Симметрия и редукция нелинейных уравнений типа Фоккера-Планка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Нацюнальна академи наук Украши ^ д 1нститут математики

РГВ з од

На правах рукопису

ЧЕРКАСЕНКО Вадим Павлович

СИМЕТР1Я ТА РЕДУКЦШ НЕЛ1Н1ЙНИХ РЮНЯНЬ ТИПУ ФОККЕРА-ПЛАНКА

01.01.03 - матемаигта ф1зпка

Автореферат дисертацл на здобуття наукового ступеня кандидата ф13пхо-математ1гчних наук

Кшв -1995

Робота впконана в 1нстптут1 математики HAH Украши.

Науковнп кер1вник: член-кореспондент HAH Украши, доктор ф1з.-мат. наук, професор ФУЩИЧ B.I.

Офщшш опоненти: доктор фю.-мат. наук,

Провздна оргап'юащя: Кшвсьхпл Нацюнальнил университет iM. Тараса Шевченжа.

при 1нсгитутд математики HAH Украши за адресою: 252601 Ктв 4, МОП, вул. Терещешлвсьха 3.

3 дпсертащею можна ознайомитися в б1блютещ шституту.

професор ЛОПАТ1Н O.K.

кандидат ф13.-мат. наук, доцент СТОГШЙ B.I.

Вчений секретар спещалгювано! ради доктор ф 13.-мат. наук

ЛУЧКА А.Ю.

Загальна характеристика роботи Актуалыпсть -теми. Диферешнальт р5вняння, що описують ф1зичш процесп, як правило, мають шпроку «iMCTpiro. Наявшсть симетри може бути одним а критерП'в вибору оптимально*! матема-тпчноГ модели серед деякоУ множини р1внянь. Особливу актуальшсть i ефектпвшсть набувають методи симетршного ananioy для нслшш-них рдвнянь, для яких важко внкористатп класпчт методи матема-тичноУ фюикп. Велик! можливосп класнфкапй' та побудови точних розв'яз5пв р1внянь математично! фюпкп викрнвають започатковаш в роботах Софуса Jli т е о р с т ико- ал г е б р а 1 ч н i методи, як\ останшм часом швидко розвпваються i широко застосовуються (Л.В. Овсяншков, П. Олвер, Н.Х. Крапмов, B.I. Фущич).

Дисерташя присвячена дослщженню епметршних властивостей нелшшнпх pißiiaub тппу Фоккера-Планка. Лiniiiuc р^вняння Фокке-ра-Планка (РФП) лежпть в осшш теорй марковських процеав. Во-но широко оастосовуеться в прпроднпчих науках: ф1оищ, бюлогй", xiMii, медпишп. 3 математично! точки зору варто вщзначити, що аларат Tcopii пмстарностей не дае эмогп будуватп класи точнпх роз-в'яоыв РФП. Тому дощльно застосовувати до ного дослдакення методи ]нших галузен математики, зокрема спметршного аналюу.

Результат!!, отримаш в дпсергацп, лежать в pyc.ii дослщжень, що проводяться у тдд1."п прпкладнпх дослЦжонь 1нституту математики HAH Украшп.

Мета роботи. До сложения снметрп нелшшнпх piBHHHb тппу Фоккера-Планка. Знаходження додатковпх дпференшйних умов,як1 роз-ширюють симетрт РФП. Побудова анзащв та рсдукщя нелшшного РФП. знаходження клаав його точних розв'ячюв. Загальна методика дослщжень. В робот1 впкорпстовуються тео-ретико-алгебраУчш методи математпчноУ фюпки, методи теорй* ди-ференцшнпх р^впянь.

Наукова новизна. Основш результата, отрнмащ в дисертацП, такк

• дос.-нджена лнвсыса та умовна спметр1я нелшшного узагальнення 6araTOBiiMii)iioro р1вняння Фоккера-Планка з постшним косфщь ентом дпфутш. OnncaHi умови на розв'япкп РФП, при яких до-сягаеться гал!лей-швар1антшсть цього р1вняння. Побудоваш ан-оацп, проведена редукщя багатовт.прппх ришянь до ЗДР та piß-

нянь о меншою кгаысютю змшнпх. Зиайдсш класп точнпх розв'яз ив оагатовшпрного РФП;

• вивтена лпвсыа та умовна снметр^я одновтпрного РФП 3i змш-ним коефвдепто« дифузЛ та нел1тхппстю. Внкорлстовую'га умо-вну cuireTpiio, отбудоваш анзаци, проведена редукшя до ЗДР та одержан! клася точних розв'язюв одновишрного РФП;

• вивчена симетр5* одновш,нрного РФП з потешда.том. Встано-влена умовна raiinen-iHBapiaHTiricTb такого р1вняння. 3 вико-ристанням одерханнх оператор1в побудоваш анзаци, проведена редукшя та одержат к.таси точних розв'язюв РФП з потенща-лом.

Теоретична i практична цшшсть. Дисертацшна робота носить теоретичний характер. Bci основш результата, отрпмаш в дисер-тацп, е новпмп i мозсугь бути BnicopncraHi для розв'язування прпкла-днпх задач математп*шо1 физики, гадодинамки та пдродпнамшн. Апробацш роботи. Результати, вихладеш в диссрташУ, доповща-лись на семшарах шддалу прпкладнпх досл"|Джень 1нституту математики НАН Украшц, на нижнародшй конференци "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" та на наукових конференщях професор-сько-викладацького сжладу Мпкола^вського державного недагопчного щстптуту.

Публисацп. Основш результата дпсертапи опублшоваш в роботах

MJ.

Структура i об'ем роботи. Дисертацшна робота складаегься з встлиу, трьох ропдк-пв. внсновов та списку впкористано! л^тератури. Об'ем роботи - 91 стор'шка машинописного тексту.

3MicT роботи У BCTyni обгрувтовано актуальшсть темп, проведений короткий огдяд pnuiT по теш ддсерташ1. Сформулъоваш ocnoBHi поняття та визначення, що ппкорлстопуються в робот1. Зроблено короткий оипс зм1сту та результата? дпсертацП.

Роздш I присвяченпп аосл!ДЖсш1ю багатовпм!рного нелшшного уза-

гальнення РФПп пост1пнпм коефодентои дифузи

+ М (Ч

де р(г,х), х =(хг,г2, А^л), Р(/>) - гладо дшсш функци,а

В«0,х) = В6Л. (2)

З'ясоване пптаняя про ливську сяметрпо р1вштня (1), вважаючп Ак{Ь,х) = пк вгасршпмн фушсгахшг. То,щ (1), враховуючи (2), запи-шеться у ВНГЛ1ДЗ

Ро + ра^1 + /«с - 2-Ьр = Г(р)- (3)

Теорема 1 Ршпзкня (3) гтаргаятне пдносно таких нескгнченно-еимгрнш алгсер:

1.А= (с, = г"(г«)ав + я - ,Р я = о га(г\ =

= /'^ым - хЛ + ^ - + 1,п0ь(.т0)(.та. - хад»>), = (Ь = 1,1ц 6 ф в), для довыьног F(p);

2. Л| = (Л, Л;). Л = есх°рд,. для Г— ср\пр:

3. Л'2 — (Л, О). Зе. оператор жасштабних перетворенъ О мае ви-гляд О = 2есО,1+хада-\- крдр—а9д^, для Р1 = с/)1-» {к фО,кф 2);

.4.1 = (.Лу. Р). оператор проективню. перетворе-нь Р мае вигляд Р = .ГцЗо т .гг -Гц0а - пх0рдр +-хв9„., Лиг ^ = с/)1+";

5. Л4 =

де Х-2 = + - Щрд, - + ¿{$0хадГт,

для Р = г/»3 гтга п = 1;

6. = (Л2,Д&

<?е х, = + Щхпда - - ^тдр -

+ ^чаю*"/»-'«"^., Т - с? {с ф 0);

7. Лб = {AbI,Xi,Xb), de I- рдр,

x4 = e°(r0)3о + \е0хада -1$pd, - + №0xac>Va,

X5 = p'1 [f(xo,xa)v'dv, - /рЭл + za(x0,xa)dV{] , для F{p) = 0,

dera(x0), hal(x0), sa(x0,xb), p"(x0,xb), (°(x0), f(x0,xu...,xn) - довмът гладкг функцп, za — J (fo(x) — jAf) dxa.

Для piBMHb, подобиях до розглядуваного, ВЛ.Футцичем було аа-пропоновано пцрад, що вщкривае шпрою можливост! для застосу-вання симетрпшпх методов. Мова йде про доповнеяня (1) одним або кшькома р1внявнями, яы иовинш задовольнятн функцп Ai-(t, х) та Bik{t,x) i як! розшпрюють спметрга заданого р^вняння. Система р1внянь, що одержуеться при цьому, вже не е лшшною нав1ть при F(p) = 0, тобго для класичного РФП, i може матп нетрив1альну си-метр] ю.

В другому параграф! дослщжуеться умовна симетр1я РФП з не-лшшшетю. Вважаемо, що Л* задовольняють умовп

РФП о постштш коефпйентом дпфузп за умовп (4), тобто р1вняння

Ра + PaVa + p&v - уА/> = F(p), (5)

iHBapiaHTHe вщносно нескшченновг&ирних алгебр симетрп. Тому потребно накладатп додатков! умовп на <р. Поставнмо вимогу, щоб ко-ефщкнтш функцп Л* задовольняли р1вняння Ейлера для вдеальноУ piflHHII

3 врахуванням (4) вцщовщла умова на tp буде матп вигляд р1вняння Гамшьтона-ЯкоГл ^

YÜJr-^PaV)a = F\{p)- (7)

Теорема 2 Система pieяяпнь (5), (7) при В ф 0 iuoapianmua eidno-сно таких алгебр:

1. Ав{ 1,п) = {Рй,Ра, ь,ва,Я),

Ь

де Са = т0Ра + Жа<2, Я — , для довыьних Г , Г]/

2. ¿<?1(1,п) = (Ж?(1,п),Л), дляГ=\рм, ^ = \1Рк, к ф 0;

3. п) = (^61(1, п),А), де оператор проективних перетво-рень А мае вигляд

А — ХдР0 + х0хаРа + - для F = Ар»+1, = \\р»\

4■ Ж?з(1,н) = (.4(3(1, п),В), де оператор В мае вигляд В = Л-А,./0<7, дляРг = А1Ь/>, ^0;

5. Жм(1.и) — (ЛС(1,п),С), де оператор С мае вигляд

С = ехр{А.го} (^ф +/), для Р = Ар 1п/>, Г^А^пр, А ^ 0;

6. ЛСя(1,н) = (-4С2(1, п),1), дляР= = О, <?е X; - довйаьнг дтспг ппстшт, £ = 1,2.

Одержал! в теореш 2 алгебри дають змогу будувати анзаци та знаходпти розв'язки РФП. Вшшляегься, що можлпво добитись знатного розцпгрення ашетри цього р5вняння подалыипм накладанням умов на функцп. то в нього входять. Умова, що дозволяе це зро-бити, мае впгляд

Лр=Г2(р). (8)

ЕИдповщна теорема < формульованавдпсертащ1; мп тутзазнатимо,що в шп фигуру*» ть оператори {¿I = хсРа-\-2ср(}, = х^Ро-^С}, IX лшшт комбшаин М1ж собою та з оператором I, а також оператори В, С та С0 = ехр(А-го)/.

Кр1М оператора С„, р1вяяннг (5) мае 1 шип галшеГвсыа оператори умовти гпметрп. Накладемо на <р умову

^о 4* — Ьр-Ь Р3{р)- (9)

Теорема 3 Система р{вняхь (5), (9) для довыьних Р, 1<з тварган-тна (пдяоепп п.г.-сбр и

1. Ж7'(1,п) - (Р0. Рп. .Гаь,Сеа,(Г), де Са = е^(Ра + ЬхЛ<2),

(¿е -- сЬг'(1 для довгльпих Г, Ру. Система (5), (9) тваргантна вгдпопно чл.чвр:

2. AG'j(l, n) = (AG'(l,n),Ce), де оператор Ce мае вигллд С' = eAl° (I- faQ) , dji*F=\plnp, F3 = у Ыр (A,7 = const, ХфЪ)

3. АС?5(1,п) = (Ж7е(1,ге), Se), де оператор Se мае вигляд S' = elT°(I + 7x0Q), для F = bplnp, F3 =-у In р.

Умова (8) розширюе симетр1ю РФП i в цьому випадку; вщповщна теорема наведена в дисертащ'ь

В третьему параграф] описаш анзаци, побудоваш з впкорнстан-ням вказанпх в теоремах першого параграфа onepaTopiB спметрп, та системп р1внянь (звпчайних або з меншою кшьюстю змшннх), до якпх вонп редукують РФП з в]дповщними додатковими умовамп. На-прпклад, анзац

p = /(w,,w2), <р = - £ + 9(ы 1,ы2), ил = х3-£,и;2 = Щ£, редукуе систему (5), (7) з довьтьнпмп F, Fi до спстеми

{2w2/2g2 + Sm + Лэп + 252 + 2W2522) — j(/ii ~Ь 2/г + 2^2/22) = F(f),

де = lv fa =

В четвертому параграф! наведет класи точнпх розв'языв бага-товгоирного нелЩйного РФП з постшним коефвдентом дпфутш, що одержат прп розв'яоуванш редукованпх систем р1внянь з третього параграфа. Напрпклад, фушэдя

Р = ехр {¿-го + + Т1Ф2)} , 07i = - хи oj2 = (4 +

де z = ¡fj (сз + jjWi) , а функщя у задана неявно сшввщношенням

д

е розв'язком РФП (1) 3 F = = 77^-,

V = тА - & + ^+ !/(-•!)+

В другому роздш розглядаеться симетр1я р]вняння (1) для п — 1 у випадку, коли коефЩент дпфузп B(t, х) - довшьна гладка функщя. В першому параграф! розглянута niiBCbKa симетр1я цього р1внян-ня, якщо вважатп, що густпна fmoBipnocTi p(t,x), коефщент зносу

А(Ь,х) = = V та коефвдент дифуоп х) = 2и е невщомпми

функщяхш. Тода РФП (1) запишеться у внглядо

Ро + »Р1 + ъ\р-иир-2и1р1 - ирп = Р(/>). (10)

Алгебра 1И агметрп ршняння (12) неск1нченновишрна. Для знаход-ження скшченковтпрних алгебр симетри РФП у другому параграф\ рооглядаються умовп на и та V. Накладемо так! умовн:

VI) + М1 + = Р), (11)

И0 + + = Р2(ч. г.р). (12)

Теорема 4 Система р?енянъ (10)-(12) прп довыъних та щ вар{аптна тдпоено алгебри А — (Ро, Р\) для довгльних F, F1 та Р2, а також вгдносно таких алгебр:

1. ЛС] = (Л,б1), де оператор С1 мае вигляд С1 = + д„, д„ =

Л Л

-ту^. для довыьног F та Р,1 = = 0. дс =

2. ЛСм = (Л, С2). <?е оператор С2 .мае вигляд б2 = ехр(7:го)(с?1 +

¿^), Лгя <)о(ильиог Г та FIJ, = 7, -Г,2 = 0 (7 = сопй<);

3. Л, = (Л, О1) де оператор масштпабнихпс.рстворенъ О1 мае вигляд £>' = 2х0Ра+Х1Р1-гдо, дляР = 0, Р1 = 1ЛГ(и,р), Р2 = v2g(u,p), дс / г </ - довыьт гладка функцп;

4- А2 = {А,П1+И), 1 = р(1р,дляР= \р1~1. Г1 = ь3/{рук,и), Г2 =

»2Я(/"■•*,») (МО);

5. Л л = (Л, охр(Ь.г0)7), Дм ^ = 6/>1п р. = ^ = 0;

6. Ав: = (ЛС,. ехр(Ьх0)1), для F = /у) 1ц/;. /;' = F/71 = Ft2 =

7. АС: = (АС-2, схр(6х0)7), Г = 7уЛп р. Р} = 7, = F/)I = = 0;

8. ЛС, = (ЛСЬ£>' + Ы), для Р = АРЧ. Р1 = р~1/(и), F2 =

о. ал = (ль/>, длжг = о, F1 = га/(»)- ^ = '--'эН;

10. Ж7(; = (АС\,02), де оператор Б2 мае вигляд Б2 — Б1 -\-тп{х\Р1 + 2х0с?„), для Р = О, Р2 = О, Р1 = ^ (т = соме*);

11. Л5 = (Л, Я1 + т<?|), ¿ля Р = О, Р1 = (и - т)3/(и,р), Г2 =

(« - т)2д(щ р);

12. Л6 = (А, И1 + тС1 + Ы), для Р = Ар1"?, Р1 = - т)3/(/>(г> -т)к,и), Р2 = (и-т)2д(р{у-т)1,и);

13. Л<77 = (ЛСЬ£>2 + Аг/), ¿л* Р = А^И.Р1 = ^ + А,/>-1, Р2 =

В днсергацп доведен! ще дт теоремп про умовну шшцмантшсть РФП з поддбними до (11),(12) умовами.

Вважагцмемо тепер, що коефЩент зносу А(1, х) с похщна вщпо-сно .Т| деякоУ функци <р; тода р1вняпня (12) перепншеться у впгляд1

Ро + Р\Ч>\ + Р<Ри ~ Р«п ~ 2ы1/?1 ~ «А1 = Р(р)- (13)

На функцда ¡р накладемо дпференцшну умову у виглядо р1вняння Га-мьчьтона - ЯкоГл ^

<Ро + -^рт =Г1{р)- (14)

На функцш и накладемо умову

«о+ "191 = Щр)- (15)

Теорема 5 Система р1внянъ (13) - (15) гнваргантна вгдноено алгебр:

1. Ав = {Р0,РиС2,в), де Я = ^ +хдля довыъних ВД, Р2(/>);

2. Л(7»о = (Л(7,(35), де оператор мае вигляд = Х\Р\ + 2'¿(^ + 2ид,!, для довыъног Р та Р] = Р2 = 0;

3. Авп = {Ав, С}ъ + И), для Г = Ар, Г, = \\р21к, Р2 = А2/92^;

= (Л(?, (¿в), де оператор б?б -ияе вигляд (¿в = х0Ро + х\Р\ + {р(} иди, для Р = 0 та довыытх Р], Р2;

5. ЛС_.з = (Лб, + ^Р = Ар1-?, Р| = Р2 = 0 (к ф 0);

6. AG-24 = (AG,Q6 + mQb + к]), для F = Ap1"*, Fj = AjpT, F2 =

7. AG-25 = (AG,Qb — |C?5 — \l,A), de оператор проективких ne-ретворенъ А мае вигляд А = + X(¡XiPi + ЦQ — х01, для F = Ар3, F, = Aip2, F<i = А2Р2;

8. AG-j6 = {AG25, Qb), для F = Ар3, Fx = F2 = 0;

9. AG-л = (AG25,QS), для F = 0, F, = A,p2, F2 = Л2р2; .4G-J8 = (Л<727, /), ¿*jt F = F, = F2 = 0;

11. AG-¿g = (AG22,Bl), de оператор

В1 лае вигляд В1 — I + fix0Q,

для F = 0, Fi = /ilnp, F2 = 0;

12. /lG:;o = (AG,C^), de оператор

С1 лае вигляд

С = ехр(Ахо) (/+ , для F= Aplnp, Fj = /xlnp, F2 = 0.

РФП (13) мае також оператор умовно1 симетри гальтнвського типу Ge = еЬт°(Р\ + bxiQ), що вже фшурував у першому розд1Л1.В1д-повщна теорема сформульована в дисертащь

В третьому пapaгpaфi наведет анзацп, що гюбудоваш з викори-станням одержаних в дрзто.му параграф! onepaTopiB симетрГ1, та сп-стемп звичапннх днференщальнпх р1внянь, до яких вони редукують одновихпрне РФП з П1дп0в1дшши додатковимп умовамп. Наприклад, анзац

_ i

р - x$f{w), v - а + х0 2g(u;).

_х ¿

и = h{ij), и) — x\x0 1 — rt.íjj,

редукуе систему (2.1) - (2.3) з F = Ар1", F1 = p~*¿p(u), F2 = p-mq(w) до спстемп

mf - + f'g + /</ - fh" - 2fh' - hf" = A/»"A, -53 - f </' + 00' + nw" = r^lAh),

В четвертому параграф! наводяться точт розв'язки одновим^р-ного РФП 3Í 3MÍHHHM коефдаептом дпфузи. Наприклад, функщя

р(з-0,xi) = exp ÍAj:, ехр((Ь-7)^0) + ехр((Ь - у)х0} [arg

/>(Ыар + ¿).

В третьому роздш рсиглядаеться одновпмрне р1вняння Фок-кера-Планка з постшнпм тоефвдентом дифузц та потенщалом

де /<(т0, .г,), Л(.т0, .Т1) = V та И'г(х0, .С)) невщо.ч« фупкпп. В першому параграф! дослщжена спметрм цього р1вняння.На потенщал IV накладено днференшальну умооу такого впгляду:

Алгебра сштетри спстемп (16), (17) нескшченновпхпрна: вона ш-стить. оокрема, оператора зотляду /(.г0)р~1д„, де /(т0) - довьтьна гладка фупкшя. Тому доцпьно разом з (17) рооглядатп дпференцшш умовп 1 на функшю V - коефтоент пносу. Мп накладено на V умову

Теорема 6 Система ргвнть (16)-(18) для к ф 0 гнеаргантна вгд-носно таких алгебр:

1. Л — (Г0, Л) для довглъкш: Г та

2. = (Л, С). де оператор С мае аигляд С = .»оР1 + <?„ + д\у, для = О та довиъног Р1:

3. Л'( — (А. Ю' ). де оператор масшгпабних перстворень О" мае п п'.гяд £>® = '2.гоРо + г^Рх — П'<9ц- — гд„, при к = 2 для довыьног

Г итГ1 = 0;

4. ЛС/; = (.4, С + Л/.т0/, I). т1гъки для к = 1, ^ = Мр, Я = сопвЦ

др

(16)

ТК0 4- Л 'П^ + == 0.

(17)

ГО + + /<21'11 =

(18)

5. А% = {А, О" + т1), для Р = Ар^, Р1 = Ар~£;

6. АСЦ = (Ав^, Б" + т1), для Р = О, Р1 = А,/г£;

7. АС,5 = (Ж?!, С —Д Л"), ¿с оператор проективних перетворенъ А" мае впгляд

А" = ГцРо + А + (^1 - аго^У)^ + (XI - - х01,

для Р = О, Р1 = А)/?3;

Лб^ = (Лб?, /), Лг* Р = Р1 = 0.

Покладемо тепер, що коефвдент зносу Л(.т0, е псгадною В1Д-носно х\ дсяко! функщГ <р. Тодо (16) матпме впгляд

Ро + Р№ + Р9п - 2ри = ]укг(р)- (19)

На фушсщю <р розглянемо дпференцшну умову

^+\рт = Ръ{р). (20)

Теорема 7 Система ргвняпь (17), (19), (20) при. довглъному ц\ т-вар{аитна в{дпоено алгебру. А* = (Р$, (?),(? = ддля довыъних Р та Р1'5, а тпакож вгдносно алгебр

1. Л^ = [А9,О*), де оператор масштабных перетворенъ мае вигляд Пр = 2хдРо + х\Р\ — \V0\v, для к — 2 при довыънгй Р та Р3 = 0;

2. АС^ = {А41, в*), де оператор й9 мае вигляд С* = х0Р1 + х& +

для Р = 0 та довмъног Р3;

3. А$ = {А9, И9 + т1), для Г = А/»**£=% Р3 = А ,/>-£;

4. АС?, = (А*,С* + М(х01 + А.г0<?), тыъки у випадку к = 1 для Р = Мр, Р3 = А 1п />;

5. = {Ав^,Б* + т1), для Р = 0, Р3 = \\р~™;

6. = {АС\,Б9,1,А9), де оператор проективних перетворенъ

А9 мае вигляд

Л* = х\Рй + xQxiPi + (xi - x0W)dw + 4<3 - ^-a- F = 0, F3 = 0.

В другому параграф! о використанням вказаних в теоремах пер-пюго параграфа oiiepaTopiB проведено редукцш оддовтайряого РФП о потенщалом i додатковпмп диференцшними умовами. Наприклад, аязац

р = /(ы), I? = w = -j=-h{=

vx0 v^o vxo

редукуе систему (1б)-(18) для к = 2, дов1яьноУ F та F1 = 0 до спстемп

Г + 2f'g + 2/У - Bj" = 2h2F( j), -h - uh' + 2hh' + 2/x^" = 0, -g - + + 2/(2f/" = 0.

В третьому параграф! наведено деяы класп тотпнх розв'язк1в одновхапрного РФП з потешиа.том. Вони одержат в результат! роз-в'яоування редуковашхх спстем р!внянь з другого параграфа.

В писновках горотко сформульоват результатп дисертацишоУ роботи.

Основн! результата дпсертапп опублковаш в наступних роботах:

1. Фущич B.I., Чошгк B.I., Черкасенко В.П. Симетр!я та точш роз-п'япки багатовалпрпого нелшшного р^вняння Фоккера-Планка // Доп. АН УкраТнп, 1993. - N2. - с.32-42.

2. Черкасенко В.П. Спметр!я та точш розв'яоки р!вняння Фоккера-Планка 3i змвшш коефвдентои днфуп1Т // Доп. АН УкраУнп, 199-1. - N1. - с. 54-56.

3. Черкасенко В.П. Про Га.*нлей-швар!антшсть р!вняння Фоккера-Планка з потенпзалом // Тезп доповщей i повщомлень пауково-практичноУ конференций прпсвяченоГ 80-р!ччю МДП1. МпколаУв, 1995.- 4.2. - с. 37-38.

4. Cherkasenko V.P. Galilei iuvariance of Fokker-Planck equation with nonlinearity // Journal of Nonlinear Mathematical Physics, 1995, NN 3-4, Vol. 2, p- 180-182.

Черкасенко В.П."Симметрия и редукция нелинейных уравнений типа Фоккера- Планка"

Диссертация на соискание ученой степени кандидата фиоико-математических наук по специальности 01.01.03 - математическая фиоика. Институт математики НАН Украины, Киев, 1995.

Защищается диссертация, посвященная исследованию симметрий-ных свойств нелинейных уравнений типа Фоккера-Планка. Установлена условная галилеевская симметрия нелинейного РФП. Используя условную симметрию, построены анзацы, проведена редукция РФП к уравнениям с меньшим количеством переменных и к ОДУ. Найдены классы точных решений уравнения Фоккера-Планка с нелинейностью и с потенциалом.

Cherkasenko V.P."Symmetry and Reduction of Nonlinear Fokker-Planck Type Equations "

Thesis for the degree of candidate of physical and mathematical sciences, speciality 01.01.03 - mathematical physics. Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukralna, Kyi'v, 1995.

This thesis is devoted to investigation of symmetry properties of nonlinear equations of Fokker-Planck type. A conditional Galilei invariance of nonlinear FPE has been established. By using it ansatzes were constructed. reduction has been carried out to equations having less variables and to ODE. Classes of exact solutions are found out.

Ключов1 слова: симетр1Я, швар5антшсть, алгебра Jli, нелшш-HicTb. piBHHHHE Фоккера-Планка, система, потенщал, анзац, редукция, алгебра Галшея, точш розв'язкп, оператори Галшея.