Сингулярные задачи упругости и устойчивости полосы с сильной анизотропией тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

шм ПАУК РЕШБШ! шлгсш шспют ишшш.и цшпювашшя

Па нракн: nymmcn.

ттмт Вшт&я З^епбсксгта

сштанше ашт

УПРУГОСТИ II ЭТЖЙЧИБОС'Ш тшш О СШШКЙ ДШЗОГГОШЕ!

0I.02.0Ä - изюнлка дафэрлрузного гсзрдого sam

Работа гшолшва в Казахской политехническом институте

Научный рукоЕодахель: члоа-трреспондант АН Реслуйлики Кая

стан, доктор технических наук« профессор Ш.М. АЙтшшев

Офадаадьше одшщептш доктор физико-математических наук

Л.А,АД9ксоова

каназдрт фшко-штештачэскях наук А. К. Егоров

¡Ведущая органазадая: Инстягут щшаадаой штетгнка АН

Госкубдакл Казахстан (Караганда)

Задала состодгся ^Н шшл 1932 года 4 в;

дашгз сдациаШироЕашого сошха К 008.11.02 в Институте мэ елей а иалшаъедешш АН Республика Казахстан со адресу: 480021, г.Алма-Аза, 21, ул-Цугазка, 125 (конферевд-эал).

О дассартацзай шаю озншкшться в Цаетрадгнай научно! С£бгпот0кз АН Раолуйазя KsgaxcißH.

АЕгсрофзра? разослан 23 гая IS92 года.

Учзшй секрэгарь сдсцааласлровшиого сокгха,

доюо? с^нгдно-аахедгажэческаз: Kays j4, tCo^^Sae/- A.A. Ka

-------- ■ .

- 3 -

". ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность теми. Почти все материалы как естественного, ак и искусственного продсхоадения обладают анизотропией упру-зх свойотв. Значительную степень анизотропия имеют композит, особенности, когда она ориентированно аргягрованн. При создала штематического аппарата - расчета конструкций из тагах ма-ериалов эти особенности порождают больше трудности. Наличие альной упругой анизотропности в определенных направлетаях, ос-экненной структурной неоднородностью, началышмн напряжениями другими факторами зарождения материалов ила технологии их эздания, затрудняет применение классических мет о доз математи-зского анализа (аналитических Функций ко:я1Л8ксиого переменяо-о и др.). Поэтому возникает необходимость приоритетного обраце-зя к асимптотическим методам анализа -полей напряжений, которш, зтаваясь прибликашом, являются более приспособленным! к уче-у упомянутых особенностей поведения сильно ашзотрошшх !.пгз~ налов.

Цель рдботц - систематическое использование метода сращи-ашш асимптотических разлого кий в ряде задач ото с га! теории прутости сильно анизотрошшх тел, приводящихся к сингулярно озмущенккм уравнениям для фуккцшг напрякений с малым гараизт-ом при старшей производной, и рассмотрение устойчивости силъ-о анизотропной полосы.

Задачи исследований. Предполагается реоить путем щимепе-ия метода сращивания {согласовадая) внутренних я здешних аслм-тотичесгах раэлоаений' следующие задачи плоской теория упругос-и:

- растяжение - сжатие и сдвиг вдоль кромок бесконечной п лооы, материал которой описывается моделью сильно анизотропно тела Ю.В. Петровского из-за армирования нерастяжимнш волоки ми-нитями вдоль полосы;

- поперечный изгиб произвольно распределенным давлением прямоугольной ортотропноК пластины, кестность которой в напра лешш одной из кромок сравнима о жесткостью на сдшг и обе он вкачптельно превшают по величине две остальные жесткости;

- растякенпс-скатие и сдвиг вдоль 1фомок бесконечной ани тройной полосы с начальным напряжением, высокая степень анизо тропии которой обусловлена о резко отличающимися модулями упр гости вдоль и поперек слоистого тела {модель М.Епо);

- устойчивость сильно анизотропной прямоугольной полосы начальным напряжением на шдела М.Био при двуооном и всеоторс нем сяатии. ■

Научная новизна: I.Впервые были построены асимптотики ра шещй перечисленных вшю задач, особенности которых связаны с высокой степенью■анизотропии упругих овойотв в определенных направлениях; коэффициенты обоих разложений - внешних и шутх них - определены путем взаимного согласования. 2. Получен яга: вид асимптотика решения для случая изгиба орготропной пластик под равномерно распределенным поперечным давлением, для коте рей имеется л точное решение. 3, Дана оценка устойчивости чэ анизотропии прямоугольной полосы при двухеноа и всестороннем сжатии в зависимости от степени анизотропии материала и соон июней сжи:.ащцхоя усилий.

Рракт^чеокая ценность габотн, Выявлены преимущества и ш достатки метода сравдвания асимптотических разложений а±я реп

ей как поставленных в диссертации задач, так и в сравнения с другими асимптотическими методами. Задачи об устойчивости ани-ютропной полосы может быть применена в механика коьшозитов.

Адробагстд работ. Основные результаты диссертационной работы долокени на выездной сессии научного совета АН Республики Ка-¡ахстагг по проблема: "Механика деформируемого твердого тела" в казахском государственном университете (Алма-Ата,198?), IX Ка-1ахстанской межвузовской научной конференции по математике и ке-внике (Алма-Ата, 1339), конференции "Казахский язык а науковеде-ше. 1-ый научно-практический форум" (Алма-Ата,1990). Полное со-{ержание диссертации обсуздено на научных семинарах кафедры ме-:аним! сплошной среды Казахского государственного ушверситета ю механике деформируемого твердого тела под руководством профессора Н.Я.Тер-Эмманульяна, лаборатории вычислительных методов юл ко вой данашки Института теоретической и прикладной матекати-сл АН Республики Казахстан под руководством доктора физпко-гате-аатических наук Л.А.Алексеевой, лаборатории механики деформировак-юго твердого тела Института механики и машиноведения АН Респуб-1шш Казахстан под руководством доктора технических наук М.А.Аллм-ганова, лаборатории теории сейсмостойкости подземных сооружений ■ого из института под'руководством члена-корреспондента АН Республики Казахстан Ш.М.Айталиева л объединенного семинара по механике того кэ института под руководством академика АН Республики Казахстан Е. С.Ернанова.

Публикации. По тепе дяссерта^-и опубликовано 5 работ.

Объем и структура таботы.. Диссертация состоит из введения,

шух глав и заключения, изложенных на_ страницах машинопи-

зи (включая рисунков). Список цитируема литературы содержит наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРШШ ЛИССЕРТАЩИ

Во введении проводится юраткий обзор работ, имеющих отно! яие непосредственно к тема диссертации, и излагается ее кратк содержание.

Подход, применяемый в диссертации, имеет много предшеств ников. Основы сингулярно зозмущешшх уравнений восходят к тру дам М.Ван-Да&ка, В.Вазога, Дк.Коула, А.Найфэ, Л.А.Люстершка, М.И,Башка, С.А.Ломова, М.И.Иманалиева, К.А.Касымова и да. Си гулярные возмукенля наша самые разнообразные приложения во всех разделах механики Для нас близки идеи и результаты иссл дованиЗ, где появление малых (равно как больших) параметров в разресащкх уравнениях задач обусловлено проявлением оообенно тей механических (деформированных, прочностных, реологических свойств материалов. Так, гтог в одних случаях возникает при у те параметров структурной неоднородности среды в рамках момен ной теории (В.В.Болотин, В.А.Лошкин, Б.Е.Победря,Л.П.Исугов) в других случаях, при применении специально построенных модел армированных композитов с нерастяяаыыш нитями (Ю.В.Нешровск Ю.А.Боган), в третьих случаях, при рассмотрении задач поперек го изгиба анизотропных пластин о определенными условиями на соотношения кесткостей по различным направлениям (Ю.А.Боган и Во всех этих случаях единым для них фактором является наличие сильной анизотропии материала в определенных кацравлениях. От да возникает мысль рассмотреть влияние сильной анизотропии не только на нахряженно-деформированное состояние, но и устойчивость среды. Как известно, сама по себе задача устойчивости били предметами исследований многих авторов Ш.Ело, А.Н.1узь,

Ю. Бабич, Я.С.Ерганов, М.Т.Алимнанов, А.К.й?оров,А.А.Ашвдо-в к др.)

В первой главе в начале приводятся известные основные соот-■шения плоской. задачи теории упругости для анизотропных сред, торне необходимы для последующих рассуждений. Используя обобщен-й закон Р/ка дал ортотропного тела в виде

юдятся безразмерные жесткости л ~ к С'1 £ с1 Л , 6- .

*' 1С t 1А • /л

усматривая случай с/(( { , соответствующий армированно-г одним семейством весъга езстких волокон композиционному мате-шлу в направления Ц , л введя шлкл параметр £ = с1 , завнепне для функция напряжений при отсутств:-.;: объемных сил пре-Зразуется к сингулярно возмущенному виду.

(л Л-1 г ) = О №

ри 8 = 0 вырожденное уравнение имеет состав:ай вид

. Изменение типа уравнения в продельном случае физически оз-ачает возникновение паевого оффекта вблизи граници области; в редело часть граничных условий пропадает. Так, гак отмечает (.А.Боган, если на грашщо упругой полосы вдоль оси X заданы апряжеккж , и >■> { , то в предельной зада-:е ( — о«] на границе полосы задается только ,

, касательное определяется из ресения предельной задачи.

Метод сращивания применяете к уравнению в изобрагениях гурье-трансфор:лант по X. Обратное преобразование и его числения реализация представляют больше птрудно оти, которые пока не юзволяют делать обозримый аналога. Это является недостатком рао-яиагриваемого метода применительно к силы аназатропноЗ полосе.

В этой ко главе построена асимптотика решения задачи изги ба прямоугольной ортотропной пластины с о ежа ортотроши, пара лельнкл сторонам области; на границах заданы црогиб и угол пов рота. Принимается, что жесткость пластинки в направлении одной из сторон сравнима по величине о жесткостью на.сдвиг и обе они зшчигельно превышают по величине две остальные. В отличие от имеющихся подходов здесь вначале разделятся переменные в урав нении изгиба, а затем применяется метод А.Наифэ. Асимптотика для прогиба ортогрошой шшетикки, нагруженной равномерно расп делешш поперечным давлением имеет вид

аМ-гЧ.«*«^ = 2-К.,Л ,

В отличие от полосы д ля поперечного изгиба пластинки мет о сравдвания асимптотических разлоааний дает обозримый, эф$ектив результат.

Вторая глава диссертации посвящена1 изучению устойчивости прямоугольной анизотропной полосы (рпо.1)

£

%

1'_ 1'_;;_1'

эс

'Л—$2—£

ТТ"?—У

Ч-

рис.1.

а также многослойной ореды. При этом била использована известная теория М.Ено. Основным отличием данной постановки задача является то, что полоса обладает свойством сильной анизотропии упругих свойств. Вследствие этого вводятся в рассмотрение малнй параметр.

Уравнение для определеняя критической нагрузки => Р/£ 0_ в общем случае для полосы имеет вид:

(мМо-г^"*')+Ф - «м *■ - ум-

'■^Ф'МННМг*}*

Здесь — * , ^-ТгА-£ 4 (¿С- длина волны); £ -плотность материала полосы; Ж, й - модуль расгяжения-скатия и сдвига; ^ &+ ^

Отовда можно получить разные частна© случаи, соответствующие отсутствию инерционных членов (£ - О ) поперечной нагрузки ( с^ — о ), всестороннего сжатия ( * ). Так, например, при — уравнение имеет простой вид

Дри сильной анизотропии полосы М' 0- ->'> ^ (на что указывают данные дая резиноподобных материалов) и согласно (б) £а—> о . Тогда уравнение дая критической нагрузки принимает шд

{-^[ММ*] ?3+ е +М^ 'Ь0 - #

Зависимость 1фитической нагрузки от /1//$ показано на рис.2

£*» 0,001950,^0

«И в,1 О,* 0,4 ОД 0,4 0,1 о.и о,« i

рис. й

Распространяя этот подход на многослойную полосу, проведены массовые вычисления для критической нагрузки при различных соотношениях т ^-^¡Ы, , А .

Так, для трехслойной полосы зависимость критической нагрузга от степени анизотропии среднего (первого) олоя Л = í И при (I = 0,9 и М = 0,1 показаны на ряо. 3,а,б.

Как видно, с ростом степени анизотропии среднего слоя по ■ отношению к втвдпяям слога система становится более устойчивой. Цря фиксированной степз!Ш анизотропии среднего слоя (К-сспА} Н П. I, у { критическая нагрузка остается постоянной о ростом ^ . При Н-ъ О в зависимости от изменения

появляется внутренняя неустойчивость второго рода (т.е. критическая нагрузка имеет шнамум). При уменьшении у критическая нагрузка такта уменьшается, но не приближается к

нулю, а имеет как бы асимптоту, более выраженную при больших Я .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

X. Методом сращиваемых асимптотических разложений построена асимптотика для сильно анизотропной полосы, приводящая к сингулярно возмущенной задаче.

2. Определен явный вид асимптотика решения задачи о поперечной изгибе ортотропной пластинки при определенна! условиях на соотношения кесткостных характеристик по определенным направлениям.

3. Изучено устойчивость сильно анизотропной прямоугольной полооы в зависимости от степени анизотропии, соотношений сторон црямоугольника и сяимапцих усилий.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Жамнханов Б.Т., Рахимов Е.Р. К изучению возмущенного напряженного состояния однонаправленной слоистой полосы.' В сб. "Дзнашка сплошной среды". Алма-Ата; изд.Казахского .гос. ун-та, 1382, с.125-132.

2. йамыханов Б.Т. Возмущенное напряженное состояние анизотропной полосы. /Цеп. в КазНИИНТИ 28.10.1983, К 517.Ка-Д 83,7с.

3. Камшсанов Б.Т. К решению сингулярной задачи для сильно анизотропной полосы методом сращиваемых асимптотических разло-Еений. // Вестник АН Каз.ССР. 1987, й 5, с.7а-82.

4. Еамыханов Б.Т. Напрякенно-деформйрованное состояние сильно анизотропной полооы. /Дез .докл. IX Республиканской межвузовской научной конференции' по математике и механике. Алма-Ата; Изд.Казах.сос.ун-та, 1989, о.60.