Симметричный анализ некоторых волновых и эволюционных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

à

ШДЕМ!Я НАУК. УКРА1НИ 1нститут математики

На правах рукопису

впрсбйоеа алла îbahîbha

сишр!йний анал1з даяких хвильових î 'еволюц!йшх pîbhhhb

01.01.03 - математична ф1эика

Автореферат

дисертацН на чдобуття вченого ступени кавдйда^а ф^ико-математичних неук

^иТв - Т993

Роботу впкопало в 1нотктут1 математики АН Украпк те на кафздр! елгебри ! гео1:этрн КиТбського дершщого педагог 1чдог< 1нституту !г.:ен1 Ы.П.Драгомскова.

Науковий кер1вник : член-корасполдент АГ1 Украпги, доктор ф1 зико-нстенатичних неук/'йрофасор уУШЛЧ В.1.

Оф!ц1йн! опоненти

доктор ф!зихо-иатем;.тич;их наук, профос? ЕАРАННИК А.Ф.,

кандидат ф! эияо-ыятеиатичиах наук, стадий науковий еп!вробттк ЦШРА 1.М.

Пров1дна орган!зец!я : Ки'1'воький держовкий ун!верситет 1мвн1 Т.Г.Шевчеика.

Захист в!дбудеться "_" ._199 р. о_

годин! на зас1данн1 спец}ал!зовано'1 ради Д 016.50.02 при ¡нститут! математики АН УкраУни за адресов:

252601 Ки'1В 4, МСП, бул. Терещешивська, 3.

3 дисертац!ею можна озиайомитися в б1бл1отец1 ¡нетитуту.

Автореферат роз!слано "_" . 199 р.

Вчений секретар спвцI ал Iиовано! ради

Лучка А.Ю-

Актуальность теми. В остакн1 десятир!Ччя {нтенсивно розви-ваються теоретико-алгебрахчн! методи, яИ я уещхом зясгосову-оться для досл1,пження ртвнянь магематично? ф1зики та побудови математичних моделей я яаданими симетр1йними влястивостями. Особливу актуальность методи симетр^Йного анализу набувають у зв'язку я розглядом тих багатовимзрних нел1)ййних рхвнянь, для розв'язування яких неможливо зястосувати класичн: методи матема-тичноУ физики.

Математичний аларпт, який дозволяв ефективно розв'язувати задач! групово1 клаеи^хкащ!, почав Интенсивно розроблятися пороняно недавно /Г.БзркгоФ, Л.Овсяннхков, НДбрагЬюв, р.Андерсон, ДяЛЗлумен, П.Олвер та Летящем часом розвинено нов{

методи синетр^йного янял!эу, яК1 дозволяють виявити додаткову симетр!«) дйЛзренп^альних Р1внчнъ в частинних пох!дних /ДРЧП/.

Дисертац!я присвячена доелтдженно симетрН та побудов! пшроних кляс}в точках розя'язктв деяких вяжливих, з точки зору пртаяадтта застосувань, ргвнянь математично! ¡Няики, досяхдаен-1то IX уморнот та -умовпог снметр!т. Такими ргвняннвуи

с, налряклад, р1внят:я г1перболтчного типу. До остакнього часу иедостатньо вивченг симетр!Ян! властквост! основних ртвнянь теорг! фхльфрацП, особливо це стосуеться $1внякь нестяионар-Н01 нел1н1йно1 Ф1льтрац11 Д1.Я.Полубаренова-Ксч}нл, В.М.Енто^/.

Метя роботи. Провести теореТико-ялгебраТчний аналгз р|рнянь г!пербол{чкого типу другого порядку. Досл{дити сичртгчА.--н! рячртивост! р1внянь теплопереносу, нестационарно! (Нльтря-ц!? та побудувяти гг. точнг гозв'я^ки.

Мптрдикя дося!луни?. Дл.° ревчеет«* с«»»»>тсШту: влэс*ц-

востяй диФвренщяяьких ргвнлнь в иасгвнних поздних /ДРЧЛУ використяно: Tcopim груп Jî i, теopin представлень i алгебр Л i , концепции j'mophoï симетрН. Зястооовяно тдкод i irai методи Tfinpiï ди^еренщяльних р1внянь.

Няукова новизна j пряктииня ц{ннгсть тюооти. Т. Розв'язана падя.чл груповог класпп'цкпщх ДРЧП другого порядк} в]дносно рояширенот групи Пуанкаре та îï пхдгруп.

2. Провпдений груповий «налin недхии'шого хбильового рхгняння, яке е iHnaptaHTHHM Я1ДН0СИ0 п1л-яггя1р ковдортлно! влгебри, RKÎ не î-'î стят ь опчратор1в чрг-кгягцИ , в тая еж досл!дкено

-умовну симетр1!Г) отримяних ргрнянь.

3. Дослгдкен! груповг рласгивост! систем ейкональких рхшянь i систем нелШйних рхвнянь четвертого порядку.

4. Для р1вняння Клейна-Гордона-Фока /КГФ/ гиайдвно оператора умовнот симет-piï i отримян! hobî ензаци, лк1 рвдукувгь ке р1вняння до звичяйких дифсренц1яльних р1внянь /3£Г/.

5. Оператори умовнох симетр!ï викерисуанх для псбудови внзац{в нелхнхйних piBHAHb теллопереносу.

6. За допомогою одер-лних nmaijiB пров^доня рядукц1? р!виянь теплопереносу до ЗДР, энайдещ hobï tovh! рояв'я^ки.

7. Досл1джена Q. -умовня сяметрiя р!внянь HecTsuicHapHOÏ Лг*льтряц11, побудован! деяк! to^hï розв'я^ки, аонряма розв'язки р1вняння, яке описуе рух тернодикамП-ного 1деального газу.

Ochophï реяультати дисертацгх е новими. Вони мояуть бути використяН1 для розв'рзування прикладних яадач матеиатично1 ftînimi, йлектродинам!ки те гидродинамики.

Апробапгл роботи. Результат» дисерта13 доповгдалися на семинарах втддхлу прикладних дослхджень 1нституту математики АН Украхни та не. зпхтно-няукових конференциях кафедр Ни1Всько-го державного подагогхчкого {кституту тмен1 М.П.Драгомакова 1 1.!якола1вського державного педягогтчного институту.

Публ]кат;!т. Основнх результат!! дисертащ т опублхковано в роботах [I - .

Структура 1 обсяг роботи. Дисертац1йна робота складаеться з вступу, трьох роздШв, висновк1в та списку л!тератури, що м1стить 7Э найменувань. Обсяг роботи - 115 стор!нок машинописного тексту.

зм1ет роботи

У вступ} обгрунтовано актуальность розглядуваких задач, подано короткий огляд роб!т за темой дисертяц}!. Наведенг Иеобх1дн} означения та обгрунтовяно методи, що використовують-ся в дисертацП.

Перший роядЬч присвячено доел!,грхенню теоретико-алгебра?-чиих Елястивостей та побудов! багатопарпметрииних клас!в точних роэв'яэк1в р!внякь другого порядку гДпербол!чного типу.

В першому параграф дослгдкено сикетр1ю квяа{л!нЫного р!И!ЯК1!Я в частштпх лох1днмх другого порядку

/I/

й!дносИ1 ротаиредох аягебри Пуанкаре ЯР( /, П)^ (Рн ( $ ^ <0 ¿ЙПНсН^ ОПЙря'У'рй МЙ1"ТЬ виглрд

а оператор I) , я кий в1дповп!де масштабним лэретворенням, задееться па допомогою двох pi^rax зобрэкень

л А /3/

Д = ¿q PV <3? ¿'О,

/тут i нядал} за пщексами, ло повториться, мапмо на увяз} п}доумовувлнкя/.

Теорема 1. Р1вняння /Т/ 1нвар1актнз в1дносно ялгебри Л±

ЛРС^ (Pj4, 'Jßj, Дг > ТЗД1 1 Ti.ibKi! TOfli, коли Еоно локально екЕ1валентне ргвнянням

я/ (p'fufr'oU+ip'Mr-'utyu^-m, и-о. V~U¿U¿-UH~U?-Ü¡~U*-----UPn;

fcvuau+f'frjuu'rfu^-m,

к1-/, T~U¿ULt i-ÖJ), ¡hi nß*^ àil Л да à&a

uñru \ - u qV- a - .

¿i * Ф'(Щай + й h' фР-(иг)иули Uju)

, <¡-и ^ \ • _

rn иН^н<))* r-U¿UL, i = O,n.

Теорема Т1г»нкнкя /I/ tHBapiamne з1.г,нооно алгебр;«. Л1 ,/{P(i, Г)} ( Pj,_, T/y/i>, Аз ) тод! i т1льки тод1, колк воно локально екв!валентнэ pxehri'hi

Q-\lwFwp » a?-const, зе^О.

В цьому я параграф! побудовяк! р!вняння вигляду /I/, як! s iHBspiaHTHHf.M вздносно однопяраметричких п!дгруп групи Пуятткя-рз Р з) /або, тао р£внопильно, в!дносно однови'Лрнкп п!далгебр алгебри АР З)/.

5 2 присвячешй rpynoeiil класиф£к8ц}¥ нел!и!Яного хвильово-го р{вняння

дв и.-им*

FMLI)

- деяка гладка Функц1я в!д X , U , U Теорема 3. Дли того, чоб нял1к!йке хтЖльове р1вп?рня /4/ було !нввр}9н¥ля в1дносно алгебри ~ ( !Jjui, ][)) „

х}йно i ДООИТЬ, 'ПОб РЪНО мало наступила РИГЛ=<Д ;

т л

ои-и^ф^ъ,^,

П 13

и " II с' ^

В третьему парчгрв«?)! досягдаеко лИ'вську ! О -умовку течатртя р!сняния

/5/

а

Тут , Ц) - допхльт гладка ёук;гц!я.

В ? 4 встяиовлйно умови, за яккх !г!сть ейкокаяыгих ргвнянь

* На = Но е Ь;яяр1ант!шми вЫнооко

групи Пурнкяре Р (Т,Л) I конформно! групи С ("1;/?) Проведено груповий анал1я няо.тупних систем р!внянь:

/6/

д\х/< дъ/1 ^о ■;

¿Ъ^' * /7/

м'-е-ТГ'

ИЯЯр1РНТИ

с.~«к?ромагя?тного поля.

Зр::рвма, доведено, ло при ^ =1 1 Х:г «= I, «аксиальною групсч 1нрар1антност1 ргвияння /!5/, за умови

АЕи.ЛЕь,о. ш

бсси. дх * ?

J

кэ Гв=Нй, Рв-Мл)

{<2, Ь ~ 1,6 9 , е 67-пярпчятрична трупа ЗН С (1. 9 )

я йеэпенямя влечеягами, як! яадорояьнякгь _коцу?ац{йн| сп!вйд-

коатшя конформно! влгебри АС (т.9) .

У другому роздтл! доелтдпгено умовну симетр^ ртпнят« КГФ I нзл{1!1йтах р1внякь теплопереносу. Теорема 4. Ргвняння КГ§

о/'1)иуг) - -гп£(]> т-еолв^ /9/

умовно }нвар1антнй Етдносмоеператора

й-<Хада + $-~д0+(/-Лг)ида ' /ю/

при умов; ЗоЬ'Х.рдь ,

В ^ б дссд}даена симетр1Я, проведена редукц!я 1 отринан! тэин! розв'язни хвильових р1?иянь я додатковими умозгага типу

ци-о,

В ? 7 роягл.януто нел}н?Яне р1вняння теплопореносу

и0 + иаа пг,

де

Т- = |•Ха+Х* » гхг=7*"±фя0 , V - дов1льниА параметр. За допомогов ензацу

а = у: 1рМ , и^^г^о,

яккй породжу.еться оператором

-~-д0-иди , /13/

р!вняння /12/ редукуеться до ЗДР:

Заувазшмо, то оператор б /13/ не нчлежить до алгебри симзтрН /у розумхнн! Л1/ р1ЕНЯК!« /12/.

Теопема Б. Р1вняння /12/ умовно 1нвар1антне в1дносно оператора 0. /13/ за умовм, шо

ЯаЬЦ-О,

В цьому к параграф! досл!дкека такок симетр!я нол!н1ймого р!вняння тсплопереносу вигляду

ц(и)и0+ли-Р(а), /н/

.агайден1 еператори умовно! симэтрН р1шяннл /14/.

Теорема б. Нвл1н!йнв р!вняння теплопереноеу /14/ умоьио

!нв&р}антнэ-Идноено операторов , якцо:

а -Л,д0 + да +(Ч-п)(2-п)идц *Оч п ;

s

/2, = + P^aúa + «àa , * 0 '

3/ н(ц)= A , Fiuj-dz , п =

>2 = Х*д0 + Xaàa - SUÔa ,

4/ Щи)-i > F(U)--¿(¿,и+<*»)>

6/ од-/, F(a)-6{u)t

йе-Ха да +0{и)ди,.в0-8(0+п)

Редукшя р!внянь теплопереносу, яка яд!йс[тпться за допо-могою побудованих анзашв, дозволяе будувяти hobí tovhí розв'яз-ки цих р!внянь.

У третьому роздгл! вивиек! симетрхйн? властивост! i побу-дован! нов! кляси точних розв'язк1в нелЬпйного р!вняння нестационарно! фгльтрацП

НШо+ин + ^игМК /15/

Де

и0,ш и,

В § 8 дэслгдаена уиовна сииетргя рхвняннл /15/ дкя Л/4 0. ТйОррма 7. Р1вкяния /15/ 0. -умовно инвариантно вспоено оператора

а - и) до + в'(л\ и)ди ш

тодг } т4льки тод1, коли йункцН А, В, С эадовольняюгь наступай сисгем.и ртвнянь:

I. А Ф 0 /на зменшуючи загальност! поклядеио А ■= й/.

Вии = 0 ] 0ии~2(вш + ЯВби) - ' ЗВиР - й(0ш +Н5и0)-(Мо-&„ - 4 Я/ +

+ щб + йнт^М), 17/

П. а в 0, В

Теорема 8. Ргвняння /15/ 0. -умовно 5нЕар?вптне в{д-иосна оператора /16/ у випадку ¡¡((/^ I, А I, В / 0 *од! 1 т1льки тод!, коли вено локально ехв1ваяектлв р{снятго

а оператор /16/ пае вкгляд Теорема 9. вкяння

+ Лй), Л,,X, -оопег,

Q- -уыовнэ 1нвар1гнтне в1дносно оператора

Ттгт.а?;п ТО. Р!внрння /15/ Q -умопно iimapiaiiTKe е!дносно

оператор!в

0 . 6-м , (г-ыХ*-/г) ,/А

6Я - дг, + 2 ди ,

ЯК'ЦО фуНКцП F(Uj i И(и) маять ЕИГЛЯД

й

для Q. : И (и) -- Л, Ц , F(U) - ^ ц-{'ы -

для мл : И (а) - 4' > , W*. Л,

для С, : P(UhdAeu,

В § 9 за операторами Q. -умовнох омметр!!, ккг отрима-Hf в ? 8, побудован! тппця, що редукуеть /15/ до звичайних диферр.кцгядьних р}внянь.

У гасиовках коротко сфорглульованг результат« дисертац!йнох робота.

Основа рйзультати дисертацП опубликован! в наступних роботах:

I. Воробьева А.И. Групповой пнчлиз некоторых систем нелинейных уравнений электродинамики .//Асииптотиирскиэ методы роления диффррящиальных и интегродкфТ'ерскцкчльнь.'Х уравнений ;-Киев: ,

КШИ, 1987. - С. 20 - 23.

2. Воробьева А..И. 0 пуанкаре-шшарианткых квазилинейных уравнениях второго порядка // Симметрия и решения нелинейных уравнений математической физики. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1987. - С. 66 - 69.

3. Воробьева А.И. Квазилинейные уравнения второго порядка,нньа-риантные относительно однопараметрических подгрупп группы Пуанкаре Р (l. 3) // Методы исследований алгебраических к топологических структур. - Киев: КГПИ, I9Ö9. - С. - 22 - 26.

4. Егорчеико И.А., Воробьева А.И. Точные решения во.тдового уравнения с дополнительными условиями И Симметрия и решения уравнений математической физики. - Киев: Ин-т математики

АН УССР, 1989. - С. 21 - 25.

Б. Сгорченко Í.A., Воробйова А.1. Умовна 1нвар{витн*сть i точн! розв'язки piBURHHH Клейна-Гордона-Фока // Доп. АН Украхнн. -1992. - ff I. - С. 19 - 22.

6. Gropuemto I.A., Воробйова А.1. Умовна !нвар}антн!сть t ?очн! розв'язки одного р1внянкя теплопров1дноо?1 // Доп. /И Укр«1ня. - 19Э2.-Р 3. - С. 20 - 22.

7. СутгачВ.!., Серов Ы.1., Воробйова АЛ. Умовна симе»р!я ! . точя! роэв'язяя р{вшнь и а зт r.q i с нярко гф i л ьтр ад í í // Дед. АН Украли. - 1992. - Е 6 , - С. 20 - 24.