Системы обыкновенных дифференциальных уранений со специальными интегралами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

5ЕЛ0Р5ТЯ2ЕЙ ОРДЕИ ТРУЖШГО КРАЕВОГО яядвеня

госшнггэшнай уницшзшег ЕМ. В.Я.шша

Sa spceex рухссжэс

ESJEICQ mti-'ifHWi

СЕСТРЫ Е^*ЕРЕЙШ1ЕШ5£ vFAEESS СО 1ЖШ£ЛШШ

, . - давггшя

- 01.01.02 - зржсгя •

A3?op«0«piT

söccpseös! s3 ccece2es3' f^sstíl ctsesss EssCTSSïa (5s2»>-CBî4iurra4i.cCTt гз?з

ífinz» - ГСГЗ

f-'-i-; С-ГМ ~т V ti Л П A i-íO * -.«JT-i X

SaHsepcCTs^a nsmm íizzz Кувапз

Научный руЕсводехоль кавдадаг ^хгико-ыатеиззвчвсквд

saya, дсцезга В.Н.ГСгБУЕОЗ

Сфациальша сгшсЕакти:

дозтор СЕзгво-гштеигкагазскиг наук, профессор Д.Л.ЧЕКШГ

каидздаг флапхо-г^тcííd тпче ciois Еаук, лоцзхгг B.H.iJIIFOIEHKO

Еедущзя сргалззацая -

ЕизегорсдскпЗ государственной уштерситз?

Защита ДЕСсертацяз состоится "23" Gjy-^..ся

1993 года

в 10 часов на заседании спахщалазирсЕшпюго Совета К C56.03.I0 по ЕрксугдэЕпз ученей степей! каццадата наук в Белорусской ордена Трудового Красного Знсыаил государатваа-есн университете ныени Б.а.Лекала по адресу: 2200080, г. Í&ECK, npoonsKT S. СЕОраны, 4, главный корпус, ауд. 20S.

С диссертацией ixsho оззаксаатьсл в йаЗлзотекэ Белорусского государственного университета ¡ш. В.й.Ленша

Двторефара? разослан

/о

IL

А

1923 г.

I Учешй ссишатарь сшчзазазароваансго Совета, доцент

В.И.КОРЗШ

- о -

Актуальность темы. катоды качестЕЗшгаЗ тесртш дкКэренцкадь-шх уравнений 611121 создана .¿„Пуанкарэ и А. М. Ляпуновым. 3 дальнейшем их резвивзла И.Бепдиксон , Л.Далек, M.íJpojeiep, Дп.д.Езркгсф п

др.

Одной яз задач качественной теории является изучение еогоо-сов , связавши с предалыаша цзклаии. Равш актуальной является проблема различения центра в фокуса.

По «ере развитая идей и методов качественной теория диффзрен-гсаальних уравнений возрестеет необходимость Солее дзталт-.ного изучения важнейших классов систем дкфференцаалызих уравнения , среда которых видное моею занимают спстеш dr, _

—- = Т,(х .sx), i=77ñ7 <Х>

üt 1 я, в честном случае, систем

dx. áy

— = Р(х,у), — «fx.y;, (2)

dt dt

где t=T¡Ti7 Pír.j/; я (ЗСлг.у; - полакоми степеней р.

Несмотря на то, что для системы (I) вопросы, связанные с ярз-дельшаш циклами ; э для снстены (2) и проблема ' разягсенза центра и фокуса (являвшаяся локальной задачей} а глобзльпяя проблема исследования поведения траекторий з целом рассыЕтризаптся угз М1Т01"0 десяталэткйг и ка этот период получено ряд суцзствегшух результатов , есэ эта проблемы ецз долкаш сг своего езвврвензя {ей. , ва-пргзмзр, 16-ю проблем Глльбэртз).

Исследования данных вопросов для сйстеи (I) а (2) со спгцаа-льныыа ацтагра-реки и посвящена пес-тоящея дассертЕцаоннйз раЗотя.

Целыо работы является качгсгвенкоо зееяедоэгггсиа jxp.2fmz.iz систем; изучение вопросов сущзииоЕбккя прэдз-шагх псклоз я сьойг-тв стих дшеяоа; рагюжо Ероблеиа цзягрэ-фояуса, ,s «а сяучае » ora г-озг^кпет; а семя скоте:,m гкеот ззбостжо чгепг.'з вятогрзяа; г ?экя® всеявдовшиэ в целен огдалышз esetsíi указшжего глде.

Нет сил í-ícc." .ícs/wx-i ■ Ира росснка шеззпиззпязп »едз'з •..Esacsfr" ;;ются аатеда ¿зшзйнсЗ охгвбра • аагеергетесяоЗ тверка 'cisxoas iícesfii теерзз ©увядай деёсгзЕтельпоЗ тр^вва^гсяашюЯ зачзггг-ьешюа теорш со оцрадехошз) поесдееея spsesngas а «дзеотэжгез состояния равновесия, а гскэ сет-огорыз wnzsft «игадо «.psss&So« ?8бв?э в псйеэддве вю2"£3»

НАУЧНАЯ тажгмл. В дЕсоерхацпз: ' . '

1) д22 взтоеоцекх еолзесьс1альвнх схствц с езб8ст£ыш частеу^н

интегралами, используя их частные интегралы,изучена свойства грубости и устойчивости прадзльшх этих си стен , ргиеаа сроздана различения центра и фокуса;

2)шполняе-тся качественное нсследовеше в целой с построением фазовых портретов на круге Пуанкаре автономной квадратичной системы второго порядка» нмевдей ось скшетрии для своих траекторий.

Приведенные в работе результата является новыми.

Теоретическая и практическая значимость» Полученные в диссертации результаты ыогут Сыть кспользоваш в об ¡дай и качественной теориях даффсренциальках уравнений, в теоретической Снзпкэ.

Апрсбаыяя результатов- Основше результаты дассертахда докладывались на республикански! конференциях .VIII кокференциа СКЭТСа-чественная теория дзфферешдаггьных уравнений" (г.Саызрканд) ,сеиа-наре по дифференциальным уравнениям Минского радиотехнического института »Гоаеяьского н Гродненского государственна! ушгверсотетов.

публ«<а«*1. Основннэ результаты диссертации опубликована в работа! 11-12).

Структура и объем работы. Дассертецая Езлозана на 85 страницах машинописного текста и состоит кз введения, двух глав, к списка литература, содергащзго 105 наикзнованлй.

На здииту вы-юсятся следуют результаты:

1. Приловашш частных интегралов дифференциальных систел к вопросам построения першх интегралов п последних шозгхте-лей Якоби.

2. Прилегания частных интегралов систем обыкновенных дифференциальных уравнений к определения свойств перпсдачес-ких реаенай.

3. Качественное исследование в цаном автономной квадратичной систеуц второго порядаа с построением фазовых портретов на круге Пуанкаре в случае , когда ее траектории сяшзтрцчнн относительно некоторой прямой.

СОДЕИШЕЗ РЖШ£

Ьо введении дается краткий обзор работ по теиз дассертацгн, а так£2 Ез^геатся ссеоеннэ результаты, цолучзшшз в джеезртаарп.

В гагрвей главе Езучавтся качестванныз характеристика к шггег-ргруешхги. штонсагеа полгнскеа^ашх скстги со иг частаад еетзг-рэлаи. „ .

В 5 I гервсй главн рвсслатрнвпетсл вопрос пострэсют аерзпа сттегралов п послэдаст кшзятеяей Якобя спстеи (I). Вводятся сгз-дук^зз понятая.

Спре/Сжнуз: I. Вуйел говорить, чосэты! шгаеград ту сшялела (I) , делящийся псииколам отоательно ^, ияэея вес если су-

ществухт полиномы Тт и Г^ ояносшелъпо г£, причел степень полаю-

мов не вша р-1, а леш?ыа помтсш 7Т взашж прося с г>, шкме,

чао идеея хесяо т£деся&о .

п

Сгрелеленж 2. Фз/нкцют Е = езр и, еЗе у - пасшхз с^коипе^ь-мо , Суд&л называть услаэ-ьм чдсп-ьм »-нгегралом сусйору (i),

если иаеет тесто похЗесгЗо

ТЪ

I

1=»

р п

гдэ 5 - поддаол отосшелъно сяепеш, лгкьией иди равной р-1. Пусть сзстенз (I} низе? тп+г часпш яягабрастзоккг звтегражгз й = 1,тг, жз нзп вг о шгзэт вясазет яJ^ J ~ 775, здг Оуо-ловзых . частаах кстегралоз ©гр V ® 2"сглэ ¿ДО згсЗ

сястека составляется чнсзо

д +

571+Т^

п

о. й агр

©1 +

¿и*»)

! 'С.-. ■

Додззнветгся .гпгерздЕЕЗз , ■ гйжгх£> ■ шзвэ еббйдеЕггь в ¿¿яят.тттэ. .тесрецг. ■ ' .

Ткстет I. Ваш я « {^-1] ~ 1 » :П5 пзрЗыа инкэгрзл 1«?» «шей поаее&яа.лия^^&'й;^^!^;

В ввтош&вм «гг-а бгдагзэ»* если &яР^'Р*??^

_ ъ -

(I) имеет либо автонолшй первый, интеграл Р=С , либо а&тоножый последний янохителъ Якоди. (3).

В этой ке параЗтрЕфа кспользузотся автоыорфиэгш конечши рас-внрекнй числовых полей для построения частных интегралов , шрвш: интегралов в последки цноштелай Якоба.

Для этого вводятся понятия алгебраической саяряаекаости многочленов и дифференциальных систем , доказываются утверждения о построении у алгебраически сопряженных дафферекцнальшх скстец частных интегралов, первых интегралов к последних шкинтеяей Яко-би. На основе этих теорен доказываются утверждения (в диссертации это георекы 1.4А и 1.5А) на случай са&осопряазиности дифференциальной систеш при рассматриваемом автокорфзгзые, которые прн построении первых интегралов и~ последах «шсгетелей шегзт особое значение.

Теорема 2. Вели правые част систелы (I) сахооспрягекы при аетояорфизле и сиаяела (I) икэея: а)частый алгебраический интеграл ш беса х > о ; б ¡условной частный иняег реи Е = ехр V , то: а)алгебраически сопряженный полипам ггакге является частсыа

июпегрсиав беса к > О сшяша (I) ; (¡¡система (I) ивеет условный, частный интеграл Е^=ехр соответственно.

Полученные в § I результата {¡аопрастрашшЕся на езгет^ы уравнений в полных дифференциалах ш

= У" Ри(гг...,хп)а^, I = 1.п,

где г = 17гг, ./ = 77«, суть поданеш.

В § 2 гервой глава рассматриваются вопроси судзствозаиш, количество, адгебракчвость.взакшае распоаоаанкз, кратность, устоа-тойчивость предельных цкклоз сястеи (I) к (2). Для этого наряду с функцией (3) вводится функция

31+Г

й - П V

Для систем (2) ка основа алгебраической крявоЗ п = о огфздашвотол лянейно евязныэ области С сзлзаостей з., 3 - 77Н.

Дсказнвается

Теореил 3. Если 53 = (n+p-í) u опреИемвяель к * 0, то все боз-

jsosHHB периодические решения сиспаш (I) расположены на многообразии о = 0.

Вэддаяся подай» класса В для св»теа (2).

Определен--!-: 3. Будел говорить , что cwarssta (2) щюнайлехum классу D, если для веторного поля Щх ,у ) = [р 0f, Q g], гОэ

V

» J 7

Ъ(х,у) = f] ю„Гь eJ У У v —^ + V .

i ¿__> L—i J m J ¿—•

t s-1 T =1 "V v=í J

дивергенция ^

diu D а л gf, i = ccnst. Дадаэ доказнаазтая скалсг npirepza ßaassa дач етогосзязнсй области.

Теорема 4. Если суирствует знакопостоянная. непрерыВно-дмффе-

рекцируелхзя в з-свазнсй облаат G функция Б(х,у), шкал , что для

-* с >

векторного пола 11 (х ,у ) = ВХгj виЗергжция div Ы яВлряясл

функцией знаштосжтной или тождественно равней нуд» б облкш G,

m 3 эяей облает сисшяа

cte dy

ät ' -dt ¿ где Kf(x,y) и I¿(z,y) - пепрерыВко^иффер&сирруел&з б G <Pjhioj¿zi,

иазеп не более а-1 преоелъных циклов.

Ha cenosa твореиа 4 доказывается еяадазще утверздэшщ дяя систем класса D.

5С

Теорема 5. Система (2) класса D не лоеий ияепь Солее 3j~x

J=1

предельных цтиов, нэ принадлежала а = О.

Тесрема 6. Если предельный цши сиапеяи (2) fuacca D не расположен на припой о = 0, то он простой, и устойчивый при А < О , а при А > О - простой, и неустойчивый.

TfecpSKA ?. Если сасяавв (2) принадлежа классу D и Л » О , яэ ее бсалегкуе предыыалз *лиин располошнн ш а = 0. Тесто? v S» Гаги, сисяслх (2) npiöKtcUe«® классу Г» , не Зев Kpc-ziTis кртдальюз t&'iíiit ücsnataxcm на о = О.

Затеи не ссиозз георгы 5-8 даетаавгшгев-утаорздзаая. Tecpeíu 9. Если <3ля сияпели (2) число Я = р(рИ)/2-1, опреде-

цшиов, не призиЭлелЕдг о = О.

Тесрекд 10. Если для сисяеш (2) число Ш =■• р(р+1 )/2-1 .определитель а к" О , ш Bcsucdú. .ее прейелышй цикл, не рааюлохеюаЛ ш п = 0, кЗляався простат, устойчивы® при & > 0 и неуапоОниВт при © < О. .

Tecfo.ia.II. Если Йля сиаяйсаг (2) число S3 = р(р+1)/2-1.опре&е-лизгель. д * 0, © в о, ко бее ее Boas&ZKtu? прейелькыз циклы располазгки ша«о,

Тесрег» 12. Если Оля системы (2) число EJ = р(р+1)/2-1, определитель л ^ 0, по 6cs ее возложена крош&з предельное циала-'расположена на й = О.

Тесрема 13. Если для систеш (2) тело К = р(р+1)/2-1 , опре-делтель л = о, © * 0, ко бее ее прейелышв циклы Oj/St/s алгебраические.i и расположена на о - 0.

Теорема 14. Если для cucmessí <2.) число г = р(р+1 ;/2-1, а кривая а = о не vs.es7í ьзолщюЗанних вютав и изолированных аашнузяа беглЗей, то у нее нет предельных ьцнлов.

Echo¿ьвувкза в фор^днрсЕзках теорем 3 « 5-13 спргделгтвдз ¿ г л отроятся вэ echoes нзбесгнз слгебрагчеоеет частшх иэтегр&гов vb с учатся хз saca « jcjjobess «iissibeí шгхегршют £v = exp yv {ja

дассзртшщ! j^iSECísoEa ея с.23 a e.I¿).

В § 3 гегресй ~„12ш хцшодйтся необходшагэ а достаго^нко ус£>-вкя н влгорстгел .рвашгеензя ijeaspa z фокуса систехд {2) пэ -ев аэ-вастныы ^есушш акеграваи. Oceoerksi результат:^! являются хлэ-

Тесрема 15. Если Ола аюпзхи (2) число = р(р*1 )/£-( (рЫ )/2h ио особая пачка OfO.'O; бгюрой ерупт ее урпВнтш. щхгвмаориИ, .¿-ап бмдь «ежроа лхггь аовба, когда, ova. шге-я ияазгрирьхх&й jzhqzu-келъ ч = или езда tseaespeu = С.

Теорс«а 16. Если Ола cuceseí (2) число S2 « p(p*1 )/2~ЦрИ }/£]* ио ce сосзжза«? рзЕюЗэсия 0(0;0) с-чаа?.з ¿yttuzizu szpsxscpusxi-ческиш ¡espmusi . fie кракс&юздее кривой о « О, «Здвзмвя 1*е>гв?гаг ьогеа ti «алы® тогда , когЗа ®яа сшаааз цехяг игешгрчз/кцуО

лиглзлъ л * О, по ока ¿iossai шкга lie более

j=Í

ДУЮЕЦКВ*.

«вал я = tffr,y; ti.'« oc&a ьхпэграл $(z,y) « G.

Xpcis» того, црзггэяявика подход йадп®яр5рув«гся дая састеа (2), E2S3ÇIX особый тгщ для бэсконэчно удаленных состояний равновесия.

Во ота=сй глаза рзссштравЕэтся система (2) , гда Р(х,у) п }(х,у ) - ыяогочяеяв второй стгяаш, при условия , что es тразкто-

СЗЕЙМЗТрПЕЫ ОТПОСЯТвЛЬНО КОКОТОрСЙ ЩШДОЗ.

В 5 I второй глава находятся условия > upa которых траектория' язтопокесЭ квадратичной сястеид сетзгзтрнчна относительно пекото-;сй пршой. С пс'гсгдьо -данейгах ЕешроЗдекшх преобразований каде-:зшшэ класса састеи пригодятся к одвоку ез даух ейдоз

dx dy

- = bfy + bgzy, — - а, + a¿r * aj? + a^, (4)

i

àx . - dy

— = а, + + а^ #■ о^Г, ^ = + Ь^ч/, (5) XOTSeTCTESESO.

В 5 2 второй гяаш внпоягено качественной исслэдсвшпе етста--î (4) с построен®® <3азсшж пертретез на круга Пугапарэ, а в § 3 зазлопгшца пссх.едозгппя вкподдзш! дая слстекд (5).

Доказана

Теорзиа 17. Если поле направлений уравнения траекторий авяо-■юянай квадратичной сь,спэ.сы второго порядка силтеяринно стоси-талъно нешпарой прямой , ю паяш еиахехя не шг,ееп, предельных

доб.

В зЕгяспцостп от параызтрсв , входя:да в задавав статен (4) п (5),определяется однозначным образш йозадзняэ трзектсрэЗ на круге Пуигарз (о тсчлостаэ до тсйологшшсетЗ экеззшшнтеостз) а Есего псстрсзло сто йаэсЕыг портрзтсз.

Осповннз результата дассертЕцаа опублжгагпы в работазг •

1. Тгагшю B.D. , Горбузоз З.Н. ПозэдвЕке зятеграяыза кшкк :гсгеи с ссэвоЗ етягетртзД// Доклада АН БССР. - 1585. - Т.2Э, 3 3.- C.2CS-203.

2. B.D. , Гсрб?зса В.Н. 05 одаа ааасвз ахстаи с ocs-еоЗ с-.!1гптр-:гй// Дся.тет АН- БССР. - 1535. - Т.29, Д б. - C.4SS-402. "

3. С^епко B.D. Кзздратачпгя enrrarm с сг?шзте2*зэеяз кптагра-оигя яяакгш. - Тэззси доводя Рекшубж&гвскса ковЁермецз;

'У'ЛТГ.ПС ~ {4-7 TÍJ3 Î233 ГОУае1,#1ЙС'2й). J^'f-nr*

БГУ, 1989. - c.ia.

4. Наценке В.Ю. Частные интеграла систеа в полных дифференциалах. -Тезисы докладов республиканской научней конференции "Математическое шделаровашге и вычислительная математика" (17-22 сентября 1990 года g г.Гродно). - Гродно: 139 Ш БССР, I9S0. - C.I29.

5. Горбузоа В.Н..Тыцепхо В.Ю. Частные интеграла систеа в полных дифференциалах// Дкфферекц. уравнения. - IS9I. - Т.27, й 10.-С.1819-1822.

6. Горбу зов В.Н., Тыценко B.D. Частные интегралы систем обыкновенных дкфференвдалышх урэвна:шй//Ыйтеи. сборник.-1992.-Т. 163, й 3. - C.76-S4.

7. Горбузоз В.Н., Тащенко B.D. Один подход построения первых интегралов н посязднгх шокителей Якобк систеии в полных даф-ференцаалвх. - Теэасн докладов VIII конференции СНГ "Качественная теоршг дифференциальных уравневзйГ (5-10 сентября 1992 года, г. Самарканд). - Самарканд: СеоГУ, Ï992. - С.37.

8. Тнцэнко В.Ю.Сиыиэгр,ячность траекторий квадратичной система относЕтельго прякой. -Шнек: Ред. е. "Дкффереяц. уравнения",IS92.-25 с.(Руксх£зсь деп. в ЕШБИН 27 октября 1992 г., й 3088-В32).

9. йдцеыко В.Ю.Квадратичные системы с осесшшетрическиаа траекториями. - Кинск: Ред. z. "Диффаренц. уравнения", IS92. - 28 с. (рукопись деп. в ВИНИТИ 27 октября 1SS2 г., Я 308Э--ВЭ2).

10. Гсрбузоз В.Н. .йЕценг.э В.В.Сшгыатричность траекторий квадратичных скстеы второго порядка.4.1. - Гродно; ГрГУ,1992. - 95 с.

11. Горйузов В.Н.,йяденко В.Ю.Симметричность траекторий квадратичных систем второго порядка.4.2. - Гродно: ГрГУ,15Э2. - 85 с.

12. йщенко В.Ю.К вопросу о различении центра к фокуса. - Те-зиси докладов пкола "Теория функций. Дифференциальные уравнения в математической кодвларовашш" (25 ¡зшорв - 3 февраля 1993 года, г. Bopoiîes). - Воронен: ЕГ7, 1953. - C.I32.

Подписано ? печать 19.03.93 Формат б0х&4/16. Бумага'Тип. № 3 Печать офсетная. Объем 0,Ь п.л.' Типдж 100 ока. Ьаке.ч Л?

Отпечатано на ротапринте Гродненского-государственного университета им .Я. купали £30022, г.Гродно, ул.Ожгако, '¿2. ■