Симметрия нелинейных уравнений гидродинамическоготипа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Р Г Б ОД

і '> ОнТ В05

Національна академія наук України Інститут математики

Нн правах рукопису

БОЙКО Вячеслав Миколайович

СИМЕТРІЯ НЕЛІНІЙНИХ РІЙНЯНЬ ГІДРОДИНАМІЧНОГО ТИПУ

01.01.03 математична фізика

Автореферат дт ертації из здобуття Наукового с тупеня кандидата фіаик<> матЫатипнпх йаук

Київ - 1995

Науковий корівник:

член кореспондент ИЛИ України, доктор фін. мат. наук, професор ФУЩИЧ В.І.

Офіційні опоненти:

доктор фін. мат. наук, професор СЄРОВ М.І.

кандидат фін. мат. наук, доцент РЕНЕТА В.К.

Провідна організація: Київський Національний унілерентет їм. Тараса Шевченка.

Захист відбудеться '3/ 1995 р. о 15|,п годині

на аасіданні спеціалізованої вченої ради Д 01.06.02 при Інституті математики НАН України па адресою: 252601 Київ 4, МСП, вул. ТЬрещгнківська 3.

З дисертацією можна ознайомитися п бібліотеці інституту Автореферат розісланий 1995 р.

Вчений секретар

спеціалізованої радо •' ,1 ,

доктор фіз. мат. наук ^ .... ЛУЧКА А.Ю.

■ ( '

Загальна характеристика роботи Актуальність темп. Більшість фізичних систем та процесів підпорядковані там чи інішш законам (властивостям) регулярності чи симетрії. Тому природно, що диференціальні рівняння, які моделюють фізичні процеси, також мають широку симетрію. Більш того, наявність широкої симетрії може бути одним о критеріїв вибору оптимальної математичної моделі серед деякої множини рівнянь (В. Фу-щіп, 1981). Особливу актуальність і ефективність набувають методи спметрінного аналізу для нелінійних рівнянь, для яких важко або неможливо використати класичний апарат математичної фізики. Широкі можливості класифікації та побудови точних розв’язків рівнянь математичної фізики відкривають теоретшсо-алгебраїчні методи, започатковані в роботах Софуса Лі, що в останній час інтенсивно розвиваються (Л.В. Овсянніков, П. Олвер, П. Вінтерніц, Н.Х. Ібрагімов,

В.І. Фущич).

Дисертація присвячена дослідженню симетрійних властивостей нелінійних рівнянь гідродинамічного типу, вивченню нелінійних зображень алгебр Лі. Результати, отримані в дисертації, лежать в руслі досліджень, що вже на протязі більш двадцяти років проводяться в відділі прикладних досліджень Інституту математики НАН України. Мета роботи. Класифікація нелінійних рівнянь гідродинамічного типу для скалярних та векторних полів. Вивчення та побудова нелінійних зображень алгебр Лі, зокрема, алгебр Гал і лея та Пуанкаре. Умовна інваріантність рівняння неперервності для електромагнітного поля. Побудова точних розв’язків.

Загальна методика досліджень. В роботі використовуються теоретиком алгебраїчні методи математичної фізики, методи теорії диференціальних рівнянь.

Наукова новизна. Перерахуємо основні результати, отримані в дисертації: •

1. Побудовано нелінійні узагальнення рівнянь Бюргерса та Корте-вога-до-Фріза, в тому числі високого порядку, що допускають широкі алгебри інваріантності, зокрема, алгебри з нелінійними базисними операторами. Наведепо деякі класи розв’язків.

2. Описано одновимірні рівняння другого порядку, на множині роз-

в’язків яких реалізується ¡зображення узагальненої алгебри Галі-лся.

3. Розглянуто одношшірне скалярне рівняння L(Lu) + ALu = F(u), L = dt + идх, досліджена симетрія, побудовані нові нелінійні зображення алгебр Лі, ¡зокрема, нелінійні розширення алгебри Галілея. Для F(u) = const побудовані деякі класи неявних розв’язків. Результати узагальнено па багатовимірну систему.

4. Проведена симетрійна класифікація нелінійної моделі розповсюдження короткохвильових обурень в релаксуючому середовищі.

5. Досліджено спметріпні властивості одновимірної системи двох рівнянь гідродинамічного типу.

6. Побудовано нелінійні зображення розширених алгебр Пуанкаре та Галілея для вектор-потенціалу о нелінійними операторами дилатації.

7. Отримано два нееквівалентних нелінійних зображення алгебри Пуанкаре для вектор-потенціалу з нелінійними операторами Лоренца.

8. Досліджена умовна симетрія рівняння неперервності для елек-' тромагнітного поля.

9. Розглянуто деякі нелінійні узагальнення рівнянь Максвела.

10. Запропоновано підхід для класифікації інтегровних випадків звичайних диференціальних рівнянь. Побудовані деякі інтегровні класи рівнянь Абеля другого роду.

Теоретична і практична цінність. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Всі результати, отримані в дисертації, с новими і можуть бути використані в прикладних задачах гідродинаміки. Апробація роботи. Результати, викладені в дисертації, доповідались на семінарах відділу прикладних досліджень Інституту математики НАН України, на IV міжнародній конференції ім. акад. М. Кравчука, на науковій конференції’’Сучасні фізико математичні дослід-женння молодих науковців вузів України" в Київському університеті, на міжнародній конференції" Symmetry in Nonlinear Mathematical

Physics”. ,

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в роботах

H-G). _ '

Структура і об’єм роботи. Дисертаційна робота складається о вступу, трьох розділів, додатку, висновків та списку використаної літератури. Об’єм роботи - 110 сторінок машинописного тексту. ,

Зміст роботи

У вступі обгрунтовано актуальність темп, проведений короткий огляд робіт по темі дисертації. Сформульовані основні поняття та визначення, що використовуються а роботі. Зроблепо короткий опис змісту та результатів дисертації.

Розділ І присвячений дослідженню одновішірнпх рівнянь дифузії високого порядку, в тому числі узагальнень рівпянь Бюргерса та Кортезега-де-Фріза.

В І.1 розглядаються рівняння виду

Ы(0) + ИН( 1 ) = F ( М(2), М(3) ,*■•>«(„)) > (!)

де « = н(*,.ае); ?і(о) = Щп) - §рг, п - натуральне,

F (*-’(2)> г<(з)>..., »(„)) - довільна гладка функція, F ф const. Проведено спметріппу класифікацію наступних рівнянь о класу (1):

«(0) + ««(І) = F (W(2)) , (2)

- «(в) + м?і(і) = F (tjp)), (3)

' «(0) + ««(і) - F (г/(4)). ■ (4)

Теорема 1 Максимальною алгеброю інваріантності рівняпш (в) в залежності від F (u(2)) е алгебри î. < Пі, Pu С >, ягщп F (ї/{2)) - довільна, де

Лг^с?,. Рі~9„ а = ідТ+д,„ . '

". < РП. P\,G, V'l >, ЯКЩО F («,5)) = Аі(»(2))1 + -V де

r, = (Jt + \)td, !- Ґ(2 - k)r + 5>ô.'-f2) dt + (d - 2*)»| 4- 3V')04,

к = const; к ф 0; к ф 1; к Ф

3.< Pq, Pi,G,Y2 >, ЯКЩО F (u(2)) — In A11/(2), де V.

І2 = td, -f ^2jt - дт + (m - 3t)ctu, . : .

4-< Po,Pi,G,2i, 2ч >, jKuto F (u(2j) = + Лої Л .

5Ti = 2id( + + ^Aoi2^ dz + (—и + Z\ot)du, ■

Z% = i23( + + 2^0 Э, + (x — <u + l^o*2)

5.< P0, Pi,G, Ri, Rs, R3, Rt >, якщо F(u(J)) = Ai(u(2))1/:i + Ao, де

Ді = 4t3| + (bx + dt + (u + 3Aot)3u,

. Л2 = udt + A0£>„,

Ri — ^2tu - x - 2^o<2) + (и - Ao<)0„,

Ri~ (tu - x - jAot2) (<9, 4- du),

в умовах теореми До = 0; ], A; = const, Aj ф 0.

Рівняння Бюргерса, як частинний випадок (2), включається в випадок

4 теореми 1 при Ао = 0.

Зазначимо, що найбільш широку симетрію в класі рівнянь (2) (7 вимірна алгебра, сутт’ево нелінійне зображення) мас рівняння

ti(0) + uu(t) = Аі(іі(2))1/3 + Ао. (5)

Результати класифікації рівнянь (2)~(4) упагапын'нп для наступного рівняння о класу (1):

. «(о) + tiu(D = F («(„)). (6)

ТЬорема 2 Для довільного натурального н > 2 мактшпльно»> алгеброю інваріантності ріоніння '

t/(o) + ««(і) = lriAjH(n), Aj = const. А, ф 0 (7)

г 4 вимірна алгебро < Po,P],G,A\ >, dr

,4i = td, + ^2.r - "~2 ^ + (" ~ f2” ~

Т\зорема 3 Для довільного натурального n > 2 максимальною алгеброю інваріантності рівняння

и(0) + »Ч(і) = ^і(Щп)) + Ло . (8)

є 4~вимірна алгебра < P^,P\,G,Ai >, де

Л2 = ((п - 1)* + і)#с?г + ((2 - k)x + -Aofci2) д;+

^(1 — пк)и + (2п - l)Ao&i)du,

О '

к, Аі = const, Ао = 0; 1, fc ф 0, к ф jjrpp ^ пРи п — 2 додаткова умова k ф у (дивись випадок 5 теореми 1)

ТЬорема 4 Для довільного натурального п > 2 Максимальною алгеброю інваріантності рівняння

И(о) + ш|(і) = А|(и(П)) ^ ^ -Ь Ао, Ло = 0;1, Л) = const, Л( ф Q (9)

е 5-пимірпа алгебра

< Pq,Pi,G,Z), Zi > . (10)

Зауваження. ¿Макс имальною алгеброю інваріантності рівняння (9), Якщо т» = 1, е •! тшірна алгебра < Р0, Р\, G, Z\ >.

Доспть цікавим с той факт, що (10) шіппачаг алгебру інваріантності (9) для будь-якого натурального п >2.

Досліджена інваріантність (1) відносно зображення (10).

ТЬоремя 5 Рівняння (І) інваріантне відносно алгебри Лі. яка визначається операторами (10). тоді і тільки тоді. колі, воно Мас вигляд

’’(Пі 4- н*/(і) = An + і/(2)Ф^и.'л.и.'4,... .а.’ті^ . (11)

де Ф довільна гладка функцій, Ло — 0; 1,

1 , л:\/(ы\) Dku f *

'¿ь —-----(>*гн) ’ ~ "^ГТ* л-3....v.

і * r / ’ if nr

и,,, . ar*

Рівняння (11) включає, як частинний випадок, наступне рівняння, яке можна трактувати як узагальнення рівшшня Бюргерса та використовувати для опису хвильових процесів . '

П

«(о) + и«(і) — Ао + 53 (и(*))3^*+1>>

• . к=І .

До = 0;1, Лі - довільні дійсні константи. .

Проведено аналіз отриманих алгебр 'інваріантності, вказані комутаційні співвідношення та скінченні групові перетворення. Для рівнянь (5), (9) побудовані деякі точні розв’язка.

В 1.2 проведено симетрінну класифікацію наступних узагальнень рівнянь Бюргерса та Кортевега-де-Фріза: .

и0 4- Ші! = «п 4- /(и),

«о 4- и«і => /(иі)«ц,

щ 4- ищ ~ /(цц)иш, .

«о + ищ = f^v)щl 4-/і{&)(і»і)*

«о * «і = §^. «її » |р, «ш = І - довільна Гііадка фуйкція.

В 1.3 описані однойимірні рівняння другого порядку інваріантні відносно алгебри Палі лея. ЛС( 1,1) —< Ро,Рі,С? >, розширеної алгебри Галіяея ЛСі(1,1) ===< Ро,Рь<5,2? >, узагальненої алгебри Гклілея АС2(1,1) ==< Ро, Рі,(7, П >і Де .

Ро = ди Рі=&, ідК + ди,

І? = 2іЗ< 4- хдх — и9и, .

П = *20і 4- <*3* 4- (х *-ТЬорема 6 Рівняній другого пбрідку їноаріаиШхе відносно алгебри Ралілея АС?(1,1) тоді і тільки тобі, коли бсно мас виглід

Ф^иі} «и; и04- и«і; «йоИц-(«ог)а; иоі4- ииц^ їйО.

Теорема 7 Рівняння другого порядку інваріантне відносно розширеної алгебри ГалШя Ж?і(1,1) теоЛ і тільки тоді, коли воно має вигляд ,

лАии)1 «о4*««і мц«оо ~ (иоі)5 иоі 4- ««її і

Ф^(«І)’;“^Г': (-,)< ’ <«,)’ І '

Теорема 8 Рівняння другого порідку інваріантне відносно узагальненої алгебри Галілея ЛС^І,!) тоді і тільки тоді, коли воно має вигляд

л, ((«оо«п - («оі)2 + + 2иаи(иі)2 - 2гі0і(пі)2 - (иі)4)3

ф | --------------------------------------------------------------■

- («її)'

«о -Ь ші\, («оі +»«11 + (^і)2)3 А _ 0

«и ' (ЇЇЇЇГ

В теоремах 6-8 Ф - довільна функція.

В другому розділі дисертації проведена снметрійна класифікація деяких нелінійних рівнянь та систем гідродинамічного тішу.

В 2.1 розглядається о двовимірне рівняння ( В. Фунщч, 1991 )

Щи) + Ми = (12)

деи = н(і,х); і = 3( + ид^; Д = 0;1; Р - довільна гладка функція. Досліджена симетрія (12) при рісших Р(и). Побудовано нові нелінійні {зображення алгебр Лі, сокрема, нелінійні розширення алгебри Галі-лея. Нижнє наведемо два результати симетрійної класифікації (12): Максимальною алгеброю інваріантності рівняння

Цін) = о ехр («) (13)

є 3-вимірна алгебра о баопенпмн операторами

Ро~9і, Рі=дг, У = Ю( + {х - 2і)9г - 20ц. (14)

Слід оаув;іжптп, що К в (14) можна представити як лінійну комбінацію операторів дилатації та Галілея, тому рівняння (13) буде інваріантним відносно перетворень, що є композицією днлатаціиипх та галілеївсьхих перетворень, хопа алгебра Галілея не є алгеброю інваріантності рівняння (13).

• Максимальною алгеброю інваріантності рівняння

£(£«) = 0 (15)

є ІСНвпмірна алгебра о баонснимп операторами

Ра = ди Рі = дІЛ й = ідх + да, І> = <(9і + їЗ,,

А = хдх 4- ид„, Аі =! + идх + хди, Л2 = %12дг + іди,

А з ='и<9( + 2 и2дг, = (<и - г)3| + 2<«23» + 2«25„,

А$ = (г2н - 2ІХ) ді 4- “ 2і2^ дг + (іи2 — 2а:и) ди.

Слід зазначити, що оператори (16) впаначають принципово нове, нелінійне розширення алгебри Галіллея. Крім того, зауважимо, що підалгебри < Pq,Pi,G > та < Аі, -A?, G > в зображенні (16) задають два різних нееквівалентних зображення алгебри Галілоя ЛС(1,1).

В випадку, коли в (12) Р(и) ~ const, за допомогою заміни змінних

[ t-r,

< X = ш + нг,

І к = и

побудовано класи розв’язків, що задаються неявно:

1. L{Lu) =0

1.1 х - ut + у/2 — p(>t - Сі)

2. L{Lu) = a

3. L(Lit) 4- Lit = o

C = consi. tp ~ довільна функція.

В 2.2 розглянуто узагальнення ріпияння (12) на випадок пектор-пого поля '

L(LP)+ \LP=F(vl)v. ,

(17)

р (г2) довільна гладка функція.

Проведена пшетріпна класифікація системи (17). Побудовано лові розширення алгебри Евкліда.

В 2.3 викопано симетріііну класифікацію нелінійної моделі розповсюдження короткохвильових збурень в релпкеунпому середовищі

де Р(н) довільна гладка функція. Проведена редукція деяких випадків рівняння (18).

В 2.4 розглядаються деякі одношшірні системи гідродинамічного типу. Досліджено ліі'вську симетрію системи

др II = Іі(/. ,т). I' = 1'((, г).

ТЬорема 9 Максимальною алгеброю інваріантності системи рів-нгт (19) с нсскін’існиопиміриа алгебра. базисні елементи жкої ви-лнаупютіїгя пнгрпторпмп

В (20) можна виділити зображення розширених алгебр Галілея та

Пулнкаре: •

(18)

(19)

<? = /&+ д„ + З,., С"» = .гО, - К2С>„ - Г5С?,.

£> = >0і .ге?,. І)| = гдг 4- ид„ 4- гд, .

(20)

де /(«). ц(ґ) доцільні гладкі функції. /’(») — Ф-л.)

її .і(^і(і.і) —< Рп.Р\.а.і) >. П ■■ <>. Р{=дТ.

П ~ '.’ІіЬ + .г<іг — чд„ - гО,:

2) А(3(11)(111)=< Л,,Д,С«1)>Оі1)>1 •

• ГМ = + 2хдг + иди + vдv;

3) ЛР1(1,1)=<ЛьРі^оь-0 >!

Лі = С + С(1) = їаі + <0, + (1_г1г)0ц+(1-г;2)^.

Зазначимо, що оператори (?^ та іоі сутт’сво нелінійні.

Рооглянуто систему, що е узагальненням (19)

(^ + “гі = с(“.»>. <21>

де Ґ(и, і>), б(и, гі) - довільні гладкі функції. .

Изорема 10 Система (21) інваріантна відносно розширеної алгебри Галілея Лб^І, 1) тоді і тільки тоді, коли вона має вигляд

{

$.+ «g«C,(«-.)*, • ...... -

de Сі,Сг = const. ~.... • °

Досліджена інваріаність одновпшрвої системи

ug + ^(«K = Fa(u), (22)

£е £ = (и1,!!2,«3); ua = ua{t,x), а = 1,2,3; ug - uf = §jj£; Та, Гґ(а, b= 1,2,3)- довільні гладкі функції; 6аі ~ символ Кронежера, відносно узагальненої алгебра Галілея Ж?г(1,1) о бааЕсшшл операторами . 1 . .

Ді — 5(, Рі = дх, G — ідТ + дяі + 8Яs + д,>,

D = 2tdi + хдх — 11*5«*, (23)

И = f25| -f fx#r -f (х — ful)3,i + (x — іиг)д^> + (a - fu3)3„s,

ІЬорема It Система. (82) інваріантна відносно узагальненої ал-kt&pu Галмея j4£?2(1,1) з созшжига елементами (S3) тоді і тільки тоді, коли еавя мас впглмд

В третьому розділі досліджуються нелінійні зображення алгебр Галілея і Пуанкаре та нелінійні рівняння для електромагнітного поля.

В 3.1 побудовано нелінійні зображення розширених алгебр Пуанкаре та Галілея для вектор-потенціалу А — (А0, А1, А7, А3) з нелінійними операторами дилатації '

ЛРі(і,3) = (Р,„ Jrf, Jo*, D), (24)

AGi(l,3) = (P,„ Jat,Ga,D\), (25)

AG\'HhZ) « (P„, G<'>,D,), (26)

Де

Р„ = дг„

Лб = гадг, - хьдІК + А“^* - А*дл>,

Joa = + Ходг, + А°дМ + А0Эа‘1

Ga = ход*. + Л0^*)

Gi0 - хас?г, + АадЛ>,

D = .r,A, + R{w)A>,Oa„, w « А0* - А2,

А = 2т05г„ + хьди + R(wt)And^ + (R{wt)~ 1)АьдАі, иц - А0, Dj =ходХо + 2xhdtt 4- (Я('«2) - 1)АпЗд* + Л(ші)А*0д», wj = А5, R - довільна гладка функція. Розглянуто наступні системи рівшшь

для вектор потенціалу: дА"

A»¥L а F(m)A", (27)

Л',|£ = 'Г('Г')ЛМ’ (28)

ПА*

д,’іг & <29)

ТЬорема 12 Система (27) інваріантна відносно розширеної алгебри Пуанкаре АРі(І.З) (£4) лите у наступних випадках:

(і) ЛНаП. F(H')S().

(it) f?U)/0. F(«-) = C..-,',/7(.r)«p^

Теорема 13 Система (28) інваріантна відносно розширеної алгебри Галілея ЛСі(1,3) (25) лише у наступних випадках:

(і) Ä(w,) = 0, F(w,) = 0,

(її) Я(ші)ф0, F(u'i) = Сtr,/?(її’,) exp Jdw\

IteopeMa 14 Система (29) інваріантна відносно розширеної алгебри Галілея AGj'^l,3) (26) лише у наступних випадках:

(і) Л(ш2)= 0, F(u>2) = 0,

(**’) Ф 0, F(n-2) = Cii'2l/2/?()i.'2)f‘xp J —■ ,іш2).

В умовах теорем 12—14 С — const.

В 3.2 побудовані два нееквівалентних нелінійних зображення алгебри Пуанкаре для вектор-потенціалу о нелінійними операторами Лоренца

J0’i = Xk&го + з-о^х, + - А1А^Эа>,

Jgk = Xkd,a + хцдц + Л1Эл° + Л°Э,ц Т Л* Л'10^.

В 3.1 та 3.2 також досліджена ліївсьха симетрія деяких нелінійних систем для вектор-потенціалу.

В 3.3 розглядається рівняння неперервності для електромагнітного поля

ро + divpv = 0, (ЗО)

де ро = тт^~і V — (v1»f2, V3)'. р та pvk е. функціями від Ё, Н. Згідно Пой-

ОХ о

тингу густина та імпульс для електромагнітного поля віпначаю-тя наступним чином:

р=1(Ё2 + Н2У рг” =5„ь,£'/Г. п. *, і, = ЇД (ЗІ)

Досліджена інваріантність рівняння шііерррпногті (ЗО), (ЗІ) підносно алгебри Лоренца

■Кь = т„ПТ, ~ + і'УВг - Є'дк. + І!"д,ґ - Н*д„" ’

. , (32)

Ja, = т„дТ, + 4- Eahr (Е д„- - II ьдк ).

Л.Ь.Г = ТТЗ, Safe ^ повпістю антпсиметрпчніїп ТеНПОр третього порядку, Хо — 1. .т = (xi.jj.Xj).

Теорема 15 Рівняння неперервності (ЗО), (31) не с інваріантним відносно алгебри Лоренца з базисними елементами (32).

Оскільки рівняння (ЗО), (31) не інваріантне відносно групп Лоренца в класичному розумінні, природно виникає питання, чи не є воно лоренц- інваріантним ралом о додатковими умовами на Е і Я.

ТЬорема 16 Рівняння неперервності (ЗО). (31) інваріантне відносно алгебри Лоренца з базисними елементами (32) тоді і тільки тоді, коли Е і Н задовольняють систему рівнянь Максвела.

2| = гоіЯ, ^=-го(Е, ■ (зз)

гііу Ё = 0, <1і хЙ = 0.

Отже, рівняння неперервності (30), (31), що виражай закон збереження для електромагнітного поля, не є лоренц-інваріантним в класичному розумінні інваріантності диференціального рівняння. Воно г лпше умовно інваріантним відносно групп Лореппя, причому як додаткова умова виступає система рівнянь Максвела.

У випадку, коли р,і< - деякі невідомі функції від Ё та Я, тобто

/>=Г°(е,я), /л>" = Г“(І;.я),п:=ТД (34)

Де - гладкі функції, які одночасно не є тотожними нулями,

справедлива теорема

ТЬорема 17 Рівнянні неперервності (ЗО). (34) інваріантне відносно групи Лоренца тоді і тільки тоді, коли ранг .метриці Якобі функція =0...........3) дорівнює 4-

Наведено приклади, шо ілюструють теорему 17.

В 3.4 розглянуто деякі нелінійні упагальненнп рівнянь, то с інваріантними підпоєно алгебри Лоренца (32). Зокрема, доведено, що сік темп рівнянь

та

= юЬН + ЛіУрі, ==—іаіЕ + я \ <35)

інваріантні відносно алгебри Лоренца (32).

В (35), (36) Л,/V, і?і,і?2,РьР2 довільні гладкі функції від інваріантів груші Лоренца Е2 + Н7 і ЕН.

В додатку запропоновано підхід щодо класифікації інтегровних випадків звичайних диференціальних рівнянь. Розглянуто рівняння Абеля другого роду

Р'ІР+ ?о(у)) ~ ргЫу) + Ґ*Щу) + рРгІУ) + Щу), ' (37)

Де Р = Р(У), Р' = зарівняння (37) еквівалентне наступному рівнянню другого порядку:

у(у + Щу)) = у4р*{у) + І?Щуі) + угЩу) + уР> (у), (38)

де у = у(і), у =%£,{(=

Згідно підходу Лі, в загальному випадку звичайне диференціальне рівняння другого пораджу інтегровне в квадратурах, якщо воно допускає двовимірну алгебру Лі. Очевидно, що (38) інваріантне відносно групи зсувів по х, що визначається оператором

X, — дт.

Игх;.:іі лорзд » зернами дене рівнгявіш дгяпткаг ще й групу іяаарізв-

ТНОГіІ Н ДЄіШШ оператор®!! ’

= (,(х,у)дг + г&іггш}%- . -

Завяда мойітя кзаяа-ііг, еда «'иеряторй Л'|. А"? утворюють двовимірну алгебру Л5. . ■

Теорема 18 Диференціальне рівняння (38) допускає двовимірну алгебру Лі тільки одного з б нееквівалентних типів з базисними елементами

1. Лгі = дг, Х2 = £(>/)<?,. Ш) т- const.

2. X, =3Г, Л'2 = £(у)&: + >?(у)ду '

3. Х1=д„ Х2 = (х + #у))дг.

4. Хх =■ От, Х2 = (х + £(«/)) д* + »?(у)Зу.

5. JVj = дт, Х2 = схр(\х)£(у)дт.

6. ,Y, = дг, Х2 = ехр(Ах) (£{у)дх + п(у)ду).

ЧІУ) т 0; « 2, ■?, 4 випадках £(tj) ф const або £(у) = 0; А Є R/{0}.

Оскільки структура двовгшірної алгебри зафіксована, мп можемо описати інтегровпі пппадкп (38). В дисертації розгляпуто інтегровні пгтпадкн (38), коли оператори .V) та А'з комутують. Наприклад, має місце наступна теорема.

допускає двовимірну алгебру Лі з базисними елементами Х{ — 0г, Х2 = £(у)дх +- г/(у)дя тоді і тільки тоді, коли Гі,(у),к = ї~ї, ((у), г]{у) задовольняють співвідношення

Теорема 19 Нехай £Ь(у) ■= 0- Тоді диференціальне рівняння (38)

Fi(y) = пп(у), Fi(y) = Ь - З«;/),

F3(y) = с-Щ{у) + МЧу) + у'(у)'

r(v)

де a,h,r.q ~ const, при цьому після заміни змінних

ріпняння (38) матиме впглгд іі — (¡it* f сцг + Ьй + а.

В висновках коротко сформульовані результати дисертаційної роботи. .

Основні результати дисертації опубліковані в наступних роботах:

1. Бойко В. Нелінійні рівняння та нелінійні зображення для вектор-потенціалу // Допов. НАН України. - 1995. - N6. - С.33-35

2. Бойко В. Симетріпна класифікація одноввшрного рівняная гідродинамічного типу // Теан IV Міжнародної науіової конференції ім. акад. М.Кравчука, Київ, 11-12 трав. 1995р. - Київ, 1995. -С. 46

3. Ревеню І.,Бойко В. Симетрія і деякі інтегровні випадки рівняння Абеля другого роду // Допов. НАН України. - 1995. - N7. -С.16-18

4. Цифра І.,Бойко В. Умовна симетрія рівняння неперервності для електромагнітного поля // Допов. НАН України. - 1995. - N5. -

С.35-36

5. Fushchych W.,Boyko V. Symmetry Classification of the One-Dimensional Second Order Equation of Hydiodynamical Type, Preprint, Linköping University, Sweden, LiTH-MAT-R-95-19. - lip.

6. Fushchych W.,Tsyfra I. and Boyko V. Nonlinear Representations for Poincare and Galilei algebras anti nonlinear equations for electromagnetic fields // Journal of Nonlinear Matli. Physics. - 1994. -V.l, N2. - P.210 221.

Войко В.Н.*'Симетрия нелинейных уравнении гидродинамического типа"

яци« и* гткклми«' унчи>й i »« и« ии кандидат» фшико матгматичтсих науж по гп*-ииллмтп» Ul.Ol.O't ма 1>‘Мй1 ичггка* фн^нгкч. Инггитут иат^мат«** llAlf Украины.

К иг -п. ЩГь :

Зашггшаетгя лпсгертагшя. п»<вяшеяиая исследованию спмегргт-иых свойств нелинейных уравнении гндрпдпнамппегкогп тппа. Предложен целый ряд нелинейных урапненнй, допускающих широкие алгебры инвариантности. п том числе уравнения, па множество решении которых рся.ипуються нелинейные представления алгебр Ли.

Boykcr V.М.”Symmetry of Nonlinear Equations of Hydrody-namical Type"

Thesis fr»r thi* «|p£rcr of randutat»* of physical and mathematical wimfc«, «penality 01.01.03 mat hrmatu я I pbvMrs, Inst И ntf> of Mathrmatirs, National Aradrmy of Srimrrs of UkraYna,

К v Tv. 1WV..

This thesis is devoted to investigation of symmetry properties of nonlinear equations of hvdrodynaniical type. A number of nonlinear equations admitting wide itivariance algebras are proposed, ineluding equations with nonlinear representation of Lie algebras realized other sots of solutions.

Ключові слова: симетрія, інваріантність, група Лі, алгебра Лі, нелініишиї. рівняння, система, -¡зображення, інваріант, анпац, редук-пія. алгебра Галі лея. алгебра Пуанкаре. .

Піди, до друку 0G.09.9a. Формат Сі) х 84/16. Папір друк. Офс. друк. Ум. друк. арк. 1,16. Ум. фарбо відк. 1,16. ()6л. вид. арк. ОД ТЬраж Ш) пр. ЗаМ. ЩО Безкоштовно.

Віддруковано в Інституті мат<>матпкп НАН Україні! 252601 Київ 4, МСП, вул. Тсргпгнківгька, З