Сходимость случайных рядов в нормах просторов Орлича тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

КШВСЬКИЙ УН1ВЕРСИТЕТ

_iM.Tapaca Шевченка__

РГ6 ОД на правах рукопису

3

ТРИ ГУБ СВ1ТЛАНА ГРИГОР1ВНА

ЗБШШСТЬ ВИПАДКОВИХ РЯД1В У НОРМАХ ПРОСТОР1В ОРЛ1ЧА

01.01.05 - TeopiH ймовфностей та математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ дисертацм на здобуття вченого ступени кандидата <{нзико-математичних наук

i

KHÏB - 1994

Дисертащя е рукопис.

Роботу виконано на кафедр!- теорм ймовфностей та математично! статистики механжо-математнчного факультету Кшвського ушверситету ¡и.Тараса Шевченка.

Науковнй кершник - доктор фЬико-математичних наук, професор Ю.В.Козаченко,

Офщшш опоненти - доктор техшчних наук,

професор Ю.Д.Попов; кандидат ф!зико-математнчних наук, ЬМ.Зелепугжа.

Провщна установа: шститут шбернетнки АН УкраТни.

Захист в^будеться 1994 року о

_ год. на заа'данш спе1пал1зовано1 ради К 01.01.14 у

Кшвському ушверситет! ¡м.Тараса Шевченка за адресою:

252127 м.Кжв, просп. акад. Глушкова, 6, механшо-математичний факультет.

3 дисертащею можна ознайомитнся у б1бл!отещ Кшвського ушверситету ¡м.Тараса • Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат роз^лано

1 Т^Р 1994 р.

Вчений секретар спещалЬованоГ ради

Курченко О.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ.

Актуяльшсть_темн. Вивчення збшносп стохлетичних рядш у p¡3HHX функцтнальних просторах е актуальним напрямом розвитку теорп внпадковнх процеа'в. Основи цього иппряму сучасноУ Teopií випадковнх процеЫв булн створет у роботах Р.Пел!, А.Зигмунда, II.Biiiepa. Серед роб|'т, присвячепих ц|>ому напряму, яеобх ¡дно bUmíthth роботи М .11 Лдрспка, Ю.В.Козаченка,В.В.Булдигта,М.Талаграна. }'¡3mí властнвосп випадковнх рядЬ Фур'е дослщжувались у роботах Кахана Ж., Джейка П., Маркуса М., а також у po6or¡ lio К. та Hicio М

У 60-TÍ роки у роботах Булдигша В.В. булл створена загальна теорт зб!жносп з ¡мовфт'стю однинця внпадковнх ряд|'в з незалежними елементамн 3¡ значениями у тополоп'чних просторах.

У 70-tí роки у роботах В.В.Булдигша, Ю.В.Козаченка вивчалась зб1жшсть за имовфшстю у p¡3Hnx функщональних просторах внпадковнх ряд1в ¡з залежними членами.

При розв'язашм багатьох задач Teopií внпадковнх npouecÍB з'являеться необхщшсть знайти швидккть зб1жност1 випадковнх ряд1В у р1зних нормах. Лле, незважаючи на велику юльккть po6¡t, прнсвячених внпадковим рядам, особлива увага прид|'лялась умовам та оцшкам швидкост1 збикност)' таких рял!п у piBHOMipHiñ метрнцк Шзжше з'явились роботи Ю.В.Козаченка, ЬМ.ЗелелупиоТ та B.II.Рязанцево!, в яких досл|'джувалнсь умови зб!жност1 випадковнх ряд1в у нормах деяких npocTopiB Орл1ча. У роботах Ю.В.Козаченка, ЬМ.ЗелепупноТ, В.II.Рязанцево! вивчалнея умови зб1жност1 та оцшки uíbhakoctí 36¡«hoct¡ гауссових випадковнх ряд1в у нормах деяких простор1в Орлта, а також оцшки точносп побудовн моделей випадковнх пол1в у просторах Lp.

Дисертащ'йна робота присвячена вивченню умов зб!жносл внпадковнх ряд1в, як\ належать до експонешипльних простор'^ Орлна, у нормах npocTopiB Орлша. У робот! було розглянуто б|'льш широкий клас иросторш Орлша, !нж у попередшх роботах, та у б1льшост1 внплдшв покращеш вже bíaomí оцшки. Kp¡m того, при б|льш обмежуючнх умовах одержан! 61'льш точш оцпжи швидкост! зб1жност1 внпадковнх рядш у просторах Орл1ча.

Мета _ робопк Мета дисертацн полягае у внвченш умов зб1жност1 та оцжок швндкосп зб1жност1 внпадкових рядш, як! належать до експоненшальних просторш Орл1ча, у просторах Орл1ча, та у застосуванш одержаних результате при розв'изанш задач математичноУ фЬики з внпадковими початкоинмн умовами та при побудов1 моделей випадкових процеав, ЯК1 належать до простор|'в Орл1ча.

Методика ДОСЛШЖеиь, яка викорнстана у роботу базуеться на методах теори внпадкових процеав та теори простор1в Орл1ча.

Наукова новизна. В дисертацм «¡стяться таж нов! результати:

• одержаш умов» зб1жност1 га оцшки швидкосп зб1жносп строго субгауссових внпадкових рядш у норьп простору Ьр\

• знайдеш" умови збшносл та оцшки швидкост1 збшносг! випадкових ряд!в, як! належать до експоненщальних просторш Орлна.у нормах просторш Орл1ча;

• одержан! умови, за якнмн узагальнений розв'язок задач! математичноУ ф|зики з внпадковими початковими умовами належить до простору Соболева;

• побудоваш модел1 випадкових процес'ш, що в1дтворюють задан*! з псиною тошнстю у нормах просторш Орл1ча.

Практ11ЧНал„Т£Ор«111.ЧНа^Ш11Н1£Г111Загалом результати дисертацн носять теоретичний характер I можуть бути застосоваж у р!зних розд1лах теори внпадкових процеЫв, наприклад, при дослиженш розпод1лу числа внходш внпадкових процесш за ф|'ксований ршень, при д'осл|'дженш диференщ'альних ршнянь у частннннх похшшх з внпадковими крайовимн умовами, при побудош моделей випадкових процеав.

Апробашя робот». Результати дисертащ'У допов|'дались на конференцп молодих вченнх КнУвського утверситету ¡м.Т.Г.Шевченка (КиУв,1990), на друпй Донецькш конференцп (Донецьк, 1990),на науково-техшчнж конференцп пам'ят1 академика М.П.Кравчука (КиУвськнй пол1техжчний ¡нстнтут, 1992).

nyÖJHKauiL Ochobhi результата дисертаци опубл1коваш у роботах [1-5].

Структура_тя_^бсяг__дис£рташи 'Дисертащя складаеться 3! вступу, грьох розд|'л1в, що м|'сгять загалом 8 параграфж, та перел|'ку л1тератури, який налтуе 56 найменувань.Обсяг роботи 118 cTopinoK машинописного тексту.

ЗМ1СТ РОБОТИ.

У встугп обгрунтовуеться актуальшсть теми дисертаци, даеться огляд найб1льш близьких до ще'1 теми результата та коротко викладено злпст дисертаци.

Першнй роздш прнсвячений вивченню зб1жност1 строго субгауссовнх випадкових ряд1в у норм! простору Ьр.

В §1 наведеш необх1дш в!домост1* про прост|'р 1

просл'р строго субгауссовнх випадкових величин.

Означения Тг3. Будвмо говорити, що простхр строго субгауссових випадкових величин - це сукупшсть випадкових

величин { £(&))}, для кожно/ з яких М^=0 та для уЫх А Е И виконуеться нер/'в/исть

Мехр{Д£} < ехр

Ä2Mf

2

Ощачеипя-ЛА^ Випадковий вектор назвемо

строго субгауссовим, якщо М£=0 / для будь-якого и бЯ" виконуеться нер1вн1сть

Мехр{(17,Ь}*е>ф{1(ЯМ)},

де В -ковар\ацшпа матриця вектора

У цьому випадку ЫоЫ кажутъ,що компоненты вектора <^-сум1сно строго субгауссов! випадков/ величипи.

Випадкове поле eR" назвемо

строго субгауссовим (cyMicno строго субгауссовим), якщо для будь-якого набору eR",iJ>l, вектор

)>•••>е строго субгауссовим.

У §2 знайдена оцшка розпод!лу норми строго субгауссових випадкових процеав у npocropi Lp.

Ознашшя 2.1. Нехай c{t'), de /' = (/ь...,/„,) е е[0,оо)'" - неперервна функщя така, що |с(Г')| < 1 /

jc{t')dt'< 1.

[0,*>Г

Будемо говорити, що така функц1Я c{î'\ï' б[0,оо)П задовольняе yMoei Z.

I

Позначимо Q = [0,Т]""' X [0,оо)"'.

. Теорема 2.1.Нехай - строго субгауссове випадкове

поле, M #0 = 0 / а2 = supM (/) ,( &Q. Нехай функщя

t

c{t'), ï' El [О, оо)"' задовольняе yMoei Z.

Todi випадкове поле c(i ') з iMoeipnicmw 1 належить до простору Lp (Q) / eipiia нер ienicm ь

р{|М >*}^2ехр-

-л2 > + ехр{р}ехр- -*2

2[п-т) 2 (п-т)

.2 Т р о2. [г Р о2}

Але треба в1дм1тити, що, накладаючи б1льш сильш обмеження, можна отримати бнльш точш оцжки для розпод1лу

норми. Це було зроблено у §3, де були знайдеш умовн зб!жност1 та ощ'нки швидкост1 зб!жност|" за Гшовфж'стю у норм! простору Lp строго субгауссових випадкових рядт вигляду

J

00

s{t)=c{t)^k<Pk(t) (о,

к=1

де ¿j^ -сумкно строго субгауссов|' випадков! величини, (Рк (Г), к = 1,оо -посл|'довшсгь функщ'й з простору Lp, а

функшя c{tr), t' е[0,оо) задовольняе yMoei Z.

Означения 3.1. Будемо говорити,що nocnidoenicmb функцш {fkiJ)J eQ,Jc = 1,оо} належитъ до класу D, якщо

icnye така посмдовтстъ {сп,П> 1}, 0<Сп <Сп+\, що для

будь-якоТ числовой поел ¡до ей о cmi = l,0^} виконуеться

uepienicmb

п tvMO (2)

/г —1 Р k=1 2

00

Нехай S£(t) = с(Р)^4к(рк(Г).

к-т

Теорема_3.1■ Нехай icnye монотонно неспадна

посл/довт'сть а = {ак,к > > ~> ~> 00, для

яке/ виконуеться умова

k к _ / , , \

<оо

оо К К ill

к-т i=mj=m Q . \ак ак+\ J

Todi ряд (1) зб/'гаеться за ймов}рн'1стю у uopMt простору Lp(Q), субгауссове випадкове роле S(f) належить до

простору Ьр{0), / при 2>Ае виконуеться

пср^внкть

11 > I 72<Г1(<и*))

А- к

\2

Сд. - коефщенти з нер1вност1 Бертитейна (2).

Якщо випадкое/ величини ^ незалежн1, то ряд (1) збмаеться з ¡мов^ртстю 1 у норм/ простору Ьр{(2).

Розд|'л другий присвячений внвченню зб'1ЖНост1 випадкових ряд1в, яю належать до простору Орл|'ча, у нормах простор1в Орл1'ча. В §4 наведен! необх!дн|" в]'домост! про простф Орл^ча.

Означення 4.1. N-функцию Орл1ча називасться пепере^впа парна опукла фупкщя

така що

и(дг) > 0 при X ф 0,и(0) = 0 /

Нт и(^)*"1 = 00, = 0.

д-->0

ДГ->00

Означення 4.7. Будемо говорити, що Ьц{0.) - це породжений деякою N-функцию Орл1ча \]{х) прост ¡р Орл'ма випадкових величин ^ таких, що для деяко/ константи Ц> 0:

ми

<00.

СЬнахенняАЛ^ Будемо говорити, що Ьц{0) ', дс (2 = [0,Т] - це породжеиий деякою N-функцию Орл{ча И(д:) проспир ОрлЫа вилмрних фуикцш х(()у1 таких, що для деяко! константи Гх : Ju(.x(f)/ гх)& <0°-

б

Нехай - стандартний ймовфностнии простф;

г/(дг) = ехр{^»(х)} — 1 -деяка Л^-функщя Орл1ча; Ху(О) простф Орл1ча випадкових величин, що породжуеться Ы-функт'ею и(х); Ьц(О) - функцюнальний прослр Орл1ча, що

породжуеться функцию м(х).

Розглядаеться внпадковий ряд вигляду:

оо

вд=£&/*(*) о)

А=1

де ^ - випадков1 величинн з простору Орл^ча, = - посл1'довн|'сть функцж 3

Дал1' вивчаються два випадки:

О <р(х) е функт'ею Орл1ча, 2) (р^Х) не е функщеЮ Орл1ча.

У §5 знайдеж оцшки швндкост! зб!жност1 випадкових ряд1в (3) у норм! простору випадку, коли е

функцию Орл1ча.

У простор!- розглянемо норму Люксембурга:

= М-

Г С Л

г>0:Мехр^

<2\ (4)

У простор!* Ьи((У) розглянемо норму

Позначимо

Т г > 0: [ ехр- <р <2 (б)

3 0 1 Г )

т!=<к/).

Означения 5.1. Будем о говоримы, що посл1довш'сть функцш £ О,к = з Ьи (О) належишь до класу

В{и У), якщо ¡снуе така посл1'дови1сть {с/п,И> 1}, О < с1п < ¿/„+1, «(о ¿ля будь-я к о! число во! посл1довноспп

виконуеться нергвшетъ

¿=1

и

(6)

Нехай - вкпадковнй процес з простору Орл!ча,

який може бути зображенийй у вигляд1 ряду (3). Нехай п 00

/да,о - С(О =

Нехай И И - перетворення Юнга-Фенхеля функцп

и{у) 1 позначимо й(у) = 1п2 / г(Г/ у).

Теорема 5./. Нехай Е<2 - випадковий процес,

який може бути зображений у вигляд'1 ряду (3). Нехай Ьи{0)-прост1р ОрлЫа випадкових величин, що нороджуеться

N-функцию и(х) = ехр{<р(х)} — 1, Ьи(0) - функцюналъний проатр Орл1ча. Нехай Щ (-*) - N -функция ОрлЫа така, що и(х) тдпорядкована функцп ^ (■*)- Якщо /снуе N -функция (щ{х)~и2(х)),\така, що функцп И[(л/х) /

опук/ti, дс функщя (р(х} задовольняе умов!

(р{ху)<г{х)(р{у),

дс г(,х) - деяка монотонно исспадна опукла функция, icnyc монотонно исспадна посл1'довш'сть О = [il/c,k > 1}, > 0, О к —> со,к —> оо, для якоТ виконуеться умова:

1

1 Ï

<00,

.ak ak+lJ

дс = SUJ)||/<?,*(i7,/)j|, fk(t),k = 1,00,/ eG> - nocjiidoenicmb

функцш з простору ОрлЫа, яка належать до класу В(?/,//|),

a dk - коеф1Ц1снти з nepienocmi Бершитейна (6), а також для будь-якого J' gR функц/я е N -функщао ОрлЫа,

то ряд (3) зб/'гасться за iiMoeip/iicmio у норм/ простору LU (Q), випадковий процес R(t) з iMoeipiiicmio 1 належить

до 4 {Q), / при

z > шах

Т2>|

k = m

1 1

r(-i)f2cln2^

U + 2cJ

,Р

к=т

1 1

\ак °k + \J)

виконуеться нерштсть:

СО

---—

<

^ 2с - ^в2«(г)й*(/7(-1}(г))ехр{-м(г)}.

(

да р(х) - непсрервна справа та монотонно неспадна функция, яка визначаеться виразом:

ы

и{у) = \р{и)с1и, о

а С, Си - дсяк! константы.

Якщо випадков'1 величины незалеж/и, то ряд (3)

зб'иаеться з ¡мов\ршстю 1 у норм/ простору (О).

У §6 дослижуеться швидккть з61жносп' внпадковнх рядш, як)' належать до простор|'в Орлша, у норм!" простору

у випадку, коли (р{х) не е функцкю ОрлЬа.

Нехай = ехр{^з(д:)} — 1 -ТУ-функщя Орл1ча, де

^?>(л") при ¡Л"| > Д^о >0 - монотонно неспадна угнута функцж. У простор!

Л, (Я) розглянемо норму Люксембурга, яка визначаеться формулою (4). Позначимо Ст(/) = ||<^(/)|.

Нехай • функт'ональннй прост1р Орл!ча з

нормою, яка еквшалентна норм! (5):

dt

- j ехр{<р(г& j)}dM Г Q

(7)

де du - —

T

Так як норма (7) екв|'валентна норм! (5), то будемо вважати, то послиовшсть функцж {/¿(0^ е= Ь00} 3

простору 1Хи){0) належнть до класу В (м,i/j), тобто косфниснги з iiepiBiiocTi Бернштейна для цнх функцш

йп—С 'с1п, де - коефщкнтн з нервное™ Бернштенна (6), *

а С - деяка константа. »

Теорема 6.1. Нехай - випадковий процсс,

який може бути зображепий у вигляд/ ряду (3). Нехай Ьи{0.) - прост\р Орл'та випадкових величин, який

породжуеться N-функцию и(х) = ехр{^(д:)} - 1, „)(£?) -

функцииальний проспир ОрлЫа. Нехай - N-функция

така, що т'дпорядковаиа до фуикци и^х) • Якшр /снуе

N-функ¡Vя 1/1 (.Г) (и^х) ~ и2(х)) така, що фуикци Л\(у/х) та

ОД = "Н)(><1(*)) = р{-1Щщ(х) +1))

опукл/, функция (р(х) задовольняе умов!':

<р{ху)>^х)<р{у),

де у/(х) - деяка монотонно песпадна угиута функция, /сиус монотонно песпадна посл1довн'1сть а = {¿7^.,/г > I}, О^ > 0, ак —> оо,/г —> оо, для яке! виконуеться умова:

1 1 1

<00,

\ак ак+1/

= //¡О),( <=(2,к = I,00 " "осл1'довт'сть

неперервних фуикцш з ^¡^(О), яка належишь до класу В'{и,щ), а сГк - коеф'щ\енти з пер'1вност\ Бершитейна, то для будь-якоI посл1довноспи' {сд. > 1}, С'д. > 0 для якоТ

оо

виконуеться умова збиаеться за

к=

I

ч

üuoiiipnicniio у норм! простору ^(Q), випадковий процес

R(() з iMoeipuicntK) 1 наложить до простору ~j{Q) та aipna iwpiaiiicmb:

oo /

CO

k -m

1

1

Kak ak+

<

А(сА.)ехр{-<КФ}>

de S= illf

k> l

Ckk

f 1

л •

<p

2k y/~l\k)

Якщо - нсзалежн1 eutiadnoei величины, то ряд (3)

зб1'гаеться з ivoeipiiicmw 1 у норм/ простору LU {Q).

Розди III присвячений внкорнстанню одержаних результат^ для обгрунтування застосовносп методу Фур'е до розв'язання крайових задач з внпадковнми початковими умовами, та для моделювання випадкових процеав.що витворюють задаш з певною точшетю у нормах просторш Орл1ча.

§7 присвячений обгрунтуванню засгосовност] методу Фур'е до розв'язання крайових задач математичноУ ф|*знки з внпадковнми початковими умовами, а також знаходженню умов, за якимн узагальнений розв'язок m'ei' задач1 належнть до п()остору Соболева. Розглядаеться крайова задача для однорукого гшерболшного ршняння з внпадковнми початковими умовами:

р / ^ \ ßl -\p(x)~ii{xj)yq{x)ii{xj)-f(x)—u(x,t) = Q{s)

0)<х< ж, t >0,

и(0, Особом—м(0,/)зта = 0, (9)

д1

«(я-,/) СОБ/?+—(ю) де 0йа,/3<2л:, со5йГ8И1а<0, соя^п^^О; р(х),

-р(х), (]{х) ! р(х) - неперервн! функцп на [0,7г], прнчому

с1х

р{х)> 0, р(х)> 0, д(х)>0, а випадков! процесн ¿¡(х) I

Т^х) е строго субгауссовнмн. Кореляцшш функцп .цих процеав

В(х,у) = М#х)£(у) I Я(х,у) = М гЦх)

вважаються неперервнимн в облает! О < X < 7Г, 0 < у < ТТ.

Кр1М того.обмеження на коефщкнти р,(],р та велнчинн

ОС I Р забеспечуюгь додатжсть власннх значены а1дпоп1дно'1 задач*! Штурма-Л!ув!лля.

Нехай Хп(х) - ортонормоваш з вагою р(.х) власш

функцп задач! Штурма-Л!ув!лля, а Хп - в!дпов!дш власш числа. Якщо застосувати метод Фур'е, формально можна запнсатн розв'язок задач! (8)-(11):

( В ^

V ЧЛк

к=1

(12)

л

де Ак = ^{х)Хк{х)р{х)ск та Вк = | 7]{х)Хк{х)/^х)с1х с

о .0

коеф1щентамн розкладу випадковнх функцш.яю надходпть до початковнх умов,за власними функщями задач! Штурма-Л 1*ув!лля.

\ ч

У цьому параграф! знайдеш умови ¡снування узагальненого розв'язка крайовоТ зада1п у простор! Соболева

]Ур 2(^1). тобто у простор! з нормою

дх

(а)

+

дАхй

д1

+

¿2/(х, О

Мй)

де (9, = [0, я-] х [0,Т].

дх1

+

иа)

(13),

Ма)

Позначцмо

к=»1 V у к

Теорема 7.3. Исхай для будь-якоI монотонно неспадноI посл'1довноспи а = {ак,к > 1},ак > 0, —» оо,к —» оо, для

00

яког 361'гасться ряд ^ ^

виконуються так1 умови:

00 00

1 1

< 00

ОО 00

I,/ 1/

<ЕЕмлрл?|мад|<с«.

к = и=1 к=Ч=1

Тод1 з 1мов1рш'стю одиниця /снуе узагальнсний розв'язок задач/ (8 )-(11) _)' простор/ > яки11 можна зобразити

у вигляд'1 зо1жпого за ймов1рн'1стю у норм1 простору 1¥р 2(^1)

ряду (12), / при 2>40& шахЛДа),/ = 1,10 виконуеться

I

нср1ви1сть

Г 1 10 1ш'Ле~1А1(а))

Р'ССм) . , <Уехр -,

де Л,(дг) визначен/ у дисертацп, а 8-деяка константа.

Крш того, розглянуто б1льш часткову задачу та наведено умови на кореляцшш функцп випадкових процеав, як|' надходять до початковнх умов, за якими у даноУ частковоУ задач! !снуе узагальненнй розв'язок у простор! Соболева.

У §8 результати, яю були одержан! у розд!лах I та II, застосован! до побудови моделей випадкових процесс, як! в!дтворюють задан! з певною точшстю у нормах простор!в Орл!ча.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦ1К.

1.Трнгуб С.Г. К вопросу о сходимости некоторых случайных рядов в нормах пространств Орлича / / Вероятностные модели процессов в управлении и надежности. Вторая Донецкая конференция, 1990. Тезисы докладов,- С.65.

2.Трнгуб С.Г.. Обоснование метода Фурье для решения краевой задачи математической физики со случайными начальными условиями / / Теория вероятностей и матем.статистика. 1991.- Вып.45.- С. 127-134.

3.Тригуб С.Г..О скорости сходимости некоторых случайных рядов в нормах пространств Орлича / / Украинский математический журнал,- 1991,- т.43,N6.- С.841-848.

4.Тригуб С.Г.. К вопросу о скорости сходимости строго субгауссовских случайных рядов в норме пространства Ьр

/ / Допов^ Науково-техшчноУ конференцп пам'ят! академ!ка М.П.Кравчука.КиУвський пол!техничний ¡нститут.-1992.- С.39.

б.Козаченко Ю.В.,Тригуб С.Г.. Прр швидккть зб!жност! строго субгауссових випадкових ряд1В у норм! простору Ьр / /

Теор!я ймов|'рностей та математична статистика.-1993.-Внп.48.-С.51 -66.