Сложная динамика и переход к хаосу в системах отображений с различными типами глобальной связи тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Иванова Анна Сергеевна

СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА И ПЕРЕХОД К ХАОСУ В СИСТЕМАХ ОТОБРАЖЕНИЙ С РАЗЛИЧНЫМИ ТИПАМИ ГЛОБАЛЬНОЙ СВЯЗИ

01.04.03 - Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2004

Работа выполнена в Саратовском государственном университете им Н Г Чернышевского

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Кузнецов С П

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук Астахов В В , кандидат физико-математических наук Дудко Г М

Ведущая организация Нижегородский государственный

Защита состоится 1 июля 2004 г в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212 243 01 по специальности "радиофизика" при Саратовском государственном университете им НГ Чернышевского по адресу 410012, Саратов, Астраханская, 83

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке СГУ

Автореферат разослан

университет им НИ Лобачевского

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

Аникин В М

Актуальность задачи

Нелинейные распределенные системы, способные демонстрировать сложную динамику, в том числе турбулентность, или пространственно-временной хаос, встречаются в разных областях естествознания и техники, в том числе в радиофизике и электронике, гидродинамике, химической кинетике, а также в биологических и социальных 1

дисциплинах

Один из эффективных подходов к исследованию сложной динамики распределенных систем, традиционный для классической теории колебаний и волн и для более современных направлений (синергетика), состоит в конструировании моделей на основе связанных элементов При этом каждый индивидуальный элемент сам по себе представляет собой нелинейную систему, описываемую отображением или дифференциальным уравнением, в которой реализуется тот или иной, обычно уже изученный, характерный тип динамического поведения В частности, были предложены и исследованы модели в виде решеток на основе элементов, описываемых логистическим отображением и демонстрирующих переход к хаосу через удвоения периода.

Оказалось, что модели такого рода позволяют исследовать и объяснить, по крайней мере, на качественном уровне, многие феномены, характерные для сложной динамики распределенных систем - образование структур типа доменов, возникновение ряда типов перемежаемости, переходы к турбулентности, связанные с движением доменных стенок и разрушением доменов и т д3 Поскольку динамика индивидуальных элементов в области перехода к хаосу характеризуется универсальностью Фейгенбау-ма , в динамике связанных систем также проявляются определенные свойства универсальности и скейлинга (масштабного подобия)5

Интересное направление в рамках указанного подхода состоит в изучении сетей с глобальной связью, когда рассматривается набор большого числа элементов, в котором каждый элемент связан с каждым другим Пионерская работа, в которой была введена в рассмотрение модель с глобальной связью на основе элементов, описываемых

1 Д И Трубецков Колебании и волны для гуманитариев Саратов, Иэд во ГосУНЦ "Колледж", 1997, 393 стр , В С Анищенко, В В Астахов, Т Е Вадивасова, А Б Нейман, Г И Стрелкова, JI Шиманский-Гайер Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. Москва Ижевск Институт компьютер* ных исследований, 2003,544 стр

2 Г Шустер Детерминированный хаос М,Мир 1988

5 К Kaneko Theory and applications of coupled map lattices. Jota Wiley & Sons Ltd, 1993,200p 4M Фейгенбаум УФН, 1983.T 141, №2, с 343-374

5 А П Кузнецов, С П Кузнецов Изв ВУЗов-Радиофизика, 1991,т34,№10-12,с 1079-1115 ,,,. „--

•""м'ШМЛЬНЛЯ БИБЛИОТЕКА 3 ¿Петербург л-Ч/

О» to j&rj //

логистическим отображением, принадлежит японскому исследователю Канеко6. Ситуацию, когда каждый элемент одинаковым образом связан с каждым другим, можно трактовать как наличие общего среднего поля, действующего в каждый момент одинаковым образом на все элементы системы. Такого рода системы обнаруживают замечательный феномен кластеризации, когда элементы системы в процессе динамики самопроизвольно распределяются по группам (кластерам), так что в пределах каждой группы мгновенные состояния совпадают точно.

Считается, что такого рода модели имеют отношение к исследованию принципов обработки информации в естественных нейросистемах7 (мозг человека и животных) и к проблеме воспроизведения этих принципов в технических системах.

Одно из преимуществ систем с глобальной связью - простота их реализации. Например, в системах на основе радиотехнических осцилляторов глобальная связь без труда осуществляется, скажем, через общую цепь питания или путем помещения всех осцилляторов в общую электродинамическую систему (резонатор).

Представляется, что наиболее сложная и разнообразная динамика моделей с глобальной связью будет иметь место при задании параметров индивидуальных элементов в том интервале, где реализуется переход к хаосу8. По-видимому, именно эта область должна рассматриваться как представляющая наибольший интерес с точки зрения приложений для обработки информации. С теоретической точки зрения, поведение систем с глобальной связью в области перехода к хаосу представляет фундаментальный интерес по той причине, что ему должны быть присущи закономерности универсальности и скейлинга, обусловленные наличием таковых у индивидуальных элементов, из которых строится система. В частности, выявление и исследование этих закономерностей позволяет на уровне количественного описания говорить о соответствии феноменов в моделях, построенных на основе логистических отображений, и в более реалистичных ситуациях, когда элементами служат физические системы, такие как возбуждаемые нелинейные осцилляторы или автоколебательные системы.

Цель работы состоит в анализе сложной динамики, исследовании свойств универсальности и скейлинга систем глобально связанных отображений с различными типами

* К Kaneko Physica D, 1990, Vol 41, №2, p.137-172. 7 К.Kaneko. Physica D, 1994, Vol.75, p.55-73.

С П Кузнецов. Динамический хаос. (Серия "Современная теория колебаний и волн"). Изд-во Физико-математической литературы, Москва, 2001.

связи, а также более сложных комплексов, в качестве элементов которых используются системы глобально связанных отображений

Научная новизна работы

• Проведен сравнительный анализ динамики систем отображений с глобальной диссипативной и глобальной инерционной связью Исследован феномен кластеризации и устойчивость получившихся кластеров для систем с глобальной инерционной связью.

• Исследованы свойства универсальности и скейлинга как для систем отображений с глобальной связью, так и для частного случая, когда в системе реализуется два кластера, и ее можно описать как систему двух несимметрично связанных отображений.

• Рассмотрена модель в виде цепочки подсистем, каждая из которых представляет собой набор элементов с внутренней глобальной связью Исследованы различные виды связи между ячейками. Обнаружен и исследован феномен распространения волны кластеризации.

• Методом ренормгруппового анализа обнаружены два существенно различных типа связи в системах двух связанных отображений под действием водителя ритма. Исследована динамика системы двух отображений под действием пейс-мекера с двумя типами связи вблизи бикритической точки Подробно исследована динамика системы глобально связанных отображений под действием выделенного элемента - водителя ритма, или пейсмекера и проиллюстрированы свойства скейлинга, характерные для этого класса универсальности.

Достоверность научных выводов работы подтверждается согласованностью с результатами, известными из литературы для некоторых частных случаев (например, для глобальной диссипативной связи, для двукластерных состояний, в случае симметричной кластеризации совпадение как с численными, так и с экспериментальными резуль-

9 л

татами ), воспроизводимостью всех численных результатов, а также хорошим соответствием данных качественного анализа и численных расчетов.

* Астахов ВВ, Безручко БП, Селезнев ЕП Радиотехника и электроника 1987 Т.32, №12. С2558-2566 ; Астахов В В , Безручко Б П , Пономаренко В И, Селезнев Е П Радиотехника и электроника 1991, Т36,№11.С.2167-2171.

Основные положения, выносимые на защиту

• При построении моделей систем с глобальной связью на основе элементов, демонстрирующих переход к хаосу через удвоения периода, необходимо учитывать два фундаментальных типа связи, инерционный и диссипативный. Для динамики систем с глобальной связью в области перехода от порядка к хаосу характерно наличие закономерностей универсальности и скейлинга.

• Феномены кластеризации и возникновения различных фаз (когерентная, упорядоченная, турбулентная), установленные Канеко для систем с глобальной дис-сипативной связью, имеют место также в системах с инерционной и комбинированной связью. Если для систем с диссипативной связью спонтанное формирование структур, отличных от однокластерного состояния, имеет место в области хаотического поведения индивидуальных элементов, то при инерционной связи эти феномены возможны в области регулярного периодического поведения.

• В цепочках ячеек, каждая из которых представляет собой набор элементов с глобальной связью, возможен феномен распространения волны кластеризации, состоящий в том, что образ, записанный первоначально в одной ячейке, в ходе временной эволюции системы формируется и в связанных с ней ячейках.

• В присутствии выделенного элемента - водителя ритма в связанных системах в общем случае также присутствуют два типа связи, различающиеся своими свойствами по отношению к ренормпреобразованию вблизи бикритической точки. Вблизи этой точки, отвечающей порогу хаоса одновременно в ведущей и ведомых системах, динамика характеризуется специфическими свойствами универсальности и скейлинга.

Научно-практическая значимость работы и рекомендации по использованию

• Рассмотренные системы глобально связанных отображений, ввиду их принадлежности к определенному классу универсальности (например, для логистического отображения - это фейгенбаумовский класс универсальности), могут быть использованы для изучения динамики реальных систем различной природы.

• Обнаруженные в работе феномены, такие как кластеризация в до критической области, распространение волны кластеризации, увеличение области однокла-стерного состояния в системах с глобальной связью под действием водителя ритма, представляют интерес в области обработки и передачи информации.

• Полученные результаты используются в учебном процессе в СГУ.

Апробация работы и публикации

Результаты работы были представлены на 5-ой Международной школе "Хаотические автоколебания и образование структур (Хаос-98)", (Саратов, Россия, 1998); Школе-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых-98" (Саратов, Россия, 1998); Школе-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых-99" (Саратов, Россия, 1999); Международной конференции "Progress in nonlinear science", (Нижний Новгород, Россия, 2001); 9-ой Международной школе-семинаре "Нелинейная динамика и сложные системы", (Минск, Беларусь, 2001); 6-ой Международной школе "Хаотические автоколебания и образование структур", (Саратов, Россия, 2001); Всероссийской научной школе-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых-2001" (Саратове, Россия, 2001); Международной конференции "Синхронизация: теория и приложения" (Крым, Украина, 2002); Международной конференции по синхронизации хаотических и стохастических колебаний (Приложения в физике, химии, биологии и медицине) "Synchro-2002" (Саратов, Россия, 2002); Всероссийской научной школе-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых-2002" (Саратов, Россия, 2002).

По теме диссертации имеется 13 публикаций (3 статьи в российских и зарубежных журналах, 1 статья в Интернете, 9 работ в сборниках и тезисах докладов).

В работу включены результаты, полученные в рамках проектов, выполнявшихся при поддержке РФФИ (№ 00-02-17509 и № 03-02-16074), ФЦП "Интеграция" (А0057), Американского фонда гражданских исследований и развития CRDF и Минобразования РФ (REC-006), Мини - гранта № 5 в рамках научно-образовательного центра нелинейной динамики и биофизики при Саратовском госуниверситете.

Результаты работы использованы в НИР, выполняемой по хоздоговору с ИПФ РАН в рамках госконтракта № 40.020.1.1.1168 Минпромнауки РФ.

Личный вклад. Модели для исследования сформулированы автором совместно с научным руководителем. Разработка методики решения задач, методов графического представления, составление компьютерных программ выполнены лично автором. Объяснение и интерпретация полученных результатов проведены совместно с научным руководителем.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Работа содержит 160 страниц текста, 46 рисунков, список литературы из 196 наименований на 18 страницах.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, положения, выносимые на защиту, научная новизна и научно-практическая значимость результатов.

В первой главе проведен обзор литературы, посвященной глобально связанным отображениям. Показано, что системы с глобальной связью встречаются и могут быть применимы в различных областях науки и техники, включая, физику, химию, биологию, социологию, экологию, экономику и т.д. Системы с глобальной связью могут быть легко реализованы в эксперименте.

Система глобально связанных отображений, впервые введенная Канеко10, имеет

вид:

нию, - параметр нелинейности, обозначает дискретное время, индекс перечисляет элементы системы, N — общее количество элементов, Е - параметр связи.

Для данной системы обсуждаются основные феномены, такие, как: кластеризация, то есть, формирование групп элементов системы, мгновенные состояние которых совпадают в любой момент времени; эффект среднего поля, состоящий в том, что на каждый элемент оказывается одинаковое воздействие со стороны всех остальных, следовательно, можно говорить, что система погружена в общее среднее поле. Обсуждаются следующие фазы, введенные в рассмотрение Канеко: когерентная (в системе реализуется однокластерное состояние), упорядоченная (состояние с малым числом кластеров), турбулентная (кластеризация практически отсутствует).

Обсуждается возможность описания двукластерных состояний системы глобально связанных отображений с помощью двух несимметрично связанных отображений вида

Во второй главе рассмотрена динамика двукластерных состояний системы с глобальной связью. В п.2.2. представлен аналитический обзор систем двух связанных отображений. На основе ренормгруппового (РГ) анализа было показано, для системы

0)

где - нелинейная функция, соответствующая логистическому отображе

7-1 = рШХа)-/<У.)).

(2)

К.Капеко. РЬувка й, 1990, Уо1.41, №2, р 137-172.

двух симметрично связанных отображений имеется два существенно различных вида связи, диссипативная и инерциальная"

В п 2 3 рассмотрена динамика двукластерных состояний системы с глобальной связью Ее можно описать системой двух несимметрично связанных отображений вида

K.i -fO,n) + et(l~P)(f(.Xll)-f(Yn))+E1(\-p)(Yll -Х„) (3)

где X и Y - это значения динамических переменных для двух кластеров, параметр £, отвечает диссипативной, £2 - инерционной связи, f(X) - нелинейная функция вида

- параметр нелинейности, р - относительное число заполнения, представляющее собой отношение количества элементов в одном из двух кластеров к общему числу элементов в системе с глобальной связью Для систем двух несимметрично связанных отображений с чисто инерционной и чисто диссипативной связью представлены карты динамических режимов, на которых оттенками серого цвета обозначены режимы различных периодов, а также другая разновидность карты, на которой оттенок серого цвета отвечает величине старшего ляпуновского показателя Карты представлены на различных проекциях пространства параметров Исследована динамика системы двух связанных отображений Так как для системы связанных отображений характерна мультистабильность, то карты динамических режимов можно представить в виде многолистных поверхностей При изменении управляющих параметров в случае диссипативной связи система демонстрирует каскад бифуркаций удвоений периода, завершающийся переходом к хаосу, а в случае инерцион-

" А П Кузнецов СП Кузнецов Изв ВУЗов - Радиофизика, 1991, т 34, №10-12, с 1079 1115

Рис 1 И|ц>острщт(же(Юбгош12фткд19шбл«скихр«ж<мов Гфн р—0 23 в случае чисто янсосшшной (а, в) и чисто жершюжой (б г) свази Цифр»« обозначен режмы различных период ов

ной - возникают структуры, получившие название12 "crossroad area" ("перекресток"), которые представляют собой определенным образом пересекающиеся листы, соответствующие различным начальным условиям (рис. 16).

Рассмотрены также критические явления на пороге хаоса в системе двух связанных отображений с двумя типами связи. На картах динамических режимов даны иллюстрации скейлинга с константами v0 = 5^=4.669201, vt=ctf =—2.5029... (для инерционной связи) и (для диссипативной связи), характерными для системы двух связанных логистических отображений. Соответствующие примеры приведены на рис.1 для случая чисто диссипативной (рис.1.а,в) и чисто инерционной (рис.1.б,г) связи. Видно, что при соответствующем пересчете параметров система демонстрирует подобную динамику

В третьей главе проведено обобщение результатов РГ анализа связанных отображений на системы с глобальной связью. Рассмотрены системы глобально связанных отображений с двумя типами связи вида

где /{,х) = \ — \хг - нелинейная функция, соответствующая логистическому отображению, i перечисляет элементы сети, п обозначает дискретное время, N - общее количество элементов в системе, - параметры диссипативной и инерционной связи, соответственно, Л. - параметр, отвечающий за нелинейность.

Показано, что в случае двух типов связи феномены кластеризации и возникновения различных фаз (когерентная, упорядоченная и турбулентная), установленные Ка-неко для систем с глобальной диссипативной связью, также имеют место. Проведено исследование и сравнительный анализ динамики систем с чисто диссипативной и чисто инерционной глобальной связью, построены фазовые диаграммы и диаграммы формирования кластеров. Как и в исследованном ранее более узком классе систем, существует два типа устойчивости кластеров. Первый - это устойчивость кластера как целого по отношению к внешнему возмущению. Второй - это устойчивость элементов кластера при малом возмущении, выводящем их из кластера. Таким образом, каждый кластер системы глобально связанных отображений с двумя типами связи имеет один ляпунов! K.Mira, J Carcasses. Int 1. of Bif. & Chaos, 1991, Vol.l, №3, p 641-655.

ский показатель Л = 11т— ^1п|/'(л, )|, отвечающий за эволюцию возмущения кластера, как целого и М - 1 , так называемых, трансверсальных показателей

Рис 2 Иллюстрации сксйлинга на фазовых диаграммах систем отображений с диссипативной (рис 2а, в) и инерционной (рнс 2.6,г) глобальной связью Буквами обозначены С - когерентная фаза, О - упорядоченная, Т -турбулентная

Построены карты ляпуновских показателей, обнаружены области, в которых возникают кластеры, являющиеся неустойчивыми по отношению к малому возмущению их элементов Исследована также динамика во времени системы с глобальной связью, построены карты динамических режимов и старших ляпуновских показателей Показано, что в области турбулентной фазы реализуется хаотическая динамика, а в случае когерентной и упорядоченной фазы система может демонстрировать как периодическую, так и хаотическую динамику в зависимости от значений управляющих параметров

Рассмотрены свойства универсальности и скейлинга с константами, характерными для систем двух связанных отображений Даны иллюстрации скейлинга на фазовых диаграммах и на диаграммах формирования кластеров для обоих типов связи Обнаружено, что при соответствующем пересчете параметров система с

глобальной связью демонстрирует подобную динамику. Соответствующие примеры приведены на рис 2 для случая диссипативной (рис.2 а,в) и инерционной (рис 2.б,г) глобальной связи

В четвертой главе рассмотрена модель нейросети в виде цепочки подсистем, каждая из которых содержит набор элементов с внутренней глобальной связью. Использовано предположение, что для любых двух соседних подсистем установлено попарное соответствие между элементами одной и другой подсистемы, и связь вводится между соотнесенными друг с другом элементами. Исследованы случаи однонаправленной связи, когда динамика последующих подсистем не влияет на динамику предыдущих, и взаимной связи между подсистемами, когда каждая подсистема оказывает влияние на соседние с ней подсистемы. С учетом сделанных предположений, уравнения для цепочки с однонаправленной связью формулируем следующим образом:

(5)

а для цепочки с взаимной связью - в виде

-С, (О = Я*.' (0) + ^ I (Я*/ (*)) - Д*/ («)))+<*) - Х1 (0)

где, есть нелинейная функция, отвечающая логистическому отображе-

нию, л - дискретное время, I - индекс элемента, } - индекс ячейки, N - число элементов в каждой ячейке, Е, и 52 - параметры глобальной связи, - параметр связи между элементами, относящимися к разным ячейкам.

Будем полагать, что элементы, относящиеся к каждой ячейке (слою), в количестве N = г2, где г - целое число, расположены в виде двумерной квадратной решетки пикселей размера гхг (г = 100, так что, в каждой ячейке 10000 элементов).

Значения динамической переменной, отвечающей каждому элементу, будем ассоциировать с цветом, приданным соответствующему пикселю. Пиксель обозначается белым, если значение динамической переменной соответствующего элемента и черным, если Х{(0>X9. Здесь ЛГ® =(ТГ+4Х-1)/2Х

отвечает неподвижной точке индивидуального одномерного логистического

(6)

отображения. В одной из ячеек начальные условия таковы, что записан образ - круг, а во всех остальных заданы случайными.

Обнаружен феномен распространения волны кластеризации, состоящий в том, что образ, записанный первоначально в одной ячейке, в ходе временной эволюции системы формируется и в связанных с ней ячейках. В случае однонаправленной связи распространение волны кластеризации сопровождается формированием образа, который не искажен, в случае взаимной - происходят искажения, но образ все же проявляется в различных ячейках.

В пятой главе рассмотрена система глобально связанных отображений под воздействием выделенного элемента - водителя ритма или пейсмекера. Вначале кратко представлена необходимая для дальнейшего информация о динамике двух логистических отображений с однонаправленной связью, рассмотрена бикритическая динамика13, отвечающая достижению порога хаоса одновременной при подстройке двух управляющих параметров, а затем развит ренормгупповой подход для анализа двух связанных систем, находящихся под общим воздействием со стороны водителя ритма. В результате обнаружено два типа взаимной связи систем, находящихся под воздействием со стороны водителя ритма, определены константы скейлинга. Систему двух связанных отображений с двумя типами связи под воздействием водителя ритма формулируем следующим образом:

У^^-ЧуЦ-ВхЦ +£|0'„ -ГЛ) + Е2Л(7Л2-^), (7)

где динамические переменные относятся, соответственно к ведущей и ведо-

мой системам, X - управляющий параметр ведущей, а А - ведомой системы, В - параметр однонаправленной связи, - параметры взаимной связи, инерционной и диссипативной, соответственно.

Проведено подробное исследование динамики системы двух отображений с двумя типами связи, как симметричных, так и несимметричных. Построены карты динамических режимов в различных сечениях пространства параметров, обнаружено, что диссипативная связь, отвечающая за взаимодействие невыделенных элементов, не оказывает большого влияния на динамику системы (7), в то время как инерционная связь

13 A.P.Kuznetsov, S.P.Kuznetsov, I.R.Sataev. Int J. of Bif. & Chaos, 1991, Vol.1, №4, p.839-848.; S.-Y.Kim. Physical Review E, 1999, Vol.59, №6, p 6585-6592.

существенно изменяет динамику системы Рассмотрены также критические явления на пороге хаоса в системе двух отображений с двумя типами связи под действием водителя ритма Приведены примеры скейлинга на картах динамических режимов в различных сечениях пространства параметров с константами пересчета

8^ = 2.392724.., 8; = —1.5053..., Ьр-2 причем начальные условия для динамических переменных получаются пересчетом на фактор а = -2 5029... для ведущей системы и на Ь = -1.5053... - для ведомой системы, характерными для системы двух связанных логистических отображений под действием водителя ритма

Проведено исследование динамики системы глобально связанных отображений под действием водителя ритма с двумя типами связи вида

Ли (0 = /('„У. О» + е.""' |>. 0)-У„ (0) + (8)

где /(х,у) = 1 — Ау2 — Вх2, а члены, пропорциональные и £2, отвечают за связь возбуждаемых элементов друг с другом.

Рис 3 Примеры скейлинга для системы глобально связанных отображений под действием водителя ритма для инерционной (рис За,в) и диссипативной связи (рис Зб,г) при начальном значении управляющего параметра ведущей системы Х»1.3.

Построены фазовые диаграммы, диаграммы устойчивости кластеров, карты ля-пуновских показателей. Обнаружено существование сложной структуры на фазовой диаграмме на плоскости (X, Е), появление кластеров, чувствительных к малым возмущениям элементов, принадлежащих данному кластеру. При этом область когерентной фазы увеличивается по сравнению с системами без выделенного элемента (рис.3), что ведет к упрощению исследования динамики данной системы.

Проведено исследование свойств универсальности и скейлинга, характерных для систем под действием водителя ритма. Соответствующие иллюстрации на фазовых диаграммах приведены на рис.3. Здесь буквами обозначены фазы: С - когерентная, О -упорядоченная, Т - турбулентная. При пересчете параметров общие черты в структуре устройства плоскости параметров (окна когерентности в турбулентной фазе, линии перехода от синхронизованных состояний к несинхронизованным) сохраняются, но более точное соответствие, очевидно, возможно только при рассмотрении более узкой окрестности критической точки.

Основные результаты и выводы

1. Исследована динамика системы двух отображений с двумя типами несимметричной связи, диссипативной и инерционной. Подробно рассмотрена динамика таких систем: построены карты динамических режимов на различных сечениях пространства параметров, карты старшего ляпуновского показателя. В случае диссипативной связи наблюдается каскад бифуркаций удвоений периода, завершающийся переходом к хаосу. В случае инерционной связи имеются структуры "crossroad area".

2. Выявлены свойства универсальности и скейлинга в случае несимметричной связи. Даны иллюстрации свойств скейлинга на различных сечениях пространства параметров. При пересчете параметров на плоскости параметров наблюдаются подобные структуры, как в случае диссипативной, так и в случае инерционной связи.

3. Рассмотрена динамика систем отображений с двумя типами глобальной связи. Феномены кластеризации и возникновения различных фаз (когерентная, упорядоченная, турбулентная) имеют место в системах с двумя типами глобальной связи. Построены фазовые диаграммы, карты ляпуновских показателей, карты динамических режимов, диаграммы формирования кластеров. Проведен сравнительный анализ динамики системы с различными типами глобальной связи. По-

казано, что в случае инерционной связи разнообразные нетривиальные динамические феномены реализуются и в области регулярного периодического поведения

4 Для динамики систем с глобальной связью в области перехода от порядка к хаосу характерно наличие закономерностей универсальности и скейлинга Приведены иллюстрации скейлинга на фазовых диаграммах и диаграммах формирования кластеров.

5. Показано, что в модели в виде цепочек, состоящих из подсистем, каждая из которых представляет собой систему глобально связанных отображений и демонстрирует сложную динамику, возможен феномен распространения волны кластеризации, состоящий в том, что образ, записанный первоначально в одной ячейке, в ходе временной эволюции системы формируется и в связанных с ней ячейках. Условием реализации этого феномена является такая структура связи между ячейками, когда связь осуществляется между индивидуальными элементами-партнерами в разных ячейках.

6. Рассмотрена динамика двух связанных отображений, находящихся под действием водителя ритма или пейсмекера, как в случае симметричной, так и несимметричной связи. С помощью метода РГ анализа обнаружено два существенно различных типа взаимной связи Построены карты динамических режимов в различных сечениях пространства параметров для систем двух отображений с двумя типами связи. Исследование карт динамических режимов выявило сложную структуру, а, следовательно, наличие сложной динамики в таких системах. Одним из таких феноменов является появление "вложенных островов", то есть в области пространства параметров, демонстрирующей, например, цикл периода 2, возникает область режима большего периода.

7. Исследована динамика глобально связанных отображений с двумя типами глобальной связи под действием водителя ритма. Построены фазовые диаграммы, карты динамических режимов, карты ляпуновских показателей. Наличие пейс-мекера в системе глобально связанных отображений приводит к возникновению сложной структуры на фазовой диаграмме на плоскости При этом присутствие водителя ритма приводит к увеличению области когерентной фазы (рис 3)

8. Исследованы свойства универсальности и скейлинга вблизи бикритической точки для систем глобально связанных отображений с двумя типами связи

в присутствии водителя ритма. Вблизи этой точки, отвечающей порогу хаоса одновременно в ведущей и ведомых системах, динамика характеризуется специфическими свойствами универсальности и скейлинга. Приведены иллюстрации скейлинга на картах динамических режимов для случая, когда в системе реализуется два кластера (как с равномерным распределением элементов по кластерам, так и с неравномерным), и ее динамика может быть описана с помощью системы двух связанных отображений, а также на фазовых диаграммах для случая глобально связанных отображений в присутствии пейсмекера.

9. Вследствие наличия в системе глобально связанных отображений свойств универсальности и скейлинга, возможна радиофизическая реализация нейроподоб-ных сетей. Как вытекает из результатов работы, в качестве индивидуального элемента такой сети можно брать любую систему, демонстрирующую удвоения периода, например, нелинейный колебательный контур с внешним периодическим воздействием14, радиотехнические генераторы (например, генератор с инерционной нелинейностью Анищенко-Астахова)15 и другие.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах

1. A.S.Ivanova, S.P.Kuznetsov. Scaling at the onset of chaos in a network of logistic maps with two types of global coupling. Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 5:2,2002, p.151-154.

2. А.С.Иванова, С.П.Кузнецов. О динамике на пороге возникновения хаоса в модельных системах, построенных на базе логистических отображений с инерционной и диссипативной глобальной связью. Известия вузов. - Прикладная нелинейная динамика, т. 10,2002, №6, с.42-53.

3. А.С. Иванова, С.П. Кузнецов. Волна кластеризации в цепочке систем, каждая из которых содержит набор элементов с внутренней глоба-ьной связью. Изв. вузов. - Прикладная нелинейная динамика, т.И, 2003, №4-5, с.80-88.

4. A.S. Ivanova, S.P. Kuznetsov. Scaling at the onset of chaos in a network of logistic maps with two types of global coupling. Preprint http://xxx.lanl.gov7abs/n1in.CD'0208Q26

5. A.S. Ivanova, S.P. Kuznetsov. Scaling and Universality in the Globally Coupled System. Progress in Nonlinear Science. International Conference dedicated to the 100-th

14 Астахов В В., Беэручко Б.П, Селезнев Е.П. Радиотехника и электроника. 1987. Т.32., №12. С.2558-2566.

15 Анищенко B.C., Астахов В.В. Радиотехника и электроника. 1983, Т.28, №6, с.1109-1115.

Anniversary of A.A.Andronov. Nizhny Novgorod, Russia, July 2-6, 2001. Abstracts. Univ. of Nizny Novgorod, 2001, p.241-242.

6. A.C. Иванова, СП. Кузнецов. Кластеризация и скейлинг в системе глобально связанных логистических отображений. Abstracts of the 6-th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation (CHAOS'01), изд. ГосУНЦ "Колледж", Саратов, 2001, с.70-71.

7. A. Ivanova. Synchronization and clusterization in a system of globally coupled logistic maps with linear and quadratic coupling. Conference Program and Books of Abstracts. The International Conference of Chaotic and Stochastic Oscillations SYN-CHR0-2002. Applications in Physics, Chemistry, Biology and Medicine. Saratov, Russia, September 22-28,2002, p.28.

8. A.C. Иванова. Скейлинг на пороге возникновения хаоса в модельных системах, построенных на базе логистических отображений с двумя типами глобальной связи. В сб.: Нелинейные дни в Саратове для молодых. Материалы научной школы-конференции. Саратов, Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2002, с. 130-133.

9. А.С. Иванова, И.Н. Капреев, Е.П. Селезнев "Бассейны притяжения в связанных системах с удвоением периода" в сборнике Нелинейные колебания механических систем: V Международная конференция: тезисы докладов, 1999, Нижний Новгород, с. 105.

10. А.С. Иванова. Бассейны притяжения связанных систем с удвоением периода. В сб.: Нелинейные дни в Саратове для молодых. Материалы научной школы-конференции. Саратов, Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1999, с.45-48.

11. А.С. Иванова. Влияние асимметрии на бассейны притяжения хаотических аттракторов связанных систем с удвоением периода В сб.: Нелинейные дни в Саратове для молодых. Материалы научной школы-конференции. Саратов, Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1998, с.23-26.

12. А.С. Иванова "Исследование влияния асимметрии на структуру бассейнов притяжения циклов в связанных системах с удвоением периода" в сборнике докладов студенческой научной конференции Колледжа прикладных наук СГУ, 1997, Саратов, с. 16-18.

Иванова Анна Сергеевна

СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА И ПЕРЕХОД К ХАОСУ В СИСТЕМАХ ОТОБРАЖЕНИЙ С РАЗЛИЧНЫМИ ТИПАМИ ГЛОБАЛЬНОЙ СВЯЗИ

Автореферат

Лицензия № 020773 от 15.05.98. Подписано к печати 25.05.2004. Формат 60 х 84 1/16. Бумага «Снегурочка». Гарнитура Times Усл. печ. л. 1,16 (1,25). Тираж 100 экз. Заказ 337.

Издательство ГосУНЦ «Колледж» 410012, Саратов, ул. Астраханская, 83.

»14254

Введение.

Глава 1. Системы с глобальной связью на основе элементов, демонстрирующих переход к хаосу через удвоения периода, как модель сложной динамики нелинейных систем (обзор).

Глава 2. Динамика системы двух связанных отображений с симметричной и несимметричной связью.

2.1. Введение.

2.2. Метод ренормгруппового анализа. Два типа связи.

2.3. Динамика двукластерных состояний. Два типа связи.

2.4. Универсальность и скейлинг в системе двух несимметрично связанных отображений.

2.5. Выводы.

Глава 3. Система отображений с двумя типами глобальной связи.

3.1. Введение.

3.2. Феномен кластеризации в системе отображений с двумя типами глобальной связи.

З.З., Фазы Канеко и динамика глобально связанных отображений.

3.4. Универсальность и скейлинг в системе глобально связанных отображений с двумя типами связи.

3.5. Выводы.

Глава 4. Волна кластеризации в цепочке систем, каждая из которых содержит набор элементов с внутренней глобальной связью.

4.1. Введение.

4.2. Модель в виде цепочки связанных ячеек с внутренней 77 глобальной связью.

4.3. Численные эксперименты и волна кластеризации.

4.4. Выводы.

Глава 5. Модели с глобальной связью при наличии водителя ритма или пейсмекера.

5.1. Введение.

5.2. Набор элементов, управляемых общим водителем ритма: два типа связи, свойства универсальности и скейлинга.

5.3. Динамика двукластерных отображений. Система двух отображений под действием водителя ритма с двумя типами симметричнои и несимметричнои связи.

5.4. Динамика глобально связанных отображений под воздействием выделенного элемента.

5.5. Универсальность и скейлинг систем отображений с глобальной связью под воздействием водителя ритма.

5.6. Выводы.

Актуальность задачи

Нелинейные распределенные системы, способные демонстрировать сложную динамику, в том числе турбулентность, или пространственно-временной хаос, встречаются в разных областях естествознания и техники, в том числе в радиофизике и электронике, гидродинамике, химической кинетике, а также в биологических и социальных дисциплинах [1-18].

Один из эффективных подходов к исследованию сложной динамики распределенных систем, традиционный для классической теории колебаний и волн и для более современных направлений (синергетика), состоит в конструировании моделей на основе связанных элементов. При этом каждый индивидуальный элемент сам по себе представляет собой нелинейную систему, описываемую отображением или дифференциальным уравнением, в которой реализуется тот или иной, обычно уже изученный, характерный тип динамического поведения [2-4, 20-22]. В частности, были предложены и исследованы модели в виде решеток на основе элементов, описываемых логистическим отображением и демонстрирующих переход к хаосу через удвоения периода [4, 23-25].

Оказалось, что модели такого рода позволяют исследовать и объяснить, по крайней мере, на качественном уровне, многие феномены, характерные для сложной динамики распределенных систем - образование структур типа доменов, возникновение ряда типов перемежаемости, переходы к турбулентности, связанные с движением доменных стенок и разрушением доменов и т.д [2-5]. Поскольку динамика индивидуальных элементов в области перехода к хаосу характеризуется универсальностью Фейгенбаума [26-27], в динамике связанных систем также проявляются определенные свойства универсальности и скейлинга (масштабного подобия) [25-34].

Интересное направление в рамках указанного подхода состоит в изучении сетей с глобальной связью, когда рассматривается набор большого числа элементов, в котором каждый элемент связан с каждым дру4 гим. Пионерская работа, в которой была введена в рассмотрение модель с глобальной связью на основе элементов, описываемых логистическим отображением, принадлежит японскому исследователю Канеко [35-38]. Ситуацию, когда каждый элемент одинаковым образом связан с каждым другим, можно трактовать как наличие общего среднего поля, действующего в каждый момент одинаковым образом на все элементы системы. Такого рода системы обнаруживают замечательный феномен кластеризации, когда элементы системы в процессе динамики самопроизвольно распределяются по группам (кластерам), так что в пределах каждой группы мгновенные состояния совпадают точно.

Считается, что такого рода модели имеют отношение к исследованию принципов обработки информации в естественных нейросистемах (мозг человека и животных) [6,39] и к проблеме воспроизведения этих принципов в технических системах [40-41].

Одно из преимуществ систем с глобальной связью - простота их реализации [42-60]. Например, в системах на основе радиотехнических осцилляторов глобальная связь без труда осуществляется, скажем, через общую цепь питания или путем помещения всех осцилляторов в общую электродинамическую систему (резонатор).

Представляется, что наиболее сложная и разнообразная динамика моделей с глобальной связью будет иметь место при задании параметров индивидуальных элементов в том интервале, где реализуется переход к хаосу. По-видимому, именно эта область должна рассматриваться как представляющая наибольший интерес с точки зрения приложений для обработки информации. С теоретической точки зрения, поведение систем с глобальной связью в области перехода к хаосу представляет фундаментальный интерес по той причине, что ему должны быть присущи закономерности универсальности и скейлинга, обусловленные наличием таковых у индивидуальных элементов, из которых строится система. В частности, выявление и исследование этих закономерностей позволяет на уровне количественного описания говорить о соответствии феноменов в моделях, построенных на основе логистических отображений, и в более реалистичных ситуациях, когда элементами служат физические системы, такие как возбуждаемые нелинейные осцилляторы или автоколебательные системы, указывает на возможность радиофизической реализации нейро-подобных сетей. В качестве индивидуального элемента такой сети можно брать любую систему, демонстрирующую удвоения периода, например, нелинейный колебательный контур с внешним периодическим воздействием [61-63], радиотехнические генераторы (например, генератор с инерционной нелинейностью Анищенко-Астахова [64]) и другие.

Цель работы состоит в анализе сложной динамики, исследовании свойств универсальности и скейлинга систем глобально связанных отображений с различными типами связи, а также более сложных комплексов, в качестве элементов которых используются системы глобально связанных отображений.

Научная новизна работы

• Проведен сравнительный анализ динамики систем отображений с глобальной диссипативной и глобальной инерционной связью. Исследован феномен кластеризации и устойчивость получившихся кластеров для систем с глобальной инерционной связью.

• Исследованы свойства универсальности и скейлинга как для систем отображений с глобальной связью, так и для частного случая, когда в системе реализуется два кластера, и ее можно описать как систему двух несимметрично связанных отображений.

• Рассмотрена модель в виде цепочки подсистем, каждая из которых представляет собой набор элементов с внутренней глобальной связью. Исследованы различные виды связи между ячейками. Обнаружен и исследован феномен распространения волны кластеризации.

• Методом ренормгруппового анализа обнаружены два существенно различных типа связи в системах двух связанных отображений под действием водителя ритма. Исследована динамика системы двух отображений под действием пейсмекера с двумя типами связи вблизи бикритической точки Подробно исследована динамика системы глобально связанных отображений под действием выделенного элемента - водителя ритма, или пейсмекера и проиллюстрированы свойства скейлинга, характерные для этого класса универсальности.

Достоверность научных выводов работы подтверждается согласованностью с результатами, известными из литературы для некоторых частных случаев (например, для глобальной диссипативной связи, для двукластерных состояний: в случае симметричной кластеризации совпадение как с численными, так и с экспериментальными результатами [63]); воспроизводимостью всех численных результатов, а также хорошим соответствием данных качественного анализа и численных расчетов.

Основные положения, выносимые на защиту

• При построении моделей систем с глобальной связью на основе элементов, демонстрирующих переход к хаосу через удвоения периода, необходимо учитывать два фундаментальных типа связи, инерционный и диссипативный. Для динамики систем с глобальной связью в области перехода от порядка к хаосу характерно наличие закономерностей универсальности и скейлинга.

• Феномены кластеризации и возникновения различных фаз (когерентная, упорядоченная, турбулентная), установленные Канеко для систем с глобальной диссипативной связью, имеют место также в системах с инерционной и комбинированной связью. Если для систем с диссипативной связью спонтанное формирование структур, отличных от однокластерного состояния, имеет место в области хаотического поведения индивидуальных элементов, то при инерционной связи эти феномены возможны в области регулярного периодического поведения.

• В цепочках ячеек, каждая из которых представляет собой набор элементов с глобальной связью, возможен феномен распространения волны кластеризации, состоящий в том, что образ, записанный первоначально в одной ячейке, в ходе временной эволюции системы формируется и в связанных с ней ячейках.

• В присутствии выделенного элемента - водителя ритма в связанных системах в общем случае также присутствуют два типа свя

1* зи, различающиеся своими свойствами по отношению к ренорм-преобразованию вблизи бикритической точки. Вблизи этой точки, отвечающей порогу хаоса одновременно в ведущей и ведомых системах, динамика характеризуется специфическими свойствами универсальности и скейлинга.

Научно-практическая значимость работы и рекомендации по использованию

• Рассмотренные системы глобально связанных отображений, ввиду их принадлежности к определенному классу универсальности могут быть использованы для изучения динамики реальных систем различной природы.

• Обнаруженные в работе феномены, такие как кластеризация в докритической области, распространение волны кластеризации, к

9 увеличение области однокластерного состояния в системах с глобальной связью под действием водителя ритма, представляют интерес в области обработки и передачи информации.

• Полученные результаты используются в учебном процессе в СГУ.

Апробация работы и публикации

Результаты работы были представлены на 5-ой Международной

Ц школе "Хаотические автоколебания и образование структур (Хаос-98)",

Саратов, Россия, 1998); Школе-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых-98" (Саратов, Россия, 1998); Школе-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых-99" (Саратов, Россия, 1999); Международной конференции "Progress in nonlinear science", (Нижний Новгород, Россия, 2001); 9-ой Международной школе-семинаре "Nonlinear dynamics and complex systems", (Минск, Беларусь, 2001); 6-ой Международной школе "Хаотические автоколебания и образование структур", (Саратов, Россия, 2001); Всероссийской научной школе-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (Саратове, Россия, 2001, 2002); Междунаfc родной конференции NATO ASI STA'2002 (Крым, Украина, 2002); Международной конференции по синхронизации хаотических и стохастических колебаний (Приложения в физике, химии, биологии и медицине) "Synchro-2002" (Саратове, Россия, 2002).

По теме диссертации имеется 13 публикаций (3 статьи в российских и зарубежных журналах, 1 статья в Интернете, 9 работ в сборниках и тезисах докладов). w В работу включены результаты, полученные в рамках проектов, выполнявшихся при поддержке РФФИ (№ 00-02-17509 и № 03-02-16074), ФЦП "Интеграция" (А0057), Американского фонда гражданских исследований и развития CRDF и Минобразования РФ (REC-006), Мини — гранта № 5 в рамках научно-образовательного центра нелинейной динамики и биофизики при Саратовском госуниверситете.

Результаты работы использованы в НИР, выполняемой по хоздоговору с

ИПФ РАН в рамках госконтракта № 40.020.1.1.1168 Минпромнауки РФ.

Личный вклад. Модели для исследования сформулированы автором совместно с научным руководителем. Разработка методики решения задач, методов графического представления, составление компьютерных программ выполнены лично автором. Объяснение и интерпретация полученных результатов проведены совместно с научным руководителем

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Диссертация содержит 160 страниц текста, 46 рисунков, список литературы из 196 наименований на 18 страницах.

5.6. Выводы

В данной главе рассматривалась динамика системы глобально связанных отображений под воздействием водителя ритма. Сначала была исследована динамика системы двух связанных отображений под действием выделенного элемента. В присутствии выделенного элемента — водителя ритма в связанных системах в общем случае также присутствуют два типа связи, различающиеся своими свойствами по отношению к ренормгруп-повому преобразованию вблизи бикритической точки.

Исследование карт динамических режимов при различных сечениях пространства параметров выявило сложную структуру, а, следовательно, наличие сложной динамики в таких системах. Одним из таких феноменов является появление так называемых "вложенных островов" большего периода, включая хаос в областях периодической динамики, что можно объяснить тем, что мы проводим двух параметрический анализ, имея больше двух параметров.

Рис.5.21. Примеры скейлинга для системы глобально связанных отображений под действием водителя ритма на фазовых диаграммах плоскости для инерционной (слева) и диссипативной связи (справа) при начальном значении управляющего параметра ведущей системы X = 1.3 .что соответствует циклу периода 4 логистического отображения.

Также обнаружено, что диссипативная связь, которая отвечает за взаимодействие невыделенных элементов, не оказывает большого влияния на динамику системы (5.11), что показано на рис.5.4. Изменение структуры карты динамических режимов, а, следовательно, и динамики происходит только на плоскости (А,, е), в тоже время инерционная связь существенно влияет на динамику системы двух связанных отображений под действием водителя ритма.

По аналогии с обычными системами, описанными в главах 2 и 3, для системы глобально связанных отображений под действием водителя ритма можно ввести два различных типа глобальной связи. Исследование двухкластерных состояний, показало, что несимметричность кластеров сильно влияет на динамику системы. Так, введение асимметрии в систему двух связанных отображений приводит к увеличению областей хаоса и расходимости, появлению довольно сложных структур на картах динамических режимов (рис.5.11 и 5.12).

Наличие выделенного элемента в системе глобально связанных отображений приводит к возникновению сложной структуры на фазовой диаграмме на плоскости (А,, е) появлению кластеров, чувствительных к малым возмущениям элементов кластера (то есть, малое возмущение элементов может привести к распаду кластера).

При этом наличие выделенного элемента приводит к увеличению области когерентной фазы (рис.5.13 и 5.14), что ведет к упрощению данной системы и, несомненно, полезно с точки зрения приложения этой модели к реальным системам.

Исследованы свойства универсальности и скейлинга вблизи бикри-тической точки (АС,ВС). Вблизи этой точки, отвечающей порогу хаоса одновременно в ведущей и ведомых системах, динамика характеризуется специфическими свойствами универсальности и скейлинга, впервые выявленными в данной работе. Свойство скейлинга служит полезным инструментом классификации и выявления закономерностей сосуществования различных динамических режимов, а свойство универсальности означает возможность реализации одних и тех же динамических феноменов не только на базе логистических отображений, но и на основе нелинейных диссипативных систем иной природы.

Заключение

В данной работе было проведено исследование динамики систем глобально связанных отображений с двумя типами связи, модели в виде цепочек, состоящих из подсистем, каждая из которых представляет собой систему глобально связанных отображений и демонстрирует сложную динамику, системы глобально связанных отображений под воздействием водителя ритма.

Во второй главе были исследованы системы двух несимметрично связанных отображений с двумя типами связи, диссипативной и инерционной [29-30], то есть, рассмотрена динамика двукластерных состояний системы с двумя типами связи. Показано:

1. Для случая чисто диссипативной связи в системе наблюдается каскад бифуркаций удвоений периода, завершающийся переходом к хаосу при Х>ХС =1.401155. Появление хаотической динамики в докритической области возможно только при 8«0.5, когда уже можно говорить о сильной связи (в то время как метод РГ анализа работает только для слабо связанных систем).

2. Для случая чисто инерционной связи наблюдаются структуры "crossroad area" на плоскости параметров, что говорит о возможности наличия критических точек коразмерности два. Следовательно, инерционная связь приводит к более сложной динамике, чем дисси-пативная. Наличие различных чисел заполнения кластеров оказывает влияние, в основном, на область больших значений параметра связи 8 (рис.2.6), возможно появление хаотической динамики в докритической области (при Х<ХС).

3. Для связанных отображений, демонстрирующих переход к хаосу через удвоения периода, характерна мультистабильность, механизм которой определяется возможностью относительного сдвига по фазе колебаний связанных элементов. Наличие мультистабильности создает основу для использования таких систем в информационных приложениях.

4. Были определены константы универсальности для систем двух несимметрично связанных отображений и приведены примеры скей-линга на различных сечениях пространства параметров. Пересчет параметров приводит к возникновению подобных структур, как в случае диссипативной, так и в случае инерционной связи.

5. С точки зрения теории глобально связанных отображений, наличие свойств универсальности и скейлинга в случае двукластерных состояний позволяет предположить наличие этих же свойств и в случае состояний с большим числом кластеров.

В третьей главе было проведено исследование динамики систем с глобальной связью. Обнаружено:

1. При построении моделей систем с глобальной связью на основе элементов, демонстрирующих переход к хаосу через удвоения периода, необходимо учитывать те же два фундаментальных типа связи, что и для систем двух связанных отображений: инерционный и диссипативный.

2. Феномены кластеризации и возникновения различных фаз (когерентная, упорядоченная, турбулентная), установленные Канеко для систем с глобальной диссипативной связью, имеют место также в системах с инерционной и комбинированной связью. Если для систем с диссипативной связью разнообразные нетривиальные динамические феномены реализуются главным образом в области хаотического поведения индивидуальных элементов, то при инерционной связи это имеет место и в области регулярного периодического поведения.

3. Для динамики систем с глобальной связью в области перехода от порядка к хаосу характерно наличие закономерностей универсальности и скейлинга. Были определены константы для пересчета параметров и приведены примеры скейлинга на фазовых диаграммах и диаграммах формирования кластеров.

В четвертой главе рассмотрены модели в виде цепочек, состоящих из подсистем, каждая из которых представляет собой систему глобально связанных отображений и демонстрирует сложную динамику. Показано:

1. В таких цепочках возможен феномен распространения волны кластеризации, состоящий в том, что образ, записанный первоначально в одной ячейке, в ходе временной эволюции системы формируется и в связанных с ней ячейках. Условием реализации этого феномена является такая структура связи между ячейками, когда связь осуществляется между индивидуальными элементами-партнерами в разных ячейках. Можно ожидать, что обнаруженный феномен окажется полезным для систем, предназначенных для обработки информации, и описания феноменологии сложных моделей нейросетей, исследуемых в контексте проблемы искусственного интеллекта.

В пятой главе рассматривалась динамика системы глобально связанных отображений под воздействием водителя ритма.

1. В присутствии выделенного элемента - водителя ритма в связанных системах в общем случае также присутствуют два типа связи, различающиеся своими свойствами по отношению к ренормгрупповому преобразованию вблизи бикритической точки.

2. Исследование карт динамических режимов при различных сечениях пространства параметров выявило сложную структуру, а, следовательно, наличие сложной динамики в таких системах. Одним из таких феноменов является появление так называемых "вложенных островов" большего периода, включая хаос в областях периодической динамики, что можно объяснить тем, что мы проводим двух параметрический анализ, имея больше двух параметров.

3. Также обнаружено, что диссипативная связь, которая отвечает за взаимодействие невыделенных элементов, не оказывает большого влияния на динамику системы двух связанных отображений под действием водителя ритма, что показано на рис.5.4. Изменение структуры карты динамических режимов, а, следовательно, и динамики происходит только при больших положительных значениях параметра связи, в тоже время инерционная связь существенно влияет на динамику системы двух связанных отображений под действием водителя ритма.

4. По аналогии с обычными системами, описанными в главах 2 и 3, для системы глобально связанных отображений под действием водителя ритма можно ввести два различных типа глобальной связи. Исследование двухкластерных состояний, показало, что несимметричность кластеров сильно влияет на динамику системы. Так, введение асимметрии в систему двух связанных отображений приводит к увеличению областей хаоса и расходимости, появлению довольно сложных структур на картах динамических режимов.

5. Наличие выделенного элемента в системе глобально связанных отображений приводит к возникновению сложной структуры на фазовой диаграмме на плоскости (X, е) появлению кластеров, чувствительных к малым возмущениям элементов кластера (то есть, малое возмущение элементов может привести к распаду кластера).

6. При этом наличие выделенного элемента приводит к увеличению области когерентной фазы (рис.5.13 и 5.14), что ведет к упрощению данной системы и, несомненно, полезно с точки зрения приложения этой модели к реальным системам.

7. Исследованы свойства универсальности и скейлинга вблизи бикритической точки (АСУВС). Вблизи этой точки, отвечающей порогу хаоса одновременно в ведущей и ведомых системах, динамика характеризуется специфическими свойствами универсальности и скейлинга, впервые выявленными в данной работе.

Свойство скейлинга служит полезным инструментом классификации и выявления закономерностей сосуществования различных динамических режимов, а свойство универсальности означает возможность реализации одних и тех же динамических феноменов не только на базе логистических отображений, но и на основе нелинейных диссипативных систем иной природы.

Таким образом, вследствие наличия в системе глобально связанных отображений свойств универсальности и скейлинга, возможна радиофизическая реализация нейроподобных сетей. Как вытекает из результатов работы, в качестве индивидуального элемента такой сети можно брать любую систему, демонстрирующую удвоения периода, например, нелинейный колебательный контур с внешним периодическим воздействием [61-63], радиотехнические генераторы (например, генератор с инерционной нелинейностью Анищенко-Астахова [64]) и другие.

1. R.Albert, A-L.Barabasi. Statistical mechanics of complex network. Review of Modern Physics, 2002, Vol.74, №1, p.47-97.

2. Д.И.Трубецков. Колебания и волны для гуманитариев. Саратов, Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 1997, 393 стр.

3. В.С.Анищенко, В.В.Астахов, Т.Е.Вадивасова, А.Б.Нейман, Г.И.Стрелкова, Л.Шиманский-Гайер. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, 544 стр.

4. K.Kaneko. Theory and applications of coupled map lattices. John Wiley & Sons Ltd, 1993,200р.

5. В.С.Афраймович, В.И.Некоркин, Г.В.Осипов, В.Д.Шалфеев. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации. ИПФ АН СССР, Горький, 1989, 256 с.

6. K.Kaneko. Relevance of dynamic clustering to biological networks. Physica D, 1994, Vol.75, p.55-73.

7. X.Gong, H.Chen, F.Li. Controlling and synchronization of spatio-temporal patterns of globally coupled chaotic map. Physical Letters A, 1998, Vol.237, p. 217-224.

8. H. Nozawa. A neural network model as a globally coupled map and applications based on chaos. Chaos, 1992, Vol.2, №3, p.377-386.

9. N.Oketani, T.Ushio Chaotic synchronization of globally coupled maps with an application in communication. International. Journal of Bifurcation & Chaos, 1996, Vol.6, №11, p.2145-2152.

10. D.H.Zanette. Globally coupled bistable elements as a model of group decision making. Preprint, http://xxx.lanl.gov/abs/adap-org/9905006.

11. Y.-C.Lai, C.Grebogi. Modeling of coupled chaotic oscillators. Physical Review Letters, 1999, Vol.82, №24, p.4803-4806.

12. K.Miyakawa, K.Yamada. Synchronization and clustering in globally coupled salt-water oscillators. Physica D, 2001, Vol.151, p.217-227.

13. I.Z.Kiss, W.Wang, J.L.Hudson. Population of coupled electrochemical oscillators. Chaos, 2002, Vol.12, №1, p.252-263.

14. V.K.Vanag, L.Yang, M.Dolnik, A.Zhabotinsky, I.R.Epstein. Oscillatory cluster patterns in a homogeneous chemical system with global feedback. Nature, 2000, Vol.406, p.389-391.

15. I.Tsuda. Toward an interpretation of dynamic neural activity in terms of chaotic dynamical systems. Behavioral and Brain Sciences, 2001, Vol.24, p.793-847.

16. Г.Шустер. Детерминированный хаос. M., Мир. 1988.

17. С.П.Кузнецов. Динамический хаос. (Серия "Современная теория колебаний и волн"). Изд-во Физико-математической литературы, Москва, 2001.

18. P.Cvitanovic ed. Universality in Chaos. Adam Hilger, 2nd Edition, 1989.

19. В.С.Анищенко, И.С.Арансон, Д.Э.Постнов, М.И.Рабинович. Пространственная синхронизация и бифуркации развития хаоса в цепочке связанных генераторов. ДАН СССР, 1986, Т.286, В.5, с. 1120-1124.

20. V.V.Astakhov, V.S.Anishchenko, A.V.Shabunin. Controlling spatiotemporal chaos in a chain of the coupled logistic maps. IEEE Trans, on Circuits and Systems I, vol. 42, no. 6, 1995, p. 352-357.

21. А.П.Кузнецов, С.П.Кузнецов. Критическая динамика решеток связанных отображений у порога хаоса (обзор). Известия вузов Радиофизика, 1991, т.34, №10-12, с. 1079-1115.

22. М.Ж.Фейгенбаум. Универсальность в поведении нелинейных систем. Успехи физических наук, 1983, Т. 141, №2, с.343-374.

23. М.J.Feigenbaum. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. Journal of Statistical Physics, 1978, Vol.19, №1„ p.25-52.

24. С.П.Кузнецов. Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейгенбаума. Известия вузов Радиофизика, 1985, т.28, №8, с.991-1007.

25. S.P.Kuznetsov. Renormalization group, universality and scaling in dynamics of coupled map lattices. Theory and applications of coupled map lattices, ed. by K. Kaneko, John Wiley & Sons Ltd, 1993, p.50-93.

26. S.P.Kuznetsov. Universality and scaling in two-dimensional coupled map lattices. Chaos, Solitons & Fractals, 1992, Vol.2, №3, p.281-301.

27. H.Kook, F.H.Ling, G.Schmidt. Universal behavior of coupled nonlinear systems. Physical .Review A, 1991, Vol.43, №6, p.2700-2708.

28. S.-Y.Kim, H.Kook. Renormalization analysis of two coupled maps. Physics Letters A, 1993, Vol.178, p.258-264.

29. S.-Y.Kim, H.Kook. Period doubling in coupled maps. Physical Review E, 1993, Vol.48, №2, p.785-799.

30. Б.П.Безручко, М.Д.Прохоров, Е.П.Селезнев. Виды колебаний, мульти-стабильность и бассейны притяжения аттракторов симметрично связанных систем с удвоением периода, Изв. ВУЗов Прикладная нелинейная динамика, 2002, т. 10, N. 4, С. 47-68.

31. K.Kaneko. Clustering, coding, switching, hierarchical ordering, and control in network of chaotic elements. Physica D, 1990, Vol.41, №2, p. 137-172.

32. N.B.Ouchi, K.Kaneko. Coupled maps with local and global interactions. Chaos, 2000, Vol.10, №2, p.359-365.

33. K.Kaneko. Globally coupled circle maps. Physica D, 1991, Vol.54, p.5-19.

34. K.Kaneko. Chaotic but posi-nega switch among coded attractors by cluster-size variation. Physical Review Letters, 1989, Vol.63, №3, p.219-223.

35. А.Б.Коган. От нейрофизиологии к нейрокибернетике. М.: Наука, 1975. 150 с.

36. Ф.Уоссермен. Нейрокомпьютерная техника. М.: Мир, 1992.

37. J.J.Hopfield. Neural Networks and Physical Systems with Emergent Collective Computational Abilities, in Proc. National Academy of Sciences, USA 79, 1982, p. 2554-2558.

38. D.Domingues, H.A.Cerdeira. Turbulence, chaos, and noise in globally coupled Josephson-junction arrays. Physical Letters A, 1995, Vol.200, № 1, p.43-50.

39. W.Wang, I.Z.Kiss, J.L.Hudson. Clustering of arrays of chemical oscillators. Physical Review Letters, 2001, Vol.86, №21, p.4954-4957.

40. I.Kiss, Y.Zhai, J.L.Hudson. Emerging coherence in a population of chemical oscillators. Science, 2002, Vol.296, p. 1676-1678.

41. I.Kiss, Y.Zhai, J.L.Hudson. Collective dynamics of chaotic chemical oscillators and the law of large numbers. Physical Review Letters, 2002, Vol.88, №23,238101.

42. C.Zhou, J.Kurths, I.Kiss, J.L.Hudson. Noise-Enhanced phase syncronization of chaotic oscillators. Physical Review Letters, 2002, Vol.89, №1,014101.

43. K.Wiesenfeld. Amplification by globally coupled arrays: Coherence and symmetry. Physical Review A, 1991, Vol.44, №6, p.3543-3551.

44. L.Fabiny, K.Wiesenfeld. Clustering behavior of oscillator arrays. Physical Review A, 1991, Vol.43, №6, p.2640-2648.

45. S.Nicols, K.Wiesenfeld. Mutually destructive fluctuations in globally coupled arrays. Physical Review E, 1994, Vol.49, №3, p. 1865-1868.

46. S.Yu.Kourtchatov, V.V.Likhanskii, A.P.Napartovich. Theory of phase locking of globally coupled laser arrays. Physical Review A, 1995, Vol.52, №5, p.4089-4094.

47. L.Cisneros, J.Jiménez, A.Parravano, G.Cosenza. Information transfer and nontrivial collective behavior in chaotic coupled map networks. Physical Review E, 2002, Vol.65, 045204(R).

48. S.H.Strogatz, R.E.Mirrolo. Splay states in globally coupled Josephson arrays: analytical prediction of Floquet multipliers. Physical Review E, 1993, Vol.47, №l,p.220-227.

49. M.Bertram, A.S.Mikhailov. Pattern formation in a surface chemical reaction with global delayed feedback. Physical Review E, 2001, Vol.63, №6, 066102.

50. H.Shirahama, K.Fukushima, K.Kojio et al. Cooperative phenomena observed in a globally coupled phase-locked loop system. IEEE Trans. Cir-quits-147, 2000, №8, p. 1265-1271.

51. H.Hempel, I.Schebesch, L.Schimansky-Geier. Travelling pulses in reaction-diffusion systems under global constraints. European Physical Journal B, 1998, Vol.2, p.399-407.

52. H.Ito, Y.Ueda. Chaotic multidomain oscillations in a spatially-extended semiconductor device. IEICE Trans. Fundamentals, 2001, Vol.E84-A, №11, p.2908-2914.

53. S.Bornholdt. Expectation bubbles in a spin model of markets: intermittency from frustration across scales. International Journal of Modern Physics C, 2001, Vol. 12, №.5, p.667-674.

54. F.Xie, H.A.Cerdeira. Clustering bifurcation and spatiotemporal intermittency in RF-driven Josephson junction series arrays. International Journal of Bifurcation and Chaos, 1998, Vol.8, №8, p. 1713-1718.

55. В.В.Астахов, Б.П.Безручко, В.И.Пономаренко. Исследование динамики цепочек диссипативно связанных осцилляторов. Тезисы докладов II Всесоюзной конференции Нелинейные колебания механических систем. Горький. 1990. - Часть 1. - С. 143.

56. В.В.Астахов, Б.П.Безручко, Е.П.Селезнев. Исследование динамики нелинейного колебательного контура при гармоническом воздействии. Радиотехника и электроника. 1987. Т.32., №12. С.2558-2566.

57. В.В.Астахов, Б.П.Безручко, В.И.Пономаренко, Е.П.Селезнев. Мульти-стабильность в системе радиотехнических осцилляторов с емкостной связью. Радиотехника и электроника. 1991. Т.36, №11. С.2167-2171.

58. В.С.Анищенко, В.В.Астахов. Экспериментальное исследование механизма возникновения и структуры странного аттрактора в генераторе с инерционной нелинейностью. Радиотехника и электроника. 1983, Т.28, №6, с.1109-1115.

59. S.-Y.Kim. Intermittency in coupled maps. Physical Review E, Vol.59, №3, p.2887-2901.

60. С.П.Кузнецов. Динамика двух однонаправленно-связанных систем Фейгенбаума у порога гиперхаоса. Ренормгрупповой анализ. Изв.вузов — Радиофизика, т.ЗЗ, №7, 1990, 788-792.

61. A.P.Kuznetsov, S.P.Kuznetsov, I.R.Sataev. Bicritical dynamics of period-doubling systems with unidirectional coupling. International Journal of Bifurcation and Chaos, 1991, Vol.1, №4, p.839-848.

62. S.-Y.Kim. Bicritical behavior of period doublings in unidirectionally coupled maps. Physical Review E, 1999, Vol.59, №6, p.6585-6592.

63. S.-Y.Kim, W.Lim. Bicritical scaling behavior in unidirectionally coupled oscillators. Physical Review E, Vol.63, №3, 036223.

64. Б.П.Безручко, О.Б.Пудовочкин. Нелинейные колебания у порога хаоса в системе однонаправленно связанных нелинейных осцилляторов. Известия вузов, Радиофизика. 1992. Т.35, №1. С.39-43.

65. Б.П,Безручко, Ю.В.Гуляев Ю.В, С.П.Кузнецов, Е.П.Селезнев. Новый тип критического поведения связанных систем. // ДАН СССР. 1986. Т.287, вып.З. С.619 622.

66. M.G.Cosenza, K.Tucci. Transition to turbulence in coupled maps on hierarchical lattices. Chaos, Solitons & Fractals, 2000, Vol.11, p.2039-2044.

67. N.J.Balmforth, A.Provenzale, R.Sassi. A hierarchy of coupled maps. Chaos, 2002, Vol.12, №3,p.719-731.

68. S.Sinha, G.Pérez, H.A.Cerdeira. Hierarchical globally coupled systems. Physical Review E, 1998, Vol.57, №5, p.5217-5229.

69. G.Pérez. Instabilities and nonstatistical behavior in globally coupled system. Physical Review A, 1992, Vol.46, №12, p.7492-7497.

70. J.Delgado, R.V.Solé. Collective-induced computation. Physical Review E., 1997, Vol.55, №3, p.2338-2344.

71. S.Morita. Lyapunov analysis of collective behavior in a network of chaotic elements. Physical Letters A, 1997, Vol.226, p. 172-178.

72. A.Hamm. Large deviations from the thermodynamic limit in globally coupled maps. Physica D, 2000, Vol.142, p.41-69.

73. T.Shibata, K.Kikuchi. Periodicity manifestations in the turbulent regime of the globally coupled map lattice. Physical Review E, 2000, Vol.62, №3, p.3489-3503.

74. E.Moro, A.Sánchez. Noise effect on synchronized globally coupled oscillators. Europhysics Letters, 1998, Vol.44, №4, p.409-415.

75. A.M.Batista, R.L.Viana. Lyapunov exponents of a lattice of chaotic maps with a power-low coupling. Phycisc Letters A, 2001, Vol.286, p. 134-140.

76. A.Pikovsky, O.Popovich, Yu.Maistrenko. Resolving clusters in chaotic ensembles of globally coupled identical oscillators. Physical Review Letters, 2001, Vol.87, №4, 044102.

77. Y.Jiang, A.Antillón, J.Escalona. Globally coupled maps with sequential updating. Physics Letters A, 1999, Vol.262, p.403-408.

78. A.L.Gelover-Santiago, R.Lima, G.Martinez-Mekler. Synchronization in globally coupled maps. International Journal of bifurcation & Chaos, 2000, Vol.10, №2, p.453-460.

79. S.C.Manrubia, A.S.Michailov. Very long transients in globally coupled maps. Europhysics Letters, 2000, Vol.50, №5, p.580-586.

80. P.Arena, R.Caponetto, L.Fortuna, A.Rizzo, M.La Rosa. Self-organization in nonrecurrent complex systems. International Journal Of Bifurcation & Chaos, 2000, Vol.10, №5, p.l 115-1125.

81. K.Kaneko. Globally coupled chaos violates the law of large numbers but not the central-limit theorem. Physical Review Letters, 1990, Vol.65, №12, p.1391-1394.

82. S.C.Manrubia, A.S.Mikhailov. Globally coupled logistic maps as dynamical classes. Europhysics Letters, 2001, Vol.53, №4, p.451-457.

83. P.Ostborn. Phase transition to frequency entrainment in a long chain of pulse-coupled oscillators. Physical Review E, 2002, Vol.66, 016105.

84. S.Uchiyama, H.Fujisaka. Globally and randomly coupled Ginzburg-Landau maps. Physical Review E, 1997, Vol.56, №1, p.99-111.

85. D.H.Zanette, A.S.Mikhailov. Complex behavior of globally coupled Hamil-tonian elements. Physics Letters A, 1997, Vol.235, p.135-138.

86. A.R.Bulsara, G.Schmera. Stochastic resonance in globally coupled nonlinear oscillators. Physical Review E, 1993, Vol.47, №5, p.3734-3737.

87. J.A.Acebron, R.Spigler. Uncertainty in phase-frequency synchronization of large populations of globally coupled nonlinear oscillators. Physica D, 2000, Vol.141, p.65-79.

88. Y.Jiang. Globally coupled maps with time delay interactions. Physics Letters A, 2000, Vol.267, p.342-349.

89. M.-L.Chabanol, V.Hakim, W-J.Rappel. Collective chaos and noise in the globally coupled complex Ginzburg-Landau equation. Physica D, 1997, Vol.103, p.273-293.

90. M.Cencini, M.Falconi, D.Vergni, A.Vulpiani. Macroscopic chaos in globally coupled maps. Physica D, 1999, Vol.130, p.58-72.

91. G.Cosenza, A.Parravano. Turbulence in globally coupled maps. Physical Review E, 1996, Vol.53, №6, p.6032-6037.

92. M.G.Gosenza, A.Paravanno. Dynamics of coupling functions in globally coupled maps: Size, periodicity, and stability of clusters. Physical Review E, Vol.64, №3, 036224.

93. Y.Jiang. Globally coupled maps with time delay interactions. Physics Letters A, 2000, Vol.267, p.342-349.

94. S.Ishii, M.Sato. Associative memory based on parametrically coupled chaotic elements. Physica D, 1998, Vol.121, p.344-366.

95. K.Kaneko. Information cascade with marginal stability in a network of chaotic elements. Physica D, 1994, Vol.77, p.456-472.

96. J.Ito, K.Kaneko. Spontaneous structure formation in a network of chaotic units with variable connection strengths. Physical Review Letters, 2002, Vol.88, №2, 028701.

97. S.Kim, S.H.Park, C.S.Ryu. Nonequilibrium phenomena in globally coupled active rotators with multiplicative and additive noises. ETRI Journal, 1996, Vol.18, №3,p.l47-160.

98. W.-X.Qin. Symbolic dynamics, synchronization and homoclinic bifurcations in a class of globally coupled maps. Chaos, Solitons & Fractals, 2002, Vol.13, p.43-54.

99. J.Delgado, R.V.Sole. Characterizing turbulence in globally coupled maps with stochastic finite automata. Physics Letters A, 2000, Vol.314, p.314-319.

100. Q.Zhilin, H.Gang, M.Benkun, T.Gang. Spatiotemporally periodic patterns in symmetrically coupled map lattices. Physical Review E, 1994, Vol.50, №l,p.l63-170.

101. N.Nakagawa, T.S.Komatsu. Confined chaotic behavior in collective motion for populations of globally coupled chaotic elements. Physical Review E, 1999, Vol.59, №2, p. 1675-1682.

102. S.Ishii, K.Fukumizu, S.Watanabe. A network of chaotic elements for information processing. Neural Networks, 1996, Vol.9, №1, p.25-40.

103. S.Sinha, D.Biswas, M.Azam, V.Lawande. Local-to-global coupling in chaotic maps. Physical Review A, 1992, Vol.46, №10, p.6242-6246.

104. A.Parravano, M.G.Cosenza. Driven maps and the emergence of ordered collective behavior in globally coupled maps. Physical Review E, 1998, Vol.52, №2, p.1665-1671.

105. T.Shibata, K.Kaneko. Tongue-like bifurcation structures of mean-field dynamics in a network of chaotic elements. Physica D, Vol.124, p. 177-200.

106. S.Sinha. Implications of varying communication speeds in "globally" coupled maps. Physical Review E, 1998, Vol.57, №4, p.4041-4045.

107. B.Christiansen, M.T.Levinsen. Collective phenomena in large populations of globally coupled relaxation oscillators. Physical Review E, 1993, Vol.48, №2, p.743-756.

108. D.Zanette, A.S.Mikhailov. Condensation in globally coupled populations of chaotic dynamical systems. Physical Review E, 1998, Vol.57, №1, p.276-281.

109. I.M.Janosi, J.A.C.Gallas. Globally coupled multiattractor maps: Mean field dynamics controlled by number of elements. Physical Review E, 1999, Vol.59, №l,p.28-31.

110. W.Just. On the collective motion in globally coupled chaotic systems. Physics Reports, 1997, Vol.290, p. 101-1 10.

111. B.Gazelles, B.Boudjema, N.P.Chau. Resynchronization of globally coupled chaotic oscillators using adaptive control. Physics Letters A, 1996, Vol.210, p.95-100.

112. S.V.Ershov, A.B.Potapov. On mean field fluctuations in globally coupled maps. Physica D, 1995, Vol.86, p.523-558.

113. W.Just. Globally coupled maps: Phase transitions and synchronization. Physica D, 1995, Vol.81, p.317-340.

114. D.Maza, S.Bocaletti, H.Mancini. Phase clustering and collective behaviors in globally coupled map lattices due to mean field effects. International JourAal of Bifurcation and Chaos, 2000, Vol.10, № 4, p.829-833.

115. A.Parravano, M.G.Cosenza. Cluster dynamics in systems with constant mean field coupling. International Journal of Bifurcation and Chaos, 1999, Vol.9, № 12, p.2311 -2314.

116. M.Banaji, P.Glendinning. Towards a quasi-periodic mean field theory for globally coupled oscillators. Physics Letters A, 1999, Vol.251, p.297-302.

117. K.Kaneko. Remarks on the mean field dynamics of chaotic elements. Physica D, 1995, Vol.86, p.158-170.

118. K.Kaneko. Mean fields fluctuation of a network of chaotic elements. Remaining fluctuation and correlation in large size limit. Physica D, 1992, Vol.55, p.368-384.

119. T.Shibata, K.Kaneko. Heterogeneity-induced order in globally coupled chaotic systems. Europhysics Letters, 1997, Vol.36, №6, p.417-422.

120. T.Shibata, K.Kaneko. Collective chaos. Physical Review Letters, 1998, Vol.81, №19, p.4116-4119.

121. D.H.Zanette. Propagating structures in globally coupled systems with time delays. Physical Review E, 2000, Vol.62, №3, p. 3167-3172.

122. V.Ahlers, R.Zillmer, A.Pikovsky. Lyapunov exponents in disordered chaotic systems: Avoided crossing and level statistics. Physical Review E, Vol.63, №3,036213.

123. A.Crisanti, M.Falcioni, A.Vulpiani. Broken ergodicity and glassy behavior in a deterministic chaotic map. Physical Review Letters, 1996, Vol.76, №4, p.612-615.

124. N.Nakagawa, Y.Kuramoto. Anomalious Lyapunov spectrum in globally coupled oscillators. Physica D, 1995, Vol.80, p.307-316.

125. S.Morita. Bifurcations in globally coupled chaotic maps. Physics Letters, 1996, Vol.21 l,p.258-264.

126. T.Chawanya, S.Morita. On the bifurcation structure of the mean-field fluctuation in the globally coupled tent map systems. Physica D, 1998, Vol.116, p.44-70.

127. S.Morita. Scaling law of the Lyapunov spectra in globally coupled tent maps. Physical Review E, 1998, Vol.58, №4, p.4401-4412.

128. D.Colomb, D.Hansel, B.Shraiman, H.Sompolinsky. Clustering in globally phase oscillators. Physical Review A, 1992, Vol.45, №6, p.3516-3530.

129. A.A.Minai, T.Anand. Synchronizing multiple chaotic maps with a randomized scalar coupling. Physica D, 1999, Vol.125, p.241-259.

130. S.C.Manrubia, U.Bastolla, A.S.Mikhailov. Replica-symmetry breaking in dynamical glasses. European Physical Journal B, 2001, Vol.23, p.497-508.

131. E.Ott, P.So, E.Barreto, T.Antonsen. Synchrony of globally coupled chaotic, periodic, and mixed ensembles of dynamical units. Synchronization: Theory and Applications. Ed. by A.Pikovsky and Yu.Maistrenko. Kluwer Academic Publishers, 2003.

132. A.Lemaitre, H.Chate. Phase ordering and onset of collective behavior of chaotic coupled map lattices. Physical Review Letters, 1999, Vol.82, №6, p.l 140-1143.

133. F.Xie, G.Hu. Clustering dynamics in globally coupled map lattices. Physical Review E, 1997, Vol.56, №2, p. 1567-1570.

134. N.Nakagawa, T.S.Komatsu. Collective motion occurs inevitably in a class of populations of globally coupled chaotic elements. Physical Review E, 1998, Vol.57, №2, p.1570-1575.

135. S.C.Manrubia, A.S.Mikhailov. Mutual synchronization and clustering in randomly coupled chaotic dynamical networks. Physical Review E, 1999, Vol.60, №2, p.1579-1589.

136. H.Fujigaki, T.Shimada. Phase synchronization and nonlinearity decision in the network of chaotic flows. Physical Review E, 1997, Vol.55, №3, p.2426-2433.

137. D.Hansel, G.Mato, C.Meunier. Clustering and slow switching in globally coupled phase oscillators. Physical Review E, 1993, Vol.48, №5, p.3470-3477.

138. F.Xie, H.A.Cerdeira. Coherent-ordered transition in chaotic globally coupled maps. Physical Review E, 1996, Vol.54, №4, p.3235-3238.

139. A.L.Gelover-Santiago, R.Lima, G.Martinez-Mekler. Synchronization and cluster periodic solutions in globally coupled maps. Physica A, 2000, Vol. 283,p. 131-135.

140. A.L.Gelover-Santiago, R.Lima, G.Martinez-Mekler. Synchronization in globally coupled maps. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2000, Vol.10, №2, p.453-460.

141. C.Masoller, A.C.Marti, D.H.Zanette. Synchronization in an array of globally coupled maps with delayed interactions. Physica A, 2003, Vol.325, p.186-191.

142. E.Ott, P.So, E.Barreto, T.Antonsen. The onset of synchronization in systems of globally coupled chaotic and periodic oscillators. Physica D, 2002, Vol.173, p. 29-51.

143. J.D.Crawford, K.T.R.Davies. Synchronization of globally coupled phase oscillators: singularities and scaling for general couplings. Physica D, 1999, Vol.125, p. 1-46.

144. T.W.Carr, I.B.Schwartz. On measures of disorder in globally coupled oscillators. Physica D, 1998, Vol.115, p.321-340.

145. T.W.Carr, I.B.Schwartz. The role of symmetry breaking and disorder in the control of phase-ordered states in globally coupled oscillators. Physica D, 1997, Vol.106, p. 113-130.

146. J.A.Acebron, L.L.Bonilla. Asymptotic description of transients and synchronized states of globally coupled oscillators. Physica D, 1998, Vol.114, p.296-314.

147. G.Abramson. Long transients and cluster size in globally coupled maps. Europhysics Letters, 2000, Vol. 52, №6, p.615-619.

148. T.Shibata, T.Chawanya, K.Kaneko. Noiseless collective motion out of noisy. Physical Review Letters, 1999, Vol.82, №22, p.4424-4427.

149. K.Kaneko. Partial complexity in a network of chaotic elements. Journal Phys. A: Math. Gen., 1991, Vol.24, p.2107-2119.

150. G.Rangarajan, M.Ding. Stability of synchronized chaos in coupled dynamical systems. Physics Letters A, 2002, Vol.296, p.204-209.

151. V.S.Afraimovich, A.L.Gelover-Santiago, R.Lima. Cluster periodic solutions in globally coupled maps. International Journal of Bifurcation & Chaos, 2001, Vol.11, №7, p.1929-1936.

152. P.Glendinning. The stability boundary of synchronized states in globally coupled dynamical systems. Physics Letters A, 199, Vol.259, p.129-134.

153. P.Glendinning. Transitivity and blowout bifurcations in a class of globally coupled maps. Physics Letters A, 1999, Vol.264, p.303-310.

154. O.Popovich, Yu.Maistrenko, E.Mosekilde. Loss of coherence in a system of globally coupled maps. Physical Review E, 2001, Vol.64, №2, 026205.

155. A.V.Taborov, Yu.L.Maistrenko. Partial synchronization in a system of coupled logistic maps. International Journal of Bifurcation & Chaos, 2000, Vol.10, №5, p.1051-1066.

156. O.Popovych, Yu.Maistrenko, E.Mosekilde, A.Pikovsky, J.Kurths. Tran-scritical loss of synchronization in coupled chaotic systems. Physics Letters A, 2000, Vol.275, p.401-406.

157. Yu.L.Maistrenko, V.L.Maistrenko, O.Popovych, E.Mosekilde. Unfolding of the riddling bifurcation. Physics Letters A, 1999, Vol.262, p.355-360.

158. O.Popovych, Yu.Maistrenko, E.Mosekilde, A.Pikovsky, J.Kurths. Tran-scritical riddling in a system of coupled maps. Physical Review E, Vol.63, №3,036201.

159. O.Popovich, A.Pikovsky, Yu.Maistrenko. Cluster-splitting bifurcation in a system of coupled maps. Physica D, 2002, Vol.168, p.106-125.

160. A.Pikovsky, O.Popovich, Yu.Maistrenko. Resolving clusters in chaotic ensembles of globally coupled identical oscillators. Physical Review Letters, 2001, Vol.87, №4, 044102.

161. Yu.Maistrenko, O.Popovich, S.Yanchuk. Synchronization and clustering in ensembles of coupled chaotic oscillators. Synchronization: Theory and Applications. Ed. by A.Pikovsky and Yu.Maistrenko. Kluwer Academic Publishers, 2003.

162. K.Fujimoto, K.Kaneko. How fast elements can affect slow dynamics. Physica D, 2003, Vol. 180, p. 1 -16.

163. K.Kaneko. On the strength of attractors in a high-dimensional system: Milnor attractor network, robust global attraction, and noise-induced selection. Physica D, 1998, Vol.124, p.322-344.

164. K.Kaneko. Coupled maps with growth and death: An approach to cell differentiation. Physica D, 1997, Vol.103, p.505-527.

165. K.Kaneko. Prevalence of Milnor attractors and chaotic itinerancy in "high"-dimensional dynamical systems. Synchronization: Theory and Applications. Ed. by A.Pikovsky and Yu.Maistrenko. Kluwer Academic Publishers, 2003.

166. K.Kaneko. Dominance of Milnor attractors and noise-induced selection in multiattractor system. Physical Review Letters, 1997, Vol.78, №14, p.2736-2739.

167. J.Milnor. On the concept of attractor. Communications in matematical physics, 1985, Vol.99, p.177-195.

168. P.Garsía, A.Parravano, G.Cosenza, J.Jiménez, A.Marcano. Coupled map networks as communication schemes. Physical Review E, 2002, Vol.65, №4, 045201(R).

169. С.П.Кузнецов, А.С.Пиковский. Переход от симметричного к несимметричному режиму хаотической динамики в системе диссипативно связанных рекуррентных отображений. Известия ВУЗов.- Радиофизика, 1989, Т.32, №1, р.49-54.

170. В.В.Астахов, Б.П.Безручко, Ю.В.Гуляев, Е.П.Селезнев. Мультиста-бильные состояния диссипативно связанных фейгенбаумовских систем, Письма в ЖТФ, 1989, Т.15, №.3, С.60-65.

171. В.В.Астахов, Б.П.Безручко, Е.Н.Ерастова, Е.П.Селезнев. Виды колебаний и их эволюция в диссипативно связанных фейгенбаумовских системах. ЖТФ. 1990. Т.60, В. 10. С. 19-26.

172. В.В.Астахов, Б.П.Безручко, В.И.Пономаренко, Е.П.Селезнев. Муль-тистабильность в колебательных системах с удвоением периода. ДАН СССР. 1990. Т.314, №2. С.332-336.

173. K.Mira, J.Carcasses. On the "crossroad area-saddle area" and "crossroad area-spring area" transition. International Journal of Bifurcation & Chaos, 1991, Vol.1, №3, p.641-655.

174. Ф.Розенблатт. Принципы нейродинамики. Перцептрон и теория механизмов мозга. М.: Мир, 1965. 480 с.

175. М.Минский, С.Пайперт. Перцептроны. М.: Мир, 1971.

176. В.А.Васильев, Ю.М.Романовский, В.Г.Яхно. Автоволновые процессы. М., Наука, 1987. 240 с.

177. R.F.Schmidt, G.Thews. Human Physiology. Springer, N.Y., 1983.

178. Список публикаций по теме диссертации184. .A.S.Ivanova, S.P.Kuznetsov. Scaling at the onset of chaos in a network of logistic maps with two types of global coupling. Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2002, Vol.5, №2, p. 151-154.

179. А.С.Иванова, С.П.Кузнецов. Волна кластеризации в цепочке систем, каждая из которых содержит набор элементов с внутренней глобальной связью. Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2003, т.11, №45, с.80-88.

180. A.S.Ivanova, S.P.Kuznetsov. Scaling at the onset of chaos in a network of logistic maps with two types of global coupling. Preprint. http://xxx.lanl.gov/abs/nlin.CD/0208026

181. А.С.Иванова, И.Н.Капреев, Е.П.Селезнев "Бассейны притяжения в связанных системах с удвоением периода" в сборнике Нелинейные колебания механических систем: V Международная конференция: тезисы докладов, 1999, Нижний Новгород, с. 105.

182. А.С.Иванова. Бассейны притяжения связанных систем с удвоением периода. В сб.: Нелинейные дни в Саратове для молодых. Материалы научной школы-конференции. Саратов, Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1999, с.45-48.

183. А.С.Иванова. Влияние асимметрии на бассейны притяжения хаотических аттракторов связанных систем с удвоением периода. В сб.: Нелинейные дни в Саратове для молодых. Материалы научной школы-конференции. Саратов, Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1998, с.23-26.

184. А.С.Иванова "Исследование влияния асимметрии на структуру бассейнов притяжения циклов в связанных системах с удвоением периода" в сборнике докладов студенческой научной конференции Колледжа прикладных наук СГУ, 1997, Саратов, с. 16-18.