Скрытые симметрии двухчастичных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

і да ^96

Національна академія наук Укряіни Інститут математики

На правах рукопис у

ТРЕТИНИК Віолета Вікентіївна

ПРИХОВАНІ СИМЕТРІЇ ДВОЧАСТИНКОВИХ РІВНЯНЬ

01.01.03 - математична фізика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фіоико математичних наук

Київ - 1903

Дисертацією е рукопис

Робота виконана'в Інституті математики НАІГУкраїня.

Науковий керівних: доктор фіо.-мат. наук

Провідна установа: Інститут теоретичної фізико ім. М.М. Богояюбсва. ■

Йахпсг відбудеться 16 січня 1996 р. о 1500 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 01.66.02 при Інституті матрматики НАН України ¡за адресою:

252601 Київ 4, МСП, вул. Терешенкшська 3.

З дисертацією ножна ознайомитися в бібліотеці інституту.

НІКІТІН А.Г.

Офіційні опоненти: доктор фіо.-мат. наук, професор САМОЙЛЕНКО Ю.С.

кандидат фіз.-мат. наук ВЛАДІМІРОВ В.А., *

Впенвіі секретар спеціалізованої ради доктор фіз.-иат. наук

ІНМ*

ЛУЧКА А.

Загальна характеристика роботи Актуальність теми.Останпім часом у математичній та теоретичній фізиці широко [застосовуються теоретико-алгебраїчні методи дослідження диференцішшх рівнянь. Це пояснюється тим, що симетрії (ліївські, неліївські, супер-, парасупсрсимстрії) рівнянь можи:-, успішно використовувати для побудови їхніх точних розв'язків (В. І. Фу-щігі, В. М. Штолень, М. І. Серов), знаходження нових законів збереження та інтегралів руху (А.Г. Нікітін, В.І. Фущич), для розділення змінних (В. Міллер), для пошуку енергетичного спектра гамільтоні-ана заданої фізичної системи (А.Г. Нікітін).

Двочастинкові задачі є важливим об’єктом теоретичної фізики. На сьогоднішній день існує багато підходів до побудови двочастннко-вих моделей. Систематичне дослідження двочастинкових рівнянь о теоретико-групової точки пору було почато у роботах В.І. Фущича та А.Г. Нікітіна.

Інтерес до двочастинкових рівнянь, пов'язаний о пошуками фізично сприйнятливих моделей релятивістських квантових систем оначпо вріс з появою супер- та парасуперсиметрії (Ю.А. Іольфанд, Е.П. Ліхтман; В.А. Рубаков, В.П. Спірідонов, Ж. Бексрс, Н. Деберг).

Незважаючи на різноманітність підходів і велику хількість робіт, пов’язаних о дослідженням двочастинкових систем, залишається бея детального вивчення їхня спметрійна структура. Багато привабливих рис супер- та парасунерсиметричних теорій спонукають до дослідження фізичних та математичних моделей, які допускають ці нові види симетрій. ,

Дисертація присвячена дослідженню симетршних властивостей двочастинкових рівнянь, побудові провідних .(зображень ппрасупернл-гебри Пуанкаре.

Мета роботи. Вивчення спмстрінних властивостей двочастіїпко-вого рівняння Шродінгера для взаємодіючих частинок. Дослідження ліївськпх та коліївських симетрій двочастинкових рівнянь Лірика і осцплятфно-подібною взаємодією. Знаходження неліїнських інтегралів'руху та прихованих парасуперсиметрііі даних рівнянь. Побудова нечвіднйх 'зображень парасупералгебрп Пуанкаре.

Загальна методика досліджень. В роботі викпристопмтмя класичний метод Лі, Метол» уаапиын НИХ ПолІЇПсМіІІХ ' нметрііі Та Пира-

супсрспметрій. .

Наукова новизна результатів дисертаційної роботи полягас в тому, що у ній вперше " '

—досліджено'симетрійні властивості двочастинкового рівняння Шродіцгера о потенціалом взаємодії довільного вигляду;

■—вивчено діївські та неліївські симетрії одновимірного дво-частинкового рівняння Дірака о лінійною взасмодісю;

—досліджено приховані симетрії двочастинкового рівняння Дірака з оецпляторно-подібною взаємодією, знайдено неліївські інтеграли руху та парасуперсиметрії цього рівняння;

—користуючись алгебраїчними методами, знайдені власні значення гамільтоніанів двочастинкових систем; —проаналізовано зв’язок між розглянутими моделями та па-рареяятивістським квантовим осцилятором і'осцилятором Кемера-Дефіна Петьс;

, —запропоновано пуанкаре-інваріантний осцилятор Кемера-Дефіна-Петье для опису векторних бозонів;

—побудовано незвідні зображення парасуцсралгебри Пуанкаре. ,

Теоретична та практична цінність. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Всі результати, одержані у дисертації, с новими і можуть бути використані у квантовій механіці та квантовій теорії поля. '

Апробація роботи. Основні положення та результати, викладені в дисертації, доповідались на семінарах відділу прикладних досліджень Інституту математики НАН України, на IV міжнародній конференції ім. акад. М. Кравчука, (Київ, 1995), на науковій конференції ’’Сучасні фізико-математячні дослідження молодих науковців вузів України” в Київському університеті, (Київ, 1995), на міжнародній конференції ’’Syinmetry ііі Nonlinear Mathematical Physics", (Київ, 199-j), на всеукраїнській науковій конференції ” Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях", (Львів, 1995). ^ •

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в роботах

ігщ. . < ’ • .

Структура і.об’єм роботи. Дисертаційна робота сьладагтьгя із

вступу, трьох рооділів, додатку, висновків та списку використаної літератури. Дисертація виконана на 93 сторінках машинописного тексту.

Зміст роботи л :

У вступі дається обгрунтування актуальності роботи, формулюється мета дослідження, його теоретична та практична цінність. Проводиться короткий огляд робіт по даній темі, дається опис оміоту та результатів дисертації. ■

Рооділ І присвячений дослідженню симетрії двочастинкового рівняння Шродінгера.

В § 1.1 розглядається одновішірне рівняння Шродінгера для двох взаємодіючих частинок однакової маси .

іН-4+^+й+г(і''іі>}'1-0’

де а?і, рі = ~*зтг та д'г, рг ~ “*д^т - координата та імпульс першої та другої частинки відповідно. Догліджен« ліївськя симетрія даного рівняння. Знайдено явний вигляд операторів симетрії 1-го порядку для наступного класу потенціалів:

^ - С,, (1)

V =* СзХ, (2)

V - чХ, ІЗ)

V = с^г1, 14)

V - 2. " X2’ (5)

V «і)

де с„,(а = 175) довільні койгтяяпг; х та ЛГ йідяогш» координат;) г;> координата депігра мас відповідно. Проапалпопапа алгебра імпарілит-ності у хожному п випадків (1) ((»).

В § 1.2 досліджуються симегрійні властивості тривимірного дво-частинкового рівняння Шродінгера для взаємодіючих частинок

' ,7>

де £ = (хі,х2,х$), р = (рі, />г, />з) -компоненти вектора відносної координати та імпульса; X = (Л'і, Хі, Х%), Р = (Р\, Р?, Р})~ компоненти

пектора координати та імпульса центра мас. ,

Знайдена алгебра інваріантності рівняння (7) для наступного класу потенціалів: .

С\Х (8) <

V = с3х +-с4, ‘ . ' (9)

V 3=1 гіахлч - ' (Ю)

V = /л, . (П)

V “ /аХа. , 02)

У § 1.3 показано, що між операторами симетрії вільного дво-

частинкового рівняння Шродінгера та операторами симетрії двоча-стішкового рівняння Шродінгера із взаємодією існує зв’язок. Знайдено оператори перетворення, оа допомогою яких оператори симетрії, що допускають потенціали (2), (3), (10), (11), (12), зводяться до операторів симетрії, які відповідають вільному рівнянню Шродін-герп, Явнпй вигляд операторів перетворення такий:

і/і = ехр{ііхс7- ^рс-г), ■ ’

1:> = єір{ИХ<-і - ^Рс-і}.

1\ = ехр{Нха(1^ - ії7ра(Іа}, (13)

1\ - СХ)>{ІіХа/а ~

і\ = стр{{ІЇхаеіа - ~12ра<Іа)(і).Хь/>, - Рь/і.)}.

• * . Ч

Запиячимо, що перетворення (13) редукують відповідні рівняння Шродінгора із взаємодією до цільного рівняння Шродінгера.

У другому рооділі проведено симотрійшш аяаліп двочаетпнко-вих рівияпь о огцпляторно-подібною взаємодією.

У § 2.1.1 гшаіідені ліївські симетрії одновнмірного дночінтішКо-вого рівняння Дірака о лінійним потенціалом взаємодії

£0 « (Я - == |(/4. іЦр + + д,т - 1-Е} ф = 0, (14)

де матриці /?о, /?| задовольняють алгебру Кемера- ДефінаПетье.

Теорема 1 Максимальною алгеброю інваріантності рівняння (Ц) у класі г)пференцгйнпх операторів першого порядку е пбплепп плргбрп, базисні глг.ме.нти якої мають пигляд

х, = (і-^)(і + аЬНх), Хі = 0і-ифЖ (і5)

<)с /(.г) довільна функція.

У § 2.1.2 досліджуються неліївські симетрії рівняння (14). Знайдено неліївські інтеграли руху вигляду 2 2 2

д, в Ра + Л% = (2/3* - 1)Р, (16)

до Р оператор просторового відображення.

Рівняння (14) допускае приховані парасуперспметрії вигляду

0і=<?, д2 = ¿(2/^ - і)(і йрй»-ї), (іт)

Де _

<г=(А.лі,.+^.

Оператори (17) генерують алгебраїчну структуру, типову для пара-супергиметрпчної квантової механіки.

У 5 ¿.1.3 розв'япустьея опдта на власні значення пімільтопіапн рівняння (14). Одержано еіЛ'рггтігінпй спектр даної системи у вигляді

£Гг = 4гпа'(п 4- -) 4- І»іа(1 •+ —). (Iя)

• і, &

де п = 0,1,2,.... '

Використовуючи інваріантність ріо#яння (14) відносно дискрет* них операцій просторового відображення та зарядового спряження, Проведена редукція цього рівняння до чотирьох незалежних однокомпонентних рівнянь, які можна розв'язувати самостійно.

У § 2.2 розглядаються двочастинкові рівняння Дірака з осциля* торно-подібною взаємодією вигляду

1,0 = (Я - Е)ф £ І (А), /?„]( Ра + —Й) + Рот - і?} ф = 0,

£а0 а (Я - Е)ф є |[/30, А](р. + “^) + Д,т - ф « 0,

де . ^

г; = 1-2/?0\ ? = (1 - 2#)(1 - 2/3|), ■ ’

(і,,, (/і = 0,1,2,3,5)~матриці Кемера-Дефіяа-Петьг.

Зауважимо, що рівняння (19), (20) с релятивістськими узагальненнями квантового гармонічного осцилятора .для сиінорних частинок. Рівняння (19) називають двочастинховим осцилятором Дірака. У § 2.2.1 досліджені ліївські симетрії рівнянь (19), (20).

Теорема 2 Рівняння (19), (20) інваріантні відносно 6~параметприч~ ної групи Лі, генератори якої мають вигляд

<Іа ~ ^аЬс^ЬРе" *Ь 0с)) О — 1, 2,3, -

= 3)(4/У?" - 7), ц = 0,1,2,3, (22)

С?2 =.2(4^/3" - 5)(2 - 0„/П Рз = 1 - (Зі - С?2

(по /і розуміється коваріантне сумування).

У § 2.3.2 оа допомогою перетворення подібності кожне г» рівнянь (19), (20). зведспе до трьох незалежних підсистем для 10-, 5 та 1-компопентвгм функції. Зауважимо, що у такому вигляді дані ріїшяння еквівалентні рівнянням Кхмера-Дефіна-Петы: у формі Шродінггра і:> спеціальним потенціалом взаємодії, лініішіш по координатах.

У £ 2.2.3 знайдені неліївські іитеі|млп руху рівнянь (19) та (20).

(19)

(20)

(21)

Твердження 1 Рівняння (19) допускає неліїпські симетрії (інтеграли руху) вигляду '

д4 = г?[ 2(5-У)3-25-/-Я], . (23)

Яь - Р2 + |<*>2х2 + (24)

Г) ~ ' ІіН4* ІЄаЬс§4а$Ьь(Рс 4" ~.гг?^), (25)

де

А* ** = 1,2,3,5.

Твердження 2 Рівняння (20) допускає неліївські інтеграли руху, що задаються формулою (23) та

Яі ~ Р2 + ^гх2 4- ^7, ' (26)

де

Ч *= 3 - 2/?о - 4/3*(1 - /?о)'

Проаналізовано алгебру, яку генерують оператори (22) (26).

У § 2.2.4 покапай», що рівняння (19), (20) допускають приховані иарасуперсимотрії.

Твердження 3 Приховані парасупсрсимстрії рівняная (19)

0і = [їЗо,)Ц{р* +- 2и)л„7), '

Яз-ігіЯ І,

#/>.« = Ф> 4-<*'(1 - /?!)

Задовольняють комутаційні співвідношення, які характери зують парасут рсиметричну квантову механіку Рубпкова Спірідп-кова та Векер^а Де.бсра.

Твердження 4 Приховані парасупг.рсиметрії рівняння (20)

Яі = [/Зо, 0а](ра + г^оО' '

Яз = *[А).<?і1,

Мряя = \Яі

реалізують зображення алгебри Векерса Де.бер?..

Зауваження 1 Гамільтоніан рівняння (20) с парасуперпаряддм. З ньої о автоматично випливає, що оператори “

Яі = Я,

= і(Н,

Нрзз — Ят + гп2 *

реалізують зображення алгебри симетрії паїїлсуперспметрипної квантової механіки.

У §§ 2.2.5, 2.2.6 знайдено власні значення гамільтоніанів Н рівнянь (19), (20).

Рівняння (19) та (20) описують систему двох діраковських части-вок. Відомо, що така система має два спінові стани, що відповідають повному спіну 5 = 0 (парастани) та повному спіну 5=1 (ортостанп).

Твердження 5 Енергетичний спектр парастапів систем, що задаються рівняннями (19), (20) має вигляд

Е= 0, ' .

' Е = ±у/Ш+пР, ' де .

Я = 2п+і, ті = 0,1,2,;.., і = 0,1,...,І\Г. ч

Твердження 6 Можливі значення енергії ортпостанів систем, що описуються рівнянням (19) визначаються формулами

£=.0, . .

Е = ±У(Лг + 1)а' + т2. 1 •

для V = — 1; т а. „ ’

ЕЦЕ* - т* - (/V 1)ы}{£®- пГ - (X + 2)ы} = пМ]{] + 1)

<)ля V = 1, де и-оласне значення оператора і; (21). -

' • * * 1

Твердження 7 Енергетичний спектр ортостанів систем, що описуються рівнянням (20), має вигляд

Е-0,

Е= ±/(iV+2V + m2. .

У § 2.2.7 знайдено зв’язок між осцилятором Дірака (рівняній (19)) та осцилятором Кемера-Дефіна-Петьє. Осцилятор Кемера-Дефіна-Петьє визначається рівнянням ■

Ьф- |-Д)£ + А,(р. + ^wr„»?)+^ = о. (27)

Твердження 8 Перетворення подібності ф-* ф'= ехр(^0ох)ф, '

L-* L' = exp^Po^Lexpi-yfioF) редукує рівняння (27) до рівняння (19).

Запропоновано новий осцилятор Кемера-Дефіяа-Петьє для опису векторних бозонів наступного вигляду: . ,

Ьф = IА Е - 0а(ра + ^х„(2 р\ - 1)) - m j ф = 0. (28)

У § 2.2.8 побудовані перетворення Фолді-Воутхойзсна, які діа-гоналізують гамільтоніапн рівнянь (19), (20) та (28).

У § 2.2.9 розглянуто деякі моделі двочастинкових задач з огци-ляторно-подібною взаємодією. Запропоновано узагальнення рівпянь (14), (19) до двочастинкових рівнянь для довільного спіну з осциля-торно-подібним потенціалом взаємодії. Ці узагальнення мають вигляд

(Я - Е)ф = 0, # = S,p-f Sj^P + Sjm, (29)

для рівняння (14); та _

(Н - Е)і’- 0. Я = -ї5оо(р« + |wj<,7) -f- iS^m, (ЗО)

для* рівняння (19), де довільні матриці £>„, та Son- S<m, (« = 1,2.3) реалізують зоГіраження алгебр ЛО(2.1) та Л(Ц 1,4) підпппідпо.

Зауважимо, що рівняння (29) та (ЗО) допускають ліївські та не-ліївські симетрії рівнянь (14) та (19) (для відповідних матриць Ба та $0а, 5м).

Третій рооділ присвячений побудові неовідних зображень иа-раїгупералгсбри Пуанкаре.

У § 3.1 визначена парасупералгебра Пуанкаре та основні комутаційні співвідношення між операторами цієї алгебри.

У § 3.2,знайдено явний вигляд інваріантних операторів парагу-пералгебрн Пуанкаре у формі

С, = Р„Г", С2= Р^В^В' -(„Г)3,

Де

+ Х„,

IV/, - вектор Паулі-Любанського; є білінійпою Комбінацією пара-суперзарядів.

В оалежності від власних значень інваріантів Сі та є (£ оператор онаку енергії) розглянуто такі основні класи незвідиих зображень парасупералгсбри Пуанкаре:

І. р„рі‘ = М7 > 0, є= 1, (31)

/. Р„Р" = М7 > 0, £= -1, (32)

II. Р„Р'‘ = 0, Є= 1, (33)

Ті. = о, є = -1, (34)

III. Р(,Р'* = -г/1 <0. (35)

§ 3.3 присвячений побудові неовідних зображень парасупералгеб-ри Пуанкаре для часоподібного 4 імпульса,

Теорема 3 "Мала парас.умралггбра Вігпсра" для класів (81) та (42) зводиться до прямої суми алгебр .

* ,

/10(3) Ф .40(5) ‘

та

.40(3)ФЛ0(4,1).

— и —

За допомогою відповідного перетворення Лоренца знайдено явний вигляд генераторів парасупералгебрп Пуанкаре у довільній системі відліку

Ро = еЕу Ра-Р*і т

Ль3 %Ьра “4* ЄаЬс^сі

ha = XtPa - f Е)+ -

Qi — 4 ерз) + e(Ssj + «£м)(рі — *№)},

Qi — te^81 ‘^5j)(.Pl + *Рз) +■ (553 + iSn)(E + M — ерз)],

Qa = Qa, A,B = 1,2, де

E = y^ + p2, P = v/Pi +Р2 + Я3.

. 1 1 <36)

— f(ia J^4a)i

j, та S„i - базисні елементи незвідних зображень алгебр >40(3) та АО(5), (е = 1) або Л0(4,1), (є = -1) відповідно; [•, -]+ - антикомута-тор відповідних операторів; зірочка означає комплексне спряження. У § 3.4 знайдено везвідні зображення парасупералгебри Пуанкаре для класів (33), (34).

ТЬореиа 4 ”Мала тіарасупералгебра Вігнера” для світлаподібного 4-імпульса зводиться So прямої суми алгебр

А0(3) ф АЕ(2)

для випадку (33);

А0{2,1) Ф АЕ(2)

для випадку (34). .

Побудовано простір неовіднпх зображень парасупералгебри для цих класів.

З&гальнпй вигляд генераторів парасупсралгебри у довільній системі відліку оадається формулами

Р0=£р, Рп = Ра,

■ Л» - харь - Хьр„ -f-T0eabAp~ffif\

/о» = х0р. - $ф, *„1+ + ЭД,

Qi = \/2(р + P3)Ui + iji), Qi - v/2(p + Pz)(ji - ijj),

де n = (0,0,1), Тз = 0, Г0, Tt, Тц — генератори алгебри <4J?(2), j|, jt - генератори алгебри Л0(3), (є = 1) або /40(2,1), (є = —1).

Знайдено також зображення парасупералгебри Пуанкаре, що відповідає "універсальній” реаліоації генераторів групп Пуанкаре (для

ДОВІЛЬНОГО П = (»’і, «2! пз))*

У § 3.5 розглянуто випадок просторовоподібного 4 імпульс».

Теорема 5 "Мала парвсупералгебра Вітера” для класу (.45) рс.ду-кується до прямої суми алгебр

ЛО(1,2)фЛО(2,3).

Неовідне зображення парасупсралгебри для просторовоподібного 4 імпульга реалізується наступними генераторами:

/|і — Р(і і Jab = *пРЬ EhPa 'f' ‘S'flj,

Je. “ Хор* *2 {^*я, f*o] f *4" 5ga,

4.3 = ХаРЗ - *ЗРа ~

Jm = *0P3 “ 21^3,|>о! V -

Q) [(Su + »5sî)(^ +pj + /Ht) 4- (Sm + î-5m)(pi ~ »Pa)l •

Qi = [f^si + iSv)h'i + <ihj) +• (Яз 4 »■SsiHty + pj - pu)],

Qa = Qa,

де

Po^P3-»?2. Si2 = Ji2~2(Su + Szt),

Soa = /01 — 2(^35 + ^4і)> Süі = J«i + jiSjt 4- 5«), _

Jnfl- базисні елементи алгебри ЛО( 1,2), S0ь-базисні елементи алгебри .40(2,3),

У § 3.6 побудовані коваріантні зображення нарасупералгебри Пуанкаре. Показано зв’язок цього зображення з основними класами незвідних зображень нарасупералгебри.

Твердження 9 Коваріантне зображення параеупералгебри Пуанкаре може бути реалізоване операторами

Рц = Pfty Jpt/ — XfVv %vPß *1* 5^,

Qi = -t/2M(Ss\ — iSbi), Qi — y/2M(SM — «Sm),

Фі = Д[(РЗ - P0MS51 + »Stj) + (pi +■ *рз)(5и + i'5m)],

$2 — V^[(P0 + Рз)(^53 + *’Sm) + (Pl — *Ра)(551 + ¿S52)],

<?e - числові латриц», які виберемо у вигляді

Sab — EabfSei ^Ов ” *?

5„ визначені у (36).

Фізіггаа інтерпретація побудованих зображень розглядається у § 3.7. У додатку дано короткий ошіс незвідних зображень групи 0(5).

У висновках сформульовані основні результати дисертаційної роботи.

Основні реаупьтатн та висновки

1. Досліджено симетрійні властивості двочастішкового рівняння Шродінгера о потенціалом взаємодії довільного вигляду.

І. Вивчено піївські та неліївські симетрії двочастинковнх рівнянь Діраха а оецнляторно-подібною взаємодією.

3. Знайдено неліївські інтеграли руху та приховані парасуперси-

метрії цих рівнянь. .

4. Розв'язано задачу на власні значення гаиіяьтоніанів двочастин-ковнх систем.

5. Проаналізовано ов’яоок між розглянутими моделями та вараре-лятивістськнм квантовим осцилятором і осцилятором Кемера-ДефінаПетьє,

6. Запропоновано нуанкаре-інваріантний осцилятор Кемера-Дгфі-на -Петьє для опису векторних бозонів.

7. Проведено узагальнення двочастинкового осцилятора Дірака до двочаетинкопих рівнянь довільного спіну а осциляторво подібним потенціалом взаємодії.

8. Побудовано неовідні зображення парасупорплгебри Пупнккрр.

Основні результати дисертації опубліковані в наступних роботах:

1. Tretynyk V.V. High order symmetry operators of the tvra-particle Schrödinger equation // Dopovidi NAN Ukralny. - 1994. -N4;-P.34-37.

2. Nikitin A.G. and Tretynyk V.V. Irreducible representations of the Роіпсагй parasuperalgebra // J. Phys. A. - 1995. - 28. - P.1655-1668.

3. Третиник В.В. Зображення парасупералгебри Пуанкаре для

світлоподібного 4-імпульса // Допов. НАН України. - 1995.-N 11. - С.24-26. ,

4. Третиник В.В. Приховані симетрії двочаствнкового рівняння Ді-рака о лінійною взаємодією // Тези IV міжнародної конференції ім. академіка М.Кравчука, Київ, 11-12 грав. 1995р. - Київ, 1995. - С.237.

5. І^стившк В.В. Ліївські та яеліївські симетрії двочаотинкових рівнянь о лінійною взаємодією // Теоп всеукраїнської конференції "Розвиток та оастосування математичних методів у науково-технічних дослідженнях”, Львів, 4-8 жовт. 1995р. - Львів, 1995. - Т.2 - С.96-97.

Т\рет1шиж В.В.’’Скрытые симметрии двухчастичных уравнений ”

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико -математических наук по специальности 01.01.03 - математическая фигшка. Институт математики НАН Украины, Киев, 1995.

Защищается диссертация, посвященная исследованию симетрий-ных свойств двухчастичных уравнений. Найдены нелиевские интегралы движения и скрытые парасуперсиметряи двухчастичных уравнений Дирака с осцилллторно-подобным потенциалом взаимодействия. Построены неприводамые представления парасупералгебры Пуанкаре.

Tretynyk V.V.” Hidden Symmetries of Two-Particle Equations”

Thesis for the degree of Doctor of Philosophy in Physics and Mathenia-tics, speciality 01.01.03 - mathematical physics. Institute of Mathema-’ tics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 1995.

This thesis is devoted to the investigation of symmetry properties of two particle equations. Non-Lie constants of motion and hidden рагачи-persymmetry of two particle Dirac equations with oscillator-equivalent potential are found. Irreducible representations of Poincare parasuperalgebra are constructed.

Ключові слова: двочпстиякові рівняння, рівняння Шродіягера, рівняння Дірака. симетрія, суперспметрія, парасуперсішетрія, інваріантність, група Лі, алгебра Лі, неавідні «ображення, неліїпські симетрії, інтеграл руху, алгебра Пуанкаре, суперплгебра, йарасупералгебра Пуанкпро.