Случайные семейства цепей Маркова и кинетика возбуждения в неупорядоченных системах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

г: о л

) 3 ФЕВ Г'РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ

на правах рукописи

ШЕСТОПАЛ Виктор Ефимович

СЛУЧАЙНЕЕ СЕМЕЙСТВА ЦЕПЕЙ МАРКОВА И КИНЕТИКА ВОЗБУЖДЕНИЙ В НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СИСТЕМАХ

Специальность 01.01.11. - Системный анализ и автоматическое управление

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1995

Работа подготовлена в Институте Теоретической и Экспериментальной Физики

Научный руководитель: Лектор физико-математических наук

Ф. С. Лхепаров.

Официальные оппоненты: Лектор физико-математических наук

Н. А. Бобылёв

Кандидат физико-математических наук Е.С.Николаевский Ведущая организация: Физический Институт им. П.Н.Лебедева

Российской Академии Наук

Зашита состоится 1995 года

в " 14 - часов на заседании Специализированного Совета N0 5 Института Проблем Управления Российской Академии Наук

по адресу:

117806, Москва, Профсоюзная ул. д. 65

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Проблем Управления Российской Академии Наук.

Автореферат разослан "Ло " Злс&я/с/) 1995 г.

Учёный секретарь Специализированного Совета Но 5 ИЛУ РАН

/кандидат техн. наук С.А.Власов/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАбОТЫ

Актуальность темы. Современный системный анализ и теория автоматического управления широко используют и в значительной степени стимулируют исследования в теории случайных процессов, особо выделяя наряду с другими разделами исследование марковских процессов с конечными или счётными множествами состояний.

Марковские - процессы естественно возникают, например, в задачах массового обслуживания, распознавания образов и ряде иных областей.

Довольно новым предметом теории случайных процессов являются случайные семейства однородных (во времени) цепей Маркова (ССОЦМ), т.е. множества марковских процессов, параметры которых, в частности интенсивности переходов и начальные распределения, выступают в качестве не зависящих от времени случайных величин. Такие задачи естественно возникают при рассмотрении типичных характеристик целых классов в каких-то отношениях равноценных систем или при анализе их параллельного функционирования.

С формальной точки зрения проблематику ССОЦМ можно рассматривать как раздел теории марковских процессов, занимасаийся процессами с большими пространствами состояний, полагая в качестве состояний новых процессов пары из состояний "старых" конкретных процессов и "номеров" .случайных конфигураций, где протекает каждый из этих процессов. Однако встающая при такой переформулировке задача усреднения по частичной информации о состояниях представляется не очень естественной, что в высшей степени оправдывает Еыделение теории

ССОЦМ в самостоятельный раздел теории случайных процессов.

Сходные по математической постановке задачи возникают и в физике конденсированных сред, где много интереснейших проблем связано со случайными блужданиями различных по своей природе возбуждений на неоднородных кристаллических решётках или таких модельных структурах как дерево Кэли (решётка Бете), ковёр Серпинского и др..

К сожалении большее число относящихся к этой области статистической физики твёрдого тела математических проблем не имеет корректного решения, тем более, что наряду с традиционно важнейшей задачей получения главных членов долговременной асимптотики наблюдаемых величин весьма злободневно получение и последующих членов. С целью преодоления этих трудностей предлагались "полуматематические", основанные на физических гипотезах подходы. Используется также и моделирование на ЭВМ.

На нынешней стадии развития теории ССОЦМ и, в частности, случайных блужданий в неупорядоченных средах ССБИС) большой интерес вызывают нетривиальные точно решаемые модели. Сохраняя некоторые черты реальных систем, они показывают возможные эффекты, связанные с "двойной случайностью" как самого процесса так и условий его протекания (например блужданий и среды этих' блужданий). Другое важное Назначение точно или асимптотически Спри t + <я } точно решаемых САТР) моделей состоит в том, что они позволяют проверять и корректировать полуматематические подходы и алгоритмы машинного моделирования.

Физиками СJ.Bernasconi et at.; R.Zwanzig; P. J.H.Denteneer, M. H. Ernst) и математиками (Я. Г.Синай; В. В. Аншелевич, К.М.Ханин, Я.Г.Синай; G.F.Lavier; R. Künnemann; С.М.Козлов, С.А.Молчанов; A.B. Лётчиков; J.Bridcmcnt, A.Kupiainen; И. С. Синева и др.) были

предложены различные семейства моделей, для которых доказывалась диффузионность, асимптотики, т.е. сходимость к нормальному распределение, хотя и не всегда давались удовлетворительные методы расчёта тензора диффузии. Более существенным с физической точки зрения недостатком этих моделей является то обстоятельство, что в них, наряду с другими нереалистичными ограничениями, интенсивности переходов между узлами либо имеют конечный радиус,'либо очень быстро убывают на бесконечности.

Таким образом современное состояние теории ССОЦМ и СБИС наряду с исследованием реальных систем предполагает особое внимание к АТР моделям.

Упомянем ещё одну важную область применения теории СБИС -усреднение дифференциальных операторов, где они используются для выбора более естественной дискретной аппроксимации усредняемых непрерывных систем.

В лаборатории нейтронной физики Института Теоретической и Экспериментальной Физики в течение многих лет ведутся разнообразные теоретические и экспериментальные исследования по физическим проблемам СБИС и, в частности, по применению к ним методов теории цепей Маркова. В частности данная работа содержит результаты, полученные в рамках этого цикла исследований.

Цели исследования, lb учение некоторых. классов случайных семейств необрываюпщхся ступенчатых однородных Сво времени) цепей Маркова с непрерывным временем и счётным множеством состояний, заданных распределениями своих генераторов и начальных мер. При этом ставятся следующие задачи.

I. Получить для ССОЦМ, заданных своими случайными инфинитезимальными операторами и описывающих ряд реальных систем СБИС, удобные способы расчёта поведения усреднённых вероятностей

переходов (корреляторов) на временах, когда ряды Тейлора по времени становятся неэффективны. Построить и исследовать аналитические свойства физически осмысленных приближений усреднённых корреляторов в реальных системах

II. В предложенных ранее моделях ССОЦМ с' формально рассчитанными Сно не всегда строго обоснованными) главными членами асимптотического разложения усредненных по случайности среды корреляторов строго математически получить эти, а также и последующие члены. Предложить новые АТР модели с более реалистичными свойствами случайности среды протекания процессов. Кратко обрисуем использованный математический аппарат. При получении и исследовании разложений конфигурационно усреднённых вероятностей перехода, описывающих реальные физические процессы случайных семейств регулярных цепей Маркова [Ш1, 2, 4, 5], элементарные комбинаторные методы сочетались с теорией линейных операторов, естественно возникающей в связи с прямыми или обратными уравнениями Колмогорова для марковских процессов с непрерывным временем и счётным множеством состояний С в физической литературе прямые уравнения Колмогорова чаще называют кинетическими уравнениями, ^ уравнениями баланса или master equation). Использовались методы асимптотического анализа и прежде всего абелевы и тауберовы теоремы [Ш61. Весьма полезен оказался метод Эвальда, основанный на преобразовании Пуассона, и удачно обобщающий идею, предложенную Риманом в его' выводе уравнения для С-функции.

Научная новизна и практическая ценность. Для реальных систем случайных блужданий различного рода возбуждений на подмножествах примесных узлов кристаллической решётки даны различные способы разложения усредненных по случайностям среды

вероятностей условных переходов в ряды Тейлора по концентрации примеси [Ш1, 2, 4, 5]. Доказана сходимость этих разложений во всей комплексной плоскости. Этим, в частности, объясняется эффективность описания реальных процессов на умеренно больших временах двумя или тремя первыми членами концентрационного ряда. СИмеется в виду область времён, когда разложение в ряд Тейлора по времени усреднённых по распределениям случайной среды наблпдаемых уже- крайне неэффективно, однако асимптотическая стадия ещё далеко.) Предлагаются приближённые описания реальных процессов, и с помощыэ выводимых в этих приближениях замкнутых уравнений доказывается аналитичность соответствующих аппроксимаций конфигурационно усреднённых корреляторов цепи Маркова Ш4].

. Впервые предложена нетривиальная АТР модель СБИС с дальнодействием, т.е. медленным спаданием интенсивностей переходов при росте расстояний между узлами. Для неё, а.также для других нетривиальных моделей СБИС, в которых прежде были формально получены главные члены асимптотических разложений средних корреляторов, строятся асимптотические разложения больших времён [Ш6]. Кроме того предлагается существенно более широкий класс АТР моделей СБИС с трансляционно инвариантными Си некоторыми другими) распределениями случайности среды блужданий, допускающих столь же полное описание [7]. Модели этого класса могут иметь, в частности, более высокую связность • и более разнообразные . симметрии в распределении случайности среды блужданий.

Особо подчеркнём, что во всех перечисленных АТР моделях с заметным дальнодействием подтверждается выдвинутое Ф.С.Джепаровым С1980) и подтвердившееся экспериментально. С ШЗЗ

положение о том, что выходу на асимптотическую, диффузионную стадию затухания корреляторов предшествует временной отрезок, на котором происходит заметно более медленное изменение. При этом, что также предсказывалось, с увеличением беспорядка данное явление лишь усиливается.

Применение и приспособление указанного математического

»

аппарата привело к ряду общематематических результатов. Отметим любопытные резольвентные тождества С1114,61. Получена новая удобная оценка li-нормы резольвенты цепи Маркова с It-ограниченным генератором [6], Получены некоторые уточнения абелевых теорем о преобразовании асимптотических разложений в области малых частот (значений резольвенты вблизи нуля) в разложения больших времён [0161.

В работе впервые предложено полное асимптотическое разложение для корреляторов однородного марковского процесса с медленно убывающими с расстоянием интенсивностями переходов [Ш63. Отметим, что сходные методы практически непосредственно переносятся на случай дискретного времени и дают полное разложение в центральной предельной теореме для суммы независимых и одинаково распределённых целочисленных векторов со степенным убыванием распределения на бесконечности.

С помощью изложенных в работе методов были рассчитаны средние корреляторы в реальных системах СБИС, оказавшиеся в хорошем согласии с результатами физических экспериментов на умеренно больших временах СШ1, Е4 ]. Предложенные методы оказались столь же эффективны в исследовании ряда случайных семейств процессов с возможной гибелью блуждающих объектов, а также случайных семейств нестационарных процессов СШ41.

Исследование и построение новых АТР моделей ССОЦМ и СБИС

iUI71 позволяет уточнять и лучше обосновывать- предлагаемые по'луматематические подходы. А это, в свою очередь, помогает правильно планировать и проводить физические и численные эксперименты и точнее оценивать получаемые в них результаты СШ31. Сходные идеи оказались полезны и в построении первых нетривиальных АТР моделей колебаний решётки, с изотропным распределением силовых матриц С Ш7].

На защиту выносятся следующие основные положения и

результаты:

1) Построение разложений' усреднённых корреляторов для ряда физически значимых систем по целым положительным степеням концентрации (относительной плотности} случайных подмножеств, на которых протекают соответствующие СБИС.

23 Доказательство корректности и эквивалентности разных форм концентрационного разложения в рассматриваемых физических системах.

3) Доказательство аналитичности средних корреляторов, рассматриваемых физических систем при всех (физических или нефизическихЗ значениях концентрации.

43 Доказательство аналитичности по концентрации для ряда физически естественных приближений средних корреляторов вышеуказанных систем, и получение замкнутых уравнений на эти приближения.

53 Построение и строгое обоснование в пространственно однородной цепи Маркова с непрерывным временем и со степенным убыванием интенсивностей переходов при увеличении расстояний между узлами: а) разложения Фурье-образа генератора вблизи нуля, 63 асимптотического разложения коррелятора на конечных расстояниях и больших временах,. вЗ разложений Лаплас-образов

степеней коррелятора (производных резольвенты процесса) и других в приложениях к неупорядоченным системам величин при близких к нулю значениях параметра Лапласа.

6) Доказательство удобной оценки -нормы резольвенты цепи Маркова с непрерывным временем и с 11 -ограниченным генератором.

7) Построение нетривиальной АТР модели СБНС со степенным

дальнодействием.

\

8) Построение в АТР моделях CC0IIM с известными ранее главными членами асимптотики больших времён для усреднённых по случайностям среды корреляторов также и дальнейших членов Счисло которых зависит от характера случайности среды) асимптотических разложений.

9) Получение нового, существенно более широкого класса АТР моделей ССОЦМ, вклсчасщего системы с более высокой связностыэ и более разнообразными симметрияыи в распределении случайности среды.

Апробация работы.

Материал диссертации докладывался на семинарах в ИТЭФ, ИХФАН, ФИАН, ИОФАН, МГУ Сна кафедрах теории вероятностей и физики полупроводников), общемосковсксм семинаре "Проблемы магнитного резонанса", на всесоюзных и международных конференциях и школах i Международной Школе по Физике Сверхтонких Взаимодействий СЕехин, Чехословакия, 1932), на II Международной Конференции по Прыжковому Переносу (Братислава, Чехословакия, 1987), на обшей конференции Отделения Конденсированных Сред Европейского Физического Общества (Лиссабон, Португалия, 1990) и др.

Публикации. Основные результаты изложены в работах [1Д1-Ш7] прилагаемого списка литературы.

Объём и структура диссертации. Работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы, включающего 75 наименований. Объём работы 108 стр., включая оглавление и список литературы.

Содержание работы

Глава 1_ посвящена описанию физических моделей, изучение которых послужило толчком к настоящему исследованию, а также математической постановке проблемы.

В §1 описывается уникальный физический эксперимент по наблюдению миграции возбуждений ядерных спинов в кристалле ЫГ со случайным распределением примесного изотопа 61л . Эта система - почти идеальная реализация марковского процесса с непрерывным временем и счётным множеством состояний, в которой практически непосредственной наблюдаемой является средний автокоррелятор - вероятность возвращения в исходное состояние, усреднённая по всем распределениям примеси данной концентрации.

0 других реальных процессах в изучении которых используется рассматриваемый в работе аппарат, говорится в §2. К ним относится прыжковая проводимость в полупроводниках Другая большая область - процессы- миграции возбуждений атомных уровней, которые сегодня изучаются с помощью разнообразных методов: нестационарной селективной лазерной спектроскопии

(ИЗ), измерения деполяризации флуоресценции, . четырёхволнового смешения Это приводит к задачам

математического исследования усреднённого коррелятора в различных представлениях Ст.е. его преобразований: Фурье по координатам и Лапласа по времени).

В §3 описывается математический формализм теории случайной миграции по неупорядоченной примеси в кристалле, с помощью

которого изучаются указанные выше процессы. Здесь также показано, каким образом данная проблематика включается в более широкую область исследований - теорию случайных блужданий в случайной среде ССБИС) и характеризуется состояние в данной области исследований.

В перечисленных физических системах миграция возбуждений идёт лишь по одному из равновероятных подмножеств решётки, имеющих заданную концентрацию С относительную плотность) и подчиняется прямым уравнениям Колмогорова для марковской цепи с непрерывным временем и счётным множеством состояний - элементов этого подмножества, представляющего примесь:

<3р /ей. = - £ С V р - у, р ) , р, (1=0) = б. ,

г1т ** п1 Г1 и 1пгпт ' г1т 1т

п

где 1, т, п пробегают номера занятых примесью узлов (состояний цепи), р1щ(1) - вероятность обнаружить систему (т.е. мигрирующий объект, возбуждение) в момент времени I в состоянии (т.е. узле) с номером ,1 , если при 1=0 оно находилось в узле с номером т , а у ' неотрицательная интенсивность перехода из узла 1 в узел п .. Требуется рассчитать величины <, } 5ХХ рх т<5х у > и <£ ехр[

1 ,т '1 т т'У У

-1к(х-у)] 5 V Р, -.¿V V '> (здесь х, - координатный вектор

1 1 г.

узла с номером 1 ) - усреднённые по всевозможным конфигурациям примеси значения коррелятора (при х .= у = 0 это одна из основных наблюдаемых) и его Фурье-образа (абсолютная величина которой наблюдается в опытах по четырёхволновому смешению).

При этом V , есть х , где у2Х имеет одну из

п . . 1 п

следующих форм:

1) (случай миграции спиновой поляризации, §13

= | г —х|—(1-3 ссз2( х - 2, Я332( 1 + * <52у3 г ,

где ё = 3,Е=6,5; = 2, Я - фиксированный вектор

(постоянного внешнего магнитного поляЗ, у > О здесь и далее характеризует микроструктуру и пропорциональна, в частности, взаимодействию между ближайшими узлами решётки. Легко видеть, что начальный узел выделен, без чего система была бы в среднем трансляционно инвариантна;

23 (случай миграции зкситонов, §23

1>2Х= | г-хГ55- г , с1=3. з=6, (33

33 (прыжковая проводимость в'полупроводниках, §23

игх= г ехр с ~ I х ~ / 2аЗ , а > 0 . (43

Система (13 естественно включается в более широкий контекст СБИС на неоднородной решётке, если ввести величины

Рху = с 5х,х, Р1А ,у ' пх = £ '

' . I ,т 1 шу 1 1

для которых легко проверить справедливость уравнений:

(53

<$ху/а1 = | ( п2"2хпхР3!у - пхихЛР2у) . ?ху (1 = 0) = пу5ху /с ,

имеющих очень ясный смысл, если учесть, что (пх32= пх - число

заполнения узла х , т. е. характеристическая функция множества-

примесных узлов, равная 1 или 0 в зависимости от

принадлежности х к примеси, а Р„„ (I) - вероятность

ху

перехода из у в х за время I .

Таким образом уравнения (53 представляют собою частный .

случай следующих уравнений: ' С6)

<"V <v

dpxy(t)/dt = - Е [wzx Pxy(t) - vxz p2y(t) ] . Pxy(0) = s/xy .

где x, у, z пробегают - d-ыерную решётку L = ^ , a wx * 2

/V

С>03 - скорость перехода из z в х С ухх доопределяются любым

'S*

удобным образом), в - мера "интенсивности" начального узла -

♦ (Ч/

источника процесса, Рху - вероятность обнаружить блуждавший

объект в момент времени L- в узле х, если при t = 0 он находился в у . Случайность ССОЦМ характеризуется

<v ^

распределением семейства величин • 9у •

Для систем вида С 6) основные проблемы состоят в исследовании и вычислении:

1) коррелятора Pv,, = < Pvv >, усредненного по

AJT ÄJr

г*

распределению у„т и, в частности, в нахождении его асимптотики

Ль-

При t + оо

2) тензора (предполагаемой) диффузии, т.е. матрицы вторых моментов усреднённого по конфигурациям пространственного распределения величины:

lim t-1 £ ( х - у)2 р ( t) ,

I Ч t я X

содержащей важнейшую информацию об асимптотике среднего коррелятора или (в другой физической интерпретации такого рода систем) о проводимости,

3) средней резольвенты генератора процесса:

р ( м = J+o d t Р ( t) , - ,

4) преобразования Фурье среднего коррелятора:

Р ( к, I) = Е ехр [ -1 к С х - у)1 Р„у ( I) .

х

Глава 2 посвящена проблемам описания процессов миграции по неупорядоченной примеси в кристалле на умеренно больших временах, когда разложение среднего коррелятора в ряд Тейлора по времени чрезвычайно неэффективно с вычислительной точки зрения, хотя и асимптотическая стадия ещё далеко.

В §1 предлагаются различные методы построения разложений наблюдаемых - решений С 5) - в ряды по степеням концентрации примеси. Указание здесь разных приёмов вычисления средних, связано как с несходством возникающих в физике задач, так и с надеждой на эффективное использование этих методов в будущих исследованиях.

Основное разложение имеет следующий вид [1111, 1021. Пусть $ С п) - произвольная функция от чисел заполнения конечных множеств Ст.е. функция на классе конечных подмножеств или функционал на семействе характеристических функций конечных

подмножеств ^ 3. Тогда среднее по всем конфигурациям примеси, имеющим концентрацию с , равно

<*> = Г 1/я! £ 7 с™ Я. С-1)т"к $ С <2 .....г. М ,

гп г О 2......2 к = О 1 к

1 т

где £ х означает . суммирование по всем кортежам попарно

"1 " ' ' '"¡Л

различных , ,2 , ^ ~ симметризация по всем перестановкам

нижних индексов в <г .....2к> , и ФССг.....- значение

$ на множестве <21.....2к> .

Другие способы получения разложения С7) в системе С 5) приводят к интересным тождествам для резольвент .Ш4]или

устанавливают связь с популярными в теоретической физике эвристическими методами функционального (или континуального) интегрирования СШ51.

В §2 говорится о применении этой техники к расчёту среднего коррелятора в задаче блужданий поляризации ядерных спинов (т.е. для системы (5) при скоростях перехода (2)). Отмечается, что на

временах, когда сС^и^''2 - величина порядка 1 , она и является истинным параметром разложения С 7) в пределе сплошной среды. Здесь же предложено новое . простое обоснование "теоремы о сингулярной точке": при у I >> 1 в пределе сплошной среды .

11т Р ( 17 = в с' р

х у х *у уу

где с = 3 для (1), С2) Си = 1 в случае С1), СЗ)), что, например, помогает избегать не раз встречавшегося в литературе недоразумения, связанного с неучётом сингулярности в начальном узле, приводившим к гладкой по координате Св пределе сплошной среды) асимптотике. Но прежде всего, указанное предельное соотношение 4 говорит о том, какими специфическими свойствам должна обладать ожидаемая диффузионная асимптотика больших времён. Всё здесь сказанное относится и к системе С5), СЗ).'

В §3 даётся полное математическое обоснование процедуры получения концентрационного разложения. Показывается, что основные наблюдаемые, в частности корреляторы и их Фурье-образы, продолжаются до целых функций параметра концентрации, растущих на бесконечности не быстрее экспоненты (Ш2, ¡1141.

В §4 исследуются аналитические свойства величин, представляющихся весьма хорошими с физической точки зрения приближениями к настоящим наблюдаемым. Эти величины получаются

на основе естественных в пределе сплошной среды преобразований концентрационного разложения. Исследуются замкнутые уравнения, который удовлетворяет эти приближения, доказывается аналитичность по концентрации самих приближений [HI4L

Глава 3 посвящена точному построении асимптотических разложений для ряда нетривиальных моделей марковских блужданий в случайной среде. Здесь же описаны большие классы АТР моделей с существенно новыми структурами элементарных переходов случайных генераторов (матриц интенсивностей).

В §1 дано общее описание таких моделей, содержащих, в частности- очень важный в физике класс систем с трансляционно инвариантным распределением скоростей (интенсивностей) переходов, т.е. пространственно однородных в среднем систем:

(8)

dVdt = "т. А 1 J с L ^' ? " ^ ' = V '

где q, х, у, z пробегает правильную решётку L , ^ -система независимых при разных z одинаково распределенных NxN-матриц; поскольку система (8) описывает необрывагщийся марковский процесс, недиагональные элементы генератора

Аху = ( В ? С )ху , ■K'f5 = fx - ( Bf)x =J (С gjg = Z C^9Z

n=l Itl=l z z

должны быть вещественны и неположительны,- и

ещё одно допущение о С8) состоит в трансляционной инвариантности (относительно сдвигов решётки) оператора С В:

(Г, рлпга . рлП п и . гпт "'ху ~ Чсг °гу ~ гх-у '

конфигурационное усреднение состоит теперь в усреднении по совместному распределению £г .

Исходная идея метода решения таких систем состоит в том, чтобы, основываясь на соотношении

С 9]

. р( X) = ( х + В ? С)"1 = х-1 11-ВССи + В? СГ1) = = V"1 [ 1 - В ( X г1 + С В Г1 С ]

далее строить разложение по флуктуациям величины X. Ш4,

ПГ71.

В §1 также дан способ решения в одном, оказавшемся особенно простым, классе систем с принудительным сносом в конусе направлений СШ6].

В §2 описана общая процедура, которая позволяет сводить построение асимптотики в моделях типа СЮ, имеющих достаточно нетривиальное поведение спектра оператора С В вблизи нуля, и достаточное число целых отрицательных моментов у матриц £ , к решению той же и близких к ней задач в моделях на неслучайной правильной решётке, т.е. пространственно однородным моделям. Здесь доказываются некоторые ключевые факты, которые и позволяют использовать это сведение для получения асимптотических долговременных разложений. Более конкретно: доказывается рост порядков малости при X -♦ 0 , КеСХ) > 0 членов разложения С8)

по флуктуациям X , равно как и растущий порядок малости остаточных членов СШ51.

В §3 строится полное асимптотическое разложение для

трансляционно-инвариантной систем Спространственно однородной марковской цепи) со степенным убыванием интенсивностей переходов при росте расстояний между узлами-состояниями цепи. Б. основе построения - метод Эвальда, применявшего в . подходящих интегральных представлениях .Членов сумм разбиение области интегрирования и преобразование Пуассона в одной из областей. Напомним, что впервые такой приём использовал Риман в выводе своего уравнения связи £(х) и {¡(1 - х) .[1Д6].

В §4 приводится подробное описание результатов расчёта нескольких первых членов асимптотики в первой нетривиальной АТР модели - • многомерной ' "модели случайных прыжков" . (иначе ещё называемой "моделью случайных ловушек") с медленно убывающей при росте расстояния между узлами "неслучайной", зависящей лишь от расстояния составляющей скорости прыжков и случайного множителя в этой скорости, характеризующего свойства узла, из которого уходит возбуждение. Здесь описаны методы получения разложений 1) Фурье-образа генератора процесса при малых значениях модуля его параметра Фурье, 2) Лаплас-образов коррелятора и других необходимых в исследовании АТР моделей СБИС величин при малых по модулю значениях параметра Лапласа [106].

Ввиду особенной близости рассматриваемой модели к реальным системам, . проявляющейся прежде всего в характере убывания интенсивностей переходов на бесконечности, обращается внимание на те черты асимптотики, которые могут быть очень полезны при планировании и оценке завершённости реальных физических измерений или математического моделирования случайных систем.

В §5 описан новый, существенно более широкий класс АТР моделей, включающий системы с более высокой связностью структуры элементарных переходов и симметриями в распределениях

го

• случайностей среды блужданий, и в которых допустима нетривиальная элементарная ячейка [Ш71. Общий вид таких систем:

d Р £ / d t = - ( в f • • • F""1 С Р ) „ .

Здесь предполагается, что

1) п б ^ - "номер" Сконечной) ячейки Ст. е. фундаментальной области) из тех, на которые разбивается исходная решётка в результате действия некоторой подгруппы трансляций, и ц - номер узла в ячейке,

2) операторы { С ВС . . ( F* С ..... ( F"*1 С"

инвариантны к сдвигам по п ,

3) (( ГГ1 С' = 0 при I п - п' | > Rj . m = 1 + М - 1-,

4) при Re X > 0 оператор G = ( + С В Г1 Ц -ограничен и X. (¡С- = оС 13 ' если Х 0 и Re X > 0 ,

Й) Cfm)W = c?m)MAi'ff „где m = 1 + М , и набор величин

s nn' s n nn'' ~ ' r

|neZ^,m,ju,/K' =1 + M> распределён инвариантно к тем же сдвигай по п , причём и С?™)^! независимы при

| п - п' I > FL, ,

6) конечны средние <(?1 F1 ?2 •-F"'1 n = 1 + 2J, где J достаточно велико,

7) неотрицательны скорости переходов,

8) }( В F* ••• F""1 С ) = О , т.е.

п,м

сохраняется полная вероятность Спроцесс не обрывающийся).

Допустима разнообразная случайность начальных параметров. Здесь ведёт к цели* разложение по флуктуациям операторов

х { a1 f е fM)-1 .

В §6 выводится неравенство для 11 -нормы резольвенты ij-ограниченного генератора марковского процесса с непрерывным временем и счётным множеством состояний:

Теорема. Пусть счётная цепь Маркова удовлетворяет уравнениям Колмогорова:

d Рху( t) /d t = - | рху( t.) - Pzy( I)] .

Рху(0)=<5ху. и выполняются соотношения

wzx * 0 •

X *ш

В этих условиях при

| Х|2 + 2ЕГ Re X > О

Ст.е. в круге с центром в точке -Си радиусом = D , т.е. равным половине нормы генератора) выполняется неравенство:

НС X + A3"1» i С I | Х|2 + П2 + 2D Re X - П Г1 .

Аналогичная оценка резольвенты имеется и в случае обрывающегося процесса Ссоответствующего, например, процессу с возможной гибелью блуждающего объекта).

В Заключении работы сводятся основные результаты и положения.

Основные выносимые к защите результаты опубликованы в следующих работах [Ш1-Ш7]: '

С Ш13 Джепаров Ф.С. , Смелов B.C., Шестопал В.Е.

Концентрационное разложение в теории миграции возбуждения по неупорядоченной решётке // Письма в ЮТФ, 1980. т. 32, вып. 1, сс. 51-56.

[ 1112] Шестопал В.Е. Аналитическая зависимость от концентрации неупорядоченной примеси в теории миграции возбуждений // Препринт ИГЭФ Mo 139, M. : ИТЭФ, 1981. 7 с.

СШЗЗ Гапонцев В.П., Джепаров Ф.С., Платонов Н.С., Шестопал В.Е. Кинетика 'делокализации возбуждений в неупорядоченных системах // Письма в ЮТФ, 1985. т. 41, вып. 11, сс. 460-463.

[Ш4] Джепаров Ф.С., Степанов C.B., Шестопал В.Е. Случайные блуждания в неупорядоченных системах с диполь-дипольным взаимодействием. I. Теория // Препринт ИТЭФ No.133, M.: ИТЭФ, 1987. 51 с.

[Ш5] Джепаров Ф.С., Шестопал В.Е. Случайные блуждания в неупорядоченной системе. Представление функции Грина функциональным интегралом // Изв. ВУЗов. Физика, 1987. т. 30, No 6, сс. 77-86.

■[ 126] Джепаров Ф.С., Шестопал В.Е. Случайные блуждания в неупорядоченных системах с дальнодействием. Асимптотически точно решаемые модели // ТМФ, 1993. т. 94, No 3, сс. 496-514. // Препринт ИТЭФ No 141, M.: ИТЭФ, 1989. // Dzheparov F.S., Shestopal V.E. Preprint ITEF No 11, M. : ITEP, 1990 С in English).

[Ш7] Джепаров Ф.С., Шестопал В.Е. Асимптотически точно решаемые модели случайных блужданий и колебаний в неупорядоченных системах // Письма в ЮТФ, 1994. т. 60. вып. 3, сс. 178-181.

Зек. 689. Tip. 100.

117806. Москва ГСП-7. Профсоыиа*. 63. Мкстатут проблем уорыданаа