , пр[)

1т1з|1 1 шр р р ршл ^СЧк? ^ шиГ'и^ырс^ (|П1.цичГ|ш|[1 ||р1(Ъ '¡илГшр^

(Ги'ищрЬр к ^^ —»Г 1л*г|I-1 «и^«:

3. Ош'иЦщ.рий Р> -!1 ^ ртир ё- ¿, "ст'иЦд))-

'Цц|1и[)\|, пр ^ (с<) -[> Л1п1р||Ь[1 2и'Р2С 0иш 4 ^ 11иГ|и1[и1рг{[1

п крщ/^иф ¿^ ( Дляр^и^ ш[ *. ^

- 24ц

i¡iiul¿ 3>пцЪ1{д[1ш'йЬр[1д рш^ЦшдшЬ [о,1] -niiT ¡_pji4 "pPn^npiJuii. диЛЦш-дшЬ • •luuTuitiuipq ti & ~П дш^шд^Ь г^рш^ш^и p¡it{ t > í bulk jiu|_ ituuiljnc.-PjnLl)^bpnt[ orfmt{uib.' -s iP

4. ЭшЪ^шдшЬ -Ь Ii jntpwemli^ jnLp 4- C&-) é" м [ 0,1]

3nLUl3t.wj¡i Wuip liiuphj.li t qmljbj, ^ (*) é 4 fo, íj ~

шдЪи^ифЪ, пр ^Сх) -Ь î>ni.p[ib(i 2ШРРС Gum íiuiTuil{Ujpq|i

îuAiqfiuiuliui (i") -Ь ЬЪ[Эи»2шРВ ^ qntqwiTJiin|i (&) -фЪ £ -¡i ijpw ¿feE) tfbuipt.liiii.iml fotl] -h ilpui ^fQ.lJ tfbmph-

Л ¡P

5. 3nLpwBuli¿ jntp íffcj XZ^t i<.pi%) ФпиЪЦд^ш íuiifiup t|ui-

pbL|i t qurtjbi. JCaO€¿Vo,n ) ~

^¡ифЪ, np ~¡i ^fiLptib^ 2Ш[1ВС QrJ) -¡i h^jJu^uipg к

qn iqiuiTtiin|i y-Oi") ""b^1 PnL"D ¿J* CEO ' '1 é P iTbuip jiljui'übpnil d^iui-

d-wiXw\iiulj.:

6. t¡aui\il¿jn^и^шфшЦиЛ/ L Пln¡_211 íuiiruiljuipqbpti qb^gnuT ^ (ЪО ,,фп1и1[шЬ,, ФпL"uljg|iuj\j цЪшр^шЬ t uij'u^bu, tip ^ Ç^,") -ф З'пир^Ь 2ШР~ QQ qniquiiftiuiji ¿a iTbuiptü{uijml, uijU^bu ti. 'íutf'upjiu uiiTbbni.-pbö -,

7. ДшсГш'ииГш'Ъ uipqj n Ll^'ubp utnui3t[ui& Ь"и Ъшк ЬрЦ^шф г^ЬищпuiT.

8. t lUpqjnL^g Lpji Ь-1,шиц_Ш1ф 2шРВ'1г[1 iif^-Я, и tiinp[il[üijnij qn Lqujtr[iinni[3 juiti t{ Ьршр hp j iuj_ •

■Чшш^Ьр 43 Su{uiguiliuil{ 50

Ъркш'Щ! щЬшш^иД» íuiiluq ишршЪ^ , ,lVnuiiiiinp¡ili\n, ( uipuiujripiuJuiui tipkiub, U¡..ЦшЬпlin, 1: