Системы в полных дифференциалах с сингулярными линиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

И 6 од

м^н^щйсщзобразования республики таджикистан таджикский государственный университет

Специализированный совет К 065.01.02 УДК 517.956

На правах рукописи

САЙДУЛЛАЕВА РАНО РАФИЕВНА

СИСТЕМЫ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ С СИНГУЛЯРНЫМИ

ЛИНИЯМИ

01.01.02—дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Душанбе—1993

Работа выполнена на кафедре математического анализа и ВМП Ду шанбинского государственного педагогического Университета имен; К. Ш. Джураева.

Научные руководители:—

Академик Академии наук Республики Таджикистан, доктор физике математических наук, профессор Михайлов Л. Г.

' Кандидат физико-математических наук, профессор Рузметов Э.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

Кудрявцев Л. Д.—Член-корреспондент Российской Академии наук доктор физико-математических наук, профессор

Мухамадиев Э. М.—доктор физико-математических наук, профессор

• . 'В'едущее учреждение—Ростовский Ордена Трудового Красного -Зна мсни Государственный университет.

Автореферат разослан « & 0 П1993 г.

Защита диссертации состоится сД-^СУ^? 1993 г

на заседании Учёного Совета по присуждению учёной степени кандида та наук при Таджикском государственном университете (г. Душанбе-16 пр. Рудаки, 17, зал Учёного Совета).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Таджик ского госуниверситета.

Учёный Секретарь совета, доцент

X. ХОСАБЕКОВ

РЕШАЛ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Восстановление функции по её производной, или дифференциалу, является одной из основных задач математического анализа. Если в одномерном случав она решается формулой Ньвгона-Лейбшща, то в многомерном этому служит теория полного дифференциала. ПуотьСт? -конечная односвязная область, С № ) - класс непрерывных функция, С - один раз, а - дважды непрерывно-дифференцируемых функций и в задана форма

(I) сЛхф(и , Ц(х,у)с!у,

Если существует такая функция И - 1С (я, что Л/ совпадает о (I), то форму (I) называют уочццч. или полным. ляЗФарэн-виалом (либо интегрируемой), а функции /7/Л':у) - первообразной. Поскольку в силу (I) будет

, то необходимо

где

г л/ % '$-'¿>6!

( N ) -

Система (2) стала родоначальницей класса переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных цроиосодешх. Нопосредственнш обобщением (2) является тага система, «о пр.15* ='//*, цагывао!.ая системой ц роллах; шуШовяиивтх. или ы.д.-системой; если жо необходимое условно оовмеотпоотв выполняется тоздоотвенпо, то - пполна интегрируемо!!. За обзором лгшратуры автор.отсылает к монографии Л.Г.Михайлова ''Ногсоторне переопределенные системы уравнений в частных произвогишх с. двумя неизвесташми функция?«", азд. "Дошш", Душанбе 1986 г. Кроме изложения существовавшая ранее тзо-р*й в монографии впервые введет.! в рассыатроняо п изучены такие

новые классы переопределенных систем, как линейные системы первого порядка о двумя неазвеотными функциями, общие линейные системы уравнений второго порядка, комплексные линейные системы обобщенных уравнений Коии-Римана (теория обобщенных аналитических функций многих переменных). В этой направления Л.Г.Михайловым был организован небольшой научный, коллектив в Душанбинском педуниверситете (Э.Рузметов, Р.Пиров, Б.Шарипов и др.).

С другой стороны, еще в 1963 г. Л.Г.Михайловш била опубликована монография "Новый класс особых интегральных уравнений н его применения к дифференциальным уравнениям с снягулярккш коэффицией таш", над. АН Тадеякиотана, пэреводенпая затем в США на английский язык к изданная в 1970 г. в Голландии к Гершитя. Естественно поэтлу, что к 1986 г. Л.Г.Михайловым была поставлена новая проблема - изучите пароопределэшше оистеиы с сингулярными точками и линиями. В первую очередь, разумеется, это должно относиться к классическому полному дифференциалу.

Полный дифференциал с сингулярной точкой бил,изучен Л.Г.ИахаЙ-лобым в работах 1969 г. [*/] и 1992 г. С 6'] . Если {Г- } " О* ЬЩЦ(х- гаиу^-^-УЛ^, то теорема I устанавливает точные гранит применимости регулярной теории (функции интегрируемы по % и др. условия). В теореме 2 рассмотрен случай, когда О . нэ-

ннтегриругаш (ао интегрируемы вычтенные Зушздш) и дано.представле-,

выдвлящез сингуляраость и иногоаначиооть первообразной.

: Другая задача: изучать случаи, кохда $ . , (¡¡. имеит ойш-.-' Гудяряае линии первого, второго я более высоких порядков была/пред-.-

лсаёпа автору в. качестве .тека кандидатской диссертации академиком . АН Тшкикастшт Л.Г.Михайловцм.

Цель ,работн., Изучить случаи, когда 9(х,а}(х,у) имеют сингулярные линии первого, второго и более высоких порядков.

Практическая и тоорау^еская ценность. Работа теоретическая. Проведя анализ условий совместности, продолжениях по непрерывности на сингулярные линии, установлен ряд неожиданных результатов. Результата работы могут быть использована в теории переопределенных систем дифференциальных уравнений с сищушрными коэффициентами.

Методы исследования. Методика исследования соотоит в том, чтобы записав необходимые условия совместности вне сингулярных линий, перейти затем (до непрерывности) на сингулярные линия.

Атшобагшя работа. Отдельные части диссертация докладывались на различных семинарах в ДТП/, в Математическом институте с ВЦ АН Таджикистана (1991, 1992 г.г.), на республиканских научных конференциях проходивших в городах Душанбе (19о9 г.), Леяияабад (1990 г.). Курган-тюбе (1991 г.), Куляба (1991 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 научных статьях.

Объём п структура работы. Диссертация изложена на 75 страницах ШШ1НОПИСНОГО текста, состоит из введения, четырех глав, один-кадцата параграфов и списка цитированной литературы.

8 ВЭ-0 Р , f A EQ.I Ы.

В главе I (§1, §2) приводятся регулярная теория полных дифференциалов, на плоскости а в пространстве.

Результаты в работе сформулирована в форме выводов и только два наиболее общих результата - в вида теорем I и 2.

Глава вторая посвящена полному дифференциалу на плоскости с сингулярными линиями парного, второго и более высоких порядков. Методика исследования состоит в том, чтобы прежде всего проанализировать необходимые условия'совместности, продолженные по непрерывности на сингулярные линии, вывести из них все возможные структурные или иные следствия и на основе этого преобразовать систему (2) к более ьроотой я только затеи ухе применять известные из регулярной теории процедуры интегрирования, В §1 1'лавн I рассматривается система

(1.1) ul'-^ , U¡

Из условия совместности следует, что а(оф s cvnit (= Cl0) , так что U\x,y) tXt ¡Hx,y) , где Wx,y) - регулярный полный дифференциал. Если щ дана система

(1.2); U't , U¡ - , ai*,у),Шф* С *

то необходимо 'получается, что й.('л,у\ - a'-Úfr^yJ , гдъ'0(х#)£(1Съ) (т.е. 2 «= С , при ¿jfú и & (Л) ). Иначе говоря, в первом уравнения и-(1.2) имеем устранимую особенность. Это свойство устранимости прослеживается во ¡лногих случаях и в дальнейшем, ¿и следующей системы

• Ц'-ИЪИ) u'-^tf a.í^Ú

U.3) - о - ¡л. / • »

аналогично доказывается, что 8 , где 6 € С-0 , так что

во втором уравнении особенность устранима, система (1.5) приводятся к изученной выше системе (1.1) я потому Щяф- Ъ&сХ , где регулярный полный дифференциал.

Б работа проф. Э.Рузметова [Н ] рассмотрена система

п]1 - тх>. и'." 1 -Д* •> Х- 'Ха

(фактически совпадающая с (1.5)), но там сразу применяются способы интегрирования, известные из регулярной теории и получена теорема утверждающая справедливое®формулы ч

Шхц) + ГЩ^ШЛ.АъаьъО^х-хА, ¿s:\lixtiJf.

В 1.4 рассмотрена система

«•» К = , и;^ , С

Показано, что из условия совместностт необходимо следует

г соля^(гСи) , &Ы,о) ~ (а так что Ц ¿х,у) - Ос Рлгх + ^ ♦ .' а ^ •

В системе ' , :

(1.8) < , ^ » ^ , акрМ^К ;

обе особенности устранимы.

Аналогичны предыдущим системы

«; = а), щ

К-.а«*). 1/' ам) и<

у 1 - 3 •

В §2 главы П рассматриваются-сингулярные линии второго порядка и прежде всего • '

и.1) X = ^ ' ^ -

для которой необходимо получается: й/о,^) -~17лл(( £Ц) и кроме того С С-х з _ = Соы1г = 'ас , так что

'л-о

и(ос^) = - - * 'а0 (ли - '{/(*,</), V с С2

Интересно заметить, что в оистеме

и.б) ^ -- , ,

не получается никакой дополнительной информации относительно (Шу) ила ¿(х.у) . В системе интегрируется сначала второе уравнение от точки (1,0) до точки (4 , а затем первое от точки (^у) до точки (1,^).

§3 главы П поовящен сингулярным линиям произвольного порядка. Теорема I. Цуоть в системе

(3.1) г«еО«<?*".

лз условия совместности необходимо следует, что . ^

ем гц, (Ц..., (Щ.й йt)

а семейство первообразных дается формулой (<*-г)

Щ'-*$ -"1 * '' хГ ' - и<: • -X' .1 -

М) <*-!)

г ч. V1 1 'I

:'До ^ У%) - регулярный полнай доффзрзнциал.

I глава П газаигравлотся линейная а.д.-оястеиа

;-1Л) и1 < , А': и*.гги ->

Условия полной интегрируемости приводят необходимо к соотношению -- х. , из которого следует а (о,^) = Cfi^l , так что затем система (4.1) преобразуется заменой U~o1й0.'1)" в п.д.-систему

и затем подстановкой ц) - CW.VV , где cíü) = 2Ьс(х f 5t ч ш' _ fia,;)) ,

< * > Wx - -рт , v^ = ~h t

При Üt, = 1 такие системы рассматривались в §1 главы Пив данном общем случае она тоже интегрируется непосредственно: сначала второе уравнение от точки (1,0) до точки (t,y) • а затем первое - от точки до точки (1,^) , галс что получается

км= ^ [ х- Г 1^

В п. 4.3 рассматривается система

(4.II) , Щ^-IL- U*J<Z.

Из условия совместности следует, что необходимо aío,^) ¿ еопЦ= а>) , 8{х,о)гсои.^ L),

В системе (4.II) совершая процедуры вычитаний ¿lí<V,f) и £{я\о) и полагая 0" - U , где da = a-é:i , 5: вШ

(Г* fí^rll) - ,

% г lí-üi'—q—v будем иметь

Ьх '-р.' о • • * > V i' У'- •

ч' ч. ( Ч. ^^

здл 'лткт.: с-'тм)

i -

i

.'<) - Vv. 'i . V ;[p;i л : t:> - j ПЯКГ^

откуда следует:

х 3 ^

системам (4.11) при самых различных значениях с^,^ посвящена глава I учебного пособия к спецкурсу член-корреспондента АН Тадакйстака профессора Радаабова Н. "Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсянгулярныма коэффициентами", ротапринт ТГУ, Душанбе 1992 г. Случаям ( ы* 1)

^ я т,п- посвящены отдельные пункты(или параграфы) с соответствующими теоремами 1.1-1.15. При ^ 1 , ^ 1 в теореме 1.1 утверждается интегральное пред-ставлениэ решений вида (1.5).

Для случая г.ч! Б теореме 1.2 также утверждается ин-

тегральное представление, причем помимо условий гладаости и совместности налагается еще условие знака 4 Г а. , о) ><'> - а в дальнейших теоремах: <с(о,о)>с) , либо й(о,о)>о.

В замечаниях 1&, 1.2 и т.д. вплоть до замечания 1.10 приведены иногда соотношения, связывающие при г-о или у -О функцию , а также некоторые фушада представленные интегралами - с постоянными СгЧ)(?2 .

- Приведенные в работе результаты отличается естественность» и простотой (для , ^ & Кнфоворя уже о том, что на нала-

гается никаких ограничений типа знака и всегда ярлсутзтзувт только одна произвольная постоянная).

В главе 111 изучаются полные дифференциалы в пространстве при наличии сингулярных плоокостей. Если имэем систему

(I.I) U.I ^ , U¡ = ti , о. el

то из условий совместности необходимо следует, что

ttíoв CU , так что ' U(vr$z)-Qe-C*x* '/Я^г), где - регулярный полный дифференциал.

Если же при регулярных втором а третьем уравнениях в порвал

будет

t^aJMJL) или Ux

то особенности будут устранимы. Для системы

ti.« ь , líJJí^Ü ( ц|, cfe^L з

особенности во втором и третьем уравнениях устранимы и система (1.5)' сводится к ужо изученной системе (I.I). В п. 1.4 для системы '

в силу условий совместности необходимо следует, что

аК^-гСсж^а,,), е„"А,о,г) -cw>l (s С), setKt^a./,

так что получаем

Шг.^г] , Ос U-x ' L ty * 6*2 + L'f^j.V, С .

Как показано в п. 1.5 и п. 1.6, сингулярности ? , х и ^ ила же сингулярности у , ? , устранимы.

В §2 главы Ш рассматриваются полные дифференциал о сингулярная! плоскостями второго порядка и прежде всего

Ыдг), Из условий совместности необходимо следует, что й(с$г)гСо1\^'С,.)и кроме того а = также будет

й(г Си) и затем

и[щг)--~ % + < г) , г>\

В п. 2.2 рассматривается система

7 ?1 Ля/ * ~~~ 14 %г ос , 'М? -лс ,

в которой из ¡условий совместности никакой дополнительной информации не следует, но первообразная находится непосредственным интегрированием, начиная о третьего или второго уравнений. Для изучаемой в 2.5 системы

< сндг.ч.г) / еш^

V* - х1 , , 11г' ~гГ~ ?

необходимо следует

. ^о, г) - со (с, л,^ о) = О)IйК- &),

и далее для вычтенных функций

к . -Л' _ - >■ „ ^ ц - —~— >? ь ---------- , ^ - -2.....1

получаем г е<>ил<: гйо , Цх^г)^*^ 8*

Б результате имеем

» л *

где £ с .

В п. 2.6 рассматривается-система

л»1 . ■ 1/' ШЛ^ М'ЧЛ О

их " • ' . -и2- ««г ,

с сингулярными линиями и плоскостями (а такке с сингулярной точкой = у х 2= о ). Интересно отметить, что есл;: в знаменателях всюду будет фигурировать просзввдение х-у-г , то особенности ис

переменной, не совпадающей о переменной дифференцирования будут устранимы и будет получена система (1.6), рассмотренная выпо. Теорема Я. Пусть в системе

(3.3) цх = 5Е»- , Ц, 5 u2 z-TT-,

act , ъе L ^ L£(. и удовлетворены условия совместности ( /V ). Тогда из ( Ы ) необходимо олодует, что ^

J l . M <h)

fctx^seWfefi,), SjM^iHJ,,.;, е.,

= eo-^WsCo), C^a^o)«eewdS!)-

я семейство первообразных дается формулой

.. , ч г .Си____ + _,. „ Си, О о ,.. "1

«Л 1 « 3 ff-1) ' э d

- -- — Со ■ v гглр гт.ч.о,

где iKx^i) - регулярна, -

В главе 1У рассматриваются некоторые сиотеш а поляцх дифференциалах второго порядка на плоскости с сингулярными линиями пор-вого п второго порядка. • .

В §1 рассматривается система

t к:,=' «в*« -

ал> ¡^^ui.^t^v'

Прй выполнения условий совместности л «эцэ одном своеобразное условии относительно уравнения второго порядка с цара'.зтром (оно должно иметь решение , пз зависящее от параметра' fl ) да-

ется формула представления многообразия решений системы (1.1) чэрзз

^i) , содержащая одну произвольную постоянную . В §2 рассматривается такая же система (2.1), но в свободных членах и при искомой функции - с особенностью второго порядка. Для этого такнв проведен полный анализ условий совместности (аналогично §1) и дан опособ нахождения первообразной.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ «ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ:

1. СайДуллаава Р.Р.. В сб. Материалы республиканской научно-прак-ческой конференции МУ а С Таджикистана. Ленинабад, 1990 г.,

стр. 94-96, .

2. Михайлов Л.Г.,Сайдуллаева P.P. Д/Н Таджикистана, 1992 г., т.38, - Я 4.

- 3. Рузматов Э. Сайду ллаева P.P. В сб. Дифференциальные и интегральные' уравнения и их приложения. Душанбе. 1991 г., с.116-123.

4. Сайду ллаева P.P. ДАН Таджикистана, 1992 г., т. , К 9. .

?

Автор внразсает глубокую благодарность научным руководителям профессору, .академику АН Таджикистана Л.Г.Михайлову и профессору

3.Рузмзтову за постоянную помощь, ценные совета и проявленное внимание к работе.