Смешанные задачи для параболических уравнений и систем с вырождением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГб

од

" ЛШВКЬКИЙ ДЕРЖАИМ УН1ВЕРСИТЕТ 1М. !К ФРАНКА

На ¡¡¡швах рун тис у

П У К А Ч ПЕТРО ЯРОСЛАВОВИЧ

ЯЫ1ШАН1 ЗАДАЧ! ДЛЯ ПАРАБОЛ1ЧНИХ Р1В№ШЬ ТА СИСТЕМ

з щролтшм.

01.01.02 - диференшалын р1вняння

АВТОРЕгОРАТ

дисертаци на здобуття вченого ступе'ш кандидата фгэико - математичних наук

ЛБВ1В -1993

Дисершзйя е рукописом.

Робота виконана на кафедр! диференшальних р!вняш> Льв1вс1>кого державного утиверситету Ни. 1в. Франка

Наукоьий неризник - кандидат ф1зико - математичних наук,

; ОфЩ1йнI опоненти: доктор ф1зико - математичних наук, вед. наук, сш'вр. ВМШКОВ А. е. (1нститут прикладно 1 математики I мехашки АН Укра!ни, м. Донецьк ), кандидат фIзико-математичних наук,доцент ДАНИЛОК Г. 1. (Макпвський 1ня©нерно - буд1вельний ¡нститут).

Пров1Дна оргаи1аащя - Чершвецький державний ун1верситет.

Ззхмст в1#5удеться ____Ж.____1993 ¡л о /Агод.

на эас1данн1 спещал1зовано! Ради К. 068.12.13 по присудженн*> вченого ступени кандидата ф!зико - математичних наук у Льв1в-ському державному- университет! ¡м. 1в. Франка (290602, м. Льв1в, ву.ч. Ушверситетська, 1).

3 дисертац1ею можна ознакомимся в науков(й б1блютеш '1ьр ! вського держун 1 верситету.

Автореферат розгслано . ........1993 р.

Вчений секретар

спец1ал1зовано1 Ради

доцент ЛАВРШЖ а П.

микитш я а

ЗАГМЬМ ХАРАКТЕРИСТИКА РОШГН.

Актуалъшсть теми. Штематичне моделювання р1зномаштних явищ та npoueciB в ф1зищ, Texniui ( задач! фазових режима, температурного граничного шару, опрюнення морських вод, руху р i дин та rasiB в пористому середовшцi, явища в плазш та in. ) приводить до необх1дноотг розгляду змипаних задач для парабола чних ршшнь та систем з виродженням по амшпй I, певне тео-ретичне узагальнення яких е предметом дослгдження в щй диеер-таци. В працях Джураева Т. Д., Гринберга Г. А., Шдгаева А. Г. , F'avini A., Ford W. Т. та ¡н. наведено моде л i конкротних прик-ладних задач, що mдтверджують цей факт.

В дисертамлйшй робот i розглядагаься змишш задач i для парабол1Чних ргвнянь та систем, що вироджуються в довиьний скшчений момент часу та задача Фур' е для систем, шр вироджуються при t = -00 .

Змшаш задач; в обмежених областях для парабол i чних р iвнянъ та систем з виродженням розглядалися в працях Калашникова А. С. , Джураева Т. Д. .Городецкого В. Е . i Житаркка И. В. , Глу-иака А. В. i Шмулевича С. Д., Краснова iL Л. , Мысовских П. И. , Орлова В. П. , Пукальського I. Д. та ЫатШчука IL 1. , Терсенова С. А. , Ippolito Р. М. , Pao C.V. , Schuchman V. та ¡н. Деяк1 автори, та-К1 як Соболевский П. Е. , Friedman А. , Schuss Z. , Ford V.T. , Fa-V1 ni A., Waid M. С. та iH. вивчали загальн! властивоои парабо-лiчних onepaTopiB, коеф1щент при пох!д!Пй по часу в яких пев-ним чином обертаеться в нуль. Як масл1Д0к отримуються власти-вопт i розй'яаклв конкретних задач .

Досл1Дженню ,-задачi фур'е для лШйних та нелппйних

р1внянь i систем присвячеш роботи 1васшпена С. Д. ,0л1йник O.A., Радкевича Е. В. , Лавренчука R Д , Матчйчука Е I., Шишкова А. е., Бокала М.М.., Nakao М. та íh.

Найоиьш загальн! результат по амиианих задачах для парабол 1чних р1внянь э неч1д'емною характеристичною формою отри-ман( в працях Сипйник O.A., Радкевича E.R

Пета роботи. Дослцоити умови коректно í розв'яэнослм змипаних задач в обмежених нецилшдричних областях та задачi Фур'е в необмежених по t областях для лшйних та нел!Шйних парабол1чних р^внянь i систем, ар виродауються по часовой змшнШ.

Зазадьна методика робош Застосовуються метод £- регуля-ризаци, метод штрафу, метод Гальоркта, методи апрюрних ощ~ нок, деяк! загальш шдходи теог ¡ i вагових соболевських просго-plB, метод Роте.

Наумова новизна. Досд1джено питания коректно! роэв'язносг i вм1шаних задач в обмежених нецшиндричних областях для Л1н1й-них та деяких клас1в иел1Н1йлих параболiчних систем, щр вирод-жуюгься в фиссований момент часу." Доведено юнування та еди-нють уэагальнених ровв'язк!в. Отримано умови ¡пування та еди-HOCTi розв'язку Бадач! фур'е для липйних та нел1н1йних парабол l чних систем, пр виродкуються при V --<*>. Теоретично об-грунтовано можливють ваотосуващш метода Роте до знаходження розв'язку зм1шано1 задач! дла одного лилйного параболiчного рiвняння st слабим вироддещщм.

Теоретична та практична аначишстъ. Рэзультати роботи вносять вклад в загавьиу теорш парабол1чних граничних задач i

- Б -

можуть бути використан! при п побудовь Вони також можуть

знайти свое заетосування в прикладних питаниях.

Апробащя роботи. Результата роботи допов ¡дались на

семiнарi кафедри диференщальних р(внянь Льв(вського держ-

ушверситету ( кер. канд. ф1з.-мат. н., доц. Лавренюк С. П. );

на сшльному ceMiHapi 1нституту прикладних проблем математики

t механiки iM. Я. С. Шдстригача АН Украгни i кафедри диференщ-

альних р1внянь Льв1вського ушверситету ( кер. канд. ф1з. -мат.

н. , доц. Лавренюк С. П.; докт. ф!з. -мат. н., проф. Пташник Б. Я.;

докт. ф1з.-мат. н.<> проф. Скоробогатько R Я. ); на семiнарl 1н-

ституту прикладное математики t механIки АН Украгни, м. Донецьк

( кер. акад. Скрипник I. В. ); на ceMiHapt кафедри дифе-

ренщальних р1внянь Черн1вецького держушверситету ( кер. докт.

ф1з.-мат. н. , проф. 1васишен С. Д. ; докт. ф1з.-мат. н. , проф.

Мат1йчук М. I. ); на 8 - 1й та 9 - 1й Шжнародних конференщях

" Нел1н1йн1 граничн! задач1 "( м. Донецьк ); на М1жнародн1й кон-

ференцп "Актуальн1 проблеми фундаментальних наук" (м. Москва);

на М1жнародн1й конференцп, присвячен!й пам'яи акад. М. П. Крав-

0

чука (м. Кигв).

Публ1кщ\ f. Результата виконаних досл1джень опублшован! в роботах [1-9], список яких наведено в К1нщ автореферату.

Структура та об'ем роботи. Дисертащйна робота складаеть-ся 3i вступу, трьох глав, зак1нчення та списка Л1тератури, ви-кладених на 147 cToptHKax машинописного тексту. Список лиера-тури метить 115 найменувань.

- 6 -ЗМЯСГ РОБОТИ.

У жгут дано обгрунтування актуальное^ питань, доелIдившш яклх присвячена дисерташя, проанал130вано сучас-ний стан проблеми 1 коротко викладено оснобн1 результат

В глав! 1.розглянуто змшши эадач1 для лшйних та нел1-шйних иарабол1чних систем, що внроджукггьея в сличений момент часу. .

Дос.л I джуються .тпшйш системи такого вигляду:

+Аи * Г с*,*).

Я(х, * А и =

(1) (2.)

Тут и = , А и* - ¿.(А V У **

ч/3' У

+ .1- С(хЛ)и . Иоеф|щенти ФШ .Л(х^)

/) Гх, (-) ,£>1 С(г, I) систем (1), (2) - квадратн I матриц!

ровмму , Р~(^^у} Гт Для систем (1).

(?.'). ню розглядаються в неци'лшдричтй облает I \ -(г\'Г) ,Т< +оо,£1(1) - обмежена область в А?П , Г^ С-Сип!?-' чоперхня облает-1 б? , початкова та крайова умови мають

С-

VI - я I лно вигляд:

и сх-, о) = ^Сх;, . (3)

[р - О. (4!

Лрипускаеться, що / допуске продогжння через не! кс-

еф|Щент1в та правих частил розглядуваних в щй робот I систем. Елементи ^ [Ь) матриц 1 фа) (*,<?= ¿л» • ) - обмежвш на 5 функцп, нескшчено - диференшйоваш на £ за вшиш-ченням, можливо, лише точки ко ~Т

(Фа)*,г> чт\ (ФЫфМт\\ о

для вс 1х Ь € 3 та довиьного вектора & ~0 ,

ч'Щ>0, Ье (¿С)Т2 В1дносно коеф!щент1В та право! частини (1) нрипускатиме-

мо наступне.

1. Елэменти матриць /} ^ >А с]х ( й, у = ) належать

простору н.

£,у= ( • а ^

ДЛЯ м. в.

0 та довIльйого вектора £ ~ .

для м. в. (ос,4.)€ О та довиьного вектора % € !И 3. Р0 ("С/ = Ииг* 5сор у < * 00'

■ оо/с \ ^ ^Лн) /ие'т

Означения узагальненого розв' язку задач 1 (1), (3), (-1) даеться в сенс 1 виконання шгегрально! тотожнсст[.

Георема!. 1. Нехай виконукггься вшсладен 1 вида умо-ви на елементн матриц! поверхш Г . умопи 1 -- 3. Крш

того, р0 и) -* О , I - ±„ ; (а?; е ¿

у ^ £ * • 0, ¿о »

узагальнений розв'явок задач! (1),(3),(4) в О ,

\fyTi) и~ €

Дри доведеныI використано методи £ - регуляризашI та штрафу. Застосування метода Гальормна дае можлив¡сть отрима-ти апрюрш оц1нки наближеного розв'язку задачи При граничному переход! встановдюоться властивост! розв'язку них¡дно* задач!.

Дал1 розглядаеться задача (2)-(4) в припущешл, шр еле-^ менти 1К£(ХЛ){ К** ) матриц! И(.х,Ь) - неперервн!_

на 5 ФУНКЦ!!. (К(х,!) для_ ЕС!Х ¿е- 5

та дов! дьного вектора ; С~Ь) >0} Ь € £ ^ { К } }

такий шр (с ж м*)

6. нс(х,{)/! < * о} це, * с;

7. ¿> *с*(-{г)? О , де •)) визначаеться умовою 1, Ае -константа 1и домен нер1ЕНоет1 Фр1др1хса для функщй э Н* (Ш1)},

с<^-{о , с*(+) > о!

Теорема 1.2. Нехай область така, що

¿>< мають мюце умови 1, 4-7, ^¿(^/^Щ е еле мент и матриц! -Ь) володють описаними вищэ влас-

тивостями. крiм того, _рг/.ту О , -¿с ; (X) € Й .

Тод1 задача (2) - (4) мае единий роав'язок м. в. в б? , такий

що

^Л) * Ш), е л№*)). (6)

Теорема 1.3. Нехай виконуютьея всI умови теореми 1.2, < +-оо . Тсд1 задача (2)-(4) мае

» Г»1Г/

единий розв'яаок м. в. в С? , щр задашльняе (6).

Дал1 в робот! отримано результати юнування та едияост1 розв'язк1В задач (,1).(3)Д4) та (2) - (4) для правих частин систем, повед¡нка яких при визначаеться не лише функ-

Ц1ямй $({).

Розглянемо випадок матриц( , шо задов1льняе оцшку:

Кр1М того, припускатимемо:

* Ш)1 *> с ¿( -- [ £ ^

Тут¡-„-С'^С»* + К). сам1) щрйвише.

ю. ЬСх.ЩЬ-Ь.^еи-СО) , Г? 0.

Теорема 1.4 Нехай матридя , кр1м описаних

б теорем! 1.1 умов, задов1льняе оц!нку (7), мають м!сце умови 1; 8 - Ю, (5) ,у<(з:)е¿г($(0)) . Тод! ¡снуе единий узагальнений ронв' яг,ок Ц(яг, задач! (1),(3),(4) в' С? ( в сенс! теоре-ми 1.1 ), такий пр

\t-uf\i* 1.ЧЭ;НШ).

У випадку Ь0 = Т под!бний результат отримано для розв'язку м.в. задач! (2) -(4).

Дал! в глав! 1 окремо розглянуто виродження сиотеми (1) в прчатковий момент часу ( = С> ). Вид!лено клас видозм!не-ни:< початкових умов, да визначаються коеф!Ц!ентачи системи (1). вмшана задача для яких коректно розв'язна.

В обмежен!й цил!ндричн!й облает! С? вивчено задачу (й),(4) для слабо нел!н!йн01 парабол1Чно! системи

¿ V У)

Оператор /4 . матриця т! ж, шр й вище.

Прннускаеться наступне:

- и -

и. В о. -Ь) - С ё4 €т (*,*)],

; И С(х, -¿Л! < + . хеЛ \ЛёТгТ '

Означения узагальненого розв'язку задач1 (8),(3),(4) даеться в сенс I виконання штегрально? тото.жност!.

Теорема 1. а Нехай виконуються умови 1, 4, 6, 7,11, ¿„ ; ь (х)е V > И* ЙЫ)пИ(Ю. Т0Д1 задача (8),(3),(4) мае единий розв'язок иС^с,^) , шо задов (льняе наступним включениям:

& ¿~($У) , ^СО и, е 1~г(0). {9)

г

Отримано умови единост1 розв'язку задачI (8),(3),(4), шр задов 1льняе (9), умови 1снування та едшост! розв'язку м.в.

Т е о р е ы а 1.12. Нехай мають мюце вс! умови теореми Т" //■/ /

1.8, {„=0 ,у(х)=0 , $о /ца) < ^^ • Т°Д1 задача (8),(3),(4) мае розв*язок в б? , шр задовиьняе (9).

Дал1 в глав1.I розглянуто задачу (3),(4) в ;ецил1ндричн1й-облаетI О для сильно нел(н1йно! системи другого порядку

Фш и, + А, (и) =

(10)

Матрица. Фа) та сама, шр й вищэ, оператор л> ? вигляд

"" t А, -Щ (*>.(*,М^ЪиГ^ ) + cof (x)(u¡r\

СI ' i

р >ar) ^ = ftl'Of i ^c , ■"Г-! , = ^ ico*}

, с. с

На функцп с*за . си, накладаютьсд певн! умови, шр забеэ-печують хем1неперерви!сть, .чонотонн 1 сть та коерщшшшсть оператора Д1 (див. .наприклад, Гаевский X , Грегер к. ,Захариас К. "Рэлииейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения ", 11, Мир, 1978).

Теорема 1.14. Не хай нецшиндрична область С? т з матриия Ф(£) так!, як в теорем! 1.1; виконуетьсн умова (5); оператор А1 описаного вище зигляду. КрIы того, ь = ^ >

- достатньо мале число; у* (х)е ¿Х{&(0)) . Ход I задача (.10) ,(3) ,(4) мае единий розв'язок и(х)-Ь) ( для якого

Глава II присвячена розгляду задача Фур' е для лпийнш: та ичлпийних систем парабол!чного типу в ъиродженням.

Ь мил 1 ндричя 1Й облает! /2* 5 , .'>- '), / -.-<=•'>

падачу Фур'е для дпийноч системи:

(о'

иг(х,4) Iр = О. (12)

Область 6?. оператор /4 Т1 сам I, що й в гл. I; Фю квадратна матриця роэмгру )пл , I - одинична матрица роампзу »л, >Л11 + Л1Л, =/гг ■ Покладемо иг, (ц; ^ и=(и1у.; Ыт.-Поэначимо

¿^ (3;№)УЬ¡е}\(К к) ¿х < ^ ,о],

{ г0 /е^ / г. /^х < * ],

•/ ^ -о£> -12

В1ДНОСНО коефпиент1В системи (11), шр е д1йс!шзначними квадратними матрицами розм1ру пь , та право $ частини припус катимемо наступив: .

16. а)^^;.- §'■

(ФШу^)^О ^¿Л^еМ ^ЛШ---/{ф'а)Л = О;

б) (-¿) € с -( Б); .

17. Л8£ — О, £-*-<*>, £ ■

Шд узагальненим розв'язком задач 1 (11),(12) розум1вться деягса функшя 7л1~ е I- (' Ц *(>0)) , пр задов ияыше птн'ралыпй тогозглост».

- 14 -

Теорема2.1. Нехай виконуюгься умови 1, 7, 16 - 18. Тод1 задача (11),(12) мае единий узагальнений розв'язок в О, , такий що

Дал1 розглядаеться задача (12) для системи

О I + 1вГв ^ (13)

Тут

-квадратна матрица розмфу /ч.

3: , В; ~ квадратн 1 матрищ розм^ру», • Д- матриця з

стр!чками I стовпцями; - матриця з стр1чками 1

стовпцями; (Р, Р) К,), ~> Додатково припускатимемо, що:

19. Ыъ V* , */<?= /7^,

[£(*>+)Ы) > У ССЮ, ■

иЛ В > ¿¿^ <е(*) = о.

20. ^ р> 1/В/Ц/^ < * = ^ //Д.5// * £ 5 2=3 9: о, £ в

£*/,и. и

\р\¿; (БЦЧЛ)).

- 15 -

Теорема 2.2. Нехай мають мюце умови 1, 4, б, 7,1921. Т0Д1 юнуе единий узагальнений рбзв'язок (13),(12),для

якого

IV* ^ (О).

В глав! II вивчено задачу фур'е для системи з нев!д"емном характеристичною формою

к и = Рс*,-Ь).

* (14)

л. (П.

Щжпускаеться, що:

И.

22. Д164 у для М. В. (*,4)с О Уз € т

елементи йатриць А $ - неперервнI по I I неперервно - дифе реншйоваш по (к = ) в О функцп. Поэначимо Я -'[(^М^ Д- Г^УО}- В1ДНОСНО припускаемо:

а) Чг/7««*;

б) всяку точку (X?, € можна помютити в обмелений цил1ндр 0^4, Ъ<Ь*<гя>, щ>

23. Елементи матриць В>1 - неперервн! по Ь 1 неперервно -диференщйован! по х* ( б"* ) в О функцп;елементи матриц I С неперервнI в О . Припустимо:

л- .

а) ДЛЯ М.в

б) })>0.

Т е о р о н а 2.4. При виконанн! умов 22,23 1снуе узагальнений (з простору ¿_ ) розв'язок (14),(12) в £

- 16 -

Огримано результата единостI цього розв'язку. В глав 1 11 вивчено також задачу СЕур'е для системи

<р(1) % Ы) + Сил и « Г(^). ,15)

Нехай

г) * (16)

Припускатимемо для спрощення "7"*• О • Оператор /4 той самий, щр й в систем! (10). Кр1м того:

24. а) < М, М ^ О, &«5для м.в. со^О;

для дов ¡льних Ц , VI £ ) , де Ш)е ¿^ ((-*>, о1)>

гс-0 * 5и.р \\ФЧт. I 'С?

Означения узагальненого розв'язку задач1 (15),(12) даеть-оп л клас! локально итегрованих функщй.

Теорем а 2.6. Нехай виконуються умови. 16,(16) ,24,25. Год 1 задача (15),(12) мае не б1лыпе одного розв'язку.

Теорем&2.а Нехай мають мюце умови теореми 2.6 I а) ¿и^ к (-к") > О для довольного г у О/

Т0Д1 задача (15),(12) мае хоча б один узагальнений розв'яэок. Для довиьного узагальненого розв'язку справедливi ошнки:

] ни»? ar s м< (k(t-itH)p*f J dr -

t v t-< iy J

де

Иг Ж

- константи, щр залежать ,В1Д «,р, * ' п te(iih)

Окремо розглянуто задачу (12) для слабо нелш1йнсп сис-

геми з виродженням (8).

Глаза III присвячена застосуванню метода Роте до знаход-

ження наближеного розв'язку амiшаноi задачi для парабол¡чно-

го ргвняння другого порядку настуяного вигляду:

и.

«/•« а i сч (17)

- ССх,Т) и - fcx,?r) ,

ис*,о) = о, (1В)

U(X,Z)J„ :0. Ц9)

о g г

Тут J2 С ß ""-обмежена область, Г„ -б(чна поверхня цшпндра Qc - J2 * Sa , Sa ~(о,Та )f ~Г0 < *оо ,

- 18 -

Виносно функцп У С?) припускаемо наступив:

26. а)фг)ъС~($оЧо}), <г&)>0 «О. 5в/

Н> '(т) * О лл 5,, ; у (Г) < эеу'с г) ^ ^ i , а? ^ О;

ч>(9)

Коефаденти та права частина (17)-д1йснозначн1 функцп, що задов¡льняють умовам:

п.

27. ¿Г Ъс} I; ■ % * МП V ^ О

для мГв.(*г,*)еОд VI = и; а„ ,

О. УО, с^ = /¡Я ■

28. 1 --< 4-со, $а>0 -довишне мале число.

29

й0 ГЮГ'К)

Х6& ¿>^0.

Припускаемо, що е (20)

Для анаходження наближеного розв'язку задач! (17)-(19) эастосовуеться метод Роте. Попередньо за допомогою перетво-рення часу ¿= Г ^ с(& _ задача вводиться до змшансм

К

задач! для р!вняння 'без виродження. В теорем! 3.1 стверд-жуеться, шр при виконанн! умов 26 - 29, (20) узагальнений ( в сежи простору ¡1 ) розв'яэок задач1 (17)-(19) е слаба граница наближених розв'язкгв.щр визначаюгься за допомогою схе-ми Роте.

Автор висловлюе ширу вдячн!сть науковому кершпику, доценту Лавреншу С. Е за кер!вництво I постыну уннгу до роботи.

Основш результата дисертацй опубл1кован\ в роботах:

1. Лавренюк С. Е , Пукач П. Я. Смешанные задачи для параболических уравнений, вырождающихся в произвольный момент времени // В об. "Международная научно-техн. конф. "Актуальные проблемы фунд. наук". Москва, 28.10. 1991-3.11. 1991 Г.". - Т. 2.- М.-1991.-С. 19 - 21.

2. Лавренюк С. П., Пукач П. Я Про задачу без початкових умов для парабол1Чних систем з виродженням / Тези М1жн. конф., приев, пам'яг! акад. Кравчука М.П. (22-28 вересня 1992 ).- Ки!в -Дуцьк • - 1992. - С. 109.

3. Пукач П. Я. Змшана задача для парабол¡чного р|вняння з вирод-женням//В1сн. Льв1в. ун-ту. Сер. мех. -мат. -1990. -Вип. 34. -С. 10-14.

4. Пукач ЕЯ Задач 1 для нел1н1йних парабол1чних р^внянь з вирод-Денням//В1сн. ЛЬВ1В. ун-ту. Сер. мех. -мат. - 1991. -Вип. 36.-С. 6-10.

5. Пукач П. Я Смешанные задачи для вырождающихся параболических уравнений / Льв1в. ун-т. Льв(в, 1992 .- 86 с. Деп. в Укр1НТЕ1' 9. 07. 92 . N 1037 - Ук - 92.

6. Пукач П. Я. О задаче без начальных условий для вырождающихся параболических систем / Льв1в. ун-т. Льв1в, 1992 .- 42 с. Деп. в Укр1НТЕ1 11.11. 92 . N 1825 - Ук - 92.

7. Пукач Е Я Об однозначной разрешимости задачи с видоизмененным начальным условием для вырождающихся параболических систем/Лъв!в. ун-т. Льв1в,. 1992 .-19 с. Деп. в Укр1НГЕ1 12.11. 92. N 1826-Ук - 92.

8. Пукач ЕЯ Про схему Роте для одного лШ1йного парабол1чного Р1вняння з! слабим виродженням / Льв1 в. уй- т. Льв1в, 1993.-/¿7с. Деп. в Укр1*НТЕГ ¿^.ое.вЗ • N - Ук - 93.

9. Пукач ЕЯ Про задачу Фур'е для л 1 н 1 йно 1 парабол¡чног системи з виродженням // Доп. АН Украгни.- 1в$3. — V?* — £.'-¿¿-.¿5*.