Смешанные (контактные) краевые задачи для эллиптических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. СМЕШАННАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

§ I. Постановка задачи и некоторые общие утверждения

§ 2. Основная смешанная краевая задача

§ 3. Об одном случае задачи наклонной производной для эллиптических систем на плаз кости.

§ Основная смешанная краевая задача плоской теории упругости

ГЛАВА 2. ОСНОВНАЯ СМЕШАННАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ

КОЭФФИЦИЕНТАМИ . бб

§ 5. Основная смешанная краевая задача для эллиптических систем с кусочно-постоянными коэффициентами .бб

§ б. Основная смешанная краевая задача плоской теории упругости для кусочно-однородной среды

В диссертации изучаются смешанные краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными, коэффициенты которых либо постоянны, либо кусочно постоянны.

Сформулируем прежде всего постановку смешанной краевой задачи.

Пусть -Г2- - конечная односвязная область на плоскости R- , ограниченная достаточно гладкой кривой Г . Положительным направлением на Г назовем направление, при движении вдоль которого область -CL остается слева. Пусть Г4 и /I две дуги, на которые Г разбивается (фиксированными) точками , , причем началом дуги является точка , С = I, 2. Через будем обозначать единичный вектор внешней, по отношению к SL , нормали к Г1 в точке хеГ% х

Рассмотрим в SL систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

А^а,*, + 25<их,хг + О : (0.1) где Ау£>} С - заданные постоянные, вещественные мът матрицы, а л<с (*х.) - искомый п7- мерный вектор 5

Система (0-4) называется эллиптической, если del С jf о и характеристическое уравнение Jed 2У Я )= О .

А+ 2-+ С 9 не имеет вещественных корней.

Дважды непрерывно дифференцируемый в J2 вектор удовлетворяющий в SL системе (о. 4) , назовем регулярным решением системы (oj) .

Требуется определить регулярное в Л решение системы (о. О удовлетворяющее следующим краевым условиям ло(тс-) = /fpc) ? ?с е Г^

Условия, накладываемые на ю - мерный вектор ^(л) и на /их*и матрицы ? рг(эс) будут уточнены ниже.

Под , <их.(ъ) в левой части равенств (o.i) C.z') понимаются предельные значения на Г искомого вектора (я) и его частных производных первого порядка. Впервые смешанная краевая задача (для уравнения Лапласа) была поставлена Заремба [ij . Изучение смешанных краевых задач для эллиптических уравнений занимает важное место в теории уравнений смешанного типа [2J, £3]t L^l) L-5] . Для уравнений как второго, так и высшего порядка смешанные краевые задачи подробно изучались многими авторами [6], [ i2 J , L8] , U] (см. также библиографию в [10] ,[41]). В настоящее время теория таких задач также интенсивно развивается [№], L13] .

Для эллиптических систем смешанные краевые задачи изучены менее полно, особенно если иметь в виду, что зачастую требуется указать эффективный метод для нахождения решения задачи в целом.

Со этой точки зрения весьма полезным является метод, основанный на использовании теории функций одного комплексного переменного Ш, 14] , U4]% [15] , [U] .

Этим методом исследованы многие краевые задачи для эллип

O.Z) о. 1') ' тической системы (о. V) э из которых упомянем, например, задачу Пуанкаре [t/] , [i .

Среди смешанных краевых задач для эллиптических систем изучена лишь так называемая основная смешанная краевая задача плоской теории упругости [Щ], [15] • Тем не менее, задача (оЛ)> (о.г') может быть достаточно полно изучена упомянутым выше методом для широкого класса систем вида [oj) 9

Оказывается естественным при этом выделить случай, когда условие (0. l!) принимает вид Я

У^ 5 , ^ ^ /I , (О.Ъ) j где

9 +А" = у fas')

2 /. j I и и следовательно р (х) ~ Л иыь^ ? у = у, 2. .

Отметим еще, что если р1 =-Еоюпэс^ % у где

В - единичная матрица порядка т , то соответствующая задача приводится к задаче Дирихле и здесь не рассматривается.

Когда же матрицы pJ , не имеют указанного выше вида, то, предполагая вектор 4(°с) достаточно гладким на , получаем, что условие (o.l) эквивалентно следующему

- иъп-х^ + Ел/^иъп-эс^ = fa , х £ Г,^ г ) , где 1/&4 означает производную по длине дуги з , отсчитываемой от некоторой фиксированной точки (например ) на дуге Рг .

Поэтому достаточно изучить следующую краевую задачу г

-/оо (OA)

K=i где заданные матрицы , £ = I, 2 являются достаточно гладкими на Г всюду, за исключением, быть может точек f j = I, 2, в которых они испытывают разрывы первого рода.

Следуя Н.И.Мусхелишвили, задачу (о.2)% (о.Ъ) будем называть основной смешанной краевой задачей для эллиптической системы

О .

Для системы уравнений плоской теории упругости эта задача изучена как в случае односвязной //47t/V57, так и в случае многосвязной L19.1 области Л .

Задачу (оМ) , следуя А.В.Бицадзе [3], будем называть задачей наклонной производной с кусочно-непрерывными коэффициентами для системы м.

Первая глава диссертации посвящена изучению задачи (о.г) (О.Ъ) и задачи (0.4) для системы (0.1) методом, основанным на использовании теории функций одного комплексного переменного [3].

Не менее часто возникает необходимость изучения вышеприведенных задач для системы (O.i) , коэффициенты которой претерпевают разрыв 1-го рода вдоль некоторой кривой Г0 , лежащей в области Л, ; при этом вдоль кривой Га задаются дополнительные, так называемые контактные условия.

Когда краевые условия не являются смешанными, такие задачи как для одного эллиптического уравнения, так и для эллиптических систем изучались многими авторами V , [Z1] , [23],

Во второй главе диссертации изучена основная смешанная краевая задача для системы (о.4) , коэффициенты которой предполагаются кусочно-постоянными; она названа основной смешанной краевой (контактной) задачей.

Пусть на плоскости ft заданы достаточно гладкие, замкнутые кривые Гх , Z = о, I, 2, причем кривая Га расположена внутри конечной области, ограниченной кривой П , а кривая внутри конечной области, ограниченной кривой Гс . Через J2r обозначим конечную двусвязную область с границей П, ОГ^ } ^ = ^ г

На каждой из кривых П. f г = о, I, 2 положительное направление выберем так же, как и выше, при рассмотрении задачи (o.z) , (аз)

I > , и обозначим через ^х соответствующие нормали. Точки Сх разбивают кривые Cj на дуги (jz , = I, 2 причем началом дуги , относительно выбранного на /у положительного направления, является точка €г •

Основная смешанная краевая (контактная) задача формулируется следующим образом: определить совокупность ^ bс) = I, 2 регулярных решений системы

А ^ + =0 а jZ=stzjas) X удовлетворяющих следующим краевым

Wy*) = s ^ ^ Па

JK (аб) . А^ C*>n2*j = /*<*), у z-1 '-К. > ' j

Jу K-= / и контактным г 2. ^

ZA 1 ^ ^-' aJK- 2 Л />

A1 - ) Д и, с<ъп0-х ^4oz(DCK^ro Хк -1 '^ZJK J °,

J, A--/ условиям. j к.

Здесь Аъ » = I» 2 - заданные, постоянные вещественные матрицы, связанные с А*г., &ч., С^. согласно (о.з') , a искомые вещественные /и - мерные векторы,

Во второй главе приводится также решение основной смешанной краевой (контактной) задачи для неоднородной системы уравнений плоской теории упругости. Эта задача возникает при исследовании механических характеристик сверхпроводящих магнитных систем термоядерных установок типа ТОКАМАК

Отметим еще, что в близкой постановке такая задача изучена другим методом в работе Контактные задачи теории упругости изучались также многими авторами [-23] (см. библиографию зр4],[23]). Перейдем к формулировке основных результатов, полученных в диссертации.

Введем классы функций в которых разыскивается решение сформулированных выше задач.

Пусть - функция точки а = x^ix^ линии Г (замкнутой областиil), удовлетворяющая условию H(t'Л т.е. такая, что для любых двух точек на Г (на-гё ) имеем - * М Г у ? где - положительные постоянные, причем о<у ^ У . Если функция yfe) удовлетворяет на Г (най ) условию , то будем говорить, что функция принадлежит классу НС}1) на Г (на SL ), или, если не требуется указания р у» б Н Определение I. Будем говорить что функция принадлежит классу Нс на Г (если она удовлетворяет условию Н на (закрытых) дугах Гу jw, 2. , а в точках имеет разрыв первого рода.

Если функция V») = f o^f < ■/ ; то будем говорить, что Т(^) б на Г , или, если не требуется указания £ . (Заметим еще, что увеличив £ на произвольно малое £>о , можно считать, что f* fc Н на Г ).

Скажем, что f ft) 6 на Г ч. >/ У , если «рб-fc) > * раз дифференцируема на Г7 и dx у /g Н* г где под производной с/ / , (х-1 и Хъ } 2.} (= Г t будем понимать t'J/ch\ в качестве параметра взята длина дуги кривой Г , отсчитываемая в положительном направлении от некоторой фиксированной точки на Г •

Определение 2. Функцию гг(а) заданную в Л \ 4 £Vy назовем функцией класса ^р (-&-) , если функция /г-^-/^Vfc), г- xf-t txz удовлетворяет условию Гёльдера в Л . Очевидно, на границе Г области Л функция тгс^) принадлежит классу Up .

Будем говорить, что irM g Hp (-&-) , t ^ / если^) £раз дифференцируема и все ее частные производные порядка ъ принадлежат классу (Л\ Когда не требуется указания f , то употребляем вместо Н^ (.а) обозначение

Согласно общему представлению регулярных решений системы (0.1) полученному A3.Бицадзе Г13 имеем х) = + ^ где

Л,г = ь1£ £ С* sstf'bj) (в9) -Г2 С7 6 rz 7 fjl(zj) - произвольные голоморфные функции аргумента Zj= ^t^^j^z удовлетворяющие условию f верхний индекс к функции

4j-e указывает порядок производной по г- . Здесь и всюду ниже предполагается, что каждый из м - мерных векторов С^к есть некоторое фиксированное, нетривиальное решение вполне определенной системы линейных алгебраических уравнений L*].

Пусть 1 фиксированное целое число, причем ^ ^ если к^г для всех и t > / в противном случае.

Теорема I. Формула (0.2) устанавливает взаимно-однозначное соответствие между регулярными в SL решениями системы (о. 4) класса (Л) и набором [ Р) голоморфных функций ftetej) аргумента Ъч+Ъ**. , , kj,

I it- / \ классов rty ( -п.) t причем некоторые комбинации функций этого набора являются более гладкими, чем входящие в них слагаемые.

Пусть - элемент длины достаточно гладкой дуги L , целиком лежащей в Л и соединяющей некоторую фиксированную и переменную г точки области Л , нормаль, направленная вправо, если за положительное направление на L выбрано направление от к г .

Теорема 2. Пусть

2 * '

- z: A4, (««>)

С, У- 1 тогда справедлива следующая формула ff (/лс)( + 9 Л^Г

О. /¥) где

Kj C-<f г pi Ъ-Ъ 1 к=о J jl zfb)l i С" к. КГ'ыМ с^х к-1 -> > интегрирование ведется вдоль L , G - произвольный постоянный вещественный вектор размерности тп ^ векторы и) * cj) „ и) .

С 2,г = С2Ъ = ^33 = * , У

Ъ матрица АнТ-А12^ Я Azi + ЯЯ Д22.

Дальнейшие результаты получены в предположении, что

2 > , Rj ~ 7 > oi-i hi- oC j <1^/2]; где [к] есть целая часть /< , а система (0.4)слабо связана по А.В.Бицадзе М . Для определенности будем считать, что линейно независима система векторов / ^ео }

В этих предположениях в формуле (О. 8) следует считать 44 (о)-О } а выражения для Aj ^ ^ j~ V, 2 f принимают, соответственно, вид л J = /Ь / f / с V, з £(aj)) + (aj)j т- oL

- 12 rU) ^ (j) л (j) , cj) где Г, = ^ = (Ъ-Ъ)Ся*

Туи. f.^(o) ^ О , Jm. .

Приведем дальнейшие результаты относительно задачи решение которой будем разыскивать в классе функций Cfji)fi HJ Со)

В силу теорем I, 2 получаем, что задача (0.2) , {о,з) для системы при вышеуказанных предположениях эквивалентна еле- I дующей краевой задаче теории функций одного комплексного переменного.

Определить совокупность голоморфных функций ^ (zj) аргументов з Xha ^ ><?} j =>/,.,»n.-oi, (X^xjf J2 принадлежащих классам * f-S) , & е ^ а) , £ + 3 /к/ € ^ ^ ^

Vjj £ н4 (SI), А-и,. Ы,- A W5)

J ->

Tw. Jf^ (О) ^ О , т ^ [о ) = и удовлетворяющих краевым условиям к*) , где в левой части (о^) , ftf/i*) под (Ajf)U) понимаются предельные значения выражений (о./5), (O.J4) на Г .

Используя для функций (Щ/) известное представление И.Н.Векуа f/5j , [32J , / 3 3 J полученную краевую задачу теории функций редуцируем (эквивалентным образом) к отысканию решений ^ft) системы интегральных уравнений J-V-t^M* rv^SM+S, (0Л8) класса hk(r), удовлетворяющих условию

Ъ fry - 6 Им cr) , ^ (0.19) ЪЪ*., * г> где компонентами in- мерного вещественного вектора являются функции Vj^te), участвующие в представлении И.Н.Векуа Л функций pjefejji а м- мерный вектор# и /иум матрица а(4) Ш) 7 3, введены в § 2 гл.1.

Отметим здесь, что коэффициенты системы (0.18) испытывают разрывы 1-го рода по i в точках <Tj , j = 1,2, а условия нормальной pa3peiimM0CTH[l5j,[33jнарушены всюду на Л.

В случае, когда ранги матриц aft), постоянны на Г , а коэффициенты системы (0.18) являются достаточно гладкими, такие системы изучены в работах[34-] ,[35] Введем как и в § 2 гл.1 матрицы

ShS.

Пусть выполнено условие a) dti^O коэффициенты полинома

1 Л* *

JcLCf-i^ * где * * a"'* j вещественные, а его корни tj не леиат на вещественной полуоси (о, +€**) .

Пусть } 0<$<i } минимальный из углов, составляемых с положительным направлением вещественной оси лучами, исходящими из начала координат на которых лежат корни полинома dei(f-lG) . a ft = /-/ .

Теорема Пусть, кроме условия а) выполнено следующее условие-^). Г - кривая класса С3, а вектор ^ е H0Cf~) П Но'(г) t Тогда I). Однородная система /Vjff= О (союзная однородная система

V^-О) имеет в классе функций где (в союзном классе(%/) конечное числоС'(С") линейно независимых решений.

2). Необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения

A^f - в классе ^ заключаются в том, чтобы / (0.20) где {§№>} - полная система линейно независимых решений союзного класса союзной однородной системы /V*i>=o.

3). - з эс^ - индекс решений класса Н^(г) системы уравнений /Vj^-^S , причем = Лг 5 ij]r } (0.21) где 5-S ,t предельные значения на Г функции^)- z^j J однозначной в области Л с разрезом вдоль простой дуги, соединяющей точки о и , связаны в точке Г*, соотношением d(?x-0) ^ijdfo-w), j*, а [Ш)] означает приращение функции ^/впри обходе контура Г один раз в положительном направлении * i- ~ ejcplirifj ? o<Rl}j <-/ .

4). Если вектор/ tS удовлетворяет условиям разрешимости то ' справедливо включение

4jhf - ij fa 6 Hrl (Г > , Г' • (0-22)

В качестве следствия теоремы 4 доказана следующая Теорема 5. Пусть выполнены условия Я), предыдущей теоремы, а вектор / удовлетворяет условиям (0.20) тогда задача (0.1), (0.2), (0.3) нетерова в классе функций сЧ-ё) П (jL) причем ее индекс = где £ есть ранг матрицы М у : С мч ), H,j -- ij (V Л , г', > 4., -.

В § 3 главы I изучена задача наклонной производной с коэффициентами, имеющими разрывы 1-го рода в точках , j = I, 2 для системы (о-4)»

При исследовании этой задачи получены результаты, в некотором смысле близкие к только что сформулированным результатам относительно задачи (o.i) ^(o.i)^ (о.ъ) .

Нетеровость задачи (о. 4), (о.Ц) доказана в классе функций с2(-п.) ПН А (л) .

В качестве примера в § 4 гл. I рассмотрена известная УЧ], [15] основная смешанная краевая задача плоской теории упругости для односвязной области.

Во второй главе изучена задача (0.5) , (о. 6), (ОЛ) щ Схема ее исследования близка к схеме исследования задачи (о.2)у (о.Ъ) (см. гл.1). Полученные результаты близки к результатам полученным при исследовании задачи (о,г)л , Приведем поэтому лишь результаты § б, относящиеся к исследованию однородной основной смешанной краевой (контактной) задачи для неоднородной системы уравнений плоской теории упругости

Теорема 9 утверждает, что эта задача не может иметь более одного решения из класса функций С (-&■) П Нл, (SL-)

V J ) ' '

Далее, теорема 10 утверждает, что соответствующая этой задаче система интегральных уравнений однозначно разрешима в классе функций ^ £ (Гг) 9 ^ = хэ 2, причем выполнены аналогичные (о.23) включения.

Следствием этой теоремы является утверждение об однозначной разрешимости исходной задачи в классе функций )ПНу (Мг) при любой правой части F V*) € Н , г =

Выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю члену-корреспонденту АН СССР А.В.Бидадзе за помощь, оказанную при выполнении данной работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [38] , [39].

1. Z?(ША,УИ4a. S. Sun, цп. pxr€-$rxe. yi^iocie. -*vt£tZ.-li4 a / Ufua{CohBu£C. GbCL&oirU p J3-40 ? p. 343-344.имеется русский перевод: "Усп.матем.наук", 1946, I, 3-4 (13-14), 125-146).I

2. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. Москва (1959). Итоги науки . физ.-мат.науки.

3. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М. Наука, 1966.

4. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных.- М. Наука, 1981.

5. Вишик М.Й., Эскин Г.И. Смешанные краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений. Труды Института прикладной математики Тбилисского гос.ун-та им.И.Н.Векуа, 1969, T.II, с. 31-48.

6. Л.Бере. Ф.Джон. М.Шехтер. Уравнения с частными производными. М. Мир, 1966.1., tti4a.nefa. С. Ipu^io^i cUrUv-a-t* ряггъсаге М-£ipo Мсь^со. 6ег4* - Н<исЬ>Мл# - Уохк > Vmfrg^

7. Ибрагимов А.И. Некоторые качественные свойства решений смешанной краевой задачи для уравнений эллиптического типа. -Матем.сб., 1983, т.122 (164), №2 (10), с. I66-I8I.FUm? ЯсЛгиЛ-zc б. к/. AJhbory r<£ pit^oP>uf7. у 13S3 3 , Ui} ур,

8. Мусхелишвили Н.й. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М. Наука, 1966.

9. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М. Наука, 1968.

10. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. M.-JI. Гостехиздат, 1948.

11. Товмасян Н.Е. Общая краевая задача для эллиптических систем второго порядка с постоянными коэффициентам. Дифференциальные уравнения, 1966, т.2, с.3-23, с.163-171.

12. Шерман Д.И. Смешанная задача статической теории упругости для плоских многосвязных областей. Докл.АН СССР, 1940, т.28, с.29-32.

13. Манджавидзе Г.Ф.Об одном сингулярном интегральном уравнении и его применении в теории упругости. Прикл.матем. и мех., I95X, т.19, с.279-296.

14. Манджавидзе Р-.Ф. О поведении решений граничной задачи линейного сопряжения. Тр. Тбилисского математического ин-та, 1969, т.35, с.173-182.2Х sca^ca-b^n. м. а vl -ftij. в4 mis^lon.Ъьио&с л/очт. Qup. P/S4 , 1660 } т

15. Арутюнян P.M. Расчет деформаций и напряжений в сверхпроводящих многокомпозитных соленоидах. М.: ФИАН СССР, 1981 -30 с. (Препринт № 117).

16. Сивкова Г.Н., Спирченко Ю.В. К определению напряженно-дефор• мированного состояния электромагнитной системы установки T-I5. Сборник "Электрофизическая аппаратура", 1982, вып.20, с.36-42.

17. А.Наичлл. Si^uuU (UMEAfO ЧшиьЬо*a^ttcs, , V. МАО-'? , /И7.5-, 2№~21М

18. Рухадзе I.A. 0 смешанной гранично-контактной задаче плоской теории упругости. Тр. Ин-та прикл.матем. Тбилиси, 1981, т.10, с.191-215.

19. Шерман Д.И. Плоская деформация в изотропной неоднородной среде. Прикл.матем. и мех., 1943, т.7, с.301-309.

20. Финера Г. Теоремы существования в теории упругости. М. Мир, 1974.

21. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М. Наука, 1970.

22. W-L. t&U^-iic с'А /4е. р/ttt-uL т — London vis Piihn*» } <1 3 J- 9 . Y/., W 4>.

23. Векуа И.Н. Об одном новом интегральном представлении аналитических функций и его приложении. Сообщ.АН ГССР, 1941, т.2, № б, с.477-484.

24. Векуа И.Н. Системы сингулярных интегральных уравнений. -М. Наука, 1970.

25. Товмасян Н.Е. К теории сингулярных интегральных уравнений. Дифференц.уравнения, 1967, т.З, № I, с.69-80.

26. Сакс Р.С. Об одном классе сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. Дифференц.уравнения, 1969, т.5, № I, с.115-130.

27. Хведелидзе Б.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения. Тр.Тбилисского математического ин-та АН ГССР, 1956, т.23, с.3-158.

28. Солдатов А.П. Краевая задача линейного сопряжения теории функций. Известия АН СССР, сер.матем., 1979, т.43, №1, с.184-202.

29. Жура Н.А. Об одной смешанно-контактной эллиптической краевой задаче. Докл.АН СССР, 1984, т.276, № I, с.22-26.

30. Жура Н.А. Об одной краевой задаче теории функций. Докл, АН СССР, 1984, т.276, № 4, с. 777-781.