Синтез оптимального по быстродействию управления в задаче перелета тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Введение.1.4 стр.

Глава I. Структура и свойства точек переключения оптимального управления.1.12 стр.

§1. Постановка задачи. Вывод основных соотношений.12 стр.

§2. Свойства точек переключения оптимального управления .[.16 стр.

§3. Исследование условий существования и оптимальности особого управления.1.24 стр.

§4. Число точек!переключения оптимального управления .30 стр.

Глава 2. Синтез оптимального управления.38 стр.

§1. Некоторые свойства синтезирующего управления.38 стр.

§2. Определение области движения с оптимальным особым управлением .1. 45 стр.

§3. Определение движения с одним переключением управления, не содержащего особых участков.53 стр.

§4. Определение областей движения с управлением (1,0), (-1,0). Случай существования альтернативного варианта с равным начальным управлением.61 стр.

§5. Определение областей движения с управлением

64 стр.

§6. Исследование на оптимальность движения с управлением (-1.0)

78 стр.

§7. Синтез оптимальной траектории движения с управлением (0,1) и (0,-1).1.88 стр.

§8. Синтез оптимальной траектории с двумя точками переключения управления .1.101 стр.

Глава 3. Частные случаи синтеза оптимального управления Алгоритм синтеза оптимального управления.107 стр.

§1. Синтез при одном переключении управления, без наличия особых участков

107 стр.

§2. Определение условий существования движений с набором управлений (и,0) и (и,-|и) .112 стр.

§3. Синтез траектории с управлением (и?0) и (-и,и).116 стр.

§4. Синтез траектории с управлением (0,и) и (и,-и).128 стр.

§5. Синтез оптимальной траектории при двух переключениях управления .(.134 стр.

§6. Алгоритм синтеза оптимального управления.140 стр.

Различные процессы, протекающие в технике, экономике, производственной деятельности и т.п., обычно являются управляемыми, мости от вмешательства человека. Поэтому проблема управления в целом процессами или объектами имеет большое значение. Степень сложности управляемых объектов явилась причиной постановки новых задач Iи привела к существенному изменению подхода к данным задачам, а также методов их решения [7,8,10,21,22,30 — 32,44,46,58 — 60]. В результате появилась соответствующая математическая теория, которая, в целом, была создана в середине 50-х годов и по!пучила название "теории оптимальных процессов". Выдающуюся роль в этом сыграл "принцип максимума", высказанный Л. С.| Понтрягиным в качестве гипотезы и подробно исследованный В. Г. Болтянским, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко [7,8,21,22,58 — 60]. Внимание к принципу максимума со стороны специалистов разных областей науки привело к появлению различных интересных доказательств данного факта. Так, независимое доказательство принципа максимума методом приращений было дано л! И. Розоноэром [63]. Дальнейшими исследованиями Р. Габасова, Ф.| М. Кирилловой и их учеников [16,17], а также других авторов [26,|27,46] метод приращений оформился в универсальный метод исследования разнообразных и актуальных задач оптимального управления, в котором заложена возможность получения как необходимых, так и достаточных условий оптимальности. Следует также отметить, что в некоторых работах [40,45,66 — 69] оптимальт.е. возможно их' осуществление различными способами в зависиные процессы были исследованы методами классического вариационного исчисления. В начале 60-х годов А. Я. Дубовицким и А. А. Милютиным [27] был разработан метод исследования экстреI мальных задач, который позволил осуществить вложение теории управления в общую теорию экстремальных задач.

На практике часто функционалом качества является время, т.е. приходится решать так называемую задачу быстродействия. Данная задача в силу своей актуальности исследовалась достаточно широко [2,3,5, б]9-11,13,23,28,34-37,55,56,57,61,65,66,71,72]. В случае линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений принцип максимума является не только необходимым, но и достаточным условием оптимальности [60], следовательно найденное с его помощью управление будет оптимальным. Если же система нелинейная, то приведение ее к линейной, т.е. линеаризация часто дает хорошие результаты, но все-таки далеко не всегда. Поэтому I приходится проводить дополнительные исследования, опирающееся на вид и свойства конкретной нелинейной системы, которые позволяют найти не только число точек переключения управления, но и сами точки^ [5,6,9,11,34 — 37,55,61,66,71]. Кроме того, даже в достаточно простых случаях при рассмотрении линейных систем, могут возникнуть нештатные ситуации. Например, в [60] рассматривается задача быстродействия для системы:

2 = и(г).

Требуется перевести объект из заданной начальной точки в начало координат. Управляющая функция и(Ь) удовлетворяет условию О, < 0. и{^)\ ^ Принцип максимума дает следующее оптимальное решение:

Так как скорость Х2(1) не может быть величиной неограниченной, то логично потребовать, чтобы выполнялось условие |ж2(£)| < V, а тогда данное управление не будет оптимальным. В то же время условие и(Ь) = 0, если х2{Ь) = ±У, дополняющее ранее найденное, даст нам оптимальную траекторию.

Вообще говоря, из-за локальности условий, доставляемых принципом максимума, легко представить ситуацию, когда на основе столь ограниченной информации нельзя дать ответ на вопрос об оптимальности найденного управления. Может случиться так, что максимум достигается в нескольких точках, или же гамильтониан не зависит! от управления. Такие случаи называют особыми, а управление, вдоль которых они реализуются, получили название особых управлений. Впервые понятие особого управления было введено Л. И. Розоноэром [63]. Он же показал, как вычисляются особые управления, исходя из определения. В простых случаях можно довольно легко указать вид особого управления, однако, с повышением порядка и усложнением системы задача становится слишком трудоемкой.| Реальная возможность ее решения была получена А. М. Летовым [43] в результате использования аппарата скобок Пуассона. Оптимальность данных управлений первоначально не рассматривалась, и только в 1964 г. Г. Келли [33] впервые исследовал данный вопрос. В дальнейшем идея Г. Келли была развита Р. Коппом и 1Г. Мойером [38] и другими авторами.

Оптимальное управление, как правило, состоит из кусков особых и неособых управлений. В связи с этим возникает задача оптимального сопряжения различных участков управления. Этот вопрос исследовался Г. Келли, Р. Коппом и Г. Мойером [38,70], но, наиболее полно проблема оптимальности для особых управлений была развита В. Ф. Кротовым [40]. В. И. Гурман [24 — 26] в рамках метода В. Ф. Кротова исследовал особые управления в различных модельных задачах прикладного характера. Кроме того, другие результаты по достаточным условиям оптимальности особых управлений были получены в работах Р. Габасова и Ф. М. Кирилловой I

14 — 16,18 — 20], В. А. Срочко [64]. Проведенные исследования задач динамики полета показали, что особые управления являются достаточно широко распространенным явлением. Подтверждением данного факта и важности особых управлений служит их связь с так называемыми скользящими режимами. Кроме того, каждой задаче со скользящим режимом можно поставить в соответствие задачу, в которой может отсутствовать скользящий режим, но зато обязательно появится особое управление. Поэтому, в данной диссертации в процессе поиска оптимального в смысле быстродействия синтезирующего управления для нелинейной системы третьего порядка специального вида, исследуется возможность существования допустимого|особого управления и проводится исследование его на оптимальность. Следует отметить, что подобная задача рассматривалась неоднократно. В 60-х годах как задачу наведения ее рассматривал Ю. 3. Алешков [4], как задачу преследования - Г. С. Розенберг [61]. Из других авторов необходимо отметить Э. М. Болычевцева [9], И. ,Ф. Верещагина и Н. А. Репьяха [11]. В 70-х годах задачу рассматривали Ю. И. Бердышев [5], А. Брайсон и Хо Ю Ши [10], Н. Хамза, И. Колас, В. Рунгальдер [65], Т. Пексваради [71], в 80-х годах - Г. Н. Яковенко [66]. Задача рассматривалась при нулевых значениях помех и была решена Ю. И. Бердышевым при призвольно1г конечном курсовом угле и Г. Н. Яковенко с заданными свойствами угла в конечной точке. Т. Пексваради было найдено программное управление и, соответствующие ему, оптимальные траектории. Игровая постановка встречалась в работах [1,29,62]. Постановка аналогичной задачи с менее жесткими конечными условиями встречается у Н. X. Розова [62], но решения ее не приводится. Таким образом, ни у одного из перечисленных авторов не дается полного решения задачи, т.е. способа нахождения оптимальных синтезирующих траекторий при произвольных начальных данных. Полностью задача в постановке, приведенной в данной работе, не рассматривалась. Не проводился и синтез оптимальных траекторий. |

В первой главе диссертации исследуются свойства точек переключения управления для искомой системы, определяется вид оптимального управления и доказывается теорема о числе точек переключения! данной системы.

Первый параграф посвящен постановке задачи и нахождению допустимого управления, удовлетворяющего необходимым условиям I оптимальности.

Во втором параграфе исследуются точки переключения управления и доказывается теорема о свойствах данных точек.

Целью третьего параграфа является исследование возможности существования особых участков траектории движения, поиск особого управления и исследование его на оптимальность.

И, наконец, в четвертом параграфе данной главы доказывается теорема о числе точек переключения оптимального управления и определяются все возможные наборы управлений, претендующих на оптимальность.

ВЫВ ОДд

111111111 гшжш&шз:

ШШтшШШШ штшшшх

ЖШШШШШ ШШшШШШ

И ЛНИР

ШШЖЖШМ ттттжж ,. .жшшшшшт ¡гшштшшшт штштт 1 Ж ш

При выборе второго пункта имеется возможность ввода данных с клавиатуры, ввода параметров движения, таких как линейная и угловая скорости объекта, и величин "помех" Wx,Wy и параметров экрана. Если не вводить значения параметров движения и экрана, то в программе

Тестовый приме

Расчетная тт ш шея!!

ЖмтШ,

НИР ущтт-т.

Ш111 ЙВЙЙЙЙЙЗ'' шшш

ЖШШ;

11ш11|:

ШШШ

ЖЖуЖЖЖ

111111 ШШШй ШШШШ

ШШШШ П О Меню ипер сасчел

111111|11

ШШШШфЙ ¡¡¡1111118 иияш. I

ЗШШйР ттжтж штшшшщ шштшшт.

2 ¿чёт/Выход задача

11111

1111 жмжж. шшшш шшшшш "ШШШШ

ЖЖ:Ш<Жк жштж,.,, щштшш штшжт ттттж, ттшш щт№$№& шшшшт

ШШШШШШ

ЩШ*

3$

ШШШШШ: 3 3< щтшшшш тжтшжт

ЩШШШшш

ШШШ: :■:•:■:•. М

ШШШШ

ШФ 1§1 Ш тт

ШИИШ .

ЖШЖЖЖ. 1111111111 акрыть окно вывода будут использоваться значения, указанные в Приложении 1.

Последний пункт позволяет осуществить ввод начальных значений фазовых координат из текстового файла и вывести эти значения, координаты точек переключенияи время движения в файл res.txt.

Вспомогательные процедуры и функции программы находятся в модуле libO.bpu. Процедуры и функции определения начальной области и координат точек переключения содержатся в модуле main.bpu. Программа реализована на алгоритмическом языке Borland Pascal 7.0. Текст главной части программы приводится ниже. $a+,b-,d+,e-,f+,g+,i+,l+,n+,o-,p-,q-,r-,s+,t-,v+,x+,y+} $М 16384,0,655360}) program mmain; j uses Objects,Drivers, Views, Menus, Dialogs, App,Graph,Crt,Lib0, intrface,main; label 01,02,03,04,05,06,07; var gd,gm,vari,u2,i:integer;s:stiing;vl01 :boolean; mapp:tmyapp;ch:char;xnl ,xn2,ynl ,yn2,finl ,fin2,tnl :extended; function f0(fil l:extended):extended;far; begin | f0:=2*v*(wy*cos(fil l)-wx*sin(fil l))-wy*(v+v*cos(fi0)+x0*ww*u)+ wx*(v*sin(fi0)-y0*ww*u); end; I function truluu(fil l,eps:extended):boolean; label 01,02,03,04,05,06,07,08,09,10,11,12,13; var varl,var2,var3:integer;dell,f0:extended; begin dell:=delta(u); fi0:=fi00(u); case u of

-l:if (del 1 >=0)and(del 1 <=pi) then varl:=l else varl:=2; l:if (del 1 >=-2*pi)and(del 1 <=-pi) then varl:=3 else varl:=4; end; case varl of 1 rbegin if (fi0>=2*pi-del 1 )and(fi0<2*pi) then begin var2:=l;goto 01;end; if (fi0>=pi-dell)and(fi0<2*pi-dell) then begin var2:=2;goto 01;end; if (fi0>=0)and(fi0<pi-dell) then begin var2:=3;goto 01;end; end; 2:begin if (fiO>=3*pi-dell)and(fiO<2*pi) then begin var2:=4;goto 01;end; j if (fiO>=2*pi-dell)and(fiO<3*pi-dell) then begin var2:=5;goto 01;end; j if (fi0>=0)and(fi0<2*pi-dell) then begin var2:=6;goto 01;end; end; 3:begin if (fiO<=-3 *pi-del 1 )and(fI0>-2*pi) then begin var2:=7;goto 01;end; I if (fiO<=-2*pi-dell)arid(fiO>-3*pi-dell) then begin var2:=8;goto 01;end; J if (fi0<=0)and(fi0>-2*pi-dell) then begin var2:=9;goto 01;end;j end; 4:begin if (fi0<=-2*pi-del 1 )and(fi0>-2*pi) then begin var2:=10;goto 01;end; if (fiO<=-pi-del 1 )and(fi0>-2*pi-del 1) then begin var2:=ll;goto 01;end; if (fi0<=0)and(fi0>-pi-dell) then begin var2:=12;end; end; end; 01:f0:=f0(fi0); case var2 of 2*pi-delta<=fi0<2*pi,0<delta<pi *) l:begin if f0<=0.0 then var3:=l else var3:=2; 02:case var3 of |

1 :begin sol(2*pi-dell,fiO,fil,fO);fit:=fitl 1 (-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin var3:=2;goto 02;end; end; |

2:begin sol(pi-del 1,2*pi-del 1 ,fi 1 ,fO);fit:=fit 1 l(-u); if truuu(u,fil,eps) then begin traluu:=true;exit;end else begin sol(-2*pi+fiO,pi-dell,fil,fO);fit:=fitll(-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin truluu:=false;exit;end; end;end; end; end; pi-delta<=fi0<2*pi-delta,0<delta<pi *) 2:begin j if f0>=0.0 then var3:=l else var3:=2; 03:case var3 of

1-.begin sol(pi-dell,fiO,fil,fO);fit:=fitll(-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin var3:=2;goto 03;end; end;

2:begin sol(-dell,pi-dell ,fil ,fO);fit:=fitl 1 (-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin sol(-2*pi+fi0,-dell,fil,f0);fit:=fitll(-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin truluu:=false;exit;end; end;end; I end; end; 0<=fi0<pi-delta,0<delta<pi *) 3:begin | if f0<=0.0 then var3:=l else var3:=2; 04:case var3 of j

1 :begin sol(-del 1 ,fi0,fi 1 ,f0);fit:=fitl 1 (-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin var3:=2;goto 04;end; end; j

2:begin sol(-pi-dell,-dell,fil,fO);fit:=fitll(-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin sol(-2*pi+fi0,-pi-dell,fil,f0);fit:=fitll(-u); if truuu(u,fil,eps) then begin traluu:=true;exit;end else begin trulu|u:=false;exit;end; end;end; I end; end; j 3*pi-delta<=fi0<2*pi,pi<delta<2*pi 4:begin ' if f0>=0.0 then var3:=l|else var3:=2; 05: case var3 of 1 :begin sol(3*pi-del 1 ,fi0,fi 1 ,f0);fit:=fit 1 l(-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin var3:=2;goto(05;end; end; |

2:begin sol(2*pi-dell,3*pi-dell,fil,f0);fit:=fitll(-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin sol(-2*pi+fi6,2*pi-dell,fil,f0);fit:=fitll(-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin truluu:=false;exit;end; end;end; end; end; 2*pi-delta<=fi0<3 ^pi-delta,pi<delta<2*pi *) 5:begin if f0<=0.0 then var3:=l else var3:=2; 06:case var3 of

1 :begin sol(2*pi-del 1 ,fiO,fi 1 ,f0);fit:=fit 11 (-u); if truuu(u,fil,eps) ¿hen begin truluu:=true;exit;end else begin var3:=2;goto 06;end; end; |

2:begin sol(pi-dell,2*pi-dell,fil,f0);fit:=fitll(-u); if trauu(u,fil,eps)'then begin truluu:=trae;exit;end else begin sol(-2*pi+fi0,pi-dell,fil,fO);fit:=fitll(-u); if trauu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin truluu:=false;exit;end; end;end; end; end; 0<=fi0<2*pi-delta,pi<delta<2*pi *) 6:begin if f0>=0.0 then var3:=l else var3:=2; 07:case var3 of j

1 -.begin sol(pi-dell,fiO,fil,fO);fit:=fitl 1 (-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin var3:=2;goto 07;end; end;

2:begin sol(-dell,pi-dell,fil,fO);fit:=fitll(-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin sol(-2*pi+fi0,|dell,fil,f0);fit:=fitll(-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin truluu:=false;exit;end; end;end; I end; end; -2*pi<fi0<-3*pi-delll-2*pi<delta<-pi *) 7:begin j if f0<=0.0 then var3:=2 else var3:=l; 08: case var3 of lrbegin sol(fi0,-3*pi-dell,fil,f0);fit:=fitll(-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin var3:=2;goto 08;end; end;

2:begin sol(-3*pi-dell|,-2*pi-dell,fil,f0);fit:=fitll(-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin sol(2*pi-dell,2*pi+fi0,fil,f0);fit:=fitll(-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin truluu:=false;exit;end; end;end; end; end; j -3*pi-delta<fi0<-2*pi-del 1 ,-2*pi<delta<-pi *) 8 ".begin J if f0>=0.0 then var3:=2 else var3:=l; 09: case var3 of j l:begin sol(fi0,-2*pi-dell,fil,f0);fit:=fitll(-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin var3:=2;goto 09;end; end; |

2:begin sol(-2*pi-del 1,--pi-del 1,fi 1,f0);fit:=fitl l(-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin sol(-pi-dell,2*pi+fi0,fil,f0);fit:=fitll(-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin tru 1 uu:=false;exit;end; end;end; j end; j end; j -2*pi-delta<fi0<0,-2*pi<delta<-pi *) 9:begin if f0>=0.0 then var3:=l else var3:=2; 10:case var3 of j

1 :begin sol(fiO,-pi-dell,fil,fO);fit:=fitll(-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin var3:=2;goto|10;end; end; j

2:begin sol(-pi-dell,-dell,fil,fO);fit:=fitll(-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin sol(-dell,2*pi+fi0,fil,f0);fit:=fitll(-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin truluu:=false;exit;end; end;end; end; end; -2*pi-delta<fi0<-2*pi,-pi<delta<0 *) 10:begin if f0<=0.0 then var3:=l else var3:=2; ll:case var3 of

1 rbegin sol(fi0,-2*pi-dell ,fi 1 ,fO);fit:=fitl 1 (-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin var3:=2;goto ll;end; end; j

2:begin sol(-2*pi-del 1,-pi-del 1,fi 1,fO);fit:=fitl l(-u); if truuu(u,fil,eps)'then begin truluu:=true;exit;end else begin sol(-pi-deil,2*pi+fi0,fil,f0);fit:=fitll(-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin truluu:=false;exit;end; end;end; end; end; -2*pi-delta<fi0<-pi-delta,-pi<delta<0 *) ll:begin if f0>=0.0 then var3:=l else var3:=2; 12:case var3 of

1 :begin sol(fiO,-pijdel 1 ,fil ,fO);fit:=fitl 1 (-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin var3:=2;goto 12;end; end; j

2:begin sol(-pi-dell,-dell,fil,fO);fit:=fitll(-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin sol(-dell,2*pi^fi0,fil,f0);fit:=fitll(-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin traluu:=false;exit;end; end;end; end; end; J -pi-delta<fi0<0,-pi<delta<0 *) 12:begin I if f0<=0.0 then var3:=l else var3:=2; 13:case var3 of j 1 :begin sol(fiO,-dell,fil,fO);fit:=fitl 1 (-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin var3:=2;goto 13;end; end; I

2:begin sol(-dell,pi-dell,fil,fO);fit:=fitll(-u); if truuu(u,fil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin sol(pi-dell,2*pi+fi0,fil,f0);fit:=fitll(-u); if truuu(u,iil,eps) then begin truluu:=true;exit;end else begin truluu:==false;exit;end; end;end; end; end; end; end; begin

06:clrscr;work:=false;workl:=false;work2:=false;workp:=false; mapp.init;mapp.run;mapp.done; if not work then exit; if not workl then begin wx:=10.0;wy:=8.0;ww:=0.01;v:=100.0;end; if not work2 then begin xm:=64.0e3;ym:=56.0e3;end;visible:=true; r:=v/ww;x:=x0;y:=y0;t0:=0.0;t:=t0; initgr(");coord; Проверка существования траектории с u=0 *) if tru0(0,0.001) then begin u:=0;vari:=0;h:=0.0001;goto 01;end; (* Проверка существования траектории с u=jl! *) if truu(l,0.01) then begin vari:=l;u:=l;h:=0.0002;goto 01;end; if truu(-1,0.01) then begin vari:=l;u:=-l;h:=0.0002;goto 01;end; (* Проверка существования траектории с u=u,-u и ее оптимальности *) u:=l;if truluu(fil,0.01) then begin u2:=u; u:=l ;h:=0.0002;fi:=fi 1 ;fit:=fitl 1 (-u);fi:=fiO;vari:=2;goto 03;end; u:=-l;if tmluu(fi 1,0.01) then begin u2:=u; u:=-l;h:=0.0002;fi:=fil;fit:=fitl 1 (-u);fi:=fi0;vari:=2;goto 03;end; Проверка существования траектории с u=0,u и ее оптимальности *) ul:=l;fi0:=fi000;if trui0u(u 1,0.001) then begin u2:=ul; h:=0.0001;fit:=fit01(ul);fi:=fi0;vari:=3;goto04;end; ul:=-l;fi:=fi0;if tru0u(u 1,0.001) then begin u2:=ul; h:=0.0001;fit:=fit01(ul!);fi:=fi0;vari:=3;goto 04;end; (* Проверка существования траектории с u=u,0 и ее оптимальности р u:=l;if truu0(u,0.001) then begin u2:=u; h:=0.0002;fit:=fit01(uj;fi:=fi0;vari:=4;goto05;end; u:=-l;if truu0(u 1,0.001) then begin u2:=u; h:=0.0002;fit:=fit01(u^;fi:=fi0;vari:=4;goto05;end; (* Проверка существования траекторий с u=u,0ul и ее оптимальности *) vari:=6;goto 01; j

03:setcolor(4);repeat moveto until switchuu(u,0.01); xnl:=x;ynl:=y;finl:=fi; setcolor(2);u:=-u;repeat moveto until sqrt(x*x+y*y)<=le-l;tt[l]:=t; xn2:=x;yn2:=y;fin2:=fi;tnl :=t; Проверка существования траекторий с u=u,-u и u=0,u и их оптимальности *) ul:=u2;if tru0u(ul|o.001) then begin x:=x0;y:=y0;t:=t0;fi:=fi0;u:=0;h:=0.0001; setcolor(4);repeat moveto until switch0u(u 1,0.1); setcolor(2);u:=ul;repeat moveto until sqrt(x*x+y*y)<=le-l;tt[2]:=t; delay(5000);cleardevice;setcolor(15);coord; if tt[l]>tt[2] then begin vari:=3;goto 01;end else begin vari:=2;u:=ul;goto 01;end; end; j Проверка существования траекторий с u=u,-u и u=-u,0 и их оптимальности *)

I ' u:=-u2;fi0:=fi000;if truu0(u,0.001) then begin x:=x0;y:=y0;t:=t0;fi:=fi0;h:=0.0002; setcolor(4);repeatimoveto until switchu0(u,0.01); setcolor(2);h:=0.0001;u:=0;repeat moveto until sqrt(x*x+y*y)<=le-l; tt[2]:=t;delay(5000);cleardevice;setcolor(15);coord; if tt[l]>tt[2] then begin vari:=4;u:=u2;goto 01;end else begin vari:=2;u:=u2;fi0:=fi000;goto 01;end; end; I Проверка существования траекторий с u=u,-u и u=u,0,u и их оптимальности *) u:=u2;ul:=u2;x:=x0;y:=y0;t:=t0;fi:=fi0; if truluOu(u,ul,0.001) then begin x:=x0;y:=y0;t:=t0;fi:=fi0; setcolor(l);repeatmoveto until switchluOu(u,ul,0.001); setcolor(2);u:=0;h:=0.0001; repeat mo veto until switch2u0u(u 1,0.1); setcolor(4);u:=ul ;h:=0l0002; repeat moveto until sqrt(x*x+y*y)<=le-l;tt[2]:=t; delay(5000);cleardevice;setcolor(15);coord; if tt[l]>tt[2] then begin vari:=5;u:=u2;ul:=u2;goto 01;end end; if workp then begin savef(xnl,ynl,finl);savef(xn2,yn2,fin2); savet(tnl);end;goto 07; 04:x:=x0;y:=y0;t:=t0;u:=0; setcolor(4);repeat moveto until switch0u(u 1,0.1); xnl :=x;ynl:=y;finl :=fi;setcolor(2);u:=u2; repeat moveto until sqrt(x*x+y*y)<=5e-l;tt[l]:=t; xn2:=x;yn2:=y;fin2:=fi;tnl :=t; u:=u2;ul:=-u2;x:=x0;y:=y0;t:=t0;fi:=fi0; (* Проверка существования траекторий с u=0,u и u=u,0,-u и их оптимальности *) I if trulu0u(u,ul,0.001) then begin u:=u2;fi0:=fi000;fi0:=fi00(u);ul:=-u;x:=x0;y:=y0;t:=t0;fi:=fi0; setcolor(4);repeat moveto until switchlu0u(u,u 1,0.001); setcolor(2);u:=0;h:=0.0001; repeat moveto until switch2u0u(u 1,0.1); setcolor(4);u:=ul;li:=0.0002; repeat moveto until sqrt(x*x+y*y)<=le-l;tt[2]:=t; delay (5000); clearde vice ;setcolor( 15) ;coord; if tt[l]>tt[2] then begin vari:=5;u:=u2;ul:=-u2;goto 01;end else begin vari:=3;u:=u2;goto 01;end; end; I if workp then begin savef(xnl,ynl,finl);savef(xn2,yn2,fin2); savet(tnl);end;goto 07; else begin vari:=2;u:=u2;goto 01;end;

05:x:=x0;y:=y0;t:=t0;u:=u2;h:=0.0002; setcolor(4);repeat moveto until switchu0(u,0.01);h:=0.0001; xnl:=x;ynl:=y;finl:=fi;setcolor(2);u:=0; repeat moveto until sqrt(x*x+y*y)<=le-l;tt[l]:=t; xn2:=x;yn2:=y ;fin2:=fi;tnl :=t; u:=-u2;ul:=u2;x:=x0;y:=y0;t:=t0;fi:=fi0; (* Проверка существования траекторий с u=u,0 и u=-u,0,u и их оптимальности if truluOu(u,ul,0.001) then begin u:=-u2;^:=fi000;fi0:=lfi00(u);ul.--u;x:=x0;y.-y0;t:=t0;fi:=fi0; setcolor(4);repeat moveto until switchlu0u(u,u 1,0.001); setcolor(2);u:=0;h:=0.0001; repeat moveto until switch2u0u(u 1,0.1); setcolor(4);u:=ul ;h:=0.0002; repeat moveto until sqrt(x*x+y*y)<=le-l;tt[2]:=t;tt[2]:=t; delay (5000); clearde vice; setcolor( 15); coord; if tt[l]>tt[2] then begin vari:=5;u:=-u2;ul:=u2;goto 01;end else begin vari:=4;u:=u2;goto 01;end; end; if workp then begin savef(xnl,ynl,finl);savef(xn2,yn2,fin2); savet(tnl);end;goto 07;

01:case vari of j

0:begin fi:=fi00(u);setcolor(4);end;

1 :begin fi:=fi00(u);setcolor(4);end;

2:begin j

Setcolor(4);u:=u2;fi0:=fi000;fi0:=m0(u);x:=x0;y:=y0;t:=t0;fi:=fil;fit:=fitll( -u); j fi:=fi0;h:=0.0002;repeat moveto until truuu(u,fi,0.01); if workp then savef(x,y,fi);setcolor(2);u:=-u;end; 3 .'begin j

Setcolor(4);ul:=u2;fi0:=fi000;fi0:=fi00(ul);x:=x0;y:=y0;t:=t0;u:=0;fi:=fi0;h: =0.0001; j repeat moveto until switch0u(u 1,0.1); if workp then savef(x,y,fi);setcolor(2);u:=ul;h:=0.0002;end;

4:begin setcolor(4);x:=x0;y:=y0;t:=t0;fi:=fi0;fit:=fit01(u);h:=0.0002; repeat moveto until switch0u(u 1,0.1); if workp then savef(x,y,fi);setcolor(2);u:=0;h:=0.0001;end;

5:beginx:=x0;y:=y0;t:=t0;fi:=fi0;h:=0.0002; setcolor(4);repeat moveto until switchlu0u(u,ul,0.001); if workp then savef(x,y,fi);setcolor(2);u:=0;h:=0.0001; repeat mo veto until switch2u0u(u 1,0.1); if workp then savef(x,y,fi);setcolor(4);u:=ul;h:=0.0002; repeat moveto until sqrt(x*x+y*y)<=le-l;tt[2]:=t; end; I

6:begin J u:=l;ul:=l;fi0:=fi000;fi0:=fi00(u);x:=x0;y:=y0;t:=t0;fi:=fi0;h:=0.0002; if truluOu(u,u 1,0.001) then begin x:=x0;y:=y0;t:=t0;fi:=fi0; setcolor(4);repeat moveto until switchluOu(u,u 1,0.001); setcolor(2);u:=0;h:=0.0001; repeat moveto until switch2u0u(u 1,0.1); setcolor(4);u:=ul;h:=0l0002; repeat moveto until sqrt(x*x+y*y)<=le-l;tt[l]:=t;end else tt[l]:=0; | u:=l;ul:=-l;fi0:=fi000;fi0:=fi00(u);x:=x0;y:=y0;t:=t0;fi:=fi0;h:=0.0002; if truluOu(u,ul,0.001) then begin x:=xO;y:=yO;t:=tO;fi:=fiO; setcolor(l);repeat moveto until switchluOu(u,ul,0.005); setcolor(2);u:=0;h:=0l0001; repeat moveto until switch2u0u(u 1,0.1); setcolor(l);u:=ul ;h:=0.0002; repeat moveto until sqrt(x*x+y*y)<=le-l;tt[2]:=t;end else tt[2]:=0; | u:=-l;ul:=-l;fi0:=fi000;fi0:=fi00(u);x:=x0;y:=y0;t:=t0;fi:=fi0;h:=0.0002; if truluOu(u,u 1,0.001) then begin x:=xO;y:=yO;t:=tO;fi:=fiO; setcolor(4)¡repeat moveto until switchluOu(u,u 1,0.001); setcolor(2);u:==0;h:=0.0001; repeat moveto until|switch2u0u(ul,0.1); setcolor(4);u:=ul;h:=0.0002; repeat moveto until sqrt(x*x+y*y)<=le-l;tt[3]:=t;end else tt[3]:=0; j u:=-l;ul:=l;fi0:=fi000;fi0:=fi00(u);x:=x0;y:=y0;t:=t0;fi:=fi0;h:=0.0002; if truluOu(u,ul,0.001) then begin x:=xO;y:=yO;t:=tO;fe:=fiO; setcolor(l);repeat moveto until switchluOu(u,ul,0.001); setcolor(2);u:=0;h:=0.0001; repeat moveto until switch2u0u(u 1,0.1); setcolor(l);u:=ul;h:=0.0002; repeat moveto until sqrt(x*x+y*y)<=le-l;tt[4]:=t;end else tt[4]:=0; min(i); delay (5000);cleardevice; setcolor( 15); coord; case i of l:begin u:=1 ;u 1 :=1 ;fiO:=fi000;fi0:=fi00(u);vari:=5;goto 01;end;

2:begin u:=l;ul:=-l;fi0;=fi000;fi0:=fi00(u);vari:=5;goto 01;end;

3:begin u:=-l;ul:=-l;fi0:=fi000;fi0:=fi00(u);vari:=5;goto01;end;

4:begin u:=-l;ul:=l;fiO:=fiOOO;fiO:=fiOO(u);vari:=5;goto 01;end; end; end; end; if vari<5 then j repeat mo veto until sqrt(x*x+y*y)<=le-l;

07:if workp then begin savef(x,y,fi);savet(t);end; sound(1000);delay(2000);nosound; ch:=readkey; case ch of

13:goto 06; end; closegraph; end.

1. Айзеке Р. Дифференциальные игры.- М.: Мир, 1967, 480 с.

2. Акуленко Л.| Д., Костин В. Г. Оптимальное по быстродействию управление в системе третьего порядка с несимметричными ограничениями. Доклады Академии Наук, т. 372, N 2, 2000, с. 169-173.

3. Александров В. М. Сходимость метода последовательного синтеза оптимального по быстродействию управления. Журнал вычислительной математики и математической физики, т. 39, N 10, 1999, с. 1650-1661.I

4. Алешков Ю.З. Оптимальный вывод точки на траекторию, соответствующую требуемому методу наведения. Вестник ЛГУ, Мат., мех., астроном., 1963, N 19, с. 85-91.

5. Бердышев Ю.И. Синтез оптимального управления для одной системы 3-го порядка. Вопросы анализа нелинейных систем автоматического управления, Свердловск, 1973 (УНЦ АН СССР), с. 91-100.

6. Бердышев Ю.И. Синтез оптимального по быстродействиюIуправления движением материальной точки в среде с сопротивлением. Автореф. кандидатской диссертации, Свердловск, 1978 (УНЦ АН СССР), 18 с.

7. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления! М.: Наука, 1969, 408 с.

8. Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Понтрягин Л.С. Ктеории оптимальных процессов. Докл. АН СССР, 1956, т. 110,1. N 1, с. 7-10. |

9. Болычевцев Э.М. Одна задача оптимального управления. -Вестник МГУ, Мат. мех., 1968, N1 с. 91-98.

10. Брайсон А.( Хо Ю Ши Прикладная теория оптимального управления. М.:^ Мир, 1972, 544 с.

11. Верещагин И.Ф., Репьях Н. А. Коррекция направления вектора скорости для попадания на окружность. Учен, записки Пермск. ун-та, Механика, 1969, N 239, с. 155-165.

12. Виноградова Т.К., Моисеев И.А. Перевод объекта из точки в заданную область. В кн.: Тез. докладов V Всесоюзной конференции по управлению в механических системах, Казань, 1985, с. 35.

13. Воробьев Л. М., Мережко А. М. Оптимальное управление нелинейными динамическими системами. Фундаментальные и прикладные проблемы космонавтики, N 1, 2000, с. 33-36.

14. Габасов Р. Об условиях оптимальности для особых управлений. Изв. АН СССР, ОТН, Техническая кибернетика, 1968,N 5, с. 34-43. |

15. Габасов |Р. Об оптимальности особых управлений. Дифф. уравнения, 1968, т. IV, N 6, с. 1000-1011.

16. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск: Наука и техника, 1977, 271 с.

17. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных прцессов. М.: Наука, 1971, 507 с.

18. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.: ¡Наука, 1973, 256 с.

19. Габасов Р. Кириллова Ф.М. Принцип максимума для экстремалей Понтрягина. Дифф. уравнения, 1968, т. IV, N 6,с. 963-972. I

20. Габасов Р.,' Кириллова Ф.М. Оптимальные управления с особыми участками. Автоматика и телемеханика, 1969, т. XXX, N 10, с. 15-25.

21. Гамкрелидзе Р.В. К теории оптимальных процессов в линейных системах. Докл. АН СССР, 1957, т. 116, N 1, с. 9-11.

22. Гамкрелидзе Р.В. К общей теории оптимальных процессов. Докл. АН 23. Григорьев

23. СССР, 1958, т. 123, N 2, с. 223-226. Ф. Н., Кузнецов Н. А. Оптимальное по быстродействию управление в одной нелинейной задаче. Автоматика и телемеханика!, N 8, 2000, с. 11-25.

24. Гурман В.И. Об оптимальных процессах особого управления. Автоматика и телемеханика, 1965, т. XXVI, N 5, с. 782-791.1.I

25. Гурман |в.И. К вопросу об оптимальности особых режимов движения ракет в центральном поле. Космические исследоваIния, 1966, т. IV, N 4, с. 499-509.I

26. Гурман В.И. Структура оптимальных режимов ракет в однородном гравитационном поле. Космические исследования, 1966, т. IV, N 6, с. 815-822.

27. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличие ограничений. Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 196б( т. 5, N 3, с. 395-453.

28. Заворотный В. И. Оптимальное управление маневром перенацеливания перехватчика. Известия Академии Наук. Теория1.-172и системы управления, N 3, 1997, с. 146-158.

29. Зобнин Б. Б., Морина С. И. Об одной задаче управления с ограничением на|число переключений. Известия Академии Наук. Теория и системы управления, N 2, 2000, с. 72-77.

30. Зубов В.И.1 Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975, 496 с.

31. Зубов В.И. Теория уравнений управляемого движения. -Изд-во Ленинградского ун-та, 1980, 288 с.

32. Зубов В.И. Динамика управляемых систем. М.: Высшая школа, 1982, 286 с.I

33. Келли Г.| Необходимое условие для особых экстремалей, основанное на второй вариации. Ракетная техника и космонавтика, 1964, N 8, с. 26-29.

34. Клюев A.C., Колесников A.A. Оптимизация автоматических систем управления по быстродействию. М.: Энергоиздат, 1982, 240 с.

35. Колесников A.A. О синтезе оптимальных по быстродействию неинейных систем. Изв. Северо-Кавказского научного центра высшей школы, сер. техн. наук, 1975, N 1, с. 3-7.

36. Колесников A.A. О синтезе оптимального по быстродействию управления неинейными объктами одного класса. Изв. вузов, сер. Электромеханика, 1978, N 3, с. 310-320.

37. Киселёв Ю.Н. Линейная теория быстродействия с возмущениями. Изд-во Московского ун-та, 1986, 107 с.

38. Konnj Р., Мойер Г. Необходимые условия оптимальности особых экстремалей. Ракетная техника и космонавтика, 1965,1. N 8, с. 84-91. I

39. Крищенко А. П. Синтез алгоритмов терминального управления для нелинейных систем. Известия Академии Наук. Техническая кибернетика, N 1, 1994, с. 48-57.

40. Кротов В.Ф. Методы решения вариационных задач на основе достаточных |условий абсолютного минимума. Автоматика и телемеханика, 1963, т. XXIY, N 5, с. 581-598.I

41. Кротов В.! Ф. Об оптимальном управлении траекториями полета. Абсолютный оптимум, аналитические решения, алгоритмы.1 Автоматика и телемеханика, N 3, 1996, с. 47-57,

42. Кротов В. Ф. Об оптимальном управлении траекториями полета. Абсолютный оптимум, аналитические решения, алгоритмы.II Автоматика и телемеханика, N 2, 1997, с. 37-47.I

43. Лётов A.M. Динамика полёта и управление. М.: Наука, 1969, 359 с. j

44. Ли IO.JМаркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972, 574 с.I

45. Лурье А.И., Троицкий В.А. Задача Майера-Больца и оптимальные процессы управления. В кн.: Труды IV Всесоюзного матем. съезда., т. 2, JL: Наука, 1964, с. 342-351.

46. Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем. М.:I1. Наука , 1975, 562 с.

47. Моисеев И.А. Структура оптимального (по быстродействию) управления нелинейной системы третьего порядка. Вопросы механики и процессов управления. Вып. 15: Теория систем управления., С-Петербург, изд-во СПбГУ, 1992, с. 100-105.

48. Моисеев И.А. О точках переключения управления одной нелинейной системы третьего порядка. Вопросы механики и процессов управления. Вып. 16: Математические вопросы анализа негладких моделей., С-Петербург, изд-во СПбГУ, 1995, с. 207-211.

49. Моисеев И.А. Синтез оптимального управления в задаче перелета из заданной точки в заданную область. В кн.: Тез. докладов Международной конференции "Dynamical Systems: Stability, Control, Optimization", Минск, 1998).

50. Моисеев И.А. Частные случаи оптимального синтеза нелинейной системы третьего порядка. В кн.: "Процессы управления и устойчивость", труды XXXI научной конференции факультета ПМ-ПУ СПбГУ., С-Петербург,ООП НИИ Химии СПбГУ, 2000, с. 93-96.

51. Олейников! В.А., Смирнов Т.М. Оптимальное по быстродействию управление нелинейными объектами. Автоматика и телемеханика, 1970, N 12, с. 167-170.

52. Олейников В.А. Оптимальное по быстродействию управление нелинейными объектами. В кн.: Автоматическое управлеIние и регулирование в различных отраслях народного хозяйства. -Куйбышев, КПИ, 1971, с. 13-17.

53. Помазанов М. В. Локально-оптимальное управление в задаче наибыстрейшего достижения заданной цели. Известия Академии Наук. Теория и системы управления, N 2, 2000, с. 65-71.

54. Понтрягин Л.С. Оптимальные процессы регулирования. -Успехи математических наук, 1959, т. XIV, вып. 1 ( 85 ), с. 3-20.

55. Понтрягин Л.С. Некоторые математические задачи, возникающие в связи с теорией оптимальных систем автоматического регулирования. В кн.: Сессия АН по научным проблемам автоматизации производства, т. 2, М. 1957, с. 107-117.

56. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов.- М.: Наука,1969, 384 с.1

57. Розоноэр ЛШ. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории оптимальных систем. 1-Ш. Автоматика и телемеханика,1959,Iт. 20, N 10, с. 1320-1334, N 11, с. 1441-1458, N 12, с. 1561-1578.I

58. Срочко В.А. Связь между необходимыми условиями оптимальности особых управлений. Дифф. уравнения, 1970, т.У1, N 2, с. 387-389.

59. Яковенко Г.Н., Синтез оптимального управления на группе Ли третьего порядка. Кибернетика и вычислительная техника, 1981, Вып. 5lJ с. 17-22.I

60. Янг JI. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир, 1974, 488 с.

61. Berkovi^z L.D. Variational methods in problems of control and programming.1 J. Math. Anal, and Appl., 1961, 3, N 1, p. 145-169.

62. Kalman R.E. The theory of optimal control and the calculus of variations. RIAS Technical Report, 61-3, 1961.

63. KelleyjH.J., Kopp R.E., Moyer H.G.Singular extremals in "Topics in Optimization", ( ed. by Leitman G. ) Acad. Press., New

64. York-London, 1967, pp. 63-101.

65. Pecsvaradi T. Optimal horizontal guidance law for Aircraft in the terminal area. JEEE Trans. Automat. Contr., 1972, vol. A-17, N 6 , pp. 763-772.

66. Piccoli B. Classification of generic singularities for the planar time-optimal synthesis. SIAM J. Control and optimization, 1996, vol. 34, N 6, pp. 1914-1946.16У55