Условия сходимости случайных рядов в нормах пространства. Орлича и краевые задачи математической физики со случайными начальными условиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РГ13 од

1,1 ИШВСЬККИ УНГВЕРСИТЕТ 1ШШ ТАРАСА ЕЕЕВЧБНКД _ о 'С^Г,

™ I; ' I г- I г ' ■■" *

На правах рукопису

УДК 519.21

Барраса дв Ла Кр/с Еусеб!® Умовн зб1жност1 випадкових ряд!в в нормах просторна Орлича та крайов1 задач! матеиатичнса ф!зики з випадкошши почотковими уновами

Спец1вл.ьн1сть 01.01.05 ~ теор1я йшшрностей та математичнв статистика

Автореферат

дйсертацП на здобуття наукового ступеня кандидата ф^зико-матемвтичних наук

К и I в

- 1995

Диеер1'ац1е-|0 в руконио.

Робота вшоканй на кафедр! теорП йшв1риостей та кахема-тичнох статистики Кшвського ушиверситету 1мен1 Тараса Шзвченка.

Науковий кар!вник: - доктор ф1эико-матвматичнкх

наук, профвсор Ю.В.К03АЧЕНК0

- доктор ф!зико-матиматичних наук, професор Г.Л.Кулм.тч

- кандидат ф1зюсо-ма,гомвтичншс наук М.В.Енджирглх

1нститут кЮернатики НАН Укрз 1'нк

Закис? шдбудетьоя "¿2 " Т К % 1935р. о год. па зас1дош<1 споц1ал1аооано1 Ради К 01.01.2.4 при Кшвському уи1версигет1 1м&}п Тараса Шввчешса за адресов:

252127, м.Ки*в--127, пр.Акедом!ка Глушкоьа, 6, механ1ко-матоматичиий факульг&т.

3 дисерТ8д1е» можаа оэнайшвтися в <51бл1отец1 КиУвсь-кого университету Ш.Тараса Шовченка (бул. Володимирська,58).

Автореферат роз/слано "Я " Iе£С^Н? 1955р.

Офпцйн} ононанти:

Яров1.дна установа

Вчений секретьр оп8ц1ал1аоьано1 ради

Курчввко 0.0.

Ззгалыго характеристика робота Ак?уальн1сть теми.

■ ЗМЕЧЙНИЯ умов та ВШИДКОСТХ SÜtSHOCTt ВИПЭДКОВИХ рйД!й В

тавша пормах s актуальним напряжем Toopi ü вшздкоеих процео!в.

Основи цього напрямку були' створен! з роботах Р.Шл!, H.DiHepa, А.3!гмуида . Гототшй внесок в твор!и випадкових ряд iß з яозалвзенши членами був зроблений Г.Хантом и Ж.Каханом. В роботах К.Гго, M.Hioio та Булдигша В.В. была отворэна загальна творгя ряд1в з незалешими элементами !з значениям в тоголог1чних просторах.

В 70-х роках з'явились роботи, в яккх доел{джувались умови

piBHOMlpHoi зб1жност! за ймов!рнгсти випадкових ряд!в з

t

залезшими членами.-Це роботи Булдигчна В.В., Козачвнко Ю.В. та !н.

При вивченн! випадкових ряд! в валике значения мае досл1дження швидкост! зб!жност! таких ряд!в. Вперив ощнки швид-KOCTi piEHOMipHO'i 301ЖН0СТ! -випадкових ряд1в OTpiiMBHi в роботах Ю.В.Козаченка. В цих роботах вивчались. субгауссов! вяпадков! ряда та ряда з вшадковими членами з простор!в Орличв.

Якщо розглядати ряди в б!лып вузьких просторах, то ' можна отримати б!льш точш оц!нки. Так! ряда, а сама гауссов!, строго субгауссов1 та строго Sub^fi) вшадков! ряди, вивчались в роботах Козаченка Ю.В., Енджиргл! М.В. та Пашко A.A. Заувахимо, що в цих роботах вивчались ряди, члени яких мають ё'Кспошшйалып моменти.

Виниказ задача розповоюдити цт результата на випадков! ряди а б!льш широких класхв простор!в випадкових величин, зокрема, з 1„(П). В дисэртацп ця задача розв'язана.

В робот! ввэдвно поняття строго оряичевих випадкових посл1довностей та процесЛв. Не тюняття узагвльнюе поняття строго ЭиЬ^СП) та строго субгауссових випадкових процзс!в.

Вивчаються умови та швидк!сть рхвномхрнох з01жност! строго орличевськюс. вшадаових. ряд!в в нормах в1дпов1даих просторов Орлича.

Отркман! результат« застосовумтъся до вивчення г1пербол1чно-го дафбрвнц1а.пьного р!вняння з випадковши початковими умовами.

01зична постановка таких задач та обгрунтування 1'х актуаль-костI моститься 1дэ в роботах Каше дв Фвр'в.

Новий Шдх!д до вивчення задач матбматично¥ ф!зики з початковими ьип&дковими умовами було розроблено в роботах Бейсенбаева Е., Булдшина В.В. те Козаченка Ю.В. В1н баэувться на дослхдавнн! зб1жност! за ймоь1рн1стю в функц!ональних просторах посл1довност0й випадкових функций, що апроксимують розв'яэки краових задач.

Дал!, в роботах Ю.В.Козачеака та Ы.В.Енджиргл! цей п1дх1д було модиф1Ковано, що дало можливхсть не лише вивчати умови 1снування розв'язку задач!, еле й досл1даувзти швидк1сть зб1кност1 розклад1в цих розв'язк1в в ряди Фур'е по власним фунхц!ям 1нтегральних р1внянь, цо в1дп0в1дають задач!. Зоувазкимо, що ц! доо.^даення провэдились лте для гауссових та строго вкл&дкових початкових умов. •

В дисертацН вивчена крайова задача для г!пврбол1чних р!внякь з початковими випадковими умовами для 1стотньо б!льш широкого класу випадкових нроцвс1в, а саме для строго орличевих випадкових процвс!в.

Мета роботи

Мета дисертацП лолягае в вивченн! умов та швидкост! р!вио-мгр1ГО1 збхшюстг гшгадкових строго орличевських ряд1в та звстосу-ВаННЯ ОТрИМОНИХ результат!В ДО ДОСЛ1ДК9ННЯ г1П9рбОЛ1ЧВИХ р!внянь а иочатковики вштядковими умовами.

Методика досл1ятень

Методика, яку викорястано в робот!, базуеться на методах теорИ' еипэдаових процесса та теор! 1 простор1в Оржча.

Наукова новизна

Дисбртац1я' м!стить так} нов! результата

- введено строго орлич^в! вшадков! процоси та посл1довност1 та дослдаено IX властивост1;

- знэйдено умови та швидкзсть р!вном1ржи зи!шост! в нормах просторов Орлача строго орличввих випадкових ряд!в;

- знайдено умови р!вном1рно'1 зсНжност! в нормах простор1в Орлича спектральних зобракень стацЮиарних випадкових строго орличевих процес1в;

- знайдено умови 1снування класичних розв*язк1в х,1П0рбол1чного диференц1ального р!вняння в частишшх пох!даих з вшадковими строго орличевими початковиш умовами;

- отркмано оц!ики для розпод!лу супремуму розв'яшив гшербо-л!чного дифоренщвльного р^вняшы в частшпшх пох!дних з випад-дсЕими строго орличевими початковими умовами.

Теоретична та прпктичиа ц1лп1сст>

Загальн! результата дисертацП косить теорвтачний характер. Вош межуть бута зпстосопкп при доел{дееташк эааяИ»пк«х иаас-

тквостей виаадкових процец!в, супремум!в випадаових процес!в, при шдвлюввнн1 вшшдкових процес!в та • розв'язк1в дмфвр8нц1альних р!внянь з випадковими початковими умовами на

БШ. .

Апробйд1к робота та публ1кац11

Результата диоертац!* догов!дались на сам1нарах при кафедр! теорП' ймов1рностей та математичноХ статистики КиКвського ун!вв-рситету та опубликован! в двох роботах.

Структура та обсяг дисертацП

Диссертац1я скледавться 1з вступу, шести параграф]в, а також перешку використашп' л!тератури, (до нал!чуз Б? наймекувань. Обсяг робот 76 стор1нок машинописного тексту.

Зи£ст робота

У вступ1 обгрунтовуеться актуальн!сть теми дисертаиД*, офор-

мульована мета робота, моститься огляд л1тератури ¡цодо тематики

дисертацИ та коротко викладено зм!ст дксертацИ.

Б первому параграф! приведено вДомоет! а теор'П простор!в

Орлича випадковлх величин. Вводиться поняття строго орличввих

с!шйств вшадкоьм величин та строго орличевих' взшадкових

'ярйцэс1в, вивчаються (х властзгаост!. "

г

Означения 1.1. Нехай х еН - непврервна парна опу-

кла функц1я така, що и(0)=0, и(х)>0, х / С) . Називатимвмо функц1ю, ¡до мае так! удави ^-Функцтею.

Означения 1.4. Говоритимемо, що 5~функц1я належить класу Б,, якщо 1снують константи х0Ю, fe>Q, с>0, так{, що при х > r.Q, у > xQ мае м!сце нер1вн!сть

и(х)и(у) < си(кту).

Клас £ MicraTb найб!лыа ц1кав1 Б-функцП, а саш

1 ia

и(х)=с|х|р, р>1, с>0; u(x)=e| ri -Г , а>1 i т.п. В роботi використовуються лише Б-функцП з клвсу Е.

Означения 1.5. Для S-функцН виконувться R-умова 1снуе така монотонно неспадиа функц!я Л(а), 0 < а < I Я(1)=1, що при 0 i а f I, xîR1 was м!сце нер!вн1сть и{а>х) $ Я(а)и(х).

Для будь-яко! S-$yHKUiï виконувться Л-умова з певною функ-ц!вю Л(ц).

Простором Орлича ¿и(П)' казывветься прост1р Банаха випадко-вих величин, визначених на стандартному ймов1ркоотному просторi з нормою 9£!zu - {r>0: Eu(^r> < I)

Означения 1.8. Семейство центрованих випадкових величин SLu(П) з простору 1ц(0) називавться строго орличевсышм, ящо 1снуе константа с, що для будь-якого не б!лын н1.ж злаченного семейства Ç,, tel, lliSlu(ù) та дов!льннх чисел \iiR1 виконувться HepiBniOTb

, ЯПЕОЦО

. fi(0)=Q,

(0) WlW*)"*

Означения 1.9. Випадковий процес Х.~{,тМ)з Ь,(П) називаеться строго орличавим, якщо семейство виладкових величин х(Т), и Г е строго орличавим.

В пвршому параграф} показано, що лшгйнв аамикання строго орличевого с1майства виладкових величин в 1и(П) в такой строго орличеьим, а також та, що вииадков! процеси

си

де - строго орличэве с1мвйство, такой а строго'орличеыши.

Показано, в яких випадках с!мейства незалежних виладкових величин а в строго орличевими.

В другому параграф! розглядавтьея клее В поел!довностбй функц!й.

Пехай - матричний проот!р. Посл1довн1сть неперервних

функц!й налвкить класу В » В(с(г),/к(0)), якщо

1сиувть:

неперервна функц!я с(х) та гюсл1довн!сть функц!й /п(0), 0>0, що для будь-яяо* числовой посл1довност1 при ВС¡х х.у^Х виконуеться нар1вн1сть

П 11 п

Ь-1 кИ

Клас В м! стать шсл!довн1сть тригонометричних иол1ном1в, функц!й експоненц1ального типу, обмекених на д!йсн!й ос1, влас-них функц!й 1нтегральних р!внянь та власних функцШ задач! Штурма-Л1ув!лля.

В трэтьому параграф! вивчаються ышадаов! ряда типу

со

^¡Г £ава(х), да хеХ, а.рь матричний прост¡р, борел!вська

3 = 1

м!ра на X; 8д(х) - посл1довн1сть функцгй з класу В(с(т),/п(5)), а £а - посл!довшеть винадкових величин з прострору Орлича Ьи(П). иеЕ .

Сгаювшш результатом параграфу в теорема: Теорема 3.1. Нехай випадков! величини I , з~1,«> належать дрострору Ьи(Й). де Ь'-фуккц1я и(х) наложить класу В та задовольняв Я-умов1. Посл1довн1сть функц1й нале-

пить класу В. Функц1я с(х), що визначав клас В така, що зб1га-оться 1нтвграл

Г Я(|С(Х)|)Ф(1) < СО .

х

Нехай 1снув така монотонно наспадна посл1дамисть ф(п)>0, Ф(п)—>оо при п—>а> , для якоХ виконуетьоя. умова: при будъ-яких О<0<1, я}Ю «о

£ 1 !/?в(х)'Ьи 1с и'"°(1/св(в))(1/ф(з)-1/ф(а+1))<»,

I Iо и<~па/сн(в))(1/ф(п)) —:> 0 при п—>»,

Да п

- ^ евФ(а>вв<-г).

п

я*(х> = Е wx>>

СО

R(x) - £ eag0(x),

а=0 .

а . са(0)tnf ц(у: pfr.yj < /<-°<е) ). xiX

Тод1

| ¡¡c(ar)fi(.r)-c(x)i^(x)||c S^—> 0

при n—>05, тобто ряд R(x) зб!гаеться piBHOMipHO в нормах простору Орлича.

При п&I, в>0 таких, що cr(9) I/u(xQ) мае м!сцо Н9р1вшсть (xQ, о, k - константи з-означения 1.4)

Пс(г)Я(х)-с(г)д£_,(х)й0 < zm(8) = КР/Ц-в).

оэ

[ Z 1 л0 иг-'->(1/св(9)).(1/ф(з)-1/ф{а+1))

e=m

де D «-шг (I, и(х0)+о/й(|о(я)|ф(аг)).

X

Наслхдок 3.1. При умовах. викояашя теорвми 3.1 при х>0, was м!сцэ HPpiBHicTb

Р { 1С IX) £ «аЯв(х)Зс > *-~

I

и(->

.(9)

Дал!, теорема >1.1 формулюетъся у випздку, холи сЫоЯство випьдкових величин строго орличево С1МЭЙСТВ0.

В четвертому параграф! результата пошреднього параграфе використовуються для досл!да&ння сшктралыш. розклад!в строго орличвЕих стац!онарних процес1в з дискретним спектром, тобто-таких процес!в, як! допускають зображення

(а

£(*)= £ ({к созХкх+-г\к а 1п\х),

ь* I

де - строго орличева посл1дойн!сть з 1и(0), тагса, цо

знайден! умови, що забезпечують р!вном!рну зб1кн1сть цих споктралъних зображзнь б нормах простору Орлича. Доведено, наприклад, тако твердаошш

Касл1док 4,1. Нвхай 5-ФушЩя и(х) наложить класу Е та аадовольняз й-умов! та эШгаеться (нтеград

ОЗ ' л

| Л(|е£р. Х/Х\а)йт < О)

~КЛ

ГГахай виконувться у;.юьа

а=0

Тод!

I ЦаШ. я/г)*(6(х)-т£_,(:1:))|с ^ — > 0, при и—*», де п_/

'С, = X соаКх+\

А=0

Вяконуеться нер!вн1сть

Д9 го со со

^ = Л Т71

0-П1

Кр1М того, при х > 0 выконуеться нерхвшсть

со

ат/ех/г соз\ах+11а з(гЛ0х)] ||0 >х| «с 1/и(х/(7т).

В п'ятому параграф! отриман! результата, иодЮн! до резуль-тат!в шестого параграфа в!дносно розклад1в Карунена-Лоева випад-кових процэсхв.

Шостий параграф разом з трет!м е основном в дисертаци. Тут загальна теория зб!жност! в просторах Орлича випадкових величин аастосовуеться до досл1даення крайових задач для г!пербол!чного р!вняння з вил дковими початковими умовами. Розглядавтьоя задача

д/йх[р(х)д/вх(и{х^) )]-д(а:)и(г,г )-р{х)Ог/д^ (и(х^) )=0 О < ;( 0 $ г ^ Г' '«■(ОЛ)соа а+д/д1(и(0,1))в1п а О . и(*,<>соз д/дI(и(%,г))з1п р * О

да р{х)>0, q(¡xУ¿0, р(х)>0 - функцП, для яких 1снуюта певн! пох!~ дн1, а Цх) и т1(х) - вштадков! строго орличвв! процеси.

основною теоремою параграфа е теорема Теорема 6.2. Якщо випадков! процеси £(I) та т](г) в строго орличовими з простору (П), а 5~фуккц1я и(х) нэлежить ¡слаоу Е, звдовольняв Н-умов1 та 00

Г Я(з(П и/и)с1и < а>.

-со

1снув така монотонно неспадна посл1довн1сть ф(гс)>0, Ф(гг)—><■> пр/ п—>» , для якоГ виконуються умови: при т > О

00

£ ] ,/г и"' >(1/ф№)-1/ф№+1)> < £» [о* у/г и"'(л^)(1/ф(п)) —> 0 при П->оо

дв

я

А, - | Е(а)Хл(я)р(а)<1в

о

X

В{ я | У](з)Х^{а)р(а)<1э,

о

Х.{з) и X,- вдвся! ФункцП та власти значения задач! Штурма-

Д й

Л1у»1иля, що втдпоЕ.иа'з крайовШ задач!, що розглядаетьоя.

Год} а й!»-.ов1рн1ст:о одиниця'1снуе висПрково два разя дифе-ранЩйованйй розв'я&ок задач1, що розглядаетьоя, ¿кий можиа зоб-разьти у вигляд! р!вкошрно збплого в нормх Орлича ряду

Дал! в параграф! знаДдена швидклсть зб!жност1 цього ряду та оц!нка для росподглу його супремуму.

Окремо розглянуто б!льш частковий випадок, в якому отриман! умови в терм!нах ковар1ац1йних функцШ процес!в g(í) и т)(?), при яких виконуються тверджекня теорвми 6.2.

Робота автора за темою дасертацИ

1. Барраса да Ла Крус Е. Обгрунтування методу Фур'е для одно-р1дного гшерОол!чного р1вняння з випадковими початковими умо-вами//Шсник КИ1В.ун-ту, 19Э4. №

2. Барраса де Ла Крус Е., Козачекко Ю.В. Об условиях и скорости равномерной сходимости строго орличевских случайных рядов //Хи1в: КШв.ун-т, 19. Деп. в ДНТБ Украхни Ш2Э Ук94 14.11.94.

Зуссбка Взрресв Дв Ла Крус

УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ случьйнте рядов в НОрМйХ ПрОСТраНС'ГЬ ОрЛИЧЛ

¡! краевые задачи математической со случайными Нйчадып,?л!

условиями. Рукопись. Диссертация на соискание ученой отахгеня кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статиотика. Киевский университет, Киев, 1995.

В диссертации найден-;, условия .равномерной•оходимости функциональных рядов а нормах пространство Ор/то. Получены оценки скорости равномерной сходимости &тих рядов. Рассматривается, в основно, случай, когда члени рядов являются последовательностями строго Орличавских случайных величин. Полученные результат« используются для обоснования применения метода Оуры* для гиперболического равнения с частными производными и случайными на~

ЧЯЛЬННМИ УСЛОВИЯМИ.

Eusebla Вагт&ка с!э За Cms

On Conditions о* Convergence for itandon Series into Horns Orlltch Spaces and Boundary РгоЫешз of MaUiernatJcal Physloa with Random Initial Condi tone. Uamracrlpt. They J э for a degree of Candidate of Science (Ph.D.) In Phyalcu and li'ithematica, speciality 01.01.05 - Probability Theory and Mathematical Statistics. Kiev University, Kiev, 1995.

In the teals there were found the conditions of uniform convergence of functional random series Into norma Orlltch spaces. There «ere obtained the estimates of uniform convergence speed for theoe series. In the main there were considered the eases when the members of the series are the sequences of the strict Orlltch rar..lorn variables. The achieved results are used for the basis of application Fourier method for the hyperbolic partial differential equation with the random Initial conditions.

Ключов! слова

простip Орлича, норма, ди>[»фннцДа,лыш ргвняшы, зотзййоть

Ли,,. К- и. тип, 100 Hiill ' КиЬпплиГ, уч!лт;ситит ' • K.illl. ]■. !П,:....И ЬК,|, 11.