Слабо искривленные трещины в упругих кусочно-однородных средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

□□3169144

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На Iфанах рукописи

МАЛЬКОВА Юлия Вениаминовна

СЛАБО ИСКРИВЛЕННЫЕ ТРЕЩИНЫ В УПРУГИХ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

01 02 04 — механика деформируемою 1 вер/1,01 о 1ела

АВТОРЕФЕРАТ

диссероции на соискание ученой оеиени кандидат физико-магема! ических наук

Сан к 1-Пе1ербур| 2008

1 5 МАП 2003

003169144

Рабсил иыполпспа на кафедре мычис^ию'п.ных мсюдст механики деформируемо! о юпа фак} чысча прикладной ма1сма!ики - процессов управления Сапк1-Псюрбур1 ско!о I-осу(ареI нет 101 о упиисрси 1с<а

Научный руководили. докюр физико-ма!сма1ических паук,

профессор Грскон Михаил ^лсксап;фович

Официальные оинопешы докюр фюик0-ма!сма1ичсских па>к,

профессор Нарб> ] Михаил \лексап,'фопич

докюр физик0-ма[сма1ическич паук, профессор Госнодарикон А-чсксандр Пс1рович

Всдощая организация С-Пеюрбур! ский ..............>ш

ночи1СХМИческий унипорей Iс■

За! ци I а С0СЮИ1СЯ . 2008 I к часоп па

заседании совсм Д-212 232 30 по защи ю докторских и камдидаюких диссертаций при Санк1-Пс1србур1ском гесударсIпсипом \ пиисрсиюю но адресу 198504, Санк I -Пс1 ербурц Упивсрс и 1С1 ский пр , д 28, маюча! ико-мсхапнчсский фак^лые!

С чиссер(ацией можно озпакомш ьсн и Научной библи01ске Сапк!-Пе1срб\р| ско! о 1 ос}дареI псиною уиинсрси 10а но адресу Сапк|-Пс1 ербурц ^ пиис[хи 1с I екая паб , д 7/9

Аторсфера! разослан 'И-^" СМ^Э&МА 2008 I

^ ченый секреиф*. д ссерынишнич о сотча ,,окюр фи! -ма1 паук и^кЫчгор

с к зп и»

Общая характеристика работы

1. Актуальность темы Неоднородные материалы, образованные из сред с разными механическими свойствами, и конструкции из таких материалов широко используются в технике Это композитные и слоистые материалы, например, металло-керамические, резино-металлические, различные покрытия и т д Разрушение таких конструкций обычно происходит из-за наличия трещин и их развития в процессе эксплуатации, поэтому исследование задач механики трещин является актуальным для всех инженерных областей.

Существует обширная литература, посвященная исследованию трещин в двумерных и трехмерных постановках задач. В большинстве работ рассматриваются прямолинейные трещины, в то время как естественно образующиеся трещины обычно имеют слабо искривленную форму. Работы, где рассматриваются криволинейные трещины, в основном относятся к случаю однородных материалов Задачи теории упругости для криволинейных трещин на границе раздела сред с разными упругими свойствами и вблизи этой границы, которые являются предметом исследования диссертации, изучены недостаточно

Актуальность темы диссертации подтверждена поддержкой проведенных исследований Российским фондом фундаментальных исследований (05-01-00274, 06-01-00658) Диссертантом были получены гранты Федерального агентства по образованию (А04-2 10-421) и Правительства г. Санкт-Петербурга (М05-2 2К-181)

2. Целью работы является решение методом возмущений плоских задач теории упругости для двухкомпонентных тел со слабо искривленными трещинами, расположенными на границе раздела упругих сред с разными механическими свойствами или вблизи этой границы. Необходимо было построить алгоритм для получения решения рассматриваемых задач в любом приближении и исследовать основные параметры, характеризующие напряженное состояние в окрестности вершины трещины

3. Методы исследования. В основе решения поставленных задач лежит метод возмущений в форме, предложенной Грековым М А Краевые задачи для каждого приближения сводились к граничным задачам Римана - Гильберта для комплексных потенциалов. В случае межфазной трещины решение этих задач получено в квадратурах, для трещины около границы раздела задача сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода с непрерывными ядрами Для его решения был применен метод коллокации, реализованный в среде Matlab

4. Достоверность работы. Достоверность полученных решений обеспечивается строгой постановкой задач и применяемым математическим аппаратом В частных случаях постановок задач были сделаны сравнения с численными результатами других авторов Грековым М.А., Cotterell В., Rice J R, Murakami Yu

5. Результаты, выносимые на защиту

1. Решена задача о наклонной трещине в однородной плоскости методом возмущений, найдено второе приближение. Проведено сравнение приближенного с точным решением для оценки применимости метода возмущений к подобного рода задачам.

2. Методом возмущений построено решение задачи о слабо искривленной трещине, расположенной на границе раздела двух полуплоскостей из разных материалов В первом приближении получены зависимости КИН от для основных параметров задачи (модулей упругости, формы трещины, приложенной нагрузки). Проведен анализ влияния этих параметров задачи на КИН и интеграл Раиса - Черепанова

3. Методами возмущений и суперпозиции получено решение задачи для слабо искривленной трещины, расположенной около границы раздела двух полуплоскостей из разных материалов Интегральное уравнение Фредгольма, к которому сводится задача каждого приближения, преобразовано к системе алгебраических уравнений и решено методом коллокации в среде Matlab Вычислены КИН в нулевом и первом приближениях. Проанализировано влия-

ние основных параметров задачи- модулей упругости, расстояния трещины от линии раздела, угла наклона трещины и вида нагру-жения на величину КИН.

6. Научная новизна Основные научные результаты диссертации являются новыми и состоят в применении метода возмущений для задач о криволинейных трещинах в двухкомпонентных средах, позволяющего построить любое приближение.

В задаче о криволинейной межфазной трещине приведен алгоритм нахождения любого приближения При решении задачи впервые была учтена несамоуравновешенная нагрузка на трещине. Новыми являются и расчеты КИН в первом приближении, позволяющие оценить влияние искривления трещины на их величину.

Задача о криволинейной трещине около линии раздела полуплоскостей раньше не рассматривалась Применение метода возмущений в сочетании с методом суперпозиции позволило получить решение этой задачи в любом приближении КИН в первом приближении для криволинейной трещины получены впервые

7. Практическая значимость Практическую ценность представляют формулы и результаты расчетов КИН для разных форм трещин, позволяющие оценить влияние различных параметров на величину КИН Эти результаты могут быть использованы в критериях для прогнозирования развития трещин, оценки прочности и разрушения неоднородных материалов с трещинами и применены в разных областях техники.

8. Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной научной конференции "Устойчивость и процессы управления г С -Петербург, СПб-ГУ 2005 г, на Международных научных конференциях аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость г С.-Петербург, СПбГУ в 2006 и 2007 г г, на ежегодных научных конференциях школы академика В В. Новожилова, г. С -Петербург, СПбГУ, 2004 - 2006 г.г Диссертация в целом была доложена на научном семинаре кафедры "Вычислительных методов механики деформи-

руемого тела"СПбГУ (зав. каф. профессор Даль Ю М.) и на кафедре "Сопротивления материалов "Политехнического университета (зав. каф профессор Мельников Б.Е )

Публикации Результаты диссертации опубликованы в семи работах, приведенных в конце автореферата Статьи [5, 7] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК В работах [2, 3, 5, 6], опубликованных в соавторстве с М. А Грековым, соавтор сформулировал задачи и предложил методы их решения, а также обсуждал промежуточные результаты. В работе [7] Малькову В. М принадлежит постановка задачи и метод решения.

9. Структура и объем диссертации Диссетрация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы Общий объем диссертации 124 стр., общее количество рисунков и графиков - 46, библиография содержит 226 наименований.

Содержание работы Во введении обоснована актуальность и цели работы, перечислены выносимые на защиту научные результаты диссертации и дан достаточно полный обзор литературы по теме диссертации. Отмечено, что значительный вклад в исследования в этой области был внесен Мусхелишвили Н. И , Савруком М П., Черепановым Г. П , Морозовым Н Ф , Грековым М А , Rice J R , Sih G С., Murakami Y , Erdogan F., Comninou M. и другими.

В первой главе рассмотрена прямолинейная трещина, повернутая на малый угол относительно базовой [1]. Решение задачи строится методом возмущений. Найдено первое и второе приближения Цель решения задачи состоит в анализе применимости метода возмущений к такого рода задачам

Рассмотрим однородную плоскость с прямолинейной трещиной L. Введем систему координат х\, ж 2 так, чтобы L образовывала с осью х\ малый угол а Ее уравнение имеет вид Х2 = (zi — 1) tga Берега трещины свободны от нагрузки и на бесконечности

а% = а?2 = 0, и>°° = О (И)

Запишем напряжения и перемещения через комплексные потенциалы Колосова - Мусхелишвили Ф(-г), П(-г)

<Т22-г<712 = Ф{2) + щг) + [Щ1г)-Ф{г) + {г--2)Ф'(г)\е (12)

2^сКм1_+Ш2) = _ Щ + ^ _ ^ е-2га

Применим метод возмущений, представив эти потенциалы и их значения на трещине в виде рядов по степеням малого параметра £

ОС рП

_ . . п. -

га—0п т=О

т]

(13)

00 сп ,

п=Оп т=О

m>

Подставим разложения (1 3) в (1 2) и граничные условия и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях параметра е Получим последовательность задач Римана-Гильберта, из которой найдем Фn(z), ün(z), п = 0,1,2 Для правого конца трещины коэффициенты интенсивности напряжений имеют вид

K = K1-iK2^V^ lim [v/£i - l(s22 - isn)} (14)

íi->l+0

Коэффициенты интенсивности напряжений также представим в виде разложений по малому параметру С учетом (1.1) получим

К® = {Кг - гК2)(2) = V^P{ 1-ге- Ае2) (1 5)

Точное решение рассматриваемой задачи для КИН имеет вид

К\ = р \/7rcos3/2 а, К2 — py/rr eos a sin а (16)

Сравнив значения приведенных КИН kj = К3 ' ¡ (ру/а) для точного и приближенного решений видим, что при малых е или углах наклона трещины а метод возмущений дает достаточно хорошее

s2 Х2

-а S1 d +а М] »vi

s2 *2 X1

S, J^ Pl.Vf

Рис 1 Рис 2

приближение (при а < 12° относительная погрешность КИН во втором приближении меньше 10% и 3,5% соответственно)

Во второй главе строится решение задачи для слабо искривленной трещины, расположенной на границе раздела двух полуплоскостей Sk, к = 1,2 с разными механическими свойствами [2, 3, 5, 7] (рис 1)

Криволинейная трещина L описывается простой гладкой кривой = ^^(^i), xi е [—а,а], где е - малый параметр, |<?(a;i)| < а, \g'(xi)\ < М = const.

Ha бесконечности заданы напряжения и углы поворота о/00, свои для каждой полуплоскости. На берегах трещины имеем условия

(апп + iant)+ = р (zc), {<тпп + гап1У = q (zc), (2 1)

где апп и ant - компоненты тензора напряжений в векторном базисе нормали и касательной к трещине, zc = xt + гед (rci). Функции р (zc) и q (zc) удовлетворяют условию Гельдера Разложим их в ряды Тейлора

°° £>М(Ж1) 00 етд^(Х1) , P\zc) = Е --W(xi))m,q(zc) = £ --{гд(хi))m

тп=О m m=0 m

(2 2)

Комплексные потенциалы Колосова - МусхелишвилиФ^(г), Q,k{z) представим в виде степенных рядов по малому параметру (1 3).

Коэффициенты разложений, то есть функции Фьй) ^ь(^), будут найдены как решения граничных задач Римана - Гильберта для прямолинейной трещины соответствующих приближений Их можно выразить через функции /г„ (г) и гп (г), аналитические во всей плоскости, исключая трещину,

+а(рп-Япт

2т ■>„ í — г

= (2 3)

ш = 0,5(112 + /л/са) [Р„ + Яп + С (Рп - £„)] (¿).

. 1 (г + ауР а 1п8 \Лг - а а) 2тг

где Рп (5„ (ГС1) - функции, зависящие от предыдущих приближений и приложенной на трещине нагрузки, — 0, п > 0, /15е зависит от условий на бесконечности, С, Д 5 - константы, зависящие от модулей упругости полуплоскостей, Яп (г) = Ап г + Вп - полином, коэффициенты которого выражаются через напряжения на бесконечности и компоненты главного вектора сил на трещине. Предположим, что на трещине действует постоянная нагрузка, одинаковая на обоих берегах р (гс) = д (гс) = р, а на бесконечности заданы напряжения и углы поворота Тогда КИН в нулевом и первом приближениях имеют вид

{(К, - гК2)М}± = ± + 2г(5) 2- го% - р), (2 4)

1 + 0

1 + 0

(И-^)/-/-»2 1 \ Г 1оо | 2оо

47Г

- -[7(± 1 )(*£ - + Г(± 1)(а£ + ,*")]+ (2 5)

7Г

+^-(1+«)(р-Р) Д± 1) - - [(Р +РЖ± 1)-Р А± 1))-Р г{± 1)]

¿1Г 7Г

Здесь и выше /(£), </(£), </*(£) ~~ интегралы типа Коши, зависящие от функций У (0 и д{£)

Были выполнены расчеты КИН для трещин, описываемых функцией хч — е(1 — £2)и, п — 2,4,8,16, при разных видах нагрузки на трещине и на бесконечности На основании этих расчетов построены графики, иллюстрирующие зависимость КИН от основных параметров задачи

На рис. 3 представлена зависимость безразмерных значений КИН в нулевом и первом приближениях к\, от отношения модулей сдвига при значениях коэффициентов Пуассона ^1=^2 =

0,3 в случае плоской деформации Зависимости построены для трещин, заданных функциями а;2 = е(1 — а^)2 и х2 = е(1 — ж2)8, и е = 0, 0,5 На рис 3 (а) КИН построены при действии напряжений на бесконечности оЩ, а на рис 3 (б) трещина находится под действием внутреннего давления

В третьей главе методом возмущений решается задача для

слабо искривленной трещины, расположенной около линии раздела двух полуплоскостей из разных материалов [4,6]

В каждом приближении задача сводится к интегральному уряп-нению Фредгольма второго рода Исследованы решения в нулевом и первом приближениях.

В плоскости 5 введем две системы декартовых прямоугольных координат- х\, х2 и £1, £2, вторая система связана с трещиной (рис. 2) Для комплексных переменных г = х1 + гх2, С — £1 + имеем зависимость 2 = (ега — гс1, где а - угол между осями координат, (I - расстояние от середины отрезка между концами трещины до оси х\. Уравнение трещины имеет вид Сс = £1 +

В координатах х\, х^ компоненты напряжений и перемещений обозначим аг] и иг, (г,] = 1,2), соответственно, ав^^-Зу и уг На бесконечности при \г\ —> оо заданы напряжения и углы поворота, свои для каждой полуплоскости На линии сопряжения полуплоскостей при х2 = 0 имеем условия непрерывности напряжений и перемещений. На берегах криволинейной трещины заданы усилия

(йпп + гз„г)+ = р*( (с), (я™ + = <?* (Сс) (3 1)

Решение задачи ищем в виде суммы решений двух вспомогательных задач, первой является задача для двухкомпонентной плоскости без трещин со скачками напряжений и перемещений на межфазной линии, второй - задача для однородной плоскости со слабо искривленной трещиной

= (<*у)с + (<7ц)г, "г = {щ)с + (и,)г, 2 е 51, (3 2) Охз = (°"и)с) и1 = (иг)с, z е Б2

После преобразований граничных условий на линии раздела и на трещине получим соотношения

[(<Т22-г<Г21)г]~Ы) = Дсг (ал), [(^+ ги'2)г]~(а; 1) = Ам'(ац) (3 3)

[(зпп + г5„г)с]+ = р*{Сс) - Р (Сс), [(впп + гвп^с}" = д*«с) ~ Ч (Сс)

Скачки Act (а^), Au'(xi) на линии раздела первой задачи и нагрузка на трещине р (Сс), q (Сс) второй задачи являются искомыми.

Комплексные потенциалы (z), flu {к), к = 1,2, являющиеся решением первой задачи, записываются через функции Дет, Дм в виде интегралов типа Коши по бесконечной прямой Используя это представление и соотношения (3 3), получим

М[ Ф1&), fii(zc)] = ~ [1 + .e^i)] [(р + q) - (р* + д*)] (Сс), (3 4)

М - линейный оператор, = (сега — га.

Вторая задача является частным случаем задачи о межфазной трещине. Здесь комплексные потенциалы Ф (С), & (С) одинаковы для двух полуплоскостей Они представляют собой интегралы типа Коши от неизвестной нагрузки на трещине второй задачи

Уравнение (3.4) требует дополнительных преобразований, чтобы исключить скачки напряжений и перемещений Они выражаются через комплексные потенциалы второй задачи Ф(С), ^(С)

Применим метод возмущений и представим эти комплексные потенциалы и нагрузку на трещине в виде рядов по степеням малого параметра, аналогично формулам (2 2) Подставив эти выражения в уравнение (3 4) и приравняв нулю коэффициенты при одинаковых степенях параметра е, получим последовательность интегральных уравнений Фредгольма с непрерывными ядрами относительно одной неизвестной функции рп + qn, п = 0,1,2,

L [Ф0(С?), ФЩ), По(Й), + \(Ро + «.) = \(f + О (6) -"+ о%) + [\{cr\? + а?2) - (ag - (3 5)

L [Ф1(С?), т%йЖ)} + |(pi + qi) = \гд(р* + q*)' -- \%9Ы + ЯоУ - гд'[\(а1Г + о%) - (<rg - га^)}е~2га - (3 6)

- \гМ? + аШ) + Д[Фо(С?), Фо(С?), тЧ), По(Й)],

Ь [Фя(<?), Ф„(С?), ЗД?), Пп(Й)] + \ (Рп + %) = \(гдГ(р* + д*)(в) -

- \(Рп + Яп) - ^[Фп-1«?), Ф^Ш, П»-1(Й).Йп-1(Й)], (3 7) где

У (С) +Га(рп + дп)т ф"(с) = 1ш! у+№- С) ^ +

(3 8)

П (С) = -Ш л+(с)

п1д 4тгг I У+т-С) М +

Ь, Еп - линейные операторы, С? = е~га и -Рп(6)> <3п(£1)>

Ф^(С)> К(0 ~ известные функции После решения этих уравнений становятся известными все искомые функции

В нулевом приближении имеем задачу для прямолинейной трещины около межфазной линии

Решение интегрального уравнения Фредгольма (3.5) ищем в ВИ-

го

де полинома (ро + до) (О = ПРИ этом

к=о

1 т

Фо(С) = -По(С) = Е 4МС)> (3 9)

4\/С - 1 к=о

где <рк(С) известные аналитические функции.

После этого интегральное уравнение сводится к алгебраическому уравнению с неизвестными коэффициентами Они определяются методом коллокации, уже применявшемся для решения такого рода интегральных уравнений и показавшем свою эффективность

Для его реализации была создана программа в пакете МаЫаЬ Требуемая точность вычислений считалась достигнутой, если разница между КИН, вычисленным на заданном и предыдущем шаге

была менее ОД %. В нулевом приближении получим

[(tfi - гК^Х = V5F £ 1) + - iF,).

k=0 ¿a^Jixi 1 + к

Прочность соединения двух материалов зависит от величины напряжений, действующих на линии раздела. Наличие трещин вблизи этой линии оказывает существенное влияние на величину напряжений. На рис.4 представлены графики нормальных и касатель-

но

0.4 0.2

0.6 -0.8.

i

/ _____L /Г ¡/ у : ЧЧ;;;

; \Л /

-1 (I

0.1 0.3 п ? 0.1 о

-U.1 -0.2 -П т:

-СМ

17 21 \ .'.'. • •'." /' - Л X...../

V /

\ Л-1

РииН

ных напряжений для прямолинейной трещины при действии внутреннего давления, вычисленных на границе полуплоскостей. Принято h = 1.2 и два значения отношения модулей сдвига /^/Vi = 1/3 (1) и ^2/Mi = 3 (2) (плоская деформация).

В первом приближении нужно задать функцию g(t), описывающую вид трещины. Положим

п тп+п—1

9 (t) = £ ckt\ [g(po + go - Ро - ?o)]'(i) = E drf.

k=0 r=0

КИН в первом приближении имеют вид

[(K1-iK2)1}± = 0,5^

m m+n—1

Е4Ы±1)+г Е dm(±l)

Л=о j=о

Коэффициенты з}. находятся аналогично з1 методом коллокации.

Для трещин вида £2 = ±г(1 — в случае базовой трещины, параллельной границе, построены зависимости КИН от отношения модулей сдвига, формы трещины, расстояния от трещины до

3.5 3

9 4 2 1.5 1

0.5

И 4 0,5

0.2

V е= 0.4 ;

ч „—

¿■=0

0 0.5

1.5

0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0 4 -0.5 -0.6 -0.7

/с2 г!-0.4

|

= 0,5

2.5 "'О Рис. 5

0.5

1 1.5

2.5

границы и приложенной нагрузки. На рис. 5 приведены зависимости безразмерных значений КИН нулевого и первого приближений при действии внутреннего давления на трещине, описываемой £2 = е(1 — £х)2, от отношения модулей сдвига /¿2/^1 • Зависимости построены при £ = 0, 0,2, 0,4, ь>\ = и2 = 0,3 в случае плоской деформации. На рис.6 представлены графики безразмерных

.0.93 0.96 0.34 0.Э2 0.9 0.8В

\ \

0:4""........ ! ЧИ

: Ж \£= Д

/у \!

т \ • о 2

Г ! I ь

0.5 1 1.5 2 2.5

3

0.1 0.05 0

-0 05 -0.1 -0.15 -0.2

-0,25 0

А !

__ £ = 0

¿г = 0 •>

.4

Ь

5 1 1.5 2 2.5 3

Рис 6

значений КИН в нулевом и первом приближениях при действии нормальных напряжений оЩ, от расстояния трещины до межфазной границы. Отношение модулей сдвига Цъ!= 3, £ = 0, 0,5, щ = и2 = 0,3, плоская деформация.

В заключении диссертации подведен итог выполненных исследований.

Публикации автора по теме диссертации

1 Малькова Ю В Метод возмущений в задаче о наклонной трещине/ / СПб Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела (Сб трудов научной школы академика В В. Новожилова). СПбГУ. 2003 Вып 7. С. 79-87

2 Греков М А., Малькова Ю В Криволинейная трещина на границе раздела двух сред// СПб Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела (Сб трудов научной школы академика В В. Новожилова) СПбГУ 2004. Вып. 8. С. 56-71

3 Греков М.А , Малькова Ю.В. Метод возмущений в задаче о криволинейной межфазной трещине// Труды междунар научной конференции "Устойчивость и процессы управления" СПб СПбГУ. 2005 Т 3 С 1655-1656

4 Малькова Ю В Слабо искривленная трещина около границы раздела двух сред// Труды XXXVII междунар научной конференции аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость" 2006 С -Петербург СПбГУ. С 167-172

5 Греков М.А , Малькова Ю В. Силовые и энергетические характеристики упругого поля у вершины криволинейной межфазной трещины// Вестн С -Петерб ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления 2006 Вып 3 С 17-28

6 Греков М А., Малькова Ю В Контактные напряжения на межфазной границе при раскрытии приграничной трещины// Труды XXXVIII междунар научной конференции аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость" 2007. С.-Петербург. СПбГУ С. 141-146.

7 Мальков В М., Малькова Ю.В. Исследование нелинейной задачи Фламана// Изв РАН. МТТ. 2006. № 5 С. 68-78

Подписано к печати 09 04 2008 г Формат бумаги 60x84 1/16 Бумага офсетная Печать ризографическая Объем 1 уел п л Тираж 100 экз Заказ №4180 Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр , 26

Введение

1. Актуальность темы.

2. Цель работы.

3. Методы исследования.

4. Результаты, выносимые на защиту.

5. Практическая ценность.

6. Апробация работы.

7. Публикации.

8. Структура и объем диссертации.

9. Обзор литературы.

Глава 1. Метод возмущений в задаче о наклонной трещине в однородной плоскости

1.1 Постановка задачи

1.2 Точное решение.

1.3 Решение задачи методом возмущений

1.4 Анализ коэффициентов интенсивности напряжений

Глава 2. Слабо искривленная трещина на границе раздела полуплоскостей

2.1 Прямолинейная трещина на границе раздела

2.2 Постановка задачи. Сведение к граничным задачам

2.3 Метод малого параметра

2.4 Нулевое и первое приближения задачи для криволинейной трещины на границе раздела

2.5 Коэффициенты интенсивности напряжений.

2.6 Результаты расчетов КИН

2.7 Интеграл Райса - Черепанова

Глава 3. Слабо искривленная трещина около границы раздела двух сред.

3.1 Постановка задачи. Метод суперпозиции.

3.1.1 Метод суперпозиции

3.1.2 Напряжения и перемещения первой и второй задач.

3.1.3 Преобразование граничных условий.

3.2 Метод возмущений

3.3 Прямолинейная трещина около границы двух сред

3.4 Некоторые задачи для двухкомпонентной плоскости с прямолинейной трещиной

3.4.1 Двухкомпонентная плоскость со свободной трещиной

3.4.2 Двухкомпонентная плоскость с нагрузкой на трещине в виде полинома

3.5 Оценка точности метода коллокации

3.6 Результаты расчетов КИН и напряжений на границе раздела

3.7 Первое приближение задачи о криволинейной трещине около границы раздела двух сред.

3.7.1 Самоуравновешенная нагрузка на трещине

3.7.2 КИН для криволинейной трещины в первом приближении

3.8 Базовая трещина параллельна межфазной границе.

1. Актуальность темы

Неоднородные материалы, образованные из сред с разными механическими свойствами, и конструкции из таких материалов широко используются в современной технике, это композитные и слоистые материалы, например, металло-керамические, резино-металлические, различные покрытия и т.д. Разрушение таких материалов и конструкций обычно происходит из-за наличия трещин и их дальнейшего развития в процессе эксплуатации. Проблемы прочности и разрушения композитных материалов актуальны для всех областей техники. Подобные задачи представляют также интерес в геомеханике и механике горных пород.

Для применения существующих критериев оценки прочности и разрушения материалов нужно предварительно знать напряженное состояние в окрестности трещины и ее концов, где напряжения не ограничены по величине. Существует обширная литература, посвященная исследованию трещин в двумерных и трехмерных постановках задач для различных материалов и при различных внешних воздействиях. В большинстве работ рассматриваются прямолинейные трещины, в то время как естественно образующиеся трещины обычно имеют слабо искривленную форму. Работы, где рассматриваются криволинейные трещины, в основном относятся к случаю однородных материалов.

Задачи теории упругости для криволинейных трещин на границе раздела сред с разными упругими свойствами и вблизи этой границы, которые являются предметом исследования диссертации, изучены недостаточно. Этот вывод следует из приведенного ниже обзора литературы. В диссертации рассматриваются только материалы, в которых развитие трещин происходило бы по хрупкому сценарию.

Проекты то тематике рассмотренных в диссертации задач были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований 05-01-00274, 06-01-00658), а также Федеральным агентством по образованию (№ А04-2.10-421) и Правительством г. Санкт-Петербурга (№ М05-2.2К-181).

2. Цель работы

Цель работы состояла в построении решения краевых задач теории упругости для двухкомпонентных тел со слабо искривленными трещинами, расположенными на границе раздела упругих сред с разными механическими свойствами или вблизи этих границ. Предполагалось, что на трещинах задана нагрузка и напряжения на бесконечности. Задачи решались методом возмущений, необходимо было построить алгоритм для нахождения любого приближения и исследовать поля напряжений в окрестности трещин. В частности, нужно было исследовать зависимость КИН от заданной формы и расположения трещин при разных видах внешних воздействий и свойств материалов.

3. Методы исследования

Решения поставленных задач были основаны на использовании уравнений теории упругости для случая плоской деформации или плоского напряженного состояния и метода возмущений. Этот метод использовался в форме, предложенной Грековым М. А. в [173] для решения задачи о криволинейной трещине в однородной плоскости.

Поскольку точные аналитические решения для трещин произвольной формы сложно получить, в работе принято предположение, что рассматриваемые трещины мало отличаются от прямолинейных. Это предположение, соответствующее реальной ситуации для естественно образующихся трещин, позволило применить метод возмущений и свести решение краевых задач к граничным задачам Римана - Гильберта относительно коэффициентов разложения комплексных потенциалов в ряды по малому параметру. Следует отметить еще некоторые подходы, использованные в работе. При решении задачи о криволинейной трещиие около линии раздела полуплоскостей из разных материалов (глава 3) был применен метод суперпозиции [13], состоящий в том, что решение исходной задачи было найдено в виде суммы решений двух, более простых краевых задач. В каждом приближении задача о трещине вблизи линии раздела сводилась к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно неизвестной нагрузки на трещине второй задачи. Представление этой нагрузки в виде полинома позволило перейти от интегрального уравнения к системе алгебраических уравнений, для ее решения был применен метод коллокации.

Таким образом, комплексное применение всех перечисленных методов - теории комплексных потенциалов Колосова - Мусхелишвили, метода возмущений и метода суперпозиции решений, позволило получить решения краевых задач для двухкомпо-нентной плоскости со слабо искривленными трещинами.

4. Результаты, выносимые на защиту

1. Проанализирована точность метода возмущений на простой задачи о наклонной трещине в однородной плоскости.

2. Методом возмущений получено решение задачи о слабо искривленной трещине, расположенной на границе раздела двух полуплоскостей из разных материалов. Получены зависимости КИН в первом приближении в виде графиков для основных параметров задачи о межфазной трещине (модулей упругости, формы трещины, приложенной нагрузки). Проведен анализ влияния основных параметров задачи на величину КИН.

3. Методом возмущений получено решение краевой задачи для слабо искривленной трещины, расположенной около линии раздела двух полуплоскостей из разных материалов. Составлена программа в среде Matlab для численного решения интегральных уравнений Фредгольма и расчетов КИН в нулевом и первом приближениях. Проанализировано влияния основных параметров задачи (модулей упругости, расстояния трещины от линии раздела, угла наклона формы трещины и вида нагру-жения) на величину коэффициентов интенсивности напряжений.

5. Практическая ценность

Используемые для решения поставленных задач методы возмущений и суперпозиции, разработанный алгоритм построения приближений по малому параметру и полученные численные результаты и выводы могут быть применены в прикладных задачах механики трещин для оценки прочности и разрушения материалов и конструкций.

Результаты расчетов КИН удобны для анализа влияния на их величину различных параметров задачи, они также могут быть использованы в различных критериях развития трещин, прочности и разрушения неоднородных материалов и конструкций из таких материалов с криволинейными трещинами.

6. Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Международной научной конференции "Устойчивость и процессы управления", г. С.-Петербург, СПб-ГУ. 2005 г., на Международных конференциях аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость", г. С.-Петербург, СПбГУ в 2006 и 2007 г.г., на ежегодных конференциях школы академика В.В. Новожилова, г. С.-Петербург, СПбГУ, 2004 - 2006 г.г. Диссертация в целом была доложена на научных семинарах кафедры "Вычислительных методов мехаиики деформируемого тела" С.-Петербургского государственного университета, возглавляемой доктором физ.-мат. наук профессором Ю.М. Далем и кафедры "Сопротивления материалов" С.-Петербургского государственного техничекого университета, возглавляемой доктором физ.-мат. наук, профессором

Б.Е. Мельниковым.

7. Публикации

Основные научные результаты работы опубликованы в семи работах:

1. Малькова Ю.В. Метод возмущений в задаче о наклонной трещине// СПб. Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела (Сборник трудов научной школы академика В.В. Новожилова). СПбГУ. 2003. Вып. 7. С. 79-87

2. Греков М.А., Малькова Ю.В. Криволинейная трещина на границе раздела двух сред// СПб. Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела (Сборник трудов научной школы академика В.В. Новожилова). СПбГУ. 2004. Вып. 8. С. 56-71.

3. Греков М.А., Малькова Ю.В. Метод возмущений в задаче о криволинейной межфазной трещине// Труды международной научной конференции "Устойчивость и процессы управления". СПб.: СПбГУ. 2005. Т.З. С.1655-1656.

4. Малькова Ю.В. Слабо искривленная трещина около границы раздела двух сред// Труды XXXVII междунар. научной конференции аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость". 2006. С.-Петербург. СПбГУ. С. 167-172.

5. Греков М.А., Малькова Ю.В. Силовые и энергетические характеристики упругого поля у вершины криволинейной межфазной трещины// Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2006. Вып. 3. С. 17-28.

6. Греков М.А., Малькова Ю.В, Контактные напряжения на межфазной границе при раскрытии приграничной трещины// Труды XXXVIII междунар. научной конференции аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость". 2007. С.-Петербург. СПбГУ. С. 141-146.

7. Мальков В.М., Малькова Ю.В. Исследование нелинейной задачи Фламана// Изв. РАН. МТТ. 2006. Л* 5. С. 68-78.

Работы [5, 7] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК. В публикациях [2, 3. 5, 6], написанных совместно с Грековым М, А., Греков М. А. сформулировал данные задачи, предложил методы решения, консультировал и обсуждал результаты.

В работе [7] соавтору принадлежит постановка нелинейной задачи Фламана и метод решения.

8. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Основные результаты работы

1. Проанализирована точность метода возмущений на простой задаче о наклонной трещине в однородной плоскости.

2. Методом возмущений получено решение краевой задачи о слабо искривленной трещине, расположенной на границе раздела двух полуплоскостей из разных материалов. Получены зависимости КИН в первом приближении в виде графиков для различных параметров задачи о межфазной трещине (модулей упругости материалов полуплоскостей, формы трещины, приложенной нагрузки). Проведен анализ влияния этих параметров задачи на величину КИН.

3. Методом возмущений в сочетании с методом суперпозиции получено решение краевой задачи для слабо искривленной трещины, расположенной около линии раздела двух полуплоскостей из разных материалов. Составлена программа в среде Matlab для численного решения интегральных уравнений Фредгольма и расчетов КИН нулевого и первого приближений. Проанализировано влияние основных параметров задачи (модулей упругости, расстояния трещины от линии раздела, угла наклона базовой трещины, формы трещины и вида нагружения) на величину КИН.

Заключение

В диссертационной работе получены решения сингулярных краевых задач плоской теории упругости для двухкомпонентной плоскости с криволинейными трещинами. Научные результаты содержат решения двух основных задач: задача для слабо искривленной трещины на границе, разделяющей две полуплоскости из разных материалов, и задача для трещины, расположенной вблизи границы раздела. Обе они актуальны для современной техники, где широко используются композитные материалы, образованные путем соединения двух разных материалов, например металло-керамические и металло-пластиковые элементы, различные покрытия, пленки и т.д. Рассмотренные задачи представляют интерес для теории упругости и механики хрупкого разрушения. Примененные нами математические методы исследования позволили получить решение этих задач в виде рядов по малому параметру.

В первой главе метод возмущений используется для нахождения первого и второго приближений прямолинейной трещины, повернутой на малый угол относительно базовой. Из сравнения основных характеристик разрушения - коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) и направления страгивания трещины, полученных при помощи точного и приближенного решений сделан вывод, что при малых е метод возмущений дает достаточно хорошее приближение.

Во второй главе получено решение задачи о криволинейной трещине на границе раздела двух упругих полуплоскостей, если на бесконечности действуют напряжения, а на трещине задана несамоуравновешенная нагрузка. Приведен алгоритм построения любого приближения, получены формулы для нахождения КИН в первом приближении и построены графики, иллюстрирующие зависимость КИН от основных параметров задачи (модулей упругости полуплоскостей и других). Для двух заданных форм трещин приведены графики зависимости интеграла Райса - Черепанова в первом приближении от упругих свойств полуплоскостей.

Задача о криволинейной трещине, расположенной около границы полуплоскостей, рассмотренная в третьей главе, несколько отличается от предыдущей с точки зрения математических методов решения. В первой задаче комплексные потенциалы Колосова - Мусхелишвили были найдены из решения граничных задач Римана - Гильберта через интегралы типа Коши в виде квадратур. Решение второй задачи строилось методом суперпозиции как сумма решений двух вспомогательных задач. Комплексные потенциалы находились в виде интегралов типа Коши от неизвестных функций. Для их определения было получено интегральное уравнение Фредгольма второго рода с непрерывными ядрами, одно и тоже в каждом приближении. Неизвестная нагрузка аппроксимировалась отрезком степенного ряда, коэффициенты которого находились из системы алгебраических уравнений, полученной из интегрального уравнения методом коллокации. Обоснование применимости этого метода и его эффективность приведены в книге [13]. Для реализации метода коллокации и вычислений KPIH была создана программа в среде Matlab. Требуемая точность считалась достигнутой, если разница между КИН, вычисленными на n-м и п-1 шаге составляла менее 0,1%. Для ее достижения оказалось достаточным удерживать в разложениях 6-20 членов ряда, в зависимости от параметров задачи. Количество членов ряда растет с уменьшением расстояния трещины от линии раздела полуплоскостей и с уменьшением угла наклона трещины при фиксированном расстоянии. Наименьшее расстояние, отнесенное к полудлине трещины, на которое удалось приблизиться к линии раздела, равнялось 0,01 - 0,005 для прямолинейной трещины, параллельной линии раздела. С помощью этой программы были построены зависимости КИН в первом приближении от отношения модулей сдвига обеих сред и расстояния от базовой трещины до границы раздела. Рассмотрены трещины, форма которых определялась двумя функциями, при действии внутреннего давления и при заданных напряжениях на бесконечности. Графики построены для случая, когда базовая тещина параллельна межфазной границе. Для прямолинейной трещины исследована зависимость нормальных и касательных напряжений на линии раздела полуплоскостей от отношения модулей упругости, расстояния трещины от линии раздела и угла наклона при действии внутреннего давления на трещине.

1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости/ М.: Наука. 1966. 708 с.

2. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения/ М.: Наука. 1968.

3. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной к теории упругости/ Л.-М.: ОНТИ. 1935.

4. Tada Н., Paris Р. С., Irwin G.R. The stress analysis of cracks: Handbook/ Hellertown: Del Research Corporation. 1973. 385 p.

5. Sih G.C. Handbook of stress-intensity factors/ Bethlehem: Lehig Univ. Press. V. 1. 1973. 420 p., V. 2. 1974. 406 p.

6. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения/ М.: Наука. 1974. 640 с.

7. Си Дж., Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрушения/ Разрушение/ под ред. Г. Либовица. М.: Мир. 1975. Т. 2. С. 83-203.

8. Дж. Райе. Математические методы в механике разрушения/ Разрушение/ под ред. Г. Либовица. М.: Мир. Т. 2. 1975. С. 205-335.

9. Саврук М.П. Двумерные задачи теории упругости для тел с трещинами/ Киев: Наукова думка. 1981. 324 с.

10. Саврук М.П. Механика разрушения и сопротивления материалов: Справочник в 4 х томах/ под ред. В.В. Панасюка. Киев: Наукова думка. Т. 2: Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами. 1988.

11. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин/ М.: Наука. 1984. 256 с.

12. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений/ под. ред. Ю. Муратами. М.: Мир. 1990. Т. 1 448 е., Т. 2 - 568 с.

13. Греков М.А. Сингулярная плоская задача теории упругости/ СПб.: СПбГУ. 2001. 192 с.

14. England А.Н. Complex variable methods in elasticity/ Wiley-Interstate. 1971.

15. Cole J.D. Perturbation methods in Applied mechanics/ Blaisdell Publishing. 1968.

16. Williams M.L. The stresses around a fault or crack in dissimilar media// Bull. Seismological Society of America. 1959. V. 49. N. 2, p. 199-204.

17. Zak A.R., Williams M.L. Crack point stress singularities at bimaterial interface// Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1963. V. 30. N.l, p. 142-143.

18. Ramachandra Rao B.S. Infinite elastic plane with a parabolic arc cat// Appl. Sci. Res. Ser. A. 1963. V. 12. N 1.

19. Sih G.C., Rice J.R. The bending of plates of dissimilar materials with cracks// Trans. ASME. Ser. A. J. Appl. Mech. 1964. V. 31. N 2, p. 477-482.

20. Rice J.R., Sih G.C. Plane problems of cracks in dissimilar media// Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1965. V. 32. N 2. p. 418-423.

21. Rice J.R. A path-independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks// Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1968. V. 35. N 2, p. 379-386.

22. Rice J.R. Some remarks on elastic crack tip stress fields// Int. J. of Solids and Structures. 1972. V. 8. N 6, p. 751-758.

23. Cotterell В., Rice J.R. Slightly curved or kinked cracks// Int. J. of Fracture. 1980. V. 16, N 2, p. 155-169.

24. Rice J.R. First order variations in elastic fields due to variation in location of a planar crack front// Trans. ASME, Ser. E. J. Appl. Mech. 1985. V. 52. N 9, p. 571-579.

25. Rice J.R. Three-dimensional elastic crack tip interactions with transformation strains and dislocations// Int. J. of Solids and Structure. 1985. V. 21. N 7, p. 781-791.

26. Gao H., Rice J.R. Shear stress intensity factors for a planar crack with slightly curved front// TVans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1986. V. 53. N 4, p. 774-778.

27. Gao H., Rice J.R. Somewhat circular shear tensile crack// Int. J. of Fracture. 1987. V. 33. N 3, p. 155-174.

28. Hutchinson J.W., Mear M.E., Rice J.R. Crack paralleling an interface between dissimilar materials// Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1987. V. 54. N 4. p. 828-832.

29. Rice J.R. Elastic fracture mechanics concepts for interfacial cracks// Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1988. V. 55, N 1, p. 98-103.

30. Gao H., Rice J.R. A first-order perturbation analysis of crack trapping by arrays of obstacles// Trans, of ASME. J. of Appl. Mech. 1989. V. 56. N 12. p. 828-836.

31. Erdogan F. Stress distribution in a nonhomogeneous elastic plane with cracks// Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1963. V. 30. N 2, p. 232-236.

32. Erdogan F., Sih G.C. On the crack extension in plates under plane loading and transverse shear// Trans. ASME. Ser. D. J. Basic Engng. 1963. V. 85. p. 519-525.

33. Erdogan F. Stress distribution in bonded dissimilar materials containing circular or ring-shaped cavities// Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1964. V. 32. N 4, p. 829-836.

34. Erdogan F. Stress distribution in bonded dissimilar materials with cracks// Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1965. V. 32. N 2, p. 403 410.

35. Erdogan F. Bonded dissimilar materials containing cracks parallel to the inteface//

36. Engng. Fract. Mech. 1971. V. 3. N 3, p. 231-240.

37. Cook T.S., Erdogan F. Stresses in bonded materials with a crack perpendicular to the interface// Int. J. of Engng. Sci. 1972. V. 10. N 8, p. 677-697.

38. Erdogan F., Arin K. Penny-shaped interface crack between an elastic layer and a half-space// Int. J. of Engng. Sci. 1972. V. 10. N 2, p. 115-125.

39. Erdogan F., Biricikoglu V. Two bonded half planes with a crack going through the interface// Int. J. of Engng. Sci. 1973. V. 11. N 7. P. 745-766.

40. Erdogan F., Aksogan 0. Bonded half-planes containing an arbitrary oriented crack// Int. J. of Solids and Structures. 1974. V. 10. N 6, p. 569-585.

41. Erdogan F., Cook T.S. Antiplane shear crack terminating at and going through a bimaterial interface// Int. J. of Fracture. 1974. V. 10. N 2, p. 227-240.

42. Erdogan F., Gupta G.D. Inclusion problem with a crack crossing the boundary// Int. J. of Fracture. 1975. V. 11. N 1. p. 13-27.

43. Erdogan F., Gupta G.D. Bonded wedges with an interface crack under anti-plane shear loading// Int. J. of Fracture. 1975. V. 11. N 4. p. 583-593.

44. Bassani J.L., Erdogan F. Stress intensity factors in bonded half planes containing inclined cracks and subjected to antiplane shear loading// Intern. J. of Fracture. 1979. V. 15, N 2, p. 145-158.

45. Lu Ming-Che, Erdogan F. Stress intensity factors in two bonded elastic layers containing cracks perpendicular to and on the interface. I. Analysis.// Engng. Fract. Mech. 1983. V. 18, N 3, p. 491-506.

46. Lu Ming-Che, Erdogan F. Stress intensity factors in two bonded elastic layers containing cracks perpendicular to and on the interface. II. Solution and results.// Engng. Fract. Mech. 1983. V. 18, N 3, p. 507-528.

47. Lu J., Erdogan F. A crack problem with broken line interface// Chinesse Annals of Mathematics. Ser. B. 1998, V. 19, N 2, p. 229-238.

48. England A.H. A crack between dissimilar media// Trans. ASME, Ser. E. J. Appl. Mech. 1965. V. 32. N 2. p. 400 402.

49. England A.H. An arc crack around a circular elastic inclusion// Trans. ASME, Ser. E. J. Appl. Mech. 1966. V. 33. N 3. p. 637-640.

50. Gotoh M. Some problems of bonded anisotropic plates with cracks along the bond// Int. J. of Fracture Mech. 1967. V. 3. N 4. p. 253-267.

51. Atkinson C. A note on crack crossing a bimaterial interface// Int. J. of Fracture Mech. 1972. V. 8. N 4, p. 453-458.

52. Atkinson С. On the stress intensity factors associated with cracks interacting with an interface between two elastic media// Intern. J. of Engng. Sci. 1975. V. 13, N 5, p. 489-504.

53. Atkinson C. On stress singularities and interfaces in linear elastic fracture mechanics// Int. J. of Fracture. 1977. V. 13. N 6, p. 807-820.

54. Bogy D.B. On the plane elastostatic problem of a loaded crack terminated at a material interface// Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Mech. 1971. V. 38, N 4, p. 911-918.

55. Willis J.R. Fracture mechanics of interfacial cracks// Int. J. Mech. and Phys. of Solids. 1971. V. 19. N 1-2, p. 353-368.

56. Willis J.R. The penny-shaped crack on an interface// Quart. J. of Mech. and Appl. Math. 1972. V. 25, p. 367-385.

57. Kassir M.K., Bregman A.M. The stress intensity factor for a penny-shaped crack between two dissimilar materials// Trans. ASME, Ser. E. J. Appl. Mech. 1972. V. 39, N 1, p. 301-308.

58. Sih G.C. A special theory of crack propagation in mechanics of fracture. Methods. Analysis and solutions of crack problems/ Noordhoff. 1973.

59. Sih G.C., Chen E.P. Cracks in composite materials, Ch. 3 in: Mechanics of Fracture, V. 6/ (G.C. Sih, ed.). Hague: Martinus Nijhoff Publishers, 1981.

60. Perlman А.В., Sih G.C. Elastostatic problems of curvilinear cracks in bonded dissimilar materials// Intern. J. of Engng. Sci. 1967. V. 5, N 11, p. 845-867.

61. Черепанов Г.П. О напряженном состоянии в неоднородной пластинке с разрезами// Изв. АН СССР. ОТН, Механика и машиностроение. 1962. N 1. С. 131-137.

62. Салганик P.JI. О хрупком разрушении склеенных тел// ПММ. 1963. Т. 27. N 5. С. 957-962.

63. Malyshev В.М., Salganic R.L. The strength of adhesive joints using the theory of cracks// Int. J. of Fract. Mech. 1965. V. 1. N 2, p. 114-128.

64. Баничук H.B. Определение формы криволинейной трещины методом малого параметра// Изв. АН СССР. МТТ. 1970. N 2. С. 130-137.

65. Гольдштейн Р.В., Салганик P.JI. Плоская задача о криволинейной трещине в упругом теле// Изв. АН СССР. МТТ. 1970. N 3. С. 69-82.

66. Gol'dstein R.V., Salganik R.L. Brittle fracture of solids with arbitrary cracks// Int. J. of Fracture. 1974. V. 10. N 4, p. 507-523.

67. Гольдштейн P.B., Салганик P.JI. Хрупкое разрушение тел с произвольными трещинами// Успехи механики деформируемых сред/ под ред. А.Ю. Ишлинского.

68. М.: Наука. 1975. С. 156-171.

69. Gol'dstein R.V., Perelmuter М. Modelings of bonding at an interface crack// Int. J. of Fracture. 1999. V. 99. N 1-2, p. 53-79.

70. Clements D.L., Sneddon I.N. A crack between dissimilar anisotropic media// Int. J. of Engng. Sci. 1971. V. 9. N 2, p. 257-265.

71. Ashbaugh N. Stress solution for a crack at an arbitrary angle to an interface// Int. J. of Fracture. 1975. V. 11. N 2, p. 205 219.

72. Theocaris P.S. Partly unbonded interfaces between dissimilar materials under normal and shear loading// Acta Mech. 1976. V. 24. N 1-2, p. 99-115.

73. Theocaris P.S., Stassinakis C.A. Experimental solution of the problem of a curvilinear crack in bonded dissimilar materials// Int. J. of Fracture. 1977. V. 13. N 1. p. 13-26.

74. Ioakimidis N.I., Theocaris P.S. Curvilinear crack along the interface of two plane isotropic elastic media// Rev. Roum. Sci. Tech. Ser. Mech. Appl. 1978. V. 23. N 4. p. 563-575.

75. Theocaris P.S., Ioakimidis N.I. On the solution of the problem of a curvilinear crack in a finite plane elastic medium// Int. J. of Fracture. 1979. V. 15. N 1. p. 7-10.

76. Ioakimidis N.I., Theocaris P.S. System of curvilinear cracks in an isotropic elastic half-plane// Int. J. of Fracture. 1979. V. 15. N 4. p. 299-309.

77. Theocaris P.S., Stassinakis C.A. Complex stress intensity factors at tip of cracks along interfaces of dissimilar media// Engng. Fract. Mech. 1981. V. 14. N 2. p. 363-372.

78. Ioakimidis N.I. Upper bounds for the absolute values of the stress-intensity factors at the tips of slightly curvilinear cracks// Revue roumaine des sciences techniques. Serie de mecanique applique. 1983. V. 28. N 6. p. 623-632.

79. Lin K.Y., Mar J.W. Finite element analysis of stress intensity factors for cracks at a bi-material interface// Int. J. of Fracture. 1976. V. 12. N 4. p. 521-531.

80. Comninou M. Interface crack with friction in contact zone// Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1977. V. 44. N 4, p. 780 781.

81. Comninou M. The interface crack// Trans. ASME. Ser. E, J. Appl. Mech. 1977. V. 44. N 4. p. 631- 636.

82. Дундурс Дж., Комниноу M. Обзор и перспектива исследования межфазной трещины// Механика композитных материалов. 1979. N 3. С. 387 396.

83. Comninou М. The interface crack in a shear field// Trans. ASME. Ser. E, J. Appl. Mech. 1978. V. 45. N 2, p. 287-290.

84. Comninou M., Schmueser D. The interface crack in combined tension compressionand shear field// Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1979. V. 46. N 2, p. 345-348.

85. Comninou M. Exterior interface cracks// Intern. J. of Engng. Sci. 1980. V. 18, N 3, p. 501-506.

86. Comninou M., Dundurs J. Spreading of slip from a region of low friction// Acta Mechanica. 1983. V. 47, p. 65-71.

87. Comninou, Maria. Overview of interface cracks// Engng. Fracture Mech. 1990. V. 37, N 1, p. 197-208.

88. Dundurs J., Gautesen A.K. An opportunistic analysis of the interface crack// Int. J. of Fracture. 1988. V. 36, N 2, p. 151 159.

89. Toya M. A crack along the interface of a rigid circular inclusion embedded in an elastic solid// J. Mech. and Phys. of Solids. 1973. V. 9, N 4, p. 463-470.

90. Toya M. A crack along the interface of a circular inclusion embedded in an infinite solid// J. Mech. and Phys. of Solids. 1974. V. 22, N 5, p. 325-348.

91. Toya M. Debonding along the interface of an elliptic rigid inclusion// Int. J. of Fracture. 1975. V. 11, N 6, p. 989-1002.

92. Tamate O., Iwasaka N. Interaction between a bimaterial interface and an arbitrarily oriented crack// Trans. JpSME. 1976. V. 42, N 353. p. 23-30.

93. Goree J.G., Venezia W.A. Bonded elastic half-planes with an interface crack and a perpendicular intersecting crack that extends into the adjacent material. I.// Int. J. of Engng. Sci. 1977, N 1, p. 1-17.

94. Goree J.G., Venezia W.A. Bonded elastic half-planes with an interface crack and a perpendicular intersecting crack that extends into the adjacent material.II.// Int. J. of Engng. Sci. 1977, N 1, p. 19-27.

95. Ewing P.D., Swedloy J.L., Williams J.G. Farther results on the angled crack problem// Int. J. of Fracture. 1976. V. 12. N 1, p. 85-93.

96. Bilby B.A., Cardew G.E., Howard I.C. Stress intensity factors at the tip of kinked and forked cracks// in "Fracture". 1977. Vol. 3. University of Waterloo Press.

97. Palaniswamy K., Knauss W.G. On the problem of crack extension in brittle solids under general loading// in: Mechanics Today/ Nemat-Nasser S. Editor. V. 4. 1978. Pergamon Press. P. 87-148.

98. Sinclar G.B. On the stress singularity at an interface crack// Intern. J. of Fracrure. 1980. V. 16. N 2, p. 111-119.

99. Sinclar G.B. Stress singularities in classical elasticity I: Removal, interpretation and analysis// Appl. Mech. Reviews. 2004, V. 57, N 1-6, p. 251-297.

100. Piva A., Viola E. Biaxial load effects on a crack between dissimilar media// Engng. Fract. Mech. 1980. V. 13. N 1, p. 143-174.

101. Viola E., Piva A. Plane strain interfacial fracture analysis of a bi-material incompressible body// Engng. Fract. Mech. 1981. V. 15. N 1, p. 131-142.

102. Hayashi K., Nemat-Nasser S. On branched interface cracks// Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Mech. 1981, V. 48, N 3, p. 529-533.

103. Kageyama K., Okamura H. Elastic analysis for an infinitesimal kinked crack under tension and in-plane shear, and fracture criterion based on maximum strain energy release rate// Trans. JpSME. 1982. V. 42. N 430, p. 783-791.

104. Hui C.Y., Chen Y.C. Evaluation of a complex stress intensity factors of interface cracks: perturbation approach// Trans. ASME, Ser. E. J. Appl. Mech. 1993. V. 60, N 1, p. 221-222.

105. Murakami Y., Nemat Nasser S. Growth and stability of interacting surface flaws of arbitrary shape// Engng. Fracture Mechanics. 1983. V. 17, N 3, p. 193-210.

106. Murakami Y. Analysis of stress intensity factors of modes I, II and III for inclined surface cracks of arbitrary shape// Engng. Fracture Mech. 1985. V. 22, N 1, p. 101-114.я

107. Murakami Y., Isida M. Analysis of an arbitrarily shaped surface crack and stress field at crack front near surface// Trans. JpSME. 1985. V. 52, N 464, p. 1050-1056.

108. Isida M., Noguchi H. Plane problems of arbitrary oriented cracks in bonded dissimilar materials// TYans. JpSME. 1983. V. 49. N 437, p. 36-45.

109. Isida M., Noguchi H. Plane elastostatic problems of bonded dissimilar materials with an interface crack and arbitrarily located cracks// Trans. JpSME. 1983. V. 49. N 438, p. 137-146.

110. Nisitani H., Chen D.H., Isida M. Evaluation for mixed mode stress intensity factors of several types of cracks emanating from an elliptical hole// Trans. JpSME. 1984. V. 50. N 451, p. 341-350.

111. Yau J.F., Wang S.S. An analysis of interface cracks between dissimilar isotropic materials using conservation integrals in elasticity// Engng. Fract. Mech. 1984. V. 20. N 3, p. 423-432.

112. Datsyshin A.P., Marchenko G.P. Interaction of curvilinear cracks with the boundary of an elastic half-plane// Soviet materials science. 1984. V. 20, N 5, p. 466-473.

113. Datsyshin A.P., Marchenko G.P. Edge curvilinear crack in elastic half-plane// Soviet materials science. 1985. V. 21, N 1, p. 66-70.

114. Dreilich L., Gross D. The curved cracks// Z. Angew. Math. Mech. (ZAMM).1985. Bd. 65. p. 132-134.

115. Симонов И.В. Трещина на границе раздела в однородном поле напряжений// Механика композитных материалов. 1985. N 6. С. 969 976.

116. Simonov I.V. Prediction of arbitrary crack growth from the interface between two dissimilar elastic materials// Int. J. of Fracture. 1992. V. 57. N 4, p. 349-363.

117. Morozova T.M. Stress intensity factors for a curved crack near a half plane boundary// Mechanics of solids. 1986. V. 21. N 6, p. 122-127.

118. Lee J.C., Farris T.N., Keer L.M. Stress intensity factors for cracks of arbitrary shape near an interfacial boundary// Engng. Fracture Mechanics. 1987. V. 27. N 1. p. 27-41.

119. Ukadgaonker V.G., Hargopurkar S.M., Maiti S.K. Stress analysis of cracks of arbitrary shape in finite plate subjected to uniform tension// Int. J. of Fracture. 1988. V. 37. N 2, p. 27-30.

120. Gao H. Nearly circular shear mode cracks// Int. J. of Solids and Structures. 1988. V. 24, N 2. p. 177-193.

121. Gao H. Stress concentration at slightly undulating surfaces// J. of Mech. and Phys. of Solids. 1991. V. 34. N 4. p. 443-458.

122. Gao H. A boundary perturbation analysis for elastic inclusions and interfaces// Int. J. of Solids and Structures. 1991. V. 28. N 6, p. 703-725.

123. Loboda V.V. Analytical derivation and investigation of the interface crack models// Int. J. of Solids and Structures. 1988. V. 36. N 33, p. 4477-4489.

124. Sur U., Altiero N.J. Alternative integral equation approach for curved and kinked cracks// Int. J. of Fracture. 1988. V. 38. N 1, p. 25-41.

125. Oda K., Noda N.-A., Hashim M.J. Analysis of interaction between interface cracks and internal cracks using singular integral equation of body forse method// Damage and Fracture Mechanics. 1988. p. 34-42.

126. Noda N.-A., Oda K. Effect of curvature at the crack tip on the stress intensity factor for curved cracks// Int. J. of Fracture. 1993. V. 64. N 3. p. 239-249.

127. Noda N.-A., Miyoshi S. Variation of stress intensity factor and crack opening displacement of semi-elliptical surface crack// Int. J. of Fracture. 1996. V. 75. N 1, p. 19-48.

128. Noda N.-A., Kobayashi K., Yagishita M. Variation of mixed modes stress intensity factor of an inclined semi-elliptical surface crack// Int. J. of Fracture. 1999. V. 100. N 3, p. 207-225.

129. Oda К., Muraoka Y., Noda N.-A. Analysis of an elliptical internal crack near free surface using singular integral equation of the body force method// Trans. JpSME. 2001. V. 67. N 664. p. 2025-2031.

130. Qin T.Y., Noda N.-A. Analysis of three-dimensional crack terminating at an interface using a hypersingular integral equation method// Trans. ASME. Ser. E., J. Appl. Mech. E. 2002. V. 69. N 5, p. 626-631.

131. Noda N.-A., Ohzono R., Chen M.-C. Analysis of an elliptical crack parallel to a bimaterial interface under tension// Mech. of Materials. 2003. V. 35. N 11, p. 1059-1076.

132. Noda N.-A., Fujimoto S., Simomoto Y., Kagita M. Analysis of an elliptical crack vertical to a bimaterial interface under tension// Trans. JpSME., Part A. 2003. V. 69. N 2, p. 1665-1671.

133. Qin T.Y., Noda N.-A. Stress intensity factors of a rectangular crack meeting a bimaterial interface// Int. J. of Solids and Structures. 2003. V. 40. N 10, p. 2473-2486.

134. Noda N.-A. Stress intensity formulas for three-dimensional cracks in homogeneous and bonded dissimilar materials// Egngn. Fracture Mech. 2004. V. 71. N 1, p. 1-15.

135. Noda N.-A., Kouyama Т., Kinoshita Y. Stress intensity factors of an inclined elliptical crack near a bimaterial interface// Engng. Fracture Mech. 2006. V. 73. N 10, p. 1292-1320.

136. Cheung Y.K., Chen Y.Z. New integral equation for plane elasticity crack problem// Theor. Appl. Fract. Mech. 1987. V. 7, p. 177-187.

137. Chen Y.Z., Cheung Y.K. New integral equation approach for the crack problem in elastic half plane// Int. J. of Fracture. 1990. V. 46. N 1, p. 57 - 69.

138. Chen Y.Z., Gross D., Huang Y.J. Numerical solution of the curved crack problem by means of polynomial approximation of the dislocation distribution// Engng. Fracture Mech. 1991. V. 39. N 5, p. 791-797.

139. Chen Y.Z. A survey of new integral equation in plane elasticity crack problem// Engng. Fracture Mech. 1995. V. 51. N 1, p. 97-134.

140. Chen Y.Z. Stress intensity factors for curved and kinked cracks in plane extension// Theor. Appl. Fract. Mech. 1999. V. 31, p. 223-232.

141. Chen Y.Z. A numerical solution technique of hypersingular integral equation for curved cracks// Communication in numerical methods in Engineering. 2003, V. 19, N 8, p. 645-655.

142. Chen Y.Z., Hasebe N. Solution for a curvilinear crack in a thermoelastic medium// J. of Thermal Stresses. 2003. V. 26. N 3, p. 245-259.

143. Chen Y.Z., Hasebe N., Lee K.Y. Multiple crack problem in elasticity/ Southampton: WIT Press. 2003.

144. Chen Y.Z. Thermoelastic problem of arc crack with heat source or doublet// J. of Thermal Stresses. 2004. V. 27. N 2, p. 137-150.

145. Chen Y.Z. Singular integral equation method for the solution of multiple curved crack problems// Int. J. of Solids and Structures. 2004. V. 41, N 13, p. 3505-3519.

146. Chen Y.Z., Lin X.Y. Complex potentials and integral equations for curved crack and courved rigid line problems in plane elasticity// Acta Mechanica. 2006. V. 182, N 1-2, p. 211-229.

147. He M.-Y., Hutchinson J.W. Kinking of a crack out of an interface// Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Mech. 1989. V. 56, N 2, p. 270-278.

148. Miller G.R. Analysis of cracks near interface between dissimilar anisotropic materials// Int. J. of Engng. Sci. 1989. V. 27, N 6, p. 667-678.

149. Shibuya Т., Koizumi Т., Iwamoto T. Stress analysis of the vicinity of an elliptical crack at the interface of two bounded half-spaces// Trans. JpSME. Int. J. 1989. V. 32. P. 482-491.

150. Hao T.-H. Exact solution of a crack on a bimaterial curve interface// Engng. Fracture Mech. 1990. V. 37, N 2, p. 453-456.

151. Назаров С.А., Полякова О.Г. Коэффициенты интенсивности напряжений для параллельных сближенных трещин в плоской области// ПММ. 1990. Т. 54. ь 1. С. 132-141.

152. Nazarov S.A. A crack at the interface of anisotropic bodies. Singularities of the elastic fields and a criterion for fracture when the crack surfaces are in contact// J. Appl. Math, and Mech. 2005. V. 69, N 3, p. 473-483.

153. Nakamura T. Three-dimensional stress fields of elastic interface cracks// Trans. ASME. Ser. E, J. Appl. Mech. 1991. V. 58. N 4, p. 939-946.

154. Ni L., Nemat-Nasser S. Interface cracks in anisotropic dissimilar materials: an analytic solution// J. of Mech. and Phys. of Solids. 1991. V. 39. N 1, p. 113 144.

155. Ni L., Nemat-Nasser S. Interface cracks in anisotropic dissimilar materials: general case// Quart, of Appl. Math. 1992. V. L. N 2, p. 305 322.

156. Leblond J.-B., Torlai O. Stress field near the front of an arbitrarily shaped crack in a three-dimensional elastic body// J. of Elasticity. 1992. V. 29. N 2, p. 97-131.

157. Wu K.-C. On the contact zone model for interface crack// Trans. ASME, Ser. E., J. Appl. Mech. 1992. V. 59, N 1, p. 92-94.

158. Chao С.К., Shen М.Н. Thermoelastic problem of curvilinear cracks in bonded dissimilar materials// Int. J. of Solids and Structures. 1993. V. 30. N 22, p. 3041-3057.

159. Chao C.K., Kuo L.Y. Thermal problem of curvilinear cracks in bonded dissimilar materials with a point heat source// Int. J. of Heat and Mass Transfer. 1993. V. 36. N 17, p. 4085-4093.

160. Chao C.K., Shen M.H. Explicit solutions for curvilinear cracks in the thermoelastic medium// J. of Thermal Stresses. 1993. V. 16. N 3, p. 215-231.

161. Chao C.K., Kuo L.Y. Thermoelastic problem of curvilinear crack with a point heat source// J. of Thermal Stresses. 1994. V. 17. N 2, p. 271-283.

162. Itou S. Stress intensity factors around a crack paralled to a free surface of a half plane// Int. J. of Fracture. 1994. V. 67. N 2, p. 179 - 185.

163. Chen D.H. A crack normal to and terminated at a bimaterial interface// Ingng. Fracture Mech. 1994. V. 49, N 4, p. 517-532.

164. Wu C.H. Regularity and singularity perturbed cracks// Quarterly of Appl. Math.1994. V. 52, N 3, p. 529 543.

165. Xu Y.L. A concentric arc crack in a circular disc// Int. J. of Solids and Structures.1995. V. 32. N 14, p. 2023-2040.

166. Deng X. Note on interface cracks with and without friction in contact zone// Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Mech. 1994, V. 61, N 4, p. 994-995.

167. Gautesen A.K., Dundurs J. Interface crack in a tension field// Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Mech. 1987, V. 54, N 1, p. 93-98.

168. Gautesen A.K., Dundurs J. Interface crack under combined loading // Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Mech. 1988, V. 55, N 3, p. 580-586.

169. Gharpuray V.M., Dundurs J., Keer L.M. Crack terminating at a slipping interface between two materials// Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Mech. 1991, V. 58, N 4, p. 960-963.

170. Yang M., Kurth R.E. Stress intensity factors for subinterface cracks with crack-face contact zone// Trans. ASME, AMD. Appl.Mech. Division. 1993. V. 159, p. 273-282.

171. Yang M., Kim K.-S. Behavior of subinterface cracks with crack-face contact// Engng. Fracture Mech. 1993. V. 44, N 1, p. 155-165.

172. Guo Q., Wang J.-J., Clifton R.J., Mertaugh L.J. Elastic analysis of planar cracks of arbitrary shape// IVans. ASME, Ser. E. J. Appl. Mech. 1995. V. 62, N 1, p. 108-115.

173. Wijeyewichrema A.C., Dundurs J., Keer L.M. Singularstress field of a crack terminating at a frictional interface between two materials// Trans. ASME, Ser. E., J. Appl. Mech. 1995, V 62, N 2, p. 289-293.

174. Греков М.А. Плоская задача для трещины, расположенной между двумя линейно упругими средами// ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 4. С. 184-196.

175. Греков М.А. Слабо искривленная трещина в изотропном теле// Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2002. Вып. 3(17). С. 74-80.

176. Греков М.А. Два подхода к анализу слабо искривленной трещины// Проблемы механики деформируемого твердого тела/ Межвуз. сб. к 70 летию акад. Н.Ф. Морозова. СПб.: СПбГУ. 2002. С. 82-89.

177. Греков М.А. Метод возмущений в задаче о деформации двухкомпонентного композита со слабо искривленной границей раздела// Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2004. Вып. 1. С. 81-88.

178. Греков М.А. Метод возмущений в приложении к некоторым задачам теории упругости// Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород. Сб. статей к 75-летию Е.И. Шемякина. Под ред. Д.Д. Ивлева и Н.Ф. Морозова. 2006. С. 188-198.

179. Греков М.А., Малькова Ю.В. Силовые и энергетические характеристики упругого поля у вершины криволинейной межфазной трещины// Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2006. Вып. 3. С. 17-28.

180. Martin Р.А. Mapping flat cracks on to penny-shaped cracks: shear loading// J. Mech. and Phys. of Solids. 1995. V. 43. N 2, p. 275-294.

181. Martin P.A. Mapping flat cracks onto penny-shaped cracks with application to somewhat circular tensile cracks// Quart, of Appl. Math. 1996. V. 54, p. 663-675.

182. Martin P.A. Perturbed cracks in two dimensions: an integral-equation approach// Int. J. of Fracture. 2000. V. 104. N 3, p. 317-327.

183. Martin P.A. On wrinkled penny-shaped cracks// J. of Mech. and Phys. of Solids. 2001. V. 49. N 7, p. 1481-1495.

184. Martin P.A. Perturbed cracks in two dimensions: a reprise// Int. J. of Fracture. 2006. V. 140. N 3, p. 299-303.

185. Lavit I.M. A boundary integral equation for a curvilinear boundary crack// Prikladnaya Matematika i Mekhanika. 1994. V.58. N 1, p. 153-161.

186. Антипов Ю.А. Трещина на линии раздела упругих сред при наличии сухого трения// ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 2. С. 290 306.

187. Ritehie R.O. On the interaction of cracks with bi-material interface// Materials Science. 1996. V. 32. N 1, p. 107-120.

188. Sung J.C., Liou J.Y., Lin Y.Y. Some phenomena of cracks perpendicular to an interface between dissimilar orthotropic materials// Trans. ASME, Ser. E. J. Appl. Mech. 1996, V. 63, N 1, p. 190-202.

189. Chen C.-H., Hsu J. The stresses intensity factors of slightly undulating interface cracks of bimaterials// Int. J. of Fracture. 1996. V. 80, N 4, p. 277 293.

190. Zhao L.-G., Chen Y.-H. Interaction between an interface crack and a parallel subinterface crack// Int. J. of Fracture. 1995. V. 76, N 3, p. 279-291.

191. Zhao L.-G., Chen Y.-H. Further investigation of subinterface cracks// Archive of Appl. Mech. 1997. V. 67, N 6, p. 393-406.

192. Molski K.L., Truszkowski W. Determination of KI and KII for curvilinear cracks under a non-uniform biaxial stress field// Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures. 1996. V. 19. N 10, p. 1255-1263.

193. Herrmann K.P., Noe N., Dong M. Interfacial crack growth in thermomechanically loaded bimaterial joints// Composites Part A: Applied Science and Manufacturing. 1996. V. 27. N 9 (PART A), p. 813-820.

194. Noe A., Herrmann K.P. Elastodynamic parameters for dynamic interface fracture mechanics// Acta Mechanica. 1997. V. 123. N 1-4, p. 203-226.

195. Yuan F.G., Yang S. The curved interfacial crack between dissimilar isotropic solids// Int. J. of Solids and Structures. 1997. V. 34. N 6. p. 641-660.

196. Brandinelli L. Characterization of planar curvilinear cracks and development of a probabilistic crack propagation model for brittle materials/ M.S. Thesis, Case Western Reserve University. Cleveland, OH. 1997.

197. Brandinelli L., Ballarini R. Stress-intensity factor approximations for two-dimensional curvilinear cracks// Composites Science and Technology. 2000. V. 60. N 12-13, p. 25572564.

198. Линьков A.M. О методе решения задач о приповерхностных трещинах в упругих телах// Иссл. по механике строит, констр. и материалов. СПб.: С.- Петерб. гос. архит.-строит. ун т. 1997. N 4. С. 76- 85.

199. Linkov A.M. Boundary integral equations in elasticity theory/ Dordrecht: Kluwer. 2002.

200. Lishchyns'ka M.V. Determination of stress intensity factors in plates near convex curvilinear cracks// Materials Science. 1998. V. 34. N 1, p. 125-127.

201. Yang X., Fan T. New formulation for arbitrary cracks problem and its stress intensity factor of plane elasticity// J. of Beijing Institute of Technology. 1999. V. 8. N• 4, p. 364-369.

202. Helsing J., Peters G. Integral equation methods and numerical solutions of crack and inclusion problems in planar elastostatics// SIAM J. of Appl. Math. 1999. V. 59, N 3, p. 965-982.

203. Theotokoglou E.E. Bonded cracked half planes with an interface and an intersecting crack// Int. J. of Fracture. 1999. V. 98. N 3-4. p. 361-367.

204. Otsu Т., Wang W.-X., Takao Y. Asymmetrical cracks parallel to an interface between dissimilar materials// Int. J. of Fracture. 1999. V. 96. N 1. p. 75-100.

205. Eriksson K. Crack extension force of a curved crack derived from the principle of virtual work// Int. J. of Fracture. 2000. V. 102. N 1, p. 15 20.

206. Eriksson K. Energy release rates for the penny-shaped crack in a linear piezoelectric solid// Int. J. of Fracture. 2002. V. 116. N 2, p. 23 28.

207. Eriksson K. General expression for an area integral of a point-wise J for a curved crack front// Int. J. of Fracture. 2003. V. 106. N 1, p. 65-80.

208. Xiao Z.M., Fan H. On the contact zone and stress singularities of a subinterface crack// Engng. Fracture Mechanics. 2001. V. 68, N 1. p. 77-88.

209. Xu J.-Q., Wang X.-G., Mutoh Y. Stress intensity factors of a surface crack near an interface end// Int. J. of Fracture. 2001. V. 111. N 3. p. 251-264.

210. Choi H.J. The problem for bonded half-planes containing a crack at the arbitrary angle to the graded interfacial zone// Int. J. of Solids and Structures. 2001. V. 38. N 36-37. p. 6559-6588.

211. Zhang S. On the interface crack between two elastic layers under general edge loads// Int. J. of Fracture. 2001. V. 112. N 3, p. 27-32.

212. Ikeda Т., Sun C.T. Stress intensity factor analysis for an interface crack between dissimilar isotropic materials under thermal stress// Int. J. of Fracture. 2001. V. 111. N 3, p. 229-249.

213. Zhao L.G., Tong J., Byrne J. Stress intensity factor К and the elastic T-stress for corner cracks// Int. J. of Fracture. 2001. V. 109. N 2, p. 209-225.

214. Lenci S. Analysis of a crack at a weak interface// Int. J. of Fracture. 2001. V. 108. N 3, p. 275-290.

215. Tian W., Chen Y. Interaction between subinterface cracks and interface in metal/ piezoelectric ceramic bimaterials// Science in China, Ser. E. Technol. Sci. 2002. V. 45, N 1, p. 10-18.

216. Kovtunenko V.A. Shape sensitivity of curvilinear cracks on interface to non-linearperturbations// Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik. 2003. Bd. 54. N 3, P. 410-423.

217. Rafiee S., Seelig Th., Gross D. Simulation of dynamic crack curving and branching under biaxial loading by a time domain boundary integral equation method// Int. J. of Fracture. 2003. V. 120. N 3, p. 545-561.

218. Lin H.-M., Lin C.-B., Chen S.-C. Solutions for curvilinear cracks in bonded dissimilar materials subject to uniform magnetic induction// Int. J. of Appl. Electromagnetics and Mech. 2004. V. 20. N 2, P. 81-103.

219. Gorbatikh L. On elastic compliances of interfacial cracks// Int. J. of Fracture. 2004. V. 127. N 1, p. 141-148.

220. Qiao P., Wang J. Mechanics and fracture of crack tip deformable bi-material interface// Int. J. of Solids and Structures. 2004. V. 41. N 26. p. 7423-7444.

221. Wang J., Qiao P. Interface crack between two shear deformable elastic layers// J. of Mech. and Phys of Solids. 2004. V. 52. N 4. p. 891-905.

222. Ballarini R., Villaggio P. Frobenius' method for curved cracks// Int. J. of Fracture. 2006. V. 139. p. 59-69.

223. Khandelwal R., Kishen J.M.C. Complex variable method of computing Jk for bi-material interface cracks// Engng. Fracture Mech. 2006. V. 73, N 11, p. 1568-1580.

224. Li X.-F., Xu L.R. Transient response of a finite bimaterial plate containing a crack perpendicular to and terminated at the interface// Trans. ASME, Ser. E. J. Appl. Mech. 2006, V. 73, N 4, p. 544-554.

225. Chang J., Xu J.-Q. The singular stress field and stress intensity factors of a crack terminating at a bimaterial interface// Int. J. of Mech. Sci. 2007. (in print).

226. Chen D.H., Nisitani H. Body force method// Intern. J. of Fracture. 1997. V. 86, N 1-2, p. 161-189.

227. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.:Наука. 1981. 512 с.

228. Мальков В.М., Малькова Ю.В. Исследование нелинейной задачи Фламана// Изв. РАН. МТТ. 2006. № 5. С. 68-78.