Сингулярные поля скоростей при плоском пластическом течении материала, подчиняющегося модели двойного сдвига тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Список обозначений.

Введение.

1. ГЛАВА. Общий анализ уравнений вблизи поверхности максимального трения.

1.1. Основные уравнения и закон трения.

1.2. Сингулярное поведение поля скоростей.

1.3. Коэффициент интенсивности скорости деформации.

2. ГЛАВА. Анализ некоторых аналитических решений.

7 . *, ' , . I I;

2.1. Течение в сходящемся канале.

2.2. Сжатие между шероховатыми параллельными плитами.3D

2.3. Течение между коаксиальными расширяющимися цилиндрами.

3. ГЛАВА. Сравнение с моделью Хилла.

3.1. Течение в сходящемся канале.

3.2. Сжатие между шероховатыми параллельными плитами.

3.3. Течение между коаксиальными расширяющимися цилиндрами.

4. ГЛАВА. Сжатие между плитами, вращающимися вокруг общей

4.1. Решение без стока в точке вращения.

4.2. Решение со стоком в точке вращения.

Выводы.

Условия пластичности, зависящие от среднего напряжения, и соответствующая теория пластичности в течении длительного времени использовалась в механике грунтов [13, 14], сыпучих сред [34, 39, 50, 56, 88-90, 100, 101] и гранулированных материалов [12, 58, 59, 76, 78, 80, 81]. Такие теории пластичности также имеют определенное значение для описания процесса деформирования обычных металлов [55, 60, 70, 97-99, 103]. Ряд задач механики разрушения был решен с применением таких теорий пластичности [30, 31]. В большинстве случаев, уравнения для напряжений состоят из уравнений равновесия (с учетом или без учета массовых сил) и условия пластичности Кулона-Мора. Исчерпывающий анализ этой системы уравнений для случая плоской деформации дан в [34]. В этой монографии приведены также решения ряда практически важных задач. Обзор других условий текучести, зависящих от среднего напряжения, содержится в [75]. Следует отметить, что в диссертационной работе не затрагиваются вопросы, относящиеся к теории пластичности пористых материалов, допускающей пластическое изменение объема. Для таких материалов условия текучести также зависят от среднего напряжения. Текущее состояние дел в этом разделе механики отражено в [17]. В случае пластически несжимаемых материалов, условие текучести которых зависит от среднего напряжения, в настоящее время не существует общепризнанных кинематических уравнений, в отличие от системы для напряжений, отмеченной выше. Значительный вклад в развитие этих уравнений внесли Ишлинский, Гениев, Spencer, de Josselin de Jong и многие другие. Отметим также работы [20, 7]. Обзор многих кинематических уравнений представлен в [83]. Все эти модели сводятся к модели идеального жесткопластического тела если угол внутреннего трения (в терминологии механики грунтов) равен нулю. В этом смысле, все модели могут быть рассмотрены как обобщения классической теории идеально жесткопластического тела на пластические материалы, чувствительные к среднему напряжению, и вопрос о наиболее непосредственном обобщении остается открытым. Ряд общих свойств соотношений теории идеальной пластичности и статики сыпучей среды был получен в [25]. Тем не менее, представляет интерес рассмотреть соответствие сингулярных решений, полученных по модели идеальной пластичности и модели с условием текучести, зависящим от среднего напряжения. В теории идеального жесткопластического тела известен широкий класс сингулярных решений, которые возникают вблизи поверхностей максимального трения, которые определяются условием, что удельные силы трения равны пределу текучести при чистом сдвиге.

Впервые сингулярные решения в теории пластичности вблизи поверхностей максимального трения были исследованы в [35], где были рассмотрены уравнения плоскодеформированного состояния. В этой работе было показано, что эквивалентная скорость деформации стремится к бесконечности на поверхностях максимального трения. Такие сингулярные решения возникали, хотя и не были замечены авторами, во многих решениях частных задач теории плоской пластичности. Ограничимся упоминанием двух классических задач, сжатие слоя между шероховатыми плитами (поле скоростей, соответствующее решению Прандтля) и течение через бесконечный сходящийся канал (решение Надаи). Оба решения могут быть найдены в монографии [38]. Анализ [35] существенно опирался на метод характеристик и фактически означал, что поверхность трения (линия в плоскости течения), вблизи которой возникают сингулярные решения, должна быть огибающей семейства характеристик. В случае осесимметричного и общего трехмерного течения уравнения теории идеальной пластичности не являются гиперболическими (за исключением модели, основанной на условии текучести Треска, и других подобных моделей) и поэтому метод характеристик не может быть применен. Однако, известно, что изолированные характеристические поверхности могут существовать при произвольном течении идеального жесткопластического материала, подчиняющегося условию Мизеса [69]. Именно такие поверхности являются источниками сингулярности при неплоском течении. Это можно видеть на примере аналитических решений, полученных для течения через бесконечный конический канал [40], обжатия пластического осесиметричного слоя на жесткой оправке [91] и ряда других задач [21]. В общем виде сингулярность поля скоростей при осесимметричном течении материала Мизеса была продемонстрирована в [4], а для материала Треска в [7]. При произвольном трехмерном течении материала Мизеса аналогичный результат был получен в [1], а для материала, подчиняющегося произвольному гладкому условию текучести, независящему от среднего напряжения, в [48]. Во всех этих работах было показано, что эквивалентная скорость деформации обратно пропорциональна корню квадратному из расстояния от поверхности трения (или поверхности разрыва скорости). Этот результат имеет определенное значение для развития численных методов и для описания некоторых физических явлений вблизи поверхности с высоким трением. В частности, в [51] отмечались трудности с численным моделированием процесса волочения при применении закона максимального трения. Вполне вероятно, что это было связано с тем, что сингулярное поведение поля скорости, которое имеет место в действительном решении, не принималось во внимание. Практическое приложение сингулярных полей скоростей может быть основано на концепции коэффициента интенсивности скорости деформации (коэффициент при сингулярном члене в разложении эквивалентной скорости деформации в окрестности поверхности трения), введенной в [48]. В соответствии с этой концепцией, эволюция физических свойств и полей, уравнения которых зависят от эквивалентной скорости деформации, в тонком слое материала вблизи поверхности максимального трения контролируется величиной коэффициента интенсивности скорости деформации. Характерным примером таких полей является температурное поле, которое тоже будет сингулярных вблизи поверхности максимального трения.

Незначительные изменения модели идеального жесткопластического материала могут приводить к тому, что сингулярность в поле скоростей исчезнет и картина течения в частных задачах качественно изменится. Ограничимся анализом классических задач, сжатие слоя между шероховатыми параллельными плитами и течение пластического материала в каналах. В случае сжатия слоя между шероховатыми плитами, различные обобщения классического решения Прандтля и соответствующего поля скорости, полученные в рамках модели идеального жесткопластического материала, приводят к состоятельным с физической точки зрения решениям. Такие обобщения в наиболее полной форме приведены в [23]. Однако, введение в модель эффектов вязкости и упрочнения приводит к тому, что математическое решение теряет физический смысл. Действительно, решение для вязко пластического материала (модель Шведова-Бингама) дано в [42] и формально записано для любого закона трения, определяющего удельную силу трения как фиксированную долю текущего предела текучести при чистом сдвиге. Очевидно, что закон максимального трения включен в такую постановку как частный случай, когда эта доля равна полной величине предела текучести при чистом сдвиге. Однако, непосредственной подстановкой можно убедиться, что при законе максимального трения усилие сжатия на единицу длины стремится к бесконечности, что не имеет физического смысла. Кроме того, дополнительный анализ этого решения показывает, что условия на свободной боковой поверхности полосы не выполняются даже приближенно. Если в случае идеального жесткопластического материала эти напряжения малы, по сравнению с нормальными напряжениями, действующими в слое, то в вязкопластическом решении касательные напряжения стремятся к бесконечности при приближении к поверхности трения. Очевидно, что отсутствие решения при максимальном трении говорит о том, что при достаточно большом, но не максимальном, трении решение неприемлемо для практических приложений. Такое поведение этого частного решения полностью объясняется общей теорией, согласно которой в вязкопластических материалах при условии максимального трения не может быть проскальзывания [44]. С другой стороны, поле скорости, соответствующее решению Прандтля при применении идеального жесткопластического материала, и аналогичные поля скорости для других моделей материалов предполагают обязательное проскальзывание на поверхности трения, что противоречит общей теории. Видимо по этой же причине значительные трудности возникали при численном решении вязкопластических задач при применении закона максимального трения [86]. Общий результат, аналогичный [44], был также получен для вязких [3] и жесткопластических упрочняющихся материалов [45]. По этой причине обобщение решения Прандтля на жесткопластические упрочняющиеся материалы при применении закона максимального трения приводит к такому же противоречию, как и решение [42] - усилие на единицу длины стремится к бесконечности. Обобщения решения Надаи для течения через плоский сходящийся канал и решения Шилда [40] для течения через конический сходящийся канал на жесткопластический упрочняющийся материал были получены в [62, 64]. Поля скоростей, используемые в этих решениях, требует проскальзывания на поверхности трения, что невозможно, как следует из общей теории [45]. В связи с этим, полученные решения не имеют физического смысла при применении закона предельного трения.

Проанализированные общие результаты и решения частных задач показывают, что поведение решения вблизи поверхности трения имеет существенное влияние для выбора метода решения задач и интерпретации полученных решений. В связи с этим представляется целесообразным рассмотреть с этой точки зрения законы течения в теории пластичности, чувствительной к среднему напряжению. В диссертационной работе сравниваются две модели. Одна из первых работ, посвященная движению сыпучей среды и не включенная в обзор [83]. была выполнена Ишлинским [26]. Независимо эта модель была предложена Хиллом, как следует из [83], и известна как модель Хилла. В этой модели предполагается, что выполняется условие несжимаемости и что главные оси тензоров напряжений и скоростей to деформаций совпадают. Вторая модель, детально рассмотренная в диссертационной работе, была предложена Спенсером [92] и ее наиболее полное описание дано в [93-95]. Обычно эта модель называется моделью двойного сдвига. Особенностью модели двойного сдвига является то, что характеристики для напряжений и скоростей совпадают, а главные направления тензоров напряжений и скоростей деформации не совпадают. При плоском течении некоторые общие свойства уравнений модели [92] были получены в [79], а решения частных задач в [77, 85, 96]. В работе [96] было исследовано внедрение конуса в пластическую среду без учета трения. В связи с этим, данная работа не представляет особого интереса для целей настоящего исследования. Начальной точкой диссертационной работы следует считать решения, полученные в [77, 85]. В [77] было дано обобщение классического решения Прандтля о сжатии слоя между шероховатыми параллельными плитами и соответствующего поля скорости на модель двойного сдвига. В [85] было обобщено решение Надаи о течении в сходящемся плоском канале. В этих работах был предложен закон максимального трения для модели двойного сдвига, требующий, чтобы огибающая семейства характеристик совпадала с поверхностью трения. Следует отметить, что возможны различные обобщения классического закона максимального трения на пластические материалы с условием текучести, зависящим от среднего напряжения [4]. Как будет показано ниже, закон трения, предложенный в [77, 85], и модель [92] наиболее полно согласуются с классическим законом максимального трения, используемым в классической теории пластичности. Поля скоростей, полученные в [77, 85], являются сингулярными. Этот факт был не замечен авторами этих работ, а был установлен в [47]. В этой работе также было показано, что эквивалентная деформация стремится к бесконечности вблизи поверхности максимального трения по такому же закону, как и в случае классической пластичности. В работе [47] была также обобщена концепция коэффициента интенсивности деформации, введенная [48]. Недостатком этих решений являлся их приближенный характер. В решении

77], как и в других аналогичным решениях, не могут быть выполнены точно условия в центре полосы и на свободной поверхности. В решение [85] возникают проблемы вблизи поверхности трения, так как нормальные напряжения на ней могут стать положительными, что противоречит сущности закона трения. Этот недостаток решений о течении пластического материала в бесконечных каналах был отмечен в [2]. Кроме того, особенностью решений [77, 85] является то, что угол наклона главных осей тензора напряжений к оси произвольной, фиксированной в пространстве, декартовой системы координат не изменяется в процессе деформации в каждой материальной точке. Как было отмечено в [94], представляет интерес найти решение в котором это условие не выполняется. Поскольку достаточно сложно найти практическую значимую задачу с трением, для которой точное решение может быть получено аналитически, то была рассмотрена в определенном смысле искусственная задача, расширение полого цилиндра между двумя шероховатыми стенками, одна из которых вращается [46]. Точное аналитическое решение этой задачи показало, что вблизи стенки, на которой имеет место проскальзывание, эквивалентная скорость деформации стремится к бесконечности по такому же закону, как в случае классической пластичности. В общем виде этот закон для случая плоской деформации был доказан в [5]. Сравнение решений [77, 85] с решениями, полученными в такой же постановке для модели [26], показывает, что последние решения качественно отличаются от решений [77, 85] и, соответственно, от решений классической пластичности. На основании этого можно сделать вывод, что в определенном смысле модель [92] и закон трения, предложенный в [77, 85], являются наиболее прямым обобщением классической теории пластичности и классического закона максимального трения.

В заключении этой главы хотелось бы отметить, что исследование сингулярных пластических решений вблизи поверхности трения является достаточно новой областью (за исключением работы [35]). Для сравнения, другие типы сингулярных решений достаточно полно представлены в литературе [54, 63, 65, 68, 87] и список литературы в этих статьях. Представляется также, что исследованный тип сингулярных решений имеет существенное практическое значение. Действительно, сингулярное поле скоростей приводит в большим (теоретически бесконечным) сдвиговым деформациям в тонком слое. В связи с этим, естественно ожидать, что свойства материала в этом тонком слое будут существенно отличаться от свойств в основном объеме. Эксперименты на разных материалах подтверждают этот качественный вывод [15, 16, 53, 67, 102]. Количественное описание может быть основано на введенной концепции коэффициента интенсивности скорости деформации и формальной аналогии с концепцией коэффициента интенсивности напряжений в линейной механике разрушения [41, 37,52, 71].

В связи с этим, были поставлены и решены следующие задачи.

S Показан сингулярный характер поля скорости вблизи поверхности максимального трения в решениях, полученных для модели двойного сдвига.

•S Выполнен асимптотический анализ и определена функциональная зависимость эквивалентной скорости деформации от нормальной координаты в окрестности поверхности максимального трения. Показано, что эта зависимость такая же, как в случае идеального жесткопластического тела.

S Предложена концепция коэффициента интенсивности скорости деформации в рамках модели двойного сдвига.

S Проведено сравнение модели двойного сдвига с моделью Хилла и показано, что поведение решений вблизи поверхности максимального трения в рамках модели Хилла отличается от поведения соответствующих решений, полученных по модели двойного сдвига и по модели идеального жесткопластического тела.

Решен ряд классических задач теории пластичности в рамках модели двойного сдвига при использовании закона максимального трения.

Практическая ценность работы заключается в получении асимптотических выражений для поля скоростей вблизи сингулярных поверхностей, что имеет большое значение для разработки численных методов решения практически важных задач, и в развитии концепции коэффициента интенсивности скорости деформации, что составляет основу для метода описания резкого изменения свойств материала вблизи поверхностей трения в теории обработки металлов давлением.

В полном объеме работа докладывалась и обсуждалась на научном семинаре по механике прочности и разрушения материалов и конструкций в Институте проблем механики РАН и на семинаре кафедры «Теоретическая Механика» Московской государственной академии приборостроения и информатики. Отдельные результаты были доложены на Всероссийских и международных конференциях

• XXIX Летняя Школа "Advanced Problems in Mechanics" в Санкт Петербурге в 2001 году

• VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике в Перми в 2001 году

• Конференция EUROMECH 430 «Formulations and Constitutive Laws for Very Large Strains» в Праге в 2001 году

• Международная молодежная научная конференция «XXVII Гагаринские чтения» в Москве в 2002 году

• Конференции «5th International ESAFORM Conference on Material Forming» в Кракове в 2002 году

По материалам и результатам исследования опубликовано 5 работ.

Диссертация состоит из введения, 4 глав, выводов, заключения, списка литературы из 103 ссылок. Работа изложена на 127 страницах, содержит 39 рисунков.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ПЕРСПЕКТИВЫ

В работе было рассмотрено плоское течение материала, подчиняющегося модели двойного сдвига, вблизи поверхности максимального трения и показано, что поля скоростей в этом случае должны быть сингулярными. Очевидно, что сингулярность в поле скоростей должна быть учтена в численных методах для создания эффективных алгоритмов. Поэтому, одно из направлений предполагаемого развития результатов работы заключается в разработке пакета прикладных программ, в которых будет учитываться реальное поведение поля скоростей вблизи поверхностей максимального трения. Второе возможное направление дальнейших работ связано с концепцией коэффициента интенсивности скорости деформации. В этом случае требуется детальное сопоставление с экспериментом и, по-видимому, постановка специальных экспериментов для определения связи коэффициента интенсивности скорости деформации с градиентом свойств материала вблизи поверхностей с высоким трением. Наконец, третьим направлением, также непосредственно примыкающее к результатам диссертационной работы, является изучение других типов течения, простейший из которых - осесимметричное течение без вращения. Ниже, на простом примере показано, что сингулярные решения при таком течении могут существовать.

Течение в сходящемся коническом канале было рассмотрено в [94] в сферической системе координат рфв (Рис.5.1.). Предполагалось, что единственной отличной от нуля компонентой вектора скорости является радиальная скорость и и что угол ц/ (в данном случае, это угол наклона направления максимального главного напряжения к оси р) не зависит от в. При этих предположениям было получено следующее решение для поля скорости, удовлетворяющее модели двойного сдвига и условию максимального трения (1.14) при 0»0О,[94] ш

1)

2 (cos 2ц/ + sin cp) sin cp v r=-vp2x{0)

2) dx 3^(<9)sin2y/

3) d6 cos Ъ// + sin cp где с и V - постоянные интегрирования, которые определяются из краевых условий. Ее величина не имеет значения для настоящего анализа. Из (2) следует, что сдвиговая скорость деформации пропорциональна dxjd6. Поэтому, из (3) немедленно получаем, что поле скорости сингулярное вблизи поверхности максимального трения. Чтобы определить асимптотическое поведение сдвиговой скорости деформации вблизи поверхности максимального трения, необходимо разложить числитель и знаменатель правой стороны уравнения (1) в ряд Тейлора и проинтегрировать это уравнение в окрестности точки у/ = y/w. После подстановки результата этого интегрирования в (3), можно убедиться, что сдвиговая скорость деформации следует закону (1.36). Эти выкладки полностью аналогичны анализу, выполненном в параграфе 2.1 для течения материала в плоском канале, и поэтому не приводятся. Поскольку сдвиговая скорость деформации вносит основной вклад в эквивалентную скорость деформации вблизи поверхности максимального трения, то ясно, что эквивалентная скорость деформации также следует закону (1.36). Обобщение концепции коэффициента интенсивности скорости деформации (1.37) на этот случай очевидно. Рассмотренное частное решение показывает, что большой долей вероятности все основные результаты, полученные в работе, могут быть обобщены для осесимметричной деформации.

Рис.5.1. Геометрическая схема течения материала через конический канал

2. Александров Е., Гольдштейн Р.В. Течение пластической массы в сходящемсяканале: Особенности решения. / /Докл. Р А Н . 1993. Т.332. № 3 . 314-316.

4. Александров Е., Друянов Б.А. Об условиях трения пластических тел / /Изв. РАН.МТТ. 1992. № 4 . 116-122.

5. Александров Е., Лямина Е.А.Сингулярные решения при плоском пластическомтечении материалов, чувствительных к среднему напряжению. / /Докл. РАН. 2002. Т. 383. №4. 492-495.

6. Александров Е., Лямина Е.А. Развитие поврежденности при совместномкручении и растяжении цилиндрической трубы. // Металлы. 2002. № 2 . 94-99.

7. Александров Е., Ричмонд О. Асимптотическое поведение поля скорости приосесимметричном течении материала, подчиняющегося условию Треска //Докл. РАН. 1998. Т.360. № 4 . 480-482.

8. Балашов Д.Б., Зволинский Н.В. Об обтекании конуса жесткопластической средой.//Изв. РАН М Т Т . 1996. № 3 . 46-53.

9. Богатев A . A . О разрушении металлов при обработке давлением. / /Кузнечноштамповочное производство. 1997. № 8 . 2-7.

10. Быковцев Г.И. О сжатии пластического слоя жесткими шероховатыми плитами сучетом сил инерции./ /Изв. АН СССР Отн. 1960. №6. 140-142.

11. БыкоБцев Г.И. О сжатии анизотропно упрочняющегося пластического слояшероховатыми плитами.//Докл. АН. СССР. 1964. т.157. № 6 . 66-68.

12. Гениев Г.А. Вопросы динамики сыпучей среды. М: Гостехиздат. 1958.

13. Гольдштейн М.Н. Механические свойства грунтов. Гостехиздат. 1952.

14. Голушкевич С. Статики предельных состояний грунтовых масс. Гостехиздат.1952.

15. Губкин С И . Пластическая деформация металлов. М.: Металлургиздат. 1961. Т.З.306с.

16. Друянов Б.А. Прикладная теория пластичности пористых тел. М.:Машиностроение. 1989. 165с.

17. Друянов Б.А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности. М.:Машиностроение. 1990. 272с.

18. Дудукаленко В.В., Ивлев Д.Д О сжатии полосы из упрочняющегося пластическогоматериала жесткими шероховатыми плитами. / /Докл. АН. СССР. 1963. т .153. № 5 . 1024-1026.

19. Загайнов Л.С. Об уравнениях плоского установившегося движения сыпучейсреды.//МТТ. 1967. № 2 . 188-196.

20. Задоян М.А. Пространственные задачи теории пластичности. М.:Физматлит. 1982.384с.

21. Задоян М.А. Частное решение уравнений теории идеальной пластичности вцилиндрических координатах. //Докл. А Н СССР. 1964. Том 157. № 1 . 73-75.

22. Ивлев Д.Д. Механика пластических тел. Том 1. Теория идеальной пластичности.2001. М.: Физматлит. 445с.

23. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука. 1966. 232с.

24. Ивлев Д.Д. Об общих соотношениях теории идеальной пластичности и статикисыпучей среды. / /ПММ. 1972. Т.36. № 5 . 957-959.

25. Ишлинский А.Ю. О плоском двшкении песка. / /Укр. Мат. Журн . 1954. Т.6. № 4 .С.430-441.

26. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики. Механика вязкопластических и невполне упругих тел. М:Наука. 320-323.

27. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: ГИТТЛ. 1956. 324 с.

28. Качанов Л.М. Ползучесть тонкого слоя, сжимаемого жесткими плитами./ /Изв. АНСССР. Отн. 1960. № 6 . 138-140.

29. Ковардакова А.Ю., Ломакин Е.В. Пластический изгиб надрезанных полос изматериала свойства которого зависят от вида напряженного состояния. / /МТТ. 1995. № 5 . 109-115.

30. Ломакин Е.В. Деформирование дилатирующей среды вблизи вершины трещины вусловиях плоского напряженного состояния. / /МТТ. 1996. № 5 . 99-109.

31. Лямина Е.А. Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции«XXVII Гагаринские чтения». Москва. 2002. 29.

32. Максимова Л.А. О сжатии слоя из идеально жесткопластического материалажесткими анизотропно шероховатыми плитами. //Докл. РАН. 2000. Т.372. № 1 . 50-52.

33. Соколовский В.В. Статика сыпучей среды. М.: Физматгиз. 1960. 243 с.

34. Соколовский В.В. Об уравнениях пластического течения в пограничномслое./ /ПММ. 1956. Т.20. № 3 . 328-334.

35. Соколовский В.В. Плоское и осесимметричное равновесие пластической массымежду жесткими стенками. // П М М . 1950. т. 14. 75-92.

36. Плювинаж Г. Механика упруго-пластического разрушения. М.:Наука. 1993. 448с.

37. Хилл Р. Математическая теория пластичности. //М.: Гостехиздат. 1956. 407 с.

38. Хаар А., Карман Т.К. К теории напряженных состояний в пластических и сыпучихсредах. / /Теория пластичности. М.: ИЛ. 1948. 41-56.

39. Шилд Р.Т. Пластическое течение в сходящемся канале. / /Сб. пер. «Механика».1956. № 3 . 140-150.

40. Черепанов. Г.М. Механика хрупкого разрушения. М.:Наука. 1974. 640с.

42. Alexandrov S. Interrelation between constitutive laws and fracture criteria in the vicinityof friction surfaces. //Physical Aspects of Fracture. Kluwer. Dordrecht. 2001. pp. 179190.

44. Alexandrov S., Alexandrova N . On the maximum friction law for rigid/plastic, hardeningmaterials. // Meccanica. 2000. V.35. No.5. P.393-398.

45. Alexandrov S, Lyamina E . A n example of singular solutions in pressure-dependentplasticity. //Proceedings of X X I X Summer School "Advanced Problems in Mechanics". 2002. St.Petersburg. P. 11-17.

46. Alexandrov S., Lyamina E. Application of the doble-shearing model forming process.//Proceedings of the S''' International E S A F O R M Conference on Material Forming. 2002. P. 711-714.

48. Alexandrov S., Richmond O. Estimation of thermomechanical fields near maximumshear stress tool/workpiece in metalforming processes. // Proc 3'^ '' Int. Cong, on Thermal Stress. Cracow University of Technology. Cracow. 1999. P. 153 - 156.

49. Anand L . Plane deformations of ideal granular materials. / /J . Mech. Phys/ Solids. V.31 .N2 . P.105-122.1983.

52. Collins I.F. The application of singular perturbation techniques to the analysis of formingprocesses for strain-hardening materials. / /Metal Forming Plasticity. Berl in. Springer. 1979. P.227-243.

55. Gushing J.T. Applied analytical mathematics for physical scientists. // New York. JohnWil ley & Sons. 1975.

56. De Josselin de Y o n g G.Static and kinematics in the failable zone of granular material.Delft-Waltman.1959.

57. De Josselin de Y o n g G . The doble-sliding, free-rotating model for granular assemblies.Geotechnique. 1971. V .21 . P.155-163.

59. Drucker D . C , Prager W . Soil mechanics and plastic analysis or limit design. // Q. Appl .Mech. V. IO. 157-165.

61. Durban D. Friction and singularities in steady penetration. //Proceedings of l U T A MSymp. On Non-Linear Singularities in Deformation and Flow. Dordrecht. Kluwer. 1999. P.141-154.

62. Durban D. , Budiansky B . Plane-strain radial flow of plastic materials. / /J . Mech. Phys.Solids. 1979. V.26. P.303-324.

67. Graggs J.W. Characteristic surfaces in ideal plasticity in three dimensions. //Quart. J.Mech. Appl . Math. 1954. V .8 . P t . l . P.35-39.

70. Kobayashi S., Oh S.-I., Altan T. Metal forming and the finite-element method. //NewYork. Oxford University Press. 1989.

71. Lemaitre J. Formulation and identification of damage kinetic constitutive equation. //Continuum damage mechanics. Theory and application. Wien: Springer-Verlag. 1987. P.37-89.

72. Lubliner J. Plasticity theory. New York. MacMi l l an Publ. Comp. 1990. 495p.

73. Mandl G . , Fernandez Luque R. Fully developed plastic shear flow of granular materials.Geotechnique. 1970. V.20. P.277-307.

75. Mehrabadi M . M . , Cowin S.C. Initial planar deformation of dilatant granular materials. J.Mech. Phys. Solids. 1978. V.26. P.269-284.

77. Mroz Z . Deformation and flow of granular materials. //Proc. 15"' International Congressof Theoretical and Applied Mechanics. North-Holland. Amsterdam. 1980. P.119-132.

79. Oldroyd J .G. Two-dimensional plastic flow of a Bingham solid: a plastic boundary-layertheory for slow motion. //Proc. Camb. Philos. See. 1947. V.43 . P.383-395.

80. Ostrowska - Maciejewska J. , Harris D . Three - dimensional constitutive equations forrigid/perfectly plastic granular materials. // Math. Proc. Camb. Phi l . Soc. 1990. V.108. P.153 - 169.

81. Papanastasiou P., Durban D . Singular plastic fields in non-associative pressure sensitivesolids. //Int. J.Solids Struct. 2001. V.38.P. 1539-1550.

82. Pemberton C.S . Flow of imponderable granular materials in wedge - shaped channels. //J. Mech. Phys. Solids. 1965. Y.13 . P.351 - 360.

83. Rebelo N . , Kobayashi S. A coupled analysis of viscoplastic deformation and heattransfer-Part 1. // Int. J. Mech. Sci . 1980. V.22. P.699-718.

84. Sayir M . , Frommer H . Singular perturbations in plasticity: Application to plane-strainslip-line fields. //Plasticity today: Modell ing, methods and applications. London and New York. Elsevier. 1985. P.331-342.

85. Shield R.T. On Coulomb's law of failure in soils. // J. Mech. Phys. Solids.1955. V . 4 .P.10-16.

86. Shield R.T. On the plastic flow of metals under conditions of axial symmetry.//Proc.R.Soc. London. 1955. V.A233 . P.267-287.

87. Shield R.T. Mixed boundary-value problems in soil mechanics. / /Q . App l . Math. 1953.V . 11. R 61-75.

91. Spencer A . J . M . Deformation of ideal granular materials. Mechanics of Solids. // Oxford.Pergamon Press. 1982. P. 607 - 652.

92. Spencer A . J . M . Kinematically determined axially symmetric deformations of granularmaterials. //Mechanics of granular materials: New models and constitutive relations. Amsterdam. Elsevier. 1983. P.245-253.

93. Spencer A . J . M . Plastic flow past a smooth cone. / /Acta Mech. 1984. V.54. P.63-74.

95. Spitzig W .A . , Richmond 0 . The effect of pressure on the flow stress of metals. //ActaMetall . 1984. V.32. No.3. P.457-463.

97. Takagi S. Steady in-plane deformation of noncoaxial plastic soil. // Int. J. Engng. Sci .1979. V.17. P.1048-1072.

99. Wright P . K . Metallurgical effects at high strain rates in the secondary shear zone of themachining operation. Metallurgical Effects at High Strain Rates. //Plenum Press. New York and London. 1973. 547p.

100. Yoshida S., Oguchi A . , Nobuki M . Influence of High Hydrostatic Pressure on the FlowStress of Copper Polycrystals. //Trans. Japan Inst. Metals. 1971.V. 12. P.238-242.