Симметрия и электронные свойства углеродных нанотрубок тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

БЕЛОСЛУДЦЕВ Александр Вениаминович

УДК 530 1

СИММЕТРИЯ И ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА УГЛЕРОДНЫХ

НАНОТРУБОК

Специальность 01 04 02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ижевск-2007

003055625

Работа выполнена в ГОУВПО «Удмуртский государственный университет» г Ижевск

Научный руководитель:

Кандидат физико-математических наук, доцент Сергей Степанович Савинский

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, доцент Аркадий Михайлович Сатанин Кандидат физико-математических наук, доцент Владимир Павлович Бовин

Ведущая организация:

Физико-технический институт УрОРАН г Ижевск

2007г в 14 на заседание

Защита диссертации состоится «_»_

диссертационного совета К212 275 04 в ГОУ ВПО «Удмуртский государственный университет» по адресу 426034, г Ижевск, ул Университетская, 1 (корп 4), ауд 222 E-mail imi@uni udm ru

С диссертацией мбздЪ ':, ознакомиться в

А " \

государственного университета /><ч \

, "* 'Wo \

[/•иг* 0 ' - О « И

ii г- ' s . * > ~ * СЗ М

* ",-д^,', Автореферат разослан « [ » Л Л'<; - _ :" Г 2007г

Ученый секретарь ;,

диссертационного Совета

к.ф.-м.н., доцент -

библиотеке Удмуртского

Н Н Петров

Общая характеристика работы

Актуальность темы:

Углеродные нанотрубки были экспериментально получены в 1991 г японским физиком-исследователем Иджимой Нанотрубки представляют собой цилиндрические макромолекулы диаметром порядка нанометра и длиной до нескольких микрон, состоящие из одного или нескольких свернутых в трубку гексагональных графитовых слоев обычно закрытых полусферой Полученные экспериментально нанотрубки принимают спиралевидные, клубкообразные формы вперемешку с фуллеренами и аморфным углеродом По внешнему виду это черный порошок, который очищают механическими и химическими способами Существует много экспериментальных методик получения нанотрубок, но о промышленном производстве речь пока не идет в связи с высокой стоимостью

Сегодня углеродные трубки применяются в разработках нового поколения приборов имеющих молекулярные размеры, новых полимерных материалов с улучшенными физико-химическими свойствами, обсуждается возможность создания на основе трубок контейнеров для хранения водорода, и т д

Ряд уникальных свойств углеродных нанотрубок варьируемая в зависимости от симметрии трубки ширина запрещенной щели, высокая прочность, указывают на возможность применения этих объектов в наноэлектронике и наномеханике Несмотря на имеющиеся трудности по получению, нанотрубки имеют хорошие перспективы для использования в наноэлектронике Вопросы использования нанотрубок в качестве диода, транзистора, иглы атомно-силового микроскопа, материала для получения низковольтовых эмиттеров и многих др широко обсуждаются в литературе

Цель работы

Целью диссертационной работы является симметрийный анализ однослойных и многослойных нанотрубок с целью предсказания их физических свойств, исследование феноменологических моделей электронных спектров однослойных углеродных нанотрубок для прогнозирования электрических и магнитных характеристик

Для реализации этой цели рассмотрены следующие задачи

1 Выполнена классификация идеальных однослойных и многослойных углеродных нанотрубок по группам симметрии, проведен анализ скалярных функций, обладающих симметрией нанотрубки

2 Разработана методика расчета структурного фактора нанотрубки в зависимости от симметрии

3 Рассмотрены феноменологические модели электронных спектров углеродных нанотрубок в рамках различных приближений

4 Проведен теоретический анализ вольт-амперных характеристик, кондактанса и магнитных свойств углеродных нанотрубок в широкой области магнитных полей и температур с использованием феноменологических моделей электронных спектров Методы исследования

Для решения поставленных задач использованы методы современной математической и теоретической физики теория групп, квантовой механики, статистической физики, кристаллографии и методы компьютерного моделирования Научная новизна

Исследовано поведение энергии связи двухслойных трубок при пространственном изменении их относительной ориентации (сдвиге и повороте) Проведен анализ структурного фактора нанотрубки для случая произвольной симметрии Впервые сделан теоретический расчет вольт-амперных характеристик однослойных углеродных нанотрубок в широкой области магнитных полей и температур с использованием феноменологической модели электронного спектра в приближении сильной связи Научная и практическая ценность

Проведенные исследования могут быть использованы для экспериментальной идентификации однослойных нанотрубок на основе данных по рассеянию Результаты теоретического расчета вольт-амперных характеристик нанотрубок необходимы для создания наноэлектронных приборов на основе углеродных нанотрубок Анализ энергии связи двухслойной нанотрубки может быть использован для создания нового класса нанодвижителей (наноподпшшшк, нанотружины и др) На защиту выносится.

-анализ энергии межслоевого взаимодействия в двухслойной нанотрубке на основе симметрийных характеристик однослойных трубок,

-феноменологические модели электронного спектра однослойных нанотрубок, -теоретический анализ особенностей вольт-амперных характеристик однослойных углеродных трубок для широкого диапазона магнитных полей и температур

Апробация работы Основные результаты диссертационных исследований были доложены на следующих конференциях

1 XXIX Международная зимняя школа по теоретической физике "Коуровка-2002" ИФМ УрОРАН (Екатеринбург, 2002)

2 Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам, "Ломоносов-2003" (Москва, МГУ,2003)

3 XXX Международная зимняя школа по теоретической физике "Коуровка-2004", ИФМ УрОРАН (Екатеринбург, 2004)

4 XI Национальная конференция по росту кристаллов (НКРК-2004), Москва, Институт

кристаллографии РАН (2004)

5 5-ая Национальная конференция по применению рентгеновского, синхротронного излучений, нейтронов и электронов для исследования наноматериалов и наносистем, Москва ИК РАН (2005)

6 XXXI Международная зимняя школа по теоретической физике "Коуровка-2006", ИФМ УрОРАН (Екатеринбург, 2006)

Публикации Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 11 работах

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, изложена на 108 страницах машинописного текста, включая 54 рисунков В списке литературы приведено 101 цитируемых работ отечественных и зарубежных авторов

Содержание работы

Во Введении отмечается актуальность темы исследования, определена цель работы, сформулированы основные задачи, решаемые в диссертации Приведены основные результаты, показана их научная новизна, научная и практическая значимость Сформулированы основные положения, защищаемые в работе, сведения о структуре и объеме работы

В главе 1 работы приводится литературный обзор, в котором представлены данные по физико-химическим свойствам углеродных нанотрубок и возможным областям их применения

В главе 2 рассмотрены симметрийные свойства однослойных и многослойных нанотрубок

Геометрически углеродную нанотрубку можно представить как результат сворачивания графитового листа На графитовой плоскости (см рис 1) рассмотрим "прямоугольник ограниченный двумя ортогональными векторами С и L, вектор C = i,a,+i2a2, соединяет ячейки совмещаемые при сворачивание, ii и ъ (целые числа) -индексы хираяьности, a¡, а2 - базисные векторы графитовой плоскости Вектор L соналравлен с осью трубки При сворачивании прямоугольник на графитовом листе переходит в цилиндрическую поверхность, соответственно системы базисных векторов графитового слоя ai, Я2, яз, 34 и d переходят в винтовые повороты S], S2, Sj, S4 и Sj (рис 1)

Первая система базисных векторов ai, 'лг используется в большинстве теоретических работ по нанотрубкам, вторая система векторов аз, aj является более удобной для иссл< дования симметрии Вторая система базисных векторов задает углеродную нанотрубку как набор идентичных колец, на которых находятся атомы углерода Кольца повернуты относительно друг друга на фиксированный угол Поворот S3 в рассматриваемом случае cor гветствует оси симметрии трубки, порядок которой определяется как наименьший общий

делитель индексов хиральности (п=тос1(11,12)) Параметры винтового поворота 84 задаюг расстояние между кольцами Дг^ и угол относительного поворота колец Дф4

Рис 1 Схема выбора на графитовом слое базисных векторов а 1 и аг, аз и 84 Векторы L и С задают углеродную трубку с индексами хиральноспи (9,3)

Базисные винтовые повороты Si,S2 либо S3,S4 определяют атомную структуру трубки, состоящую из двух вложенных друг в друга подструктур связанных винтовым поворотом Sa

Однослойные трубки можно условно разделить на три группы по численному Дер,

значению параметра ——, если этот параметр является иррациональным числом, Дср3

то углеродная трубка имеет две поворотные оси, первая поворотная ось направлена по оси трубки, вторая поворотная ось перпендикулярно оси трубки Такого рода трубки обладают точечной группой симметрии D„ Второй случай соответствует отношению равному рациональному числу В этом случае имеет место группа D„ и трансляционная симметрия вдоль оси трубки

Тг Значение трансляции Тг может быть определено из соотношения = —,

Дфз к

где тик целые числа, в этом случае численное значение параметра трансляции равно m Az4

Особый случай соответствует значению параметра = —, в этом

Дф3 2

случае трубка имеет наибольшее число элементов симметрии точечная группа Dnt| и трансляция Значение трансляции Тг равно 2 Az4, к этому классу трубок относят трубки конфигурации zjgzag (п,0) и armchair (2n,n), п -целое число

Через параметры операторов S3 и S4, произвольную скалярную функцию, обладающую симметрией нанотрубки можно представить в виде f(cp,z) = J]Amq exp(imtp + iqz), где m = 0,±n,±2n,±3n, - целые числа, n - номер

m q

поворотной оси нанотрубки, 9 = 0,±—,±—,±—, — волновой вектор Симметрия

Тг Тг Тг

многослойной нанотрубки определяется через общие элементы групп симметрии составляющих ее трубок В частности, для вычисления энергии связи между трубками в двухслойной нанотрубке можно получить следующее выражение

Еь(Ф„г„ф2,г2) = £ат{]ехр 1 —(ф, -ср2) + И}(г,-г2) , (1)

ш Ч V 6 )

где нижние индексы в показателе экспоненты относятся к первой и второй трубкам, ш пересечение множеств целочисленных значений Ш1 и тг, g - общий делитель порядков поворотных осей, ц пересечение множеств значений ql и q2, атч - коэффициенты определяющие амплитуды гармоник Переменные ф,,г,,ф2,г3 в вышеприведенной формуле задают положение выделенных колец первой и второй трубок в цилиндрической системе координат

Были проведены численные расчеты энергии взаимодействия трубок при их относительных движениях вращении и поступательном сдвиге Энергия связи трубок вычислялась как сумма парных энергий взаимодействий атомов расположенных на различных трубках при фиксированных жестких атомных конфигурациях трубок

а) б)

Рис 2 Зависимость энергии связи Еь от угла поворота а) и от относительного сдвига б) для различных двухслойных трубок

Полученные численные данные для энергии связи в двухслойных нанотрубках представлены на рис 2 На рис 2а показаны численно рассчитанные зависимости энергии связи двухслойных нанотрубок как функции от относительных углов поворота трубок Первая кривая в нижней части рис 2а построена для трубок с индексами (10,1) и (19,1), эти трубки имеют поворотные оси первого порядка, соответственно п,=п2=1 и энергия связи периодична по относительному углу поворота с периодом 2к Вторая кривая снизу на рис 2а соответствует нанотрубкам одинаковой хиральности с индексами (10,2), (20,4), эти трубки

7

имеют оси симметрии второго и четвертого порядков, те п,=2 и п2=4, соответственно общий делитель этих чисел g=2, по формуле (1) период энергии связи по относительному

71

углу поворота равен — Третья кривая снизу на рис 2а соответствует двум трубкам с

индексами (10,0) и (19,1), одна трубка имеет ось симметрии десятого порядка, другая первого, соответственно период по относительному углу поворота трубок, согласно формуле

(1), равен у Последняя кривая на рис 2а соответствует трубкам с индексами хиральности

(10,0) и (19,0), эти трубки имеют оси симметрии десятого и девятнадцатого порядков, соответственно энергия связи как функция от относительного поворота трубок представляет

собой быстроосциллирующую функцию с относительно малой амплитудой и периодом

Кривые на рис 2а, имеют осциллирующий характер с амплитудой меняющейся в широком диапазоне, соотношение амплитуд нижней кривой на рис 2а и последующих уменьшается на порядок, соответственно амплитуда верхней кривой уменьшается еще на один порядок

На рис 26 представлены численные расчеты энергии связи двухслойных нанотрубок как функции от относительного сдвига трубок Характерные размеры трубок при расчетах выбирались следующие длина внутренней трубки 200 А, длина внешней трубки 40 А Трубки (10,0) и (19,0) имеют одинаковые трансляции Тг=4,266А, на рис 26 график энергии от сдвига имеет период равный 2,133 А, что два раза меньше периода трансляции Для трубок (10,2) и (20,4) трансляция каждой трубки равны Т1=6,52 А и зависимость энергии от сдвига имеют период 6,52 А Для трубок (10,2) и (18,0) (см рис 26) трансляции равны Тг|=6,52 А, Тг2=4,266 А, значение общей трансляции равно Тг=со

Данные рис 2 показывают, что двухслойная нанотрубка может рассматриваться как наноыеханизм позволяющий реализовать подшипник скольжения либо качения, тазе и молекулярный механизм обладающий нелинейной упругостью к относительному повороту либо сдвигу

В конце главы, используя представление о нанотрубке как наборе атомных спиралей, рассчитан структурный фактор однослойной нанотрубки

Глава 3 посвящена рассмотрению феноменологических моделей энергетического спектра электронов Первая из них - модель потенциала удерживающего электрон на поверхностях многослойной нанотрубки представляющего собой цилиндрические потенциальные ямы В простейшем случае, решая уравнение Шредингера в цилиндрических координатах с потенциалом в виде суммы цилиндрических 5-фушщий, можно найти энергию и собственные функции локализованных квантовых состояний

В случае одной трубки простейшее приближение соответствует электрону на цилиндрической поверхности, спектр которого может быть представлен в следующем виде Й2т2 П\г

где тхи т, - эффективные массы поперечного и продольного движения электрона по цилиндрической поверхности, 1с - волновой вектор, т - магнитное квантовое число

Включение магнитного поля вдоль трубки приводит к замене в формуле для спектра

Ф

электронов (2) квантового числа т —» т н--, где Ф = лЛ Н - поток магнитного поля через

Ф»

сечение трубки, Ф0 = ^т ~~ элементарный квантовый поток магнитного поля, е - заряд 1е1

электрона Спектр электрона обладает периодичностью по магнитному потоку Рассмотренное приближение исходит из предположения о достаточно большой глубине и малой ширине цилиндрической ямы удерживающей электрон на поверхности, в результате расстояние между уровнями энергии движения электрона в направлении нормали к поверхности велики, мы предполагаем, что электрон по соответствующим квантовым числам находится в нижнем энергетическом состоянии

Для нанотрубок малого радиуса необходимо учитывать влияние кривизны трубки на параметры спектра электрона связанные со спин-орбитальным взаимодействием В работе используется феноменологическая модель Рашба В этой модели к оператору Шредингера электрона на цилиндре добавляется оператор линейный по матрице Паули и импульсу, формально представляющий собой смешанное произведение, в которое входит вектор нормали к поверхности цилиндра V =уп [охр],

где о(а„а ,аг) - матрицы Паули, р - оператор импульса, п - локальная нормаль к поверхности цилиндра, у- феноменологическая константа спин-орбитального взаимодействия Рассм атриваемая модель позволяет найти аналитическое выражение для волновых функций электрона и энергетического спектра для случая продольного магнитного поля соответственно квантовые числа, определяющие состояние электрона - проекция полного момента импульса J на ось трубки и волновой вектор к, определяющий импульс элек" рона

Следующая феноменологическая модель наиболее распространена в литературе -пар метрическая модель сильной связи I =Е°±|Нт1|, Нтк =р(1 + ехр(-1тДф2-1кА22)(1 + ехр(-1тАф,-1кД7,)), (3)

где параметры (Дф^Дг,) и (Дср2,Д22) определяются винтовыми операторами 81,82, Р - подгоночный параметр, равный матричному элементу оператора Гамильтона рассчитываемый через волновые функции между ближайшими атомными соседями, знаки ± в формуле относятся к двум энергетическим зонам, Е° - энергия связи Я-электрона со свободным атомом углерода, которая в расчетах принималась равной 0 Изолинии энергетического спектра на плоскости (т, к) представлены на рис 3

(10,9) (20,10)

Рис 3 Изолинии энергии в модели сильной связи для двух однослойных нанотрубок, с различными вариантами выбора элементарных ячеек Под рисунками указаны индексы трубок

В рамках данной модели ширина щели диэлектрических углеродных нанотрубок обратно пропорциональна радиусу трубки

Формально учет магнитного поля направленного вдоль оси трубки приводит к замене

Ф Ф

магнитного квантового числа т на т + —, что приводит к сдвигу спектра на величину ,

где Ф - магнитный поток через сечение трубки, Фо элементарный квант магнитного потока Данная замена приводит к периодичности энергетического спектра от магнитного потока и изменению ширины щели запрещенной зоны

С использованием феноменологических моделей спектра электронов, в главе 4 приведен расчет электрических и магнитных характеристик углеродных нанотрубок Расчет вольт-амперной характеристики углеродной нанотрубки проведен в баллистическом приближении с использованием энергетического спектра взятого в приближении однопарамегрической модели сильной связи

Электронный поток, проходящий через произвольное сечение, от каждого из концов трубки вычисляется по формуле

10

где Гщ к - функция Ферми - Дирака Суммирование проходит по всем неэквивалентным квантовым состояниям Формально переход от суммирования к интегрированию в формуле (4) происходит при длине трубки Ь-»со Пределы суммирования и интегрирования при каждом фиксированном дискретном квантовом числе т могут быть определены геометрически по положению линии разрешенных состояний на плоскости т,к относительно

Рис 4 Неэквивалентные дискретные квантовые состояния ;г—электронов углеродной нанотрубки с индексами (10,9) в плоскости квантовых чисел т,к

Ток, протекающий по трубке, в предположении отсутствия рассеивания, может быть вычислен как разность электронных потоков от правого и левого концов трубки Рассматривается термодинамически равновесное состояние левого и правого концов трубки, в силу того, что химический потенциал в состоянии термодинамического равновесия одного конца трубки больше потенциала второго, т к на него подано напряжение V, общий поток электронов'через трубку не равен нулю и при Т=0 может быть найден из (4)

П ш

в ко орой предполается, энергия связи Е° в (3) равна нулю, напряжение V больше нул", дискретные значения определяют минимальные значения энергии на соответствующих ветвях энергетического спектра определяемые через знЕчения квантовых чисел т

Для трубок малого радиуса вольт-амперная характеристика представляет собой ку;очно-линейную кривую В точках изменения угла наклона вольт-амперной

И

характеристики химическим потенциал сравнивается со значением энергии дискретного квантового состояния, что приводит к включению в проводимость нового баллистического канала (см рис 5) При увеличении радиуса, интервалы линейных участков сокращаются и ломаная линия переходит в растущую кривую напоминающую параболу

(10,9)

Рис 5 Вольт-амперные характеристики металлической и полупроводниковой углеродной нанотрубки

Кондактанс углеродной нанотрубки при нулевой температуре, согласно формуле (5), имеет вид Е"

У ь ^

е|У

©(еУ-Е1)

Для проводящей нанотрубки одно из значений Е™„ при т=т. равно нулю, поэтому в сумме при малом напряжении V будет только два слагаемых, каждое из которых равно единице, в результате кондактанс проводящей

трубки равен 4 Соответственно для диэлектрической трубки при малых

напряжениях число слагаемых равно нулю, поэтому кондактанс трубки равен

нулю, при напряжении |е|У>^ трубка становится проводящей и в сумме

появляется одно отличное от нуля слагаемое (см рис 6)

Включение магнитного поля приводит к изменению ширины запрещенной щели При

значениях магнитного потока ^Фо и Фо щель в спектре диэлектрических нанотрубок

исчезает Металлические трубки в магнитном поле становятся диэлектрическими (см рис б) Увеличение температуры размывает дискретный характер зависимости кондактанса от напряжения Это связано с тем, что термически возбуждается много каналов ответственных за проводимость трубки При нулевой температуре вероятность возбуждения канала принимает значения равные 1 для включенного канала и 0 для не включенного канала, при температуре отличной от нуля эта вероятность меняется от 0 до 1 в зависимости

от энергии состояния При больших температурах кондактанс трубки слабо зависит от магнитного поля

(20,10) (Ю.9)

Рис б Зависимость кондактанса металлической и диэлектрической трубки от напряжения при различных значениях магнитного потока

Дифференциальный кондактанс g = (производная тока по напряжению) более

сП/

чувствителен к включению "новых" каналов проводимости при увеличении напряжения связанных с различными ветвями спектра электронов, в результате по особенностям в поведении дифференциального кондактанса можно определить положение энергетических минимумов ветвей электронного спектра Дифференциальный кондактанс нанотрубки при нулевой температуре имеет ступенчатый вид, увеличение температуры приводит к размытию ступенек На рис 7 представлены численные расчеты дифференциального кондактанса нанотрубки (210,0) как функции напряжения для различных температур, повышение температуры приводит к сглаживанию особенностей дифференциального кондактанса

Рис 7 Зависимость дифференциального кондактанса % углеродной нанотрубки (210,0) от напряжения при различных значениях температуры

Для определения намагниченности углеродных нанотрубок воспользуемся формулой

дП

М =--Значение термодинамического потенциала при температуре равной нулю в

ан

рамках используемого приближения определяется следующим образом 4ЬЛ/2шГ

Я = —

з«*

где ц - химический потенциал, определяемый при нулевом магнитном поле, Етп0 -минимальное значение энергии для магнитного ш и радиального п квантовых чисел, определяющих состояние электрона на трубке при к=0

008 0,06 0,04-

-0 02-0 04 -0 06-■0 0В'

М т. Мб т0

0.5 Об 07 08 09 I

-0 02 -0 04-0 06-•0 08

М т.

Цб т„

\ 0 1 ОД 03 0 4 С 5 06 0 7 08 09 1

а)Я = 20А 6)11 = 23 44А

Рис 8 Зависимость магнитного момента (на один атом) от значения магнитного потока для однослойных трубок различного радиуса в модели локализованных электронов

На рис 8 представлен численный расчет магнитного момента однослойны? углеродных нанотрубок в зависимости от величины магнитного поля направленного вдоль осей трубок Как следует из рисунка, магнитный момент периодичен по магнитному потоку На графиках имеются две точки, в которых происходит излом производной Эти изломы вызваны пересечением уровня Ферми с термами энергетического спектра, которые смещаются под действием магнитного поле

Основные выводы

• На основе рассмотрения двух структурных базисов идеальных однослойны? углеродных нанотрубок проведена классификация нанотрубок по их симметрии

• Используя симметрийные характеристики трубок-составляющих двухслойной нанотрубки, исследовано поведение энергии связи двухслойной трубки связанное с ван-дер Ваальсовским взаимодействием Определены минимумы энергии взаимодействия двух трубок при их относительном сдвиге и повороте

• Используя представление о нанотрубке как наборе дискретных спиралей, рассчитан структурный фактор нанотрубки

• Рассмотрены феноменологические модели энергетических спектров электронов на поверхности однослойной нанотрубки

• Рассчитаны численно вольт-амперные характеристики и кондактанс идеальной нанотрубки в баллистическом приближение с использованием однопараметрической модели сильной связи

• Исследованы зависимости кондактанса от величины магнитного поля направленного вдоль оси трубки и от температуры в широкой области полей и температур

• Проведен расчет магнитной восприимчивости углеродных проводящих трубок с использованием простой модели спектра электронов

Список публикаций по теме диссертации

1 С С Савинский, А В Балослудцев Электронный спектр многослойной углеродной нанотрубки в модели цилиндрических потенциальных ям // Труды XXIX Международной зимней школы по теоретической физике "Коуровка-2002" "ИФМ УрОРАН Екатеринбург 2002 С.169-170

2 С С Савинский, А В Белослудцев Феноменологические модели для расчета намагниченности многослойных углеродных нанотрубок // Химическая физика и мезоскопия Ижевск ИПМ УрОРАН Изд дом "Удм ун-т" 2002 Т 4 №2 С249-260

3 С С Савинский, А В Белослудцев Кондактанс однослойных углеродных нанотрубок в однопараметрической модели сильной связи // ФТТ 2004 Т46 В 7 С 1333-1338

4 А В Белослудцев Численный расчет вольтамперной характеристики идеальной нанотрубки // Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов-2003" Сборник тезисов, секция физика Москва МГУ 2003 С 249

5 С С Савинский, А В Белослудцев, М А Костенкова Симметрийный анализ многослойных нанотрубок // Труды XXX Международной зимней школы по теоретической физике "Коуровка-2004" ИФМ УрОРАН Екатеринбург 2004 С 53

6 С С Савинский, А В Белослудцев, Численный расчет вольт-амперных характеристик углеродных нанотрубок // Труды XXX Международной зимней школы по теоретической физике "Коуровка-2004" ИФМ УрОРАН Екатеринбург 2004 С 121

7 С С Савинский, А В Белослудцев Нанодвижители на основе углеродных нанотрубок // Труды XI Национальной конференции по росту кристаллов (НКРК-2004) Москва Институт кристаллографии РАН 2004г С 444

8 С С Савинский, А В Белослудцев Симметрийный анализ относительных движений в двухслойной нанотрубке // Письма в ЖТФ 2005 Т31 В 16 С 42-48

9 С С Савинский, А В Белослудцев Структурный фактор многослойной углеродной лакотрубки Симметрийный анализ // Тезисы докладов 5-ой Национальной конференции по

15

применению рентгеновского, синхротронного излучений, нейтронов и электронов идя исследования наноматериалов и наносистем М ИК РАН 2005 С 289

10 С С Савинский, А В Белослудцев Симметрийный анализ относительных движений в двухслойной нанотрубке // Труды XXXI Международной зимней школы по теоретичес <ой физике "Коуровка-2006" ИФМ УрОРАН Екатеринбург 2006 С 46

11 С С Савинский, А В Белослудцев Феноменологические модели электронных спектров углеродных нанотрубок // Труды XXXI Международной зимней школы по теоретической физике "Коуровка-2006" ИФМ УрОРАН Екатеринбург 2006 С 47 1

Отпечатано с оригинал-макета заказчика

Подписано в печать 14 02 2007 Формат 60x84 1/16 Тираж 100 экз Заказ № 264

Типография ГОУВПО «Удмуртский государственный университет» 426034, Ижевск, ул Университетская, 1, корп 4

Введение

Глава 1. Углеродные нанотрубки и перспективы их применения

1.1. Виды нанотрубок

1.2. Способы получения

1.3. Свойства нанотрубок

1.4. Применения нанотрубок 36 Выводы по главе

Глава 2. Геометрические свойства идеальной углеродной нанотрубки

2.1 Геометрия идеальной нанотрубки

2.2 Элементы симметрии углеродных нанотрубок

2.3 Энергия взаимодействия двухслойной трубки

2.4 Структурная амплитуда однослойной углеродной нанотрубки 55 Выводы по главе

Глава 3. Феноменологические модели энергетического спектра электрона

3.1 Приближение дельтообразных цилиндрических потенциальных ям

3.2 Электрон на цилиндре

3.3 Феноменологические модели энергетического спектра электрона на 64 поверхности цилиндра с учетом спина и спин-орбитального взаимодействия

3.4 Однопараметрическая модель сильной связи

3.5 Модель трубки заполненной металлом 81 Выводы по главе

Глава 4. Электрические свойства и магнитная восприимчивость углеродной 84 нанотрубки

4.1 Кондактанс идеальной однослойной нанотрубки

4.2 Магнитная восприимчивость углеродной нанотрубки 94 Выводы по главе

Актуальность темы:

Углеродные нанотрубки были экспериментально получены в 1991г. японским физиком-исследователем Иджимой. Нанотрубки представляют собой цилиндрические макромолекулы диаметром порядка нанометра и длиной до нескольких микрон, состоящие из одного или нескольких свернутых в трубку гексагональных графитовых слоев обычно закрытых полусферой. Сегодня углеродные трубки применяются в разработках нового поколения приборов имеющих молекулярные размеры, новых полимерных материалов с улучшенными физико-химическими свойствами, обсуждаются проблемы создания на основе трубок контейнеров для хранения водорода, и т.д.

Полученные экспериментально нанотрубки принимают спиралевидные, клубкообразные формы вперемешку с фуллеренами и аморфным углеродом. По внешнему виду это черный порошок, который очищают механическими и химическими способами. Существует много экспериментальных методик получения нанотрубок, но о промышленном производстве речь пока не идет в связи с высокой стоимостью.

Ряд уникальных свойств углеродных нанотрубок: варьируемая в зависимости от симметрии трубки ширина запрещенной щели, высокая прочность, указывают на возможность применения этих объектов в наноэлектронике и наномеханике. Несмотря на имеющиеся трудности по получению, нанотрубки имеют хорошие перспективы для использования в наноэлектронике. Вопросы использования нанотрубок в качестве диода, транзистора, иглы атомно-силового микроскопа, материала для получения низковольтовых эмиттеров и многие др. широко обсуждаются в литературе.

Цель работы

Целью диссертационной работы явился симметрийный анализ однослойных и многослойных нанотрубок с целью предсказания их физических свойств; исследование феноменологических моделей электронных спектров однослойных углеродных нанотрубок для прогнозирования электрических и магнитных характеристик.

Для реализации этой цели рассмотрены следующие задачи;

1. Выполнена классификация идеальных однослойных и многослойных углеродных нанотрубок по группам симметрии, проведен анализ скалярных функций, обладающих симметрией нанотрубки.

2. Разработана методика расчета структурного фактора нанотрубки в зависимости от симметрии.

3. Рассмотрены феноменологические модели электронных спектров углеродных нанотрубок в рамках различных приближений.

4. Проведен теоретический анализ вольт-амперных характеристик и кондактанса углеродных нанотрубок, также магнитных свойств в широкой области магнитных полей и температур с использованием феноменологических моделей электронных спектров.

Методы исследования

Для решения поставленных задач использованы методы современной математической и теоретической физики: теория групп, квантовой механики, статистической физики, кристаллографии и методы компьютерного моделирования.

Научная новизна

Исследовано поведение энергии связи двухслойных трубок при пространственном изменении их относительной ориентации (сдвиге и повороте). Проведен анализ структурного фактора нанотрубки для случая произвольной симметрии. Впервые сделан теоретический расчет вольт-амперных характеристик однослойных углеродных нанотрубок в широкой области магнитных полей и температур с использованием феноменологической модели электронного спектра в приближении сильной связи.

Научная и практическая ценность

Проведенные исследования могут быть использованы для экспериментальной идентификации однослойных нанотрубок на основе данных по рассеянию. Результаты теоретического расчета вольт-амперных характеристик нанотрубок могут быть использованы для создания наноэлектронных приборов на основе углеродных нанотрубок. Анализ энергии связи двухслойной нанотрубки может быть использован для создания нового класса нанодвижителей (наноподшипник, нанопружины и др.)

На защиту выносится:

-анализ энергии межслоевого взаимодействия для двухслойной нанотрубки на основе симметрийных характеристик однослойных трубок;

-феноменологические модели электронного спектра однослойных нанотрубок;

-теоретический анализ особенностей вольт-амперных характеристик однослойных углеродных трубок для широкого диапазона магнитных полей и температур.

Апробация работы. Основные результаты диссертационных исследований были доложены на следующих конференциях:

1. XXIX Международная зимняя школа по теоретической физике "Коуровка-2002" ИФМ УрОРАН (Екатеринбург, 2002).

2. Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам, "Ломоносов-2003" (Москва, МГУ,2003).

3. XXX Международная зимняя школа по теоретической физике "Коуровка-2004", ИФМ УрОРАН (Екатеринбург, 2004).

4. XI Национальная конференция по росту кристаллов (НКРК-2004), Москва, Институт кристаллографии РАН (2004).

5. 5-ая Национальная конференция по применению рентгеновского, синхротронного излучений, нейтронов и электронов для исследования наноматериалов и наносистем, Москва ИК РАН (2005).

6. XXXI Международная зимняя школа по теоретической физике "Коуровка-2006", ИФМ УрОРАН (Екатеринбург, 2006).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 11 работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, изложена на 108 страницах машинописного текста, включая 54 рисунков. В списке литературы приведено 101 цитируемых работ отечественных и зарубежных авторов.

Выводы по главе 4

1. Рассчитаны и проанализированы вольт-амперные характеристики и кондактансы углеродных нанотрубок для энергетического спектра найденного из приближения сильной связи. Расчеты вольт-амперной характеристики и кондактанса выполнены с учетом температур и магнитных полей направленных вдоль оси трубки.

2. Проведены расчеты намагниченности углеродных нанотрубок с использованием различных энергетических спектров найденных из простых моделей.

Заключение

В целом по работе можно сделать следующие краткие выводы:

• Проведена классификация нанотрубок по их симметрии.

• Используя симметрию трубок-составляющих двухслойной нанотрубки, исследовано поведение энергии связи двухслойной трубки связанное с ван-дер-Ваальсовским взаимодействием. Определены минимумы энергии взаимодействия двух трубок при их относительном сдвиге и повороте.

• Представляя нанотрубку как набор дискретных спиралей, рассчитан структурный фактор произвольной нанотрубки.

• Рассмотрены феноменологические модели энергетических спектров электронов на поверхности однослойной нанотрубки.

• Рассчитаны численно вольт-амперные характеристики и кондактанс идеальной нанотрубки, расчет сделан в баллистическом приближение с использованием однопараметрической модели сильной связи.

• Исследованы зависимости кондактанса от величины магнитного поля направленного вдоль оси трубки и от температуры в широкой области полей и температур.

• Проведен численный расчет магнитной восприимчивости углеродных проводящих трубок с использованием простой модели спектра электронов.

1. N. Hamada, S. Sawad, A. Oshiyama New one-dimensional conductors: Graphitic microtubules // Phys. Rev. Lett. 68 1579 (1992)

2. S. Iijima, T. Ichihashi Single-shell carbon nanotubes of 1-nm diameter // Nature (London) 363 603 (1993)

3. M.S. Dresselhaus Down the straight and narrow // Nature (London) 358 195 (1992)

4. R. Saito, M. Fujita, G. Dreselhaus, M.S. Dreselhaus Electronic structure of chiral graphene tubules // Appl. Phys. Lett. 60 2204 (1992)

5. J. C. Charlier, J.P. Michenaud Energetics of multilayered carbon tubules // Phys. Rev. Lett. 70 1858(1993)

6. K. Harigaya From C6o to a fullerene tube: Systematic analysis of lattice and electronic structures by the extended Su-Schrieffer-Heeger model // Phys. Rev. В 45 12071 (1992)

7. A. Thess, R. Lee Crystalline ropes of metallic carbon nanotubes // Science 273 483 (1996)

8. D. Bernaerts et al. in Physics and Chemistry of Fullerenes and Derivatives (Eds H Kuzmany et al.) (Singapore: World Scientific, 1995) p. 551

9. V.Z. Mordkovich, M. Baxendale, S. Yoshimura IntercalaVtion into carbon nanotubes // Carbon 34 1301 (1996)

10. V.Z. Mordkovich et al. In New Horizons of p-Electron Materials (Berlin: Springer-Verlag, 1997)

11. R.S. Ruoff, J. Tersoff, C.L. Donald, S. Subramoney, B. Chan Radial deformation of carbon nanotubes by van der Waals forces // Nature (London) 364 514(1993)

12. O. Zhou, R.M. Fleming Defects in nanostructures // Science 263 1744 (1994)

13. M. Kosaka, T.W. Ebbesen, H. Hiura, K. Tanigaki Annealing effect on carbon nanotubes. an esr study // Chem. Phys. Lett. 233 47 (1995)

14. L.A. Bursill, J.L. Peng, X.D. Fan Joint density of states of wide-band-gap materials by electron energy loss spectroscopy // Modern Physc. Lett. В 12 1161 (1998)

15. S. Amelinckx, X.B. Zhang, D. Bernaerts, X.F. Zhang, V. Ivanov, J.B. Nagy A formation mechanism for catalytically grown Helix-Shaped graphite nanotubes //Science265 635 (1994)

16. D.N. Weldon, W.J. Blau, H.W. Zandlbergen A high resolution electron microscopy investigation of curvature in carbon nanotubes // Chem. Phys. Lett 241 365 (1995)

17. R.S. Ruoff, D.C. Lorents Mechanical and thermal properties of carbon nanotubes // Carbon 33 925 (1995)

18. E.W. Wong, P.E. Sheehan, C.M. Lieber Nanobeam mechanics: elasticity, strength, and toughness of nanorods and nanotubes // Science 277 1971 (1997)

19. S.B. Sinnott, O.A. Shederjva, C.T. White, D.W. Brenner Mechanical properties of nanotubule fibers and composites determined from theoretical calculations and simulations // Carbon 36 1 (1998)

20. J. Bernholc, C. Brabec, M. Nadelli, M. Buongiorno, A. Maiti, C. Roland, B.I. Yacobson Theory of growth and mechanical properties of nanotubes // Appl. Phys. A 67 39 (1998)

21. S.A. Chesnokov, V.A. Nalimova, A.G. Rinzler, R.E. Smalley, J.E. Fischer Mechanical Energy Storage in Carbon Nanotube Springs // Phys Rev. Lett. 82 343 (1999)

22. J.N. Coleman, S. Curran, A.B. Dalton, A.P. Davey, B. Mc Carthy, W. Blau, R.C. Barklie Physical doping of a conjugated polymer with carbon nanotubes // Synth. Met. 102 1174(1999)

23. A.B. Dalton, R.C. Barklie, J.N. Coleman, S. Curran, A.P. Davey, B. Mc Carthy, W. Blau Physical doping of a conjugated polymer with carbon nanotubes // Synth. Met. 102 1174(1999)

24. L. Dai Advanced syntheses and microfabrications of conjugated polymers, C60-containing polymers and carbon nanotubes for optoelectronic applications // Polym. Adv. Technol. 10 357 (1999)

25. P.M. Ajayan, 0. Stephan Aligned carbon nanotube-arrays formed by cutting a polymer resin-nanotube composite // Science 265 1212 (1994)

26. L. Jin, C. Bower, 0. Zhou Alignment of carbon nanotubes in a polymer matrix by mechanical stretching // Appl. Phys. Lett. 73 1197 (1998)

27. R. Andrews, D. Jacques, A.M. Rao, F. Derbyshire, D. Qian, X. Fan, E.C. Dickey, J. Chen Continuous production of aligned carbon nanotubes: a step closer to commercial realization // Chem. Phys. Lett. 303 467 (1999)

28. B. Vigolo, A. Penicaud, C. Coulon Macroscopic fibers and ribbons of oriented carbon nanotubes // Science 290 1331 (2000)

29. P. Calvert Nanotube composites: A recipe for strength // Nature (London) 399 210(1999)

30. N.J. Coleman, S. Curran, A.B. Dalton, A.P. Davey, B. McCarthy, W. Blau, R.C. Barklie Percolation-dominated conductivity in a conjugated-polymer-carbon-nanotube composite // Phys. Rev. В 58 7492 (1998)

31. L. Sun, R.M. Crooks fabrication and characterization of single pores for modeling mass transport across porous membranes // Langmuir 15 738 (1999)

32. C.L. Xu, B.Q. Wei, R.Z. Ma, J. Liang, X.K. Ma, D.H. Wu Fabrication of aluminum-carbon nanotube composites and their electrical properties // Carbon 37 855 (1999)

33. Ming Zhang, J.H. Zhao, Zh. Wu, B.Q. Wei, Ji Liang, L.M. Cao, Y.F. Xu, W.K. Wang Large-area synthesis of carbon nanofiber films // J. Mater. Sci. Lett. 17 2109(1998)

34. S.-L. Huang, M.R. Koblischka, K. Fossheim, T.W. Ebbesen, Т.Н. Johansen Microstructure and flux distribution in both pure and carbon-nanotube-embedded Bi2Sr2CaCu208+A superconductors // Physica С 311 172 (1999)

35. P. Yang, C.M. Lieber Nanorod-superconductor composites: a pathway to materials with high critical current densities // Science 273 1836 (1996)

36. Ch. Laurent, A. Peigney, A. Rousset Synthesis of carbon nanotube-Fe-Al2C>3 nanocomposite powders by selective reduction of different Al1.8Feo.2O3 solid solutions // J. Mater. Chem. 8 1263 (1998)

37. Ch. Laurent, A. Peigney, E. Flahaut, A. Rousset Synthesis of single-walled carbon nanotube-co-mgo composite powders and extraction of the nanotubes // J. Mater. Chem. 10 249 (2000)

38. R.H. Baughman, C. Cui, A.A. Zakhidov Carbon nanotube actuators // Science 284 1340(1999)

39. J. N. Barisci, G.G. Wallace, R.H. Baughman Electrochemical studies of single-wall carbon nanotubes in aqueous solutions // J. Electroanal. Chem. 488 92 (2000)

40. J.W.G. Wildoer, L.C. Venema, A.G. Rinzler, R.E. Smalley, C. Dekker Electronic structure of atomically resolved carbon nanotubes // Nature (London) 391 59 (1998)

41. M. Bockrath, D.H. Cobden Single-electron transport in ropes of carbon nanotubes // Science 275 1922 (1997)

42. P. Delaney, H.J. Choi, J. Ihm, S.G. Louie, M.L. Cohen Broken symmetry and pseudogaps in ropes of carbon nanotubes // Nature (London) 391 466 (1998)

43. J. Han, M.P. Anantram, R.Z. Jaffe, J. Kong, H. Dai Observation and modeling of single-wall carbon nanotube bend junctions // Phys. Rev. В 57 14983 (1998)

44. R.D. Antonov, A.T. Johnson Subband Population in a Single-Wall Carbon Nanotube Diode // Phys. Rev. Lett. 83 3274 (1999)

45. A.A. Farajian, K. Esfarjani, Y. Kawazoe Localized basis set optimization // Computational Materials Science 15 351 (1999)

46. A.A. Odintsov, Y. Tokura Contact phenomena in carbon nanotubes // J. Phys. В 118 509 (2000)

47. S.J. Tans, A.R.M. Versueren, C. Dekker Room-temperature transistor based on a single carbon nanotube // Nature (London) 393 49 (1998)

48. Z. Yao, H.W.Ch. Postma, L. Balents, C. Dekker Carbon nanotube intramolecular junctions // Nature (London) 402 273(1999)

49. L. Roschier, J. Penttila, M. Martin, P. Hakonen, M. Paalanen, U. Tapper, U.I. Kauppinen, C. Journet, P. Bernier Single-electron transistor made of multiwalled carbon nanotube using scanning probe manipulation // Appl. Phys. Lett. 75 728 (1999)

50. H. Nishijima, S. Akita, Y. Nakayama Carbon nanotube tips for a scanningprobe microscope: their fabrication and properties // Jpn. J. of Phys. D: Appl. Phys. 32 1044(1999)

51. Y.-K. Kwon, D. Tomanek, S. Iijima "Bucky Shuttle" Memory Device: Synthetic Approach and Molecular Dynamics Simulations // Phys. Rev. Lett. 82 1470 (1999)

52. B.W. Smith, M. Monthioux, D.E. Luzzi Encapsulated Сбо in carbon nanotubes // Nature (London) 396 323 (1998)

53. B.W. Smith, D.E. Luzzi Formation mechanism of fullerene peapods and coaxial tubes: a path to large scale synthesis // Chem. Phys. Lett. 321 169 (2000)

54. D.E. Luzzi, B.W. Smith Carbon cage structures in single wall carbon nanotubes: a new class of materials // Carbon 38 1751 (2000)

55. T. Rueckes, K. Kim, E. Joselevich Carbon nanotube-based nonvolatile random access memory for molecular computing // Science, 289 94 (2000)

56. T.W. Tombler, C. Zhou, L. Alexseyev, J. Kong, H. Dai, L. Liu, C.S. Jayanthi, M. Tang, S.-Y. Wu Reversible electromechanical characteristics of carbon nanotubes under local-probe manipulation // Nature (London) 405 769 (2000)

57. M. Endo, C. Kim, K. Nishimura, T. Fujino, K. Miyashita Recent development of carbon materials for li ion batteries // Carbon 38 183 (2000)

58. J. Zhao, A. Buldum, J. Han, J.P. Lu First-principles study of li-intercalated carbon nanotube ropes //Phys. Rev. Lett. 85 1706 (2000)

59. C. Bower, S. Suzuki, K. Tanigaki, O. Zhou Synthesis and structure of pristine and alkali-metal-intercalated single-walled carbon nanotubes // Appl. Phys. A 67 47(1998)

60. A. Claye, J.E. Fischer, A. Metrot Kinetics of alkali insertion in single wall carbon nanotubes: an electrochemical impedance spectroscopy study // Chem. Phys. Lett. 330 61 (2000)

61. E. Frackowiak, S. Gautier, H. Gaucher, S. Bonnamy, F. Beguin Electrochemical storage of lithium in multiwalled carbon nanotubes // Carbon 37 61 (1999)

62. M. Endo, C. Kim, K. Nishimura, T. Fujino, K. Miyashita Recent development of carbon materials for li ion batteries // Carbon, 38 183 (2000)

63. A.C. Dillon, K.M. Jones, T.A. Bekkedahl, C.H. Kiang, D.S. Bethune, M.J. Heben Storage of hydrogen in single-walled carbon nanotubes // Nature (London) 386 377 (1997)

64. C. Liu, Y.Y. Fan, M. Liu, H.M. Cong, M.S. Dresselhaus Ydrogen storage in single-walled carbon nanotubes at room temperature // Science 286 1127 (1999)

65. Y. Ye, C.C. Ahn, C. Witham, B. Fultz, J. Liu, A.G. Rinzler, D. Colbert, K.A. Smith, R.E. Smalley Hydrogen adsorption and cohesive energy of single-walled carbon nanotubes // Appl. Phys. Lett. 74 2307 (1999)

66. H. Yorikawa, S. Muramatsu Electronic properties of semiconducting graphitic microtubules // Phys. Rev. В 50 12203 (1994)

67. А.В. Елецкий Углеродные нанотрубки // УФН 167 9 945 (1997)

68. А.В. Елецкий Эндоэдральные структуры (Обзоры актуальных проблем) // УФН 170 2 113 (2000)

69. А.В. Елецкий Сорбционные свойства углеродных наноструктур // УФН 174 11 1191 (2004)

70. Э.Г. Раков Химия и применение углеродных нанотрубок // Успехи химии 70 10 934 (2001)

71. H. Dai, J.H Hafnet, A.G. Rinzler Nano tubes as nanoprobes in scanning probe microscopy// Nature (London) 384 147 (1996)

72. A.B. Елецкий Углеродные нанотрубки и их эмиссионные свойства (Обзоры актуальных проблем)//УФН 172 4 401 (2002)

73. Н.В. Хохряков, F.S. Melchor Электронные свойства контактов идеальных углеродных нанотрубок // Химическая физика и мезоскопия 1 N2.

74. М. Damnjanovic, I. Milosevic, Т. Vukovic, R. Sredanovic Symmetry and lattices of single-wall nanotubes // J. Phys. A 32 4097 (1999)

75. Дж. Эллиот, П. Добер Симметрия в физике Том 1. М. Мир 364 (1983)

76. L.A. Girifalco, М. Hodak FuIIerenes inside carbon nanotubes and multi-walled carbon nanotubes: optimum and maximum sizes // Chem. Phys. Lett. 350 405 (2001)

77. Ю.Е. Лозовик, A.M. Попов, B.A. Беликов Классификация двухслойных нанотрубок с соизмеримыми структурами слоев // ФТТ 45 7 (2003)

78. А.Н. Kolmogorov, V.H. Crespi Smoothest bearings: interlayer sliding in multiwalled carbon nanotubes // Phys. Rev. Lett. 85 4727 (2000)

79. Б.П. Тарасов, Н.Ф. Гольдшлегер, А.П. Моравский Водородсодержащие углеродные наноструктуры: синтез и свойства // Успехи химии 70 2 (2001)

80. Б.К. Вайнштейн Современная кристаллография (в четырех томах). Том 1. симметрия кристаллов. Методы структурной кристаллографии. М. Наука (1979)

81. Ч. Кантор, П. Шиммел Биофизическая химия. Том 2. М:Мир 493 (1984)

82. С.С. Савинский, А.В. Белослудцев, М.А. Костенкова Симметрийный анализ многослойных нанотрубок // Труды XXX Международной зимней школы по теоретической физике "Коуровка-2004". ИФМ УрОРАН. Екатеринбург. 2004. С.53.

83. С.С. Савинский, А.В. Белослудцев Нанодвижители на основе углеродных нанотрубок // Труды XI Национальной конференции по росту кристаллов (НКРК-2004). Москва. Институт кристаллографии РАН. 2004г. С.444.

84. С.С. Савинский, A.B. Белослудцев Симметрийный анализ относительных движений в двухслойной нанотрубке // Письма в ЖТФ. 2005. Т.31. В. 16. С.42-48.

85. С.С. Савинский, А.В. Белослудцев Симметрийный анализ относительных движений в двухслойной нанотрубке // Труды XXXI Международной зимней школы по теоретической физике "Коуровка-2006". ИФМ УрОРАН. Екатеринбург. 2006. С.46.

86. С.С. Савинский, А.В Белослудцев Электронный спектр многослойной углеродной нанотрубки в модели цилиндрических потенциальных ям // Труды XXIX Международной зимней школы по теоретической физике "Коуровка-2002". ИФМ УрОРАН. Екатеринбург. 2002. С. 169-170.

87. С.С. Савинский, А.В. Белослудцев Феноменологические модели электронных спектров углеродных нанотрубок // Труды XXXI Международной зимней школы по теоретической физике "Коуровка-2006". ИФМ УрОРАН. Екатеринбург. 2006. С.47.

88. А.С. Давыдов Квантовая механика М. Наука 1973 С.748

89. Л.И. Магарилл, Д.А. Романов, А.В. Чаплик Баллистический транспорт и спин-орбитальное взаимодействие двухмерных электронов на цилиндрической поверхности//ЖЭТФ 1998 113 4 1411

90. Л.И. Магарилл, А.В. Чаплик Влияние спин-орбитального взаимодействия двумерных электронов на намагниченность нанотрубки // ЖЭТФ 1999 115 4 1478

91. Л.И. Магарилл, М.В. Энтин Электроны в криволенейной квантовой проволоке // ЖЭТФ 2003 123 4 897

92. M. S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, C. Eklund Science of Fullerenes and Carbon Nanotubes Academic Now York (1996)

93. A.B. Котосонов, B.B Атражев Особенности электронной структуры углеродных многослойных нанотрубок // Письма в ЖЭТФ 2000 72 2 76

94. А.А. Овчинников, В.В. Атражев Магнитная восприимчивость многослойных углеродных нанотрубок // ФТТ 1998 40 10 1950

95. С.С. Савинский, А.В. Белослудцев Кондактанс однослойных углеродных нанотрубок в однопараметрической модели сильной связи // ФТТ. 2004. Т.46.В.7. С.1333

96. H.A. Поклонский, Е.Ф. Кисляков, Г.Г. Федорук, С.А. Вырко Модель электронной структуры наполненной металлом углеродной нанотрубки // ФТТ 2000 42 10 1911

97. В.Я. Демиховский, Г.А. Вугалтер Физика квантовых низкоразмерных структур Логос М 248 (2000)

98. О. Маделунг Теория твердого тела М. Наука (1980)